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Testes da Derivada Teste da Derivada Primeira Dada uma função y fx se existir x tal que f x 0 então x é um ponto crítico e será candidato a ser um ponto de máximo ou mínimo nesse caso nele haverá a mudança de crescimentodecrescimento da função f x 0 então fx é crescente f x 0 então fx é decrescente Exemplo O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatouse que pode ser aproximado pela função pt t³ 6t2 9t 10 onde t representa o número do mês a partir do mês t 0 que marca o início das análises Esboce o gráfico da função para os cinco primeiros meses a partir do início das análises indicando se existirem pontos de máximo ou mínimo locais e globais para o preço do produto Resolução Primeiro temos que encontrar a derivada como pt t³ 6t2 9t 10 então pt 3t² 12t 9 Encontrada a derivada pt temos que ver se existem pontos críticos ou seja se existe t para o qual pt 0 Fazendo pt 0 obtemos 3t² 12t 9 0 que é uma função do 2º grau Existem métodos mais simples de resolve la mas aqui faremos pela fórmula de Bhaskara que é geral assim na equação 3t² 12t 9 0 temos a 3 b 12 e c 9 que substituíndo na fórmula fica 𝑏2 4𝑎𝑐 122 439 144 108 36 36 𝑡 𝑏 2𝑎 12 36 23 12 6 6 𝑡1 1 𝑒 𝑡2 3 Portanto os pontos críticos são t 1 e t 3 Já sabemos para quais valores a derivada pt 0 agora temos que ver para quais valores de t temos pt 0 e para quais valores pt 0 para isso a sugestão é criar uma tabela a partir dos pontos críticos e o valor 0 em ordem crescente Nessa tabela além dos valores de t colocamos os respectivos valores de pt e antes entre e depois dos valores críticos os sinais da derivada crescente e decrescente pt t³ 6t2 9t 10 e pt 3t² 12t 9 t 0 1 3 5 pt 10 14 10 30 Pt crescente decrescente crescente A partir das informações da tabela construímos o gráfico Analisando o gráfico temos Como t representa meses ele não assume valores negativos assim em t 0 temos o valor inicial de 1000 t 1 é um ponto de máximo local com valor de 1400 Como a função está limitada para 0 t 5 então em t 5 temos um ponto máximo global com valor de 3000 t 3 é um ponto de mínimo local e global com valor de 1000 Como t não assume valores negativos então t 0 também é um ponto de mínimo local e global com valor de 1000 A função é crescente para valores entre 0 e 1 0 t 1 e para valores entre 3 e 5 3 t 5 A função é decrescente para valores entre 1 e 3 1 t 3 Teste da Derivada Segunda Dada uma função y fx se existir x tal que fx 0 então x é um ponto de inflexão nesse caso nele haverá a mudança da taxa de crescimentodecrescimento da função mudará a concavidade da curva fx 0 então fx tem taxa de crescimento crescente concavidade para cima fx 0 então fx tem taxa de crescimento decrescente concavidade para baixo Exemplo Dada a função y 2x³ 12x² 30x 84 construa o gráfico a partir do teste da derivada segunda e faça uma análise dele Resolução Primeiro temos que encontrar as derivadas primeira e segunda y 2x³ 12x² 30x 84 y 6x² 24x 30 e y 12x 24 Com a derivada primeira achamos os pontos críticos fazendo y 0 assim como y 6x² 24x 30 temos 6x² 24x 30 0 para usarmos a fórmula de Bháskara temos a 6 b 24 e c 30 𝑏2 4𝑎𝑐 242 4 6 30 576 720 1296 1296 𝑥 𝑏 2𝑎 24 1296 2 6 24 36 12 𝑥1 1 𝑒 𝑥2 5 Portanto os pontos críticos são x 1 e x 5 Com a derivada segunda achamos o ponto de inflexão fazendo y 0 assim como y 12x 24 temos 12𝑥 24 0 12𝑥 24 𝑥 24 12 2 Portanto x 2 é o ponto de inflexão Para analisar os sinais das derivadas primeira e segunda construímos uma tabela com os pontos críticos de inflexão e o zero para x em ordem crescente os respectivos valores de y os sinais positivo e negativo da derivada primeira e os sinais da derivada segunda lembrando que positivo é crescente e negativo é decrescente y 2x³ 12x² 30x 84 y 6x² 24x 30 e y 12x 24 X 1 0 2 5 Y 100 84 8 116 Y decrescente crescente decrescente Y taxa crescente concavidade p cima taxa decrescente concavidade p baixo Com o uso da tabela podemos traçar o gráfico No gráfico e na tabela podemos observar A função corta o eixo y no ponto 0 84 A função tem um ponto máximo local em x 5 com valor máximo local de 116 A função tem um ponto mínimo local em x 1 com valor mínimo local de 100 A função tem um ponto de inflexão em 2 8 A função é crescente para x entre 1 e 5 ou seja no intervalo 1 x 5 A função é decrescente para x menor que 1 e maior que 5 ou seja nos intervalos x 1 e x 5 A função tem taxa de crescimento crescente para x menor que 2 x 2 concavidade do gráfico para cima A função tem taxa de crescimento decrescente para x maior que 2 x 2 concavidade do gráfico para baixo Exercícios 1 O gráfico traz o valor em reais R da moeda norteamericana no decorrer dos dias t A partir dos valores do dólar observados no gráfico responda a Quais os pontos de máximomínimo local e global se existirem Justifique cada resposta b Quais os intervalos de crescimento do valor do dólar Indique o sinal da derivada primeira nesses intervalos c Quais os intervalos de decrescimento do valor do dólar Indique o sinal da derivada primeira nesses intervalos d Supondo que t 7 t 13 e t 20 são pontos de inflexão determine os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo indicando o sinal da derivada segunda nesses intervalos e Associando os resultados dos itens anteriores estabeleça os intervalos de crescimentodecrescimento com as diferentes taxas de crescimentodecrescimento indicando o sinal das derivadas primeira e segunda para cada intervalo Em cada exercício a seguir é dada uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais Para cada um deles esboce o gráfico utilizando apenas o teste da derivada primeira e indicando pontos de máximo e mínimo local eou global se existirem bem como os valores da função nesses pontos ponto onde a curva cruza o eixo y intervalos de crescimentodecrescimento da função bem como o sinal da derivada primeira nesses intervalos 2 fx x3 9x2 15x 50 3 fx x3 3x2 24x 100 4 fx x2 6x 20 5 fx x4 18x2 100 Em cada exercício a seguir é dada uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais Para cada um deles esboce o gráfico utilizando o teste da derivada segunda e indicando pontos de máximo e mínimo local eou global e inflexão se existirem bem como os valores da função nesses pontos ponto onde a curva cruza o eixo y intervalos de crescimentodecrescimento e as taxas de crescimentodecrescimento da função bem como o sinal da derivada primeira e segunda nesses intervalos 7 fx x3 12x2 36x 10 8 fx x3 15x2 9 fx x2 10x 24 10 10 fx 2x4 8x3 100 Em cada exercício a seguir é dada uma função associada a uma situação prática Para cada um deles realize os itens a Esboce o gráfico utilizando o teste da derivada primeira e indicando os pontos de máximo ou mínimo local eou global se existirem os valores de máximo ou mínimo local eou global se existirem interpretando seus significados práticos os pontos extremos dos intervalos onde as funções são definidas b Verifique quais os intervalos de crescimentodecrescimento da função indicando o sinal da derivada primeira nesses intervalos 11 Lx x3 30x2 300x 400 Lucro L para quantidade x vendida 0 x 20 12 Pt t3 12t2 Produção P de um operário no decorrer das t horas 0 t 12 13 Nt t2 20t 150 Unidades N vendidas no decorrer dos t dias 0 t 30 Em cada exercício a seguir é dada uma função associada a uma situação prática Para cada um deles realize os itens a Esboce o gráfico utilizando o teste da derivada segunda e indicando os pontos de máximo ou mínimo local eou global se existirem os valores de máximo ou mínimo local eou global se existirem interpretando seus significados práticos os pontos extremos dos intervalos onde as funções são definidas b Verifique quais os intervalos de crescimentodecrescimento da função indicando o sinal da derivada primeira nesses intervalos c Encontre se existirem pontos de inflexão e verifique os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo indicando o sinal da derivada segunda nesses intervalos d Associando os resultados dos itens anteriores estabeleça os intervalos de crescimentodecrescimento com as diferentes taxas de crescimentodecrescimento indicando o sinal das derivadas primeira e segunda para cada intervalo 16 qt t3 18t2 60t 300 Demanda q no decorrer dos meses t 0 t 18 17 Rq q3 30q2 Receita R para a quantidade q vendida 0 q 30 18 Lq q2 20q 84 Lucro L para a quantidade q vendida 0 q 15 19 Vt t4 20t3 100t2 50 Vendas V no decorrer dos meses t 0 t 12 RESPOSTAS 1 a máximo local x 4 x 17 maiores valores em suas vizinhanças máximo global x 17 fornece o maior valor que a função assume mínimo local x 9 x 23 menores valores em suas vizinhanças mínimo global x 0 fornece o menor valor que a função assume b 0 t 4 9 t 17 e 23 t 28 Nesses intervalos v 0 c 4 t 9 e 17 t 23 Nesses intervalos v 0 d Concavidade para cima 7 t 13 e 20 t 28 com v 0 Concavidade para baixo 0 t 7 e 13 t 20 com v 0 e Crescente a taxa crescente v 0 e v 0 9 t 13 e 23 t 28 Crescente a taxa decrescente v 0 e v 0 0 t 4 e 13 t 17 Decrescente a taxa crescente v 0 e v 0 7 t 9 e 20 t 23 Decrescente a taxa decrescente v 0 e v 0 4 t 7 e 17 t 20 3 Mínimo local em x 2 máximo local em x 4 crescente para 2 x 4 com f x 0 decrescente para x 2 ou x 4 com f x 0 5 Mínimo local e global em x 3 e x 3 máximo local em x 0 Crescente para 3 x 0 ou x 3 com f x 0 decrescente para x 3 ou 0 x 3 com f x 0 7 Máximo local em x 2 mínimo local em x 6 inflexão em x 4 crescente a taxa decrescente para x 2 f 0 e f 0 decrescente a taxa decrescente para 2 x 4 f 0 e f 0 decrescente a taxa crescente para 4 x 6 f 0 e f 0 crescente a taxa crescente para x 6 f 0 e f 0 9 Máximo local e global em x 5 crescente a taxa decrescente para x 5 f 0 e f 0 decrescente a taxa decrescente para x 5 f 0 e f 0 11 Mínimo global em x 0 onde o lucro é mínimo máximo global em x 20 onde o lucro é máximo lucro mínimo de 400 lucro máximo de 1600 b Crescimento para 0 x 10 ou 10 x 20 L 0 13 Mínimo local e global em x 10 onde é mínimo o número de unidades vendidas número mínimo de unidades vendidas e 50 máximo global em x 30 onde é máximo o número de unidades vendidas número máximo de unidades vendidas é 450 b Decrescimento para 0 t 10 N 0 crescimento para 10 t 30 N 0 17 Mínimo global em q 0 e q 30 onde a receita é mínima máximo local e global em q 20 onde a receita é máxima receita mínima de 0 receita máxima de 4000 b Crescimento para 0 q 20 R 0 decrescimento para 20 q 30 R 0 c Inflexão em q 10 concavidade para cima em 0 q 10 R 0 concavidade para baixo em 10 q 30 R 0 d Crescente a taxa crescente para 0 q 10 R 0 e R 0 crescente a taxa decrescente para 10 q 20 R 0 e R 0 decrescente a taxa decrescente para 20 q 30 R 0 e R 0 19 Mínimo global em t 0 e t 10 mínimo local em t 10 onde a venda é mínima máximo local e global em t 5 onde a venda é máxima venda mínima de 50 venda máxima de 675 b Crescimento para 0 t 5 ou t 10 V 0 decrescimento para 5 t 10 V 0 c Inflexão em t 211 e t 789 concavidade para cima em 0 t 2 l l ou 789 t 12 V 0 concavidade para baixo em 211 t 789 V 0 d Crescente a taxa crescente para 0 t 211 ou 10 t 12 V 0 e V 0 crescente a taxa decrescente para 211 t 5 V 0 e V 0 decrescente a taxa decrescente para 5 t 789 V 0 e V 0 decrescente a taxa crescente para 789 t 10 V 0 e V 0
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Testes da Derivada Teste da Derivada Primeira Dada uma função y fx se existir x tal que f x 0 então x é um ponto crítico e será candidato a ser um ponto de máximo ou mínimo nesse caso nele haverá a mudança de crescimentodecrescimento da função f x 0 então fx é crescente f x 0 então fx é decrescente Exemplo O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatouse que pode ser aproximado pela função pt t³ 6t2 9t 10 onde t representa o número do mês a partir do mês t 0 que marca o início das análises Esboce o gráfico da função para os cinco primeiros meses a partir do início das análises indicando se existirem pontos de máximo ou mínimo locais e globais para o preço do produto Resolução Primeiro temos que encontrar a derivada como pt t³ 6t2 9t 10 então pt 3t² 12t 9 Encontrada a derivada pt temos que ver se existem pontos críticos ou seja se existe t para o qual pt 0 Fazendo pt 0 obtemos 3t² 12t 9 0 que é uma função do 2º grau Existem métodos mais simples de resolve la mas aqui faremos pela fórmula de Bhaskara que é geral assim na equação 3t² 12t 9 0 temos a 3 b 12 e c 9 que substituíndo na fórmula fica 𝑏2 4𝑎𝑐 122 439 144 108 36 36 𝑡 𝑏 2𝑎 12 36 23 12 6 6 𝑡1 1 𝑒 𝑡2 3 Portanto os pontos críticos são t 1 e t 3 Já sabemos para quais valores a derivada pt 0 agora temos que ver para quais valores de t temos pt 0 e para quais valores pt 0 para isso a sugestão é criar uma tabela a partir dos pontos críticos e o valor 0 em ordem crescente Nessa tabela além dos valores de t colocamos os respectivos valores de pt e antes entre e depois dos valores críticos os sinais da derivada crescente e decrescente pt t³ 6t2 9t 10 e pt 3t² 12t 9 t 0 1 3 5 pt 10 14 10 30 Pt crescente decrescente crescente A partir das informações da tabela construímos o gráfico Analisando o gráfico temos Como t representa meses ele não assume valores negativos assim em t 0 temos o valor inicial de 1000 t 1 é um ponto de máximo local com valor de 1400 Como a função está limitada para 0 t 5 então em t 5 temos um ponto máximo global com valor de 3000 t 3 é um ponto de mínimo local e global com valor de 1000 Como t não assume valores negativos então t 0 também é um ponto de mínimo local e global com valor de 1000 A função é crescente para valores entre 0 e 1 0 t 1 e para valores entre 3 e 5 3 t 5 A função é decrescente para valores entre 1 e 3 1 t 3 Teste da Derivada Segunda Dada uma função y fx se existir x tal que fx 0 então x é um ponto de inflexão nesse caso nele haverá a mudança da taxa de crescimentodecrescimento da função mudará a concavidade da curva fx 0 então fx tem taxa de crescimento crescente concavidade para cima fx 0 então fx tem taxa de crescimento decrescente concavidade para baixo Exemplo Dada a função y 2x³ 12x² 30x 84 construa o gráfico a partir do teste da derivada segunda e faça uma análise dele Resolução Primeiro temos que encontrar as derivadas primeira e segunda y 2x³ 12x² 30x 84 y 6x² 24x 30 e y 12x 24 Com a derivada primeira achamos os pontos críticos fazendo y 0 assim como y 6x² 24x 30 temos 6x² 24x 30 0 para usarmos a fórmula de Bháskara temos a 6 b 24 e c 30 𝑏2 4𝑎𝑐 242 4 6 30 576 720 1296 1296 𝑥 𝑏 2𝑎 24 1296 2 6 24 36 12 𝑥1 1 𝑒 𝑥2 5 Portanto os pontos críticos são x 1 e x 5 Com a derivada segunda achamos o ponto de inflexão fazendo y 0 assim como y 12x 24 temos 12𝑥 24 0 12𝑥 24 𝑥 24 12 2 Portanto x 2 é o ponto de inflexão Para analisar os sinais das derivadas primeira e segunda construímos uma tabela com os pontos críticos de inflexão e o zero para x em ordem crescente os respectivos valores de y os sinais positivo e negativo da derivada primeira e os sinais da derivada segunda lembrando que positivo é crescente e negativo é decrescente y 2x³ 12x² 30x 84 y 6x² 24x 30 e y 12x 24 X 1 0 2 5 Y 100 84 8 116 Y decrescente crescente decrescente Y taxa crescente concavidade p cima taxa decrescente concavidade p baixo Com o uso da tabela podemos traçar o gráfico No gráfico e na tabela podemos observar A função corta o eixo y no ponto 0 84 A função tem um ponto máximo local em x 5 com valor máximo local de 116 A função tem um ponto mínimo local em x 1 com valor mínimo local de 100 A função tem um ponto de inflexão em 2 8 A função é crescente para x entre 1 e 5 ou seja no intervalo 1 x 5 A função é decrescente para x menor que 1 e maior que 5 ou seja nos intervalos x 1 e x 5 A função tem taxa de crescimento crescente para x menor que 2 x 2 concavidade do gráfico para cima A função tem taxa de crescimento decrescente para x maior que 2 x 2 concavidade do gráfico para baixo Exercícios 1 O gráfico traz o valor em reais R da moeda norteamericana no decorrer dos dias t A partir dos valores do dólar observados no gráfico responda a Quais os pontos de máximomínimo local e global se existirem Justifique cada resposta b Quais os intervalos de crescimento do valor do dólar Indique o sinal da derivada primeira nesses intervalos c Quais os intervalos de decrescimento do valor do dólar Indique o sinal da derivada primeira nesses intervalos d Supondo que t 7 t 13 e t 20 são pontos de inflexão determine os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo indicando o sinal da derivada segunda nesses intervalos e Associando os resultados dos itens anteriores estabeleça os intervalos de crescimentodecrescimento com as diferentes taxas de crescimentodecrescimento indicando o sinal das derivadas primeira e segunda para cada intervalo Em cada exercício a seguir é dada uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais Para cada um deles esboce o gráfico utilizando apenas o teste da derivada primeira e indicando pontos de máximo e mínimo local eou global se existirem bem como os valores da função nesses pontos ponto onde a curva cruza o eixo y intervalos de crescimentodecrescimento da função bem como o sinal da derivada primeira nesses intervalos 2 fx x3 9x2 15x 50 3 fx x3 3x2 24x 100 4 fx x2 6x 20 5 fx x4 18x2 100 Em cada exercício a seguir é dada uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais Para cada um deles esboce o gráfico utilizando o teste da derivada segunda e indicando pontos de máximo e mínimo local eou global e inflexão se existirem bem como os valores da função nesses pontos ponto onde a curva cruza o eixo y intervalos de crescimentodecrescimento e as taxas de crescimentodecrescimento da função bem como o sinal da derivada primeira e segunda nesses intervalos 7 fx x3 12x2 36x 10 8 fx x3 15x2 9 fx x2 10x 24 10 10 fx 2x4 8x3 100 Em cada exercício a seguir é dada uma função associada a uma situação prática Para cada um deles realize os itens a Esboce o gráfico utilizando o teste da derivada primeira e indicando os pontos de máximo ou mínimo local eou global se existirem os valores de máximo ou mínimo local eou global se existirem interpretando seus significados práticos os pontos extremos dos intervalos onde as funções são definidas b Verifique quais os intervalos de crescimentodecrescimento da função indicando o sinal da derivada primeira nesses intervalos 11 Lx x3 30x2 300x 400 Lucro L para quantidade x vendida 0 x 20 12 Pt t3 12t2 Produção P de um operário no decorrer das t horas 0 t 12 13 Nt t2 20t 150 Unidades N vendidas no decorrer dos t dias 0 t 30 Em cada exercício a seguir é dada uma função associada a uma situação prática Para cada um deles realize os itens a Esboce o gráfico utilizando o teste da derivada segunda e indicando os pontos de máximo ou mínimo local eou global se existirem os valores de máximo ou mínimo local eou global se existirem interpretando seus significados práticos os pontos extremos dos intervalos onde as funções são definidas b Verifique quais os intervalos de crescimentodecrescimento da função indicando o sinal da derivada primeira nesses intervalos c Encontre se existirem pontos de inflexão e verifique os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo indicando o sinal da derivada segunda nesses intervalos d Associando os resultados dos itens anteriores estabeleça os intervalos de crescimentodecrescimento com as diferentes taxas de crescimentodecrescimento indicando o sinal das derivadas primeira e segunda para cada intervalo 16 qt t3 18t2 60t 300 Demanda q no decorrer dos meses t 0 t 18 17 Rq q3 30q2 Receita R para a quantidade q vendida 0 q 30 18 Lq q2 20q 84 Lucro L para a quantidade q vendida 0 q 15 19 Vt t4 20t3 100t2 50 Vendas V no decorrer dos meses t 0 t 12 RESPOSTAS 1 a máximo local x 4 x 17 maiores valores em suas vizinhanças máximo global x 17 fornece o maior valor que a função assume mínimo local x 9 x 23 menores valores em suas vizinhanças mínimo global x 0 fornece o menor valor que a função assume b 0 t 4 9 t 17 e 23 t 28 Nesses intervalos v 0 c 4 t 9 e 17 t 23 Nesses intervalos v 0 d Concavidade para cima 7 t 13 e 20 t 28 com v 0 Concavidade para baixo 0 t 7 e 13 t 20 com v 0 e Crescente a taxa crescente v 0 e v 0 9 t 13 e 23 t 28 Crescente a taxa decrescente v 0 e v 0 0 t 4 e 13 t 17 Decrescente a taxa crescente v 0 e v 0 7 t 9 e 20 t 23 Decrescente a taxa decrescente v 0 e v 0 4 t 7 e 17 t 20 3 Mínimo local em x 2 máximo local em x 4 crescente para 2 x 4 com f x 0 decrescente para x 2 ou x 4 com f x 0 5 Mínimo local e global em x 3 e x 3 máximo local em x 0 Crescente para 3 x 0 ou x 3 com f x 0 decrescente para x 3 ou 0 x 3 com f x 0 7 Máximo local em x 2 mínimo local em x 6 inflexão em x 4 crescente a taxa decrescente para x 2 f 0 e f 0 decrescente a taxa decrescente para 2 x 4 f 0 e f 0 decrescente a taxa crescente para 4 x 6 f 0 e f 0 crescente a taxa crescente para x 6 f 0 e f 0 9 Máximo local e global em x 5 crescente a taxa decrescente para x 5 f 0 e f 0 decrescente a taxa decrescente para x 5 f 0 e f 0 11 Mínimo global em x 0 onde o lucro é mínimo máximo global em x 20 onde o lucro é máximo lucro mínimo de 400 lucro máximo de 1600 b Crescimento para 0 x 10 ou 10 x 20 L 0 13 Mínimo local e global em x 10 onde é mínimo o número de unidades vendidas número mínimo de unidades vendidas e 50 máximo global em x 30 onde é máximo o número de unidades vendidas número máximo de unidades vendidas é 450 b Decrescimento para 0 t 10 N 0 crescimento para 10 t 30 N 0 17 Mínimo global em q 0 e q 30 onde a receita é mínima máximo local e global em q 20 onde a receita é máxima receita mínima de 0 receita máxima de 4000 b Crescimento para 0 q 20 R 0 decrescimento para 20 q 30 R 0 c Inflexão em q 10 concavidade para cima em 0 q 10 R 0 concavidade para baixo em 10 q 30 R 0 d Crescente a taxa crescente para 0 q 10 R 0 e R 0 crescente a taxa decrescente para 10 q 20 R 0 e R 0 decrescente a taxa decrescente para 20 q 30 R 0 e R 0 19 Mínimo global em t 0 e t 10 mínimo local em t 10 onde a venda é mínima máximo local e global em t 5 onde a venda é máxima venda mínima de 50 venda máxima de 675 b Crescimento para 0 t 5 ou t 10 V 0 decrescimento para 5 t 10 V 0 c Inflexão em t 211 e t 789 concavidade para cima em 0 t 2 l l ou 789 t 12 V 0 concavidade para baixo em 211 t 789 V 0 d Crescente a taxa crescente para 0 t 211 ou 10 t 12 V 0 e V 0 crescente a taxa decrescente para 211 t 5 V 0 e V 0 decrescente a taxa decrescente para 5 t 789 V 0 e V 0 decrescente a taxa crescente para 789 t 10 V 0 e V 0