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5º Aula Matrizes e determinantes Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de conhecer vários tipos de matrizes e operálas calcular os determinantes de ordem n 3 através do Teorema de Laplace Prezadosas alunosas Iniciaremos esta aula com uma definição formal de matriz Em seguida estudaremos vários tipos de matrizes por exemplo matriz identidade matriz simétrica e antissimétrica entre outras Abordaremos também as operações com matrizes dando uma atenção especial nas multiplicações das matrizes No item seguinte serão estudados os determinantes com seu método de resolução E finalmente veremos a eficiência do Teorema de Laplace no cálculo dos determinantes Este material terá como referência principal o livro Cálculo Funções de uma e várias variáveis de Pedro A Morettin Samuel Hazzan e Wilton de O BUSSAB 2010 Ao iniciar seus estudos é importante saber que essa aula foi elaborada pensando em você esperamos que ela possa contribuir com sua aprendizagem sobre os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral com duas variáveis Contamos com sua colaboração e participação Bons estudos Matemática II 44 1 Matrizes 2 Determinantes 1 Matrizes Em muitas situações particularmente em Economia as ideias envolvidas costumam ser expressas por uma ou mais equações Quando tais equações são numerosas a representação com matrizes constitui uma forma adequada e simples de representálas e de resolvêlas Definição Chamamos de matriz toda tabela de números dispostos em filas horizontais ou linhas e verticais ou colunas Se a tabela tiver linhas e colunas dizemos que a matriz é retangular do tipo ou de ordem lêse por As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita Os elementos de uma matriz são geralmente representados entre colchetes e a indicação de uma matriz é feita por uma letra maiúscula do alfabeto MORETTIN et al 2010 p325 Exemplo1 é matriz do tipo é matriz do tipo 3 é matriz do tipo Os elementos de uma matriz costumam ser representados por meio de uma letra minúscula do alfabeto afetada de dois índices o primeiro indicando a linha e o segundo a coluna à qual pertence o elemento Assim na matriz temos Observação No lugar dos colchetes para a representação de uma matriz podemos utilizar os parênteses ou duas barras verticais de cada lado da tabela Assim são válidas as representações ou ou Matriz Quadrada Chamamos de matriz quadrada toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas Ao número de linhas ou de colunas damos o nome de ordem da matriz Seções de estudo Por exemplo uma matriz de ordem 3 pode ser indicada por Em uma matriz quadrada os elementos tais que são chamados elementos da diagonal principal No exemplo citado tais elementos são e Os elementos tais que em que é a ordem da matriz são chamados elementos da diagonal secundária No exemplo estudado tais elementos são e conforme a Figura 1 Figura 1 Diagonal principal e secundária de uma matriz Fonte MORETTIN et al 2010 p 326 Matriz Nula É aquela em que os elementos são todos nulos Assim é matriz nula tipo e é matriz nula de ordem Igualdade de Matrizes Duas matrizes e do mesmo tipo são iguais quando seus elementos correspondentes aqueles com o mesmo par ordenado de índices são iguais Isto é se e são do tipo então se e só se Lembrando que o símbolo significa Para todo em que é um elemento genérico de e é um elemento genérico de Exemplo 2 Matriz Simétrica e Antissimétrica Chamamos de matriz simétrica aquela na qual os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais Isto é é uma matriz simétrica se Exemplo 3 A matriz é simétrica Chamamos de matriz antissimétrica aquela na qual são nulos os elementos da diagonal principal e opostos os elementos dispostos simetricamente em relação a ela 45 Exemplo 4 A matriz é antissimétrica Matriz Diagonal Chamamos de matriz diagonal toda matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal valem zero Isto é uma matriz é diagonal se para Exemplo 5 São diagonais as matrizes e Matriz Identidade Chamamos de matriz identidade toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal valem 1 e os elementos restantes valem 0 Uma matriz identidade de ordem é indicada por Exemplo 6 As matrizes identidade de ordem 2 e 3 são dadas por e Transposta de uma Matriz Seja uma matriz do tipo Chamamos de transposta de e indicamos por a matriz cujas colunas são ordenadamente iguais às linhas de isto é se é um elemento genérico de e é um elemento genérico de então Exemplo 7 As matrizes A matriz transposta de é a matriz Observemos que se uma matriz é simétrica então Exercícios 1 Escreva de forma de tabela a matriz do tipo tal que 2 Escreva de forma de tabela a matriz de ordem 4 tal que 3 Escreva de forma de tabela a matriz de ordem 4 tal que 4 Obtenha e de modo que 5 Obtenha os reais e de modo que 6 Qual é a matriz e 7 Obtenha as transpostas das seguintes matrizes a b c d 11 Operações de Matrizes Adição Dadas duas matrizes e de mesmo tipo chamamos de soma de com e indicamos por a matriz do tipo cujos elementos são as somas dos elementos correspondentes de e Isto é se é um elemento genérico de é um elemento genérico de e é um elemento genérico de então Exemplo 8 Matriz Oposta Dada a matriz do tipo e elemento genérico chamamos de matriz oposta de e indicamos por a matriz do tipo e elemento genérico tal que Exemplo 9 Seja a matriz Matemática II 46 A matriz oposta de é Propriedades da Adição de Matrizes Sejam e matrizes quaisquer de mesmo tipo São válidas as seguintes propriedades Comutativa Associativa Existência do elemento neutro é a matriz nula do tipo Existência do elemento oposto é a matriz nula do tipo Subtração de Matrizes Dadas duas matrizes e de mesmo tipo chamamos de diferença entre e e indicamos por a soma da matriz com a oposta de Isto é Exemplo 10 Multiplicação de Número por Matriz Dada a matriz e o número o produto de por é a matriz que se obtém multiplicandose todos os elementos de por Indicamos tal produto por Exemplo 11 Multiplicação de Matrizes Sejam e matrizes do tipo e respectivamente com elementos genéricos e Chama se produto de por e indicase por a matriz do tipo cujo elemento genérico é dado por Isto é o elemento da iésima linha e jésima coluna de é obtido multiplicandose a linha de pela coluna de ordenadamente elemento por elemento somandose os produtos em seguida conforme a Figura 2 Figura 2 Multiplicação da matriz pela matriz Fonte MORETTIN et al 2010 p 330 Exemplo 11 Sejam as matrizes e e calculemos o produto Solução Primeiro usamos a disposição O elemento da matriz é obtido multiplicandose a 1ª linha de pela 1ª coluna de como segue na Figura 3 e somandose os produtos obtidos Figura 3 Multiplicação da matriz pela matriz do exemplo 11 Fonte MORETTIN et al 2010 p 331 Procedendo de forma análoga com os outros elementos obtemos Portanto Observações a Notamos que de acordo com a definição exigiase que fosse do tipo e do tipo ou seja o 47 produto só é definido se o número de colunas de for igual ao número de linhas de Além disso a matriz é do tipo conforme a Figura 4 Figura 4 Relação entre o número de linhas e colunas de e para ser definido Fonte MORETTIN et al 2010 p 332 Exemplo 12 Produto para matrizes e de diversos tipos b A multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa isto é nem sempre Isso pode ser comprovado pelo exemplo abaixo Exemplo 13 Se e teremos portanto Propriedades da Multiplicação de Matrizes Sejam e matrizes de tipos convenientes de modo que existam os produtos e as somas indicados São válidas as seguintes propriedades Associativa Distributiva pela esquerda Distributiva pela direita Se é um número então Se e são do tipo então e em que e são matrizes identidades de ordem e Exercícios Dadas as matrizes e Calcule a d g b e h c f i 2 Dadas as matrizes e a Obtenha b Verifique que 3 Dadas as matrizes e Obtenha a matriz tal que a b c 4 Efetue as multiplicações a b c d 2 Determinantes 21 Casos Particulares Seja uma matriz quadrada de ordem Chamamos de determinante de e indicamos por um número que podemos obter operando com os elementos da matriz Veremos inicialmente como obter tal número em matrizes de ordem 1 2 e 3 e em seguida daremos a definição geral a Determinante de matriz de ordem 1 Matemática II 48 Seja Definimos determinante de como sendo o próprio número isto é b Determinante de matriz de ordem 2 Seja uma matriz de ordem 2 Definimos o determinante de da seguinte forma Isto é o determinante de uma matriz de ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária Exemplo 1 a b c Determinante de matriz de ordem 3 Nesse caso utilizaremos a Regra de Sarrus MORETTIN et al 2010 p337 i Escrevemos a matriz e repetimos à direita as duas primeiras colunas conforme a Figura 5 Figura 5 A Regra de Sarrus Fonte MORETTIN et al 2010 p 336 Seguindo as setas da Figura 5 obtemos os termos precedidos do sinal ii Seguindo as setas da Figura 6 obtemos os termos precedidos do sinal negativo Figura 6 A Regra de Sarrus Fonte MORETTIN et al 2010 p 337 Somando os termos precedidos do sinal com os precedidos do sinal negativo obtemos o determinante de ordem 3 Exemplo 2 Calculemos o determinante Temos Logo Exercícios Calcule os determinantes a b c d e 22 Cofator ou complemento algébrico Até agora vimos qual a definição de determinantes para matrizes de ordem 1 2 e 3 Para podermos dar uma definição geral válida para matrizes de ordem vamos introduzir o conceito de cofator ou complemento algébrico Seja uma matriz quadrada de ordem e um elemento dela Chamamos de cofator de e indicamos por o produto de pelo determinante da matriz que se obtém suprimindose a linha e a coluna de Exemplo 3 Seja a matriz O cofator de é igual a vezes o determinante da matriz isto é 49 Exemplo 4 Seja a matriz O cofator de é igual a vezes o determinante da matriz Isto é Observemos que o cofator de um elemento de uma matriz de ordem é um determinante de ordem multiplicado por 1 ou 1 dependendo da soma dos índices do elemento ser par ou ímpar Definição de Determinante por Recorrência Seja uma matriz quadrada de ordem Definimos determinantes de da seguinte forma a Se for de ordem 1 ou seja então b Se for de ordem o determinante de é a soma dos produtos dos elementos da coluna pelos respectivos cofatores Exemplo 5 Tal resultado coincide com a definição particular dada anteriormente Exemplo 6 Tal resultado coincide com o obtido pela Regra de Sarrus Exemplo 7 Como seguese que Exemplo 8 Observações a A definição dada chamase por recorrência pois ela define precisamente o que é determinante de uma matriz de ordem 1e em seguida por meio de cofatores define determinante de matriz de ordem em função de determinantes de matrizes de ordem Assim sabendose calcular determinante de matrizes de ordem 1 podemse calcular determinantes de matrizes de ordem 2 sabendose calcular determinante de matrizes de ordem 2 podemse calcular determinante de matrizes de ordem 3 e assim por diante b Notemos que no determinante do exemplo 8 o cálculo foi trabalhoso em virtude de não existirem zeros na 1ª coluna da matriz Tal trabalho pode ser atenuado com o importante teorema que veremos a seguir 23 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz de ordem n n 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer linha ou coluna pelos respectivos cofatores MORETTIN et al 2010 p340 Exemplo 9 Para calcularmos o determinante Matemática II 50 Podemos escolher a 3ª linha para o desenvolvimento é a que tem mais zeros De acordo com o Teorema de Laplace o valor do determinante é Portanto só tivemos de calcular um cofator em vez de quatro se usássemos a definição Exercícios 1 Calcule os cofatores e da matriz 2 Calcule os cofatores de todos os elementos da matriz 3 Calcule os determinantes a b Retomando a aula Chegamos assim ao final da quinta aula Espera se que agora tenha ficado mais claro os conceitos e propriedades sobre matrizes e determinantes Vamos então recordar 1 Matrizes Iniciamos nossos estudos com a definição de Matriz Chamamos de matriz toda tabela de números dispostos em filas horizontais ou linhas e verticais ou colunas Se a tabela tiver linhas e colunas dizemos que a matriz é retangular do tipo ou de ordem lêse por Por exemplo uma matriz de ordem 3 pode ser indicada por De todas as operações que envolvem as matrizes veremos a multiplicação de matrizes pois é a mais complexa Multiplicação de Matrizes Sejam e matrizes do tipo e respectivamente com elementos genéricos e Chama se produto de por e indicase por a matriz do tipo cujo elemento genérico é dado por Isto é o elemento da iésima linha e jésima coluna de é obtido multiplicandose a linha de pela coluna de ordenadamente elemento por elemento somandose os produtos em seguida conforme a Figura 2 Figura 2 Multiplicação da matriz pela matriz 2 Determinantes Regra de Sarrus Escrevemos a matriz e repetimos à direita as duas primeiras colunas conforme a Figura 5 Figura 5 A Regra de Sarrus Fonte MORETTIN et al 2010 p 336 Seguindo as setas da Figura 5 obtemos os termos precedidos do sinal Seguindo as setas da Figura 6 obtemos os termos precedidos do sinal negativo Figura 6 A Regra de Sarrus Vamos utilizar o cofator para darmos uma definição geral de matriz quadrada de ordem Seja uma matriz quadrada de ordem e 51 um elemento dela Chamamos de cofator de e indicamos por o produto de pelo determinante da matriz que se obtém suprimindose a linha e a coluna de Como foi visto no exemplo 4 Exemplo 4 Seja a matriz O cofator de é igual a vezes o determinante da matriz Isto é Utilizando o cofator podemos calcular o Determinante por Recorrência e depois utilizar o Teorema de Laplace para reduzir os cálculos Esperamos que todos tenham aproveitado o conteúdo da aula 5 Porém se ainda ficaram dúvidas não se esqueçam de acessar o ambiente virtual e utilizar as ferramentas apropriadas para sanálas presentes na sua área de aluno Além disso recomendamos uma boa pesquisa em outras fontes de estudo A seguir daremos sugestões de leituras sites filmes e vídeos que vocês podem acessar para contemplar seus estudos CHIANG Alpha C WAINWRIGHT Kevin Matemática para economistas 4 ed Rio de Janeiro Editora Elsevier 2006 SIMON Carl P BLUME Lawrence Matemática para economistas Porto Alegre Editora Bookman 2004 LEITHOLD Louis Matemática aplicada à economia e administração São Paulo Editora Harbra 1988 SWOKOWSKI Earl William Cálculo com Geometria Analítica Vol I 2 ed São Paulo Editora Edakron Books 1994 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de Cálculo V 1 5ª ed Rio de Janeiro Editora LTC 2001 Vale a pena ler Matemática básica Matrizes e determinantes Regra de Sarrus e Laplace Disponível em httpsmatematicabasica netmatrizesedeterminantes Acesso em 07 mar 2020 Vale a pena acessar PORTAL DO SABER OBEMEP Matrizes e sistemas lineares Disponível em httpsportaldosaberobmeporg brindexphpmodulovermodulo75 Acesso em 07 mar 2020 Vale a pena assistir Vale a pena Minhas anotações
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5º Aula Matrizes e determinantes Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de conhecer vários tipos de matrizes e operálas calcular os determinantes de ordem n 3 através do Teorema de Laplace Prezadosas alunosas Iniciaremos esta aula com uma definição formal de matriz Em seguida estudaremos vários tipos de matrizes por exemplo matriz identidade matriz simétrica e antissimétrica entre outras Abordaremos também as operações com matrizes dando uma atenção especial nas multiplicações das matrizes No item seguinte serão estudados os determinantes com seu método de resolução E finalmente veremos a eficiência do Teorema de Laplace no cálculo dos determinantes Este material terá como referência principal o livro Cálculo Funções de uma e várias variáveis de Pedro A Morettin Samuel Hazzan e Wilton de O BUSSAB 2010 Ao iniciar seus estudos é importante saber que essa aula foi elaborada pensando em você esperamos que ela possa contribuir com sua aprendizagem sobre os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral com duas variáveis Contamos com sua colaboração e participação Bons estudos Matemática II 44 1 Matrizes 2 Determinantes 1 Matrizes Em muitas situações particularmente em Economia as ideias envolvidas costumam ser expressas por uma ou mais equações Quando tais equações são numerosas a representação com matrizes constitui uma forma adequada e simples de representálas e de resolvêlas Definição Chamamos de matriz toda tabela de números dispostos em filas horizontais ou linhas e verticais ou colunas Se a tabela tiver linhas e colunas dizemos que a matriz é retangular do tipo ou de ordem lêse por As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita Os elementos de uma matriz são geralmente representados entre colchetes e a indicação de uma matriz é feita por uma letra maiúscula do alfabeto MORETTIN et al 2010 p325 Exemplo1 é matriz do tipo é matriz do tipo 3 é matriz do tipo Os elementos de uma matriz costumam ser representados por meio de uma letra minúscula do alfabeto afetada de dois índices o primeiro indicando a linha e o segundo a coluna à qual pertence o elemento Assim na matriz temos Observação No lugar dos colchetes para a representação de uma matriz podemos utilizar os parênteses ou duas barras verticais de cada lado da tabela Assim são válidas as representações ou ou Matriz Quadrada Chamamos de matriz quadrada toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas Ao número de linhas ou de colunas damos o nome de ordem da matriz Seções de estudo Por exemplo uma matriz de ordem 3 pode ser indicada por Em uma matriz quadrada os elementos tais que são chamados elementos da diagonal principal No exemplo citado tais elementos são e Os elementos tais que em que é a ordem da matriz são chamados elementos da diagonal secundária No exemplo estudado tais elementos são e conforme a Figura 1 Figura 1 Diagonal principal e secundária de uma matriz Fonte MORETTIN et al 2010 p 326 Matriz Nula É aquela em que os elementos são todos nulos Assim é matriz nula tipo e é matriz nula de ordem Igualdade de Matrizes Duas matrizes e do mesmo tipo são iguais quando seus elementos correspondentes aqueles com o mesmo par ordenado de índices são iguais Isto é se e são do tipo então se e só se Lembrando que o símbolo significa Para todo em que é um elemento genérico de e é um elemento genérico de Exemplo 2 Matriz Simétrica e Antissimétrica Chamamos de matriz simétrica aquela na qual os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais Isto é é uma matriz simétrica se Exemplo 3 A matriz é simétrica Chamamos de matriz antissimétrica aquela na qual são nulos os elementos da diagonal principal e opostos os elementos dispostos simetricamente em relação a ela 45 Exemplo 4 A matriz é antissimétrica Matriz Diagonal Chamamos de matriz diagonal toda matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal valem zero Isto é uma matriz é diagonal se para Exemplo 5 São diagonais as matrizes e Matriz Identidade Chamamos de matriz identidade toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal valem 1 e os elementos restantes valem 0 Uma matriz identidade de ordem é indicada por Exemplo 6 As matrizes identidade de ordem 2 e 3 são dadas por e Transposta de uma Matriz Seja uma matriz do tipo Chamamos de transposta de e indicamos por a matriz cujas colunas são ordenadamente iguais às linhas de isto é se é um elemento genérico de e é um elemento genérico de então Exemplo 7 As matrizes A matriz transposta de é a matriz Observemos que se uma matriz é simétrica então Exercícios 1 Escreva de forma de tabela a matriz do tipo tal que 2 Escreva de forma de tabela a matriz de ordem 4 tal que 3 Escreva de forma de tabela a matriz de ordem 4 tal que 4 Obtenha e de modo que 5 Obtenha os reais e de modo que 6 Qual é a matriz e 7 Obtenha as transpostas das seguintes matrizes a b c d 11 Operações de Matrizes Adição Dadas duas matrizes e de mesmo tipo chamamos de soma de com e indicamos por a matriz do tipo cujos elementos são as somas dos elementos correspondentes de e Isto é se é um elemento genérico de é um elemento genérico de e é um elemento genérico de então Exemplo 8 Matriz Oposta Dada a matriz do tipo e elemento genérico chamamos de matriz oposta de e indicamos por a matriz do tipo e elemento genérico tal que Exemplo 9 Seja a matriz Matemática II 46 A matriz oposta de é Propriedades da Adição de Matrizes Sejam e matrizes quaisquer de mesmo tipo São válidas as seguintes propriedades Comutativa Associativa Existência do elemento neutro é a matriz nula do tipo Existência do elemento oposto é a matriz nula do tipo Subtração de Matrizes Dadas duas matrizes e de mesmo tipo chamamos de diferença entre e e indicamos por a soma da matriz com a oposta de Isto é Exemplo 10 Multiplicação de Número por Matriz Dada a matriz e o número o produto de por é a matriz que se obtém multiplicandose todos os elementos de por Indicamos tal produto por Exemplo 11 Multiplicação de Matrizes Sejam e matrizes do tipo e respectivamente com elementos genéricos e Chama se produto de por e indicase por a matriz do tipo cujo elemento genérico é dado por Isto é o elemento da iésima linha e jésima coluna de é obtido multiplicandose a linha de pela coluna de ordenadamente elemento por elemento somandose os produtos em seguida conforme a Figura 2 Figura 2 Multiplicação da matriz pela matriz Fonte MORETTIN et al 2010 p 330 Exemplo 11 Sejam as matrizes e e calculemos o produto Solução Primeiro usamos a disposição O elemento da matriz é obtido multiplicandose a 1ª linha de pela 1ª coluna de como segue na Figura 3 e somandose os produtos obtidos Figura 3 Multiplicação da matriz pela matriz do exemplo 11 Fonte MORETTIN et al 2010 p 331 Procedendo de forma análoga com os outros elementos obtemos Portanto Observações a Notamos que de acordo com a definição exigiase que fosse do tipo e do tipo ou seja o 47 produto só é definido se o número de colunas de for igual ao número de linhas de Além disso a matriz é do tipo conforme a Figura 4 Figura 4 Relação entre o número de linhas e colunas de e para ser definido Fonte MORETTIN et al 2010 p 332 Exemplo 12 Produto para matrizes e de diversos tipos b A multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa isto é nem sempre Isso pode ser comprovado pelo exemplo abaixo Exemplo 13 Se e teremos portanto Propriedades da Multiplicação de Matrizes Sejam e matrizes de tipos convenientes de modo que existam os produtos e as somas indicados São válidas as seguintes propriedades Associativa Distributiva pela esquerda Distributiva pela direita Se é um número então Se e são do tipo então e em que e são matrizes identidades de ordem e Exercícios Dadas as matrizes e Calcule a d g b e h c f i 2 Dadas as matrizes e a Obtenha b Verifique que 3 Dadas as matrizes e Obtenha a matriz tal que a b c 4 Efetue as multiplicações a b c d 2 Determinantes 21 Casos Particulares Seja uma matriz quadrada de ordem Chamamos de determinante de e indicamos por um número que podemos obter operando com os elementos da matriz Veremos inicialmente como obter tal número em matrizes de ordem 1 2 e 3 e em seguida daremos a definição geral a Determinante de matriz de ordem 1 Matemática II 48 Seja Definimos determinante de como sendo o próprio número isto é b Determinante de matriz de ordem 2 Seja uma matriz de ordem 2 Definimos o determinante de da seguinte forma Isto é o determinante de uma matriz de ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária Exemplo 1 a b c Determinante de matriz de ordem 3 Nesse caso utilizaremos a Regra de Sarrus MORETTIN et al 2010 p337 i Escrevemos a matriz e repetimos à direita as duas primeiras colunas conforme a Figura 5 Figura 5 A Regra de Sarrus Fonte MORETTIN et al 2010 p 336 Seguindo as setas da Figura 5 obtemos os termos precedidos do sinal ii Seguindo as setas da Figura 6 obtemos os termos precedidos do sinal negativo Figura 6 A Regra de Sarrus Fonte MORETTIN et al 2010 p 337 Somando os termos precedidos do sinal com os precedidos do sinal negativo obtemos o determinante de ordem 3 Exemplo 2 Calculemos o determinante Temos Logo Exercícios Calcule os determinantes a b c d e 22 Cofator ou complemento algébrico Até agora vimos qual a definição de determinantes para matrizes de ordem 1 2 e 3 Para podermos dar uma definição geral válida para matrizes de ordem vamos introduzir o conceito de cofator ou complemento algébrico Seja uma matriz quadrada de ordem e um elemento dela Chamamos de cofator de e indicamos por o produto de pelo determinante da matriz que se obtém suprimindose a linha e a coluna de Exemplo 3 Seja a matriz O cofator de é igual a vezes o determinante da matriz isto é 49 Exemplo 4 Seja a matriz O cofator de é igual a vezes o determinante da matriz Isto é Observemos que o cofator de um elemento de uma matriz de ordem é um determinante de ordem multiplicado por 1 ou 1 dependendo da soma dos índices do elemento ser par ou ímpar Definição de Determinante por Recorrência Seja uma matriz quadrada de ordem Definimos determinantes de da seguinte forma a Se for de ordem 1 ou seja então b Se for de ordem o determinante de é a soma dos produtos dos elementos da coluna pelos respectivos cofatores Exemplo 5 Tal resultado coincide com a definição particular dada anteriormente Exemplo 6 Tal resultado coincide com o obtido pela Regra de Sarrus Exemplo 7 Como seguese que Exemplo 8 Observações a A definição dada chamase por recorrência pois ela define precisamente o que é determinante de uma matriz de ordem 1e em seguida por meio de cofatores define determinante de matriz de ordem em função de determinantes de matrizes de ordem Assim sabendose calcular determinante de matrizes de ordem 1 podemse calcular determinantes de matrizes de ordem 2 sabendose calcular determinante de matrizes de ordem 2 podemse calcular determinante de matrizes de ordem 3 e assim por diante b Notemos que no determinante do exemplo 8 o cálculo foi trabalhoso em virtude de não existirem zeros na 1ª coluna da matriz Tal trabalho pode ser atenuado com o importante teorema que veremos a seguir 23 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz de ordem n n 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer linha ou coluna pelos respectivos cofatores MORETTIN et al 2010 p340 Exemplo 9 Para calcularmos o determinante Matemática II 50 Podemos escolher a 3ª linha para o desenvolvimento é a que tem mais zeros De acordo com o Teorema de Laplace o valor do determinante é Portanto só tivemos de calcular um cofator em vez de quatro se usássemos a definição Exercícios 1 Calcule os cofatores e da matriz 2 Calcule os cofatores de todos os elementos da matriz 3 Calcule os determinantes a b Retomando a aula Chegamos assim ao final da quinta aula Espera se que agora tenha ficado mais claro os conceitos e propriedades sobre matrizes e determinantes Vamos então recordar 1 Matrizes Iniciamos nossos estudos com a definição de Matriz Chamamos de matriz toda tabela de números dispostos em filas horizontais ou linhas e verticais ou colunas Se a tabela tiver linhas e colunas dizemos que a matriz é retangular do tipo ou de ordem lêse por Por exemplo uma matriz de ordem 3 pode ser indicada por De todas as operações que envolvem as matrizes veremos a multiplicação de matrizes pois é a mais complexa Multiplicação de Matrizes Sejam e matrizes do tipo e respectivamente com elementos genéricos e Chama se produto de por e indicase por a matriz do tipo cujo elemento genérico é dado por Isto é o elemento da iésima linha e jésima coluna de é obtido multiplicandose a linha de pela coluna de ordenadamente elemento por elemento somandose os produtos em seguida conforme a Figura 2 Figura 2 Multiplicação da matriz pela matriz 2 Determinantes Regra de Sarrus Escrevemos a matriz e repetimos à direita as duas primeiras colunas conforme a Figura 5 Figura 5 A Regra de Sarrus Fonte MORETTIN et al 2010 p 336 Seguindo as setas da Figura 5 obtemos os termos precedidos do sinal Seguindo as setas da Figura 6 obtemos os termos precedidos do sinal negativo Figura 6 A Regra de Sarrus Vamos utilizar o cofator para darmos uma definição geral de matriz quadrada de ordem Seja uma matriz quadrada de ordem e 51 um elemento dela Chamamos de cofator de e indicamos por o produto de pelo determinante da matriz que se obtém suprimindose a linha e a coluna de Como foi visto no exemplo 4 Exemplo 4 Seja a matriz O cofator de é igual a vezes o determinante da matriz Isto é Utilizando o cofator podemos calcular o Determinante por Recorrência e depois utilizar o Teorema de Laplace para reduzir os cálculos Esperamos que todos tenham aproveitado o conteúdo da aula 5 Porém se ainda ficaram dúvidas não se esqueçam de acessar o ambiente virtual e utilizar as ferramentas apropriadas para sanálas presentes na sua área de aluno Além disso recomendamos uma boa pesquisa em outras fontes de estudo A seguir daremos sugestões de leituras sites filmes e vídeos que vocês podem acessar para contemplar seus estudos CHIANG Alpha C WAINWRIGHT Kevin Matemática para economistas 4 ed Rio de Janeiro Editora Elsevier 2006 SIMON Carl P BLUME Lawrence Matemática para economistas Porto Alegre Editora Bookman 2004 LEITHOLD Louis Matemática aplicada à economia e administração São Paulo Editora Harbra 1988 SWOKOWSKI Earl William Cálculo com Geometria Analítica Vol I 2 ed São Paulo Editora Edakron Books 1994 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de Cálculo V 1 5ª ed Rio de Janeiro Editora LTC 2001 Vale a pena ler Matemática básica Matrizes e determinantes Regra de Sarrus e Laplace Disponível em httpsmatematicabasica netmatrizesedeterminantes Acesso em 07 mar 2020 Vale a pena acessar PORTAL DO SABER OBEMEP Matrizes e sistemas lineares Disponível em httpsportaldosaberobmeporg brindexphpmodulovermodulo75 Acesso em 07 mar 2020 Vale a pena assistir Vale a pena Minhas anotações