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8º Aula Momento angular Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender o esforço de torque em uma rotação aplicar a segunda lei de Newton para a resolução de problemas de rotações deduzir o trabalho e a energia cinética envolvidos em um deslocamento angular determinar o momento angular na rotação de uma partícula e de um sistema de partículas Carosas alunosas Na Aula 8 iremos estudar as rotações definindo o torque aplicado em uma partícula Também veremos expressões para a segunda lei de Newton relacionando o torque resultante ao momento de inércia e a aceleração angular equivalente a taxa de variação do momento angular Em seguida serão deduzidas equações para o trabalho em movimentos rotacionais Ao fim da aula analisaremos o momento angular na rotação de uma partícula e de um corpo rígido em torno de um eixo fixo e também será interpretada a lei da conservação do momento angular Bons estudos Física Teórica e Experimental I 62 1 Torque 2 Segunda lei de Newton para rotações 3 Trabalho e energia cinética de rotações 4 Momento angular 1 Torque As maçanetas das portas normalmente estão localizadas na extremidade oposta das dobradiças isso se deve ao princípio do torque Para obter uma relação entre a força aplicada e a sua distância até o eixo podemos considerar uma seção reta arbitrária na qual é aplicada uma força em um ponto na extremidade dessa seção localizado por um vetor posição que parte do eixo de rotação A força faz um ângulo com Entre e há uma ângulo portanto podemos deduzir a componente tangencial que provoca o movimento de giro e a força radial na direção de não responsável pelo movimento Logo a força tangencial é dada por A relação de com a distância entre o ponto de aplicação e o eixo de aplicação é o torque dado por Outra forma de expressar o torque é em termos de correspondendo à distância entre a linha de ação de e a sua perpendicular passando por ou seja ao braço de alavanca de desse modo Embora no SI a unidade do torque seja trata se de uma grandeza distinta do trabalho e que não pode ser confundida HALLYDAY 2008 Para rotações apenas em torno de um único eixo não precisamos da notação vetorial podese adotar a convenção de sentido antihorário como positivo e horário como negativo BUECHE BRASIL 1983 RAMALHO JÚNIOR 1999 Notase que ao torque também pode ser aplicado o princípio de superposição no qual o torque total é a soma dos torques individuais 2 Segunda lei de Newton para rotações A segunda lei de Newton pode ser aplicada a rotações por analogia onde Para um corpo rígido em rotação desenvolvendo uma Seções de estudo aceleração angular e com um momento de inércia o torque resultante é Na demonstração da equação acima pode ser utilizada a equação para o torque em termos da força tangencial onde De tal modo que a aceleração tangencial corresponde ao produto entre a aceleração angular e a distância radial do ponto de aplicação da força O momento de inércia é dado por O que implica no torque A equação acima pode ser generalizada para um conjunto de partículas determinando o torque resultante O que é equivalente à analogia inicialmente apresentada Na seção 4 desta aula a segunda lei de Newton será novamente apresentada contudo em termos do momento angular equivalente ao momento linear mas para movimentos de rotação Exemplo 1 Uma barra fi na homogênea de comprimento e massa é articulada em uma de suas extremidades Ela é largada da posição horizontal Despreze o atrito e a resistência do ar Determine a a aceleração angular da barra imediatamente após ser largada b a magnitude da força exercida sobre a barra pelo pivô neste instante TIPLER et al 2014 Figura 1 Diagrama de corpo livre de uma barra homogênea Fonte TIPLER 2014 Solução a Conforme a segunda lei de Newton para a rotação o 63 torque resultante sobre o sistema é dado por Assim o momento de inércia em que é a massa e é o comprimento da barra De forma equivalente o torque também corresponde ao produto vetorial entre a força gravitacional no centro de massa e a distância de até força exercida pelo pivô sobre a barra como ambos são perpendiculares o produto vetorial resulta em Substituindo o torque na equação deduzida para a aceleração angular temos Então a aceleração angular da rotação da barra é dependente somente da aceleração da gravidade e do comprimento da barra b A força resultante em é A aceleração linear do centro de massa em é e é a força do pivô sobre a barra no instante em que a barra é largada da posição horizontal sendo Substituindo na equação para Desejamos obter a magnitude de portanto Com isso depende somente da massa da barra e da aceleração da gravidade 3 Trabalho e energia cinética de rotações Como apresentado por Tipler et al 2014 a aceleração de um corpo rígido em movimento circular é adquirida por meio de uma força que realiza um trabalho sobre o corpo e também pode ser determinado por meio da variação da energia cinética considerando que esta seja a única variação de energia do corpo conforme o teorema do trabalho em que Descrevendo a energia cinética Desse modo e resultando O momento de inércia para um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fi xo é Sendo assim A expressão diferencial para o trabalho é dada por Onde é o comprimento diferencial de um arco determinado por ou seja o raio de um arco é tal que O torque em termos da força tangencial é logo Podemos integrar a equação diferencial acima para um deslocamento angular de a determinando o trabalho total realizado por um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fi xo nos limites de a E a potência desenvolvida pela rotação de um corpo é obtida pelo diferencial do trabalho em relação ao tempo isto é Sendo a velocidade angular determinada pela variação de em relação ao tempo Exemplo 2 As especifi cações da London Eye incluem sua capacidade de frear até parar com os compartimentos de passageiros percorrendo no máximo A rapidez de operação da roda de de diâmetro e toneladas é de uma tonelada é igual a a Estime o torque necessário para parar a roda Física Teórica e Experimental I 64 enquanto seu perímetro percorre b Supondo que a força de fretamento é aplicada sobre o perímetro qual é sua magnitude TIPLER 2014 Solução Sabemos que pelo teorema do trabalho pode ser expresso A energia cinética fi nal referese a uma roda parada ou seja Para e temos Substituindo e é obtido O torque necessário para parar a roda enquanto seu perímetro se move é b A magnitude da força de fretamento é Temos e como o raio da roda igual ao braço de alavanca da linha de ação da força de fretamento tangente ao perímetro Assim sendo A força de fretamento é de 4 Momento angular Assim como o momento linear o momento angular é de grande importância para a resolução de problemas ainda que envolvam movimentos de rotação Para uma partícula de massa em movimento de rotação associase um momento linear em um ponto localizado por um vetor posição com origem no eixo de rotação GASPAR 2003 Entre o prolongamento do vetor posição e o vetor temse o ângulo fi gura 2 O produto vetorial entre e ambos no mesmo plano resulta em um vetor perpendicular a ambos o momento angular E como a massa não é uma grandeza vetorial desenvolvese a expressão No SI a unidade para momento angular é ou Se e estão no plano por exemplo o momento angular está orientado no eixo Para sabermos se o momento angular é positivo ou negativo no eixo devemos aplicar a regra da mão direita com os dedos apontados para o eixo do momento linear fi gura 2b envolvendo o vetor o que confi gura no momento angular com sentido positivo no eixo HALLYDAY et al 2008 Por conseguinte podemos convencionar que a rotação de no sentido antihorário resulta no momento angular positivo e a rotação de no sentido horário no momento angular negativo Figura 2 a Momento angular com módulo dado por b Módulo de dado por Fonte HALLIDAY et al 2008 65 Na figura 2a é representado o momento linear perpendicular ao vetor onde o que implica no momento angular Enquanto na figura 2b um vetor posição está perpendicular ao prolongamento do vetor O produto do módulo de ambos também resulta no momento angular veja Assim os vetores posição são definidos a partir da origem 41 Aplicação da segunda lei de Newton A força resultante em uma partícula é definida pela taxa de variação do momento linear no tempo De forma análoga o torque resultante é definido pela taxa de variação do momento angular no tempo Essa relação pode ser demonstrada a partir da expressão Derivando ambos os membros acima em relação ao tempo por meio da regra do produto O termo corresponde à aceleração e é a velocidade Logo O produto vetorial de um vetor por si próprio é nulo pois o seno do ângulo entre os mesmos é zero Com isso temos A equação acima pode ser rearranjada da seguinte forma Sabemos pela segunda lei de Newton que Sendo que o segundo membro igual à expressão para o torque pode ser escrito como a soma do produto vetorial individual de cada torque sobre o corpo conforme o princípio de superposição Portanto Essa equação é equivalente à segunda lei de Newton para o momento linear Em um sistema de partículas o momento angular total é dado pela soma dos momentos angulares de cada partícula Como podemos analisar pela segunda lei de Newton a sua taxa de variação em relação ao tempo determina o torque resultante no sistema por meio da soma dos toques resultante em cada partícula NUSSENZVEIG 2002 Em um sistema de partículas temse Na somaria do segundo membro da equação acima incluem os torques internos e externos sendo que os torques internos podem ser desconsiderados na expressão devido à terceira lei de Newton e a formação de pares de forças que se anulam Por isso o termo de somatória pode ser substituído pelo termo quando somente são considerados os torques externos sobre todas as partículas Veja Os torques e o momento angular de um sistema devem possuir a mesma origem NUSSENZVEIG 2002 Para um centro de massa não acelerado em relação a um referencial inercial a origem pode ser em qualquer ponto do sistema e para um centro de massa acelerado ela deve ser esse centro de massa 42 Momento angular da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Podemos considerar como eixo fixo de rotação o eixo e queremos determinar o momento angular total do sistema em termos do momento de inércia e da velocidade angular Analisamos o momento linear de um elemento de massa no interior do corpo rígido e localizado por um vetor posição com origem perpendicularmente distante do eixo conforme a figura 3a E dessa forma calcular o momento angular de forma análoga à realizada anteriormente para uma partícula Física Teórica e Experimental I 66 Figura 3 a Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fi xo onde o momento angular é analisado considerando um elemento de massa no interior desse corpo b Componente do momento angular no eixo Fonte HALLIDAY et al 2008 O momento angular do elemento de massa para o ângulo de entre o vetor e é O vetor é perpendicular ao plano formado pelos vetores e Podemos decompôlo em e estando alinhando em veja a fi gura 3b Sendo que o ângulo formado entre e o eixo é o mesmo ângulo entre e o eixo A componente do momento angular que desejamos obter é a do eixo Desse modo é possível generalizar o momento angular em de um elemento para o momento angular total do corpo rígido por meio de um somatório de elementos isto é Assim Com isso A velocidade angular é igual em todos os termos da somatória por essa razão foi posta do lado de fora da somatória O termo de somatória corresponde ao momento inércia então O momento de inércia é em relação ao eixo de rotação assim como o momento angular por isso o índice foi omitido da equação acima 43 Conservação do momento angular Outra lei de conservação importante além da lei de conservação da energia e da lei de conservação do momento linear é a conservação do momento angular Para expressála devemos partir da segunda lei de Newton para rotações Se o torque externo resultante sobre o sistema é nulo o momento angular total é conservado mantémse constante isto é o momento angular total em um instante inicial é igual ao momento angular total em um instante posterior Veja Observe que o momento angular pode ser alterado no interior do sistema mas o momento total é constante Dependendo dos torques externos sobre um sistema o momento angular do sistema pode ser conservado em uma ou duas direções mas não em todas HALLIDAY 2008 Em termos do momento de inércia e da velocidade angular a conservação do momento angular é A lei de conservação do momento angular é válida na mecânica newtoniana mas também ao mundo das partículas subatômicas Ainda não houve descobertas de exceção a esta lei Exemplo 3 Um haltere formado por dois discos e iguais de massa unidos por uma barra rígida de massa desprezível 67 e comprimento repousa sobre uma mesa de ar horizontal Um terceiro disco de mesma massa desloca se com atrito desprezível e velocidade sobre a mesa perpendicularmente ao haltere e colide frontalmente com o disco ficando colado a ele Descreva completamente o movimento subsequente do sistema NUSSENZVEIG 2002 Figura 4 Haltere em uma mesa de ar horizontal em que um terceiro disco 3 colide perpendicularmente com o disco 2 Fonte NUSSENZVEIG 2002 Solução Inicialmente os discos e estão parados e a esfera está se movimentando com velocidade Logo no início apenas a esfera possui movimento linear Após o disco colidir com o disco o momento linear final é dado pela soma do momento linear de cada disco se movendo com a velocidade Conforme a lei da conservação do momento linear temos Para A componente do centro de massa com referência nos dois discos após a colisão é dada por Para A distância do conjunto de discos e após a colisão ao centro de massa é Enquanto a distância do disco a é Definindo estas distâncias como e respectivamente temos o momento de inércia total Assim sendo podemos aplicar a lei de conservação do momento angular O produto vetorial no momento angular total inicial antes da colisão de com é igual ao produto entre o momento linear e a distância de com a componente do centro de massa Assim o momento linear e o vetor posição do disco com origem no centro de massa do haltere são perpendiculares quando as massas e estão suficiente próximas O momento angular total final após a colisão de com pode ser encontrado por meio do produto entre o momento de inércia total e a velocidade angular do giro do haltere em torno do centro de massa Veja Com isso podemos determinar a velocidade angular Substituindo e obtemos Então concluímos que o centro de massa localizado sobre o haltere após a colisão localizase acima do disco e movese com velocidade de na mesma direção de Além disso a velocidade angular do haltere em torno do centro de massa é de Exemplo 4 Determine a quantidade de movimento angular em relação à origem para as seguintes situações a Um carro de de massa que se move em um círculo de de raio com uma rapidez de O círculo está no plano centrado na origem Visto de um ponto do eixo positivo o carro se move no sentido antihorário b O mesmo automóvel movendose no plano com velocidade ao longo da linha paralela ao eixo Física Teórica e Experimental I 68 c Um disco homogêneo no plano de raio e massa girando a em torno de seu eixo que também é o eixo Visto de ponto do eixo positivo o disco se move no sentido antihorário Trate o carro como uma partícula pontual TIPLER et al 2014 Figura 5 Corpo descrevendo uma trajetória circular no plano com origem no centro Fonte TIPLER 2014 Solução a O vetor posição e de momento linear é perpendicular Com o carro se movendo no sentido anti horário o vetor de momento angular possui sentido positivo em Logo podemos calcular o momento angular pelo produto vetorial entre e Para e temos Desse modo o momento angular do carro é de b Consideremos o mesmo carro se movendo na trajetória circular contudo no sentido de decrescente em A velocidade negativa em implica no momento linear negativo Aplicando a regra da mão direita obtemos o momento angular positivo Entretanto podemos escrever os vetores em termos de seus versores vetores unitários como visualizado a seguir Para e Ou seja o momento angular é igual ao obtido no item a c Observe que o carro foi tratado como uma partícula mas para o disco homogêneo podemos aplicar a equação tratando o disco como um corpo rígido O momento de inércia de um disco é Então A massa do disco é o raio é de e a velocidade angular em torno do eixo no sentido antihorário é de substituindo estes dados na equação acima temos Então o momento angular do disco é de Retomando a aula Prezadosas chegamos ao fi nal da nossa oitava e última aula Para fi nalizar a aula vamos relembrar os principais aspectos estudados nas seções 1 Torque Vimos que o momento angular defi nindo o torque é uma grandeza diferente do trabalho e surge de uma partícula em movimento rotacional uma vez que esse movimento é gerado pela força tangencial 2 Segunda lei de Newton para rotações Compreendemos a aplicação da segunda lei de Newton as rotações defi nindo o torque resultante como o produto entre o momento de inércia de um corpo rígido e sua aceleração angular considerando a defi nição inicial do torque em termos do raio de giro e da força tangencial 3 Trabalho e energia cinética de rotações Aplicamos o teorema do trabalho às rotações relacionando a variação de energia cinética ao trabalho em rotações a partir da aplicação da defi nição de velocidade angular nas respectivas velocidades lineares Em que o trabalho total de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fi xo é dado pelo produto entre o torque e o deslocamento angular Assim aprendemos que nessas mesmas condições de rotação a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo é o produto entre o torque e a velocidade angular 69 4 Momento angular Sabemos que o momento angular de uma partícula é o produto vetorial entre o vetor posição com origem no centro do sistema cartesiano e o momento linear Com a segunda lei de Newton inferimos que o torque resultante em um sistema de partículas nessas condições é igual à taxa de variação do momento angular total em relação ao tempo Também estudamos o momento angular da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fi xo a partir de um elemento no interior desse corpo e da decomposição de seu momento angular no eixo fi xo o que resulta no momento angular total como produto entre o momento de inércia e a velocidade angular HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de física mecânica 8ª ed Rio de Janeiro LTC 2008 TIPLER Paul A MOSCA Gene MORS Paulo Machado Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2014 GASPAR Alberti Física Mecânica 1ª ed São Paulo Ática 2003 NUSSENZVEIG H M Curso de física básica mecânica 4ª ed São Paulo Edgard Blucher 2002 Vale a pena ler Dinâmica da rotação torque e momento angular Disponível em httpswwwfeisunespbrHome departamentosfisicaequimicarelacaodedocentes973 fis1059arquivo02pdf Acesso em 13082019 Dinâmica de rotação momento angular Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv3sZfccowDrk Acesso em 13082019 Energia cinética rotacional Torque e momento angularFísica Prof David Santo Pietro Khan Academy Disponível em httpswwwyoutubecom watchvqjo3HWW6sb0 Acesso em 13082019 Vale a pena acessar Vale a pena Minhas anotações Física Teórica e Experimental I 70 Referências BUECHE F J BRASIL A Física Geral São Paulo McGrawHill 1983 GASPAR Alberti Física Mecânica 1ª ed São Paulo Ática 2003 HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de física mecânica 8ª ed Rio de Janeiro LTC 2008 NUSSENZVEIG H M Curso de física básica mecânica 4ª ed São Paulo Edgard Blucher 2002 RAMALHO JÚNIOR F FERRARO N G DOS SANTOS J I C SOARES P A T Os fundamentos da física mecânica 7ª ed São Paulo Moderna 1999 TIPLER Paul A MOSCA Gene MORS P M Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2014 YOUNG H FREEDMAN R A Física 1 mecânica 12ª ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2010 SERWAY R A JEWETT JR J W ASSIS A K T Princípios de física mecânica clássica São Paulo Cengage Learning 2009 Minhas anotações
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
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8º Aula Momento angular Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender o esforço de torque em uma rotação aplicar a segunda lei de Newton para a resolução de problemas de rotações deduzir o trabalho e a energia cinética envolvidos em um deslocamento angular determinar o momento angular na rotação de uma partícula e de um sistema de partículas Carosas alunosas Na Aula 8 iremos estudar as rotações definindo o torque aplicado em uma partícula Também veremos expressões para a segunda lei de Newton relacionando o torque resultante ao momento de inércia e a aceleração angular equivalente a taxa de variação do momento angular Em seguida serão deduzidas equações para o trabalho em movimentos rotacionais Ao fim da aula analisaremos o momento angular na rotação de uma partícula e de um corpo rígido em torno de um eixo fixo e também será interpretada a lei da conservação do momento angular Bons estudos Física Teórica e Experimental I 62 1 Torque 2 Segunda lei de Newton para rotações 3 Trabalho e energia cinética de rotações 4 Momento angular 1 Torque As maçanetas das portas normalmente estão localizadas na extremidade oposta das dobradiças isso se deve ao princípio do torque Para obter uma relação entre a força aplicada e a sua distância até o eixo podemos considerar uma seção reta arbitrária na qual é aplicada uma força em um ponto na extremidade dessa seção localizado por um vetor posição que parte do eixo de rotação A força faz um ângulo com Entre e há uma ângulo portanto podemos deduzir a componente tangencial que provoca o movimento de giro e a força radial na direção de não responsável pelo movimento Logo a força tangencial é dada por A relação de com a distância entre o ponto de aplicação e o eixo de aplicação é o torque dado por Outra forma de expressar o torque é em termos de correspondendo à distância entre a linha de ação de e a sua perpendicular passando por ou seja ao braço de alavanca de desse modo Embora no SI a unidade do torque seja trata se de uma grandeza distinta do trabalho e que não pode ser confundida HALLYDAY 2008 Para rotações apenas em torno de um único eixo não precisamos da notação vetorial podese adotar a convenção de sentido antihorário como positivo e horário como negativo BUECHE BRASIL 1983 RAMALHO JÚNIOR 1999 Notase que ao torque também pode ser aplicado o princípio de superposição no qual o torque total é a soma dos torques individuais 2 Segunda lei de Newton para rotações A segunda lei de Newton pode ser aplicada a rotações por analogia onde Para um corpo rígido em rotação desenvolvendo uma Seções de estudo aceleração angular e com um momento de inércia o torque resultante é Na demonstração da equação acima pode ser utilizada a equação para o torque em termos da força tangencial onde De tal modo que a aceleração tangencial corresponde ao produto entre a aceleração angular e a distância radial do ponto de aplicação da força O momento de inércia é dado por O que implica no torque A equação acima pode ser generalizada para um conjunto de partículas determinando o torque resultante O que é equivalente à analogia inicialmente apresentada Na seção 4 desta aula a segunda lei de Newton será novamente apresentada contudo em termos do momento angular equivalente ao momento linear mas para movimentos de rotação Exemplo 1 Uma barra fi na homogênea de comprimento e massa é articulada em uma de suas extremidades Ela é largada da posição horizontal Despreze o atrito e a resistência do ar Determine a a aceleração angular da barra imediatamente após ser largada b a magnitude da força exercida sobre a barra pelo pivô neste instante TIPLER et al 2014 Figura 1 Diagrama de corpo livre de uma barra homogênea Fonte TIPLER 2014 Solução a Conforme a segunda lei de Newton para a rotação o 63 torque resultante sobre o sistema é dado por Assim o momento de inércia em que é a massa e é o comprimento da barra De forma equivalente o torque também corresponde ao produto vetorial entre a força gravitacional no centro de massa e a distância de até força exercida pelo pivô sobre a barra como ambos são perpendiculares o produto vetorial resulta em Substituindo o torque na equação deduzida para a aceleração angular temos Então a aceleração angular da rotação da barra é dependente somente da aceleração da gravidade e do comprimento da barra b A força resultante em é A aceleração linear do centro de massa em é e é a força do pivô sobre a barra no instante em que a barra é largada da posição horizontal sendo Substituindo na equação para Desejamos obter a magnitude de portanto Com isso depende somente da massa da barra e da aceleração da gravidade 3 Trabalho e energia cinética de rotações Como apresentado por Tipler et al 2014 a aceleração de um corpo rígido em movimento circular é adquirida por meio de uma força que realiza um trabalho sobre o corpo e também pode ser determinado por meio da variação da energia cinética considerando que esta seja a única variação de energia do corpo conforme o teorema do trabalho em que Descrevendo a energia cinética Desse modo e resultando O momento de inércia para um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fi xo é Sendo assim A expressão diferencial para o trabalho é dada por Onde é o comprimento diferencial de um arco determinado por ou seja o raio de um arco é tal que O torque em termos da força tangencial é logo Podemos integrar a equação diferencial acima para um deslocamento angular de a determinando o trabalho total realizado por um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fi xo nos limites de a E a potência desenvolvida pela rotação de um corpo é obtida pelo diferencial do trabalho em relação ao tempo isto é Sendo a velocidade angular determinada pela variação de em relação ao tempo Exemplo 2 As especifi cações da London Eye incluem sua capacidade de frear até parar com os compartimentos de passageiros percorrendo no máximo A rapidez de operação da roda de de diâmetro e toneladas é de uma tonelada é igual a a Estime o torque necessário para parar a roda Física Teórica e Experimental I 64 enquanto seu perímetro percorre b Supondo que a força de fretamento é aplicada sobre o perímetro qual é sua magnitude TIPLER 2014 Solução Sabemos que pelo teorema do trabalho pode ser expresso A energia cinética fi nal referese a uma roda parada ou seja Para e temos Substituindo e é obtido O torque necessário para parar a roda enquanto seu perímetro se move é b A magnitude da força de fretamento é Temos e como o raio da roda igual ao braço de alavanca da linha de ação da força de fretamento tangente ao perímetro Assim sendo A força de fretamento é de 4 Momento angular Assim como o momento linear o momento angular é de grande importância para a resolução de problemas ainda que envolvam movimentos de rotação Para uma partícula de massa em movimento de rotação associase um momento linear em um ponto localizado por um vetor posição com origem no eixo de rotação GASPAR 2003 Entre o prolongamento do vetor posição e o vetor temse o ângulo fi gura 2 O produto vetorial entre e ambos no mesmo plano resulta em um vetor perpendicular a ambos o momento angular E como a massa não é uma grandeza vetorial desenvolvese a expressão No SI a unidade para momento angular é ou Se e estão no plano por exemplo o momento angular está orientado no eixo Para sabermos se o momento angular é positivo ou negativo no eixo devemos aplicar a regra da mão direita com os dedos apontados para o eixo do momento linear fi gura 2b envolvendo o vetor o que confi gura no momento angular com sentido positivo no eixo HALLYDAY et al 2008 Por conseguinte podemos convencionar que a rotação de no sentido antihorário resulta no momento angular positivo e a rotação de no sentido horário no momento angular negativo Figura 2 a Momento angular com módulo dado por b Módulo de dado por Fonte HALLIDAY et al 2008 65 Na figura 2a é representado o momento linear perpendicular ao vetor onde o que implica no momento angular Enquanto na figura 2b um vetor posição está perpendicular ao prolongamento do vetor O produto do módulo de ambos também resulta no momento angular veja Assim os vetores posição são definidos a partir da origem 41 Aplicação da segunda lei de Newton A força resultante em uma partícula é definida pela taxa de variação do momento linear no tempo De forma análoga o torque resultante é definido pela taxa de variação do momento angular no tempo Essa relação pode ser demonstrada a partir da expressão Derivando ambos os membros acima em relação ao tempo por meio da regra do produto O termo corresponde à aceleração e é a velocidade Logo O produto vetorial de um vetor por si próprio é nulo pois o seno do ângulo entre os mesmos é zero Com isso temos A equação acima pode ser rearranjada da seguinte forma Sabemos pela segunda lei de Newton que Sendo que o segundo membro igual à expressão para o torque pode ser escrito como a soma do produto vetorial individual de cada torque sobre o corpo conforme o princípio de superposição Portanto Essa equação é equivalente à segunda lei de Newton para o momento linear Em um sistema de partículas o momento angular total é dado pela soma dos momentos angulares de cada partícula Como podemos analisar pela segunda lei de Newton a sua taxa de variação em relação ao tempo determina o torque resultante no sistema por meio da soma dos toques resultante em cada partícula NUSSENZVEIG 2002 Em um sistema de partículas temse Na somaria do segundo membro da equação acima incluem os torques internos e externos sendo que os torques internos podem ser desconsiderados na expressão devido à terceira lei de Newton e a formação de pares de forças que se anulam Por isso o termo de somatória pode ser substituído pelo termo quando somente são considerados os torques externos sobre todas as partículas Veja Os torques e o momento angular de um sistema devem possuir a mesma origem NUSSENZVEIG 2002 Para um centro de massa não acelerado em relação a um referencial inercial a origem pode ser em qualquer ponto do sistema e para um centro de massa acelerado ela deve ser esse centro de massa 42 Momento angular da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Podemos considerar como eixo fixo de rotação o eixo e queremos determinar o momento angular total do sistema em termos do momento de inércia e da velocidade angular Analisamos o momento linear de um elemento de massa no interior do corpo rígido e localizado por um vetor posição com origem perpendicularmente distante do eixo conforme a figura 3a E dessa forma calcular o momento angular de forma análoga à realizada anteriormente para uma partícula Física Teórica e Experimental I 66 Figura 3 a Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fi xo onde o momento angular é analisado considerando um elemento de massa no interior desse corpo b Componente do momento angular no eixo Fonte HALLIDAY et al 2008 O momento angular do elemento de massa para o ângulo de entre o vetor e é O vetor é perpendicular ao plano formado pelos vetores e Podemos decompôlo em e estando alinhando em veja a fi gura 3b Sendo que o ângulo formado entre e o eixo é o mesmo ângulo entre e o eixo A componente do momento angular que desejamos obter é a do eixo Desse modo é possível generalizar o momento angular em de um elemento para o momento angular total do corpo rígido por meio de um somatório de elementos isto é Assim Com isso A velocidade angular é igual em todos os termos da somatória por essa razão foi posta do lado de fora da somatória O termo de somatória corresponde ao momento inércia então O momento de inércia é em relação ao eixo de rotação assim como o momento angular por isso o índice foi omitido da equação acima 43 Conservação do momento angular Outra lei de conservação importante além da lei de conservação da energia e da lei de conservação do momento linear é a conservação do momento angular Para expressála devemos partir da segunda lei de Newton para rotações Se o torque externo resultante sobre o sistema é nulo o momento angular total é conservado mantémse constante isto é o momento angular total em um instante inicial é igual ao momento angular total em um instante posterior Veja Observe que o momento angular pode ser alterado no interior do sistema mas o momento total é constante Dependendo dos torques externos sobre um sistema o momento angular do sistema pode ser conservado em uma ou duas direções mas não em todas HALLIDAY 2008 Em termos do momento de inércia e da velocidade angular a conservação do momento angular é A lei de conservação do momento angular é válida na mecânica newtoniana mas também ao mundo das partículas subatômicas Ainda não houve descobertas de exceção a esta lei Exemplo 3 Um haltere formado por dois discos e iguais de massa unidos por uma barra rígida de massa desprezível 67 e comprimento repousa sobre uma mesa de ar horizontal Um terceiro disco de mesma massa desloca se com atrito desprezível e velocidade sobre a mesa perpendicularmente ao haltere e colide frontalmente com o disco ficando colado a ele Descreva completamente o movimento subsequente do sistema NUSSENZVEIG 2002 Figura 4 Haltere em uma mesa de ar horizontal em que um terceiro disco 3 colide perpendicularmente com o disco 2 Fonte NUSSENZVEIG 2002 Solução Inicialmente os discos e estão parados e a esfera está se movimentando com velocidade Logo no início apenas a esfera possui movimento linear Após o disco colidir com o disco o momento linear final é dado pela soma do momento linear de cada disco se movendo com a velocidade Conforme a lei da conservação do momento linear temos Para A componente do centro de massa com referência nos dois discos após a colisão é dada por Para A distância do conjunto de discos e após a colisão ao centro de massa é Enquanto a distância do disco a é Definindo estas distâncias como e respectivamente temos o momento de inércia total Assim sendo podemos aplicar a lei de conservação do momento angular O produto vetorial no momento angular total inicial antes da colisão de com é igual ao produto entre o momento linear e a distância de com a componente do centro de massa Assim o momento linear e o vetor posição do disco com origem no centro de massa do haltere são perpendiculares quando as massas e estão suficiente próximas O momento angular total final após a colisão de com pode ser encontrado por meio do produto entre o momento de inércia total e a velocidade angular do giro do haltere em torno do centro de massa Veja Com isso podemos determinar a velocidade angular Substituindo e obtemos Então concluímos que o centro de massa localizado sobre o haltere após a colisão localizase acima do disco e movese com velocidade de na mesma direção de Além disso a velocidade angular do haltere em torno do centro de massa é de Exemplo 4 Determine a quantidade de movimento angular em relação à origem para as seguintes situações a Um carro de de massa que se move em um círculo de de raio com uma rapidez de O círculo está no plano centrado na origem Visto de um ponto do eixo positivo o carro se move no sentido antihorário b O mesmo automóvel movendose no plano com velocidade ao longo da linha paralela ao eixo Física Teórica e Experimental I 68 c Um disco homogêneo no plano de raio e massa girando a em torno de seu eixo que também é o eixo Visto de ponto do eixo positivo o disco se move no sentido antihorário Trate o carro como uma partícula pontual TIPLER et al 2014 Figura 5 Corpo descrevendo uma trajetória circular no plano com origem no centro Fonte TIPLER 2014 Solução a O vetor posição e de momento linear é perpendicular Com o carro se movendo no sentido anti horário o vetor de momento angular possui sentido positivo em Logo podemos calcular o momento angular pelo produto vetorial entre e Para e temos Desse modo o momento angular do carro é de b Consideremos o mesmo carro se movendo na trajetória circular contudo no sentido de decrescente em A velocidade negativa em implica no momento linear negativo Aplicando a regra da mão direita obtemos o momento angular positivo Entretanto podemos escrever os vetores em termos de seus versores vetores unitários como visualizado a seguir Para e Ou seja o momento angular é igual ao obtido no item a c Observe que o carro foi tratado como uma partícula mas para o disco homogêneo podemos aplicar a equação tratando o disco como um corpo rígido O momento de inércia de um disco é Então A massa do disco é o raio é de e a velocidade angular em torno do eixo no sentido antihorário é de substituindo estes dados na equação acima temos Então o momento angular do disco é de Retomando a aula Prezadosas chegamos ao fi nal da nossa oitava e última aula Para fi nalizar a aula vamos relembrar os principais aspectos estudados nas seções 1 Torque Vimos que o momento angular defi nindo o torque é uma grandeza diferente do trabalho e surge de uma partícula em movimento rotacional uma vez que esse movimento é gerado pela força tangencial 2 Segunda lei de Newton para rotações Compreendemos a aplicação da segunda lei de Newton as rotações defi nindo o torque resultante como o produto entre o momento de inércia de um corpo rígido e sua aceleração angular considerando a defi nição inicial do torque em termos do raio de giro e da força tangencial 3 Trabalho e energia cinética de rotações Aplicamos o teorema do trabalho às rotações relacionando a variação de energia cinética ao trabalho em rotações a partir da aplicação da defi nição de velocidade angular nas respectivas velocidades lineares Em que o trabalho total de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fi xo é dado pelo produto entre o torque e o deslocamento angular Assim aprendemos que nessas mesmas condições de rotação a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo é o produto entre o torque e a velocidade angular 69 4 Momento angular Sabemos que o momento angular de uma partícula é o produto vetorial entre o vetor posição com origem no centro do sistema cartesiano e o momento linear Com a segunda lei de Newton inferimos que o torque resultante em um sistema de partículas nessas condições é igual à taxa de variação do momento angular total em relação ao tempo Também estudamos o momento angular da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fi xo a partir de um elemento no interior desse corpo e da decomposição de seu momento angular no eixo fi xo o que resulta no momento angular total como produto entre o momento de inércia e a velocidade angular HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de física mecânica 8ª ed Rio de Janeiro LTC 2008 TIPLER Paul A MOSCA Gene MORS Paulo Machado Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2014 GASPAR Alberti Física Mecânica 1ª ed São Paulo Ática 2003 NUSSENZVEIG H M Curso de física básica mecânica 4ª ed São Paulo Edgard Blucher 2002 Vale a pena ler Dinâmica da rotação torque e momento angular Disponível em httpswwwfeisunespbrHome departamentosfisicaequimicarelacaodedocentes973 fis1059arquivo02pdf Acesso em 13082019 Dinâmica de rotação momento angular Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv3sZfccowDrk Acesso em 13082019 Energia cinética rotacional Torque e momento angularFísica Prof David Santo Pietro Khan Academy Disponível em httpswwwyoutubecom watchvqjo3HWW6sb0 Acesso em 13082019 Vale a pena acessar Vale a pena Minhas anotações Física Teórica e Experimental I 70 Referências BUECHE F J BRASIL A Física Geral São Paulo McGrawHill 1983 GASPAR Alberti Física Mecânica 1ª ed São Paulo Ática 2003 HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de física mecânica 8ª ed Rio de Janeiro LTC 2008 NUSSENZVEIG H M Curso de física básica mecânica 4ª ed São Paulo Edgard Blucher 2002 RAMALHO JÚNIOR F FERRARO N G DOS SANTOS J I C SOARES P A T Os fundamentos da física mecânica 7ª ed São Paulo Moderna 1999 TIPLER Paul A MOSCA Gene MORS P M Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2014 YOUNG H FREEDMAN R A Física 1 mecânica 12ª ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2010 SERWAY R A JEWETT JR J W ASSIS A K T Princípios de física mecânica clássica São Paulo Cengage Learning 2009 Minhas anotações