·
Engenharia Civil ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
1 1 Capítulo1 Tensão 13 Tensão 14 Tensão Normal Média 15 Tensão de Cisalhamento Média 16 Tensão Admissível R C Hibbeler Pearson Education do Brasil Representa a intensidade da força interna esforços solicitantes sobre um plano específico área que passa por um determinado ponto 1 2 Considerando que a área seccionada de um corpo esteja subdividida em pequenas áreas ΔA O limite do quociente entre ΔF e ΔA onde ΔA tende a zero recebe o nome de tensão 𝜎 lim 𝐴0 𝐹 𝐴 Essa tensão pode ser uma Tensão Normal ou Tensão de Cisalhamento E supondo que o material seja contínuo e coeso Se reduzirmos esta área a um valor cada vez menor teremos uma pequena força finita ΔF cujas componentes ΔFx e ΔFy são tangentes paralelas à ΔA e ΔFz perpendicular à ΔA A força ΔFz por unidade de área que atua no sentido perpendicular a ΔA é definida como tensão normal σ sigma dada por 1 3 As forças ΔFx e ΔFy por unidade de área que atua tangente à ΔA é definida como tensão de cisalhamento τ tau Portanto podese escrever que 𝝈𝒛 lim 𝐴0 𝐹𝑧 𝐴 ΔA ΔA 𝝉𝒛𝒚 lim 𝐴0 𝐹𝑦 𝐴 𝝉𝒛𝒙 lim 𝐴0 𝐹𝑥 𝐴 ΔA Se um corpo for seccionado por planos paralelos aos planos xz e yz A partir de um elemento cúbico de volume de material podese representar o estado de tensão que age em torno do ponto escolhido no corpo 1 4 Para a tensão de cisalhamento τ por eg o índice duplo xy especifica que x é o eixo perpendicular a área ΔA enquanto y referese à direção da tensão de cisalhamento Para a tensão normal σ o índice único x y e z são usados para indicar a direção do eixo normal ou perpendicular a área ΔA ΔA ΔA ΔA Para o plano xz Para o plano yz Para o plano xy 1 5 Dessa forma temse Em cada face do elemento cúbico agem 3 componentes de tensão 1 normal e 2 de cisalhamento Somando um conjunto de 18 componentes de tensão que descrevem o estado de tensão no ponto para o elemento orientado ao longo dos eixos x y e z 1 6 As componentes de tensão devem estar relacionadas para satisfazer o equilíbrio de forças e momentos do elemento O diagrama de corpo livre do elemento cúbico é dado por 𝝈 lim 𝐴0 𝐹 𝐴 𝝉 lim 𝐴0 𝐹 𝐴 1 7 O carregamento do elemento pode ser considerado como uma superposição das componentes de forças normais com as componentes de forças cortantes 𝒛 𝒚 forças normais eixos x y e z forças cortante plano xy forças cortante plano xz forças cortante plano zy 1 8 Fazendo o equilíbrio do elemento considerando as componentes de tensão normal têmse Fx 0 𝜎x 𝜎x Fy 0 𝜎y 𝜎y Fz 0 𝜎z 𝜎z Tensões normais atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários 1 9 Fx 0 𝜏yx 𝜏yx Fy 0 Mz 0 Para as componentes de tensão de cisalhamento paralelas ao plano xy 𝜏xy 𝜏xy 𝜏xy 𝜏yx 𝒛 Δy Δx Tensões de cisalhamento atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários Tensões de cisalhamento atuantes em faces adjacentes do elemento são iguais em módulo e são orientadas no sentido de se aproximarem do vértice do elemento ou de se afastarem dele Propriedade Complementar do Cisalhamento 1 10 Fx 0 𝜏zx 𝜏zx Fz 0 My 0 Para as componentes de tensão de cisalhamento paralelas ao plano xz 𝜏xz 𝜏xz 𝜏xz 𝜏zx Δz Δx Tensões de cisalhamento atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários Tensões de cisalhamento atuantes em faces adjacentes do elemento são iguais em módulo e são orientadas no sentido de se aproximarem do vértice do elemento ou de se afastarem dele 1 11 Fy 0 𝜏zy 𝜏zy Fz 0 Mx 0 E finalmente para as componentes de tensão de cisalhamento paralelas ao plano yz 𝜏yz 𝜏yz 𝜏yz 𝜏zy Δy Δz Tensões de cisalhamento atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários Tensões de cisalhamento atuantes em faces adjacentes do elemento são iguais em módulo e são orientadas no sentido de se aproximarem do vértice do elemento ou de se afastarem dele 1 12 Portanto o estado de tensões em um ponto de um corpo é caracterizado por 6 componentes independentes a saber 3 tensões normais σx σy e σz 3 tensões de cisalhamento τxy τxz e τyz As 6 componentes dependem apenas da orientação do elemento O Tensor de tensões ou Tensor tensão de Cauchy é dado por 𝜎𝑖𝑗 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 O índice i referese a linha da matriz O índice j referese a coluna 1 13 Então para um estado de tensão constante em torno de um ponto de um corpo conclui se que Componentes de tensão normal Tensões normais atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários Componentes de tensão de cisalhamento Tensões de cisalhamento atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários τxy σx σy Tensões de cisalhamento atuantes em faces adjacentes do elemento são iguais em módulo e são orientadas no sentido de se aproximarem do vértice do elemento ou de se afastarem dele Propriedade Complementar do Cisalhamento 1 14 Estado Plano de tensão τxy σx σy 𝜎𝑖𝑗 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 0 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 0 0 0 0 Quando às tensões normal e de cisalhamento na direção z são nulas obtêmse o estado plano de tensões No Sistema Internacional de Unidades SI a unidade de tensão é especificada por Nm2 que é denominada por Pascal Pa 1MPa 106 Pa 106 Nm2 1 Nmm2 1GPa 109 Pa 109 Nm2 103 Nmm2 1 14 Suponha uma barra com a força axial externa P aplicada em suas extremidades 1 15 Ao seccionar a barra surge a força interna P aplicada na seção transversal para que a barra seja mantida em equilíbrio Por hipótese ou premissas simplificadoras Considerase que o material seja homogêneo e isotrópico força interna P N força normal A barra prismática deve permanecer reta antes e depois da aplicação da carga A seção transversal deve permanecer plana durante a deformação O carregamento axial deve ser aplicado ao longo do eixo centroidal longitudinal da seção transversal As regiões próximas aos pontos de aplicação de cargas não são consideradas Para o carregamento 1 16 𝑭 𝜎𝑨 FRz Fz 𝑷 𝜎𝐴 𝜎 𝑃 𝐴 A área da seção transversal da barra P resultante da força normal interna aplicada na seção transversal sobre o eixo longitudinal da barra σ Tensão Normal Média Nesse caso pode assumir que a barra prismática reta carregada axialmente estará sujeita a uma deformação uniforme causada por uma tensão normal constante distribuída uniformemente sobre a área da seção transversal da barra න 𝑑𝐹 න 𝜎d𝐴 A direção e sentido da tensão normal média σ são idênticos ao da força normal resultante P Então fazendo o somatório de forças em ralação ao eixo z temse 1 17 MRx Mx Distribuição da tensão normal média Para manter a deformação uniforme da barra a distribuição de tensões normais não pode produzir um momento resultante interno na seção transversal em relação aos eixos x e y න 𝑦𝑑𝐹 න 𝒚 𝜎d𝐴 𝜎 න 𝒚 d𝐴 MRy My න 𝑥𝑑𝐹 න 𝒙 𝜎d𝐴 𝜎 න 𝒙 d𝐴 𝑄𝑥 න 𝒚 d𝐴 0 𝑄𝑦 න 𝒙 d𝐴 0 Por definição de centroide temse Sendo a origem dos eixos x y e z localizada no centróide da seção transversal temse 0 𝒅𝑭 𝝈𝒅𝑨 𝒅𝑨 0 Momento Estático ou de Primeira ordem Dessa forma para uma barra sujeita a uma força normal ou axial em cada elemento de volume existe somente uma tensão normal média que se denomina por tensão uniaxial 1 18 Se considerar o equilíbrio vertical do elemento temse Estas tensões normais podem ser Tração tende a alongar a barra Compressão tende a encurtar a barra 𝜎𝑨 𝜎𝑨 0 Fz 0 𝜎 𝜎 𝒛 𝒚 𝒙 𝑷 𝑷 1 19 A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm Determine a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento ilustrado 𝜎𝒎á𝒙 30000 N 35 𝑚𝑚10 𝑚𝑚 𝜎𝒎á𝒙 8571 Τ 𝑁 𝑚𝑚2 8571 MPa 𝜎𝒎é𝒅 𝑁 𝐴 Solução 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 Diagrama de Força Normal Força Normal de tração 𝒙 S S S 𝒚 𝜎𝒙 8571 MPa Estado Plano de Tensão 𝜎𝒙 𝑁 𝜎𝒎á𝒙 1 20 A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes AB de 10 mm de diâmetro e BC de 8 mm de diâmetro como ilustrado na figura Determine a tensão normal média em cada haste 𝜎𝑩𝑪 3952 N 𝜋4 𝑚𝑚2 786 Τ N 𝑚𝑚2 786 MPa DCL 𝐹𝐵𝐶 4 5 𝐹𝐵𝐴 cos 60 0 Fx 0 𝐹𝐵𝐶 3 5 𝐹𝐵𝐴 sin 60 7848 N 0 Fy 0 𝐹𝐵𝐶 3952 N 𝐹𝐵𝐴 6324 N 𝜎𝑩𝑨 6324 N 𝜋5 𝑚𝑚2 805 Τ N 𝑚𝑚2 805 MPa Distribuição da σméd na seção transversal da haste AB 𝜎𝒎é𝒅 𝑃 𝐴 Solução 1 21 A peça fundida ilustrada na figura é feita de aço cujo peso específico é γaço 80 kNm3 Determine a tensão de compressão média que age nos pontos A e B 𝜎𝒎é𝒅 8042 N 𝜋200 𝑚𝑚2 𝜎𝒎é𝒅 0064 Τ N 𝑚𝑚2 640 kPa DCL 𝑃 𝑊𝑎ç𝑜 0 Fz 0 A σméd nos pontos A e B da seção transversal é a mesma por ser constante em toda a seção transversal 𝑃 80 kN 𝑚3 08 𝑚 𝜋 02 𝑚 2 0 𝑃 8042 kN 𝜎𝒎é𝒅 𝑃 𝐴 Solução CG 𝑊𝑎ç𝑜 γaçoV Suponha uma força externa conhecida F de grande intensidade aplicada em uma barra de apoios rígidos o material da barra irá se deformar e falhar ao longo dos planos AB e CD 1 22 Dessa forma a tensão de cisalhamento média mesma direção de V será distribuída sobre cada área A seccionada sendo definida por Representando o DCL e fazendo o equilíbrio do corpo temse 𝑉 𝑉 𝐹 0 FV 0 𝑉 𝐹2 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 A área da seção transversal V força cortante esforço solicitante τméd Tensão de cisalhamento Média DCL 𝑨 1 23 Se considerarmos um elemento infinitesimal de volume de um material em um ponto qualquer de uma área seccionada na qual age a tensão de cisalhamento média pode representálo por O equilíbrio das forças na direção y z e do momento em relação ao eixo x é dado por 𝝉𝒛𝒚 𝒙𝒚 𝝉𝒛𝒚 𝒙𝒚 0 Fy 0 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒚𝒛 𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒛 𝒙𝒛 0 Fz 0 𝝉𝒚𝒛 𝝉𝒚𝒛 Mx 0 𝝉𝒛𝒚 𝒙𝒚 𝒛 𝝉𝒚𝒛 𝒙𝒛 𝒚 0 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒚𝒛 𝝉 Cisalhamento Puro 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝑽 𝑨 𝝉 𝒛 𝒙 y As juntas de aço parafusada e madeira colada ilustradas apresentam uma superfície de cisalhamento e são exemplos de acoplamentos de cisalhamento simples normalmente denominadas juntas sobrepostas 1 24 O cisalhamento causado pela ação direta da força F onde a superfície de fixação está sujeita somente a uma força cortante V F é chamado de cisalhamento simples ou direto Nesses casos são desprezados o momento criado pela força F devido serem elementos de pequena espessura 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝐹 𝐴 1 25 Juntas que apresentam duas superfícies de cisalhamento ou acoplamentos de cisalhamento duplo são denominadas de juntas de dupla superposição O cisalhamento causado pela ação da força F onde as superfícies de fixação estão sujeitas a uma força cortante V F2 é denominado cisalhamento duplo 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝐹 2𝐴 1 26 A barra tem área de seção transversal quadrada com 40 mm de altura e largura Se uma força axial de 800 N for aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da área de seção transversal da barra determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem ao longo dos planos aa e bb 𝜎𝒎é𝒅 800 N 004 𝑚004 𝑚 𝜎𝒎é𝒅 500 Τ 000 N 𝑚2 500 kPa a a DCL 𝝉𝒎é𝒅 0 Não existe força cortante ou de cisalhamento na seção aa 𝜎𝒎é𝒅 𝑁 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 Solução 𝝉𝒎é𝒅 0 𝐴 𝜎𝒎é𝒅 𝑵 𝑃 800 𝐍 𝜎𝒙 500 kPa Estado Plano de Tensão 𝜎𝒙 O Tensor de tensões ou Tensor tensão de Cauchy é dado por 𝜎𝑖𝑗 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 𝜎𝑖𝑗 500 0 0 0 0 0 0 0 0 𝒚 𝒛 x 1 27 A tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que age ao longo do plano bb 𝜎𝒎é𝒅 6928 N 004 𝑚004618 𝑚 375 kPa 𝜎𝒎é𝒅 𝑵 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝑽 𝐴 𝑵 800 N sin 60 𝑵 6928 N 𝑽 800 N cos 60 𝑽 4000 N 𝝉𝒎é𝒅 400 N 004 𝑚004618 𝑚 217 kPa DCL b b Solução 𝒙 𝒚 𝒙 y 𝟑𝟎 𝟔𝟎 h sin60 ℎ sin90 ℎ sin60 40 sin90 ℎ 𝒙 𝟑𝟎 𝒚 h h b 𝜎𝑖𝑗 375 217 0 217 0 0 0 0 0 𝑘𝑃𝐴 Tensor tensão de Cauchy 1 28 O profissional responsável pelo projeto de elementos estruturais deve restringir essas tensões do material a um nível seguro 𝜎𝒎é𝒅 𝑷 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝑽 𝐴 DCL Tensão Normal Média Tensão de cisalhamento Média 𝑵 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝑪𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 DCL 𝑨 1 29 Para garantir a segurança é necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um valor menor do que o elemento possa suportar integralmente Para se ter uma tensão do material a um nível seguro deve ser feitos cálculos utilizandose uma tensão segura ou admissível Este valor também é conhecido como carga de projeto ou carga de trabalho Dessa forma devese considerar os efeitos de vibrações o impacto ou cargas acidentais pessoas móveis veículos e materiais diversos erros de fabricação erros de montagem dos elementos Quando a carga aplicada ao elemento for relacionada linearmente à tensão desenvolvida 1 30 𝑭𝑺 𝜎𝒓𝒖𝒑 𝜎𝒂𝒅𝒎 𝑭𝑺 𝝉𝒓𝒖𝒑 𝝉𝒂𝒅𝒎 Em qualquer dessas relações o FS 1 para evitar o potencial de falha Podese expressar o Fator de Segurança como a relação entre a tensão de ruptura σrup ou τrup e a tensão admissível σadm ou τadm dada por Um dos métodos para especificar a carga para o projeto ou a análise de um elemento é adotar um Fator de Segurança FS que é a relação entre a carga de ruptura e a carga admissível Depende do tipo de material e da finalidade pretendida normas técnicas É determinada em ensaios de laboratório 𝑭𝑺 𝑭𝒓𝒖𝒑 𝑭𝒂𝒅𝒎 Então se um elemento estiver submetido a uma força normal a área requerida ou necessária da seção será determinada por 1 31 Admitindose hipóteses simplificadoras em relação ao comportamento do material material elástico linear podemos projetar por exemplo um elemento mecânico ou um acoplamento simples cisalhamento simples 𝑨 𝑷 𝜎𝒂𝒅𝒎 Se um elemento estiver submetido a uma força cortante a área necessária da seção será determinada por 𝑨 𝑷 𝝉𝒂𝒅𝒎 DCL DCL 𝑷 1 32 A haste está apoiada em sua extremidade por um disco circular fixo como ilustrado na figura Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro determinar o diâmetro d mínimo da haste e a espessura t mínima do disco necessários para suportar uma carga de 20 kN A tensão normal de ruptura da haste é σrupt 120 MPa e a tensão de cisalhamento de ruptura do disco é τrupt 70 MPa e o FS 20 Solução Haste 𝑭𝑺 𝜎𝑟𝑢𝑝 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑨 𝑃 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜎𝒂𝒅𝒎 120 MPa 20 60 MPa 𝜋𝑑2 4 20000 N 60 N𝑚𝑚2 𝜋𝑑2 4 𝑃 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜋𝑑2 4 33333 𝑚𝑚2 𝑑 4 33333 𝑚𝑚2 𝜋 𝑑 20 6 𝑚𝑚 Disco 𝑭𝑺 𝜏𝑟𝑢𝑝 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝝉𝒂𝒅𝒎 70 MPa 20 35 MPa 𝑨 𝑃 𝜏𝑎𝑑𝑚 2𝜋𝑟𝑡 𝑃 𝜏𝑎𝑑𝑚 2𝜋20 𝑚𝑚𝑡 20000 N 35N𝑚𝑚2 12566 𝑚𝑚 𝑡 20000 N 35N𝑚𝑚2 𝑡 57143 𝑚𝑚2 12566 𝑚𝑚 𝑡 455 𝑚𝑚 DCL 1 33 Forças axiais sobre o eixo ilustrado na figura sofre a resistência do colar em C que está acoplado ao eixo e localizado no lado direito do apoio em B Determinar o maior valor de P para as duas forças axiais aplicadas em E e F de modo que a tensão no colar não ultrapasse a tensão admissível de σadm 75 MPa e que a tensão normal média no eixo não exceda a tensão de tração admissível σadm 55 MPa Solução Tensão Normal no eixo 𝑨 𝐹 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜋30 𝑚𝑚2 3𝑃 55 N𝑚𝑚2 𝑃 51 8 kN Tensão Normal no colar de apoio 𝑨 𝐹 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜋40 𝑚𝑚2𝜋30 𝑚𝑚2 3𝑃 75 N𝑚𝑚2 𝑃 549 kN DCL 𝑃 75 N𝑚𝑚2𝜋 40 𝑚𝑚 2 𝜋 30 𝑚𝑚 2 3 𝑃 55 N𝑚𝑚2𝜋 30 𝑚𝑚 2 3 S 2 34 Hibbeler 1115 O punção circular B exerce uma força de 2 kN na parte superior da chapa A Determine a tensão de cisalhamento média na chapa provocada por essa carga 2 35 Hibbeler 199 Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for σaadm 28 MPa determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A e B exigidos para suportar a carga A dimensão das chapas deve ter aproximação de múltiplos de 10 mm As reações nos apoios são verticais Considere P 75 kN 1 36 Págs 25 e 26 Prob 134 135 137 Resolver os seguintes exercícios do capítulo 1 Tensão do livro texto Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler Pág 27 Prob 141 142 145 146 148 Pág 29 Prob 157 158 Pág 39 Prob 181 182 186 Pág 40 Prob 188 190 198 Sugiro verificar os exemplos 113 e 114 resolvidos no capítulo 1 Tensão do livro de Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
1 1 Capítulo1 Tensão 13 Tensão 14 Tensão Normal Média 15 Tensão de Cisalhamento Média 16 Tensão Admissível R C Hibbeler Pearson Education do Brasil Representa a intensidade da força interna esforços solicitantes sobre um plano específico área que passa por um determinado ponto 1 2 Considerando que a área seccionada de um corpo esteja subdividida em pequenas áreas ΔA O limite do quociente entre ΔF e ΔA onde ΔA tende a zero recebe o nome de tensão 𝜎 lim 𝐴0 𝐹 𝐴 Essa tensão pode ser uma Tensão Normal ou Tensão de Cisalhamento E supondo que o material seja contínuo e coeso Se reduzirmos esta área a um valor cada vez menor teremos uma pequena força finita ΔF cujas componentes ΔFx e ΔFy são tangentes paralelas à ΔA e ΔFz perpendicular à ΔA A força ΔFz por unidade de área que atua no sentido perpendicular a ΔA é definida como tensão normal σ sigma dada por 1 3 As forças ΔFx e ΔFy por unidade de área que atua tangente à ΔA é definida como tensão de cisalhamento τ tau Portanto podese escrever que 𝝈𝒛 lim 𝐴0 𝐹𝑧 𝐴 ΔA ΔA 𝝉𝒛𝒚 lim 𝐴0 𝐹𝑦 𝐴 𝝉𝒛𝒙 lim 𝐴0 𝐹𝑥 𝐴 ΔA Se um corpo for seccionado por planos paralelos aos planos xz e yz A partir de um elemento cúbico de volume de material podese representar o estado de tensão que age em torno do ponto escolhido no corpo 1 4 Para a tensão de cisalhamento τ por eg o índice duplo xy especifica que x é o eixo perpendicular a área ΔA enquanto y referese à direção da tensão de cisalhamento Para a tensão normal σ o índice único x y e z são usados para indicar a direção do eixo normal ou perpendicular a área ΔA ΔA ΔA ΔA Para o plano xz Para o plano yz Para o plano xy 1 5 Dessa forma temse Em cada face do elemento cúbico agem 3 componentes de tensão 1 normal e 2 de cisalhamento Somando um conjunto de 18 componentes de tensão que descrevem o estado de tensão no ponto para o elemento orientado ao longo dos eixos x y e z 1 6 As componentes de tensão devem estar relacionadas para satisfazer o equilíbrio de forças e momentos do elemento O diagrama de corpo livre do elemento cúbico é dado por 𝝈 lim 𝐴0 𝐹 𝐴 𝝉 lim 𝐴0 𝐹 𝐴 1 7 O carregamento do elemento pode ser considerado como uma superposição das componentes de forças normais com as componentes de forças cortantes 𝒛 𝒚 forças normais eixos x y e z forças cortante plano xy forças cortante plano xz forças cortante plano zy 1 8 Fazendo o equilíbrio do elemento considerando as componentes de tensão normal têmse Fx 0 𝜎x 𝜎x Fy 0 𝜎y 𝜎y Fz 0 𝜎z 𝜎z Tensões normais atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários 1 9 Fx 0 𝜏yx 𝜏yx Fy 0 Mz 0 Para as componentes de tensão de cisalhamento paralelas ao plano xy 𝜏xy 𝜏xy 𝜏xy 𝜏yx 𝒛 Δy Δx Tensões de cisalhamento atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários Tensões de cisalhamento atuantes em faces adjacentes do elemento são iguais em módulo e são orientadas no sentido de se aproximarem do vértice do elemento ou de se afastarem dele Propriedade Complementar do Cisalhamento 1 10 Fx 0 𝜏zx 𝜏zx Fz 0 My 0 Para as componentes de tensão de cisalhamento paralelas ao plano xz 𝜏xz 𝜏xz 𝜏xz 𝜏zx Δz Δx Tensões de cisalhamento atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários Tensões de cisalhamento atuantes em faces adjacentes do elemento são iguais em módulo e são orientadas no sentido de se aproximarem do vértice do elemento ou de se afastarem dele 1 11 Fy 0 𝜏zy 𝜏zy Fz 0 Mx 0 E finalmente para as componentes de tensão de cisalhamento paralelas ao plano yz 𝜏yz 𝜏yz 𝜏yz 𝜏zy Δy Δz Tensões de cisalhamento atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários Tensões de cisalhamento atuantes em faces adjacentes do elemento são iguais em módulo e são orientadas no sentido de se aproximarem do vértice do elemento ou de se afastarem dele 1 12 Portanto o estado de tensões em um ponto de um corpo é caracterizado por 6 componentes independentes a saber 3 tensões normais σx σy e σz 3 tensões de cisalhamento τxy τxz e τyz As 6 componentes dependem apenas da orientação do elemento O Tensor de tensões ou Tensor tensão de Cauchy é dado por 𝜎𝑖𝑗 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 O índice i referese a linha da matriz O índice j referese a coluna 1 13 Então para um estado de tensão constante em torno de um ponto de um corpo conclui se que Componentes de tensão normal Tensões normais atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários Componentes de tensão de cisalhamento Tensões de cisalhamento atuantes em faces opostas do elemento são iguais em módulo e direção porém têm sentidos contrários τxy σx σy Tensões de cisalhamento atuantes em faces adjacentes do elemento são iguais em módulo e são orientadas no sentido de se aproximarem do vértice do elemento ou de se afastarem dele Propriedade Complementar do Cisalhamento 1 14 Estado Plano de tensão τxy σx σy 𝜎𝑖𝑗 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 0 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 0 0 0 0 Quando às tensões normal e de cisalhamento na direção z são nulas obtêmse o estado plano de tensões No Sistema Internacional de Unidades SI a unidade de tensão é especificada por Nm2 que é denominada por Pascal Pa 1MPa 106 Pa 106 Nm2 1 Nmm2 1GPa 109 Pa 109 Nm2 103 Nmm2 1 14 Suponha uma barra com a força axial externa P aplicada em suas extremidades 1 15 Ao seccionar a barra surge a força interna P aplicada na seção transversal para que a barra seja mantida em equilíbrio Por hipótese ou premissas simplificadoras Considerase que o material seja homogêneo e isotrópico força interna P N força normal A barra prismática deve permanecer reta antes e depois da aplicação da carga A seção transversal deve permanecer plana durante a deformação O carregamento axial deve ser aplicado ao longo do eixo centroidal longitudinal da seção transversal As regiões próximas aos pontos de aplicação de cargas não são consideradas Para o carregamento 1 16 𝑭 𝜎𝑨 FRz Fz 𝑷 𝜎𝐴 𝜎 𝑃 𝐴 A área da seção transversal da barra P resultante da força normal interna aplicada na seção transversal sobre o eixo longitudinal da barra σ Tensão Normal Média Nesse caso pode assumir que a barra prismática reta carregada axialmente estará sujeita a uma deformação uniforme causada por uma tensão normal constante distribuída uniformemente sobre a área da seção transversal da barra න 𝑑𝐹 න 𝜎d𝐴 A direção e sentido da tensão normal média σ são idênticos ao da força normal resultante P Então fazendo o somatório de forças em ralação ao eixo z temse 1 17 MRx Mx Distribuição da tensão normal média Para manter a deformação uniforme da barra a distribuição de tensões normais não pode produzir um momento resultante interno na seção transversal em relação aos eixos x e y න 𝑦𝑑𝐹 න 𝒚 𝜎d𝐴 𝜎 න 𝒚 d𝐴 MRy My න 𝑥𝑑𝐹 න 𝒙 𝜎d𝐴 𝜎 න 𝒙 d𝐴 𝑄𝑥 න 𝒚 d𝐴 0 𝑄𝑦 න 𝒙 d𝐴 0 Por definição de centroide temse Sendo a origem dos eixos x y e z localizada no centróide da seção transversal temse 0 𝒅𝑭 𝝈𝒅𝑨 𝒅𝑨 0 Momento Estático ou de Primeira ordem Dessa forma para uma barra sujeita a uma força normal ou axial em cada elemento de volume existe somente uma tensão normal média que se denomina por tensão uniaxial 1 18 Se considerar o equilíbrio vertical do elemento temse Estas tensões normais podem ser Tração tende a alongar a barra Compressão tende a encurtar a barra 𝜎𝑨 𝜎𝑨 0 Fz 0 𝜎 𝜎 𝒛 𝒚 𝒙 𝑷 𝑷 1 19 A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm Determine a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento ilustrado 𝜎𝒎á𝒙 30000 N 35 𝑚𝑚10 𝑚𝑚 𝜎𝒎á𝒙 8571 Τ 𝑁 𝑚𝑚2 8571 MPa 𝜎𝒎é𝒅 𝑁 𝐴 Solução 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 Diagrama de Força Normal Força Normal de tração 𝒙 S S S 𝒚 𝜎𝒙 8571 MPa Estado Plano de Tensão 𝜎𝒙 𝑁 𝜎𝒎á𝒙 1 20 A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes AB de 10 mm de diâmetro e BC de 8 mm de diâmetro como ilustrado na figura Determine a tensão normal média em cada haste 𝜎𝑩𝑪 3952 N 𝜋4 𝑚𝑚2 786 Τ N 𝑚𝑚2 786 MPa DCL 𝐹𝐵𝐶 4 5 𝐹𝐵𝐴 cos 60 0 Fx 0 𝐹𝐵𝐶 3 5 𝐹𝐵𝐴 sin 60 7848 N 0 Fy 0 𝐹𝐵𝐶 3952 N 𝐹𝐵𝐴 6324 N 𝜎𝑩𝑨 6324 N 𝜋5 𝑚𝑚2 805 Τ N 𝑚𝑚2 805 MPa Distribuição da σméd na seção transversal da haste AB 𝜎𝒎é𝒅 𝑃 𝐴 Solução 1 21 A peça fundida ilustrada na figura é feita de aço cujo peso específico é γaço 80 kNm3 Determine a tensão de compressão média que age nos pontos A e B 𝜎𝒎é𝒅 8042 N 𝜋200 𝑚𝑚2 𝜎𝒎é𝒅 0064 Τ N 𝑚𝑚2 640 kPa DCL 𝑃 𝑊𝑎ç𝑜 0 Fz 0 A σméd nos pontos A e B da seção transversal é a mesma por ser constante em toda a seção transversal 𝑃 80 kN 𝑚3 08 𝑚 𝜋 02 𝑚 2 0 𝑃 8042 kN 𝜎𝒎é𝒅 𝑃 𝐴 Solução CG 𝑊𝑎ç𝑜 γaçoV Suponha uma força externa conhecida F de grande intensidade aplicada em uma barra de apoios rígidos o material da barra irá se deformar e falhar ao longo dos planos AB e CD 1 22 Dessa forma a tensão de cisalhamento média mesma direção de V será distribuída sobre cada área A seccionada sendo definida por Representando o DCL e fazendo o equilíbrio do corpo temse 𝑉 𝑉 𝐹 0 FV 0 𝑉 𝐹2 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 A área da seção transversal V força cortante esforço solicitante τméd Tensão de cisalhamento Média DCL 𝑨 1 23 Se considerarmos um elemento infinitesimal de volume de um material em um ponto qualquer de uma área seccionada na qual age a tensão de cisalhamento média pode representálo por O equilíbrio das forças na direção y z e do momento em relação ao eixo x é dado por 𝝉𝒛𝒚 𝒙𝒚 𝝉𝒛𝒚 𝒙𝒚 0 Fy 0 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒚𝒛 𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒛 𝒙𝒛 0 Fz 0 𝝉𝒚𝒛 𝝉𝒚𝒛 Mx 0 𝝉𝒛𝒚 𝒙𝒚 𝒛 𝝉𝒚𝒛 𝒙𝒛 𝒚 0 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒚𝒛 𝝉 Cisalhamento Puro 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝑽 𝑨 𝝉 𝒛 𝒙 y As juntas de aço parafusada e madeira colada ilustradas apresentam uma superfície de cisalhamento e são exemplos de acoplamentos de cisalhamento simples normalmente denominadas juntas sobrepostas 1 24 O cisalhamento causado pela ação direta da força F onde a superfície de fixação está sujeita somente a uma força cortante V F é chamado de cisalhamento simples ou direto Nesses casos são desprezados o momento criado pela força F devido serem elementos de pequena espessura 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝐹 𝐴 1 25 Juntas que apresentam duas superfícies de cisalhamento ou acoplamentos de cisalhamento duplo são denominadas de juntas de dupla superposição O cisalhamento causado pela ação da força F onde as superfícies de fixação estão sujeitas a uma força cortante V F2 é denominado cisalhamento duplo 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝐹 2𝐴 1 26 A barra tem área de seção transversal quadrada com 40 mm de altura e largura Se uma força axial de 800 N for aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da área de seção transversal da barra determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem ao longo dos planos aa e bb 𝜎𝒎é𝒅 800 N 004 𝑚004 𝑚 𝜎𝒎é𝒅 500 Τ 000 N 𝑚2 500 kPa a a DCL 𝝉𝒎é𝒅 0 Não existe força cortante ou de cisalhamento na seção aa 𝜎𝒎é𝒅 𝑁 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝑉 𝐴 Solução 𝝉𝒎é𝒅 0 𝐴 𝜎𝒎é𝒅 𝑵 𝑃 800 𝐍 𝜎𝒙 500 kPa Estado Plano de Tensão 𝜎𝒙 O Tensor de tensões ou Tensor tensão de Cauchy é dado por 𝜎𝑖𝑗 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 𝜎𝑖𝑗 500 0 0 0 0 0 0 0 0 𝒚 𝒛 x 1 27 A tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que age ao longo do plano bb 𝜎𝒎é𝒅 6928 N 004 𝑚004618 𝑚 375 kPa 𝜎𝒎é𝒅 𝑵 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝑽 𝐴 𝑵 800 N sin 60 𝑵 6928 N 𝑽 800 N cos 60 𝑽 4000 N 𝝉𝒎é𝒅 400 N 004 𝑚004618 𝑚 217 kPa DCL b b Solução 𝒙 𝒚 𝒙 y 𝟑𝟎 𝟔𝟎 h sin60 ℎ sin90 ℎ sin60 40 sin90 ℎ 𝒙 𝟑𝟎 𝒚 h h b 𝜎𝑖𝑗 375 217 0 217 0 0 0 0 0 𝑘𝑃𝐴 Tensor tensão de Cauchy 1 28 O profissional responsável pelo projeto de elementos estruturais deve restringir essas tensões do material a um nível seguro 𝜎𝒎é𝒅 𝑷 𝐴 𝝉𝒎é𝒅 𝑽 𝐴 DCL Tensão Normal Média Tensão de cisalhamento Média 𝑵 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝑪𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 DCL 𝑨 1 29 Para garantir a segurança é necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um valor menor do que o elemento possa suportar integralmente Para se ter uma tensão do material a um nível seguro deve ser feitos cálculos utilizandose uma tensão segura ou admissível Este valor também é conhecido como carga de projeto ou carga de trabalho Dessa forma devese considerar os efeitos de vibrações o impacto ou cargas acidentais pessoas móveis veículos e materiais diversos erros de fabricação erros de montagem dos elementos Quando a carga aplicada ao elemento for relacionada linearmente à tensão desenvolvida 1 30 𝑭𝑺 𝜎𝒓𝒖𝒑 𝜎𝒂𝒅𝒎 𝑭𝑺 𝝉𝒓𝒖𝒑 𝝉𝒂𝒅𝒎 Em qualquer dessas relações o FS 1 para evitar o potencial de falha Podese expressar o Fator de Segurança como a relação entre a tensão de ruptura σrup ou τrup e a tensão admissível σadm ou τadm dada por Um dos métodos para especificar a carga para o projeto ou a análise de um elemento é adotar um Fator de Segurança FS que é a relação entre a carga de ruptura e a carga admissível Depende do tipo de material e da finalidade pretendida normas técnicas É determinada em ensaios de laboratório 𝑭𝑺 𝑭𝒓𝒖𝒑 𝑭𝒂𝒅𝒎 Então se um elemento estiver submetido a uma força normal a área requerida ou necessária da seção será determinada por 1 31 Admitindose hipóteses simplificadoras em relação ao comportamento do material material elástico linear podemos projetar por exemplo um elemento mecânico ou um acoplamento simples cisalhamento simples 𝑨 𝑷 𝜎𝒂𝒅𝒎 Se um elemento estiver submetido a uma força cortante a área necessária da seção será determinada por 𝑨 𝑷 𝝉𝒂𝒅𝒎 DCL DCL 𝑷 1 32 A haste está apoiada em sua extremidade por um disco circular fixo como ilustrado na figura Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro determinar o diâmetro d mínimo da haste e a espessura t mínima do disco necessários para suportar uma carga de 20 kN A tensão normal de ruptura da haste é σrupt 120 MPa e a tensão de cisalhamento de ruptura do disco é τrupt 70 MPa e o FS 20 Solução Haste 𝑭𝑺 𝜎𝑟𝑢𝑝 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑨 𝑃 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜎𝒂𝒅𝒎 120 MPa 20 60 MPa 𝜋𝑑2 4 20000 N 60 N𝑚𝑚2 𝜋𝑑2 4 𝑃 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜋𝑑2 4 33333 𝑚𝑚2 𝑑 4 33333 𝑚𝑚2 𝜋 𝑑 20 6 𝑚𝑚 Disco 𝑭𝑺 𝜏𝑟𝑢𝑝 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝝉𝒂𝒅𝒎 70 MPa 20 35 MPa 𝑨 𝑃 𝜏𝑎𝑑𝑚 2𝜋𝑟𝑡 𝑃 𝜏𝑎𝑑𝑚 2𝜋20 𝑚𝑚𝑡 20000 N 35N𝑚𝑚2 12566 𝑚𝑚 𝑡 20000 N 35N𝑚𝑚2 𝑡 57143 𝑚𝑚2 12566 𝑚𝑚 𝑡 455 𝑚𝑚 DCL 1 33 Forças axiais sobre o eixo ilustrado na figura sofre a resistência do colar em C que está acoplado ao eixo e localizado no lado direito do apoio em B Determinar o maior valor de P para as duas forças axiais aplicadas em E e F de modo que a tensão no colar não ultrapasse a tensão admissível de σadm 75 MPa e que a tensão normal média no eixo não exceda a tensão de tração admissível σadm 55 MPa Solução Tensão Normal no eixo 𝑨 𝐹 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜋30 𝑚𝑚2 3𝑃 55 N𝑚𝑚2 𝑃 51 8 kN Tensão Normal no colar de apoio 𝑨 𝐹 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜋40 𝑚𝑚2𝜋30 𝑚𝑚2 3𝑃 75 N𝑚𝑚2 𝑃 549 kN DCL 𝑃 75 N𝑚𝑚2𝜋 40 𝑚𝑚 2 𝜋 30 𝑚𝑚 2 3 𝑃 55 N𝑚𝑚2𝜋 30 𝑚𝑚 2 3 S 2 34 Hibbeler 1115 O punção circular B exerce uma força de 2 kN na parte superior da chapa A Determine a tensão de cisalhamento média na chapa provocada por essa carga 2 35 Hibbeler 199 Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for σaadm 28 MPa determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A e B exigidos para suportar a carga A dimensão das chapas deve ter aproximação de múltiplos de 10 mm As reações nos apoios são verticais Considere P 75 kN 1 36 Págs 25 e 26 Prob 134 135 137 Resolver os seguintes exercícios do capítulo 1 Tensão do livro texto Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler Pág 27 Prob 141 142 145 146 148 Pág 29 Prob 157 158 Pág 39 Prob 181 182 186 Pág 40 Prob 188 190 198 Sugiro verificar os exemplos 113 e 114 resolvidos no capítulo 1 Tensão do livro de Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler