Lista de Exercicios P2

Estude a posição relativa dos planos \\pi_1:2x+y+3z+1=0 e \\pi_2:X=(1,1,1)+\\lambda(1,1,0)+\\mu(2,-1,m) e verifique se existe algum valor de m para o qual \\pi_1 e \\pi_2 sejam perpendiculares. \n\nObtenha dois pontos e os dois vetores diretores da reta de equações paramétricas\n\n\\begin{cases}\n x = 1 - \\lambda \\\\\n y = \\lambda \\\\\n z = 4 + 2\\end{cases}\n\n(\\lambda \\in \\mathbb{R})\n\nVerifique se os pontos P = (1,3,-3) e Q = (-3,4,12) pertencem à reta.\n\nObtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto (1,4,-7) e é paralela à reta de equações paramétricas\n\n\\begin{cases}\n x = 200 - \\lambda \\\\\n y = \\sqrt{3} - 3\\lambda \\\\\n z = 0\\end{cases} \n\n(\\lambda \\in \\mathbb{R})\n\nEm relação a um sistema ortogonal de coordenadas, A = (0,0,1), B = (1,2,1) e C = (1,0,1).\nObtenha equações paramétricas das retas que contém a bissetriz interna e as externas do triângulo ABC, relativas ao vértice C.\n\nSejam A = (1,1,1), B = (0,0,1) e r : X = (1,0,0) + \\lambda(1,1,1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B.\n\nSão dados os sistemas de equações\n\n\\begin{cases}\n x = \\lambda + 2\\mu \\\\\n y = 1 + \\lambda + 2\\mu \\\\\n z = -\\lambda - 2\\mu \\\\\n (\\lambda,\\mu \\in \\mathbb{R})\n\\end{cases}\n\n(a) Descreva o lugar geométrico dos pontos X = (x,y,z) que satisfazem o primeiro sistema. Obtenha uma equação geral do plano \\pi em cada caso.\n\n(a) \\pi contém A = (1,1,0) e B = (1,-1,-1) e é paralelo a \\mathbf{u} = (2,1,0).\n\n(b) \\pi contém A = (1,0,1), B = (2,1,-1) e C = (1,-1,0).\n\nObtenha os pontos de r: X = (1,1,1) + \\lambda(2,0,1) que pertencem ao plano \\pi, nos casos:\n\n(a) \\pi: x - y - z = 0\n(b) \\pi: x + 3y - 2z + 1 = 0\n\nAs equações X = (0,0,0) + t\\mathbf{a}(1,2,4) e X = (1,0,-2) + t(-1,-1,-1), t\\in\\mathbb{R}, descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de \\alpha para que haja colisão. Em que instante ela ocorre?\n\nObtenha uma equação vetorial da interseção dos planos \\pi_1 e \\pi_2, se esta não for vazia.\n\n(a) \\pi_1: X = (1,-2,0) + \\lambda(1,0,-1) e \\pi_2: X = (1,0,0) + \\mu(0,1,-1)\n\n(b) \\pi_1: X = (1,0,0) + \\lambda(-1,1,0) e \\pi_2: X = (1,-1,-2) + \\lambda(1,0,1).\n\nUm triângulo retângulo de área 1 tem os catetos contidos nos eixos Ox e Oy e a hipotenusa na reta r. Seus vértices têm coordenadas inteiras, e r é concorrente com a reta\n\n\\begin{cases}\n6x + 3y - 4z - 6 = 0 \\\\\n3y - 2z - 3 = 0\n\\end{cases}\n\nEscreva uma equação vetorial de r (o sistema de coordenadas é ortogonal).\n\nCalcule m em cada caso, usando a informação dada sobre as retas\n\n\\begin{cases}\n x - my + 1 = 0 \\\\\n r: \\begin{cases}\ny - z - 1 = 0\n\\end{cases}\n\\end{cases} Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas r e s.\n\n(a) r: X = (2,0,-1) + \\lambda(1,1,1)\n s: x + y - 2 = z = 0\n\nObtenha o ponto simétrico de P = (0,2,1) em relação à reta r: X = (1,0,0) + \\lambda(0,1,-1).\n\nObtenha uma equação geral do plano que contém \\pi_1 \\cap \\pi_2 e é perpendicular a \\pi_3, sendo\n \\pi_1: x - y + z + 1 = 0\n \\pi_2: x + y - z - 1 = 0\n\nObtenha as equações da reta que contém o ponto P = (1,1,1) e é concorrente com s: 2y = 2z, sabendo que o co-seno da medida angular entre r e s é igual a 1/\\sqrt{3}.\n\nObtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano \\pi: 2x - 3y + z + 1 = 0, concorrente com as retas r: X = (1,0,0) + \\lambda(0,1,1) e s: X = (0,1,0) + \\lambda(1,1,1), que forma com elas ângulos congruentes.\n\nObtenha uma equação vetorial da reta r, concorrente com: 2x - y + z = 0 = -z e contida em \\pi: 3x - 2y - 2z + 7 = 0, sabendo que a medida angular entre r e \\pi: x + y + 2 = 0.\n\nCalcule a distância do ponto de interseção de r e s ao plano determinado por t e h, sendo\n s: X = (1,1,0) + \\lambda(-1,0,1)\n h: x = y - 6z + 8 = 2x - 3.