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Transformações homogêneas e cinemática de robôs Prof Carlos Eduardo Miralles Introdução Abordagem por geometria se torna bastante incômoda quando se deve analisar um manipulador com muitas juntas Um vetor de posição V ai bj ck pode ser representado no espaço tridimensional pela matriz de coluna X Onde a XW b YW c ZW e W é um fator de escalonamento Y Exemplo vetor v 25i 10j 20k Z W 25 50 125 10 ou 20 ou 50 20 40 100 1 2 05 OBS Se o W 0 então o vetor representa apenas a direção Translação e rotação do vetor Um vetor pode ser transladado ou girado no espaço por meio de uma transformação A transformação é realizada por matriz H de 4 x 4 Ex v é transformado em u u Hv Translação de um vetor no espaço numa distância a na direção X b na direção Y e c na direção Z é dada por 1 0 0 a H Transa b c 0 1 0 b 0 0 1 c 0 0 0 1 Translação vetor Ex Para o vetor y 25i 10j 20k realizar uma translação numa distância de 8 na direção X 5 na direção Y e 0 na direção em Z a transformação seria 1 0 0 8 1 0 0 8 25 H Transa b c 0 1 0 5 Hv 0 1 0 5 10 0 0 1 0 0 0 1 0 20 0 0 0 1 0 0 0 1 1 251 100 200 18 33 Hv 250 101 200 15 15 250 100 201 10 20 250 100 200 11 1 Rotações do vetor Rotações de um vetor em cada um dos três eixos num ângulo Ө podem ser realizadas por transformações de rotações Ao redor do eixo X a transformação de rotação é 1 0 0 0 Rot X Ө 0 cosӨ senӨ 0 0 senӨ cos Ө 0 0 0 0 1 Rotações do vetor Ao redor do eixo Y a transformação de rotação é cosѲ 0 senѲ 0 Rot Y Ѳ 0 1 0 0 senѲ 0 cosѲ 0 0 0 0 1 Ao redor do eixo Z a transformação de rotação é cosѲ senѲ 0 0 Rot Z Ѳ senѲ cosѲ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Exemplo Dado um ponto P 10 0 0 desejase rotacionar o mesmo em 90 em torno do eixo Z Determinar a nova coordenada do ponto z Y X 90 P 10 0 0 P 0 10 0 cos90 sen90 0 0 10 0 1 0 0 10 Rot Z Ѳ sen90 cos90 0 0 x 0 1 0 0 0 x 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Portanto X 010 10 00 01 0 Y 110 00 00 01 10 P0 10 0 Z 010 00 10 01 0 1 010 00 00 11 1 Denavit e Hartenberg A sistemática de Denavit e Hartenberg é composta de quatro transformações correlacionando o sistema de coordenadas Oi com o Oi 1 Essas transformações são dadas sistema a sistema de coordenadas São elas Uma translação ao longo de Zi 1 de uma distância di Uma rotação em torno de Zi 1 de um ângulo Ѳi Uma translação ao longo de Xi de uma distancia ai Uma rotação em torno de Xi de um ângulo αi Denavit e Hartenberg Portanto Ai1 TZi 1 di Rot Zi 1 Ѳi T Xi ai Rot Xi αi 1 0 0 0 cosѲi senѲi 0 0 1 0 0 ai 1 0 0 0 0 1 0 0 senѲi cosѲi 0 0 0 1 0 0 0 cosαi senαi 0 0 0 1 di x 0 0 1 0 x 0 0 1 0 x 0 senαi cosαi 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cosѲi senѲi 0 0 1 0 0 ai senѲi cosѲi 0 0 x 0 cosαi senαi 0 0 0 1 di 0 senαi cosαi 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz Denavit e Hartenberg cosѲi senѲicosαi senѲisenαi cosѲiai Ai 1 senѲi cosѲicosαi cosѲisenαi senѲiai 0 senαi cosαi di 0 0 0 1 Tabela de parâmetros Denavit e Hartenberg Cada junta é descrita por quatro parâmetros Restrições Eixo Xi intersecciona com Zi 1 O eixo Xi é perpendicular ao eixo Zi 1 Ex Robô 1GL Tabela X0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 J1 J1 Ѳ1 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 α Exemplo 2 Robô 1 GL Tabela X0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 J1 J1 Ѳ1 α T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 90 Exemplo 3 Robô 1GL Tabela X0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 J1 J1 Ѳ1 a L2 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 L2 0 Exemplo 4 Robô 1 GL X0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 J1 J1 Ѳ1 a L2 α T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 L2 90 Exemplo 5 Robô 2 GL L2 X0 d L1 O0 O2 Z1 X1 Y1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 L3 Ѳ2 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 L2 0 2 0 Ѳ2 L3 0 O1 Exemplo 6 Robô 2 GL X0 d L1 O0 O2 Z1 X1 Y1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 L3 Ѳ2 O1 α α T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 L2 180 2 0 Ѳ2 L3 180 Exemplo 7 Robô 2 GL X0 L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 α Ѳ2 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 90 2 0 Ѳ2 L2 0 Exemplo 8 Robô 2 GL T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 90 2 L2 Ѳ2 L3 0 Y1 X0 L1 O0 O1 Z1 X1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 α Ѳ2 O2 L3 Exemplo 9 Robô 2 GL X0 L1 O0 O1 Z1 X1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 α Ѳ2 O2 L3 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 90 2 L2 Ѳ2 L3 0 Y1 Ѳ2
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Transformações homogêneas e cinemática de robôs Prof Carlos Eduardo Miralles Introdução Abordagem por geometria se torna bastante incômoda quando se deve analisar um manipulador com muitas juntas Um vetor de posição V ai bj ck pode ser representado no espaço tridimensional pela matriz de coluna X Onde a XW b YW c ZW e W é um fator de escalonamento Y Exemplo vetor v 25i 10j 20k Z W 25 50 125 10 ou 20 ou 50 20 40 100 1 2 05 OBS Se o W 0 então o vetor representa apenas a direção Translação e rotação do vetor Um vetor pode ser transladado ou girado no espaço por meio de uma transformação A transformação é realizada por matriz H de 4 x 4 Ex v é transformado em u u Hv Translação de um vetor no espaço numa distância a na direção X b na direção Y e c na direção Z é dada por 1 0 0 a H Transa b c 0 1 0 b 0 0 1 c 0 0 0 1 Translação vetor Ex Para o vetor y 25i 10j 20k realizar uma translação numa distância de 8 na direção X 5 na direção Y e 0 na direção em Z a transformação seria 1 0 0 8 1 0 0 8 25 H Transa b c 0 1 0 5 Hv 0 1 0 5 10 0 0 1 0 0 0 1 0 20 0 0 0 1 0 0 0 1 1 251 100 200 18 33 Hv 250 101 200 15 15 250 100 201 10 20 250 100 200 11 1 Rotações do vetor Rotações de um vetor em cada um dos três eixos num ângulo Ө podem ser realizadas por transformações de rotações Ao redor do eixo X a transformação de rotação é 1 0 0 0 Rot X Ө 0 cosӨ senӨ 0 0 senӨ cos Ө 0 0 0 0 1 Rotações do vetor Ao redor do eixo Y a transformação de rotação é cosѲ 0 senѲ 0 Rot Y Ѳ 0 1 0 0 senѲ 0 cosѲ 0 0 0 0 1 Ao redor do eixo Z a transformação de rotação é cosѲ senѲ 0 0 Rot Z Ѳ senѲ cosѲ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Exemplo Dado um ponto P 10 0 0 desejase rotacionar o mesmo em 90 em torno do eixo Z Determinar a nova coordenada do ponto z Y X 90 P 10 0 0 P 0 10 0 cos90 sen90 0 0 10 0 1 0 0 10 Rot Z Ѳ sen90 cos90 0 0 x 0 1 0 0 0 x 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Portanto X 010 10 00 01 0 Y 110 00 00 01 10 P0 10 0 Z 010 00 10 01 0 1 010 00 00 11 1 Denavit e Hartenberg A sistemática de Denavit e Hartenberg é composta de quatro transformações correlacionando o sistema de coordenadas Oi com o Oi 1 Essas transformações são dadas sistema a sistema de coordenadas São elas Uma translação ao longo de Zi 1 de uma distância di Uma rotação em torno de Zi 1 de um ângulo Ѳi Uma translação ao longo de Xi de uma distancia ai Uma rotação em torno de Xi de um ângulo αi Denavit e Hartenberg Portanto Ai1 TZi 1 di Rot Zi 1 Ѳi T Xi ai Rot Xi αi 1 0 0 0 cosѲi senѲi 0 0 1 0 0 ai 1 0 0 0 0 1 0 0 senѲi cosѲi 0 0 0 1 0 0 0 cosαi senαi 0 0 0 1 di x 0 0 1 0 x 0 0 1 0 x 0 senαi cosαi 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cosѲi senѲi 0 0 1 0 0 ai senѲi cosѲi 0 0 x 0 cosαi senαi 0 0 0 1 di 0 senαi cosαi 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz Denavit e Hartenberg cosѲi senѲicosαi senѲisenαi cosѲiai Ai 1 senѲi cosѲicosαi cosѲisenαi senѲiai 0 senαi cosαi di 0 0 0 1 Tabela de parâmetros Denavit e Hartenberg Cada junta é descrita por quatro parâmetros Restrições Eixo Xi intersecciona com Zi 1 O eixo Xi é perpendicular ao eixo Zi 1 Ex Robô 1GL Tabela X0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 J1 J1 Ѳ1 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 α Exemplo 2 Robô 1 GL Tabela X0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 J1 J1 Ѳ1 α T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 90 Exemplo 3 Robô 1GL Tabela X0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 J1 J1 Ѳ1 a L2 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 L2 0 Exemplo 4 Robô 1 GL X0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 d L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 J1 J1 Ѳ1 a L2 α T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 L2 90 Exemplo 5 Robô 2 GL L2 X0 d L1 O0 O2 Z1 X1 Y1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 L3 Ѳ2 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 L2 0 2 0 Ѳ2 L3 0 O1 Exemplo 6 Robô 2 GL X0 d L1 O0 O2 Z1 X1 Y1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 L3 Ѳ2 O1 α α T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 L2 180 2 0 Ѳ2 L3 180 Exemplo 7 Robô 2 GL X0 L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 α Ѳ2 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 90 2 0 Ѳ2 L2 0 Exemplo 8 Robô 2 GL T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 90 2 L2 Ѳ2 L3 0 Y1 X0 L1 O0 O1 Z1 X1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 α Ѳ2 O2 L3 Exemplo 9 Robô 2 GL X0 L1 O0 O1 Z1 X1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J2 Ѳ1 L2 α Ѳ2 O2 L3 T d Ѳ a α 1 L1 Ѳ1 0 90 2 L2 Ѳ2 L3 0 Y1 Ѳ2