Capacitores e Corrente Elétrica em Circuitos Elétricos

CAPACITOR CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS ELÉTRICOS Hugo de León Carvalho Cedro Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 2 Olá aluno a Unifacear Seja bemvindo a à aula CAPACITOR CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS ELÉTRICOS Nesta aula vamos iniciar a discussão sobre dispositivos que possuem a capacidade de armazenar energia elétrica Em seguida vamos tratar os principais conceitos que estão relacionados a corrente elétrica e descrever as equações relativas para então utilizar esses conceitos no entendimento de circuitos elétricos INTRODUÇÃO Existem dispositivos com a capacidade particular de armazenar energia elétrica chamamos estes dispositivos de capacitores Nossa discussão se concentrará nos capacitores de placas paralelas assim como no conceito de condutores e isolantes que é essencial para o entendimento desses dispositivos Ainda é importante recordar os conceitos de densidade de carga pois quando pensamos em dispositivo carregado se ele possui uma placa carregada haverá uma distribuição de cargas de forma superficial desta forma é possível calcular o valor da carga contida neste dispositivo carregado utilizando o conceito de densidade superficial de carga Em seguida vamos entender o que é uma corrente elétrica e como ela é definida de forma matemática CAPACITOR Devido a composição dos capacitores é importante realizar uma discussão sobre o que é um material isolante assim como o que é um material condutor Quando aplicamos um campo elétrico em uma distribuição de cargas contida em um material essa distribuição responde a esse campo elétrico em função de sua estrutura atômica interna Em materiais onde os portadores de carga elétrons estão presos ao átomo sem resposta significativa quando aplicados campos elétricos moderados temos um material isolante no qual a estrutura pode sofrer leve distorção com a aplicação do campo elétrico não gerando mudanças significativas Se ao aplicarmos um campo elétrico em determinado material os elétrons de condução ou livres se movimentam vemos que a força elétrica associada ao campo elétrico é suficiente para gerar o movimento desses elétrons assim este material é denominado condutor Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 3 Quando analisamos um condutor denominado perfeito ou ideal algumas características diferenciais são importantes uma delas é a ausência de campo elétrico no interior do condutor ou seja o campo é nulo no interior Isto ocorre visto que os elétrons livres não estão sempre em movimento assim não existe uma força que promove esse movimento constante por este motivo não há campo elétrico no interior de um condutor Os elétrons em um condutor se distribuem rapidamente sobre a superfície deste assim qualquer acréscimo de carga é redistribuído na superfície do condutor Vamos imaginar duas placas condutoras e paralelas posicionadas uma em cima da outra se a placa de cima está carregada com uma carga q e a de baixo com uma carga q podemos perceber que o campo elétrico possui direção vertical com sentido para baixo Então vemos que cada placa é uma superfície equipotencial pois possui o mesmo potencial elétrico ao longo de sua estrutura como o potencial entre cada placa é diferente também podemos ver que a diferença de potencial entre as placas não é nula mas possui um valor que podemos calcular Temos que 𝑉 𝑉2 𝑉1 4 1 Assim como 𝑉 𝑈 𝑞 4 2 O que nos leva a 𝑈 𝑞 𝐸 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑞𝑉 4 3 𝐸 𝑑 𝑉 4 4 Se utilizarmos a lei de Gauss será possível calcular o campo elétrico envolvido na situação como segue 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 0 𝐸 𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 0 4 5 E o campo elétrico é 𝐸 𝑞𝑒𝑛𝑣 A0 4 6 Como a carga envolvida é aquela distribuída na superfície da placa pode ser encontrada com Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 4 dq 𝜎𝑑𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝜎𝐴 4 7 Então o campo elétrico é 𝐸 𝑞𝑒𝑛𝑣 A0 𝜎𝐴 A0 4 8 𝐸 𝜎 0 4 9 Aplicando em 44 temos 𝐸 𝑑 𝑉 𝜎 0 𝑑 4 10 Lembrando que 𝜎 𝑞 𝐴 4 11 Temos 𝑉 𝑞𝑑 0𝐴 4 12 Mesmo sendo uma diferença de potencial é comum que o delta seja omitido e somente a letra V apareça o que torna 𝑉 𝑞𝑑 0𝐴 4 13 Agora é possível perceber que a diferença de potencial V é proporcional a carga q de forma experimental é possível determinar uma constante de proporcionalidade chamada de capacitância com a seguinte expressão 𝑞 𝐶 𝑉 4 14 O que nos leva a definição de capacitância que indica a quantidade de carga que deve ser fornecida as placas para que tenham uma determinada diferença de potencial expressa matematicamente como 𝐶 𝑞 𝑉 4 15 Em unidades temos que a capacitância é dada em CV e define uma nova unidade o farad F assim 1 F 1 CV Assim de 413 podemos calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas que possui o valor Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 5 𝐶 𝑞 𝑉 𝑞 𝑞𝑑 0𝐴 4 16 𝐶 0𝐴 𝑑 4 17 De modo semelhante é possível calcular a capacitância de um capacitor cilíndrico utilizando a lei de Gauss pelo mesmo processo chegamos ao valor 𝐶 2π0𝐿 ln 𝑏 𝑎 4 18 Para um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas a capacitância é 𝐶 4π0 𝑎𝑏 𝑏 𝑎 4 19 Tanto para o cilíndrico como para a casca esférica a e b são os raios menor e maior respectivamente Quando relacionamos o trabalho com a energia potencial na forma já demonstrada é possível calcular as contribuições infinitesimais para a determinação do trabalho total como segue 𝑊 𝑑𝑊 4 20 Aplicando as relações de trabalho potencial elétrico e capacitância é possível determinar a energia potencial elétrica armazenada em um capacitor Assim 𝑈 𝑞𝑑𝑞 𝐶 𝑞 0 4 21 𝑈 𝑞² 2𝐶 4 22 Que pode ser reescrito na forma 𝑈 1 2 𝐶𝑉² 4 23 CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS ELÉTRICOS Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 6 A corrente elétrica pode ser definida como o movimento das cargas elétricas de forma direcionada ou em uma direção específica Assim todos os fenômenos que envolvem o movimento dessas cargas estão relacionados com a corrente elétrica Se imaginarmos um condutor na forma de um fio sabemos que existem elétrons livres também chamados de elétrons de condução Esses elétrons estão livres como indica seu nome em movimento aleatório Ao seccionar uma porção transversal desse condutor é possível perceber que elétrons atravessam de maneira aleatória e não preferencial para os dois lados da seção após algum tempo o número de elétrons que atravessou a seção ou seja a corrente total esta será nula visto que não há direção preferencial Agora ao ligar uma fonte as duas extremidades do fio com uma diferença de potencial V veremos que os elétrons passam a se movimentar em uma direção preferencial Nesta situação o transporte das cargas através da seção promove uma corrente elétrica direcionada Quando analisamos essa situação ao longo do tempo chegamos a conclusão que a corrente ao longo do tempo é 𝑖 𝑑𝑞 𝑑𝑡 4 24 O que nos leva a 𝑞 𝑞 4 25 Assim 𝑞 𝑖𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 4 26 É fácil perceber que a unidade de corrente é o Coulomb sobre tempo Cs existe uma unidade utilizada para substituir essa relação chamada de ampère A Assim 1 Cs 1 A Em diversas situações as correntes são representadas por setas orientadas o motivo dessa representação é mostrar a direção do movimento mas é importante perceber que a corrente é uma grandeza escalar composta por outras duas grandezas escalares o tempo e a carga assim não é realizado tratamento vetorial para a corrente elétrica Observe a figura abaixo Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 7 Figura 1 Corrente em um condutor Fonte Cedro 2022 Na figura temos a representação de um condutor que se divide em dois condutores Kirchhoff identificou que a corrente que está no primeiro condutor um fio único será dividida entre os dois condutores formados pela divisão Esta afirmação é conhecida como a lei de Kirchhoff sua expressão matemática formal pode ser identificada da seguinte forma 𝑖 𝑑𝑞1 𝑑𝑡 𝑑𝑞2 𝑑𝑡 4 27 O que nos leva a 𝑖 𝑖1 𝑖2 4 28 Então podemos afirmar que o valor total da corrente que entra em um condutor é idêntico ao valor de saída Caso os condutores da figura se juntem novamente podemos afirmar que o valor da corrente será o valor inicial Vamos analisar o circuito elétrico mostrado na figura 2 Figura 2 Circuito com corrente elétrica direcionada Fonte Cedro 2022 Observe que o sentido da corrente é para cima com o valor de 2 A posteriormente ela se divide para dois condutores Pela lei de Kirchhoff é fácil calcular qual é o valor da corrente i como segue Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 8 𝑖 𝑖1 𝑖2 2 15 𝑖2 05 𝐴 𝑖2 Perceba que o valor próximo a seta que indica o sentido inicial da corrente é o valor total da corrente contida nesse circuito visto que não há nenhuma divisão da corrente nesse ponto após a primeira e única divisão apresentada vemos que o valor da corrente se dividiu para o conduto horizontal e para o vertical Posteriormente os dois condutores se encontram novamente assim o valor da corrente volta a ser 2 A É importante perceber que estamos tratando o sentido da corrente assumindo que os portadores de carga que se movem são positivos o que não é verdade como vimos quem se move são os portadores negativos que são os elétrons livres Não há problema nessa convenção já que o efeito seria o mesmo Também é possível definir o fluxo das cargas que atravessam a seção transversal de um condutor Para isto vamos definir o vetor densidade de corrente 𝑖 𝐽 𝑑𝐴 4 29 Definindo J como 𝐽 𝑖 𝐴 4 30 Assim o vetor densidade de corrente elétrica possui como unidade Am² Assumindo que o fio mostrado é cilíndrico podemos calcular a densidade de corrente que passa nesse fio da seguinte forma 𝐽 𝑖 𝐴 4 31 𝐽 𝑖 𝜋𝑟² 4 32 Se o fio possui uma densidade de corrente uniforme J a corrente que percorre esse fio em uma seção transversal é 𝑖 𝐽 𝜋𝑟² 4 33 Em uma situação na qual a densidade de corrente não é uniforme podemos determinar através do cálculo integral qual será a corrente envolvida no problema Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 9 Se queremos determinar a corrente em determinada parte do fio como a corrente envolvida entre r2 e r considerando que a densidade de corrente não é uniforme e varia conforme J1πr temos 𝑖 𝐽 𝑑𝐴 𝑑𝐴 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑖 𝐽 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑖 1 𝜋𝑟 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑖 2𝑑𝑟 𝑟 𝑟2 2𝑟 𝑟 2 𝑖 𝑟 𝐴 Quando pensamos na condução dessa corrente através de condutores se compararmos diferentes materiais vamos perceber que alguns possuem uma corrente elétrica maior que outros mesmo quando submetidos a mesma diferença de potencial Essa diferença se deve a uma característica intrínseca do material se comparamos o vidro com um metal qualquer a leitura da corrente elétrica induzida no vidro é muito menor que a leitura realizada no metal Assim de forma experimental foi determinada uma proporcionalidade entre a diferença de potencial e a corrente gerada em um condutor Essa proporcionalidade é expressa através de uma constante da forma que segue 𝑉 𝑘𝑖 4 34 Essa constante é chamada de resistência elétrica que fornece 𝑉 𝑅 𝑖 4 35 Para determinar a resistência temos 𝑅 𝑉 𝑖 4 36 A unidade de resistência dada pela equação é VA devido a frequência de utilização essa unidade assume a equivalência 1 VA 1 Ω A unidade Ω é conhecida como ohm em homenagem a Georg Simon Ohm Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 10 A partir desse momento a unidade de resistência utilizada será o Ω A importância da definição dessa unidade e desta grandeza reside no fato que quanto maior a resistência elétrica de um material menor será a corrente gerada Em relação aos condutores Ohm observou que a uma temperatura constante alguns materiais não modificam a sua resistência mesmo com a variação da tensão e da corrente Para determinado condutor verifique a validade desta proposição conhecida como a lei de Ohm para a seguinte tabela Tabela 1 Voltagem e corrente elétrica para cálculo da resistência Voltagem V Corrente i Resistência Ω 10 05 20 10 30 15 40 20 Fonte Cedro 2022 Vamos analisar o circuito da figura 3 onde temos o valor das resistências de 100 Ω e 200 Ω assim como a tensão de 30 V Figura 3 Resistores em série Fonte Cedro 2022 Kirchhoff propôs outra lei que é a lei de Kirchhoff das voltagens onde diz que numa malha fechada a soma de todas as diferenças de potencial é nula Assim podemos escrever 𝑉 𝑉1 𝑉2 4 37 O que nos leva a Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 11 𝑅𝑇 𝑉1 𝑖 𝑉2 𝑖 4 38 Assim temos 𝑅𝑇 𝑅1 𝑅2 4 39 𝑖 𝑉 𝑅𝑇 4 40 Como temos o valor da tensão e podemos somar as resistências calculamos 𝑅𝑇 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑇 100 200 300Ω 𝑖 𝑉 𝑅𝑇 𝑖 30 300 𝑖 01 𝐴 Assim através dessa lei podemos calcular a corrente elétrica envolvida em qualquer circuito que possua resistências associadas em série utilizando a lei de Kirchhoff e a lei de Ohm assim como as demais relações apresentadas até o momento Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 12 RESUMO O primeiro objetivo desta aula foi descrever o que é e como funciona um capacitor de placas paralelas associando o conceito de energia potencial armazenada campo elétrico diferença de potencial e carga elétrica envolvida terminando com a definição da energia como abaixo 𝑈 1 2 𝐶𝑉² Em seguida identificamos o que é uma corrente elétrica analisando sua unidade seu sentido e a lei de Kirchhoff para avaliar como a corrente se distribui através de um circuito qualquer 𝑖 𝑖1 𝑖2 Por fim nosso objetivo foi descrever como a resistência elétrica de um material pode ser analisada a partir da lei de Ohm e da lei de Kirchhoff 𝑉 𝑉1 𝑉2 𝑅𝑇 𝑉1 𝑖 𝑉2 𝑖 𝑅𝑇 𝑅1 𝑅2 𝑖 𝑉 𝑅𝑇 Capacitor Corrente Elétrica e Circuitos Elétricos 13 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FERREIRA F G Princípios básicos de eletromagnetismo e termodinâmica Curitiba Intersaberes 2017 MACIEL E B Fundamentos da física Curitiba Intersaberes 2021 NOTAROS B M Eletromagnetismo São Paulo Pearson education do Brasil 2012 OLIVEIRA I Introdução ao eletromagnetismo São Paulo Blucher 2021 RAMOS A Eletromagnetismo São Paulo Blucher 2016 SILVA E S et al Eletromagnetismo Fundamentos e simulações São Paulo Pearson education do Brasil 2014 TELLES D D NETTO J M Física com aplicação tecnológica eletrostática eletricidade e magnetismo São Paulo Blucher 2018 YOUNG H D FREEDMAN R A Física III Eletromagnetismo Sears e Zemansky Eletromagnetismo 12 Ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2009