Lista de Exercicios - Analise de Fourier e Transformada Z

Determine os coeficientes de Fourier de cada uma das sequências periódicas abaixo a xn cos6𝜋13n 𝜋6 b xn conforme é descrito na figura abaixo Questão 2 Determine xn a partir dos seguintes coeficientes de Fourier ak cos6𝜋17k Questão 3 Dado a sequência periódica xn do gráfico abaixo responda a Determine o período N b Determine os coeficientes de Fourier da sequência periódica xn Questão 1 Use o método das frações parciais para determinar a transformada inversa dos seguintes sinais a X𝜔 4116 ej𝜔2 1 b X𝜔 58 34 ej𝜔 18 ej𝜔2 34 ej𝜔 1 c X𝜔 6 ej𝜔2 5 ej𝜔 6 Questão 2 Dado que a transformada de Fourier de xn é X𝜔 determine as Transformadas de Fourier dos seguintes sinais em termos de X𝜔 a x1n x1n x1n b x2n xn xn 2 c x3n n 12 xn Questão 3 Considere um sistema LIT de tempo discreto com resposta ao impulso dado por hn 12n un Use a Transformada de Fourier para determinar a resposta a cada um dos sinais de entrada a xn 34n un b xn n 1 14n un Lista de Exercícios Análise Real Problema 1 Resposta a Para determinar os coeficientes de Fourier da sequência xn cos6𝜋13n 𝜋6 precisamos encontrar os coeficientes para cada frequência harmônica A fórmula dos coeficientes de Fourier para o caso discreto é dada por Xk 1N n0N1 xn ej2𝜋Nkn Nesse caso a sequência xn possui um período de N 13 pois a frequência fundamental é f0 1N Substituindo os valores na fórmula temos Xk 113 n012 cos6𝜋13n 𝜋6 ej2𝜋13kn Agora podemos calcular os coeficientes de Fourier para cada k inteiro no intervalo de 0 a 12 b Para determinar os coeficientes de Fourier da sequência xn definida como xn 1 n 2 8k 1 n 2 8k Precisamos calcular os coeficientes para cada frequência harmônica usando a fórmula dos coeficientes de Fourier no domínio discreto Xk 1N n0N1 xn ej2𝜋Nkn Nesse caso a sequência xn possui um período de N 8 pois a frequência fundamental é f0 1N Agora substituindo os valores na fórmula temos 1 𝑋𝑘 18n07 𝑥𝑛𝑒𝑗2π8𝑘𝑛 No entanto como a sequência 𝑥𝑛 tem apenas dois valores diferentes 1 e 1 podemos simplificar a fórmula Os coeficientes de Fourier serão calculados apenas para os valores 𝑛 2 e 𝑛 2 Assim temos 𝑋𝑘 18 1𝑒𝑗2π8𝑘2 1𝑒𝑗2π8𝑘2 Simplificando obtemos 𝑋𝑘 18 𝑒𝑗π4𝑘 𝑒𝑗π4𝑘 Problema 2 Resposta Para determinar a sequência 𝑥𝑛 a partir dos coeficientes de Fourier dados 𝑎𝑘 cos6π17𝑘 podemos usar a fórmula da transformada inversa de Fourier discreta 𝑥𝑛 1𝑁 k0N1 𝑎𝑘 𝑒𝑗2πN𝑘𝑛 Nesse caso os coeficientes 𝑎𝑘 são dados pela função cosseno com frequência 6π17 O valor 𝑁 representa o número total de pontos na sequência Agora substituindo os valores na fórmula temos 𝑥𝑛 1𝑁 k0N1 cos6π17𝑘 𝑒𝑗2πN𝑘𝑛 No seu caso não foi especificado o valor de 𝑁 nem o intervalo de 𝑛 para o qual você deseja determinar a sequência 𝑥𝑛 Portanto para obter a sequência 𝑥𝑛 você precisa fornecer essas informações adicionais Se tiver o valor de 𝑁 e o intervalo de 𝑛 podemos calcular a sequência 𝑥𝑛 usando os coeficientes de Fourier fornecidos Problema 3 Resposta a O valor de 𝑁 17 b Para determinar os coeficientes de Fourier da sequência 𝑥𝑛 utilizamos a fórmula dos coeficientes de Fourier 𝑎𝑘 1𝑁 n0N1 𝑥𝑛 𝑒𝑗2πN𝑘𝑛 No caso da sequência dada temos 𝑁 17 Substituindo os valores de 𝑥𝑛 na fórmula acima podemos calcular os coeficientes 𝑎𝑘 para cada valor de 𝑘 𝑎𝑘 117 n016 𝑥𝑛 𝑒𝑗2π17𝑘𝑛 Os coeficientes 𝑎𝑘 representam as contribuições de cada componente de frequência na sequência 𝑥𝑛 Lista de Exercícios Análise Real Problema 1 Resposta A transformada inversa é dada por 𝒇𝑭𝑭𝜔𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 a As frações parciais são 41116𝑒2𝑗𝜔 2114𝑒𝑗𝜔 2114𝑒𝑗𝜔 Assim temos que a inversa de 1114𝑒𝑗𝜔 2114𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 2 cos𝜔𝑡 𝑗sin𝜔𝑡114cos𝜔 𝑗sin𝜔 d𝜔 A integral é complexa portanto não vamos finalizar O mesmo se executa na segunda parcela b As frações parciais são 353𝑒𝑗𝜔18𝑒2𝑗𝜔34𝑒𝑗𝜔 1 2410𝑒𝑗𝜔𝑒2𝑗𝜔6𝑒𝑗𝜔 8 Assim temos que 24 10𝑒𝑗𝜔𝑒2𝑗𝜔 6𝑒𝑗𝜔 8 24 10𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 32 172 Temos que 24 10𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 32 172 𝐴𝑒𝑗𝜔 3 17 𝐵𝑒𝑗𝜔 3 17 Assim temos que 𝐴 𝐵 10 𝐵 10 𝐴 3 17𝐴 3 17𝐵 24 Resultando em 3sqrt17A3sqrt1710A24 3010sqrt172sqrt17A24 Afrac11727sqrt1785 Bfrac8527sqrt1717 c A decomposição é frac6ejomega2ejomega3 fracAejomega2 fracBejomega3 Assim temos AB0 Rightarrow BA 3A 2B6 Rightarrow A6 Assim temos que frac6ejomega2ejomega3 frac6ejomega2 frac6ejomega3 Problema 2 Resposta A transformada de Fourier de sinais discretos é dada por Xksuminftyinfty xnejnfrac2pi kN a Assim temos que suminfty x1nx1n ejnfrac2pi kN suminfty x1n ejnfrac2pi kN suminfty x1n ejnfrac2pi kN A primeira parcela é suminfty x1n ejnfrac2pi kN suminfty xm ej1mfrac2pi kN ejwk suminfty xm ejmfrac2pi kN ejwk Xomega enquanto temos que suminfty x1n ejnfrac2pi kN suminfty xm ej1mfrac2pi kN ejwk Xomega Logo temos que mathcalFx1n ejwk Xomega ejwk Xomega b Aqui temos que mathcalFxn Xomega e assim temos que mathcalFx2 frac12 Xomega Xomega c A transformada é calculada pela propriedade da modulação temporal A propriedade da modulação temporal também conhecida como deslocamento temporal é uma propriedade das transformadas de Fourier que descreve o efeito do deslocamento temporal de um sinal no domínio do tempo sobre sua transformada no domínio da frequência Em termos matemáticos se xn é um sinal discreto e Xomega é sua transformada de Fourier então a propriedade da modulação temporal afirma que xnn0 leftrightarrow ej omega n0 Xomega Isso significa que ao multiplicar o sinal xn por uma exponencial complexa ej omega n0 onde n0 é um deslocamento temporal a transformada de Fourier Xomega é multiplicada por essa mesma exponencial complexa Essa propriedade é muito útil para analisar o deslocamento temporal de um sinal no domínio da frequência e viceversa Assim temos que n12 xn leftrightarrow j fracd2d omega2 left Xomega ej omega right Problema 3 Resposta a Dada a resposta ao impulso hn leftfrac12rightn un queremos determinar a resposta ao sinal de entrada xn leftfrac34rightn un utilizando a transformada de Fourier Seguindo os passos 1 Encontramos a transformada de Fourier da resposta ao impulso hn Homega sumn0infty leftfrac12rightn ej omega n 2 Encontramos a transformada de Fourier do sinal de entrada xn Xomega sumn0infty leftfrac34rightn ej omega n 3 Multiplicamos as transformadas de Fourier de hn e xn para obter a resposta no domínio da frequência Yomega Homega cdot Xomega 4 Aplicamos a transformada inversa de Fourier em Yomega para obter a resposta ao sinal de entrada xn no domínio do tempo yn frac12 pi intpipi Yomega ej omega n domega Ao seguir esses passos podemos determinar a resposta ao sinal de entrada xn leftfrac34rightn un utilizando a transformada de Fourier b Dado o sinal de entrada xn n1 leftfrac14rightn un e a resposta ao impulso hn leftfrac12rightn un vamos determinar a resposta utilizando a transformada de Fourier Seguindo os passos 1 Encontramos a transformada de Fourier da resposta ao impulso hn Homega sumn0infty leftfrac12rightn ej omega n 2 Encontramos a transformada de Fourier do sinal de entrada xn Xomega sumn0infty n1 leftfrac14rightn ej omega n 3 Multiplicamos as transformadas de Fourier de hn e xn para obter a resposta no domínio da frequência Yomega Homega cdot Xomega 4 Aplicamos a transformada inversa de Fourier em Yomega para obter a resposta ao sinal de entrada xn no domínio do tempo yn frac12 pi intpipi Yomega ej omega n domega Ao seguir esses passos podemos determinar a resposta ao sinal de entrada xn n1 leftfrac14rightn un utilizando a transformada de Fourier