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Engenharia Civil ·
Hiperestática
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NOME DATA TURMA NOTA 30 Pontos Questão 1 Para as estruturas hiperestáticas abaixo a Calcular o grau de hiperestaticidade da estrutura b Realizar os Casos 0 e 1 obter as equações de momento e os deslocamentos c Calcular o X e as reações nos apoios d Desenhar os diagramas de esforço cortante e de momento fletor e Indicar o esforço cortante máximo e os momentos máximos EQUAÇÕES 𝜹𝟏𝟎 𝑴 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝟏𝟏 𝑴 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝑿 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 30m NOME DATA TURMA Para as estruturas abaixo a Demonstre que essas vigas são isostáticas represente as vigas Sem Estabilidade Própria SEP e as Com Estabilidade Própria CEP b Calcule as reações nos apoios c Desenhe os diagramas dos Esforços Solicitantes Internos DEC DEN e DMF d Indicar os esforços máximos e a posição em cada viga 1 2 3 Obtenha o carregamento original da viga biapoiada a partir do seu diagrama de esforço cortante 1 a Para determinar se viga é isostática precisamos determinar o grau de estaticidade da estrutura 𝐺 𝑖 𝑒 Onde i é o número de incógnitas e e é o número de equações 𝐺 3 3 𝐺 0 Como G é igual a 0 podemos afirmar que a estrutura é isostática Agora vamos representar a estrutura SEP Agora vamos representar a estrutura CEP b Primeiro vamos aplicar o somatório dos momentos na rótula a direita 𝑀0 0 55 45𝑉𝐶 0 45𝑉𝐶 55 𝑉𝐶 1222 𝑘𝑁 Aplicando o somatório dos momentos no apoio em A 𝑀𝐴 0 23 6 30 85𝑉𝐵 95 5 55 15 1222 0 23 180 85𝑉𝐵 475 55 18333 0 85𝑉𝐵 7617 0 85𝑉𝐵 7617 𝑉𝐵 896 𝑘𝑁 Aplicando agora o somatório das forças em y 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 30 896 5 1222 0 𝑉𝐴 1382 0 𝑉𝐴 1382 𝑘𝑁 c Vamos determinar a equação e os valores dos esforços em cada trecho da viga 0x3 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 0 𝑉 1382 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 0 𝑀𝑥 1382𝑥 𝑀3 1382 3 4145 𝑘𝑁 𝑚 3x6 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 0 𝑉 1382 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 0 𝑀𝑥 1382𝑥 23 𝑀3 1382 3 23 1845 𝑘𝑁 𝑚 𝑀6 1382 6 23 599 𝑘𝑁 𝑚 6x85 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 30 0 𝑉 1618 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 6 0 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 180 0 𝑀 1618𝑥 157 0 𝑀𝑥 1618𝑥 157 𝑀85 1618 85 157 1944 𝑘𝑁 𝑚 85x95 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 30 896 0 𝑉 722 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 6 896𝑥 85 0 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 180 896𝑥 7616 0 𝑀 722𝑥 8084 0 𝑀𝑥 722𝑥 8084 𝑀95 722 95 8084 1222 𝑘𝑁 𝑚 95x13 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 30 896 5 0 𝑉 1222 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 6 896𝑥 85 5𝑥 95 0 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 180 896𝑥 7616 5𝑥 475 0 𝑀 1222𝑥 12834 0 𝑀𝑥 1222𝑥 12834 𝑀105 1222 105 12834 0 𝑀13 1222 13 12834 3056 𝑘𝑁 𝑚 13x15 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 30 896 5 0 𝑉 1222 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 6 896𝑥 85 5𝑥 95 55 0 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 180 896𝑥 7616 5𝑥 475 55 0 𝑀 1222𝑥 18334 0 𝑀𝑥 1222𝑥 18334 𝑀13 1222 13 18334 2444 𝑘𝑁 𝑚 Como não temos forças na horizontal não teremos diagrama de esforço normal para esta viga o diagrama de esforço cortante será O diagrama de momento fletor d O esforço cortante máximo e o ponto onde ocorre na viga são 𝑉𝑚á𝑥 1618 𝑘𝑁 𝑥 6 𝑚 O momento fletor máximo e o ponto onde ocorre na viga são 𝑀𝑚á𝑥 599 𝑘𝑁 𝑚 𝑥 6 𝑚 2 a Primeiro vamos mostrar que a viga é isostática 𝐺 5 5 𝐺 0 Agora vamos representar as vigas CEP A viga SEP b Vamos inicialmente aplicar o somatório dos momentos na 3ª rótula a direita 𝑀0 0 25 20 5𝑉𝐸 0 50 5𝑉𝐸 𝑉𝐸 10 𝑘𝑁 Aplicando o somatório dos momentos na 1ª rótula a esquerda 𝑀0 0 3𝑉𝐵 4 50 6 65 8𝑉𝐴 0 3𝑉𝐵 200 390 8𝑉𝐴 0 8𝑉𝐴 3𝑉𝐵 590 Aplicando o somatório dos momentos na 2ª rótula a esquerda 𝑀0 0 4 8 2 7𝑉𝐵 8 50 10 65 12𝑉𝐴 0 64 7𝑉𝐵 400 650 12𝑉𝐴 0 12𝑉𝐴 7𝑉𝐵 1114 Temos as seguintes equações 8𝑉𝐴 3𝑉𝐵 590 12𝑉𝐴 7𝑉𝐵 1114 Multiplicando a primeira equação por 128 12𝑉𝐴 45𝑉𝐵 885 Somando as 2 equações 25𝑉𝐵 229 𝑉𝐵 916 𝑘𝑁 Calculando a reação vertical em A 12𝑉𝐴 45 916 885 12𝑉𝐴 4122 885 12𝑉𝐴 4728 𝑉𝐴 394 𝑘𝑁 Aplicando o somatório dos momentos no apoio em C 𝑀𝐶 0 4 8 4 9 916 10 50 12 65 14 394 5 5 25 75𝑉𝐷 13 20 155 10 0 128 8244 500 780 5516 625 75𝑉𝐷 260 155 0 75𝑉𝐷 1355 0 75𝑉𝐷 1355 𝑉𝐷 1807 𝑘𝑁 Aplicando o somatório das forças em y 𝐹𝑦 0 394 65 50 916 32 𝑉𝐶 25 1807 20 10 0 𝑉𝐶 3293 0 𝑉𝐶 3293 𝑘𝑁 c Vamos determinar a equação e os valores dos esforços em cada trecho da viga 0x2 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 0 𝑉 394 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 0 𝑀𝑥 394𝑥 𝑀2 394 2 788 𝑘𝑁 𝑚 2x4 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 0 𝑉 256 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 0 𝑀 256𝑥 130 0 𝑀𝑥 256𝑥 130 𝑀4 256 4 130 276 𝑘𝑁 𝑚 4x5 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 0 𝑉 756 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 0 𝑀 756𝑥 330 0 𝑀𝑥 756𝑥 330 𝑀5 756 5 330 48 𝑘𝑁 𝑚 5x8 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 0 𝑉 16 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 0 𝑀 16𝑥 128 0 𝑀𝑥 16𝑥 128 𝑀8 16 8 128 0 8x12 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 8𝑥 8 0 𝑉 16 8𝑥 64 0 𝑉𝑥 8𝑥 80 𝑉12 8 12 80 16 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 8𝑥 8𝑥 8 2 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 4𝑥2 64𝑥 256 0 𝑀 4𝑥2 80𝑥 384 0 𝑀𝑥 4𝑥2 80𝑥 384 𝑀12 4 122 80 12 384 0 12x14 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 0 𝑉 16 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 0 𝑀 16𝑥 192 0 𝑀𝑥 16𝑥 192 𝑀14 16 14 192 32 𝑘𝑁 𝑚 14x19 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 3293 5𝑥 14 0 𝑉 16 3293 5𝑥 70 0 𝑉𝑥 5𝑥 8693 𝑉19 5 19 8693 807 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 3293𝑥 14 5𝑥 14𝑥 14 2 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 3293𝑥 46107 25𝑥2 70𝑥 490 0 𝑀 25𝑥2 8693𝑥 75907 0 𝑀𝑥 25𝑥2 8693𝑥 75907 𝑀19 25 192 8693 19 75907 983 𝑘𝑁 𝑚 19x215 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 3293 25 0 𝑉 807 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 3293𝑥 14 25𝑥 165 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 3293𝑥 46107 25𝑥 4125 0 𝑀 807𝑥 14343 0 𝑀𝑥 807𝑥 14343 𝑀215 807 215 14343 30 𝑘𝑁 𝑚 215x27 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 3293 25 1807 0 𝑉 10 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 3293𝑥 14 25𝑥 165 1807𝑥 215 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 3293𝑥 46107 25𝑥 4125 1807𝑥 38843 0 𝑀 10𝑥 245 0 𝑀𝑥 10𝑥 245 𝑀27 10 27 245 25 𝑘𝑁 𝑚 27x295 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 3293 25 1807 0 𝑉 10 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 3293𝑥 14 25𝑥 165 1807𝑥 215 20𝑥 27 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 3293𝑥 46107 25𝑥 4125 1807𝑥 38843 20𝑥 540 0 𝑀 10𝑥 295 0 𝑀𝑥 10𝑥 295 Como não temos forças na horizontal não teremos diagrama de esforço normal para esta viga o diagrama de esforço cortante será O diagrama de momento fletor d O esforço cortante máximo e seu ponto de aplicação serão 𝑉𝑚á𝑥 756 𝑘𝑁 𝑥 4 𝑚 O momento fletor máximo e seu ponto de aplicação serão 𝑀𝑚á𝑥 788 𝑘𝑁 𝑚 𝑥 2 𝑚 3 a Primeiro vamos mostrar que a viga é isostática 𝐺 5 5 𝐺 0 Agora vamos representar as vigas CEP A viga SEP b Primeiro vamos aplicar o somatório dos momentos na 2ª rótula a direita 𝑀0 0 6 8 3 6𝑉𝐶 0 144 6𝑉𝐶 𝑉𝐶 24 𝑘𝑁 Aplicando agora o somatório dos momentos na 1ª rótula a direita 𝑀0 0 4 20 85𝑉𝐵 8 85 1275 17 24 0 80 85𝑉𝐵 867 408 0 85𝑉𝐵 539 0 85𝑉𝐵 539 𝑉𝐵 6341 𝑘𝑁 Aplicando o somatório dos momentos no engaste em A 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 35 10 𝑆𝑒𝑛61 11 20 155 6341 8 85 1975 24 24 0 𝑀𝐴 3061 220 98288 1343 576 0 𝑀𝐴 3474 𝑘𝑁 𝑚 Aplicando o somatório das forças na direção y 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 10𝑆𝑒𝑛61 20 6341 68 24 0 𝑉𝐴 934 0 𝑉𝐴 934 𝑘𝑁 Aplicando o somatório das forças na direção x 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 10𝐶𝑜𝑠61 0 𝐻𝐴 10𝐶𝑜𝑠61 𝐻𝐴 485 𝑘𝑁 c Vamos determinar as equações dos esforços internos em cada trecho da viga 0x35 Esforço normal 𝑁 485 0 𝑁 485 𝑘𝑁 Esforço cortante 𝑉 934 0 𝑉 934 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 934𝑥 3474 0 𝑀𝑥 934𝑥 3474 𝑀0 934 0 3474 3474 𝑘𝑁 𝑚 𝑀35 934 35 3474 206 𝑘𝑁 𝑚 35x11 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 934 10𝑆𝑒𝑛61 0 𝑉 059 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 934𝑥 3474 10𝑆𝑒𝑛61𝑥 35 0 𝑀 934𝑥 3474 875𝑥 3061 0 𝑀 059𝑥 413 0 𝑀𝑥 059𝑥 413 𝑀11 059 11 413 235 𝑘𝑁 𝑚 11x155 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 934 10𝑆𝑒𝑛61 20 0 𝑉 1941 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 934𝑥 3474 10𝑆𝑒𝑛61𝑥 35 20𝑥 11 0 𝑀 934𝑥 3474 875𝑥 3061 20𝑥 220 0 𝑀 1941𝑥 21587 0 𝑀𝑥 1941𝑥 21587 𝑀155 1941 155 21587 85 𝑘𝑁 𝑚 155x24 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 934 10𝑆𝑒𝑛61 20 6341 8𝑥 155 0 𝑉 44 8𝑥 124 𝑉𝑥 8𝑥 168 𝑉155 8 155 168 44 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 934𝑥 3474 10𝑆𝑒𝑛61𝑥 35 20𝑥 11 6341𝑥 155 8𝑥 155𝑥 155 2 0 𝑀 934𝑥 3474 875𝑥 3061 20𝑥 220 6341𝑥 98286 4𝑥2 124𝑥 961 0 𝑀 4𝑥2 168𝑥 1728 0 𝑀𝑥 4𝑥2 168𝑥 1728 O momento máximo nesse intervalo será aplicado no seguinte ponto 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 0 8𝑥 168 0 8𝑥 168 𝑥 21 𝑚 Aplicando o ponto encontrado na equação de momento fletor do respectivo trecho 𝑀21 4 212 168 21 1728 36 𝑘𝑁 𝑚 Portanto temos o seguinte diagrama de esforço normal O diagrama de esforço cortante O diagrama de momento fletor d O esforço normal máximo e seu ponto de aplicação são 𝑁𝑚á𝑥 485 𝑘𝑁 𝑥 0 O esforço cortante máximo e seu ponto de aplicação são 𝑉𝑚á𝑥 44 𝑘𝑁 𝑥 155 𝑚 O momento fletor máximo e seu ponto de aplicação são 𝑀𝑚á𝑥 85 𝑘𝑁 𝑚 𝑥 155 𝑚 4 a viga que representa o diagrama de esforço cortante será a seguinte Temos o seguinte diagrama de esforço cortante para a viga acima Com isso conseguimos provar que a viga está correta Questão 1 a Para determinar o grau de hiperestaticidade temos o seguinte 𝐺 𝑖 𝑒 𝐺 4 3 𝐺 1 b Primeiro vamos retirar o apoio de primeiro gênero da viga para transformala em isostática Em seguida calculamos as reações de apoio 𝐹𝑥 0 𝐻𝐵 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐵 7 𝑘𝑁 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 7 12 15 0 𝑀𝐵 66 𝑘𝑁 𝑚 Agora vamos escrever a equação para o momento fletor para o carregamento real 𝑀 7𝑥 07 15 0 𝑀 7𝑥 49 15 0 𝑀 7𝑥 199 Agora vamos substituir o apoio que foi retirado por uma carga virtual unitária e calcular as novas reações de apoio 𝐹𝑥 0 𝐻𝐵 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐵 1 𝑘𝑁 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 19 0 𝑀𝐵 19 𝑘𝑁 𝑚 A equação para o momento fletor para a carga virtual será 𝑀 𝑥 0 𝑀 𝑥 Aplicando o caso 0 𝛿10 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛿10 1 𝐸𝐼 7𝑥 199 19 0 𝑥𝑑𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 7𝑥2 199𝑥𝑑𝑥 19 0 𝛿10 1 𝐸𝐼 7 3 𝑥3 995𝑥2 𝛿10 1 𝐸𝐼 7 3 193 995 192 𝛿10 1 𝐸𝐼 16 3592 𝛿10 1592 𝐸𝐼 Aplicando o caso 1 𝛿11 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥𝑥𝑑𝑥 19 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥2𝑑𝑥 19 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥3 3 𝛿11 1 𝐸𝐼 193 3 𝛿11 229 𝐸𝐼 c Calculando o X 𝑋 𝛿10 𝛿11 𝑋 1592 𝐸𝐼 229 𝐸𝐼 𝑋 836 𝑘𝑁 Agora que temos a reação do apoio de primeiro gênero conseguimos determinar as outras reações 𝐹𝑥 0 𝐻𝐵 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐵 7 836 0 𝑉𝐵 1536 𝑘𝑁 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 7 12 15 19 836 0 𝑀𝐵 928 𝑘𝑁 𝑚 d Agora que temos as reações podemos determinar as equações dos esforços internos para esboçar os diagramas 0x14 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 836 5𝑥 0 𝑉𝑥 5𝑥 836 𝑉0 5 0 836 836 𝑘𝑁 𝑉14 5 14 836 1536 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 15 836𝑥 5𝑥2 2 0 𝑀𝑥 25𝑥2 836𝑥 15 𝑀0 25 02 836 0 15 15 𝑘𝑁 𝑚 𝑀14 25 142 836 14 15 1605 𝑘𝑁 𝑚 14x19 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 836 7 0 𝑉 1536 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 15 836𝑥 7𝑥 07 0 𝑀 15 836𝑥 7𝑥 49 0 𝑀𝑥 1536𝑥 199 Portanto o diagrama de esforço cortante O diagrama de momento fletor e O esforço cortante máximo 𝑉𝑚á𝑥 1536 𝑘𝑁 O momento fletor máximo 𝑀𝑚á𝑥 15 𝑘𝑁 𝑚 2 a Calculando o grau de hiperestaticidade 𝐺 4 3 𝐺 1 b Primeiro vamos retirar o apoio de primeiro gênero e calcular as reações de apoio 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 60 𝑘𝑁 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 3 20 15 0 𝑀𝐴 90 𝑘𝑁 𝑚 Vamos escrever a equação para o momento fletor 𝑀 60𝑥 90 10𝑥2 0 𝑀 10𝑥2 60𝑥 90 Agora vamos substituir o apoio retirado por uma carga virtual unitária e calcular as novas reações de apoio 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 1 𝑘𝑁 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 3 1 0 𝑀𝐴 3 𝑘𝑁 𝑚 O momento fletor devido a carga virtual aplicada será 𝑀 𝑥 3 0 𝑀 𝑥 3 Vamos aplicar o caso 0 𝛿10 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛿10 1 𝐸𝐼 10𝑥2 60𝑥 90 3 0 𝑥 3𝑑𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 10𝑥3 30𝑥2 60𝑥2 180𝑥 90𝑥 270 3 0 𝑑𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 10𝑥3 90𝑥2 270𝑥 270 3 0 𝑑𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 25𝑥4 30𝑥3 135𝑥2 270𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 25 34 30 33 135 32 270 3 𝛿10 1 𝐸𝐼 2025 810 1215 810 𝛿10 2025 𝐸𝐼 Agora vamos aplicar o caso 1 𝛿11 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥 3𝑥 3𝑑𝑥 3 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥2 6𝑥 9𝑑𝑥 3 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥3 3 3𝑥2 9𝑥 𝛿11 1 𝐸𝐼 33 3 3 32 9 3 𝛿11 1 𝐸𝐼 9 27 27 𝛿11 9 𝐸𝐼 c Vamos calcular o X 𝑋 2025 𝐸𝐼 9 𝐸𝐼 𝑋 225 𝑘𝑁 Agora que temos a reação no apoio de primeiro gênero conseguimos calcular as outras reações 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 60 225 0 𝑉𝐴 375 𝑘𝑁 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 60 15 3 225 0 𝑀𝐴 90 675 0 𝑀𝐴 225 𝑘𝑁 𝑚 d Vamos determinar as equações dos esforços internos Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 375 20𝑥 0 𝑉𝑥 20𝑥 375 𝑉0 20 0 375 375 𝑘𝑁 𝑉3 20 3 375 225 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 225 375𝑥 10𝑥2 0 𝑀𝑥 10𝑥2 375𝑥 225 O momento será máximo em 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 0 20𝑥 375 0 𝑥 375 20 1875 𝑚 Calculando o momento máximo nesse trecho 𝑀1875 10 18752 375 1875 225 12656 𝑘𝑁 𝑚 Portanto o diagrama de esforço cortante O diagrama de momento fletor e O esforço cortante máximo será 𝑉𝑚á𝑥 375 𝑘𝑁 𝑚 O momento fletor máximo 𝑀𝑚á𝑥 225 𝑘𝑁 𝑚 OFFICIAL NOTICES
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NOME DATA TURMA NOTA 30 Pontos Questão 1 Para as estruturas hiperestáticas abaixo a Calcular o grau de hiperestaticidade da estrutura b Realizar os Casos 0 e 1 obter as equações de momento e os deslocamentos c Calcular o X e as reações nos apoios d Desenhar os diagramas de esforço cortante e de momento fletor e Indicar o esforço cortante máximo e os momentos máximos EQUAÇÕES 𝜹𝟏𝟎 𝑴 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝟏𝟏 𝑴 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝑿 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 30m NOME DATA TURMA Para as estruturas abaixo a Demonstre que essas vigas são isostáticas represente as vigas Sem Estabilidade Própria SEP e as Com Estabilidade Própria CEP b Calcule as reações nos apoios c Desenhe os diagramas dos Esforços Solicitantes Internos DEC DEN e DMF d Indicar os esforços máximos e a posição em cada viga 1 2 3 Obtenha o carregamento original da viga biapoiada a partir do seu diagrama de esforço cortante 1 a Para determinar se viga é isostática precisamos determinar o grau de estaticidade da estrutura 𝐺 𝑖 𝑒 Onde i é o número de incógnitas e e é o número de equações 𝐺 3 3 𝐺 0 Como G é igual a 0 podemos afirmar que a estrutura é isostática Agora vamos representar a estrutura SEP Agora vamos representar a estrutura CEP b Primeiro vamos aplicar o somatório dos momentos na rótula a direita 𝑀0 0 55 45𝑉𝐶 0 45𝑉𝐶 55 𝑉𝐶 1222 𝑘𝑁 Aplicando o somatório dos momentos no apoio em A 𝑀𝐴 0 23 6 30 85𝑉𝐵 95 5 55 15 1222 0 23 180 85𝑉𝐵 475 55 18333 0 85𝑉𝐵 7617 0 85𝑉𝐵 7617 𝑉𝐵 896 𝑘𝑁 Aplicando agora o somatório das forças em y 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 30 896 5 1222 0 𝑉𝐴 1382 0 𝑉𝐴 1382 𝑘𝑁 c Vamos determinar a equação e os valores dos esforços em cada trecho da viga 0x3 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 0 𝑉 1382 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 0 𝑀𝑥 1382𝑥 𝑀3 1382 3 4145 𝑘𝑁 𝑚 3x6 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 0 𝑉 1382 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 0 𝑀𝑥 1382𝑥 23 𝑀3 1382 3 23 1845 𝑘𝑁 𝑚 𝑀6 1382 6 23 599 𝑘𝑁 𝑚 6x85 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 30 0 𝑉 1618 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 6 0 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 180 0 𝑀 1618𝑥 157 0 𝑀𝑥 1618𝑥 157 𝑀85 1618 85 157 1944 𝑘𝑁 𝑚 85x95 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 30 896 0 𝑉 722 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 6 896𝑥 85 0 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 180 896𝑥 7616 0 𝑀 722𝑥 8084 0 𝑀𝑥 722𝑥 8084 𝑀95 722 95 8084 1222 𝑘𝑁 𝑚 95x13 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 30 896 5 0 𝑉 1222 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 6 896𝑥 85 5𝑥 95 0 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 180 896𝑥 7616 5𝑥 475 0 𝑀 1222𝑥 12834 0 𝑀𝑥 1222𝑥 12834 𝑀105 1222 105 12834 0 𝑀13 1222 13 12834 3056 𝑘𝑁 𝑚 13x15 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 1382 30 896 5 0 𝑉 1222 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 6 896𝑥 85 5𝑥 95 55 0 𝑀 1382𝑥 23 30𝑥 180 896𝑥 7616 5𝑥 475 55 0 𝑀 1222𝑥 18334 0 𝑀𝑥 1222𝑥 18334 𝑀13 1222 13 18334 2444 𝑘𝑁 𝑚 Como não temos forças na horizontal não teremos diagrama de esforço normal para esta viga o diagrama de esforço cortante será O diagrama de momento fletor d O esforço cortante máximo e o ponto onde ocorre na viga são 𝑉𝑚á𝑥 1618 𝑘𝑁 𝑥 6 𝑚 O momento fletor máximo e o ponto onde ocorre na viga são 𝑀𝑚á𝑥 599 𝑘𝑁 𝑚 𝑥 6 𝑚 2 a Primeiro vamos mostrar que a viga é isostática 𝐺 5 5 𝐺 0 Agora vamos representar as vigas CEP A viga SEP b Vamos inicialmente aplicar o somatório dos momentos na 3ª rótula a direita 𝑀0 0 25 20 5𝑉𝐸 0 50 5𝑉𝐸 𝑉𝐸 10 𝑘𝑁 Aplicando o somatório dos momentos na 1ª rótula a esquerda 𝑀0 0 3𝑉𝐵 4 50 6 65 8𝑉𝐴 0 3𝑉𝐵 200 390 8𝑉𝐴 0 8𝑉𝐴 3𝑉𝐵 590 Aplicando o somatório dos momentos na 2ª rótula a esquerda 𝑀0 0 4 8 2 7𝑉𝐵 8 50 10 65 12𝑉𝐴 0 64 7𝑉𝐵 400 650 12𝑉𝐴 0 12𝑉𝐴 7𝑉𝐵 1114 Temos as seguintes equações 8𝑉𝐴 3𝑉𝐵 590 12𝑉𝐴 7𝑉𝐵 1114 Multiplicando a primeira equação por 128 12𝑉𝐴 45𝑉𝐵 885 Somando as 2 equações 25𝑉𝐵 229 𝑉𝐵 916 𝑘𝑁 Calculando a reação vertical em A 12𝑉𝐴 45 916 885 12𝑉𝐴 4122 885 12𝑉𝐴 4728 𝑉𝐴 394 𝑘𝑁 Aplicando o somatório dos momentos no apoio em C 𝑀𝐶 0 4 8 4 9 916 10 50 12 65 14 394 5 5 25 75𝑉𝐷 13 20 155 10 0 128 8244 500 780 5516 625 75𝑉𝐷 260 155 0 75𝑉𝐷 1355 0 75𝑉𝐷 1355 𝑉𝐷 1807 𝑘𝑁 Aplicando o somatório das forças em y 𝐹𝑦 0 394 65 50 916 32 𝑉𝐶 25 1807 20 10 0 𝑉𝐶 3293 0 𝑉𝐶 3293 𝑘𝑁 c Vamos determinar a equação e os valores dos esforços em cada trecho da viga 0x2 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 0 𝑉 394 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 0 𝑀𝑥 394𝑥 𝑀2 394 2 788 𝑘𝑁 𝑚 2x4 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 0 𝑉 256 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 0 𝑀 256𝑥 130 0 𝑀𝑥 256𝑥 130 𝑀4 256 4 130 276 𝑘𝑁 𝑚 4x5 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 0 𝑉 756 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 0 𝑀 756𝑥 330 0 𝑀𝑥 756𝑥 330 𝑀5 756 5 330 48 𝑘𝑁 𝑚 5x8 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 0 𝑉 16 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 0 𝑀 16𝑥 128 0 𝑀𝑥 16𝑥 128 𝑀8 16 8 128 0 8x12 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 8𝑥 8 0 𝑉 16 8𝑥 64 0 𝑉𝑥 8𝑥 80 𝑉12 8 12 80 16 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 8𝑥 8𝑥 8 2 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 4𝑥2 64𝑥 256 0 𝑀 4𝑥2 80𝑥 384 0 𝑀𝑥 4𝑥2 80𝑥 384 𝑀12 4 122 80 12 384 0 12x14 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 0 𝑉 16 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 0 𝑀 16𝑥 192 0 𝑀𝑥 16𝑥 192 𝑀14 16 14 192 32 𝑘𝑁 𝑚 14x19 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 3293 5𝑥 14 0 𝑉 16 3293 5𝑥 70 0 𝑉𝑥 5𝑥 8693 𝑉19 5 19 8693 807 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 3293𝑥 14 5𝑥 14𝑥 14 2 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 3293𝑥 46107 25𝑥2 70𝑥 490 0 𝑀 25𝑥2 8693𝑥 75907 0 𝑀𝑥 25𝑥2 8693𝑥 75907 𝑀19 25 192 8693 19 75907 983 𝑘𝑁 𝑚 19x215 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 3293 25 0 𝑉 807 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 3293𝑥 14 25𝑥 165 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 3293𝑥 46107 25𝑥 4125 0 𝑀 807𝑥 14343 0 𝑀𝑥 807𝑥 14343 𝑀215 807 215 14343 30 𝑘𝑁 𝑚 215x27 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 3293 25 1807 0 𝑉 10 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 3293𝑥 14 25𝑥 165 1807𝑥 215 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 3293𝑥 46107 25𝑥 4125 1807𝑥 38843 0 𝑀 10𝑥 245 0 𝑀𝑥 10𝑥 245 𝑀27 10 27 245 25 𝑘𝑁 𝑚 27x295 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 394 65 50 916 32 3293 25 1807 0 𝑉 10 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 394𝑥 65𝑥 2 50𝑥 4 916𝑥 5 32𝑥 10 3293𝑥 14 25𝑥 165 1807𝑥 215 20𝑥 27 0 𝑀 394𝑥 65𝑥 130 50𝑥 200 916𝑥 458 32𝑥 320 3293𝑥 46107 25𝑥 4125 1807𝑥 38843 20𝑥 540 0 𝑀 10𝑥 295 0 𝑀𝑥 10𝑥 295 Como não temos forças na horizontal não teremos diagrama de esforço normal para esta viga o diagrama de esforço cortante será O diagrama de momento fletor d O esforço cortante máximo e seu ponto de aplicação serão 𝑉𝑚á𝑥 756 𝑘𝑁 𝑥 4 𝑚 O momento fletor máximo e seu ponto de aplicação serão 𝑀𝑚á𝑥 788 𝑘𝑁 𝑚 𝑥 2 𝑚 3 a Primeiro vamos mostrar que a viga é isostática 𝐺 5 5 𝐺 0 Agora vamos representar as vigas CEP A viga SEP b Primeiro vamos aplicar o somatório dos momentos na 2ª rótula a direita 𝑀0 0 6 8 3 6𝑉𝐶 0 144 6𝑉𝐶 𝑉𝐶 24 𝑘𝑁 Aplicando agora o somatório dos momentos na 1ª rótula a direita 𝑀0 0 4 20 85𝑉𝐵 8 85 1275 17 24 0 80 85𝑉𝐵 867 408 0 85𝑉𝐵 539 0 85𝑉𝐵 539 𝑉𝐵 6341 𝑘𝑁 Aplicando o somatório dos momentos no engaste em A 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 35 10 𝑆𝑒𝑛61 11 20 155 6341 8 85 1975 24 24 0 𝑀𝐴 3061 220 98288 1343 576 0 𝑀𝐴 3474 𝑘𝑁 𝑚 Aplicando o somatório das forças na direção y 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 10𝑆𝑒𝑛61 20 6341 68 24 0 𝑉𝐴 934 0 𝑉𝐴 934 𝑘𝑁 Aplicando o somatório das forças na direção x 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 10𝐶𝑜𝑠61 0 𝐻𝐴 10𝐶𝑜𝑠61 𝐻𝐴 485 𝑘𝑁 c Vamos determinar as equações dos esforços internos em cada trecho da viga 0x35 Esforço normal 𝑁 485 0 𝑁 485 𝑘𝑁 Esforço cortante 𝑉 934 0 𝑉 934 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 934𝑥 3474 0 𝑀𝑥 934𝑥 3474 𝑀0 934 0 3474 3474 𝑘𝑁 𝑚 𝑀35 934 35 3474 206 𝑘𝑁 𝑚 35x11 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 934 10𝑆𝑒𝑛61 0 𝑉 059 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 934𝑥 3474 10𝑆𝑒𝑛61𝑥 35 0 𝑀 934𝑥 3474 875𝑥 3061 0 𝑀 059𝑥 413 0 𝑀𝑥 059𝑥 413 𝑀11 059 11 413 235 𝑘𝑁 𝑚 11x155 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 934 10𝑆𝑒𝑛61 20 0 𝑉 1941 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 934𝑥 3474 10𝑆𝑒𝑛61𝑥 35 20𝑥 11 0 𝑀 934𝑥 3474 875𝑥 3061 20𝑥 220 0 𝑀 1941𝑥 21587 0 𝑀𝑥 1941𝑥 21587 𝑀155 1941 155 21587 85 𝑘𝑁 𝑚 155x24 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 934 10𝑆𝑒𝑛61 20 6341 8𝑥 155 0 𝑉 44 8𝑥 124 𝑉𝑥 8𝑥 168 𝑉155 8 155 168 44 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 934𝑥 3474 10𝑆𝑒𝑛61𝑥 35 20𝑥 11 6341𝑥 155 8𝑥 155𝑥 155 2 0 𝑀 934𝑥 3474 875𝑥 3061 20𝑥 220 6341𝑥 98286 4𝑥2 124𝑥 961 0 𝑀 4𝑥2 168𝑥 1728 0 𝑀𝑥 4𝑥2 168𝑥 1728 O momento máximo nesse intervalo será aplicado no seguinte ponto 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 0 8𝑥 168 0 8𝑥 168 𝑥 21 𝑚 Aplicando o ponto encontrado na equação de momento fletor do respectivo trecho 𝑀21 4 212 168 21 1728 36 𝑘𝑁 𝑚 Portanto temos o seguinte diagrama de esforço normal O diagrama de esforço cortante O diagrama de momento fletor d O esforço normal máximo e seu ponto de aplicação são 𝑁𝑚á𝑥 485 𝑘𝑁 𝑥 0 O esforço cortante máximo e seu ponto de aplicação são 𝑉𝑚á𝑥 44 𝑘𝑁 𝑥 155 𝑚 O momento fletor máximo e seu ponto de aplicação são 𝑀𝑚á𝑥 85 𝑘𝑁 𝑚 𝑥 155 𝑚 4 a viga que representa o diagrama de esforço cortante será a seguinte Temos o seguinte diagrama de esforço cortante para a viga acima Com isso conseguimos provar que a viga está correta Questão 1 a Para determinar o grau de hiperestaticidade temos o seguinte 𝐺 𝑖 𝑒 𝐺 4 3 𝐺 1 b Primeiro vamos retirar o apoio de primeiro gênero da viga para transformala em isostática Em seguida calculamos as reações de apoio 𝐹𝑥 0 𝐻𝐵 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐵 7 𝑘𝑁 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 7 12 15 0 𝑀𝐵 66 𝑘𝑁 𝑚 Agora vamos escrever a equação para o momento fletor para o carregamento real 𝑀 7𝑥 07 15 0 𝑀 7𝑥 49 15 0 𝑀 7𝑥 199 Agora vamos substituir o apoio que foi retirado por uma carga virtual unitária e calcular as novas reações de apoio 𝐹𝑥 0 𝐻𝐵 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐵 1 𝑘𝑁 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 19 0 𝑀𝐵 19 𝑘𝑁 𝑚 A equação para o momento fletor para a carga virtual será 𝑀 𝑥 0 𝑀 𝑥 Aplicando o caso 0 𝛿10 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛿10 1 𝐸𝐼 7𝑥 199 19 0 𝑥𝑑𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 7𝑥2 199𝑥𝑑𝑥 19 0 𝛿10 1 𝐸𝐼 7 3 𝑥3 995𝑥2 𝛿10 1 𝐸𝐼 7 3 193 995 192 𝛿10 1 𝐸𝐼 16 3592 𝛿10 1592 𝐸𝐼 Aplicando o caso 1 𝛿11 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥𝑥𝑑𝑥 19 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥2𝑑𝑥 19 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥3 3 𝛿11 1 𝐸𝐼 193 3 𝛿11 229 𝐸𝐼 c Calculando o X 𝑋 𝛿10 𝛿11 𝑋 1592 𝐸𝐼 229 𝐸𝐼 𝑋 836 𝑘𝑁 Agora que temos a reação do apoio de primeiro gênero conseguimos determinar as outras reações 𝐹𝑥 0 𝐻𝐵 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐵 7 836 0 𝑉𝐵 1536 𝑘𝑁 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 7 12 15 19 836 0 𝑀𝐵 928 𝑘𝑁 𝑚 d Agora que temos as reações podemos determinar as equações dos esforços internos para esboçar os diagramas 0x14 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 836 5𝑥 0 𝑉𝑥 5𝑥 836 𝑉0 5 0 836 836 𝑘𝑁 𝑉14 5 14 836 1536 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 15 836𝑥 5𝑥2 2 0 𝑀𝑥 25𝑥2 836𝑥 15 𝑀0 25 02 836 0 15 15 𝑘𝑁 𝑚 𝑀14 25 142 836 14 15 1605 𝑘𝑁 𝑚 14x19 Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 836 7 0 𝑉 1536 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 15 836𝑥 7𝑥 07 0 𝑀 15 836𝑥 7𝑥 49 0 𝑀𝑥 1536𝑥 199 Portanto o diagrama de esforço cortante O diagrama de momento fletor e O esforço cortante máximo 𝑉𝑚á𝑥 1536 𝑘𝑁 O momento fletor máximo 𝑀𝑚á𝑥 15 𝑘𝑁 𝑚 2 a Calculando o grau de hiperestaticidade 𝐺 4 3 𝐺 1 b Primeiro vamos retirar o apoio de primeiro gênero e calcular as reações de apoio 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 60 𝑘𝑁 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 3 20 15 0 𝑀𝐴 90 𝑘𝑁 𝑚 Vamos escrever a equação para o momento fletor 𝑀 60𝑥 90 10𝑥2 0 𝑀 10𝑥2 60𝑥 90 Agora vamos substituir o apoio retirado por uma carga virtual unitária e calcular as novas reações de apoio 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 1 𝑘𝑁 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 3 1 0 𝑀𝐴 3 𝑘𝑁 𝑚 O momento fletor devido a carga virtual aplicada será 𝑀 𝑥 3 0 𝑀 𝑥 3 Vamos aplicar o caso 0 𝛿10 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛿10 1 𝐸𝐼 10𝑥2 60𝑥 90 3 0 𝑥 3𝑑𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 10𝑥3 30𝑥2 60𝑥2 180𝑥 90𝑥 270 3 0 𝑑𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 10𝑥3 90𝑥2 270𝑥 270 3 0 𝑑𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 25𝑥4 30𝑥3 135𝑥2 270𝑥 𝛿10 1 𝐸𝐼 25 34 30 33 135 32 270 3 𝛿10 1 𝐸𝐼 2025 810 1215 810 𝛿10 2025 𝐸𝐼 Agora vamos aplicar o caso 1 𝛿11 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥 3𝑥 3𝑑𝑥 3 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥2 6𝑥 9𝑑𝑥 3 0 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝑥3 3 3𝑥2 9𝑥 𝛿11 1 𝐸𝐼 33 3 3 32 9 3 𝛿11 1 𝐸𝐼 9 27 27 𝛿11 9 𝐸𝐼 c Vamos calcular o X 𝑋 2025 𝐸𝐼 9 𝐸𝐼 𝑋 225 𝑘𝑁 Agora que temos a reação no apoio de primeiro gênero conseguimos calcular as outras reações 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 60 225 0 𝑉𝐴 375 𝑘𝑁 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 60 15 3 225 0 𝑀𝐴 90 675 0 𝑀𝐴 225 𝑘𝑁 𝑚 d Vamos determinar as equações dos esforços internos Esforço normal 𝑁 0 Esforço cortante 𝑉 375 20𝑥 0 𝑉𝑥 20𝑥 375 𝑉0 20 0 375 375 𝑘𝑁 𝑉3 20 3 375 225 𝑘𝑁 Momento fletor 𝑀 225 375𝑥 10𝑥2 0 𝑀𝑥 10𝑥2 375𝑥 225 O momento será máximo em 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 0 20𝑥 375 0 𝑥 375 20 1875 𝑚 Calculando o momento máximo nesse trecho 𝑀1875 10 18752 375 1875 225 12656 𝑘𝑁 𝑚 Portanto o diagrama de esforço cortante O diagrama de momento fletor e O esforço cortante máximo será 𝑉𝑚á𝑥 375 𝑘𝑁 𝑚 O momento fletor máximo 𝑀𝑚á𝑥 225 𝑘𝑁 𝑚 OFFICIAL NOTICES