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2º Aula Vetores Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de identificar as grandezas vetoriais e suas aplicações na engenharia fazer as operações básicas com vetores encontrar as componentes vetoriais Carosas alunosas Nesta segunda aula iremos aprender uma ferramenta presente no nosso dia a dia principalmente nas áreas das engenharias os vetores Aprender o que são os vetores as operações básicas como adição subtração e multiplicação com vetores e também a decomposição vetorial Bons estudos Física Teórica e Experimental I 12 1 Grandezas físicas vetoriais 2 Tipos de vetores 3 Operações básicas com vetores 4 Decomposição de vetores 1 Grandezas físicas vetoriais Na Aula 1 vimos o que são grandezas físicas exemplos de grandezas escalares e vetoriais Agora nesta aula vamos nos aprofundar nas grandezas vetoriais Se você já explicou a alguém como chegar a um endereço usando expressões como siga por esta rua por dois quarteirões e depois dobre à direita então você usou a linguagem dos vetores Em nosso dia a dia e em muitas áreas do conhecimento como a física e as engenharias usam vetores para descrever fenômenos como deslocamento forças rotações etc HALLIDAY 2009 Mas afi nal o que é um vetor Como podemos identifi car uma grandeza vetorial Um vetor é uma representação matemática que compreende uma determinada direção um sentido e um valor módulo Já uma grandeza vetorial é uma grandeza que possui um módulo e necessita de uma orientação portanto pode ser representada por um vetor O vetor é representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho módulo é proporcional à intensidade da grandeza que representa GASPAR 2003 Figura 1 Representação de vetor Fonte httpsbrasilescolauolcombroquee fi sicaoquesaovetoreshtm Acesso em 24072019 As fi guras 2 e 3 mostram a direção e o sentido de uma grandeza vetorial Veja a fi gura 2 Ela representa vetores de mesma direção e mesmo sentido enquanto a fi gura 3 mostra vetores com mesma direção e com sentidos opostos Portanto vetores de mesma direção são paralelos entre si mas isso não garante que tenham o mesmo sentido GASPAR 2003 Figura 2 Vetores com mesma direção Fonte httpsbrasilescolauolcombroqueefi sicaoquesaovetoreshtm Acesso em 24072019 Figura 3 Vetores com sentidos opostos Fonte httpwwwtutorzonecombroqueevetor Acesso em 24072019 Seções de estudo Para apresentar as grandezas vetoriais usamse setas sobre as letras que as representam Por exemplo a grandeza velocidade será Figura 4 Representação vetorial Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombr fi sicaconceitovetorhtm Acesso em 24072019 2 Tipos de vetores Vetores iguais possuem a mesma direção o mesmo sentido e mesma intensidade Figura 5 Vetores iguais Fonte httpwwwtutorzonecombroqueevetor Acesso em 24072019 Vetores paralelos possuem a mesma direção mas não necessariamente a mesma direção Figura 6 Vetores paralelos Fonte httpwwwtutorzonecombroqueevetor Acesso em 24072019 Vetores opostos possuem a mesma direção a mesma intensidade ou módulo Porém sentido oposto de um vetor dado Figura 7 Vetores opostos Fonte httpwwwtutorzonecombroqueevetor Acesso em 24072019 Vetor nulo os segmentos nulos extremidade coincide 13 com a origem por serem iguais determinam um único vetor de módulo igual a zero chamado vetor nulo ou vetor zero Vetor unitário versor é um vetor cujo módulo ou comprimento é igual a 1 O versor de um vetor é indicado por e apresenta mesma direção e sentido de Figura 8 Vetor unitário Fonte Elaborado pela autora 3 Operações básicas com vetores Adição de vetores vamos imaginar um engenheiro ambiental partindo de um ponto A e caminhando por 15 m na direção nortesul chegando ao ponto B Em seguida esse engenheiro se desloca mais 8 m na direção lesteoeste atingindo o ponto C Qual seria o deslocamento retilíneo do ponto A para o ponto C que ele produziria o mesmo resultado fi nal Inicialmente para responder a essa pergunta iremos usar o método gráfi co fi gura 9 em que é o vetor que representa o primeiro deslocamento representa o segundo deslocamento e é chamado de vetor soma ou vetor resultante ou seja aquela que sozinho produz o mesmo resultado fi nal Figura 9 Método gráfi co Fonte Elaborado pela autora Veja que na fi gura 9 devemos calcular o valor módulo do vetor vetor soma ou resultante Para isso aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC Então teremos No exemplo podemos ver a diferença entre a soma de grandezas escalares e de grandezas vetoriais No caso de somarmos grandezas escalares somaríamos diretamente seus valores e o resultado seria 23 m Mas como estamos trabalhando com grandezas vetoriais a operação depende da direção e do sentido dos vetores por isso o uso do Teorema de Pitágoras O método gráfi co pode ser usado para a adição de qualquer número de vetores A partir de uma origem arbitrária escolhida traçamos o primeiro vetor então os vetores seguintes são colocados de tal forma que a origem do segundo coincide com a extremidade do primeiro e a origem do terceiro coincide com a extremidade do segundo e assim por diante O vetor soma ou vetor resultante é representado pela reta que se inicia na origem do primeiro a termina na extremidade do último vetor veja o exemplo que seguem Figura 10 Vetores com direção e sentidos diferentes Fonte Elaborado pela autora Fazendo a soma pelo método gráfi co teremos Figura 11 Soma vetorial Fonte Elaborado pela autora A soma de vetores pelo método gráfi co apresenta algumas propriedades Propriedade comutativa a ordem em que os vetores são somados é irrelevante Veja o exemplo Física Teórica e Experimental I 14 Figura 12 Propriedade comutativa a b c Fonte Elaborado pela autora Propriedade associativa quando existem mais de dois vetores podemos agrupálos em qualquer ordem para somá los Veja Figura 13 Propriedade associativa Fonte Elaborado pela autora Subtração de vetores Não se defi ne a subtração para vetores Ao invés disso realizase a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo Figura 14 Soma com vetor oposto subtração de vetores a b Fonte Elaborado pela autora Multiplicação de um vetor por um escalar dado um vetor e um número a qualquer o produto a resulta em outro vetor com as seguintes características a direção do vetor é a mesma do vetor o módulo valor do vetor é o módulo do vetor vezes o módulo do número real a o sentido do vetor depende do sinal do número real a Se a 0 e tem mesmo sentido Se a 0 e tem sentidos contrários Veja os exemplos 1 2 15 3 Fonte Elaborado pela autora 4 Decomposição de vetores Assim como qualquer número real pode ser obtido com assoma de dois ou mais números qualquer vetor pode ser obtido a partir da soma de dois vetores ortogonais os quais denominamos componentes do vetor Veja o exemplo do vetor velocidade na fi gura 15 Figura 15 Componentes vetoriais Fonte httpsptkhanacademyorgsciencephysicstwo dimensionalmotiontwodimensionalprojectilemotawhatare velocitycomponents Acesso em 26072019 Onde V vetor velocidade Vx componente no eixo x Vy componente no eixo y Para entender melhor como calcular as componentes vetoriais devemos relembrar a trigonometria Revisando Vamos considerar um triângulo retângulo conforme mostrado na fi gura 16 com hipotenusa cateto adjacente e cateto oposto Veja Figura 16 Componentes do triângulo retângulo Fonte httpsptkhanacademyorgsciencephysicstwodimensionalmotion twodimensionalprojectilemotawhatarevelocitycomponents Acesso em 26072019 A partir do triângulo retângulo da fi gura 16 podemos escrever as relações trigonométricas Em que sen θ seno de tetaângulo cos θ cosseno de tetaângulo tg θ tangente de tetaângulo Aplicando essas relações trigonométricas no triângulo retângulo conforme fi gura 15 teremos o valor das componentes vetoriais E obter também a direção através do valor do teta θ usando a seguinte relação Podemos escrever cada componente do vetor velocidade V em termos de vetores unitários um na direção x que é representado por e um na direção y representado por Exemplos 1 Um avião percorre 209 km em linha reta fazendo um ângulo de 225 a nordeste A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida Resolução Primeiro passo método gráfi co desenhar Física Teórica e Experimental I 16 Fonte Elaborado pela autora O avião viajou 19309 km ao norte e 7998 km ao leste desde seu ponto de partida 2 Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 km A partir de então ele passa a viajar para o norte andando 47 km até parar Encontre o vetor que indica a localização do carro Resolução Fonte Elaborado pela autora Calculamos o vetor através do teorema de Pitágoras teremos E a direção Retomando a aula Para fi nalizar a aula vamos relembrar os principais aspectos estudados nas seções 1 Grandezas físicas vetoriais A Física trabalha com um grande número de grandezas Essas grandezas podem ser escalares como a temperatura possuem apenas um valor são especifi cadas por um número com uma unidade exemplo 23C e obedecem às regras da aritmética e da álgebra comum Já as grandezas vetoriais como o deslocamento possuem um módulo valor uma direção e um sentido 5 m vertical para cima essas grandezas obedecem às regras da álgebra vetorial 2 Tipos de vetores Identifi car os tipos de vetores é importante para que possamos fazer as operações básicas corretamente Os vetores podem ser iguais paralelos opostos nulos e também unitários 3 Operações básicas com vetores Com os vetores podemos realizar as operações básicas como soma subtração e multiplicação Para a soma seguimos duas propriedades importantes comutação e associação de vetores Já a subtração fazse com a soma de um vetor oposto Quando fi zermos a multiplicação de um vetor por um escalar teremos como resultado um vetor 4 Decomposição de vetores É importante conhecer as componentes de um determinado vetor pois através desta conhecemos partes do vetor Para isso aplicamos as relações trigonométricas de um triângulo retângulo em um eixo de coordenadas x y HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de física mecânica 8ª ed Rio de Janeiro LTC 2008 TIPLER Paul A MOSCA Gene MORS Paulo Machado Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2014 GASPAR Alberti Física Mecânica 1ª ed São Paulo Ática 2003 Vale a pena ler Vale a pena 17 Vetores noção de cálculo vetorial Disponível em httpswwwfisicanetmecanicaclassicacalculovetorial pdf Acesso em 26072019 Operações com Vetores Aula 4 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvI9k0ZWbRqo8 Acesso em 26072019 Vetores Disponível em httpswwwyoutubecom watchvzAbqwYmA6o Acesso em 26072019 Vale a pena acessar Minhas anotações
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2º Aula Vetores Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de identificar as grandezas vetoriais e suas aplicações na engenharia fazer as operações básicas com vetores encontrar as componentes vetoriais Carosas alunosas Nesta segunda aula iremos aprender uma ferramenta presente no nosso dia a dia principalmente nas áreas das engenharias os vetores Aprender o que são os vetores as operações básicas como adição subtração e multiplicação com vetores e também a decomposição vetorial Bons estudos Física Teórica e Experimental I 12 1 Grandezas físicas vetoriais 2 Tipos de vetores 3 Operações básicas com vetores 4 Decomposição de vetores 1 Grandezas físicas vetoriais Na Aula 1 vimos o que são grandezas físicas exemplos de grandezas escalares e vetoriais Agora nesta aula vamos nos aprofundar nas grandezas vetoriais Se você já explicou a alguém como chegar a um endereço usando expressões como siga por esta rua por dois quarteirões e depois dobre à direita então você usou a linguagem dos vetores Em nosso dia a dia e em muitas áreas do conhecimento como a física e as engenharias usam vetores para descrever fenômenos como deslocamento forças rotações etc HALLIDAY 2009 Mas afi nal o que é um vetor Como podemos identifi car uma grandeza vetorial Um vetor é uma representação matemática que compreende uma determinada direção um sentido e um valor módulo Já uma grandeza vetorial é uma grandeza que possui um módulo e necessita de uma orientação portanto pode ser representada por um vetor O vetor é representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho módulo é proporcional à intensidade da grandeza que representa GASPAR 2003 Figura 1 Representação de vetor Fonte httpsbrasilescolauolcombroquee fi sicaoquesaovetoreshtm Acesso em 24072019 As fi guras 2 e 3 mostram a direção e o sentido de uma grandeza vetorial Veja a fi gura 2 Ela representa vetores de mesma direção e mesmo sentido enquanto a fi gura 3 mostra vetores com mesma direção e com sentidos opostos Portanto vetores de mesma direção são paralelos entre si mas isso não garante que tenham o mesmo sentido GASPAR 2003 Figura 2 Vetores com mesma direção Fonte httpsbrasilescolauolcombroqueefi sicaoquesaovetoreshtm Acesso em 24072019 Figura 3 Vetores com sentidos opostos Fonte httpwwwtutorzonecombroqueevetor Acesso em 24072019 Seções de estudo Para apresentar as grandezas vetoriais usamse setas sobre as letras que as representam Por exemplo a grandeza velocidade será Figura 4 Representação vetorial Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombr fi sicaconceitovetorhtm Acesso em 24072019 2 Tipos de vetores Vetores iguais possuem a mesma direção o mesmo sentido e mesma intensidade Figura 5 Vetores iguais Fonte httpwwwtutorzonecombroqueevetor Acesso em 24072019 Vetores paralelos possuem a mesma direção mas não necessariamente a mesma direção Figura 6 Vetores paralelos Fonte httpwwwtutorzonecombroqueevetor Acesso em 24072019 Vetores opostos possuem a mesma direção a mesma intensidade ou módulo Porém sentido oposto de um vetor dado Figura 7 Vetores opostos Fonte httpwwwtutorzonecombroqueevetor Acesso em 24072019 Vetor nulo os segmentos nulos extremidade coincide 13 com a origem por serem iguais determinam um único vetor de módulo igual a zero chamado vetor nulo ou vetor zero Vetor unitário versor é um vetor cujo módulo ou comprimento é igual a 1 O versor de um vetor é indicado por e apresenta mesma direção e sentido de Figura 8 Vetor unitário Fonte Elaborado pela autora 3 Operações básicas com vetores Adição de vetores vamos imaginar um engenheiro ambiental partindo de um ponto A e caminhando por 15 m na direção nortesul chegando ao ponto B Em seguida esse engenheiro se desloca mais 8 m na direção lesteoeste atingindo o ponto C Qual seria o deslocamento retilíneo do ponto A para o ponto C que ele produziria o mesmo resultado fi nal Inicialmente para responder a essa pergunta iremos usar o método gráfi co fi gura 9 em que é o vetor que representa o primeiro deslocamento representa o segundo deslocamento e é chamado de vetor soma ou vetor resultante ou seja aquela que sozinho produz o mesmo resultado fi nal Figura 9 Método gráfi co Fonte Elaborado pela autora Veja que na fi gura 9 devemos calcular o valor módulo do vetor vetor soma ou resultante Para isso aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC Então teremos No exemplo podemos ver a diferença entre a soma de grandezas escalares e de grandezas vetoriais No caso de somarmos grandezas escalares somaríamos diretamente seus valores e o resultado seria 23 m Mas como estamos trabalhando com grandezas vetoriais a operação depende da direção e do sentido dos vetores por isso o uso do Teorema de Pitágoras O método gráfi co pode ser usado para a adição de qualquer número de vetores A partir de uma origem arbitrária escolhida traçamos o primeiro vetor então os vetores seguintes são colocados de tal forma que a origem do segundo coincide com a extremidade do primeiro e a origem do terceiro coincide com a extremidade do segundo e assim por diante O vetor soma ou vetor resultante é representado pela reta que se inicia na origem do primeiro a termina na extremidade do último vetor veja o exemplo que seguem Figura 10 Vetores com direção e sentidos diferentes Fonte Elaborado pela autora Fazendo a soma pelo método gráfi co teremos Figura 11 Soma vetorial Fonte Elaborado pela autora A soma de vetores pelo método gráfi co apresenta algumas propriedades Propriedade comutativa a ordem em que os vetores são somados é irrelevante Veja o exemplo Física Teórica e Experimental I 14 Figura 12 Propriedade comutativa a b c Fonte Elaborado pela autora Propriedade associativa quando existem mais de dois vetores podemos agrupálos em qualquer ordem para somá los Veja Figura 13 Propriedade associativa Fonte Elaborado pela autora Subtração de vetores Não se defi ne a subtração para vetores Ao invés disso realizase a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo Figura 14 Soma com vetor oposto subtração de vetores a b Fonte Elaborado pela autora Multiplicação de um vetor por um escalar dado um vetor e um número a qualquer o produto a resulta em outro vetor com as seguintes características a direção do vetor é a mesma do vetor o módulo valor do vetor é o módulo do vetor vezes o módulo do número real a o sentido do vetor depende do sinal do número real a Se a 0 e tem mesmo sentido Se a 0 e tem sentidos contrários Veja os exemplos 1 2 15 3 Fonte Elaborado pela autora 4 Decomposição de vetores Assim como qualquer número real pode ser obtido com assoma de dois ou mais números qualquer vetor pode ser obtido a partir da soma de dois vetores ortogonais os quais denominamos componentes do vetor Veja o exemplo do vetor velocidade na fi gura 15 Figura 15 Componentes vetoriais Fonte httpsptkhanacademyorgsciencephysicstwo dimensionalmotiontwodimensionalprojectilemotawhatare velocitycomponents Acesso em 26072019 Onde V vetor velocidade Vx componente no eixo x Vy componente no eixo y Para entender melhor como calcular as componentes vetoriais devemos relembrar a trigonometria Revisando Vamos considerar um triângulo retângulo conforme mostrado na fi gura 16 com hipotenusa cateto adjacente e cateto oposto Veja Figura 16 Componentes do triângulo retângulo Fonte httpsptkhanacademyorgsciencephysicstwodimensionalmotion twodimensionalprojectilemotawhatarevelocitycomponents Acesso em 26072019 A partir do triângulo retângulo da fi gura 16 podemos escrever as relações trigonométricas Em que sen θ seno de tetaângulo cos θ cosseno de tetaângulo tg θ tangente de tetaângulo Aplicando essas relações trigonométricas no triângulo retângulo conforme fi gura 15 teremos o valor das componentes vetoriais E obter também a direção através do valor do teta θ usando a seguinte relação Podemos escrever cada componente do vetor velocidade V em termos de vetores unitários um na direção x que é representado por e um na direção y representado por Exemplos 1 Um avião percorre 209 km em linha reta fazendo um ângulo de 225 a nordeste A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida Resolução Primeiro passo método gráfi co desenhar Física Teórica e Experimental I 16 Fonte Elaborado pela autora O avião viajou 19309 km ao norte e 7998 km ao leste desde seu ponto de partida 2 Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 km A partir de então ele passa a viajar para o norte andando 47 km até parar Encontre o vetor que indica a localização do carro Resolução Fonte Elaborado pela autora Calculamos o vetor através do teorema de Pitágoras teremos E a direção Retomando a aula Para fi nalizar a aula vamos relembrar os principais aspectos estudados nas seções 1 Grandezas físicas vetoriais A Física trabalha com um grande número de grandezas Essas grandezas podem ser escalares como a temperatura possuem apenas um valor são especifi cadas por um número com uma unidade exemplo 23C e obedecem às regras da aritmética e da álgebra comum Já as grandezas vetoriais como o deslocamento possuem um módulo valor uma direção e um sentido 5 m vertical para cima essas grandezas obedecem às regras da álgebra vetorial 2 Tipos de vetores Identifi car os tipos de vetores é importante para que possamos fazer as operações básicas corretamente Os vetores podem ser iguais paralelos opostos nulos e também unitários 3 Operações básicas com vetores Com os vetores podemos realizar as operações básicas como soma subtração e multiplicação Para a soma seguimos duas propriedades importantes comutação e associação de vetores Já a subtração fazse com a soma de um vetor oposto Quando fi zermos a multiplicação de um vetor por um escalar teremos como resultado um vetor 4 Decomposição de vetores É importante conhecer as componentes de um determinado vetor pois através desta conhecemos partes do vetor Para isso aplicamos as relações trigonométricas de um triângulo retângulo em um eixo de coordenadas x y HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de física mecânica 8ª ed Rio de Janeiro LTC 2008 TIPLER Paul A MOSCA Gene MORS Paulo Machado Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2014 GASPAR Alberti Física Mecânica 1ª ed São Paulo Ática 2003 Vale a pena ler Vale a pena 17 Vetores noção de cálculo vetorial Disponível em httpswwwfisicanetmecanicaclassicacalculovetorial pdf Acesso em 26072019 Operações com Vetores Aula 4 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvI9k0ZWbRqo8 Acesso em 26072019 Vetores Disponível em httpswwwyoutubecom watchvzAbqwYmA6o Acesso em 26072019 Vale a pena acessar Minhas anotações