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Engenharia Elétrica ·
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS REVISÃO A1 Profa Luciene Judice Teorema dos Eixos Paralelos Um corpo rígido não possui somente um momento de inércia mas sim um número infinito de momentos de inércia porque possui um número infinito de eixos de rotação No entanto existe uma relação simples entre o momento de inércia Icm em relação ao centro de massa do corpo de massa M e o momento de inércia Ip situado a uma distância d do primeiro Essa relação é conhecida como teorema dos eixos paralelos 𝑰𝒑 𝑰𝒄𝒎 𝑴 𝒅𝟐 Teorema dos Eixos Paralelos 𝐼𝑝 𝐼𝑐𝑚 𝑀 𝑑2 Como pode ser observado pela equação o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo passando em seu centro de massa é menor que o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo Assim é mais fácil fazer um corpo girar quando o eixo de rotação passa pelo centro de massa Isso sugere que é bastante natural que um corpo rígido gire facilmente em torno de um eixo que passe em seu centro de massa O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das superfícies componentes A1 A2 A3 em relação ao mesmo eixo Momentos de Inércia de Superfícies Compostas E para determinar os momentos de inércia de cada superfície em relação ao dado eixo se utiliza do teorema dos eixos paralelos para calcular o momento de inércia de cada superfície em relação a esse eixo comum para posteriormente realizar a adição dos momentos de inércia Vamos determinar o 𝑰 do CG da superfície composta abaixo O 1º passo é definir a origem das coordenadas 𝑥 e 𝑦 O 2º passo é determinar o ponto do centro de gravidade CG de cada superfície dois retângulos de áreas A1 e A2 O 3º passo é determinar a distância entre os centros de gravidade de cada superfície e o eixo para a superfície composta Momentos de Inércia de Superfícies Compostas a b O 4º passo é determinar o momento de inércia de cada superfície em relação ao eixo de referência nesse caso o eixo CG para a superfície comum utilizando o teorema dos eixos paralelos E finalmente somase os momentos de inércia obtidos Momentos de Inércia de Superfícies Compostas 𝐼1 𝐼𝑐𝑚1 𝐴 𝑎2 𝐼2 𝐼𝑐𝑚2 𝐴 𝑏2 𝐼 𝐼1 𝐼2 Centroides de Áreas Planas Exercício 2 SOLUÇÃO Para determinar o ponto do centroide iremos dividir a figura em dois retângulos de áreas e A1 e A2 Centroides de Áreas Planas Momento de Inércia de Áreas Planas Exemplo 3 SOLUÇÃO O 2º passo é traçar todos os eixos que são conhecidos 1 o eixo que passa pelo centro de gravidade da peça inteira 2 o eixo que passa pelo centro de gravidade do retângulo um 3 o eixo que passa pelo centro de gravidade do retângulo dois Exercício 2 SOLUÇÃO Para determinar o ponto do centroides iremos dividir a figura em dois retângulos de áreas A1 e A2 Retângulo 2 A2 5 1 5 cm² u2 25 cm v2 05 cm Retângulo 1 A1 4 1 4 cm² u1 2 05 25 cm v1 1 2 30 cm x u ΣxiAiΣAi y v ΣyiAiΣAi uCG 425 5254 5 25 cm vCG 430 5054 5 161 cm Momento de Inércia de Áreas Planas Exemplo 3 SOLUÇÃO Note que os eixos 𝑥1 𝑥2 e 𝑥𝐶𝐺 não coincidem ou seja estão distantes paralelamente um do outro Já o eixo 𝑦 passa igualmente por todos os pontos Isso significa que o teorema dos eixos paralelos servirá apenas para calcular o momento de inércia em torno do eixo x o 𝐼𝑥 Momento de Inércia de Áreas Planas Exemplo 3 SOLUÇÃO Para calcular o momento de inércia é necessário conhecer a distância entre os eixos ou seja a distância entre 𝑥1 e 𝑥𝐶𝐺 e a distância entre 𝑥2 e 𝑥𝐶𝐺 representadas respectivamente pelas letras a e b 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑐 𝐴 𝑎2 a b 𝐼𝑥 𝑏 ℎ3 12 Momento de Inércia de Áreas Planas Método Gráfico para Construir Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor Exercício 3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na Figura Exemplo 3 SOLUÇÃO Para calcular o momento de inércia é necessário conhecer a distância entre os eixos ou seja a distância entre x1 e xCG e a distância entre x2 e xCG representadas respectivamente pelas letras a e b a 30 161 139 cm b 161 05 111 cm Momento de Inércia em x Ix Ixc A a² Ix Jx1 A1 a² Jx2 A2 b² Ix 14³12 4139²12 5111² 1964 cm⁴
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS REVISÃO A1 Profa Luciene Judice Teorema dos Eixos Paralelos Um corpo rígido não possui somente um momento de inércia mas sim um número infinito de momentos de inércia porque possui um número infinito de eixos de rotação No entanto existe uma relação simples entre o momento de inércia Icm em relação ao centro de massa do corpo de massa M e o momento de inércia Ip situado a uma distância d do primeiro Essa relação é conhecida como teorema dos eixos paralelos 𝑰𝒑 𝑰𝒄𝒎 𝑴 𝒅𝟐 Teorema dos Eixos Paralelos 𝐼𝑝 𝐼𝑐𝑚 𝑀 𝑑2 Como pode ser observado pela equação o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo passando em seu centro de massa é menor que o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo Assim é mais fácil fazer um corpo girar quando o eixo de rotação passa pelo centro de massa Isso sugere que é bastante natural que um corpo rígido gire facilmente em torno de um eixo que passe em seu centro de massa O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das superfícies componentes A1 A2 A3 em relação ao mesmo eixo Momentos de Inércia de Superfícies Compostas E para determinar os momentos de inércia de cada superfície em relação ao dado eixo se utiliza do teorema dos eixos paralelos para calcular o momento de inércia de cada superfície em relação a esse eixo comum para posteriormente realizar a adição dos momentos de inércia Vamos determinar o 𝑰 do CG da superfície composta abaixo O 1º passo é definir a origem das coordenadas 𝑥 e 𝑦 O 2º passo é determinar o ponto do centro de gravidade CG de cada superfície dois retângulos de áreas A1 e A2 O 3º passo é determinar a distância entre os centros de gravidade de cada superfície e o eixo para a superfície composta Momentos de Inércia de Superfícies Compostas a b O 4º passo é determinar o momento de inércia de cada superfície em relação ao eixo de referência nesse caso o eixo CG para a superfície comum utilizando o teorema dos eixos paralelos E finalmente somase os momentos de inércia obtidos Momentos de Inércia de Superfícies Compostas 𝐼1 𝐼𝑐𝑚1 𝐴 𝑎2 𝐼2 𝐼𝑐𝑚2 𝐴 𝑏2 𝐼 𝐼1 𝐼2 Centroides de Áreas Planas Exercício 2 SOLUÇÃO Para determinar o ponto do centroide iremos dividir a figura em dois retângulos de áreas e A1 e A2 Centroides de Áreas Planas Momento de Inércia de Áreas Planas Exemplo 3 SOLUÇÃO O 2º passo é traçar todos os eixos que são conhecidos 1 o eixo que passa pelo centro de gravidade da peça inteira 2 o eixo que passa pelo centro de gravidade do retângulo um 3 o eixo que passa pelo centro de gravidade do retângulo dois Exercício 2 SOLUÇÃO Para determinar o ponto do centroides iremos dividir a figura em dois retângulos de áreas A1 e A2 Retângulo 2 A2 5 1 5 cm² u2 25 cm v2 05 cm Retângulo 1 A1 4 1 4 cm² u1 2 05 25 cm v1 1 2 30 cm x u ΣxiAiΣAi y v ΣyiAiΣAi uCG 425 5254 5 25 cm vCG 430 5054 5 161 cm Momento de Inércia de Áreas Planas Exemplo 3 SOLUÇÃO Note que os eixos 𝑥1 𝑥2 e 𝑥𝐶𝐺 não coincidem ou seja estão distantes paralelamente um do outro Já o eixo 𝑦 passa igualmente por todos os pontos Isso significa que o teorema dos eixos paralelos servirá apenas para calcular o momento de inércia em torno do eixo x o 𝐼𝑥 Momento de Inércia de Áreas Planas Exemplo 3 SOLUÇÃO Para calcular o momento de inércia é necessário conhecer a distância entre os eixos ou seja a distância entre 𝑥1 e 𝑥𝐶𝐺 e a distância entre 𝑥2 e 𝑥𝐶𝐺 representadas respectivamente pelas letras a e b 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑐 𝐴 𝑎2 a b 𝐼𝑥 𝑏 ℎ3 12 Momento de Inércia de Áreas Planas Método Gráfico para Construir Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor Exercício 3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na Figura Exemplo 3 SOLUÇÃO Para calcular o momento de inércia é necessário conhecer a distância entre os eixos ou seja a distância entre x1 e xCG e a distância entre x2 e xCG representadas respectivamente pelas letras a e b a 30 161 139 cm b 161 05 111 cm Momento de Inércia em x Ix Ixc A a² Ix Jx1 A1 a² Jx2 A2 b² Ix 14³12 4139²12 5111² 1964 cm⁴