Estatística Descritiva: Introdução à Probabilidade

Estatística Descritiva Aula 12 Prof Baggio Probabilidade Introdução Estudo das probabilidades pertencem ao campo da Matemática e esse conhecimento se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos ser de natureza aleatória ou probabilísticas Esse conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial Conceituação de variável aleatória e de duas principais distribuições de probabilidades de variáveis discretas e contínuas Probabilidade Em quase tudo em maior ou menor grau vislumbramos o acaso Exemplo É provável que o meu time ganhe a partida hoje pode resultar que apesar do favoritismo ele perca como pensamos ele ganhe empate O resultado final depende do acaso Logo calcular uma probabilidade é calcular uma chance Probabilidade Se um fenômeno não tem a menor chance de ocorrer então ele tem 0 de chance Se um fenômeno vai acontecer com certeza então ele tem 100 de chance 0 100 0 100 100 100 0 1 logo 01 Fenômeno ou Experimento Tipos ቊ𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧í𝐬𝐭𝐢𝐜𝐨 𝐀𝐥𝐞𝐚𝐭ó𝐫𝐢𝐨 Conceito de fenômeno determinístico Fenômenos ou experimentos determinísticos são aqueles que mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes apresentam resultados previsíveis Fenômeno ou Experimento Conceito de fenômeno aleatório Fenômenos ou experimentos aleatórios são aqueles que mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes apresentam resultados imprevisíveis Espaço amostral ou conjunto universo Conceito Espaço amostral ou conjunto universo são os conjuntos de resultados possíveis representamos por S Exemplos Ao lançarmos uma moeda existem 2 resultados possíveis ocorrer cara ou coroa Ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis 1 2 3 4 5 ou 6 Espaço amostral ou conjunto universo Os exemplos citados tem os seguintes espaços amostrais Lançamento de uma moeda S Ca Co Lançamento de um dado S 123456 Se lançarmos um moeda 2 vezes podemos obter S CaCa CaCo CoCaCoCo Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome de PONTO AMOSTRAL Assim 2 Є S 2 é um ponto amostral de S Eventos E Conceito Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório Qualquer que seja E Se E S E está contido em S então E é um evento de S Se E S é chamado evento certo Se E S é um conjunto unitário E é chamado evento elementar Se E ø E é chamado de evento impossível Eventos E Exemplo No lançamento de um dado onde S123456 temos A 246 S logo A é um evento de S B 123456 S logo B é um evento certo de S BS C 4 S logo C é um evento elementar de S D ø S logo D é um evento impossível de S Eventos E Um evento é sempre definido por uma sentença logo os eventos do exemplo podem ser sentenças Obter um número par na face superior Obter um número menor ou igual a 6 na face superior Obter o número 4 na face superior Obter um número maior que 6 na face superior Probabilidade Conceito Chamamos de probabilidade de um evento E E S o número real PE tal que Onde nE é o número de elementos de E nS é o número de elementos de S PE 𝒏𝑬 𝒏𝑺 Probabilidade Exemplo 1 Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A obter cara temos S CaCo nS 2 A Ca nA 1 Logo Esse resultado nos permite afirmar que ao lançarmos uma moeda equilibrada temos 50 de chance de que apareça cara na face superior Probabilidade Exemplo 2 Considerando o lançamento de um dado vamos calcular a A probabilidade do evento A nº par na face superior Temos S 123456 nS 6 A 246 nA 3 Logo Probabilidade b A probabilidade do evento B nº ou a 6 na face superior Temos S 123456 nS 6 B 123456 nB 6 Logo Probabilidade c A probabilidade do evento C nº 4 na face superior Temos S 123456 nS 6 C 4 nC 1 Logo Probabilidade d A probabilidade do evento D nº 6 na face superior Temos S 123456 nS 6 D ø nD 0 Logo Probabilidade Pelos exemplos que vimos podemos concluir a A probabilidade do evento certo é igual a 1 PS 1 b A probabilidade do evento impossível é igual a 0 PS 0 c A probabilidade de um evento E qualquer E S é um número real tal que 0PS1 dA probabilidade de um evento elementar E qualquer nE1 Probabilidade Eventos complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não Sendo p a probabilidade de que ele ocorra sucesso e q a probabilidade de que ele não ocorra insucesso para um mesmo evento existe sempre a relação p q 1 q 1 p Assim se a probabilidade de se realizar um evento é p 1 5 a probabilidade de que ele não ocorra é q1 p q 1 1 5 4 5 Probabilidade Exemplo Sabemos que a probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é p 1 6 Logo a probabilidade de não tirar 4 no lançamento de um dado é q 1 1 6 5 6 Probabilidade Eventos independentes Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e viceversa Exemplo Quando lançamos dois dados o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro Probabilidade Se dois eventos são independentes a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos Assim sendo 𝑝1 a probabilidade de realização do primeiro evento e 𝑝2 a probabilidade de realização do segundo evento a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por 𝐩 𝐩𝟏 𝐱 𝐩𝟐 Probabilidade Exemplo Lançamos dois dados A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é 𝑝1 1 6 A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é 𝑝2 1 6 Logo a probabilidade de obtermos simultaneamente 1 no primeiro e 5 no segundo é 𝑝 1 6 x 1 6 1 36 Probabilidade Eventos mutuamente exclusivos Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização dos outros 𝐩 𝐩𝟏 𝐩𝟐 Exemplo Lançamos um dado A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é 𝑝 1 6 1 6 2 6 1 3 pois como vimos os dois eventos são mutuamente exclusivos Probabilidade Exemplo 1 Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas 𝑝 1 52 Exemplo 2 Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas 𝑝 4 52 1 13 Probabilidade Exemplo 3 Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas 𝑝𝑐 13 52 1 4 𝑝𝑜 13 52 1 4 Como são mutuamente exclusivos vem p 1 4 1 4 2 4 1 2 Exemplo 4 Uma urna A contém 3 bolas brancas 4 pretas 2 verdes uma urna B contém 5 bolas brancas 2 pretas 1 verde uma urna C contém 2 bolas brancas 3 pretas 4 verdes Uma bola é retirada de cada urna Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira segunda e terceira urnas serem respectivamente branca preta e verde Como são independentes e simultâneos vem p 1 3 x 1 4 x 4 9 1 27 𝑝1 3 9 1 3 𝑝2 2 8 1 4 𝑝3 4 9