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Administração ·
Matemática Aplicada
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Matemática Para Negócios 2016 PUC ECEC Escola de Ciências Exatas e da e Física GO Março 2016 Prof Me Samuel Lima Picanço Notas de Aula do Professor Função de Primeiro Grau 1 Definição Uma função pode ser entendida como uma fórmula matemática usada para relacionar grandezas Como exemplo podemos analisar a seguinte situação 11 Exemplos Primeiro Exemplo Um taxista cobra R8 00 de bandeirada mais R1 50 por quilômetro percorrido em seu táxi Ao final de uma corrida quanto deverá pagar um cliente A resposta que parece mais plausível para responder esta pergunta pode começar com a palavra depende Depende da distância percorrida pelo cliente certo Isso mesmo As grandezas envolvidas no problema são distância percorrida medida em quilômetros e o valor da corrida medida em Reais A situação descrita pode ser relatada na tabela a seguir distância km cálculos valor em Reais 1 8 1 1 50 950 2 8 2 1 50 1100 3 8 3 1 50 1250 x 8 x 1 50 y 8 1 50x Na tabela podemos observar o seguinte cada unidade que a grandeza distância percorrida aumenta faz aumentar R1 50 no valor da corrida e esse aumento é sempre o mesmo independente de qual distância seja percorrida Em outra palavras sempre que aumentarmos 1 km na distância percorrida o valor da corrida de táxi aumenta R1 50 Esta é uma característica própria para este tipo de função Outra observação importante a se fazer na tabela é que na fórmula obtida para relacionar as grandezas x distncia e y valor a pagar o maior expoente que aparece na grandeza x é 1 Isso dá o nome a esta função de Função de Primeiro Grau No nosso exemplo a fórmula obtida por meio da observação foi y 8 1 50x Note que o número que mul tiplica o x é a mesma quantidade que faz variar a grandeza valor a pagar quando a distância varia 1 km Este número pode ser chamado de taxa de vari ação e no caso da função de primeiro grau é constante De um modo geral uma função de primeiro grau é toda função que puder ser escrita na forma y ax b ou fx ax b O número que aparece multiplicando o x variável independente é a taxa de variação e também pode ser chamado de coeficiente angular O número que aparece sozinhona expressão b é chamado de valor fixo ou valor inicial ou ainda coeficiente linear da função No nosso exemplo do táxi novamente o a vale 150 e indica que cada vez que o x aumentar 1 unidade o y aumentará 150 Faça o teste você mesmo Outra observação que podemos fazer é que se a distância percorrida aumentar o valor da corrida também aumenta Em termos matemáticos se a va riável x aumentar variável independente a variável y variável dependente também aumentará Funções com esta característica são chamadas de funções crescentes Observe ainda que se alguém entrar no táxi e por algum motivo desistir de fazer a viagem deverá pagar 1 o valor da bandeirada ou seja R8 00 Este pode ser entendido matematicamente como valor inicial ou fixo porque é que se tem como resultado quando o x 0 Segundo Exemplo Uma tanque tem capacidade para armazenar 10 000 litros de água e está completamente cheio Neste exato momento é descoberto que existe um vazamento no fundo do tanque e este deixa fluir 01 litros de água por hora Se alguém perguntar quantos litros de água haverá no tanque A resposta novamente será depende pois a quantidade de água diminui com o tempo e enquanto o vazamento não for coberto continuará saindo água à taxa de 01 litros por hora Podemos construir uma tabela como foi feito no problema do táxi tempo h cálculos volume de água L 1 10000 1 0 1 9 9999 2 10000 2 0 1 9 9998 3 10000 3 0 1 9 9997 10 10000 10 0 1 9 999 x 10 x 0 1 y 10000 0 1x A tabela nos mostra que enquanto o tempo au menta a quantidade de água no tanque diminui a uma taxa de 0 1 litros por hora O número que multiplica a variável x é negativo nesse caso A função em questão será decrescente pois ao aumentarmos os valores de x os valores de y diminuem Mais uma vez podemos estudar a expressão forma dora da função e perceber que x é multiplicado por um número que indica a quantidade que a variável y variar cada vez que x variar uma unidade Nesse caso cada aumento de 1 unidade na grandeza tempo acarretará a uma redução de 0 1 na grandeza volume O valor fixo ou valor inicial é a quantidade de água existente no tanque antes de começar a vazar ou seja 10 000 litros Vamos agora estudar algumas funções só com inten ções matemáticas sem nos preocuparmos por enquanto com aplicações para elas Terceiro Exemplo A função fx 2x 4 é uma função crescente Como podemos comprovar esta afirmação Observe que o número que multiplica a variável inde pendente é positivo Isso já basta para ilustrar que uma função é crescente Mas se você é uma pessoa comple tamente incrédula faça o seguinte escolha qualquer valor para a variável x qualquer que seja Por exem plo irei escolher 8 Vamos agora calcular a imagem de 8 A imagem de 8 é obtida na função substituindo se o valor de x por 8 f8 2 8 4 Lembrese de efetuar primeiro a multiplicação e depois a subtração f8 16 4 f8 12 Obs Estou usando o símbolo para indicar multipli cação bem diferente do x variável CUIDADO Bem vamos agora escolher um valor maior que 8 para calcular sua imagem por exemplo 9 f9 2 9 4 f9 18 4 14 Conclua agora quando x aumentou de 8 para 9 fx aumentou de 12 para 14 Logo a função é crescente Cabe uma obervação importante aqui esta conclusão só pode ser tomada porque se trata de uma função de primeiro grau 12 Raiz ou zero da função Ainda sobre a função fx 2x4 podemos explorar mais algumas coisas como por exemplo você já ouviu falar em raiz de uma função Pois é a raiz é um valor do x que zera aquela função Muitas pessoas também dizem zeroda função Iremos nos referir então à raiz ou zero da função Todas as vezes que o problema for determine o zero ou a raiz da função tal você terá que descobrir dentre as inúmeras possibilidades existentes para a escolha do x qual delas fará o resultado dar zero Mas não será preciso ficar testando um por um como você pensou Vamos então procurar qual a raiz 2 da função fx 2x 4 Para responder a esta pergunta basta igualar a expres são formadora da função a zero e resolver a equação neste caso de primeiro grau que será obtida 2x 4 0 Lembrese objetivo aqui é isolar a variável x até de terminarmos o seu valor Inicialmente vamos tirar o 4 do primeiro membro Ao ser levado ao segundo membro ele vai com a operação inversa ou nesse caso oposta à subtração que é a adição 2x 4 Agora o 2 que está multiplicando o x vai dividindo o 4 nada de mudar o sinal hein x 4 2 Como a divisão é exata e inteira nesse caso x 2 Qual a interpretação para esse 2 Significa se você substituir o x por 2 na função fx 2x 4 vai encontrar zero como resultado No exemplo do tanque com água a raiz da função pode ser encarada como o tempo que irá se passar até que o tanque fique completamente vazio Tente responder isto depois 121 Exemplos 1 Dada a função fx 4x 1 determine a f1 b f0 c A raiz d f4 f2 Resolução a Para calcular f1 basta substituir o x na função f por 1 f1 4 1 1 Lembrese de usar os parênteses para não misturar os sinais Façamos primeiro a multiplicação lembrando da regra dos sinais f1 4 1 5 b f0 4 0 1 Zero multiplicando qualquer valor é igual a zero f0 1 c A raiz Para calcular a raiz basta igualar a função a zero e resolver a equação de primeiro grau originada 4x 1 0 4x 1 x 1 4 Na divisão de sinais iguais resultado positivo Logo x 1 4 Significa que se na função x 1 4 f 0 d Para responder este item podemos calcular separa damente f4 e f2 e em seguida somar os resulta dos f4 4 4 1 f4 16 1 15 f2 4 2 1 f2 8 1 9 Agora devemos somar os resultados f4 f2 15 9 6 2 Qual é a raiz da função fx 3x 9 Solução Lembrese para calcular a raiz da função basta igualar a expressão a zero e resolver a equação de primeiro grau 3x 9 0 3x 9 x 9 3 x 3 Tente interpretar todas as vezes que você calcular a raiz o seguinte o valor obtido ao ser substituído na função gera como resultado zero Vamos conferir f3 3 3 9 f3 9 9 0 3 2 Gráfico da Função de Primerio Grau Toda função seja ela qual for pode ser representada por meio de um gráfico Com a função de primeiro grau não seria diferente Utilizamos o sistema de co ordenadas cartesianas proposto por René Descartes Leia Renê Decarte filósofo e matemático dentre ou tras coisas francês do século XVI Ele propôs que todo ponto do plano pudesse ser representado por um par ordenado Entenda como um par ordenado um par de números como o próprio nome diz separados por vírgula dentro de parênteses Nesse par a ordem im porta por isso o nome ordenado e indica que o se gundo valor relacionase com o primeiro por meio de uma fórmula matemática Por exemplo na função do táxi lembra y 8 1 50x ou fx 8 1 50x quando per corremos a distância de 2 quilômetros pagamos a importância de 11 reais Podemos representar isso pelo par 211 Neste par o segundo número que é o 11 se relaciona com o primeiro que é o 2 por meio da fórmula matemática y 8 1 50x Mas você deve se perguntar e o que tem a ver isto com ponto Entãoa resposta é simples Antes de respondêla observe a figura a seguir Este é o sistema de coordenadas cartesianas usada por nós para dentre outras coisas representar grá ficos de função Neste sistema cada par ordenado representa um ponto e vice versa Sendo assim o primeiro elemento do par x irá representar um deslocamento horizontal a partir do eixo vertical y tantas unidades conforme for o seu valor Se o valor positivo deslocamento para a direita Se o valor for negativo deslocamento para a esquerda No exemplo em questão o par 211 x 2 Vamos deslocar duas unidades horizontalmente para a direita a partir do eixo vertical O segundo valor do par ordenado nesse caso 11 irá representar um deslocamento verticaly de 11 unidades para cima a partir do eixo horizontal x No local do plano em que as retas tracejadas se in terceptaram marcamos um ponto Este é o ponto que representa o par ordenado 211 4 Vejamos como se comporta uma função de primeiro grau quando a representamos graficamente Vamos usar como exemplo a função fx 2x 4 Sugestão Construa uma tabela pequena e escolha alguns valores para a variável independente Não se prenda só nos números positivos Se a sua função não tiver aplicações práticas na economia ou na física por exemplo você poderá escolher qualquer valor para o x inclusive os negativos x cálculos y 3 2 3 2 8 2 2 2 2 6 1 2 1 2 4 0 2 0 2 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 Você já conseguiu verificar um padrão nos números da terceira coluna Isso mesmo Eles estão variando de 2 em 2 Lembra se o número que multiplica o x é 2 ele então é de se esperar que a variação ocorrerá de 2 em 2 Vamos agora marcar estes pares ordenados no plano cartesiano Cada par ordenado um ponto Você pode se perguntar que par ordenado Bem os elementos da coluna da esquerda comporão o primeiro elemento do par e os da terceira coluna o segundo elemento do par Sendo assim os pares ordenados são 3826 14 02 10 e 22 Vamos usar o procedimento ilustrado anteriormente para localizar estes pontos no plano cartesiano como ilustra a figura a seguir Os pontos estão miudinhosmas da esquerda para direita aparecem A B C D E e F É fácil perceber que eles estão alinhados Podes comprovar isto colocando uma régua sobre o ponto A e o ponto F Vai verificar que a régua tocatodos os demais pontos Sendo assim você poderá representar este gráfico por meio de uma linha reta que contém todos estes pontos mencionados anteriormente Observando o gráfico percebemos que a reta inter cepta o eixo horizontal em x 1 que é raiz para esta função O eixo vertical é interceptado em y 2 que é o valor inicial ou valor fixo desta função 5 Percebemos que o gráfico poderia ter sido construído com apenas dois dos pontos marcados já que estão todos alinhados Em todo gráfico representativo de função de primeiro grau você poderá proceder assim escolha dois valores para a variável independente x e calcule as suas respectivas imagens Localize esses pontos no plano cartesiano e trace uma reta que passa por eles como será feito no exemplo a seguir Construa o gráfico da seguinte função fx 4x 4 Resolução Como foi dito você poderá escolher quaisquer valores para a variável independente x Neste caso irei escolher 0 e 1 Observe que se você escolher o zero terá de imediato o ponto 0 b ou seja o lugar onde o gráfico vai interceptar o eixo y Para x 0 f0 4 0 4 f0 4 Para x 1 f1 4 1 4 f1 0 Vamos localizar agora os pontos A04 e B10 Agora basta traçar uma linha reta que passa por estes dois pontos Mais uma vez fica evidente que o gráfico intercepta o eixo x na raiz ou seja sem x 1 Significa que se x 1 na função f1 0 Outra observação importante no gráfico diz respeito à inclinação da reta Diferentemente do outro exemplo esta reta tem inclinação para a esquerda A função é decrescente ou seja quando os valores de x aumenta y diminui 3 Aplicações Vamos aqui mostrar algumas aplicações para função de primeiro grau na Economia 31 A Função Custo A função que fornece o custo total C da produção de uma quantidade x de um produto é chamada função custo Custos de Manufatura Considere uma empresa que produz rádios A fábrica e a maquinaria necessária para o início da produção constituem os custos fixos os quais incorrem mesmo que não se produza rádio algum A mão de obra e as 6 matérias primas são o custo variável pois estas condi ções dependem de quantos rádios são fabricados Os custos fixos desta empresa totalizam R24000 00 e os custos variáveis R7 00 por rádio Vamos escrever a função que permite calcular o custo C das x unidades produzidas Custos totais da empresa Custo fixo custo variável Cx 24000 7x Vamos fazer um esboço entenda esboço como um ras cunho do gráfico da função 32 A Função Receita A função receita fornece a renda total R de uma em presa ao vender uma quantidade x de um produto Se o preço por unidade é p e a quantidade vendida é x então Receita Preço Quantidade e portanto R px Se o preço não depende da quantidade vendida então p é constante e o gráfico da receita como função da quantidade é a reta que passa pela origem e tem inclinação p Vejamos um exemplo Esboce o gráfico da função receita do fabricante de rádios sabendo que cada rádio é vendido ao preço de R15 00 Indique o preço de um rádio no gráfico Resolução Como Rx 15x o gráfico da receita é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 15 Vejamos a figura Observe que o aumento de uma unidade no eixo horizontal equivale a um aumento de 15 no eixo vertical Isso ilustra o que foi falado várias vezes em sala o número que multiplica a variável x na função de primeiro grau indica a variação da função quando esta variável aumenta em uma unidade Vamos agora esboçar o gráfico das funções custo Cx e receita Rx no mesmo sistema de coordenadas Cx 24000 7x e Rx 15x 7 O ponto de equilíbrio indicado pelo gráfico in dica a quantidade de rádios fabricada e vendida que faz a receita ser igual ao custo Para determinar este ponto basta igualarmos a função custo e a função receita como farei a seguir Cx Rx 24000 7x 15x Lembrese que para resolver esta equação basta isolar variável de números Sendo assim vamos deixar o 7x e o 15x do mesmo lado da igualdade 24000 15x 7x 24000 8x O 8 que está multiplicando vai dividindo x 24000 8 x 3000 Ou seja 3000 rádios devem ser fabricados e vendidos para que o custo seja igual à receita 33 A Função Lucro Mas se o custo for igual à receita qual será o lucro Bem nesse caso o lucro seria nulo né Concluímos então que para que se tenha lucro nesse problema a quantidade de rádios fabricados e vendidos deve ser maior que 3000 unidades Definimos a função lucro Lx como a diferença entre a receita e o lucro Sendo assim Lx Rx Cx Para finalizar vamos esboçar o gráfico da função lu croAntes vamos determinar uma fórmula para o lu cro Lx 15x 24000 7x Lembrese de usar um parêntese nesse caso devido ao sinal de menos que irá aparecer antes da expressão do custo Lx 15x 24000 7x O 7x e o 24 000 ficaram negativos devido à regra de sinal usada para a multiplicação Lx 8x 24000 Agora vamos esboçar o gráfico dessa função Vimos em sala que esse esboço pode ser feito localizando dois valores notáveis o valor inicial termos da função que não tem a variável x e a raiz O valor inicial ou coefi ciente linear vai ser o local que o gráfico interpretar o eixo vertical A raiz o local onde o gráfico intercepta o eixo horizontal O valor inicial é 24000 Para achar a raiz basta igualar a função a zero 8x 24000 0 8x 24000 x 24000 8 x 3000 Está quase pronto Basta localizarmos no eixo hori zontal o 3000 e no vertical o 24000 Claro que iremos mudar a escala né Vamos às interpretações do gráfico se x 0 o lucro é negativo em 24000 ou seja nada foi fabricado e nada foi vendido Lembrese que há um custo fixo de 24000 A raiz da função indica qual quantidade deve ser fabri cada e vendida para que o lucro seja nulo Isso divide a função em parte positiva e parte negativa Para quan tidades maiores que 3000 lucro positivo Quantidades menores que 3000 lucro negativo 8
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Matemática Para Negócios 2016 PUC ECEC Escola de Ciências Exatas e da e Física GO Março 2016 Prof Me Samuel Lima Picanço Notas de Aula do Professor Função de Primeiro Grau 1 Definição Uma função pode ser entendida como uma fórmula matemática usada para relacionar grandezas Como exemplo podemos analisar a seguinte situação 11 Exemplos Primeiro Exemplo Um taxista cobra R8 00 de bandeirada mais R1 50 por quilômetro percorrido em seu táxi Ao final de uma corrida quanto deverá pagar um cliente A resposta que parece mais plausível para responder esta pergunta pode começar com a palavra depende Depende da distância percorrida pelo cliente certo Isso mesmo As grandezas envolvidas no problema são distância percorrida medida em quilômetros e o valor da corrida medida em Reais A situação descrita pode ser relatada na tabela a seguir distância km cálculos valor em Reais 1 8 1 1 50 950 2 8 2 1 50 1100 3 8 3 1 50 1250 x 8 x 1 50 y 8 1 50x Na tabela podemos observar o seguinte cada unidade que a grandeza distância percorrida aumenta faz aumentar R1 50 no valor da corrida e esse aumento é sempre o mesmo independente de qual distância seja percorrida Em outra palavras sempre que aumentarmos 1 km na distância percorrida o valor da corrida de táxi aumenta R1 50 Esta é uma característica própria para este tipo de função Outra observação importante a se fazer na tabela é que na fórmula obtida para relacionar as grandezas x distncia e y valor a pagar o maior expoente que aparece na grandeza x é 1 Isso dá o nome a esta função de Função de Primeiro Grau No nosso exemplo a fórmula obtida por meio da observação foi y 8 1 50x Note que o número que mul tiplica o x é a mesma quantidade que faz variar a grandeza valor a pagar quando a distância varia 1 km Este número pode ser chamado de taxa de vari ação e no caso da função de primeiro grau é constante De um modo geral uma função de primeiro grau é toda função que puder ser escrita na forma y ax b ou fx ax b O número que aparece multiplicando o x variável independente é a taxa de variação e também pode ser chamado de coeficiente angular O número que aparece sozinhona expressão b é chamado de valor fixo ou valor inicial ou ainda coeficiente linear da função No nosso exemplo do táxi novamente o a vale 150 e indica que cada vez que o x aumentar 1 unidade o y aumentará 150 Faça o teste você mesmo Outra observação que podemos fazer é que se a distância percorrida aumentar o valor da corrida também aumenta Em termos matemáticos se a va riável x aumentar variável independente a variável y variável dependente também aumentará Funções com esta característica são chamadas de funções crescentes Observe ainda que se alguém entrar no táxi e por algum motivo desistir de fazer a viagem deverá pagar 1 o valor da bandeirada ou seja R8 00 Este pode ser entendido matematicamente como valor inicial ou fixo porque é que se tem como resultado quando o x 0 Segundo Exemplo Uma tanque tem capacidade para armazenar 10 000 litros de água e está completamente cheio Neste exato momento é descoberto que existe um vazamento no fundo do tanque e este deixa fluir 01 litros de água por hora Se alguém perguntar quantos litros de água haverá no tanque A resposta novamente será depende pois a quantidade de água diminui com o tempo e enquanto o vazamento não for coberto continuará saindo água à taxa de 01 litros por hora Podemos construir uma tabela como foi feito no problema do táxi tempo h cálculos volume de água L 1 10000 1 0 1 9 9999 2 10000 2 0 1 9 9998 3 10000 3 0 1 9 9997 10 10000 10 0 1 9 999 x 10 x 0 1 y 10000 0 1x A tabela nos mostra que enquanto o tempo au menta a quantidade de água no tanque diminui a uma taxa de 0 1 litros por hora O número que multiplica a variável x é negativo nesse caso A função em questão será decrescente pois ao aumentarmos os valores de x os valores de y diminuem Mais uma vez podemos estudar a expressão forma dora da função e perceber que x é multiplicado por um número que indica a quantidade que a variável y variar cada vez que x variar uma unidade Nesse caso cada aumento de 1 unidade na grandeza tempo acarretará a uma redução de 0 1 na grandeza volume O valor fixo ou valor inicial é a quantidade de água existente no tanque antes de começar a vazar ou seja 10 000 litros Vamos agora estudar algumas funções só com inten ções matemáticas sem nos preocuparmos por enquanto com aplicações para elas Terceiro Exemplo A função fx 2x 4 é uma função crescente Como podemos comprovar esta afirmação Observe que o número que multiplica a variável inde pendente é positivo Isso já basta para ilustrar que uma função é crescente Mas se você é uma pessoa comple tamente incrédula faça o seguinte escolha qualquer valor para a variável x qualquer que seja Por exem plo irei escolher 8 Vamos agora calcular a imagem de 8 A imagem de 8 é obtida na função substituindo se o valor de x por 8 f8 2 8 4 Lembrese de efetuar primeiro a multiplicação e depois a subtração f8 16 4 f8 12 Obs Estou usando o símbolo para indicar multipli cação bem diferente do x variável CUIDADO Bem vamos agora escolher um valor maior que 8 para calcular sua imagem por exemplo 9 f9 2 9 4 f9 18 4 14 Conclua agora quando x aumentou de 8 para 9 fx aumentou de 12 para 14 Logo a função é crescente Cabe uma obervação importante aqui esta conclusão só pode ser tomada porque se trata de uma função de primeiro grau 12 Raiz ou zero da função Ainda sobre a função fx 2x4 podemos explorar mais algumas coisas como por exemplo você já ouviu falar em raiz de uma função Pois é a raiz é um valor do x que zera aquela função Muitas pessoas também dizem zeroda função Iremos nos referir então à raiz ou zero da função Todas as vezes que o problema for determine o zero ou a raiz da função tal você terá que descobrir dentre as inúmeras possibilidades existentes para a escolha do x qual delas fará o resultado dar zero Mas não será preciso ficar testando um por um como você pensou Vamos então procurar qual a raiz 2 da função fx 2x 4 Para responder a esta pergunta basta igualar a expres são formadora da função a zero e resolver a equação neste caso de primeiro grau que será obtida 2x 4 0 Lembrese objetivo aqui é isolar a variável x até de terminarmos o seu valor Inicialmente vamos tirar o 4 do primeiro membro Ao ser levado ao segundo membro ele vai com a operação inversa ou nesse caso oposta à subtração que é a adição 2x 4 Agora o 2 que está multiplicando o x vai dividindo o 4 nada de mudar o sinal hein x 4 2 Como a divisão é exata e inteira nesse caso x 2 Qual a interpretação para esse 2 Significa se você substituir o x por 2 na função fx 2x 4 vai encontrar zero como resultado No exemplo do tanque com água a raiz da função pode ser encarada como o tempo que irá se passar até que o tanque fique completamente vazio Tente responder isto depois 121 Exemplos 1 Dada a função fx 4x 1 determine a f1 b f0 c A raiz d f4 f2 Resolução a Para calcular f1 basta substituir o x na função f por 1 f1 4 1 1 Lembrese de usar os parênteses para não misturar os sinais Façamos primeiro a multiplicação lembrando da regra dos sinais f1 4 1 5 b f0 4 0 1 Zero multiplicando qualquer valor é igual a zero f0 1 c A raiz Para calcular a raiz basta igualar a função a zero e resolver a equação de primeiro grau originada 4x 1 0 4x 1 x 1 4 Na divisão de sinais iguais resultado positivo Logo x 1 4 Significa que se na função x 1 4 f 0 d Para responder este item podemos calcular separa damente f4 e f2 e em seguida somar os resulta dos f4 4 4 1 f4 16 1 15 f2 4 2 1 f2 8 1 9 Agora devemos somar os resultados f4 f2 15 9 6 2 Qual é a raiz da função fx 3x 9 Solução Lembrese para calcular a raiz da função basta igualar a expressão a zero e resolver a equação de primeiro grau 3x 9 0 3x 9 x 9 3 x 3 Tente interpretar todas as vezes que você calcular a raiz o seguinte o valor obtido ao ser substituído na função gera como resultado zero Vamos conferir f3 3 3 9 f3 9 9 0 3 2 Gráfico da Função de Primerio Grau Toda função seja ela qual for pode ser representada por meio de um gráfico Com a função de primeiro grau não seria diferente Utilizamos o sistema de co ordenadas cartesianas proposto por René Descartes Leia Renê Decarte filósofo e matemático dentre ou tras coisas francês do século XVI Ele propôs que todo ponto do plano pudesse ser representado por um par ordenado Entenda como um par ordenado um par de números como o próprio nome diz separados por vírgula dentro de parênteses Nesse par a ordem im porta por isso o nome ordenado e indica que o se gundo valor relacionase com o primeiro por meio de uma fórmula matemática Por exemplo na função do táxi lembra y 8 1 50x ou fx 8 1 50x quando per corremos a distância de 2 quilômetros pagamos a importância de 11 reais Podemos representar isso pelo par 211 Neste par o segundo número que é o 11 se relaciona com o primeiro que é o 2 por meio da fórmula matemática y 8 1 50x Mas você deve se perguntar e o que tem a ver isto com ponto Entãoa resposta é simples Antes de respondêla observe a figura a seguir Este é o sistema de coordenadas cartesianas usada por nós para dentre outras coisas representar grá ficos de função Neste sistema cada par ordenado representa um ponto e vice versa Sendo assim o primeiro elemento do par x irá representar um deslocamento horizontal a partir do eixo vertical y tantas unidades conforme for o seu valor Se o valor positivo deslocamento para a direita Se o valor for negativo deslocamento para a esquerda No exemplo em questão o par 211 x 2 Vamos deslocar duas unidades horizontalmente para a direita a partir do eixo vertical O segundo valor do par ordenado nesse caso 11 irá representar um deslocamento verticaly de 11 unidades para cima a partir do eixo horizontal x No local do plano em que as retas tracejadas se in terceptaram marcamos um ponto Este é o ponto que representa o par ordenado 211 4 Vejamos como se comporta uma função de primeiro grau quando a representamos graficamente Vamos usar como exemplo a função fx 2x 4 Sugestão Construa uma tabela pequena e escolha alguns valores para a variável independente Não se prenda só nos números positivos Se a sua função não tiver aplicações práticas na economia ou na física por exemplo você poderá escolher qualquer valor para o x inclusive os negativos x cálculos y 3 2 3 2 8 2 2 2 2 6 1 2 1 2 4 0 2 0 2 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 Você já conseguiu verificar um padrão nos números da terceira coluna Isso mesmo Eles estão variando de 2 em 2 Lembra se o número que multiplica o x é 2 ele então é de se esperar que a variação ocorrerá de 2 em 2 Vamos agora marcar estes pares ordenados no plano cartesiano Cada par ordenado um ponto Você pode se perguntar que par ordenado Bem os elementos da coluna da esquerda comporão o primeiro elemento do par e os da terceira coluna o segundo elemento do par Sendo assim os pares ordenados são 3826 14 02 10 e 22 Vamos usar o procedimento ilustrado anteriormente para localizar estes pontos no plano cartesiano como ilustra a figura a seguir Os pontos estão miudinhosmas da esquerda para direita aparecem A B C D E e F É fácil perceber que eles estão alinhados Podes comprovar isto colocando uma régua sobre o ponto A e o ponto F Vai verificar que a régua tocatodos os demais pontos Sendo assim você poderá representar este gráfico por meio de uma linha reta que contém todos estes pontos mencionados anteriormente Observando o gráfico percebemos que a reta inter cepta o eixo horizontal em x 1 que é raiz para esta função O eixo vertical é interceptado em y 2 que é o valor inicial ou valor fixo desta função 5 Percebemos que o gráfico poderia ter sido construído com apenas dois dos pontos marcados já que estão todos alinhados Em todo gráfico representativo de função de primeiro grau você poderá proceder assim escolha dois valores para a variável independente x e calcule as suas respectivas imagens Localize esses pontos no plano cartesiano e trace uma reta que passa por eles como será feito no exemplo a seguir Construa o gráfico da seguinte função fx 4x 4 Resolução Como foi dito você poderá escolher quaisquer valores para a variável independente x Neste caso irei escolher 0 e 1 Observe que se você escolher o zero terá de imediato o ponto 0 b ou seja o lugar onde o gráfico vai interceptar o eixo y Para x 0 f0 4 0 4 f0 4 Para x 1 f1 4 1 4 f1 0 Vamos localizar agora os pontos A04 e B10 Agora basta traçar uma linha reta que passa por estes dois pontos Mais uma vez fica evidente que o gráfico intercepta o eixo x na raiz ou seja sem x 1 Significa que se x 1 na função f1 0 Outra observação importante no gráfico diz respeito à inclinação da reta Diferentemente do outro exemplo esta reta tem inclinação para a esquerda A função é decrescente ou seja quando os valores de x aumenta y diminui 3 Aplicações Vamos aqui mostrar algumas aplicações para função de primeiro grau na Economia 31 A Função Custo A função que fornece o custo total C da produção de uma quantidade x de um produto é chamada função custo Custos de Manufatura Considere uma empresa que produz rádios A fábrica e a maquinaria necessária para o início da produção constituem os custos fixos os quais incorrem mesmo que não se produza rádio algum A mão de obra e as 6 matérias primas são o custo variável pois estas condi ções dependem de quantos rádios são fabricados Os custos fixos desta empresa totalizam R24000 00 e os custos variáveis R7 00 por rádio Vamos escrever a função que permite calcular o custo C das x unidades produzidas Custos totais da empresa Custo fixo custo variável Cx 24000 7x Vamos fazer um esboço entenda esboço como um ras cunho do gráfico da função 32 A Função Receita A função receita fornece a renda total R de uma em presa ao vender uma quantidade x de um produto Se o preço por unidade é p e a quantidade vendida é x então Receita Preço Quantidade e portanto R px Se o preço não depende da quantidade vendida então p é constante e o gráfico da receita como função da quantidade é a reta que passa pela origem e tem inclinação p Vejamos um exemplo Esboce o gráfico da função receita do fabricante de rádios sabendo que cada rádio é vendido ao preço de R15 00 Indique o preço de um rádio no gráfico Resolução Como Rx 15x o gráfico da receita é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 15 Vejamos a figura Observe que o aumento de uma unidade no eixo horizontal equivale a um aumento de 15 no eixo vertical Isso ilustra o que foi falado várias vezes em sala o número que multiplica a variável x na função de primeiro grau indica a variação da função quando esta variável aumenta em uma unidade Vamos agora esboçar o gráfico das funções custo Cx e receita Rx no mesmo sistema de coordenadas Cx 24000 7x e Rx 15x 7 O ponto de equilíbrio indicado pelo gráfico in dica a quantidade de rádios fabricada e vendida que faz a receita ser igual ao custo Para determinar este ponto basta igualarmos a função custo e a função receita como farei a seguir Cx Rx 24000 7x 15x Lembrese que para resolver esta equação basta isolar variável de números Sendo assim vamos deixar o 7x e o 15x do mesmo lado da igualdade 24000 15x 7x 24000 8x O 8 que está multiplicando vai dividindo x 24000 8 x 3000 Ou seja 3000 rádios devem ser fabricados e vendidos para que o custo seja igual à receita 33 A Função Lucro Mas se o custo for igual à receita qual será o lucro Bem nesse caso o lucro seria nulo né Concluímos então que para que se tenha lucro nesse problema a quantidade de rádios fabricados e vendidos deve ser maior que 3000 unidades Definimos a função lucro Lx como a diferença entre a receita e o lucro Sendo assim Lx Rx Cx Para finalizar vamos esboçar o gráfico da função lu croAntes vamos determinar uma fórmula para o lu cro Lx 15x 24000 7x Lembrese de usar um parêntese nesse caso devido ao sinal de menos que irá aparecer antes da expressão do custo Lx 15x 24000 7x O 7x e o 24 000 ficaram negativos devido à regra de sinal usada para a multiplicação Lx 8x 24000 Agora vamos esboçar o gráfico dessa função Vimos em sala que esse esboço pode ser feito localizando dois valores notáveis o valor inicial termos da função que não tem a variável x e a raiz O valor inicial ou coefi ciente linear vai ser o local que o gráfico interpretar o eixo vertical A raiz o local onde o gráfico intercepta o eixo horizontal O valor inicial é 24000 Para achar a raiz basta igualar a função a zero 8x 24000 0 8x 24000 x 24000 8 x 3000 Está quase pronto Basta localizarmos no eixo hori zontal o 3000 e no vertical o 24000 Claro que iremos mudar a escala né Vamos às interpretações do gráfico se x 0 o lucro é negativo em 24000 ou seja nada foi fabricado e nada foi vendido Lembrese que há um custo fixo de 24000 A raiz da função indica qual quantidade deve ser fabri cada e vendida para que o lucro seja nulo Isso divide a função em parte positiva e parte negativa Para quan tidades maiores que 3000 lucro positivo Quantidades menores que 3000 lucro negativo 8