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INTERPOLAÇÃO E APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES Igor Utzig Picco Interpolação e aproximação de funções 2 Olá aluno a Unifacear Seja bemvindo a à aula de Interpolação e aproximação de funções Nessa aula irei apresentar para vocês mais métodos numéricos que visam estimar funções para um determinado conjunto de dados É apresentado nessa aula diferentes graus da interpolação de Newton que utiliza diferenças finitas o método de Lagrange juntamente com exemplos didáticos que visam clarear os conceitos apresentados INTRODUÇÃO A INTERPOLAÇÃO Em geral os dados são fornecidos em um conjunto discreto de valores entre um contínuo de possibilidades Entretanto pode ser necessário fazer estimativas em pontos que estão entre os valores discretos Nesses casos é útil tentar interpolar uma função que descreva o comportamento do processo estudado A interpolação de uma curva pode ser útil para estimar pontos não fornecidos ou pontos médios entre diferentes intervalos em que se conhecem os valores Podemos utilizar de aproximações quando precisamos avaliar diferentes pontos ou quando precisamos derivar ou integrar também quando temos um conjunto de pontos da função mas não sabemos sua forma analítica real ARENALES DAREZZO 2016 Iniciaremos abordando a interpolação polinomial de ordem n iniciando por n1 que classifica a interpolação inicial A fórmula geral de um polinômio é apresentada na Equação 1 Ao analisar um conjunto de n1 dados existe um polinômio de ordem n que passa pelos n1 pontos dados Através desse polinômio é possível estimar valores de pontos intermediários CHAPRA CANALE 2013 𝑓𝑥 𝑎0 𝑎1𝑥1 𝑎𝑛𝑥𝑛 1 É apresentado a seguir duas aproximações polinomiais básicas sendo elas a interpolação linear função linear com n1 adequada para 2 pontos e a interpolação quadrática função quadrada com n2 e adequada para 3 pontos Interpolação e aproximação de funções 3 Figura 1 Interpolação polinomial com n1 2 e 3 respectivamente Fonte Chapra Canale 2013 INTERPOLAÇÃO LINEAR Uma interpolação linear consiste basicamente de ligar dois pontos através de uma reta Para obter a função de x que interliga dois pontos x1 fx1 e x2 fx2 é descrita na Equação 2 A função vem da semelhança entre triângulos e é usualmente chamada de fórmula da interpolação linear 𝑓𝑥 𝑓𝑥1 𝑥 𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥 𝑥1 2 Exemplo 1 Realize a interpolação linear da curva que contém os pontos 37 e 721 Utilizando a interpolação estime o resultado de fx para o valor de x12 Aplicando a Equação 2 podemos obter a curva estimada 𝑓𝑥 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥 𝑥1 𝑓𝑥 𝑓3 𝑓7 𝑓3 7 3 𝑥 3 Interpolação e aproximação de funções 4 𝑓𝑥 7 21 7 4 𝑥 3 𝑓𝑥 7 35 𝑥 3 𝑓𝑥 7 35𝑥 105 𝑓𝑥 35𝑥 35 Inserindo x12 podemos estimar o valor do evento analisando quando x12 𝑓12 35 12 35 385 INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA A interpolação quadrática visa obter um polinômio de segunda ordem que contém três pontos de estudo O método tem maior precisão que a interpolação linear por utilizar mais pontos Através do método de interpolação baseandose nas diferenças divididas de Newton mesma técnica utilizada na interpolação linear anteriormente obtémse a Equação 3 que descreve a interpolação de 3 pontos em uma parábola CHAPRA CANALE 2013 Considere os três pontos como x0 fx0 x1 fx1 e x2 fx2 para igualar as fórmulas apresentadas no texto original de Chapra e Canale 𝑓𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑥0 𝑏2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 3 Sendo que 𝑏0 𝑓𝑥0 4 𝑏1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 5 𝑏2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥0 6 Observe que como foi o caso com a interpolação linear 𝑏1 ainda representa a inclinação da reta ligando os pontos 𝑥0 e 𝑥1 Logo os dois primeiros termos da Equação Interpolação e aproximação de funções 5 3 são equivalentes à interpolação linear de 𝑥0 a 𝑥1 como especificado anteriormente na Equação 2 O último termo 𝑏2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 introduz a curvatura de segundo grau na fórmula CHAPRA CANALE 2013 Exemplo 2 Realize a interpolação quadrática da curva que contém os pontos 14 37 e 721 Utilizando a interpolação estime o resultado de fx para o valor de x10 Aplicando as equações 4 a 6 obtemos os elementos para montar a equação 3 𝑏0 𝑓𝑥0 𝑓1 4 𝑏1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑓3 𝑓1 3 1 7 4 2 3 2 𝑏2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥0 21 7 7 3 3 2 7 1 14 4 6 4 6 2 6 Agora aplicando os coeficientes na equação 3 𝑓𝑥 4 3 2 𝑥 1 2 6 𝑥 1𝑥 3 Desenvolvendo 𝑓𝑥 4 3 2𝑥 3 2 2 6 𝑥2 4𝑥 3 𝑓𝑥 8 2 3 2 3 2𝑥 2 6𝑥2 4 3 𝑥 1 𝑓𝑥 8 2 3 2 1 3 2 4 3𝑥 2 6 𝑥2 𝒇𝒙 𝟐 𝟔 𝒙𝟐 𝟏 𝟔 𝒙 𝟕 𝟐 Estimando o valor em x10 𝑓10 2 6 100 1 6 10 7 2 385 Interpolação e aproximação de funções 6 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTERPOLAÇÃO DE NEWTON A equação de interpolação usando um polinômio de terceiro grau é dado através da Equação 7 𝑓𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑥0 𝑏2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑏3𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 7 Sendo assim baseandose nas equações 2 3 e 7 podese estimar a fórmula geral para a interpolação linear de grau n 𝑓𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑥0 𝑏𝑛𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑥 𝑥𝑛1 8 Onde os coeficientes podem ser obtidos através de 𝑏0 𝑓𝑥0 𝑏1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥1 𝑥0 𝑏2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥0 𝑓𝑥2𝑥1𝑥0 𝑏𝑛 𝑓𝑥𝑛𝑥𝑛1 𝑥1𝑥0 A função com colchetes se refere a diferenças divididas finitas que pode ser expressa de maneira generalizada através da Equação 9 𝑓𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑓𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑓𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑓𝑥𝑗𝑥𝑘 𝑥𝑖 𝑥𝑘 Interpolação e aproximação de funções 7 𝑓𝑥𝑛𝑥𝑛1 𝑥1𝑥0 𝑓𝑥𝑛𝑥𝑛1 𝑥1 𝑓𝑥𝑛1 𝑥1 𝑥0 𝑥𝑛 𝑥0 9 A equação generalizada apresentada na Equação 8 e com seus coeficientes apresentados nas equações seguintes são chamados de polinômio interpolador por diferenças divididas de Newton Exemplo 3 Realize a interpolação cúbica da curva que contém os pontos 14 37 721 e 12 35 Utilizando a interpolação estime o resultado de fx para o valor de x9 𝑏0 𝑓𝑥0 𝑓1 4 𝑏1 𝑓𝑥1𝑥0 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑓3 𝑓1 3 1 7 4 2 3 2 𝑏2 𝑓𝑥2 𝑥1𝑥0 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥0 21 7 7 3 3 2 7 1 2 6 𝑏3 𝑓𝑥3𝑥2 𝑥1𝑥0 𝑓𝑥3𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥2𝑥1𝑥0 𝑥3 𝑥0 𝑓𝑥3𝑥2𝑥1 𝑓𝑥3 𝑓𝑥2 𝑥3 𝑥2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥3 𝑥1 35 21 12 7 21 7 7 3 12 3 56 20 79 20 9 23 180 𝑏3 𝑓𝑥3 𝑥2𝑥1𝑥0 23 180 2 6 12 1 23 180 60 180 11 83 1980 Sendo assim temos Interpolação e aproximação de funções 8 𝑓𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑥0 𝑏2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑏3𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑓𝑥 4 3 2 𝑥 1 1 3 𝑥 1𝑥 3 83 1980𝑥 1𝑥 3𝑥 7 𝑓𝑥 4 3 2 𝑥 3 2 2 6𝑥2 4𝑥 3 83 1980𝑥3 11𝑥2 31𝑥 21 𝑓𝑥 2 6 𝑥2 1 6𝑥 7 2 83 1980𝑥3 83 180𝑥2 12995𝑥 08803 𝒇𝒙 𝟖𝟑 𝟏𝟗𝟖𝟎𝒙𝟑 𝟏𝟒𝟑 𝟏𝟖𝟎𝒙𝟐 𝟏𝟏𝟑𝟐𝟖𝒙 𝟒 𝟑𝟖𝟎𝟑 Estimando o valor da função para quando x9 𝑓9 83 198093 143 180 92 11328 9 43803 𝑓9 83 1980 729 143 180 81 11328 9 43803 𝟐𝟕 𝟗𝟕𝟔 INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Agora que estudamos os polinômios interpoladores de Newton de diferentes graus assim como seu formato geral iremos abordar os polinômios interpoladores de Lagrange A maneira mais simples de introduzirmos o polinômio interpolador de Lagrange é através da introdução do polinômio de primeiro grau de Lagrange que interpola a curva entre dois pontos x1 e x2 apresentada na Equação 10 𝑓𝑥 𝑦 𝑎1𝑥 𝑥2 𝑎2𝑥 𝑥1 10 Ao substituir os pontos x1 e x2 na equação apresentada temos Interpolação e aproximação de funções 9 𝑓𝑥1 𝑎1𝑥1 𝑥2 𝑎2𝑥1 𝑥1 𝑎1𝑥1 𝑥2 𝑓𝑥2 𝑎1𝑥2 𝑥2 𝑎2𝑥2 𝑥1 𝑎2𝑥2 𝑥1 Reorganizando temos que 𝑎1 𝑓𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑒 𝑎2 𝑓𝑥2 𝑥2 𝑥1 O mesmo polinômio pode ser estendido para o segundo grau para interpolar três pontos 𝑓𝑥 𝑎1𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑎2𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3 𝑎3𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 A equação pode ser apresentada de maneira estendida como apresentado na Equação 11 𝑓𝑥 𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥1 𝑥2𝑥1 𝑥3 𝑓𝑥1 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑓𝑥2 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑥1𝑥3 𝑥2 𝑓𝑥3 11 Analisando as equações 10 e 11 é possível obter o formato geral da interpolação de Lagrange apresentado na Equação 12 𝑓𝑥 𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥 𝑥𝑛 𝑥1 𝑥2𝑥1 𝑥3𝑥1 𝑥𝑛 𝑓𝑥1 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3𝑥 𝑥𝑛 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓𝑥2 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑥1𝑥𝑛 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 𝑓𝑥𝑛 12 Interpolação e aproximação de funções 10 Exemplo 4 Realize a interpolação de Lagrange da curva que contém os pontos 14 37 e 721 Utilizando a interpolação estime o resultado de fx para o valor de x10 Utilizando a equação 11 𝑓𝑥 𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥1 𝑥2𝑥1 𝑥3 𝑓𝑥1 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑓𝑥2 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑥1𝑥3 𝑥2 𝑓𝑥3 𝑓𝑥 𝑥 3𝑥 7 1 31 7 4 𝑥 1𝑥 7 3 13 7 7 𝑥 1𝑥 3 7 17 3 21 𝒇𝒙 𝒙 𝟑𝒙 𝟕 𝟑 𝟕 𝒙 𝟏𝒙 𝟕 𝟖 𝟐𝟏 𝒙 𝟏𝒙 𝟑 𝟐𝟒 Estimando o valor de fx para x10 𝑓10 10 310 7 3 7 10 110 7 8 21 10 110 3 24 𝑓10 73 3 7 93 8 21 97 24 7 23625 55125 𝟑𝟖𝟓 Interpolação e aproximação de funções 11 RESUMO Nesse capítulo foi apresentado alguns métodos numéricos que visam estimar funções para um certo conjunto de dados Foram apresentados diferentes graus do polinômio interpolador de Newton e o de Lagrange Os exemplos apresentados visaram fornecer uma base da aplicação do método assim como sua utilidade Interpolação e aproximação de funções 12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARENALES S DAREZZO A Cálculo Numérico Aprendizagem com Apoio de Software 2 ed São Paulo Cengage 2016 CELINA J Cálculo Numérico Curitiba Intersaberes 2018 CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia McGrawHill 2008 SPERANDIO D MENDES J T E SILVA L H M Cálculo numérico 2 edição São Paulo Pearson 2014
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INTERPOLAÇÃO E APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES Igor Utzig Picco Interpolação e aproximação de funções 2 Olá aluno a Unifacear Seja bemvindo a à aula de Interpolação e aproximação de funções Nessa aula irei apresentar para vocês mais métodos numéricos que visam estimar funções para um determinado conjunto de dados É apresentado nessa aula diferentes graus da interpolação de Newton que utiliza diferenças finitas o método de Lagrange juntamente com exemplos didáticos que visam clarear os conceitos apresentados INTRODUÇÃO A INTERPOLAÇÃO Em geral os dados são fornecidos em um conjunto discreto de valores entre um contínuo de possibilidades Entretanto pode ser necessário fazer estimativas em pontos que estão entre os valores discretos Nesses casos é útil tentar interpolar uma função que descreva o comportamento do processo estudado A interpolação de uma curva pode ser útil para estimar pontos não fornecidos ou pontos médios entre diferentes intervalos em que se conhecem os valores Podemos utilizar de aproximações quando precisamos avaliar diferentes pontos ou quando precisamos derivar ou integrar também quando temos um conjunto de pontos da função mas não sabemos sua forma analítica real ARENALES DAREZZO 2016 Iniciaremos abordando a interpolação polinomial de ordem n iniciando por n1 que classifica a interpolação inicial A fórmula geral de um polinômio é apresentada na Equação 1 Ao analisar um conjunto de n1 dados existe um polinômio de ordem n que passa pelos n1 pontos dados Através desse polinômio é possível estimar valores de pontos intermediários CHAPRA CANALE 2013 𝑓𝑥 𝑎0 𝑎1𝑥1 𝑎𝑛𝑥𝑛 1 É apresentado a seguir duas aproximações polinomiais básicas sendo elas a interpolação linear função linear com n1 adequada para 2 pontos e a interpolação quadrática função quadrada com n2 e adequada para 3 pontos Interpolação e aproximação de funções 3 Figura 1 Interpolação polinomial com n1 2 e 3 respectivamente Fonte Chapra Canale 2013 INTERPOLAÇÃO LINEAR Uma interpolação linear consiste basicamente de ligar dois pontos através de uma reta Para obter a função de x que interliga dois pontos x1 fx1 e x2 fx2 é descrita na Equação 2 A função vem da semelhança entre triângulos e é usualmente chamada de fórmula da interpolação linear 𝑓𝑥 𝑓𝑥1 𝑥 𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥 𝑥1 2 Exemplo 1 Realize a interpolação linear da curva que contém os pontos 37 e 721 Utilizando a interpolação estime o resultado de fx para o valor de x12 Aplicando a Equação 2 podemos obter a curva estimada 𝑓𝑥 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥 𝑥1 𝑓𝑥 𝑓3 𝑓7 𝑓3 7 3 𝑥 3 Interpolação e aproximação de funções 4 𝑓𝑥 7 21 7 4 𝑥 3 𝑓𝑥 7 35 𝑥 3 𝑓𝑥 7 35𝑥 105 𝑓𝑥 35𝑥 35 Inserindo x12 podemos estimar o valor do evento analisando quando x12 𝑓12 35 12 35 385 INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA A interpolação quadrática visa obter um polinômio de segunda ordem que contém três pontos de estudo O método tem maior precisão que a interpolação linear por utilizar mais pontos Através do método de interpolação baseandose nas diferenças divididas de Newton mesma técnica utilizada na interpolação linear anteriormente obtémse a Equação 3 que descreve a interpolação de 3 pontos em uma parábola CHAPRA CANALE 2013 Considere os três pontos como x0 fx0 x1 fx1 e x2 fx2 para igualar as fórmulas apresentadas no texto original de Chapra e Canale 𝑓𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑥0 𝑏2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 3 Sendo que 𝑏0 𝑓𝑥0 4 𝑏1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 5 𝑏2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥0 6 Observe que como foi o caso com a interpolação linear 𝑏1 ainda representa a inclinação da reta ligando os pontos 𝑥0 e 𝑥1 Logo os dois primeiros termos da Equação Interpolação e aproximação de funções 5 3 são equivalentes à interpolação linear de 𝑥0 a 𝑥1 como especificado anteriormente na Equação 2 O último termo 𝑏2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 introduz a curvatura de segundo grau na fórmula CHAPRA CANALE 2013 Exemplo 2 Realize a interpolação quadrática da curva que contém os pontos 14 37 e 721 Utilizando a interpolação estime o resultado de fx para o valor de x10 Aplicando as equações 4 a 6 obtemos os elementos para montar a equação 3 𝑏0 𝑓𝑥0 𝑓1 4 𝑏1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑓3 𝑓1 3 1 7 4 2 3 2 𝑏2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥0 21 7 7 3 3 2 7 1 14 4 6 4 6 2 6 Agora aplicando os coeficientes na equação 3 𝑓𝑥 4 3 2 𝑥 1 2 6 𝑥 1𝑥 3 Desenvolvendo 𝑓𝑥 4 3 2𝑥 3 2 2 6 𝑥2 4𝑥 3 𝑓𝑥 8 2 3 2 3 2𝑥 2 6𝑥2 4 3 𝑥 1 𝑓𝑥 8 2 3 2 1 3 2 4 3𝑥 2 6 𝑥2 𝒇𝒙 𝟐 𝟔 𝒙𝟐 𝟏 𝟔 𝒙 𝟕 𝟐 Estimando o valor em x10 𝑓10 2 6 100 1 6 10 7 2 385 Interpolação e aproximação de funções 6 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTERPOLAÇÃO DE NEWTON A equação de interpolação usando um polinômio de terceiro grau é dado através da Equação 7 𝑓𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑥0 𝑏2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑏3𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 7 Sendo assim baseandose nas equações 2 3 e 7 podese estimar a fórmula geral para a interpolação linear de grau n 𝑓𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑥0 𝑏𝑛𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑥 𝑥𝑛1 8 Onde os coeficientes podem ser obtidos através de 𝑏0 𝑓𝑥0 𝑏1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥1 𝑥0 𝑏2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥0 𝑓𝑥2𝑥1𝑥0 𝑏𝑛 𝑓𝑥𝑛𝑥𝑛1 𝑥1𝑥0 A função com colchetes se refere a diferenças divididas finitas que pode ser expressa de maneira generalizada através da Equação 9 𝑓𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑓𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑓𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑓𝑥𝑗𝑥𝑘 𝑥𝑖 𝑥𝑘 Interpolação e aproximação de funções 7 𝑓𝑥𝑛𝑥𝑛1 𝑥1𝑥0 𝑓𝑥𝑛𝑥𝑛1 𝑥1 𝑓𝑥𝑛1 𝑥1 𝑥0 𝑥𝑛 𝑥0 9 A equação generalizada apresentada na Equação 8 e com seus coeficientes apresentados nas equações seguintes são chamados de polinômio interpolador por diferenças divididas de Newton Exemplo 3 Realize a interpolação cúbica da curva que contém os pontos 14 37 721 e 12 35 Utilizando a interpolação estime o resultado de fx para o valor de x9 𝑏0 𝑓𝑥0 𝑓1 4 𝑏1 𝑓𝑥1𝑥0 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑓3 𝑓1 3 1 7 4 2 3 2 𝑏2 𝑓𝑥2 𝑥1𝑥0 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥0 21 7 7 3 3 2 7 1 2 6 𝑏3 𝑓𝑥3𝑥2 𝑥1𝑥0 𝑓𝑥3𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥2𝑥1𝑥0 𝑥3 𝑥0 𝑓𝑥3𝑥2𝑥1 𝑓𝑥3 𝑓𝑥2 𝑥3 𝑥2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥3 𝑥1 35 21 12 7 21 7 7 3 12 3 56 20 79 20 9 23 180 𝑏3 𝑓𝑥3 𝑥2𝑥1𝑥0 23 180 2 6 12 1 23 180 60 180 11 83 1980 Sendo assim temos Interpolação e aproximação de funções 8 𝑓𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑥0 𝑏2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑏3𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑓𝑥 4 3 2 𝑥 1 1 3 𝑥 1𝑥 3 83 1980𝑥 1𝑥 3𝑥 7 𝑓𝑥 4 3 2 𝑥 3 2 2 6𝑥2 4𝑥 3 83 1980𝑥3 11𝑥2 31𝑥 21 𝑓𝑥 2 6 𝑥2 1 6𝑥 7 2 83 1980𝑥3 83 180𝑥2 12995𝑥 08803 𝒇𝒙 𝟖𝟑 𝟏𝟗𝟖𝟎𝒙𝟑 𝟏𝟒𝟑 𝟏𝟖𝟎𝒙𝟐 𝟏𝟏𝟑𝟐𝟖𝒙 𝟒 𝟑𝟖𝟎𝟑 Estimando o valor da função para quando x9 𝑓9 83 198093 143 180 92 11328 9 43803 𝑓9 83 1980 729 143 180 81 11328 9 43803 𝟐𝟕 𝟗𝟕𝟔 INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Agora que estudamos os polinômios interpoladores de Newton de diferentes graus assim como seu formato geral iremos abordar os polinômios interpoladores de Lagrange A maneira mais simples de introduzirmos o polinômio interpolador de Lagrange é através da introdução do polinômio de primeiro grau de Lagrange que interpola a curva entre dois pontos x1 e x2 apresentada na Equação 10 𝑓𝑥 𝑦 𝑎1𝑥 𝑥2 𝑎2𝑥 𝑥1 10 Ao substituir os pontos x1 e x2 na equação apresentada temos Interpolação e aproximação de funções 9 𝑓𝑥1 𝑎1𝑥1 𝑥2 𝑎2𝑥1 𝑥1 𝑎1𝑥1 𝑥2 𝑓𝑥2 𝑎1𝑥2 𝑥2 𝑎2𝑥2 𝑥1 𝑎2𝑥2 𝑥1 Reorganizando temos que 𝑎1 𝑓𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑒 𝑎2 𝑓𝑥2 𝑥2 𝑥1 O mesmo polinômio pode ser estendido para o segundo grau para interpolar três pontos 𝑓𝑥 𝑎1𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑎2𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3 𝑎3𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 A equação pode ser apresentada de maneira estendida como apresentado na Equação 11 𝑓𝑥 𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥1 𝑥2𝑥1 𝑥3 𝑓𝑥1 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑓𝑥2 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑥1𝑥3 𝑥2 𝑓𝑥3 11 Analisando as equações 10 e 11 é possível obter o formato geral da interpolação de Lagrange apresentado na Equação 12 𝑓𝑥 𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥 𝑥𝑛 𝑥1 𝑥2𝑥1 𝑥3𝑥1 𝑥𝑛 𝑓𝑥1 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3𝑥 𝑥𝑛 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓𝑥2 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑥1𝑥𝑛 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 𝑓𝑥𝑛 12 Interpolação e aproximação de funções 10 Exemplo 4 Realize a interpolação de Lagrange da curva que contém os pontos 14 37 e 721 Utilizando a interpolação estime o resultado de fx para o valor de x10 Utilizando a equação 11 𝑓𝑥 𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥1 𝑥2𝑥1 𝑥3 𝑓𝑥1 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑓𝑥2 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑥1𝑥3 𝑥2 𝑓𝑥3 𝑓𝑥 𝑥 3𝑥 7 1 31 7 4 𝑥 1𝑥 7 3 13 7 7 𝑥 1𝑥 3 7 17 3 21 𝒇𝒙 𝒙 𝟑𝒙 𝟕 𝟑 𝟕 𝒙 𝟏𝒙 𝟕 𝟖 𝟐𝟏 𝒙 𝟏𝒙 𝟑 𝟐𝟒 Estimando o valor de fx para x10 𝑓10 10 310 7 3 7 10 110 7 8 21 10 110 3 24 𝑓10 73 3 7 93 8 21 97 24 7 23625 55125 𝟑𝟖𝟓 Interpolação e aproximação de funções 11 RESUMO Nesse capítulo foi apresentado alguns métodos numéricos que visam estimar funções para um certo conjunto de dados Foram apresentados diferentes graus do polinômio interpolador de Newton e o de Lagrange Os exemplos apresentados visaram fornecer uma base da aplicação do método assim como sua utilidade Interpolação e aproximação de funções 12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARENALES S DAREZZO A Cálculo Numérico Aprendizagem com Apoio de Software 2 ed São Paulo Cengage 2016 CELINA J Cálculo Numérico Curitiba Intersaberes 2018 CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia McGrawHill 2008 SPERANDIO D MENDES J T E SILVA L H M Cálculo numérico 2 edição São Paulo Pearson 2014