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Engenharia de Produção ·
Fenômenos de Transporte
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EXEMPLO\nCalcular a potência do jato de um fluido descarregado no ambiente por um bocal. Dados: v1 = velocidade do jato; A1 = área do jato; γ = peso específico do fluido.\nPHR γ\nSolução\nA carga ou a energia do jato por unidade de peso é dada por:\nH1 = P1/γ + v1²/2g + z1\nPassando o PIR no centro do bocal, z1 = 0. Como o jato é descarregado à pressão atmosférica, sua pressão efetiva será nula, isto é, P2 = 0.\nLogo:\nI1 = v1²/2g\nou o que significa que o jato só tem carga cinética.\nPela Equação 4.13:\nN1 = γQH1\nN1 = γAv1²\nLogo:\nN1 = γA v1²/2g ou N1 = ρAv1³/2\n\nEXEMPLO\nO reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para o tanque indicado com uma vazão de 10 L/s. Verificar se a máquina instalada a bomba ou turbina e determinar sua potência, se o rendimento é 75%.\nSupondo fluido ideal.\nDados: γ10 = 10⁴ N/m²; A tubos = 10 cm²; g = 10 m/s².\n20 m\n5 m Solução\nComo o fluido é considerado ideal, pode-se aplicar a equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2), lembrando que entre as duas existe a máquina M. Mesmo que o reservatório da esquerda não seja a nível constante, será adota a hipótese de regime permanente com a seguinte consideração: o reservatório, sendo de grandes dimensões, levará muito tempo para que seu nível seja alterado sensivelmente pela água descarregada por (2).\nLogo, dentro de certo intervalo de tempo, pode-se considerar que o seu nível é constante, mantendo dessa forma a hipótese de regime permanente. Lembre o leitor que, todas as vezes que mencionarmos \"reservatório de grandes dimensões\", essa hipótese é válida, e assim, pode-se considerar a velocidade do fluido no nível do reservatório praticamente nulo (vide Exercício 3.8 do Capítulo 3).\n\nFeito essas considerações, pode-se-escrever:\nH1 + H4 = H2 + H3\nH1 = P1/γ + v1²/2g + z1\nAdotando o PIR na base do reservatório (I), tem-se:\nz1 = 20 m e z2 = 5 m.\nA pressão, tanto na seção (1) como na (2), é igual à pressão atmosférica; logo, p1 = 0 e p2 = 0 na escala efetiva.\nA velocidade na seção (1) é nula pelas considerações feitas ou v1 = 0.\nResta determinar v2:\nv2 = Q/A2 = 10 × 10⁻³ / 10 × 10⁻² = 10 m/s\nMas\nH1 = 0 + 0 + 20 = 20 m.\nH2 = 0 + 10²/2g = 5 + 10 m.\nLogo:\nH1 = H2 − H1 = 10 − 20 = −10 m.\nComo no sentido do escoamento H4 é negativo, conclui-se que a máquina é uma turbina, e como Hm = −Hr. Potência fornecida pelo fluido à turbina:\nN = γQH1 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10⁻³ × 1/1000 = 1 kW\nPotência da turbina com a noção de rendimento:\nηt = N1/N\nlogo: Nf = N1t × 0.75 = 0.75 kW\n\nEXEMPLOS\nNa instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é 101L/s, a área da seção dos tubos é 10 cm² e a perda de carga entre as seções (1) e (4) é 2 m.\nNão é dado o sentido do escoamento, γ10 = 10⁴ N/m²; g = 10 m/s². 2) Na instalação da figura, a máquina é uma bomba e o fluído é água. A bomba tem uma potência de 5 kW e seu rendimento é 80%. A água é descarregada a atmosfera com uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cuja área de seção 10 cm². Determinar a perda de carga do fluido entre (1) e (2) e a potência dissipada ao longo da tubulação, \u03b7 = 10³ N/m²; g = 10 m/s².\n\nSolução\nTemos\nH1 + Hbm = H2 + H12\nH1 = v1²/2g + z1 + 0 + 5 m = 5 m\n\nH2 = v2²/2g + z2 + 0 + 0 = 5²/2 * 10 = 0 + 0 + 1,25 m\n\nNbm = QH1H2\n\nt = \u03b7Nbm\nQ = v1N1 = \u03b7Nbm/Q\n\nNbm = 0,8 x 5 x 10³ = 80 m\nNbm = 10⁴ x 5 x 10³\nH1,2 = H1 + H2 + Hbm - 5 - 1,25 + 80\nNbm = 10³ x 5 x 10³ x 83,75 x 10³ / 1.000 = 4,19 kW EXEMPLO\nNo sistema da figura, os reservatórios são de grandes dimensões. O reservatório Y alimenta do sistema com 20 L/s e o reservatório X alimentado pelo sistema com 7.5 L/s. A potência da bomba é 6 kW e seu rendimento, 80%. Todas as tubulações têm 62 mm de diâmetro e as perdas de carga são: Hpu = 4 m; Hpl = 1 m e Hpl,2 = 1 m. O fluído é água e \u03b7 = 10³ N/m². Peça-se:\na) a potência dissipada na instalação;\nb) a cota da seção (3) em relação ao centro da bomba.\n\nSolução\nA Pela equação da continuidade: ∑Qin = ∑Qout\nLogo:\nQ01 = Q12 = Q13\n20 - Q12 + 7.5\n\nQ12 = 12.5 L/s\nNdis = QH1H2 + Q1H3 + Hpl,3\nNdis = 10⁴ x 200 x 10² x 2,5 x 10 x 7.5 x 10³ x 4 = 0,825 kW b) ∑QH + N = ∑QH + Ndis\nQ01H0 + N = Q12H1 + Q13H3 + Ndis\nH0 = \u03b1v²0/2g + p0 / \u03b3 + z0 = 0\nz0 = 2 m, adotando-se o PHR no nível da bomba.\nLogo, H0 = 2 m.\n\nH2 = \u03b1v²1/2g + p1 / \u03b3 + z1 onde z2 = 0, P2 = 0\nv2 = 4Q2/πD² = 4x12.5x10³/πx(0,062)² = 4,14 m/s\n\ne, supondo α2 = 1,\nH2 = 4,14²/2 = 0,86 m\n\nH3 = \u03b1v²3/2g + z3 = h\nNbm = Nbm = 0.8 kW\n\nPortanto, na equação da energia:\n10⁴ x 20 x 10⁴ x 2 + 1.6 x 10⁴ = 10⁴ x 12.5 x 10⁴ x 0.86 + 10⁴ x 7.5 x 10⁴ x h + 0.825 x 10³\ne finalmente h = 14.7 m EXEMPLO\nÁgua escorrendo numa tubulação horizontal de 5 cm de diâmetro com uma vazão de 5 L/s. A perda de carga num trecho de 10 m é:\na) Supondo o escoamento adiabático, qual seria a variação de temperatura entre as duas seções?\nb) Supondo o escoamento isotérmico, qual seria o fluxo de calor para o ambiente?\nc) Qual é a queda de pressão entre as duas seções?\nSolução:\na) Hp.u = \nT2 - T1 = \nT2 = T1 - \n\n\n\n\n\n\n\n\nm/s² \n\n\n\n\nN/kg \n\nkg·°C\n\nT2 - T1 = 0,0048°C\nEsse resultado mostra que seria impossível detectar a perda de carga pela medida da variação da temperatura do fluido.\nb) Hp.u = \n\n\n\n\n\n\n\n\nm²/s²\n\nJ/kg·°C\n\nFlujo de calor = -100 W\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n EXERCÍCIOS\n4.1 Determinar a velocidade do jato do líquido no orifício do tanque de grandes dimensões da figura. Considerar fluido ideal.\nResp.: v = \u221a2gh\n4.2 Supondo fluido ideal, mostrar que os jatos de dois orifícios na parede de um tanque interceptam-se num mesmo ponto sobre um plano, que passa pela base do tanque, se o nível do líquido acima do orifício superior é igual à altura do orifício inferior acima da base.\n\n4.3 A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 25 kPa (abs). Desprezando as perdas, determinar:\na) a velocidade do fluido;\nb) a máxima altura do ponto S em relação ao ponto (A);\nPatm = 100 kPa; \u03b3 = 10^4 N/m³\nResp.: a) 4,9 m/s; b) z = 6,3 m\n4.4 Um tubo de Pitot é preso num barco que se desloca a 45 km/h. Qual será a altura h alcançada pela água no ramo vertical?\n Resp.: h = 7,8 m\n4.5 Quais são as vazões de óleo em massa e em peso no tubo convergente da figura, para elevar uma coluna de 20 cm de óleo no ponto (0)?\nDados: desprezar as perdas; \u03b3óleo = 8.000 N/m³; g = 10 m/s²\nResp.: Qm = 2,1 kg/s; Qc = 21 N/s\n4.6 Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão do escoamento da água no conduto.\nDados: \u03b3l = 10^4 Nm²; \u03b3 = 6 x 10^4 Nm²; p1 = 20 kPa; A = 10^{-m²}; g = 10 m/s². Desprezar as perdas e considerar o diagrama de velocidades uniforme.\nResp.: Q = 40 L/s\n4.7 Na extremidade de uma tubulação de diâmetro D, acha-se instalado um bocal que lança um jato de água na atmosfera com diâmetro de 2 cm. O manômetro metálico registra uma pressão de 20 kPa e a água sobe no tubo até a altura de 2,5 m. Nessas condições, determinar:\na) a vazão em peso do escoamento;\nb) o diâmetro D do tubo, admitindo escoamento permanente e sem atrito, \u03b3l,0 = 10 N/L. Resp.: a) 22,3 N/s; b) D = 3 cm\n\nResp.: a) Qc = 314 N/s; b) h1 = 0; c) D2 = 5,7 cm\n\n4.9 Um dos métodos para se produzir vácuo numa câmara é descarregar água por um tubo convergente-divergente, como é mostrado na figura. Qual deve ser a vazão em massa de água pelo convergente-divergente, para produzir uma depressão de 22 cm de mercúrio na câmara da figura? Dados: desprezar as perdas de carga; γ01 = 10^N/m; γ11 = 1,36 × 10^N/m; g = 10 m/s²; D1 = 72 mm; D2 = 36 mm.\n\nResp.: Qm = 8,14 kg/s
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EXEMPLO\nCalcular a potência do jato de um fluido descarregado no ambiente por um bocal. Dados: v1 = velocidade do jato; A1 = área do jato; γ = peso específico do fluido.\nPHR γ\nSolução\nA carga ou a energia do jato por unidade de peso é dada por:\nH1 = P1/γ + v1²/2g + z1\nPassando o PIR no centro do bocal, z1 = 0. Como o jato é descarregado à pressão atmosférica, sua pressão efetiva será nula, isto é, P2 = 0.\nLogo:\nI1 = v1²/2g\nou o que significa que o jato só tem carga cinética.\nPela Equação 4.13:\nN1 = γQH1\nN1 = γAv1²\nLogo:\nN1 = γA v1²/2g ou N1 = ρAv1³/2\n\nEXEMPLO\nO reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para o tanque indicado com uma vazão de 10 L/s. Verificar se a máquina instalada a bomba ou turbina e determinar sua potência, se o rendimento é 75%.\nSupondo fluido ideal.\nDados: γ10 = 10⁴ N/m²; A tubos = 10 cm²; g = 10 m/s².\n20 m\n5 m Solução\nComo o fluido é considerado ideal, pode-se aplicar a equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2), lembrando que entre as duas existe a máquina M. Mesmo que o reservatório da esquerda não seja a nível constante, será adota a hipótese de regime permanente com a seguinte consideração: o reservatório, sendo de grandes dimensões, levará muito tempo para que seu nível seja alterado sensivelmente pela água descarregada por (2).\nLogo, dentro de certo intervalo de tempo, pode-se considerar que o seu nível é constante, mantendo dessa forma a hipótese de regime permanente. Lembre o leitor que, todas as vezes que mencionarmos \"reservatório de grandes dimensões\", essa hipótese é válida, e assim, pode-se considerar a velocidade do fluido no nível do reservatório praticamente nulo (vide Exercício 3.8 do Capítulo 3).\n\nFeito essas considerações, pode-se-escrever:\nH1 + H4 = H2 + H3\nH1 = P1/γ + v1²/2g + z1\nAdotando o PIR na base do reservatório (I), tem-se:\nz1 = 20 m e z2 = 5 m.\nA pressão, tanto na seção (1) como na (2), é igual à pressão atmosférica; logo, p1 = 0 e p2 = 0 na escala efetiva.\nA velocidade na seção (1) é nula pelas considerações feitas ou v1 = 0.\nResta determinar v2:\nv2 = Q/A2 = 10 × 10⁻³ / 10 × 10⁻² = 10 m/s\nMas\nH1 = 0 + 0 + 20 = 20 m.\nH2 = 0 + 10²/2g = 5 + 10 m.\nLogo:\nH1 = H2 − H1 = 10 − 20 = −10 m.\nComo no sentido do escoamento H4 é negativo, conclui-se que a máquina é uma turbina, e como Hm = −Hr. Potência fornecida pelo fluido à turbina:\nN = γQH1 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10⁻³ × 1/1000 = 1 kW\nPotência da turbina com a noção de rendimento:\nηt = N1/N\nlogo: Nf = N1t × 0.75 = 0.75 kW\n\nEXEMPLOS\nNa instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é 101L/s, a área da seção dos tubos é 10 cm² e a perda de carga entre as seções (1) e (4) é 2 m.\nNão é dado o sentido do escoamento, γ10 = 10⁴ N/m²; g = 10 m/s². 2) Na instalação da figura, a máquina é uma bomba e o fluído é água. A bomba tem uma potência de 5 kW e seu rendimento é 80%. A água é descarregada a atmosfera com uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cuja área de seção 10 cm². Determinar a perda de carga do fluido entre (1) e (2) e a potência dissipada ao longo da tubulação, \u03b7 = 10³ N/m²; g = 10 m/s².\n\nSolução\nTemos\nH1 + Hbm = H2 + H12\nH1 = v1²/2g + z1 + 0 + 5 m = 5 m\n\nH2 = v2²/2g + z2 + 0 + 0 = 5²/2 * 10 = 0 + 0 + 1,25 m\n\nNbm = QH1H2\n\nt = \u03b7Nbm\nQ = v1N1 = \u03b7Nbm/Q\n\nNbm = 0,8 x 5 x 10³ = 80 m\nNbm = 10⁴ x 5 x 10³\nH1,2 = H1 + H2 + Hbm - 5 - 1,25 + 80\nNbm = 10³ x 5 x 10³ x 83,75 x 10³ / 1.000 = 4,19 kW EXEMPLO\nNo sistema da figura, os reservatórios são de grandes dimensões. O reservatório Y alimenta do sistema com 20 L/s e o reservatório X alimentado pelo sistema com 7.5 L/s. A potência da bomba é 6 kW e seu rendimento, 80%. Todas as tubulações têm 62 mm de diâmetro e as perdas de carga são: Hpu = 4 m; Hpl = 1 m e Hpl,2 = 1 m. O fluído é água e \u03b7 = 10³ N/m². Peça-se:\na) a potência dissipada na instalação;\nb) a cota da seção (3) em relação ao centro da bomba.\n\nSolução\nA Pela equação da continuidade: ∑Qin = ∑Qout\nLogo:\nQ01 = Q12 = Q13\n20 - Q12 + 7.5\n\nQ12 = 12.5 L/s\nNdis = QH1H2 + Q1H3 + Hpl,3\nNdis = 10⁴ x 200 x 10² x 2,5 x 10 x 7.5 x 10³ x 4 = 0,825 kW b) ∑QH + N = ∑QH + Ndis\nQ01H0 + N = Q12H1 + Q13H3 + Ndis\nH0 = \u03b1v²0/2g + p0 / \u03b3 + z0 = 0\nz0 = 2 m, adotando-se o PHR no nível da bomba.\nLogo, H0 = 2 m.\n\nH2 = \u03b1v²1/2g + p1 / \u03b3 + z1 onde z2 = 0, P2 = 0\nv2 = 4Q2/πD² = 4x12.5x10³/πx(0,062)² = 4,14 m/s\n\ne, supondo α2 = 1,\nH2 = 4,14²/2 = 0,86 m\n\nH3 = \u03b1v²3/2g + z3 = h\nNbm = Nbm = 0.8 kW\n\nPortanto, na equação da energia:\n10⁴ x 20 x 10⁴ x 2 + 1.6 x 10⁴ = 10⁴ x 12.5 x 10⁴ x 0.86 + 10⁴ x 7.5 x 10⁴ x h + 0.825 x 10³\ne finalmente h = 14.7 m EXEMPLO\nÁgua escorrendo numa tubulação horizontal de 5 cm de diâmetro com uma vazão de 5 L/s. A perda de carga num trecho de 10 m é:\na) Supondo o escoamento adiabático, qual seria a variação de temperatura entre as duas seções?\nb) Supondo o escoamento isotérmico, qual seria o fluxo de calor para o ambiente?\nc) Qual é a queda de pressão entre as duas seções?\nSolução:\na) Hp.u = \nT2 - T1 = \nT2 = T1 - \n\n\n\n\n\n\n\n\nm/s² \n\n\n\n\nN/kg \n\nkg·°C\n\nT2 - T1 = 0,0048°C\nEsse resultado mostra que seria impossível detectar a perda de carga pela medida da variação da temperatura do fluido.\nb) Hp.u = \n\n\n\n\n\n\n\n\nm²/s²\n\nJ/kg·°C\n\nFlujo de calor = -100 W\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n EXERCÍCIOS\n4.1 Determinar a velocidade do jato do líquido no orifício do tanque de grandes dimensões da figura. Considerar fluido ideal.\nResp.: v = \u221a2gh\n4.2 Supondo fluido ideal, mostrar que os jatos de dois orifícios na parede de um tanque interceptam-se num mesmo ponto sobre um plano, que passa pela base do tanque, se o nível do líquido acima do orifício superior é igual à altura do orifício inferior acima da base.\n\n4.3 A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 25 kPa (abs). Desprezando as perdas, determinar:\na) a velocidade do fluido;\nb) a máxima altura do ponto S em relação ao ponto (A);\nPatm = 100 kPa; \u03b3 = 10^4 N/m³\nResp.: a) 4,9 m/s; b) z = 6,3 m\n4.4 Um tubo de Pitot é preso num barco que se desloca a 45 km/h. Qual será a altura h alcançada pela água no ramo vertical?\n Resp.: h = 7,8 m\n4.5 Quais são as vazões de óleo em massa e em peso no tubo convergente da figura, para elevar uma coluna de 20 cm de óleo no ponto (0)?\nDados: desprezar as perdas; \u03b3óleo = 8.000 N/m³; g = 10 m/s²\nResp.: Qm = 2,1 kg/s; Qc = 21 N/s\n4.6 Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão do escoamento da água no conduto.\nDados: \u03b3l = 10^4 Nm²; \u03b3 = 6 x 10^4 Nm²; p1 = 20 kPa; A = 10^{-m²}; g = 10 m/s². Desprezar as perdas e considerar o diagrama de velocidades uniforme.\nResp.: Q = 40 L/s\n4.7 Na extremidade de uma tubulação de diâmetro D, acha-se instalado um bocal que lança um jato de água na atmosfera com diâmetro de 2 cm. O manômetro metálico registra uma pressão de 20 kPa e a água sobe no tubo até a altura de 2,5 m. Nessas condições, determinar:\na) a vazão em peso do escoamento;\nb) o diâmetro D do tubo, admitindo escoamento permanente e sem atrito, \u03b3l,0 = 10 N/L. Resp.: a) 22,3 N/s; b) D = 3 cm\n\nResp.: a) Qc = 314 N/s; b) h1 = 0; c) D2 = 5,7 cm\n\n4.9 Um dos métodos para se produzir vácuo numa câmara é descarregar água por um tubo convergente-divergente, como é mostrado na figura. Qual deve ser a vazão em massa de água pelo convergente-divergente, para produzir uma depressão de 22 cm de mercúrio na câmara da figura? Dados: desprezar as perdas de carga; γ01 = 10^N/m; γ11 = 1,36 × 10^N/m; g = 10 m/s²; D1 = 72 mm; D2 = 36 mm.\n\nResp.: Qm = 8,14 kg/s