Estatística Descritiva: Distribuições de Probabilidade Binomial e Normal

Estatística Descritiva Aula 13 Prof Baggio Probabilidade Distribuições Binomial e Normal Apresentamos dois modelos teóricos de distribuição de probabilidade aos quais um experimento aleatório estudado possa ser adaptado o que permitirá a solução de grande número de problemas práticos Variável aleatória Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um número Fica então definida uma função chamada variável aleatória indicada por uma letra maiúscula sendo seus valores indicados por letras minúsculas Probabilidade Assim se o espaço amostral relativo ao lançamento simultâneo de duas moedas é S CaCa CaCo CoCa CoCo e se X representa o número de caras que aparecem a cada ponto amostral podemos associar um número para X de acordo com PONTO AMOSTRAL X CaCa 2 CaCo 1 CoCa 1 CoCo 0 Fonte Dados fictícios Probabilidade Distribuição de probabilidade Consideremos a distribuição de frequência relativa ao número de acidentes diários em um estacionamento NÚMERO DE ACIDENTES FREQUÊNCIAS 0 22 1 5 2 2 3 1 30 Fonte Dados fictícios Probabilidade Em um dia a probabilidade de não ocorrer acidente é ocorrer um acidente é ocorrerem dois acidentes é ocorrerem três acidentes é Podemos então escrever Probabilidade Essa tabela é denominada distribuição de probabilidade NÚMERO DE ACIDENTES PROBABILIDADES 0 073 1 017 2 007 3 003 100 Fonte Dados fictícios Probabilidade Distribuição de probabilidade Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 A cada valor 𝑥𝑖 correspondem pontos do espaço amostral Associamos então a cada valor 𝑥𝑖 a probabilidade 𝑝𝑖 de ocorrência de tais pontos no espaço amostral Assim temos 𝑝𝑖 1 Os valores 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 e seus correspondentes 𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝𝑛 definem uma distribuição de probabilidade Probabilidade Assim temos PONTO AMOSTRAL X PX CaCa 2 ½ x ½ 14 CaCo 1 ½ x ½ 14 CoCa 1 ½ x ½ 14 CoCo 0 ½ x ½ 14 ¼ ¼ 24 Fonte Dados fictícios Probabilidade Logo podemos escrever NÚMERO DE CARAS X PX 2 1 4 1 2 4 0 1 4 1 Fonte Dados fictícios Probabilidade Ao definir a distribuição de probabilidade estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores de variável aleatória X e os valores da variável P Esta correspondência define uma função Os valores 𝑥𝑖𝑖 12 𝑥𝑖 formam o domínio da função e os valores 𝑝𝑖𝑖 12 𝑛 o seu conjunto imagem Essa função assim definida é denominada função probabilidade e representada por 𝑓𝑥 𝑃𝑋 𝑥𝑖 A função 𝑃𝑋 𝑥𝑖 determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X Exemplo Ao lançarmos um dado a variável aleatória X definida por pontos de um dado pode tomar os valores 1236 Como a cada um destes valores está associada uma e uma só probabilidade de realização e σ 𝑝𝑖 1 fica definida uma função de probabilidade da qual resulta a seguinte distribuição de probabilidade X PX 1 16 2 16 3 16 4 16 5 16 6 16 1 Fonte Dados fictícios Distribuição binomial Vamos considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições a O experimento deve ser repetido nas mesmas condições um número finito de vezes n b As provas repetidas devem ser independentes isto é o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas c Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados sucesso e insucesso d No decorrer do experimento a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q q1p do insucesso manterseão constantes Problemas do tipo determinar a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas O experimentoobtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda satisfaz essas condições Sabemos que a probabilidade de realização de um evento sucesso é p a probabilidade de não realização desse mesmo evento insucesso é q1p Suponhamos agora que realizemos a mesma prova n vezes sucessivas e independentes A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas é dada pela função 𝒇𝒙 𝑷 𝑿 𝒌 𝒏 𝒑 𝒑𝒌𝒒𝒏𝒌 𝒇𝒙 𝑷 𝑿 𝒌 𝒏 𝒌 𝒑𝒌𝒒𝒏𝒌 Onde PXk é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas k é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova sucesso q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova insucesso 𝒏 𝒌 é o coeficiente binomial de n sobre k igual a 𝑛 𝑘 𝑛𝑘 Exemplo 1 Jogandose um dado 5 vezes qual a probabilidade de ocorrer o número 5 exatamente 2 vezes Resolução sem fórmula 5 5 X X X X 5 X X 5 𝐶𝑛𝑘 𝑜𝑢 𝑛 𝑘 5 23 543 23 10 1 6 1 6 5 6 5 6 5 6 10 1 62 5 63 10 1 36 125 216 1250 7776 016075 16075 Resolução com fórmula n 5 k 2 p 1 6 e q 5 6 P X k n k pkqnk 𝐏𝟐 𝟓 𝟐 1 6𝟐5 6𝟑 5 23 543 23 1 62 5 63 10 1 36 125 216 1250 7776 016075 16075 Exemplo 2 Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes Calcule a probabilidade de serem obtidas três caras nessas cinco provas n5 e k3 Pela lei binomial 𝑃 𝑋 3 5 3 𝑝3𝑞53 Para cara sucesso p 1 2 e para coroa insucesso q 1 1 2 1 2 logo 𝑃 𝑋 3 5 3 1 2 3 1 2 2 5 32 x 1 8 x 1 4 5x4x3x2x1 3x2x1x2x1 10x 1 8 x 1 4 10 32 5 16 logo 𝑃 𝑋 3 5 16 Exemplo 3 Dois times de futebol A e B jogam entre si seis vezes Encontre a probabilidade de o time A ganhar quatro jogos n 6 k 4 p 13 e q 113 23 Então Logo