·
Engenharia Civil ·
Outros
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
CINEMÁTICA DA ROTAÇÃO E MOVIMENTO RELATIVO Fabiano Thomazi Cinemática da Rotação e movimento relativo 2 1 CINEMÁTICA DA ROTAÇÃO O movimento de corpos independente do seu tamanho e considerando o caso ideal tem sido estudado Posição velocidade aceleração e força e as suas relações são as grandezas físicas usadas para estudar o movimento O movimento linear foi tema de estudo até o presente momento contudo este tipo de movimento não é a forma mais geral de movimento observado na natureza Movimentos de rotação ocorrem em diversas escalas de tamanho deste os movimentos de elétrons até a rotação das galáxias podem ser citados O início do estudo das rotações assim como no movimento linear considera a velocidade e a aceleração mas no contexto das rotações Primeiro devese ter um sistema de referencias ou coordenadas para que se possa considerar os movimentos tendo um ponto comum A Figura 1 ilustra o movimento de rotação de um ponteiro preso a um eixo perpendicular ao plano x y Figura 1 Movimento de rotação de um ponteiro em relação a um eixo fixo Fonte Thomazi 2021 Na Figura 1 o ponteiro apresenta posições diferentes no plano indicando que realizou o movimento de rotação em relação ao eixo fixo na origem e perpendicular ao plano x y Para descrever suas posições podese considerar as coordenadas xy contudo uma forma mais direta é através do ângulo formado entre o eixo x e o ponteiro Assim na Figura 1a temse 𝜃 000 e com o passar do tempo na Figura 1b temse 𝜃 3870 terminando em 𝜃 1210 na Figura 1c No estudo do movimento rotacional é comum tratar as posições angulares do corpo rígido em rotação em radianos ao invés de graus Deste modo os ângulos mostrados na Figura 1 podem ser expressos em radianos como 0 rad 0675 rad e 211 rad respectivamente A relação entre graus e radianos é de 1800 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Cinemática da Rotação e movimento relativo 3 Comparando o movimento retilíneo com o movimento de rotação podese verificar que a variável indicada para representar a posição nas rotações será o ângulo 𝜃 como a variável x indica a posição do corpo no movimento retilíneo Para considerar o movimento de rotação considerase uma marca de referência no corpo e os ângulos 𝜃 são medidos em relação a essa marca A Figura 2 ilustra a marca de referência para um disco que gira em torno do eixo perpendicular Figura 2 Eixo de referência para ângulos Fonte Thomazi 2021 A partir dos ângulos 𝜽 pode se determinar a velocidade angular do movimento de rotação assim como a velocidade média no movimento linear Considerando a posição angular 𝜽𝟏 para o instante 𝒕𝟏 e 𝜽𝟐 no instante 𝐭𝟐 a velocidade angular média é definida como 𝜔𝑚 𝜃2 𝜃1 𝑡2 𝑡1 𝜃 𝑡 A equação acima permite calcular a velocidade angular média através da rapidez com que a marca de referência no corpo em rotação varre a distância angular entre 𝜃2 e 𝜃1 A unidade da velocidade angular media é dada em rads em termos de rotações por minuto ou rpm 1 rads é aproximadamente 10 rpm Assim como na velocidade média os sinais positivo e negativo são utilizados para orientar a direção do movimento no caso linear velocidades negativas são orientadas para valores negativos no sistema de referências enquanto velocidades positivas indicam a direção oposta ou seja valores positivos do sistema de referência Para a velocidade angular média os valores são Cinemática da Rotação e movimento relativo 4 positivos quando as rotações ocorrem em sentido antihorário e negativa quando as rotações ocorrem em sentido horário A velocidade angular instantânea assim como a velocidade instantânea pode ser definida em termos do limite quando a variação de tempo torna se nula Assim temse 𝜔 𝑙𝑖𝑚 𝑡0 𝜃 𝑡 similar a velocidade instantânea Devese ressaltar que um corpo com velocidade média está em movimento em relação a um eixo coordenado e sua posição se altera com o passar do tempo Já para um corpo com velocidade angular o corpo rotaciona em relação a um eixo perpendicular ao corpo como é ilustrado na Figura 2 e sua posição no espaço não sofre alteração Cada ponto presente no corpo rígido sofre a mesma variação angular quando o corpo muda da posição 𝜃1 para a posição 𝜃2 assim todos os pontos apresentam mesma velocidade angular Contudo a velocidade linear de cada ponto no corpo rígido não será a mesma pois estes estão localizados a diferentes distâncias do eixo de rotação A Figura 3 ilustra esta situação Figura 3 Relação entre velocidade angular e linear dos pontos do corpo rígido Fonte Thomazi 2021 A Figura 3 representa um disco visto de cima que rota em sentido antihorário com velocidade angular 𝜔 e sobre ele estão indicados dois pontos P1 na borda do disco e P2 que se localiza a meio caminho do centro do disco até a borda Como as setas que indicam os pontos variam suas posições angulares de modo igual ambos os pontos Cinemática da Rotação e movimento relativo 5 apresentam mesma velocidade angular contudo a velocidade linear será diferente pois a relação entre velocidade angular e linear é dada por 𝑣 𝑟𝜔 em que r é o raio ou distância entre o centro do disco até o ponto e v é a velocidade linear do ponto Como o ponto P1 está a uma distância que é o dobro da distância de P2 em relação ao centro P1 terá velocidade maior que P2 No caso do movimento linear a velocidade é alterada por uma força que atua no corpo o que leva a sua aceleração aumentando sua velocidade ou uma desaceleração que reduz sua velocidade até sua parada Para o movimento circular o mesmo conceito é valido ou seja para que a velocidade angular seja alterada uma força deve provocar uma aceleração angular A aceleração angular provoca alterações no movimento circular se o sentido da aceleração angular é o mesmo da velocidade angular esta aumentará e o corpo passará a rotacionar cada vez mais rápido Contudo se o sentido da aceleração angular for o contrário da velocidade angular diminuirá até que o corpo entre em repouso A aceleração angular é dada pela razão entre a variação da velocidade angular e o tempo que essa atua no corpo Assim a aceleração angular será 𝛼𝑚 𝜔 𝑡 𝜔2 𝜔1 𝑡2 𝑡1 em que a aceleração média 𝛼𝑚 é dada em rads2 e a aceleração instantânea é definida em termos do limite 𝛼 𝑙𝑖𝑚 𝑡0 𝜔 𝑡 Que determina a aceleração angular num dado instante Considerando a aceleração angular constante podese determinar um conjunto de equações que relacionam posição velocidade e aceleração angular no decorrer do tempo assim como foi feito com o movimento linear A Tabela 1 relaciona esse conjunto de equações Cinemática da Rotação e movimento relativo 6 Tabela 1 Comparativo das equações do movimento retilíneo e o movimento de rotação Movimento retilíneo Rotação em torno de um eixo 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝛼 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 𝑥0 𝑣0𝑡 12𝑎𝑡2 𝜃 𝜃0 𝜔0𝑡 12𝛼𝑡2 𝑣2 𝑣0 2 2𝑎𝑥 𝑥0 𝜔2 𝜔0 2 2𝛼𝜃 𝜃0 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 𝜔 𝜔0 𝛼𝑡 𝑥 𝑥0 12𝑣 𝑣0𝑡 𝜃 𝜃0 12𝑣 𝑣0𝑡 Fonte Thomazi 2021 A Tabela 1 compara os conjuntos de equações relacionando aceleração velocidade e tempo mostrando as similaridades nos movimentos retilíneos e as rotações Assim como podese comparar a velocidade linear com a velocidade angular para um dado ponto no corpo rígido que gira em torno de um eixo ele pode ser feito para a aceleração linear A Figura 4 mostra a aceleração linear para um dado ponto num disco que roda em torno do eixo perpendicular que passa através do centro do disco Na Figura 4 a aceleração é decomposta em aceleração centrípeta que aponta para o centro do disco ac e aceleração tangencial atg que é orientada de modo perpendicular a aceleração centrípeta Figura 4 Relação da aceleração linear de um dado ponto no corpo rígido Fonte Thomazi 2021 Para a aceleração tangencial do ponto podese relacionar a aceleração angular mediante a equação 𝑎𝑡𝑔 𝑟𝛼 Cinemática da Rotação e movimento relativo 7 em que r é o raio do disco assim quanto mais distante do centro maior será a aceleração tangencial do ponto no corpo rígido Considerouse até o momento a rotação de corpos rígidos constituídos por diversas partículas e com dimensões apreciáveis mas o movimento circular também pode ser observado em partículas com dimensões desprezíveis que descrevem circunferências ou arco de circunferência Uma ilustração seria de uma partícula presa a uma corda e que gira em torno de um eixo fixo como ilustrado na Figura 5 Figura 5 Movimento circular apresentado por uma partícula em que são mostradas a velocidade e aceleração Fonte Thomazi 2021 Na Figura 5 estão ilustrados os vetores velocidade e aceleração da partícula e podese perceber que estes vetores são perpendiculares pois o vetor aceleração mostrado é a aceleração centrípeta sempre busca o centro do movimento circular O módulo da aceleração centrípeta é dado por 𝑎 𝑣2 𝑟 sendo r o raio da circunferência e v a velocidade da partícula O tempo para que a partícula completa uma volta ou uma revolução é conhecido como período da rotação e relaciona o comprimento da circunferência com a velocidade por 𝑇 2𝜋𝑟 𝑣 considerando que v seja constante Cinemática da Rotação e movimento relativo 8 2 MOVIMENTO RELATIVO Os movimentos são descritos em termos de referencias como o sistema cartesiano portanto a posição e velocidade são medidas em termos dessa referência No cotidiano um sistema de referência muito usado é o solo e comparase a velocidade dos corpos em relação a este referencial Considere um guarda rodoviário parado no acostamento de uma rodovia com um aparelho de radar aferindo as velocidades dos motoristas passantes e determina se esses estão dentro do limite de velocidade Um motorista passa pelo guarda e o observa no acostamento em repouso nessa situação o motorista apresenta uma velocidade 𝑣𝑎 em relação ao referencial do guarda rodoviário e para um dado instante de tempo apresenta uma posição 𝑥𝑏𝑎 também em relação ao referencial do guarda Um segundo motorista com velocidade 𝑣𝑏 superior ultrapassa o primeiro motorista pois sua velocidade é maior e para um dado instante de tempo sua posição será 𝑥𝑝𝑏 A percepção das posições e velocidades para cada um dos observadores em seus respectivos referenciais serão diferentes pois o movimento relativo entre os observadores tem esse efeito A Figura 6 ilustra essa situação do movimento relativo Figura 6 Movimento relativo entre observadores Fonte Thomazi 2021 O guarda rodoviário referencial A e o primeiro motorista referencial B observam o segundo motorista enquanto o primeiro e o segundo motorista movemse com velocidades diferentes ao longo do eixo x comum aos dois referenciais Assim a posição do segundo motorista é dada por 𝑥𝑝𝑎 𝑥𝑝𝑏 𝑥𝑏𝑎 Cinemática da Rotação e movimento relativo 9 a velocidade pode ser obtida através da equação 𝑣𝑝𝑎 𝑣𝑝𝑏 𝑣𝑏𝑎 a equação acima significa que a velocidade do segundo motorista medida pelo guarda rodoviário é igual a velocidade medida pelo primeiro motorista mais a velocidade do primeiro motorista medida pelo guarda rodoviário Devese notar que as velocidades dos referenciais A e B são constantes ou seja não apresentam aceleração Assim a velocidade do primeiro motorista não muda em relação ao guarda rodoviário mas a velocidade do segundo motorista pode sofrer alterações o que indica uma aceleração Na Figura 6 suponha que a velocidade do primeiro motorista em relação ao guarda rodoviário é de 𝑣𝑏𝑎 52 𝑘𝑚ℎ constante e que o carro do segundo motorista está se movendo no sentido negativo do eixo x Se o guarda rodoviário mede uma velocidade constante de 𝑣𝑝𝑎 78 𝑘𝑚ℎ para o segundo motorista qual a velocidade 𝑣𝑝𝑏 medida pelo primeiro motorista A última equação correlaciona as velocidades entre o guarda rodoviário e o primeiro e o segundo motorista assim 78 𝑣𝑝𝑏 52 𝑣𝑝𝑏 130 𝑘𝑚ℎ se o carro do segundo motorista estivesse ligado ao carro do primeiro motorista por um fio flexível e enrolado num carretel o fio se desenrolaria a uma velocidade de 130 kmh enquanto os dois carros estivessem se separando Considerandose que o segundo motorista pare seu carro ao acionar os freios o que faz com que ele desacelere em relação ao guarda rodoviário e que isso ocorre no instante de 10 s com uma aceleração constante e contrária ao movimento Qual seria a desaceleração em relação ao guarda rodoviário Como a desaceleração é constante em relação ao guarda rodoviário e sua velocidade inicial é de 78 kmh devese considerar que sua velocidade final seja zero assim da equação a seguir 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 Cinemática da Rotação e movimento relativo 10 Podese determinar desaceleração 𝑎𝑝𝑎 como 𝑎𝑝𝑎 𝑣 𝑣0 𝑡 0 2166 10 22 𝑚𝑠2 a velocidade foi convertida de kmh para ms para que aceleração fosse obtida em unidade usual de ms2 No caso 22 ms2 é a desaceleração constante que os freios exercem sobre as rodas do segundo carro Além da aceleração obtida em relação ao guarda rodoviário podese determinar a aceleração que o segundo motorista tem em relação ao primeiro motorista quando aciona os freios Através da equação acima podese determinar essa aceleração Sabese que a velocidade inicial do segundo motorista em relação ao primeiro motorista é 𝑣𝑝𝑏 130 𝑘𝑚ℎ o que equivale a 3611 ms A velocidade final é de 52 Kmh o que equivale a 1444 ms Assim a desaceleração entre o segundo e o primeiro motorista será calculada por 𝑎𝑝𝑏 𝑣 𝑣0 𝑡 1444 3611 10 22 𝑚𝑠2 a aceleração de uma partícula nesse caso o carro medida por observadores em diferentes referenciais que se movem com velocidade constante uns em relação aos outros é sempre a mesma Incialmente o estudo do movimento relativo de corpos posição e velocidade pode parecer de difícil compreensão mas em várias situações cotidianas podese perceber esse tipo de movimento Considere um motorista trafegando por uma rua seu carro a velocidade constante quando um segundo motorista se aproxima na via da esquerda Para o primeiro motorista o segundo carro num primeiro momento se aproxima depois por um instante ambos os carros desenvolvem mesma velocidade e por fim o segundo motorista o ultrapassa Cinemática da Rotação e movimento relativo 11 Avaliando estes movimentos do referencial do segundo motorista temse a aproximação e o momento em que ambos estão emparelhados na via quando o segundo motorista ultrapassa o primeiro o segundo motorista tem a sensação de que o primeiro motorista se deslocou para trás Outra situação de movimento relativo pode ser observada na travessia de um rio com velocidade constante Considere um garoto que deseja atingir a margem oposta de um rio que fui com velocidade constante o garoto salta no rio e começa a nadar em linha reta contudo sua velocidade é menor do que a velocidade do rio Por conta dessa diferença de velocidades o garoto será deslocado lateralmente no sentido do rio quando atingir a margem oposta o garoto estará numa posição diferente em relação a margem que ele partiu Cinemática da Rotação e movimento relativo 12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALONSO Marcelo Finn Edward J Física um curso universitário 2 ed brasileira Blucher 2014 HALLIDAY David Resnick Robert J Fundamentos de Física V 1 8 ed Rio de Janeiro LTC 2008 LEITE Alvaro E Física Conceitos e aplicações de mecânica 1 ed Curitiba Intersaberes 2014 TIPLER Paul A Física para cientistas e engenheiros V 1 3 ed Rio de Janeiro LTC 1995 YOUNG Hugh D Freedman Roger A Física I Mecânica 12 ed São Paulo Ed Pearson 2010
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
CINEMÁTICA DA ROTAÇÃO E MOVIMENTO RELATIVO Fabiano Thomazi Cinemática da Rotação e movimento relativo 2 1 CINEMÁTICA DA ROTAÇÃO O movimento de corpos independente do seu tamanho e considerando o caso ideal tem sido estudado Posição velocidade aceleração e força e as suas relações são as grandezas físicas usadas para estudar o movimento O movimento linear foi tema de estudo até o presente momento contudo este tipo de movimento não é a forma mais geral de movimento observado na natureza Movimentos de rotação ocorrem em diversas escalas de tamanho deste os movimentos de elétrons até a rotação das galáxias podem ser citados O início do estudo das rotações assim como no movimento linear considera a velocidade e a aceleração mas no contexto das rotações Primeiro devese ter um sistema de referencias ou coordenadas para que se possa considerar os movimentos tendo um ponto comum A Figura 1 ilustra o movimento de rotação de um ponteiro preso a um eixo perpendicular ao plano x y Figura 1 Movimento de rotação de um ponteiro em relação a um eixo fixo Fonte Thomazi 2021 Na Figura 1 o ponteiro apresenta posições diferentes no plano indicando que realizou o movimento de rotação em relação ao eixo fixo na origem e perpendicular ao plano x y Para descrever suas posições podese considerar as coordenadas xy contudo uma forma mais direta é através do ângulo formado entre o eixo x e o ponteiro Assim na Figura 1a temse 𝜃 000 e com o passar do tempo na Figura 1b temse 𝜃 3870 terminando em 𝜃 1210 na Figura 1c No estudo do movimento rotacional é comum tratar as posições angulares do corpo rígido em rotação em radianos ao invés de graus Deste modo os ângulos mostrados na Figura 1 podem ser expressos em radianos como 0 rad 0675 rad e 211 rad respectivamente A relação entre graus e radianos é de 1800 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Cinemática da Rotação e movimento relativo 3 Comparando o movimento retilíneo com o movimento de rotação podese verificar que a variável indicada para representar a posição nas rotações será o ângulo 𝜃 como a variável x indica a posição do corpo no movimento retilíneo Para considerar o movimento de rotação considerase uma marca de referência no corpo e os ângulos 𝜃 são medidos em relação a essa marca A Figura 2 ilustra a marca de referência para um disco que gira em torno do eixo perpendicular Figura 2 Eixo de referência para ângulos Fonte Thomazi 2021 A partir dos ângulos 𝜽 pode se determinar a velocidade angular do movimento de rotação assim como a velocidade média no movimento linear Considerando a posição angular 𝜽𝟏 para o instante 𝒕𝟏 e 𝜽𝟐 no instante 𝐭𝟐 a velocidade angular média é definida como 𝜔𝑚 𝜃2 𝜃1 𝑡2 𝑡1 𝜃 𝑡 A equação acima permite calcular a velocidade angular média através da rapidez com que a marca de referência no corpo em rotação varre a distância angular entre 𝜃2 e 𝜃1 A unidade da velocidade angular media é dada em rads em termos de rotações por minuto ou rpm 1 rads é aproximadamente 10 rpm Assim como na velocidade média os sinais positivo e negativo são utilizados para orientar a direção do movimento no caso linear velocidades negativas são orientadas para valores negativos no sistema de referências enquanto velocidades positivas indicam a direção oposta ou seja valores positivos do sistema de referência Para a velocidade angular média os valores são Cinemática da Rotação e movimento relativo 4 positivos quando as rotações ocorrem em sentido antihorário e negativa quando as rotações ocorrem em sentido horário A velocidade angular instantânea assim como a velocidade instantânea pode ser definida em termos do limite quando a variação de tempo torna se nula Assim temse 𝜔 𝑙𝑖𝑚 𝑡0 𝜃 𝑡 similar a velocidade instantânea Devese ressaltar que um corpo com velocidade média está em movimento em relação a um eixo coordenado e sua posição se altera com o passar do tempo Já para um corpo com velocidade angular o corpo rotaciona em relação a um eixo perpendicular ao corpo como é ilustrado na Figura 2 e sua posição no espaço não sofre alteração Cada ponto presente no corpo rígido sofre a mesma variação angular quando o corpo muda da posição 𝜃1 para a posição 𝜃2 assim todos os pontos apresentam mesma velocidade angular Contudo a velocidade linear de cada ponto no corpo rígido não será a mesma pois estes estão localizados a diferentes distâncias do eixo de rotação A Figura 3 ilustra esta situação Figura 3 Relação entre velocidade angular e linear dos pontos do corpo rígido Fonte Thomazi 2021 A Figura 3 representa um disco visto de cima que rota em sentido antihorário com velocidade angular 𝜔 e sobre ele estão indicados dois pontos P1 na borda do disco e P2 que se localiza a meio caminho do centro do disco até a borda Como as setas que indicam os pontos variam suas posições angulares de modo igual ambos os pontos Cinemática da Rotação e movimento relativo 5 apresentam mesma velocidade angular contudo a velocidade linear será diferente pois a relação entre velocidade angular e linear é dada por 𝑣 𝑟𝜔 em que r é o raio ou distância entre o centro do disco até o ponto e v é a velocidade linear do ponto Como o ponto P1 está a uma distância que é o dobro da distância de P2 em relação ao centro P1 terá velocidade maior que P2 No caso do movimento linear a velocidade é alterada por uma força que atua no corpo o que leva a sua aceleração aumentando sua velocidade ou uma desaceleração que reduz sua velocidade até sua parada Para o movimento circular o mesmo conceito é valido ou seja para que a velocidade angular seja alterada uma força deve provocar uma aceleração angular A aceleração angular provoca alterações no movimento circular se o sentido da aceleração angular é o mesmo da velocidade angular esta aumentará e o corpo passará a rotacionar cada vez mais rápido Contudo se o sentido da aceleração angular for o contrário da velocidade angular diminuirá até que o corpo entre em repouso A aceleração angular é dada pela razão entre a variação da velocidade angular e o tempo que essa atua no corpo Assim a aceleração angular será 𝛼𝑚 𝜔 𝑡 𝜔2 𝜔1 𝑡2 𝑡1 em que a aceleração média 𝛼𝑚 é dada em rads2 e a aceleração instantânea é definida em termos do limite 𝛼 𝑙𝑖𝑚 𝑡0 𝜔 𝑡 Que determina a aceleração angular num dado instante Considerando a aceleração angular constante podese determinar um conjunto de equações que relacionam posição velocidade e aceleração angular no decorrer do tempo assim como foi feito com o movimento linear A Tabela 1 relaciona esse conjunto de equações Cinemática da Rotação e movimento relativo 6 Tabela 1 Comparativo das equações do movimento retilíneo e o movimento de rotação Movimento retilíneo Rotação em torno de um eixo 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝛼 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 𝑥0 𝑣0𝑡 12𝑎𝑡2 𝜃 𝜃0 𝜔0𝑡 12𝛼𝑡2 𝑣2 𝑣0 2 2𝑎𝑥 𝑥0 𝜔2 𝜔0 2 2𝛼𝜃 𝜃0 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 𝜔 𝜔0 𝛼𝑡 𝑥 𝑥0 12𝑣 𝑣0𝑡 𝜃 𝜃0 12𝑣 𝑣0𝑡 Fonte Thomazi 2021 A Tabela 1 compara os conjuntos de equações relacionando aceleração velocidade e tempo mostrando as similaridades nos movimentos retilíneos e as rotações Assim como podese comparar a velocidade linear com a velocidade angular para um dado ponto no corpo rígido que gira em torno de um eixo ele pode ser feito para a aceleração linear A Figura 4 mostra a aceleração linear para um dado ponto num disco que roda em torno do eixo perpendicular que passa através do centro do disco Na Figura 4 a aceleração é decomposta em aceleração centrípeta que aponta para o centro do disco ac e aceleração tangencial atg que é orientada de modo perpendicular a aceleração centrípeta Figura 4 Relação da aceleração linear de um dado ponto no corpo rígido Fonte Thomazi 2021 Para a aceleração tangencial do ponto podese relacionar a aceleração angular mediante a equação 𝑎𝑡𝑔 𝑟𝛼 Cinemática da Rotação e movimento relativo 7 em que r é o raio do disco assim quanto mais distante do centro maior será a aceleração tangencial do ponto no corpo rígido Considerouse até o momento a rotação de corpos rígidos constituídos por diversas partículas e com dimensões apreciáveis mas o movimento circular também pode ser observado em partículas com dimensões desprezíveis que descrevem circunferências ou arco de circunferência Uma ilustração seria de uma partícula presa a uma corda e que gira em torno de um eixo fixo como ilustrado na Figura 5 Figura 5 Movimento circular apresentado por uma partícula em que são mostradas a velocidade e aceleração Fonte Thomazi 2021 Na Figura 5 estão ilustrados os vetores velocidade e aceleração da partícula e podese perceber que estes vetores são perpendiculares pois o vetor aceleração mostrado é a aceleração centrípeta sempre busca o centro do movimento circular O módulo da aceleração centrípeta é dado por 𝑎 𝑣2 𝑟 sendo r o raio da circunferência e v a velocidade da partícula O tempo para que a partícula completa uma volta ou uma revolução é conhecido como período da rotação e relaciona o comprimento da circunferência com a velocidade por 𝑇 2𝜋𝑟 𝑣 considerando que v seja constante Cinemática da Rotação e movimento relativo 8 2 MOVIMENTO RELATIVO Os movimentos são descritos em termos de referencias como o sistema cartesiano portanto a posição e velocidade são medidas em termos dessa referência No cotidiano um sistema de referência muito usado é o solo e comparase a velocidade dos corpos em relação a este referencial Considere um guarda rodoviário parado no acostamento de uma rodovia com um aparelho de radar aferindo as velocidades dos motoristas passantes e determina se esses estão dentro do limite de velocidade Um motorista passa pelo guarda e o observa no acostamento em repouso nessa situação o motorista apresenta uma velocidade 𝑣𝑎 em relação ao referencial do guarda rodoviário e para um dado instante de tempo apresenta uma posição 𝑥𝑏𝑎 também em relação ao referencial do guarda Um segundo motorista com velocidade 𝑣𝑏 superior ultrapassa o primeiro motorista pois sua velocidade é maior e para um dado instante de tempo sua posição será 𝑥𝑝𝑏 A percepção das posições e velocidades para cada um dos observadores em seus respectivos referenciais serão diferentes pois o movimento relativo entre os observadores tem esse efeito A Figura 6 ilustra essa situação do movimento relativo Figura 6 Movimento relativo entre observadores Fonte Thomazi 2021 O guarda rodoviário referencial A e o primeiro motorista referencial B observam o segundo motorista enquanto o primeiro e o segundo motorista movemse com velocidades diferentes ao longo do eixo x comum aos dois referenciais Assim a posição do segundo motorista é dada por 𝑥𝑝𝑎 𝑥𝑝𝑏 𝑥𝑏𝑎 Cinemática da Rotação e movimento relativo 9 a velocidade pode ser obtida através da equação 𝑣𝑝𝑎 𝑣𝑝𝑏 𝑣𝑏𝑎 a equação acima significa que a velocidade do segundo motorista medida pelo guarda rodoviário é igual a velocidade medida pelo primeiro motorista mais a velocidade do primeiro motorista medida pelo guarda rodoviário Devese notar que as velocidades dos referenciais A e B são constantes ou seja não apresentam aceleração Assim a velocidade do primeiro motorista não muda em relação ao guarda rodoviário mas a velocidade do segundo motorista pode sofrer alterações o que indica uma aceleração Na Figura 6 suponha que a velocidade do primeiro motorista em relação ao guarda rodoviário é de 𝑣𝑏𝑎 52 𝑘𝑚ℎ constante e que o carro do segundo motorista está se movendo no sentido negativo do eixo x Se o guarda rodoviário mede uma velocidade constante de 𝑣𝑝𝑎 78 𝑘𝑚ℎ para o segundo motorista qual a velocidade 𝑣𝑝𝑏 medida pelo primeiro motorista A última equação correlaciona as velocidades entre o guarda rodoviário e o primeiro e o segundo motorista assim 78 𝑣𝑝𝑏 52 𝑣𝑝𝑏 130 𝑘𝑚ℎ se o carro do segundo motorista estivesse ligado ao carro do primeiro motorista por um fio flexível e enrolado num carretel o fio se desenrolaria a uma velocidade de 130 kmh enquanto os dois carros estivessem se separando Considerandose que o segundo motorista pare seu carro ao acionar os freios o que faz com que ele desacelere em relação ao guarda rodoviário e que isso ocorre no instante de 10 s com uma aceleração constante e contrária ao movimento Qual seria a desaceleração em relação ao guarda rodoviário Como a desaceleração é constante em relação ao guarda rodoviário e sua velocidade inicial é de 78 kmh devese considerar que sua velocidade final seja zero assim da equação a seguir 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 Cinemática da Rotação e movimento relativo 10 Podese determinar desaceleração 𝑎𝑝𝑎 como 𝑎𝑝𝑎 𝑣 𝑣0 𝑡 0 2166 10 22 𝑚𝑠2 a velocidade foi convertida de kmh para ms para que aceleração fosse obtida em unidade usual de ms2 No caso 22 ms2 é a desaceleração constante que os freios exercem sobre as rodas do segundo carro Além da aceleração obtida em relação ao guarda rodoviário podese determinar a aceleração que o segundo motorista tem em relação ao primeiro motorista quando aciona os freios Através da equação acima podese determinar essa aceleração Sabese que a velocidade inicial do segundo motorista em relação ao primeiro motorista é 𝑣𝑝𝑏 130 𝑘𝑚ℎ o que equivale a 3611 ms A velocidade final é de 52 Kmh o que equivale a 1444 ms Assim a desaceleração entre o segundo e o primeiro motorista será calculada por 𝑎𝑝𝑏 𝑣 𝑣0 𝑡 1444 3611 10 22 𝑚𝑠2 a aceleração de uma partícula nesse caso o carro medida por observadores em diferentes referenciais que se movem com velocidade constante uns em relação aos outros é sempre a mesma Incialmente o estudo do movimento relativo de corpos posição e velocidade pode parecer de difícil compreensão mas em várias situações cotidianas podese perceber esse tipo de movimento Considere um motorista trafegando por uma rua seu carro a velocidade constante quando um segundo motorista se aproxima na via da esquerda Para o primeiro motorista o segundo carro num primeiro momento se aproxima depois por um instante ambos os carros desenvolvem mesma velocidade e por fim o segundo motorista o ultrapassa Cinemática da Rotação e movimento relativo 11 Avaliando estes movimentos do referencial do segundo motorista temse a aproximação e o momento em que ambos estão emparelhados na via quando o segundo motorista ultrapassa o primeiro o segundo motorista tem a sensação de que o primeiro motorista se deslocou para trás Outra situação de movimento relativo pode ser observada na travessia de um rio com velocidade constante Considere um garoto que deseja atingir a margem oposta de um rio que fui com velocidade constante o garoto salta no rio e começa a nadar em linha reta contudo sua velocidade é menor do que a velocidade do rio Por conta dessa diferença de velocidades o garoto será deslocado lateralmente no sentido do rio quando atingir a margem oposta o garoto estará numa posição diferente em relação a margem que ele partiu Cinemática da Rotação e movimento relativo 12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALONSO Marcelo Finn Edward J Física um curso universitário 2 ed brasileira Blucher 2014 HALLIDAY David Resnick Robert J Fundamentos de Física V 1 8 ed Rio de Janeiro LTC 2008 LEITE Alvaro E Física Conceitos e aplicações de mecânica 1 ed Curitiba Intersaberes 2014 TIPLER Paul A Física para cientistas e engenheiros V 1 3 ed Rio de Janeiro LTC 1995 YOUNG Hugh D Freedman Roger A Física I Mecânica 12 ed São Paulo Ed Pearson 2010