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2º Aula Derivadas para funções de duas variáveis Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender o significado geométrico das derivadas parciais aplicar as funções homogêneas nas Ciências Econômicas escolher um método conveniente para determinar as integrais duplas Prezadosas alunosas Iniciaremos esta aula com as definições das derivadas parciais junto com seu significado geométrico Em seguida vamos estudar a regra da cadeia e o teorema da função implícita Nesse mesmo tópico estudaremos as funções homogêneas que são bastante utilizadas nas Ciências Econômicas E finalmente trabalharemos com duas maneiras de determinar as integrais duplas em regiões não retangulares Este material terá como referência principal o livro Cálculo Funções de uma e várias variáveis de Pedro A Morettin Samuel Hazzan e Wilton de O BUSSAB 2010 Boa aula Bons estudos Matemática II 14 1 Função derivada parcial 2 Função composta 3 Integrais duplas 1 Função derivada parcial Antes de estudarmos a função derivada parcial vamos definir as derivadas parciais através do limite Consideremos um ponto se mantivermos constante no valor de e variarmos do valor de para o valor a função dependerá apenas da variável Seja À razão chamamos de taxa média de variação de em relação a Observamos que depende do ponto de partida depende da variação Ao limite se existir e for um número real de quando tende a denominamos derivada parcial de no ponto em relação a Indicamos tal derivada parcial por um dos símbolos ou Assim O símbolo lêse del del Analogamente se mantivermos constante no valor e variarmos do valor para o valor dependerá apenas da variável Seja À razão Seções de estudo chamamos de taxa média de variação de em relação a Ao limite se existir e for um número real de quando tende a denominamos derivada parcial de no ponto em relação a Indicamos tal derivada parcial por um dos símbolos ou O símbolo lêse del del Assim Exemplo 1 Seja Calculemos e Solução Analogamente Função Derivada Parcial Se calcularmos e num ponto genérico obteremos duas funções de e a função é chamada função derivada de em relação a ou simplesmente derivada parcial de em relação a A função é chamada função derivada de em relação a ou simplesmente derivada parcial de em relação a As derivadas parciais também podem ser indicadas por ou e ou MORETTIN et al 2010 p251 Para o cálculo de e podemos aplicar as regras de derivação estudadas em função de uma variável visto na disciplina de Matemática I desde que no cálculo de consideremos como constante no cálculo de consideremos como constante 15 Exemplo 2 Se então Solução pois é considerado uma constante e pois é considerado uma constante Se quisermos calcular e Basta substituirmos por e por nas derivadas isto é e Exemplo 3 Suponhamos que As derivadas parciais são Solução pois é considerado uma constante pois é considerado uma constante As derivadas parciais no ponto por exemplo são obtidas substituindo e por isto é e Exemplo 4 Sendo e usando a regra da derivada do produto as derivadas parciais são dadas por Solução Nesse caso estamos derivando em relação a então quando derivamos em relação a resulta em zero pois em relação a é considerado uma constante Exemplo 5 Seja Para o cálculo das derivadas parciais utilizaremos a regra da cadeia Solução Fazendo teremos e portanto pois no cálculo de é considerado constante De modo análogo Exemplo 6 Suponhamos que a quantidade de batata demandada por semana em num supermercado seja função do seu preço unitário por e do preço unitário por de arroz de acordo com a relação Calculemos e Solução Temos portanto portanto Podemos interpretar tal resultado da seguinte forma representa aproximadamente para pequenos valores de Assim se admitirmos teremos ou seja a um aumento unitário no preço do da batata de para corresponde à uma diminuição de aproximadamente na demanda de batata mantido o preço do do arroz em representa aproximadamente para pequenos valores de Assim se admitirmos teremos ou seja a um aumento unitário no preço do do arroz de para corresponde um aumento na demanda de batata em aproximadamente mantido o preço do da batata em 11 Significado geométrico das derivadas parciais No cálculo de o que fizemos foi manter fixo no valor e calcular a derivada de que no caso só dependia de Ora isso nada mais é do que achar a derivada da função de no ponto cujo gráfico é a intersecção do gráfico de com o plano de equação conforme a Figura 1 MORETTIN et al 2010 p253 Figura 1 Significado geométrico da derivada parcial em relação a Fonte MORETTIN et al 2010 p 253 Portanto conforme vimos em funções de uma variável representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto de abscissa do sistema cartesiano visto na Figura 1 em que é o ponto Analogamente representa o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de com o plano de equação no ponto do sistema cartesiano conforme a Figura 2 em que Matemática II 16 é o ponto Figura 2 Significado geométrico da derivada parcial em relação a y Fonte MORETTIN et al 2010 p 253 Exercícios 1 Considere a função Usando a definição de derivada parcial calcule e 2 Considere a função Usando a definição de derivada parcial através do limite calcule e 3 Usando as técnicas de derivação calcule e para as seguintes funções a b c d 12 Diferencial de uma função Consideremos a função dada por e calculemos a variação sofrida pela função quando e sofrem variações e a partir do ponto Temos 2 2 3 2 3 Por exemplo se e teremos Como as parcelas e são desprezíveis comparadas com e podemos dizer que Voltando a expressão de notamos que e os termos são desprezíveis quando comparados com desde que e sejam próximos de zero O resultado que acabamos de ver não é um caso isolado mas vale para a grande maioria das funções isto é a variação sofrida por quando variamos simultaneamente de valores pequenos e é aproximadamente igual a Esse exemplo preliminar nos leva à seguinte definição Seja uma função com duas variáveis e seja um ponto de seu domínio Seja a variação sofrida por ao passarmos do ponto para o ponto Isto é Dizemos que é diferenciável no ponto se puder ser escrita sob a forma Em que as funções e têm limites iguais a zero quando tende a A parcela é diferencial de e é indicada por no caso de ser diferenciável Voltando ao exemplo inicial vimos que Assim como 17 e ambas com limites nulos quando tendem a concluímos que é diferenciável num ponto genérico Seria bastante trabalhoso termos que verificar pela definição se uma função é ou não diferenciável para podermos calcular a diferencial como resultado aproximado de Felizmente existe um teorema que nos fornece condições facilmente verificáveis para vermos se uma função é diferenciável Seu enunciado é o seguinte Teorema Seja uma função com duas variáveis Se as derivadas parciais e são contínuas num conjunto aberto então é diferenciável em todos os pontos de MORETTIN et al 2010 p259 Exemplos a A função é diferenciável em todos os pontos de pois as derivadas e são contínuas em A diferencial de num ponto genérico vale b A função com domínio é diferenciável em pois as derivadas parciais e são contínuas em A diferencial de num ponto genérico vale Exercícios 1 Mostre que a função é diferenciável no ponto e calcule a diferencial da função nesse ponto para 2 Mostre que a função é diferenciável no ponto e calcule a diferencial da função nesse ponto para 3 Calcule a diferencial de num ponto genérico nos seguintes casos a b c d e 2 Função composta 21 Regra da cadeia Nesta seção será utilizado um teorema onde cada uma das fórmulas enunciadas é chamada regra da cadeia Suponhamos os domínios escolhidos de modo que a função composta seja definida em um domínio conveniente Teorema Regra da cadeia Seja uma função de duas variáveis e diferenciável num ponto do domínio e sejam as funções dadas por e y diferenciáveis em de modo que e y Então a função composta de com e é tal que ou abreviadamente Exemplo 1 Sejam e A função composta de com e é dada por Solução Vamos utilizar o teorema da regra da cadeia Exemplo 2 Sejam e A função composta de com e é dada por Solução Pelo teorema da regra da cadeia temos Agora devemos trocar o assim Observação No exemplo 1 não precisou fazer essa substituição Matemática II 18 porque só resultou em constantes Exercícios 1 Obtenha pela regra da cadeia sendo a função composta de com e nos seguintes casos a e b e c e d e 2 Seja uma função de produção em que indica o capital e o trabalho Suponha que o capital cresça com o tempo de acordo com a relação e o trabalho cresça com o tempo de acordo com Obtenha a A produção em função do tempo b A taxa de crescimento da produção em relação ao tempo 22 Funções definidas implicitamente Antes de enunciarmos o teorema da função implícita consideraremos algumas situações A equação Resolvendoa em relação a obtemos está última expressão representa uma função de uma variável derivável para todo real Dizemos então que a equação define implicitamente uma função derivável em relação a Se considerarmos também a equação veremos que ela é satisfeita apenas pelo par e portanto a equação não define implicitamente uma função derivável em relação a representa uma função em que o domínio é e o conjunto imagem é Consideremos agora a equação Não é fácil isolar dessa equação e saber se tal equação define implicitamente uma função De modo geral como saber se determinada equação a duas variáveis e define implicitamente uma função A resposta a essa pergunta comparece ao chamado teorema da função implícita cujo enunciado veremos a seguir Teorema da função implícita Sejam e funções contínuas num domínio e Se e então existe um intervalo com centro em em que a equação define implicitamente uma única função derivável tal que e MORETTIN et al 2010 p264 Exemplo 1 A equação define implicitamente uma função num intervalo centrado em pois a e são contínuas em b c Consideremos a função derivável definida implicitamente pela equação Como seguese pela regra da cadeia que de onde obtemos a seguinte fórmula Derivada da função definida implicitamente Exemplo 2 Consideremos a equação Tal equação define implicitamente a função Calculemos a derivada diretamente e pela fórmula da derivada da função definida implicitamente Temos Solução a Cálculo direto de b Cálculo de pela fórmula da derivada da função definida implicitamente Exemplo 3 Consideremos a equação que representa uma circunferência de centro na origem e raio Tal equação define implicitamente as funções e deriváveis no intervalo 11 conforme a Figura 3 Figura 3 Função definida implicitamente por 19 Fonte MORETTIN et al 2010 p 265 Calculemos de dois modos a derivada da função a Cálculo direto de b Cálculo de pela fórmula da derivada da função definida implicitamente Entretanto como vem Procedendo de modo análogo podese mostrar que a função a derivada é dada por Exercícios Determine a derivada das funções definidas implicitamente pelas equações a num ponto genérico b num ponto genérico c no ponto d no ponto e no ponto 23 Funções homogêneas Teorema de Euler Seja uma função de duas variáveis e Dizemos que é homogênea de grau se para toda constante positiva tivermos Exemplo 1 Verifique se a função é homogênea de grau 2 Solução Dado uma constante positiva e fazendo temos ou seja satisfazendo a definição Exemplo 2 A função Cobb Douglas de produção com é homogênea de grau 1 pois Solução Dado uma constante positiva e fazendo temos ou seja satisfazendo a definição Exemplo 3 A função de demanda de um produto em que é a renda do consumidor e o preço unitário do produto é homogênea de grau zero pois Solução Dado uma constante positiva e fazendo temos Observação recordando que ou seja satisfazendo a definição O conceito de homogeneidade de uma função diz respeito ao que ocorre com quando e passam a valer e respectivamente isto é sofrem uma variação Matemática II 20 porcentual igual a Assim um valor de corresponde a uma variação porcentual de Se for homogênea de grau zero significa que qualquer variação porcentual sofrida por e não altera o valor de é o caso do exemplo 3 Cumpre observar finalmente que nem toda função é homogênea por exemplo a função não é homogênea As funções homogêneas gozam de uma importante propriedade conhecida como teorema de Euler que veremos a seguir Teorema de Euler Seja uma função de duas variáveis e homogêneas de grau Então O teorema de Euler tem um importante papel em Economia no que diz respeito à função de produção e à remuneração dos insumos Com efeito consideremos a função de produção homogênea de grau 1 em que e indicam as quantidades dos insumos trabalho e capital respectivamente Pelo teorema de Eule em que as derivadas parciais e indicam as produtividades marginais do trabalho e do capital respectivamente Assim se cada unidade de insumo for remunerada de acordo com sua produtividade marginal teremos e em que é a remuneração de cada unidade de trabalho é a remuneração de cada unidade de capital é o preço unitário do produto Substituindo esses valores na expressão de resulta e portanto Essa última relação nos mostra que a receita total se decompõe em duas parcelas que é a remuneração total do trabalho que é a remuneração do capital Enfatizamos mais uma vez que tal conclusão só é válida se foram verificadas as condições a função de produção homogênea de grau 1 b remuneração dos insumos de acordo com suas produtividades marginais Assim sendo constitui um problema de Economia a verificação dessas condições Exercícios 1 Nas funções a seguir indique as homogêneas e dê seu grau de homogeneidade a b c d e f 2 Considere a seguinte função de produção em que é a quantidade de trabalho e a de capital a Mostre que a função é homogênea de grau 1 b Calcule a produtividade marginal do trabalho e a do capital c Se o nível de produção é de unidades e o preço por unidade do produto for qual a remuneração do trabalho e do capital se ambas as remunerações por unidade forem iguais às produtividades marginais 24 Derivadas parciais de segunda ordem Seja uma função de duas variáveis e e suas derivadas parciais Se calcularmos as derivadas parciais de e obteremos quatro funções chamadas derivadas parciais de segunda ordem São elas a derivada de em relação a indicada por ou b derivada de em relação a indicada por ou c derivada de em relação a indicada por ou d derivada de em relação a indicada por ou Exercícios 1 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem para as funções a 21 b c d 2 Calcule as derivadas mistas e da função 3 Mostre que a função satisfaz a condição 3 Integrais duplas Uma outra situação que ocorre no cálculo da integral dupla é aquela em que o domínio da função é dado por e conforme a Figura 4 Figura 4 Domínio de uma função definida por duas funções de e duas constantes Fonte MORETTIN et al 2010 p 275 O passo para o cálculo da integral dupla consiste em achar a área de uma seção do gráfico perpendicular ao eixo representado na Figura 5 Figura 5 Integral parcial Fonte MORETTIN et al 2010 p 275 No 2º passo o volume sob o gráfico e acima do domínio é dado por Portanto a integral dupla de em é dada por Exemplo Seja e a região dada pelas inequações e conforme a Figura 6 Calculemos o volume do sólido sob o gráfico da função acima de Solução A região é dada pela Figura 6 Figura 6 Domínio da função Fonte MORETTIN et al 2010 p 276 Uma dica Nesse caso que estamos integrando primeiro em relação a a função que está em cima será o limitante superior e a função que está embaixo será o limitante inferior da integral Temos Matemática II 22 Exercícios 1 Calcule o volume do sólido sob o gráfico da função e acima do domínio dado pelas inequações e 2 Calcule o volume do sólido sob o gráfico da função e acima do domínio dado pelas inequações e Uma segunda situação que ocorre no cálculo da integral dupla é aquela em que o domínio da função de é dado por e representado na Figura 7 Figura 7 Domínio de uma função Fonte MORETTIN et al 2010 p 276 O passo para o cálculo da integral dupla consiste em achar a área de uma secção do gráfico da função perpendicular ao eixo Isto é conforme a Figura 8 Figura 8 Integral parcial Fonte MORETTIN et al 2010 p 277 No 2º passo consiste em calcular o volume sob o gráfico de e acima do domínio por meio da integral Portanto a integral dupla de em é dada por Exemplo Consideremos a função e calculemos a integral dupla em que a região é dada por e A dica para esse caso Como estamos integrando primeiro em relação a a função que está à esquerda será o limitante inferior e a função que está a direita será o limitante superior da integral Solução Portanto a integral dupla procurada vale 14 Exercícios 1 Calcule o volume do sólido sob o gráfico da função e acima do domínio dado pelas inequações e 0 2 Calcule a integral dupla em que dado pelas inequações e Retomando a aula Chegamos assim ao final da segunda aula Esperase que agora tenha ficado mais claro o entendimento de vocês sobre o significado geométrico das derivadas parciais e a aplicação das funções homogêneas nas Ciências Econômicas Vimos também a possibilidade de calcular a integral em regiões não retangulares Vamos então recordar 1 Função Derivada Parcial Iniciamos nossos estudos com as derivadas parciais 23 CHIANG Alpha C WAINWRIGHT Kevin Matemática para economistas 4 ed Rio de Janeiro Editora Elsevier 2006 SIMON Carl P BLUME Lawrence Matemática para economistas Porto Alegre Editora Bookman 2004 LEITHOLD Louis Matemática aplicada à economia e administração São Paulo Editora Harbra 1988 Vale a pena ler Khan Academy Introdução as derivadas parciais Disponível em httpsptkhanacademyorgmath multivariablecalculusmultivariablederivativespartial derivativeandgradientarticlesaintroductiontopartial derivatives Acesso em 30 jan 2020 IMECC Regra da cadeia Prática de conceitos Disponível em httpscursosimeunicampbrdisciplinas ma211calculoiiderivadasparciaisregradacadeiaregra dacadeia Acesso em 30 jan 2020 Vale a pena acessar YouTube Funções homogêneas Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvXchPdoXH3E Acesso em 30 jan 2020 Vale a pena assistir Vale a pena onde é possível determinar as mesmas sem utilizar o limite Se calcularmos e num ponto genérico obteremos duas funções de e a função é chamada função derivada de em relação a ou simplesmente derivada parcial de em relação a A função é chamada função derivada de em relação a ou simplesmente derivada parcial de em relação a As derivadas parciais também podem ser indicadas por ou e ou Para o cálculo de e podemos aplicar as regras de derivação estudadas em função de uma variável visto na disciplina de Matemática I desde que no cálculo de consideremos como constante no cálculo de consideremos como constante 2 Função composta Na seção 2 foi estudado o teorema onde cada uma das fórmulas enunciadas é chamada regra da cadeia Teorema Regra da cadeia Seja uma função de duas variáveis e diferenciável num ponto do domínio e sejam as funções dadas por e y diferenciáveis em de modo que e y Então a função composta de com e é tal que ou abreviadamente 3 Integrais duplas E finalmente na última seção foram abordadas as duas maneiras de trabalharmos com as integrais duplas em regiões não retangulares 1ª maneira quando o domínio da função é dado por e Portanto a integral dupla de em é dada por 2ª maneira quando o domínio da função é dado por e Portanto a integral dupla de em é dada por Minhas anotações
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
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2º Aula Derivadas para funções de duas variáveis Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender o significado geométrico das derivadas parciais aplicar as funções homogêneas nas Ciências Econômicas escolher um método conveniente para determinar as integrais duplas Prezadosas alunosas Iniciaremos esta aula com as definições das derivadas parciais junto com seu significado geométrico Em seguida vamos estudar a regra da cadeia e o teorema da função implícita Nesse mesmo tópico estudaremos as funções homogêneas que são bastante utilizadas nas Ciências Econômicas E finalmente trabalharemos com duas maneiras de determinar as integrais duplas em regiões não retangulares Este material terá como referência principal o livro Cálculo Funções de uma e várias variáveis de Pedro A Morettin Samuel Hazzan e Wilton de O BUSSAB 2010 Boa aula Bons estudos Matemática II 14 1 Função derivada parcial 2 Função composta 3 Integrais duplas 1 Função derivada parcial Antes de estudarmos a função derivada parcial vamos definir as derivadas parciais através do limite Consideremos um ponto se mantivermos constante no valor de e variarmos do valor de para o valor a função dependerá apenas da variável Seja À razão chamamos de taxa média de variação de em relação a Observamos que depende do ponto de partida depende da variação Ao limite se existir e for um número real de quando tende a denominamos derivada parcial de no ponto em relação a Indicamos tal derivada parcial por um dos símbolos ou Assim O símbolo lêse del del Analogamente se mantivermos constante no valor e variarmos do valor para o valor dependerá apenas da variável Seja À razão Seções de estudo chamamos de taxa média de variação de em relação a Ao limite se existir e for um número real de quando tende a denominamos derivada parcial de no ponto em relação a Indicamos tal derivada parcial por um dos símbolos ou O símbolo lêse del del Assim Exemplo 1 Seja Calculemos e Solução Analogamente Função Derivada Parcial Se calcularmos e num ponto genérico obteremos duas funções de e a função é chamada função derivada de em relação a ou simplesmente derivada parcial de em relação a A função é chamada função derivada de em relação a ou simplesmente derivada parcial de em relação a As derivadas parciais também podem ser indicadas por ou e ou MORETTIN et al 2010 p251 Para o cálculo de e podemos aplicar as regras de derivação estudadas em função de uma variável visto na disciplina de Matemática I desde que no cálculo de consideremos como constante no cálculo de consideremos como constante 15 Exemplo 2 Se então Solução pois é considerado uma constante e pois é considerado uma constante Se quisermos calcular e Basta substituirmos por e por nas derivadas isto é e Exemplo 3 Suponhamos que As derivadas parciais são Solução pois é considerado uma constante pois é considerado uma constante As derivadas parciais no ponto por exemplo são obtidas substituindo e por isto é e Exemplo 4 Sendo e usando a regra da derivada do produto as derivadas parciais são dadas por Solução Nesse caso estamos derivando em relação a então quando derivamos em relação a resulta em zero pois em relação a é considerado uma constante Exemplo 5 Seja Para o cálculo das derivadas parciais utilizaremos a regra da cadeia Solução Fazendo teremos e portanto pois no cálculo de é considerado constante De modo análogo Exemplo 6 Suponhamos que a quantidade de batata demandada por semana em num supermercado seja função do seu preço unitário por e do preço unitário por de arroz de acordo com a relação Calculemos e Solução Temos portanto portanto Podemos interpretar tal resultado da seguinte forma representa aproximadamente para pequenos valores de Assim se admitirmos teremos ou seja a um aumento unitário no preço do da batata de para corresponde à uma diminuição de aproximadamente na demanda de batata mantido o preço do do arroz em representa aproximadamente para pequenos valores de Assim se admitirmos teremos ou seja a um aumento unitário no preço do do arroz de para corresponde um aumento na demanda de batata em aproximadamente mantido o preço do da batata em 11 Significado geométrico das derivadas parciais No cálculo de o que fizemos foi manter fixo no valor e calcular a derivada de que no caso só dependia de Ora isso nada mais é do que achar a derivada da função de no ponto cujo gráfico é a intersecção do gráfico de com o plano de equação conforme a Figura 1 MORETTIN et al 2010 p253 Figura 1 Significado geométrico da derivada parcial em relação a Fonte MORETTIN et al 2010 p 253 Portanto conforme vimos em funções de uma variável representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto de abscissa do sistema cartesiano visto na Figura 1 em que é o ponto Analogamente representa o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de com o plano de equação no ponto do sistema cartesiano conforme a Figura 2 em que Matemática II 16 é o ponto Figura 2 Significado geométrico da derivada parcial em relação a y Fonte MORETTIN et al 2010 p 253 Exercícios 1 Considere a função Usando a definição de derivada parcial calcule e 2 Considere a função Usando a definição de derivada parcial através do limite calcule e 3 Usando as técnicas de derivação calcule e para as seguintes funções a b c d 12 Diferencial de uma função Consideremos a função dada por e calculemos a variação sofrida pela função quando e sofrem variações e a partir do ponto Temos 2 2 3 2 3 Por exemplo se e teremos Como as parcelas e são desprezíveis comparadas com e podemos dizer que Voltando a expressão de notamos que e os termos são desprezíveis quando comparados com desde que e sejam próximos de zero O resultado que acabamos de ver não é um caso isolado mas vale para a grande maioria das funções isto é a variação sofrida por quando variamos simultaneamente de valores pequenos e é aproximadamente igual a Esse exemplo preliminar nos leva à seguinte definição Seja uma função com duas variáveis e seja um ponto de seu domínio Seja a variação sofrida por ao passarmos do ponto para o ponto Isto é Dizemos que é diferenciável no ponto se puder ser escrita sob a forma Em que as funções e têm limites iguais a zero quando tende a A parcela é diferencial de e é indicada por no caso de ser diferenciável Voltando ao exemplo inicial vimos que Assim como 17 e ambas com limites nulos quando tendem a concluímos que é diferenciável num ponto genérico Seria bastante trabalhoso termos que verificar pela definição se uma função é ou não diferenciável para podermos calcular a diferencial como resultado aproximado de Felizmente existe um teorema que nos fornece condições facilmente verificáveis para vermos se uma função é diferenciável Seu enunciado é o seguinte Teorema Seja uma função com duas variáveis Se as derivadas parciais e são contínuas num conjunto aberto então é diferenciável em todos os pontos de MORETTIN et al 2010 p259 Exemplos a A função é diferenciável em todos os pontos de pois as derivadas e são contínuas em A diferencial de num ponto genérico vale b A função com domínio é diferenciável em pois as derivadas parciais e são contínuas em A diferencial de num ponto genérico vale Exercícios 1 Mostre que a função é diferenciável no ponto e calcule a diferencial da função nesse ponto para 2 Mostre que a função é diferenciável no ponto e calcule a diferencial da função nesse ponto para 3 Calcule a diferencial de num ponto genérico nos seguintes casos a b c d e 2 Função composta 21 Regra da cadeia Nesta seção será utilizado um teorema onde cada uma das fórmulas enunciadas é chamada regra da cadeia Suponhamos os domínios escolhidos de modo que a função composta seja definida em um domínio conveniente Teorema Regra da cadeia Seja uma função de duas variáveis e diferenciável num ponto do domínio e sejam as funções dadas por e y diferenciáveis em de modo que e y Então a função composta de com e é tal que ou abreviadamente Exemplo 1 Sejam e A função composta de com e é dada por Solução Vamos utilizar o teorema da regra da cadeia Exemplo 2 Sejam e A função composta de com e é dada por Solução Pelo teorema da regra da cadeia temos Agora devemos trocar o assim Observação No exemplo 1 não precisou fazer essa substituição Matemática II 18 porque só resultou em constantes Exercícios 1 Obtenha pela regra da cadeia sendo a função composta de com e nos seguintes casos a e b e c e d e 2 Seja uma função de produção em que indica o capital e o trabalho Suponha que o capital cresça com o tempo de acordo com a relação e o trabalho cresça com o tempo de acordo com Obtenha a A produção em função do tempo b A taxa de crescimento da produção em relação ao tempo 22 Funções definidas implicitamente Antes de enunciarmos o teorema da função implícita consideraremos algumas situações A equação Resolvendoa em relação a obtemos está última expressão representa uma função de uma variável derivável para todo real Dizemos então que a equação define implicitamente uma função derivável em relação a Se considerarmos também a equação veremos que ela é satisfeita apenas pelo par e portanto a equação não define implicitamente uma função derivável em relação a representa uma função em que o domínio é e o conjunto imagem é Consideremos agora a equação Não é fácil isolar dessa equação e saber se tal equação define implicitamente uma função De modo geral como saber se determinada equação a duas variáveis e define implicitamente uma função A resposta a essa pergunta comparece ao chamado teorema da função implícita cujo enunciado veremos a seguir Teorema da função implícita Sejam e funções contínuas num domínio e Se e então existe um intervalo com centro em em que a equação define implicitamente uma única função derivável tal que e MORETTIN et al 2010 p264 Exemplo 1 A equação define implicitamente uma função num intervalo centrado em pois a e são contínuas em b c Consideremos a função derivável definida implicitamente pela equação Como seguese pela regra da cadeia que de onde obtemos a seguinte fórmula Derivada da função definida implicitamente Exemplo 2 Consideremos a equação Tal equação define implicitamente a função Calculemos a derivada diretamente e pela fórmula da derivada da função definida implicitamente Temos Solução a Cálculo direto de b Cálculo de pela fórmula da derivada da função definida implicitamente Exemplo 3 Consideremos a equação que representa uma circunferência de centro na origem e raio Tal equação define implicitamente as funções e deriváveis no intervalo 11 conforme a Figura 3 Figura 3 Função definida implicitamente por 19 Fonte MORETTIN et al 2010 p 265 Calculemos de dois modos a derivada da função a Cálculo direto de b Cálculo de pela fórmula da derivada da função definida implicitamente Entretanto como vem Procedendo de modo análogo podese mostrar que a função a derivada é dada por Exercícios Determine a derivada das funções definidas implicitamente pelas equações a num ponto genérico b num ponto genérico c no ponto d no ponto e no ponto 23 Funções homogêneas Teorema de Euler Seja uma função de duas variáveis e Dizemos que é homogênea de grau se para toda constante positiva tivermos Exemplo 1 Verifique se a função é homogênea de grau 2 Solução Dado uma constante positiva e fazendo temos ou seja satisfazendo a definição Exemplo 2 A função Cobb Douglas de produção com é homogênea de grau 1 pois Solução Dado uma constante positiva e fazendo temos ou seja satisfazendo a definição Exemplo 3 A função de demanda de um produto em que é a renda do consumidor e o preço unitário do produto é homogênea de grau zero pois Solução Dado uma constante positiva e fazendo temos Observação recordando que ou seja satisfazendo a definição O conceito de homogeneidade de uma função diz respeito ao que ocorre com quando e passam a valer e respectivamente isto é sofrem uma variação Matemática II 20 porcentual igual a Assim um valor de corresponde a uma variação porcentual de Se for homogênea de grau zero significa que qualquer variação porcentual sofrida por e não altera o valor de é o caso do exemplo 3 Cumpre observar finalmente que nem toda função é homogênea por exemplo a função não é homogênea As funções homogêneas gozam de uma importante propriedade conhecida como teorema de Euler que veremos a seguir Teorema de Euler Seja uma função de duas variáveis e homogêneas de grau Então O teorema de Euler tem um importante papel em Economia no que diz respeito à função de produção e à remuneração dos insumos Com efeito consideremos a função de produção homogênea de grau 1 em que e indicam as quantidades dos insumos trabalho e capital respectivamente Pelo teorema de Eule em que as derivadas parciais e indicam as produtividades marginais do trabalho e do capital respectivamente Assim se cada unidade de insumo for remunerada de acordo com sua produtividade marginal teremos e em que é a remuneração de cada unidade de trabalho é a remuneração de cada unidade de capital é o preço unitário do produto Substituindo esses valores na expressão de resulta e portanto Essa última relação nos mostra que a receita total se decompõe em duas parcelas que é a remuneração total do trabalho que é a remuneração do capital Enfatizamos mais uma vez que tal conclusão só é válida se foram verificadas as condições a função de produção homogênea de grau 1 b remuneração dos insumos de acordo com suas produtividades marginais Assim sendo constitui um problema de Economia a verificação dessas condições Exercícios 1 Nas funções a seguir indique as homogêneas e dê seu grau de homogeneidade a b c d e f 2 Considere a seguinte função de produção em que é a quantidade de trabalho e a de capital a Mostre que a função é homogênea de grau 1 b Calcule a produtividade marginal do trabalho e a do capital c Se o nível de produção é de unidades e o preço por unidade do produto for qual a remuneração do trabalho e do capital se ambas as remunerações por unidade forem iguais às produtividades marginais 24 Derivadas parciais de segunda ordem Seja uma função de duas variáveis e e suas derivadas parciais Se calcularmos as derivadas parciais de e obteremos quatro funções chamadas derivadas parciais de segunda ordem São elas a derivada de em relação a indicada por ou b derivada de em relação a indicada por ou c derivada de em relação a indicada por ou d derivada de em relação a indicada por ou Exercícios 1 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem para as funções a 21 b c d 2 Calcule as derivadas mistas e da função 3 Mostre que a função satisfaz a condição 3 Integrais duplas Uma outra situação que ocorre no cálculo da integral dupla é aquela em que o domínio da função é dado por e conforme a Figura 4 Figura 4 Domínio de uma função definida por duas funções de e duas constantes Fonte MORETTIN et al 2010 p 275 O passo para o cálculo da integral dupla consiste em achar a área de uma seção do gráfico perpendicular ao eixo representado na Figura 5 Figura 5 Integral parcial Fonte MORETTIN et al 2010 p 275 No 2º passo o volume sob o gráfico e acima do domínio é dado por Portanto a integral dupla de em é dada por Exemplo Seja e a região dada pelas inequações e conforme a Figura 6 Calculemos o volume do sólido sob o gráfico da função acima de Solução A região é dada pela Figura 6 Figura 6 Domínio da função Fonte MORETTIN et al 2010 p 276 Uma dica Nesse caso que estamos integrando primeiro em relação a a função que está em cima será o limitante superior e a função que está embaixo será o limitante inferior da integral Temos Matemática II 22 Exercícios 1 Calcule o volume do sólido sob o gráfico da função e acima do domínio dado pelas inequações e 2 Calcule o volume do sólido sob o gráfico da função e acima do domínio dado pelas inequações e Uma segunda situação que ocorre no cálculo da integral dupla é aquela em que o domínio da função de é dado por e representado na Figura 7 Figura 7 Domínio de uma função Fonte MORETTIN et al 2010 p 276 O passo para o cálculo da integral dupla consiste em achar a área de uma secção do gráfico da função perpendicular ao eixo Isto é conforme a Figura 8 Figura 8 Integral parcial Fonte MORETTIN et al 2010 p 277 No 2º passo consiste em calcular o volume sob o gráfico de e acima do domínio por meio da integral Portanto a integral dupla de em é dada por Exemplo Consideremos a função e calculemos a integral dupla em que a região é dada por e A dica para esse caso Como estamos integrando primeiro em relação a a função que está à esquerda será o limitante inferior e a função que está a direita será o limitante superior da integral Solução Portanto a integral dupla procurada vale 14 Exercícios 1 Calcule o volume do sólido sob o gráfico da função e acima do domínio dado pelas inequações e 0 2 Calcule a integral dupla em que dado pelas inequações e Retomando a aula Chegamos assim ao final da segunda aula Esperase que agora tenha ficado mais claro o entendimento de vocês sobre o significado geométrico das derivadas parciais e a aplicação das funções homogêneas nas Ciências Econômicas Vimos também a possibilidade de calcular a integral em regiões não retangulares Vamos então recordar 1 Função Derivada Parcial Iniciamos nossos estudos com as derivadas parciais 23 CHIANG Alpha C WAINWRIGHT Kevin Matemática para economistas 4 ed Rio de Janeiro Editora Elsevier 2006 SIMON Carl P BLUME Lawrence Matemática para economistas Porto Alegre Editora Bookman 2004 LEITHOLD Louis Matemática aplicada à economia e administração São Paulo Editora Harbra 1988 Vale a pena ler Khan Academy Introdução as derivadas parciais Disponível em httpsptkhanacademyorgmath multivariablecalculusmultivariablederivativespartial derivativeandgradientarticlesaintroductiontopartial derivatives Acesso em 30 jan 2020 IMECC Regra da cadeia Prática de conceitos Disponível em httpscursosimeunicampbrdisciplinas ma211calculoiiderivadasparciaisregradacadeiaregra dacadeia Acesso em 30 jan 2020 Vale a pena acessar YouTube Funções homogêneas Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvXchPdoXH3E Acesso em 30 jan 2020 Vale a pena assistir Vale a pena onde é possível determinar as mesmas sem utilizar o limite Se calcularmos e num ponto genérico obteremos duas funções de e a função é chamada função derivada de em relação a ou simplesmente derivada parcial de em relação a A função é chamada função derivada de em relação a ou simplesmente derivada parcial de em relação a As derivadas parciais também podem ser indicadas por ou e ou Para o cálculo de e podemos aplicar as regras de derivação estudadas em função de uma variável visto na disciplina de Matemática I desde que no cálculo de consideremos como constante no cálculo de consideremos como constante 2 Função composta Na seção 2 foi estudado o teorema onde cada uma das fórmulas enunciadas é chamada regra da cadeia Teorema Regra da cadeia Seja uma função de duas variáveis e diferenciável num ponto do domínio e sejam as funções dadas por e y diferenciáveis em de modo que e y Então a função composta de com e é tal que ou abreviadamente 3 Integrais duplas E finalmente na última seção foram abordadas as duas maneiras de trabalharmos com as integrais duplas em regiões não retangulares 1ª maneira quando o domínio da função é dado por e Portanto a integral dupla de em é dada por 2ª maneira quando o domínio da função é dado por e Portanto a integral dupla de em é dada por Minhas anotações