Exercícios Resolvidos - Vibrações Mecânicas - Molas e Frequência Natural

01 A figura abaixo mostra uma barra uniforme rígida de massa m pivotada no ponto O e conectada por molas com rigidez K1 e K2 Considerando um deslocamento angular θ extremamente pequeno da barra ao redor do ponto O determine a constante de mola equivalente com o momento restaurador rigidez torcional 06 pontos Dicas F k x T F d T kt θ 02 Podemos considerar queum automóvel esteja montado sobre quatro molas idênticas no que concerne às suas oscilações verticais As molas de um certo carro estão ajustadas de forma que as vibrações tenham uma frequência de 30Hz a Qual a constante de elasticidade de cada mola se a massa do carro é de 1450kg e o peso está homogeneamente distribuído entre elas 02 pontos b Qual será a frequência de vibração se cinco passageiros com média de 73kg cada um estiverem no carro Novamente considere uma distribuição homogênea de peso 02 pontos Uma massa M é montada na extremidade de uma barra rígida e uniforme de massa m conforme mostra a figura Assumindo k1k2k derivar a equação diferencial do movimento do sistema em função da coordenada angular q que descreve o movimento do sistema em torno da dobradiça O Determinar também a frequência natural do sistema Dado Jbarra ml23 01 O diagrama de corpo livre da barra é Momento sobre o ponto pivô O 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇 𝑚𝑔 𝑙 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑘1 𝑙 4 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑙 4 𝑘2𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃𝑙 𝑚𝑔 𝑙 2 𝑘1 𝑙2 16 𝑘2𝑙2𝑠𝑒𝑛𝜃 Como 𝜃 é muito pequeno então 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑇 𝑚𝑔 𝑙 2 𝑘1 𝑙2 16 𝑘2𝑙2 𝜃 1 Seja kt a constante elástica torcional equivalente do sistema Então 𝑇 𝑘𝑡𝜃 2 Das equações 1 e 2 𝑘𝑡 𝜃 𝑚𝑔 𝑙 2 𝑘1 𝑙2 16 𝑘2𝑙2 𝜃 𝒌𝒕 𝒎𝒈 𝒍 𝟐 𝒌𝟏 𝒍𝟐 𝟏𝟔 𝒌𝟐𝒍𝟐 02 a A constante elástica está relacionada com a frequência angular ω e com a massa m por 𝜔 𝑘 𝑚 𝑘 𝜔2𝑚 Considerando que cada mola suporte um quarto da massa do carro mcar temos 𝑘 1 4 𝑚𝑐𝑎𝑟𝜔2 Lembrando que ω 2πf 𝑘 1 4 𝑚𝑐𝑎𝑟 2πf2 𝑘 1 4 1450 𝑘𝑔 2π 3 Hz2 𝑘 129 105 𝑘𝑔 𝐻𝑧2 Lembrando que Hz S1 N kg ms2 Temos 𝒌 𝟏 𝟐𝟗 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝒎 b A massa total do sistema é igual a soma da massa do carro mcar e a massa dos passageiros mp 5173 kg ou seja 𝑚𝑡 𝑚𝑐𝑎𝑟 𝑚𝑝 𝑚𝑡 1450 𝑘𝑔 5 73 𝑘𝑔 𝑚𝑡 1815 𝑘𝑔 No item a verificamos que a constante elástica de cada mola é igual a 129 x 105 Nm Consideramos que a massa total seja uniformemente distribuída ou seja cada mola suporta um quarto da massa total A frequência angular será 𝜔 𝑘 𝑚𝑡 4 𝜔 129 105 𝑁 𝑚 1815 𝑘𝑔 4 𝜔 1686 𝑟𝑎𝑑 𝑠 A frequência angular e a frequência estão relacionadas por 𝑓 2𝜋𝑓 𝑓 𝜔 2𝜋 𝑓 1686 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2𝜋 𝒇 𝟐 𝟔𝟖 𝑯𝒛 03 Seja x1 e x2 a deflexão das molas k1 e k2 que formam triângulos semelhantes 𝑥 𝑙 𝑥1 𝑎 𝑥1 𝑎𝜃 e 𝑥 𝑙 𝑥2 𝑏 𝑥2 𝑏𝜃 A abordagem de energia afirma que Energia total energia cinética energia potencial constante 𝐸𝑝 1 2 𝑘𝑥1 2 1 2 𝑘𝑥2 2 𝑘 2 𝑥1 2 𝑥2 2 𝐸𝑝 𝑘 2 𝑎2 𝑏2𝜃2 𝐸𝑐 1 2 𝑀𝑥 2 1 2 𝐼𝜃 2 Onde I é o momento de inércia da haste em relação a O 𝐼𝑂 𝑚𝑙2 12 𝑚 𝑙 2 2 𝑚𝑙2 12 𝑚𝑙2 4 𝐼 𝑚𝑙2 3 𝐸𝑐 1 2 𝑀𝑙²𝜃 2 1 2 𝑚𝑙² 3 𝜃 2 𝐸𝑡 𝑀𝐿2 2 𝜃 2 𝑚𝑙2 6 𝜃 2 𝑘 2 𝑎2 𝑏2𝜃2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑀𝐿2 2 2 𝜃 𝑚𝑙2 6 2 𝜃 𝑘 2 𝑎2 𝑏2 2 𝜃 0 𝑀𝑙2𝜃 𝑚𝑙3 3 𝜃 𝑘𝑎2 𝑏2𝜃 0 𝑀 𝑚 3 𝑙²𝜃 𝑘𝑎2 𝑏2𝜃 0 𝟑𝑴 𝒎𝒍² 𝟑 𝜽 𝒌𝒂𝟐 𝒃𝟐𝜽 𝟎 Esta acima é a equação do movimento 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝐾𝑒𝑛 𝑀𝑒𝑞 𝑘𝑎2 𝑏2 3𝑀 𝑚𝑙² 3 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝟑𝒌𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟑𝑴 𝒎𝒍²