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Vigas Prof Rogério Bem Vindos Resistencia dos Materiais Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensões na flexão de barras Ocorrem em barras devido à ação de cargas transversais ao eixo longitudinal que geram momentos fletores e forças cortantes As tensões que ocorrem na flexão de barras podem ser Tensão normal devido à flexão São as tensões normais que atuam na seção transversal das barras em função da ação do momento fletor Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensões na flexão de barras Tensão de cisalhamento devido à flexão São as tensões de cisalhamento τ que ocorrem nas seções transversais das barras devido à variação do momento fletor ao longo do eixo longitudinal da barra Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensões na flexão de barras As barras podem estar sujeitas à flexão pura ou à flexão não uniforme Flexão pura Causada em barras sujeitas a momento fletor constante Na flexão pura não há força cortante na barra Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensões na flexão de barras Flexão não uniforme Causada em barras na presença de força cortante É o caso quando o momento fletor varia ao longo da barra Na flexão não uniforme existe a força cortante Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão Normal na Flexão de Barras No dimensionamento da barra ela será parametrizada adotandose como eixo longitudinal X e em sua seção transversal o eixo horizontal Z e o vertical Y As tensões normais σx que ocorrem na seção transversal de barras sujeitas à ação do momento fletor devido ao carregamento vertical MZ variam linearmente ao longo da seção transversal X Y Z Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão Normal na Flexão de Barras A expressão indica a expressão da tensão normal devido à ação do momento fletor em qualquer fibra y da seção transversal σx 𝑀𝑧𝑦 𝐽𝑧 Em que MZ momento fletor na seção JZ momento de inércia da seção y distância da linha neutra até a fibra considerada Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão Normal na Flexão de Barras Para momento fletor positivo representado pela regra da mão direita a tensão normal máxima de tração ocorre na fibra inferior da barra e a tensão normal máxima de compressão ocorre na fibra superior Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão Normal na Flexão de Barras Para o momento fletor negativo representado pela regra da mão direita a tensão normal máxima de compressão ocorre na fibra inferior da barra e a tensão normal máxima de tração ocorre na fibra superior Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão de Cisalhamento na Flexão Não Uniforme de Barras As tensões de cisalhamento τX em barras sujeitas à variação do momento fletor variam ao longo da seção transversal das barras A expressão determina a tensão de cisalhamento em uma seção transversal devido à flexão em qualquer fibra y0 da seção transversal Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão de Cisalhamento na Flexão Não Uniforme de Barras O valor máximo para barras com seção retangular ocorre na posição da linha neutra quando y0 0 τ 𝑉𝑄𝑧 𝐽𝑧𝑏 A tensão de cisalhamento não leva em conta o sinal da força cortante portanto sempre será positiva Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula da tensão de cisalhamento τ 𝑉𝑄 𝐽𝑏 Onde τ Tensão de cisalhamento V Força de cisalhamento Q Momento estático J Momento polar de inercia b largura da alma da viga Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Momento estático em relação ao eixo x Q Ayo dA bdy Q 0 ℎ 𝑦 𝑑𝐴 Q 0 ℎ 𝑦 𝑏𝑑𝑦 dy Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Momento estático em relação ao eixo x Q 0 ℎ 𝑦 𝑏𝑑𝑦 Integrando a formula Q 𝑦2𝑏 2 dy Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Integrando a formula Q 𝑦2𝑏 2 substituindo y por h Q 𝒉𝟐𝒃 𝟐 dy 0 h Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Para descobrir o yo linha neutra em relação a x yo 𝑄 𝐴 yo 𝑏ℎ² 2 𝑏ℎ dy Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Para descobrir o yo linha neutra em relação a x yo 𝑏ℎ² 2 𝑏ℎ realizando a divisão yo 𝑏ℎ² 2 1 𝑏ℎ ℎ 2 Portanto yo 𝒉 𝟐 dy Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exemplo 1 Calcule a máxima tensão normal σx e a máxima tensão de cisalhamento τx para uma viga com a carga uniformemente distribuída A seção transversal da viga é retangular com base b 10 cm e altura h 60 cm Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exemplo 2 Calcular tensões de tração e compressão para a viga abaixo mm 12 12 196 8 200 Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 1 Calcule as tensões normais nos pontos Z e K de uma prancha de madeira tipo peroba e verifique se esse material pode ser aceito A tensão admissível da peroba à tração eou compressão é superior a 100 kgfcm2 Resposta Logo a prancha de madeira não poderá ser utilizada pois 3909 100 Kgfcm² Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 2 A viga simplesmente apoiada na figura ao lado tem a área da seção transversal também mostrada na figura determine a tensão de flexão máxima absoluta da viga Resposta σ 126 MPa Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 3 Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno M 2KNm Determine a tensão máxima no elemento se momento for aplicado A Em torno do eixo Z B Em torno do eixo Y Resposta σz 1389 Mpa σz 2778 Mpa Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 4 Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno Determine a tensão flexão normal máxima e tensão de cisalhamento no elemento Resposta σz 1700 Mpa Tensão de cisa 19125 Pa 20 KNm 4 m 2 m 5 KN Dados da seção Base 30 mm Altura 100 mm Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 5 Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno Determine a tensão flexão normal máxima no elemento Resposta σz 786 Mpa 210 200
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Vigas Prof Rogério Bem Vindos Resistencia dos Materiais Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensões na flexão de barras Ocorrem em barras devido à ação de cargas transversais ao eixo longitudinal que geram momentos fletores e forças cortantes As tensões que ocorrem na flexão de barras podem ser Tensão normal devido à flexão São as tensões normais que atuam na seção transversal das barras em função da ação do momento fletor Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensões na flexão de barras Tensão de cisalhamento devido à flexão São as tensões de cisalhamento τ que ocorrem nas seções transversais das barras devido à variação do momento fletor ao longo do eixo longitudinal da barra Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensões na flexão de barras As barras podem estar sujeitas à flexão pura ou à flexão não uniforme Flexão pura Causada em barras sujeitas a momento fletor constante Na flexão pura não há força cortante na barra Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensões na flexão de barras Flexão não uniforme Causada em barras na presença de força cortante É o caso quando o momento fletor varia ao longo da barra Na flexão não uniforme existe a força cortante Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão Normal na Flexão de Barras No dimensionamento da barra ela será parametrizada adotandose como eixo longitudinal X e em sua seção transversal o eixo horizontal Z e o vertical Y As tensões normais σx que ocorrem na seção transversal de barras sujeitas à ação do momento fletor devido ao carregamento vertical MZ variam linearmente ao longo da seção transversal X Y Z Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão Normal na Flexão de Barras A expressão indica a expressão da tensão normal devido à ação do momento fletor em qualquer fibra y da seção transversal σx 𝑀𝑧𝑦 𝐽𝑧 Em que MZ momento fletor na seção JZ momento de inércia da seção y distância da linha neutra até a fibra considerada Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão Normal na Flexão de Barras Para momento fletor positivo representado pela regra da mão direita a tensão normal máxima de tração ocorre na fibra inferior da barra e a tensão normal máxima de compressão ocorre na fibra superior Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão Normal na Flexão de Barras Para o momento fletor negativo representado pela regra da mão direita a tensão normal máxima de compressão ocorre na fibra inferior da barra e a tensão normal máxima de tração ocorre na fibra superior Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão de Cisalhamento na Flexão Não Uniforme de Barras As tensões de cisalhamento τX em barras sujeitas à variação do momento fletor variam ao longo da seção transversal das barras A expressão determina a tensão de cisalhamento em uma seção transversal devido à flexão em qualquer fibra y0 da seção transversal Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Tensão de Cisalhamento na Flexão Não Uniforme de Barras O valor máximo para barras com seção retangular ocorre na posição da linha neutra quando y0 0 τ 𝑉𝑄𝑧 𝐽𝑧𝑏 A tensão de cisalhamento não leva em conta o sinal da força cortante portanto sempre será positiva Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula da tensão de cisalhamento τ 𝑉𝑄 𝐽𝑏 Onde τ Tensão de cisalhamento V Força de cisalhamento Q Momento estático J Momento polar de inercia b largura da alma da viga Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Momento estático em relação ao eixo x Q Ayo dA bdy Q 0 ℎ 𝑦 𝑑𝐴 Q 0 ℎ 𝑦 𝑏𝑑𝑦 dy Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Momento estático em relação ao eixo x Q 0 ℎ 𝑦 𝑏𝑑𝑦 Integrando a formula Q 𝑦2𝑏 2 dy Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Integrando a formula Q 𝑦2𝑏 2 substituindo y por h Q 𝒉𝟐𝒃 𝟐 dy 0 h Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Para descobrir o yo linha neutra em relação a x yo 𝑄 𝐴 yo 𝑏ℎ² 2 𝑏ℎ dy Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Formula do momento estático de uma seção retangular Para descobrir o yo linha neutra em relação a x yo 𝑏ℎ² 2 𝑏ℎ realizando a divisão yo 𝑏ℎ² 2 1 𝑏ℎ ℎ 2 Portanto yo 𝒉 𝟐 dy Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exemplo 1 Calcule a máxima tensão normal σx e a máxima tensão de cisalhamento τx para uma viga com a carga uniformemente distribuída A seção transversal da viga é retangular com base b 10 cm e altura h 60 cm Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exemplo 2 Calcular tensões de tração e compressão para a viga abaixo mm 12 12 196 8 200 Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 1 Calcule as tensões normais nos pontos Z e K de uma prancha de madeira tipo peroba e verifique se esse material pode ser aceito A tensão admissível da peroba à tração eou compressão é superior a 100 kgfcm2 Resposta Logo a prancha de madeira não poderá ser utilizada pois 3909 100 Kgfcm² Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 2 A viga simplesmente apoiada na figura ao lado tem a área da seção transversal também mostrada na figura determine a tensão de flexão máxima absoluta da viga Resposta σ 126 MPa Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 3 Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno M 2KNm Determine a tensão máxima no elemento se momento for aplicado A Em torno do eixo Z B Em torno do eixo Y Resposta σz 1389 Mpa σz 2778 Mpa Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 4 Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno Determine a tensão flexão normal máxima e tensão de cisalhamento no elemento Resposta σz 1700 Mpa Tensão de cisa 19125 Pa 20 KNm 4 m 2 m 5 KN Dados da seção Base 30 mm Altura 100 mm Conforme a LEI Nº 9610 DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 é proibido fazer download compartilhamento ou reprodução deste material Vigas Exercício 5 Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno Determine a tensão flexão normal máxima no elemento Resposta σz 786 Mpa 210 200