Matrizes Sistemas Lineares Vetores e Geometria Analítica Lista de Exercícios

GEOMETRIA ETAPA I MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Toda matriz pode ser descrita por uma regralei de formação Estas leis descrevem os elementos da matriz segundo a posição que esses ocupam nas linhas e colunas Na notação das leis de formação i representa a linha e j a coluna sendo essa a notação mais usada na maioria das leis Considere que analisando a matriz de produtividade de uma empresa você se deparou com os seguintes dados 50 50 50 𝐴 40 40 40 30 30 30 As linhas representam as três unidades produtoras e as colunas representam os três primeiros meses do ano 1 Qual a lei de formação vinculada a matriz A 2 Para os próximos três meses a lei de formação que pode ser aplicada à matriz seria 10𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 Qual seria a matriz B 𝐵3𝑥3 𝑏𝑖𝑗3𝑥3 30 𝑖 𝑗 10𝑖𝑗 𝑖 𝑗 3 Para os dois próximos trimestres a produção será 𝐶 2𝐵 𝐴 Qual seria a matriz C ETAPA II SISTEMAS LINEARES Para atender às demandas de determinada empresa foram realizados alguns GEOMETRIA ETAPA I MATRIZES E SISTEMAS LINEARES pedidos de matéria prima para suprir a produção mensal da mesma Os pedidos realizados foram 1000 unidades de A 2000 unidades de B e 3000 unidades de C que custou R 2300000 2000 unidades de A e 4000 unidades de C que custou R 2200000 3000 unidades de A e 1000 unidades de B que custou R 2600000 1 Qual o custo unitário das matérias primas A B e C ETAPA III PONTOS E RETAS Considere que uma empresa precisa realizar a ligação de duas centrais de informação A primeira central está localizada no ponto 151510 e a segunda está localizada no ponto 556550 1 Qual a distância entre as duas centrais 2 Se for construída uma subestação no ponto médio entre os dois pontos quais as coordenadas do ponto que define essa subestação ETAPA IV VETORES Os produtos entre vetores podem ser utilizados para se determinar inúmeras informações acerca de vetores como o ângulo a área ou o volume determinado por eles Ainda sendo útil para determinar a dependência linear entre vetores ou mesmo a sua perpendicularidade Considere que durante a avaliação de um terreno este foi delimitado em um mapa digitalizado pelos vetores 1052 e 30254 Nesse caso 1 Qual o ângulo formado entre os vetores 2 Qual a área do terreno em m² CALCULO DIFERENCIAL ETAPA 1 Em uma fábrica de peças automotivas há um custo fixo mensal de R 45000 incluindo impostos salário de funcionários conta de água de luz e entre outros E também há um custo variável que depende da quantidade de peças A produzidas de R 4200 Considerando o valor de mercado de cada peça A de R 9500 então a Encontre a função custo Cx b Encontre a função receita Rx c Encontre a função lucro Lx ETAPA 2 A função custo mensal de fabricação de uma peça B na fábrica é de Cx 2x3 8x2 98x 1 cujo preço de venda é de p 100 Sabendo disso a Encontre a função lucro b Utilize o teste da segunda derivada para determinar a quantidade de peças B que devem ser produzidas e vendidas mensalmente para que se obtenha o lucro máximo cUtilizando o software Geogebra trace o gráfico da função lucro e localize o ponto máximo ETAPA 3 O administrador da fábrica deseja comprar um equipamento capaz de resultar em uma economia de custos operacionais Tal economia é dada pela função fx unidades monetárias por ano quando o equipamento estiver x anos em uso fx 1000x 250 Utilizando uma integral definida determine a A economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 3 primeiros anos b Após quantos anos o equipamento estará pago se o mesmo custa R 4275000 Warm up Exercises Hold on to a chair for support and perform these exercises Repeat each exercise 10 times Chin tucks Stand or sit up tall Pull your chin back and down so you look at the floor Hold for a few seconds then return to the starting position Shoulder shrugs Raise your shoulders up toward your ears Hold for a few seconds Repeat Then relax your shoulders Neck rotations Slowly rotate your head in a large circle Repeat on the other side Please consult your health care professional before trying these exercises If you feel any discomfort stop the exercise Your health care professional can show you how to do these exercises safely These exercises are not recommended for your first day of treatment Set your alarm so you move at least once every 20 to 30 minutes If you have neck pain a stiff neck or a headache Do not stretch or massage your neck Do not do heavy lifting pulling or pushing Do not do activities like gardening scrubbing or vacuuming Dont sleep on your stomach Choose a supportive pillow for your head and neck Patient and Family Education Radiation Therapy Head and Neck 6309333777 Adapted from Geo Morris PhD BYU and the University of Utah Hospital 2813110 032023 UIHC ETAPA 1 a No problema fala que temos um custo fixo de 450 e um custo variável que depende de quantidade de peças que custa 42 Portanto temos uma função com a seguinte estrutura fx ax b A variável b é a parte fixa Portanto temos C x 42x450 b A receita corresponde ao preço da peça vendida diretamente no mercado cujo valor é 95 Na receita não existe parte fixa Portanto temos R x 95 x c O lucro é calculado através da formula Lx Rx Cx Portanto temos L x95 x42 x450 L x95 x42 x450 L x53x450 ETAPA 2 a O lucro é a receita menos o custo logo L xR x C x L x100x2x 38 x 298 x1 L x2x 38 x 22x1 b Segunda derivada L x2x 38 x 22x1 L x 6 x 216 x2 Encontrando os pontos críticos L x 6 x 216 x2 Δb 24 ac Δ16 24 6 2 Δ304 x 16174 12 012 x left 16 174 right over 12 27 Calculando a segunda derivada L x 6 x 216 x2 Lx 12 x 1 Fazendo o teste temos que L012 1744 0 mínimo L278 1748 0 máximo c ETAPA 3 a Aplicando a integral definida na equação temos f x 1000 x250 0 3 1000 x250dx 500 x²250 xC0a35003²2503R 525000 b Aplicando na fórmula achada através da integral temos que 500 x 2250 x42750007 500 x 2250 x427500070 Resolvendo por bhaskara temos que Δb 24 ac Δ250 24 500 42750007 Δ85562514 x 2509250 1000 9 x 2509250 1000 95 Será pago em aproximadamente 9 anos ETAPA I MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Considere a seguinte matriz A3 x3 50 50 50 40 40 40 30 30 30 Lei de formação da matriz A O primeiro passo para encontrarmos uma lei de formação para a matriz A é encontrar um padrão Ao observar a matriz A podemos extrair duas informações Todos os elementos de uma mesma linha são iguais a11a12a13 Ao aumentar a linha os elementos diminuem 10 unidades a21a1110a31a2110 Portanto podemos criar a seguinte lei de formação A3 x3aij3 x3 50 i1 40i2 30i3 Ou seja na primeira linha todos os elementos são 50 na segunda 40 e na terceira 30 Montar a matriz B a partir de sua lei de formação O enunciado nos deu a seguinte lei de formação dividida por casos para a matriz B B3x 3bij3x 3 10i ji j 30i j 10i j i j Ou seja Se a linha for menor que a coluna o elemento é 10 multiplicado pela soma i j Se a linha for igual à coluna o elemento é 30 Se a linha for maior que a coluna o elemento é 10 multiplicado pelo produto ij Vamos escrever a matriz B em sua forma genérica B3x 3 b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 B3 x3 ij i j i j i j ij i j i j i j ij Agora usando os casos dados pelo enunciado B3x 3 30 10i j 10i j 10i j 30 10i j 10i j 10i j 30 B3x 3 30 1012 1013 1021 30 1023 1031 1032 30 Portanto a matriz B é B3x 3 30 30 40 20 30 50 30 60 30 Encontrar a matriz C O enunciado nos deu que a matriz C é dada pela seguinte operação C2BA ou seja a matriz C é duas vezes a matriz B menos a matriz A Multiplicação escalar Para multiplicar uma matriz por um número escalar precisamos multiplicar todos os elementos da matriz pelo escalar Subtração de matrizes Para que a subtração seja possível as duas matrizes precisam ser de mesma ordem 2BA Vamos subtrair cada elemento da matriz 2B pelo elemento correspondente na matriz A ETAPA II SISTEMAS LINEARES Vamos montar um sistema onde cada equação representa cada pedido e as incógnitas a b e c representam o custo unitário de cada produto 1000a2000b3000c23000 2000a4000c22000 3000a1000b26000 Primeiro isolaremos a na 2ª equação 2000a4000c22000 2000a220004000c a220004000c 2000 a112c Agora inserimos o valor de a na 1ª equação e na 3ª equação 1000a2000b3000c23000 1000 112c 2000b3000c23000 110002000c2000b3000c23000 1000c2000b2300011000 2000b1000c12000 3000a1000b26000 3000 112c1000b26000 330006000c1000b26000 6000c1000b2600033000 6000c1000b7000 6000c70001000b c70001000b 6000 c7b 6 Inserimos este valor de c na equação 2000b 1000c 12000 2000b1000 7b 6 12000 2000b7000 6 1000b 6 12000 2000b 7000 6 1000b 6 12000 2000b 1000b 6 120007000 6 Aplicando a soma das frações 12000b 6 1000b 6 72000 6 7000 6 13000b 6 65000 6 Podemos cortar o 6 do denominador dos dois lados 13000b65000 b65000 13000 b5 Agora podemos encontrar o valor de c c7b 6 c75 6 c12 6 c2 Por fim o valor de a será a112c a1122 a114 a7 ETAPA III PONTOS E RETAS Consideremos e temos que a distância entre os dois pontos é dada por Além disso o ponto médio é dado pelas seguintes coordenadas Conforme é apresentado pela questão temos os seguintes pontos 10 20 30 e 40 50 60 a Tendo em vista que e a distância vai ser b Substituindo os valores nas equações do ponto médio obtemos Logo o ponto médio é 25 35 45 c Como o ponto médio se encontra na metade do caminho basta dividir a distância entre os pontos por 2 ETAPA IV VETORES 1 Cálculo do ângulo theta entre os vetores cosθ uv uv cosθ 105230254 10025490062516 cosθ3001258 198789 433 198789 cosθ09712 θ1378 2 Cálculo da área Auv i j k 10 5 2 30 25 4 30 i20 j100k A90040010000 A1063m²