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Engenharia Elétrica ·
Sinais e Sistemas
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A estabilidade de um sistema linear malha fechada é determinada pela localização dos polos da equação característica malha fechada no plano s Se qualquer um destes polos estiver no semiplano direito do plano s então com o decorrer do tempo eles darão origem ao modo dominante e a resposta transitoriamente aumentará monotonamente ou oscilará com amplitude crescente Critérios para a avaliação da estabilidade Método critério de RouthHurwitz Método de Substituição Direta Método do lugar geométrico das raízes Root Locus Podese definir basicamente 3 comportamentos diferentes em um sistema a partir do estado inicial 1 Decréscimo da resposta 2 Crescimento da resposta 3 Comportamento neutro DECRÉSCIMO DA RESPOSTA saída decai após aplicada uma entrada limitada SISTEMA ESTÁVEL CRESCIMENTO DA RESPOSTA saída cresce após uma entrada limitada SISTEMA INSTÁVEL CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE Processo malha aberta estável Autorregulatório processo estável sem controle feedback Definição de Estabilidade Um sistema linear irrestrito é dito ser estável se a resposta de saída é limitada para todas as entradas limitadas Caso contrário é dito ser instável Exemplo Sistema de armazenamento de líquidos que não é de auto regulação ESTABILIDADE MALHA FECHADA O problema de controle envolve a consideração de estabilidade malha fechada Conceito Geral Estabilidade BIBO Bounded InputBounded Output Um sistema linear sem restrições é dito ser estável se para todo sinal de amplitude limitada aplicado na entrada o sinal de saída é também limitado Caso contrário é instável ou seja a amplitude do sinal de saída tenderá a crescer indefinidamente com o passar do tempo Comentários A estabilidade é muito mais fácil para provar que a instabilidade Isto é apenas um tipo de estabilidade ESTABILIDADE MALHA FECHADA Regiões de estabilidade no plano complexo das raízes da equação característica Parte Imaginária Parte Real Região Instável Região Estável Contribuições dos pólos na resposta malha fechada Im muito oscilatório Crescimento exponencial com oscilações rápido cos exponencial raizes reais Re rápido raizes reais lentas raizes complexas parte real lento muito oscilatório raizes complexas parte real lento No projeto e análise de sistemas de controle é instrutivo saber como as raízes da equação característica mudar quando um parâmetro do sistema particular como mudanças ganho do controlador O diagrama do lugar das raízes fornece uma exibição gráfica conveniente desta informação Exemplo Considere um sistema de controle feedback que tem a seguinte função de transferência malha aberta GOLs frac2Ks1s2s3 Plote o diagrama lugar das raízes para 0 Kc 40 A partir do diagrama acima lugar das raízes O sistema em malha fechada é subamortecido para Kc 02 O sistema de malha fechada é instável para Kc 30 solução A Eq Caract s 1s 2s 3 2Kc 0 Diagrama de Lugar das Raízes Root Locus Lugar das Raízes diagrama de Evans Evans 1948 1950 Quais raizes Do polinômio denominado da função de transferência em FTMF malha aberta Sem fatorizar o polinômio denominador O que é Representação gráfica da localização dos pólos de um sistema em malha fechada como função de um parâmetro do sistema Usualmente este parâmetro é um ganho da malha aberta Para que serve Para apoio à síntese de controladores análise das características da resposta no tempo do sistema em malha fechada como função da variação de parâmetros Método do Lugar Geométrico das Raízes Root Locus Consiste no traçado dos pólos de malha fechada de um sistema quando o seu ganho ou algum parâmetro varia de zero a infinito É uma ferramenta gráfica poderosa para a análise e síntese de sistemas Exemplos Root Locus GsHs Gsss2s4 Observe que para K 0 há um polo em 10 e outro em 0 À medida em que K aumenta o polo mais à esquerda se move para direita sobre o eixo real e o polo mais à direita se move para esquerda sobre o eixo real A partir dai um polo se move verticalmente para cima enquanto o outro se move verticalmente para baixo Para K 25 os polos são reais e distintos ou seja o sistema é superamortecido Para K 25 os polos são reais e idênticos e o sistema é criticamente amortecido Para K 25 o sistema é subamortecido Lugar Geométrico das Raízes Justificativa Localização dos polos em malha fechada Movimentação dos polos de acordo com um ganho K Quando o ganho K varia varia também a eq característica Determinação das raízes pode ser um procedimento complexo dependendo da ordem da função Propriedades de um ponto do LGR A análise proposta por Evans é realizada com base nas possíveis raízes da equação do denominador de Ys Rs K GsHs 1 KGsHs 0 Equação característica admitindo o parâmetro K como variável GsHs representa uma função complexa 1 KGsHs 0 Uma vez que s é uma variável complexa as raízes da equação coincidem com todos os valores de que satisfaçam simultaneamente as seguintes condições KGsHs 1 GsHs 2h 180 onde h 012 KGsHs 1 GsHs 2h 180 onde h 012 O primeiro passo para traçar o LGR é marcar a localização dos polos e zeros de GsHs no plano complexo sendo por convenção os polos denotados por x e os zeros por o Exemplo GsHs 10 s 4 s 3 j4s 3 j4 Com a localização exata dos polos de GsHs é possível medir no LGR utilizando GsHssst para qualquer ponto de teste st Como exemplo considerase a seguinte função de transferência de GsHs de um sistema GsHs10 fracs4s3j4s3j4 GsHs10 fracs4s3j4s3j4 Note que o traçado do diagrama não depende do ganho 10 Analisando a condição de módulo e de ângulo no ponto de teste s1j3 verificase facilmente que este ponto não pertence ao LGR G1j3H1j3G1j3H1j300φ32h1180 A Figura mostra o LGR do sistema de controle Observase claramente que o ponto de teste considerado não faz parte ao LGR A magnitude de Fs em qualquer ponto s é dada por M i1m s zi j1n s pj Obtenha Fs no ponto s 3 j4 sendo Fs fracs 1s 2 Exemplo Determine se o ponto 2j3 está sobre o LR do sistema abaixo A soma dos ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos é dada por angle GsHs heta1 heta2 heta3 heta4 5631 7157 90 10843 7055 033 Função rlocus do Matlab Na construção do lugar das raizes com o MATLAB a equação característica 1 K GsHs 0 é apresentada na forma abaixo onde num e den representam respectivamente o numerador e denominador de GsHs Plotar no MatlabOctave os sistemas estudados em aula em malha fechada com realimentação unitária e verificar o lugar das raízes
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A estabilidade de um sistema linear malha fechada é determinada pela localização dos polos da equação característica malha fechada no plano s Se qualquer um destes polos estiver no semiplano direito do plano s então com o decorrer do tempo eles darão origem ao modo dominante e a resposta transitoriamente aumentará monotonamente ou oscilará com amplitude crescente Critérios para a avaliação da estabilidade Método critério de RouthHurwitz Método de Substituição Direta Método do lugar geométrico das raízes Root Locus Podese definir basicamente 3 comportamentos diferentes em um sistema a partir do estado inicial 1 Decréscimo da resposta 2 Crescimento da resposta 3 Comportamento neutro DECRÉSCIMO DA RESPOSTA saída decai após aplicada uma entrada limitada SISTEMA ESTÁVEL CRESCIMENTO DA RESPOSTA saída cresce após uma entrada limitada SISTEMA INSTÁVEL CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE Processo malha aberta estável Autorregulatório processo estável sem controle feedback Definição de Estabilidade Um sistema linear irrestrito é dito ser estável se a resposta de saída é limitada para todas as entradas limitadas Caso contrário é dito ser instável Exemplo Sistema de armazenamento de líquidos que não é de auto regulação ESTABILIDADE MALHA FECHADA O problema de controle envolve a consideração de estabilidade malha fechada Conceito Geral Estabilidade BIBO Bounded InputBounded Output Um sistema linear sem restrições é dito ser estável se para todo sinal de amplitude limitada aplicado na entrada o sinal de saída é também limitado Caso contrário é instável ou seja a amplitude do sinal de saída tenderá a crescer indefinidamente com o passar do tempo Comentários A estabilidade é muito mais fácil para provar que a instabilidade Isto é apenas um tipo de estabilidade ESTABILIDADE MALHA FECHADA Regiões de estabilidade no plano complexo das raízes da equação característica Parte Imaginária Parte Real Região Instável Região Estável Contribuições dos pólos na resposta malha fechada Im muito oscilatório Crescimento exponencial com oscilações rápido cos exponencial raizes reais Re rápido raizes reais lentas raizes complexas parte real lento muito oscilatório raizes complexas parte real lento No projeto e análise de sistemas de controle é instrutivo saber como as raízes da equação característica mudar quando um parâmetro do sistema particular como mudanças ganho do controlador O diagrama do lugar das raízes fornece uma exibição gráfica conveniente desta informação Exemplo Considere um sistema de controle feedback que tem a seguinte função de transferência malha aberta GOLs frac2Ks1s2s3 Plote o diagrama lugar das raízes para 0 Kc 40 A partir do diagrama acima lugar das raízes O sistema em malha fechada é subamortecido para Kc 02 O sistema de malha fechada é instável para Kc 30 solução A Eq Caract s 1s 2s 3 2Kc 0 Diagrama de Lugar das Raízes Root Locus Lugar das Raízes diagrama de Evans Evans 1948 1950 Quais raizes Do polinômio denominado da função de transferência em FTMF malha aberta Sem fatorizar o polinômio denominador O que é Representação gráfica da localização dos pólos de um sistema em malha fechada como função de um parâmetro do sistema Usualmente este parâmetro é um ganho da malha aberta Para que serve Para apoio à síntese de controladores análise das características da resposta no tempo do sistema em malha fechada como função da variação de parâmetros Método do Lugar Geométrico das Raízes Root Locus Consiste no traçado dos pólos de malha fechada de um sistema quando o seu ganho ou algum parâmetro varia de zero a infinito É uma ferramenta gráfica poderosa para a análise e síntese de sistemas Exemplos Root Locus GsHs Gsss2s4 Observe que para K 0 há um polo em 10 e outro em 0 À medida em que K aumenta o polo mais à esquerda se move para direita sobre o eixo real e o polo mais à direita se move para esquerda sobre o eixo real A partir dai um polo se move verticalmente para cima enquanto o outro se move verticalmente para baixo Para K 25 os polos são reais e distintos ou seja o sistema é superamortecido Para K 25 os polos são reais e idênticos e o sistema é criticamente amortecido Para K 25 o sistema é subamortecido Lugar Geométrico das Raízes Justificativa Localização dos polos em malha fechada Movimentação dos polos de acordo com um ganho K Quando o ganho K varia varia também a eq característica Determinação das raízes pode ser um procedimento complexo dependendo da ordem da função Propriedades de um ponto do LGR A análise proposta por Evans é realizada com base nas possíveis raízes da equação do denominador de Ys Rs K GsHs 1 KGsHs 0 Equação característica admitindo o parâmetro K como variável GsHs representa uma função complexa 1 KGsHs 0 Uma vez que s é uma variável complexa as raízes da equação coincidem com todos os valores de que satisfaçam simultaneamente as seguintes condições KGsHs 1 GsHs 2h 180 onde h 012 KGsHs 1 GsHs 2h 180 onde h 012 O primeiro passo para traçar o LGR é marcar a localização dos polos e zeros de GsHs no plano complexo sendo por convenção os polos denotados por x e os zeros por o Exemplo GsHs 10 s 4 s 3 j4s 3 j4 Com a localização exata dos polos de GsHs é possível medir no LGR utilizando GsHssst para qualquer ponto de teste st Como exemplo considerase a seguinte função de transferência de GsHs de um sistema GsHs10 fracs4s3j4s3j4 GsHs10 fracs4s3j4s3j4 Note que o traçado do diagrama não depende do ganho 10 Analisando a condição de módulo e de ângulo no ponto de teste s1j3 verificase facilmente que este ponto não pertence ao LGR G1j3H1j3G1j3H1j300φ32h1180 A Figura mostra o LGR do sistema de controle Observase claramente que o ponto de teste considerado não faz parte ao LGR A magnitude de Fs em qualquer ponto s é dada por M i1m s zi j1n s pj Obtenha Fs no ponto s 3 j4 sendo Fs fracs 1s 2 Exemplo Determine se o ponto 2j3 está sobre o LR do sistema abaixo A soma dos ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos é dada por angle GsHs heta1 heta2 heta3 heta4 5631 7157 90 10843 7055 033 Função rlocus do Matlab Na construção do lugar das raizes com o MATLAB a equação característica 1 K GsHs 0 é apresentada na forma abaixo onde num e den representam respectivamente o numerador e denominador de GsHs Plotar no MatlabOctave os sistemas estudados em aula em malha fechada com realimentação unitária e verificar o lugar das raízes