Transferência de Calor e Massa: Conceitos e Mecanismos

TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA Reitor Prof Me Ricardo Benedito de Oliveira PróReitoria Acadêmica Maria Albertina Ferreira do Nascimento Diretoria EAD Profa Dra Gisele Caroline Novakowski PRODUÇÃO DE MATERIAIS Diagramação Alan Michel Bariani Thiago Bruno Peraro Revisão Textual Fernando Sachetti Bomfim Marta Yumi Ando Simone Barbosa Produção Audiovisual Adriano Vieira Marques Márcio Alexandre Júnior Lara Osmar da Conceição Calisto Gestão de Produção Cristiane Alves Direitos reservados à UNINGÁ Reprodução Proibida Rodovia PR 317 Av Morangueira n 6114 Prezado a Acadêmico a bemvindo a à UNINGÁ Centro Universitário Ingá Primeiramente deixo uma frase de Sócrates para reflexão a vida sem desafios não vale a pena ser vivida Cada um de nós tem uma grande responsabilidade sobre as escolhas que fazemos e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica e profissional refletindo diretamente em nossa vida pessoal e em nossas relações com a sociedade Hoje em dia essa sociedade é exigente e busca por tecnologia informação e conhecimento advindos de profissionais que possuam novas habilidades para liderança e sobrevivência no mercado de trabalho De fato a tecnologia e a comunicação têm nos aproximado cada vez mais de pessoas diminuindo distâncias rompendo fronteiras e nos proporcionando momentos inesquecíveis Assim a UNINGÁ se dispõe através do Ensino a Distância a proporcionar um ensino de qualidade capaz de formar cidadãos integrantes de uma sociedade justa preparados para o mercado de trabalho como planejadores e líderes atuantes Que esta nova caminhada lhes traga muita experiência conhecimento e sucesso Prof Me Ricardo Benedito de Oliveira REITOR 3 WWWUNINGABR U N I D A D E 01 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 4 1 CONCEITOS BÁSICOS EM TRANSFERÊNCIA DE CALOR 5 2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 7 21 CONDUÇÃO 7 22 CONVECÇÃO 14 23 RADIAÇÃO 19 CONSIDERAÇÕES FINAIS 24 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 4 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO A Termodinâmica trata da quantidade de calor transferido quando um sistema passa por um processo qualquer até atingir um novo estado de equilíbrio No entanto nenhuma referência quanto ao tempo que o processo demora é feita Em Engenharia Mecânica estamos interessados em taxa de transferência de calor que é o tema da disciplina Transferência de Calor e Massa A transferência de calor é definida como a transmissão de energia de uma região para outra resultante de uma diferença de temperatura entre essas regiões A literatura acerca de transferência de calor reconhece três modos distintos de transmissão de calor a condução a radiação e a convecção Nesta unidade vamos analisar as equações básicas que regem cada um dos três modos de transferência de calor A meta nesta unidade é distinguir as três formas de transferência de calor e aplicar as equações que regem as três leis de transmissão de calor Seja bemvindo à Unidade 1 e bons estudos 5 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 CONCEITOS BÁSICOS EM TRANSFERÊNCIA DE CALOR A Lei Zero da Termodinâmica garante que se dois corpos em diferentes temperaturas quando colocados em contato após um determinado tempo eles atingirão o equilíbrio térmico A transferência de calor será sempre do corpo de maior temperatura ao corpo de menor temperatura como garantido pela Segunda Lei da Termodinâmica A transferência de calor é um fenômeno transitório e cessa quando não existe mais a diferença de temperatura A Primeira Lei da Termodinâmica ou também Princípio da Conservação da Energia afirma que a energia não pode ser criada ou destruída durante um processo pode apenas mudar de forma Dessa forma a energia total de um sistema simples e compressível é a soma das energias interna cinética e potencial Observe que do ponto de vista termodinâmico a quantidade de calor transferida num processo simplesmente se iguala à variação de energia interna do sistema e o trabalho realizado Assim esses processos não consideram os mecanismos nem o tempo necessário para essa transferência de calor Observe ainda que só é prescrita a quantidade do calor que deve ser fornecido ou retirado do sistema durante um processo qualquer O calor é uma forma de energia em trânsito de um sistema para outro como resposta da diferença de temperatura Em Termodinâmica aprendemos a quantificar essa quantidade de calor transferido quando um sistema passa de um estado de equilíbrio para outro Essa quantificação da quantidade de calor pode ser realizada por meio das equações 1 2 e 3 Eq 1 em que é a quantidade de calor transferida por unidade de tempo é a vazão mássica é o calor específico que pode ser a pressão constante ou a volume constante e é a diferença de temperatura A Eq 1 é usada em sistemas em que não ocorre mudança de fase Eq 2 em que é a quantidade de calor transferida por unidade de tempo é a vazão mássica L é o calor latente A Eq 2 é usada em sistemas em que ocorre mudança de fase Eq 3 em que é a quantidade de calor transferida é a variação de energia interna do sistema e W é o trabalho realizado sobre o sistema ou por ele A Eq 3 é a Primeira Lei da Termodinâmica 6 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 1 Considere uma casa de 270 m2 e altura média de 3 m situada a 1500 m acima do nível do mar onde a pressão atmosférica é de 846 kPa como mostrado na Figura 1 Figura 1 Ilustração para o exemplo Fonte O autor Inicialmente a casa está a 15ºC Então ligase o aquecedor elétrico até o ar no interior da casa atingir a temperatura de 25ºC Determine a quantidade de energia transferida para o ar no interior da casa admitindo que A a casa é bem vedada e que o ar no interior da casa não escapa para fora durante o processo de aquecimento B alguma quantidade de ar escapa pelas fendas para fora durante o processo de aquecimento a pressão constante Dados Solução Considerando que o ar no interior da casa tenha comportamento de gás ideal então a massa de ar no interior da casa é A A quantidade de energia a ser transferida ao ar considerando que a casa é bem vedada e que o ar no interior da casa não escapa para fora durante o processo de aquecimento é calculada por meio da Eq 1 no entanto nessa situação o calor específico é a volume constante Daí B A quantidade de energia a ser transferida ao ar considerando que a casa não é bem vedada ou seja que alguma quantidade de ar escapa pelas fendas para fora durante o processo de aquecimento a pressão constante é calculada por meio da Eq 1 Daí 7 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Em engenharia o problema principal é a determinação da taxa de transferência de calor devido a uma diferença de temperatura especificada Essa necessidade surge da demanda do engenheiro em estimar custos viabilidade e tamanho de equipamentos para transferir uma quantidade de calor num dado tempo A ciência que se preocupa com o cálculo de taxas de energia é a Transferência de Calor 2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A Transferência de Calor é a energia em trânsito de uma região a outra devido à diferença de temperatura existente entre elas E como há diferença de temperatura em todo o universo os fenômenos de transferência de calor são universais e governados por uma série de combinações de várias leis independentes da Física A literatura de Transferência de Calor reconhece três modos distintos de transmissão de calor a condução a convecção e a radiação De acordo com Kreith e Bohn 2011 estritamente falando somente a condução e a radiação são classificadas como processos de transferência de calor pois somente nesses dois fenômenos existe a diferença de temperatura para operar A convecção por outro lado não obedece estritamente à definição da transferência de calor porque sua operação também depende do transporte mecânico de massa 21 Condução Considere uma parede de área A espessura e de tal forma que um lado da parede esteja à temperatura T2 e o outro lado à temperatura T1 com de tal modo que a diferença de temperatura seja como ilustra a Figura 2 Figura 2 Condução de calor através de uma parede Fonte O autor No Exemplo 1 a quantidade de calor para aquecer o ar do interior da casa num processo a volume constante é menor do que num processo a pressão constante como pode ser constatada No entanto o processo a pressão constante é o mais realista uma vez que a casa tem fendas principalmente ao redor de portas e janelas 8 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Observase experimentalmente que a taxa de condução de calor Q é diretamente proporcional à área A e a diferença de temperatura é inversamente proporcional à espessura da parede Assim A relação de proporcionalidade acima pode ser escrita em forma de equação matemática como Eq 4 A constante de proporcionalidade k é denominada condutividade térmica e indica a capacidade do material que constitui a parede em conduzir calor O sinal negativo assegura que o calor é transferido no sentido da temperatura decrescente e garante que Q seja positivo A Eq 4 pode ser reescrita em termos diferenciais como Eq 5 em que denota o gradiente de temperatura ao longo do sentido positivo da coordenada y Para o caso de a temperatura variar nas três direções dos eixos coordenados temse Eq 6 Assim a quantidade total de calor nas três direções pode ser calculada como Eq 7 A equação 7 pode ser rearranjada de acordo com a definição do vetor gradiente do Cálculo Diferencial e Integral como Eq 8 em que o sinal denota o produto escalar e 9 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A Eq 7 e a Eq 8 são denominadas lei de Fourier da condução de calor e essas equações descrevem o transporte molecular de calor em meios isotrópicos ou seja o material que constitui a parede da Figura 2 não possui direções preferenciais para transmissão de calor e dessa maneira a condução se dá com a mesma condutividade térmica k em todas as direções Caso o material favoreça a transmissão de calor em uma ou outra direção esse material é denominado anisotrópico Exemplo 2 A Figura 3 representa uma parede na qual as superfícies interna e externa estão a 30ºC e 12ºC respectivamente Tal parede possui 030 m de espessura e 095 WmºC de condutividade térmica Figura 3 Condução de calor através de uma parede Fonte O autor Determine a taxa de transferência de calor através de uma parede de área igual a 5 m2 Solução Considerando que a transferência de calor seja unidimensional e em regime permanente a taxa de transferência de calor é calculada pela Eq 4 Assim Logo a taxa de calor transferida é igual a 285 W 10 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 3 O telhado de uma casa com aquecimento elétrico tem 6 m de comprimento 8 m de largura e 025 m de espessura e é feito de uma camada plana de concreto cuja condutividade térmica é de 075 WmK como ilustra a Figura 4 Figura 4 Condução de calor em uma parede Fonte O autor As temperaturas das faces interna e externa do telhado medidas em uma noite são iguais a 15ºC e 4ºC respectivamente durante um período de 10 horas Com base nessas informações determine A a taxa de perda de calor através do telhado naquela noite B o custo dessa perda de calor para o proprietário considerando que o custo da eletricidade é de R 058 kWh Solução Considerando que a transferência de calor seja unidimensional e em regime permanente a taxa de transferência de calor é calculada pela Eq 4 Assim Logo num período de 10 h as perdas de energia são iguais a 1584 kWh Daí o custo dessa perda de calor para o proprietário é de O valor da condutividade térmica dos materiais pode variar de valores baixos como é o caso de gases até valores mais elevados como acontece com metais Dessa forma os materiais que apresentam valores mais baixos de condutividade são denominados isolantes ao passo que aqueles materiais que apresentam valores mais elevados de condutividade são denominados condutores A Tabela 1 mostra alguns valores típicos de condutividade térmica 11 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Tabela 1 Valores típicos de condutividade térmica em temperatura ambiente Material k W m1 K1 Material k W m1 K1 Diamante 2300 Água líquida 061 Prata 429 Pele humana 037 Cobre 401 Madeira 017 Ouro 317 Gás hélio 015 Alumínio 237 Borracha 013 Ferro 802 Fibra de vidro 0043 Vidro 078 Ar 0026 Tijolo 072 Uretano 0026 Fonte Adaptado de Çengel e Ghajat 2012 A condutividade térmica dos gases em geral é diretamente proporcional à raiz quadrada da temperatura termodinâmica e inversamente proporcional à raiz quadrada da massa molar do gás e independe da pressão do gás Por outro lado a condutividade térmica de líquidos está numa faixa intermediária de valores entre a condutividade térmica de gases e sólidos Em um líquido em geral o valor da condutividade térmica decresce com o aumento da temperatura Em materiais sólidos a condutividade térmica se deve às ondas de vibração de rede e energia transportada por meio de movimento livre dos elétrons presentes nos sólidos e em geral para os sólidos o valor da condutividade térmica decresce com o aumento da temperatura 12 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 4 Enade Um ambiente termicamente confortável é uma das condições que devem ser consideradas em projetos de edificações A fim de projetar um ambiente interno com temperatura de 20ºC para uma temperatura externa de 35ºC um engenheiro considerou no dimensionamento um fluxo de calor através de uma parede externa de 105 wm2 conforme ilustra a Figura 5 Figura 5 Parede com condução de calor Fonte Enade 2017 A tabela a seguir apresenta os valores da condutividade térmica para alguns materiais de construção Tabela 2 Condutividade térmica Fonte Enade 2017 A fim de se obter a temperatura interna desejada qual deve ser o material selecionado entre os apresentados na tabela acima para composição da parede externa A Concreto B Pedra natural C Placa de madeira prensada D Placa com espuma rígida de poliuretano E Placa de aglomerado de fibras de madeira Solução Considerando que a transferência de calor seja unidimensional e em regime permanente a condutividade térmica do material a ser utilizado é calculada pela Eq 4 Temos que e Assim Desse modo atende às especificações do projeto o concreto Logo alternativa A 13 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 5 Um isolante térmico de 20 cm de espessura e condutividade térmica igual a 20 W m1 K1 apresenta a temperatura da superfície quente igual a 80C e a da superfície fria igual a 40C Considerando essas informações determine A a taxa de transferência de calor por unidade de área através da parede B o valor da espessura da parede considerando que se deseja uma redução de 50 no fluxo de calor Solução Considerando que a transferência de calor seja unidimensional e em regime permanente a taxa de transferência de calor é calculada pela Eq 4 Assim Agora para redução em 50 na taxa de transferência de calor temos que este deverá ser de Q 2000 W Dessa maneira a espessura da parede deverá ser de Além da condutividade térmica podese definir a difusividade térmica como Eq 9 em que é a massa específica e é o calor específico a pressão constante da substância A difusividade térmica de uma substância pode ser entendida como a razão entre a capacidade dela em conduzir calor e a capacidade dela em armazenar calor Observe que a difusividade térmica tem a mesma dimensão de viscosidade cinemática L2T1 Um material com alta condutividade térmica e baixa capacidade térmica terá com certeza uma elevada condutividade térmica e quanto maior o valor da difusividade térmica mais rapidamente ocorrerá a propagação de calor no meio Por outro lado um material com baixa difusividade térmica indica que uma maior parte do calor é absorvida pelo material e uma pequena parcela é conduzida adiante A razão entre a viscosidade cinemática e a difusividade térmica define o número de Prandtl Eq 10 em que é a viscosidade absoluta 14 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 22 Convecção A convecção é o modo de transferência de calor entre a superfície de um sólido e a de um fluido adjacente que está em movimento e segundo Kreith e Bohn 2011 consiste de dois mecanismos operando simultaneamente O primeiro é a transferência de energia atribuída ao movimento molecular ou seja condução Sobreposto ao primeiro está a transferência de energia através do movimento macroscópico de um fluido Quanto maior a velocidade do movimento do fluido maior será a transferência de calor por convecção Considere o resfriamento de uma superfície quente por meio de uma corrente de ar frio que sopra sobre a superfície como ilustrado pela Figura 6 O calor é inicialmente transferido por condução para a camada de ar adjacente ao bloco E esse calor é transportado para além da superfície por convecção isto é de acordo com Çengel e Ghajar 2012 pelos efeitos combinados de condução dentro do ar causados por movimentos aleatórios das moléculas de ar e por movimentos da massa de ar movimento macroscópico que remove o ar aquecido próximo à superfície e o substitui por ar mais frio Figura 6 Transferência de calor por convecção Fonte O autor Note ainda na Figura 6 que temos a formação de um perfil de velocidade em que a velocidade máxima ocorre numa região distante da placa aquecida e de um perfil de temperatura em que a temperatura é máxima próxima à superfície sólida A convecção pode acontecer de duas maneiras natural ou forçada Na convecção natural o movimento do fluido é causado por forças de flutuação induzidas por diferença de massa específica do fluido devido à variação de temperatura do fluido Por outro lado a convecção forçada acontece quando o fluido é forçado a fluir sobre a superfície sólida por meios externos como ventiladores sopradores bombas etc A Figura 7 ilustra a convecção forçada e a convecção natural Figura7 Componentes eletrônicos de um circuito e a convecção natural à direita e forçada à esquerda Fonte O autor 15 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A taxa de transferência de calor por convecção é proporcional à diferença de temperatura da superfície do sólido e do fluido em escoamento é convenientemente expressa pela lei de Newton do resfriamento Eq 11 em que é a área da superfície na qual a convecção ocorre é a temperatura da superfície é a temperatura do fluido suficientemente longe da superfície e h é o coeficiente de transferência de calor por convecção ou coeficiente de película A unidade desse coeficiente de transferência de calor por convecção é no Sistema Internacional O coeficiente de transferência de calor por convecção não é uma propriedade do fluido e sim um parâmetro determinado experimentalmente e de acordo com Çengel e Ghajar 2012 depende da geometria da superfície da natureza do movimento do fluido das propriedades do fluido e da vazão mássica do fluido Exemplo 6 Calcule a taxa de transferência de calor por convecção natural entre um telhado de galpão de 20 m x 20 m de lado e o ar ambiente Figura 8 se a temperatura da superfície do telhado for de 27ºC a temperatura do ar for de 3ºC e o coeficiente de transferência de calor médio for de 11 W m2K1 Figura 8 Transferência de calor por convecção no telhado de um galpão Fonte O autor Solução Considerando apenas a transferência de calor por convecção segue que ela pode ser determinada pela Eq 11 Assim Portanto a quantidade de calor transferida por convecção através do telhado é de 1056 kW Observe que o valor positivo de Q indica que o calor está sendo transmitido do telhado para o ar atmosférico 16 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 7 Um determinado fluido escoa através de um tubo de 30 cm de diâmetro interno O fluido se encontra a uma temperatura de 65C A temperatura da superfície interna do tubo é de 40C Considerando um coeficiente de transferência de calor por convecção de 2000 Wm²K calcule a taxa de transferência de calor por metro de comprimento linear de tubo Solução Considerando apenas a transferência de calor por convecção segue que ela pode ser determinada pela Eq 11 Assim No entanto a área do tubo é Daí a taxa de transferência de calor por metro de comprimento linear de tubo é calculada como Portanto a quantidade de calor por unidade de comprimento transferida por convecção é de 471 Observe que o valor negativo indica que o calor está sendo transmitido do fluido para o tubo 17 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 8 Um transistor com altura de 04 cm e 06 cm de diâmetro é montado sobre uma placa plana de circuito como apresentado na Figura 9 Figura 9 Convecção na placa de um circuito Fonte O autor O transistor é resfriado com ar fluindo sobre ele com coeficiente médio de transferência de calor de 30 Wm²K Considerando que a temperatura do ar é de 45ºC e o valor da temperatura da superfície do transistor não exceda 70ºC determine a quantidade de energia que esse transistor pode dissipar de forma segura Desconsidere qualquer transferência de calor da base do transistor Considerando apenas a transferência de calor por convecção segue que ela pode ser determinada pela Eq 11 Assim Logo a quantidade de energia que esse transistor pode dissipar de forma segura é de 18 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 9 A temperatura de ebulição do nitrogênio é de 196ºC e por isso é empregado em estudos científicos em baixa temperatura uma vez que a temperatura se mantém constante em 196ºC até acabar o nitrogênio líquido no tanque Considere um tanque esférico de 3 m de diâmetro inicialmente cheio de nitrogênio líquido a 1 atm e 196ºC como ilustra a Figura 10 Figura 10 Tanque esférico de nitrogênio líquido Fonte O autor O tanque é exposto ao ar ambiente a 23ºC com coeficiente de transferência de calor de 26 W m²K A temperatura do tanque esférico de casca fina é quase a mesma do nitrogênio em seu interior Ignorando qualquer troca de calor por radiação determine a taxa de evaporação do nitrogênio líquido no tanque como resultado da transferência de calor para o ar ambiente Dados calor latente de vaporização 198 kJkg massa específica 810 kgm3 Solução Considerando apenas a transferência de calor por convecção segue que ela pode ser determinada pela Eq 11 Assim Fique atento que a área da superfície da esfera é Observe que o sinal negativo de Q indica que o nitrogênio líquido perde calor para o ambiente Assim a massa de nitrogênio líquido que evapora é calculada por meio da Eq 2 Daí ou seja Portanto a taxa de evaporação do nitrogênio líquido no tanque como resultado da transferência de calor para o ar ambiente é aproximadamente 19 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 23 Radiação A radiação é a forma de transmissão de energia emitida pela matéria sob a forma de ondas eletromagnéticas como resultado das mudanças nas configurações eletrônicas de átomos ou moléculas que constituem o corpo A transferência de calor por radiação diferentemente da condução e convecção não exige um meio material para se propagar Em nossos estudos de transferência de calor estamos interessados na radiação térmica que de acordo com Çengel e Ghajar 2012 é a forma de radiação emitida pelos corpos por causa de sua temperatura uma vez que todos os corpos com temperatura superior ao zero absoluto emitem radiação térmica A taxa máxima de radiação Q que pode ser emitida de uma superfície na temperatura termodinâmica Ts é calculada pela lei de StefanBoltzmann da radiação térmica Eq 12 em que é a área da superfície e é a constante de StefanBoltzmann A saber O matemático físico e astrônomo Isaac Newton 16421727 nasceu na Inglaterra e é considerado um dos maiores cientistas da história A lei de resfriamento de Newton também pode ser reescrita da seguinte maneira a taxa segundo a qual decresce a temperatura de um objeto que está esfriando e a taxa segundo a qual cresce a temperatura de um objeto que está esquentando é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente Assim podemos escrever a seguinte equação diferencial ordinária em que c é uma constante T é a temperatura t é o tempo e é a temperatura na qual está inserido o objeto Resolver equações diferenciais faz parte do cotidiano de engenheiros mecânicos Em problemas de transferência de calor é muito comum a resolução de equações diferenciais de primeira ordem O vídeo a seguir mostranos algumas aplicações e resolução desse tipo de equações diferenciais httpswwwyoutubecomwatchvEakgST13cQ 20 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Uma superfície que emite radiação térmica segundo a Eq 12 é denominada corpo negro No entanto a maior parte das superfícies reais emite uma quantidade de calor por radiação térmica menor do que o previsto pela Eq 12 Assim para esses corpos reais a Eq 12 fica escrita como Eq 12 em que é uma constante adimensional denominada emissividade e A emissividade de algumas superfícies é listada na Tabela 3 Tabela 3 Emissividade de algumas superfícies Material Emissividade Material Emissividade Alumínio em folhas 007 Pintura preta 098 Cobre polido 003 Pintura branca 090 Aço polido 017 Vegetação 092096 Fonte O autor A absortividade da radiação é uma propriedade que denota a fração de energia da radiação que incide sobre uma superfície que é absorvida por essa superfície Desse modo Um corpo negro é aquele que absorve toda a energia que incide sobre ele isto é ele é um absorvedor perfeito e um perfeito emissor Um buraco negro é uma região do espaço com um campo gravitacional tão intenso que nem mesmo a luz consegue escapar de dentro dele A intensa gravidade comprime a matéria até que não haja mais espaço entre os átomos A primeira imagem de um buraco negro Figura 11 foi revelada no dia 10 de abril de 2019 pela Comissão Europeia A descoberta foi feita pelo telescópio Event Horizon um projeto que interligou oito telescópios e teve a colaboração de mais de 200 pesquisadores Figura 11 Primeira foto de um buraco negro Fonte Science FoundationEvent Horizon Telescope 2019 21 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Quando uma superfície de emissividade e área superficial numa temperatura termodinâmica está separada em um envoltório negro fechado como ilustrado na Figura 12 e circunvizinho à temperatura termodinâmica Tv a taxa de transferência de calor entre o corpo e sua vizinhança é calculada pela Eq 13 Figura 12 Transferência de calor por radiação Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 Eq 13 Exemplo 10 Uma haste cilíndrica longa aquecida eletricamente com 4 cm de diâmetro e 100 cm de com primento é instalada num forno a vácuo A superfície da haste tem emissividade de 085 e é mantida a 727ºC enquanto que as paredes do forno são negras e estão a 527ºC Determine a taxa líquida de calor que é retirado da haste Solução Considerando apenas a transferência de calor por radiação segue que ela pode ser determinada pela Eq 13 Assim Logo a taxa líquida de calor que é retirado da haste por radiação é aproximadamente 36 kW 22 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 11 Considere uma caixa eletrônica selada de 20 cm de altura com área de base 50 cm x 50 cm colocada em uma câmara de vácuo como ilustra a Figura 13 A emissividade da superfície externa da caixa é de 095 Os componentes eletrônicos na caixa dissipam o total de 120 W de potência Figura 13 Caixa eletrônica Fonte O autor A temperatura da superfície externa da caixa não pode exceder 55ºC Determine a temperatura na qual as superfícies ao redor devem ser mantidas se a caixa for resfriada apenas por radiação Assuma que a transferência de calor da superfície inferior da caixa para o suporte seja insignificante Solução Considerando apenas a transferência de calor por radiação segue que a temperatura da vizinhança pode ser determinada pela Eq 13 Assim Logo a temperatura na qual as superfícies ao redor devem ser mantidas a fim de a caixa ser resfriada apenas por radiação é de 326ºC 23 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A partir de seus estudos em termodinâmica você aprendeu que a energia pode ser transferida a partir das interações do sistema com sua vizinhança Essas interações são chamadas de calor e trabalho No entanto na Termodinâmica o que é importante são os estados energéticos iniciais e finais Em Transferência de Calor estamos interessados em discutir os modos de transferência de calor e as taxas em que isso acontece No livro Incropera Fundamentos da transferência de calor e de massa de T L Bergman e A S Lavine editora LTC 8ª edição os autores descrevem os processos com maestria Fonte Editora LTC A Figura 14 sugere que a condução a radiação e a convecção são formas de transmissão de calor que acontecem simultaneamente Figura 14 As formas de transmissão de calor Fonte O autor 24 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS Chegamos ao final da Unidade 1 e nela estudamos as três formas de transferência de calor condução convecção e radiação Aprendemos que a condução ocorre devido às vibrações das moléculas do objeto de modo que a energia térmica é transmitida para a próxima molécula e assim sucessivamente Vimos que a condução ocorre praticamente em todos os corpos materiais Em alguns porém esse processo é mais intenso que em outros Estudamos que a convecção é uma forma de transferência de calor que ocorre a partir da movimentação de uma massa fluida de uma região para outra devido à diferença de densidade Finalizamos a unidade discutindo a transferência de calor por radiação Na radiação vimos que a transferência de calor ocorre por meio de ondas eletromagnéticas e que ocorrem preferencialmente de radiação infravermelha Agora vamos dar início à Unidade 2 Até lá 25 25 WWWUNINGABR U N I D A D E 02 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 26 1 INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS BÁSICOS DE CONDUÇÃO DE CALOR 27 2 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE EM PAREDES PLANAS 29 3 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE EM CILINDROS E ESFERAS 43 4 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE 55 CONSIDERAÇÕES FINAIS 60 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE E TRANSIENTE PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 26 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Nesta unidade vamos aplicar as equações básicas para um dos três modos de transferência de calor para paredes compostas e estudar a transferência de calor em coordenadas polares Nesta unidade você também aprenderá a dimensionar paredes compostas e aplicar o conceito de isolamento térmico para o dimensionamento de paredes A meta é aplicar uma combinação das três formas de transferência de calor para paredes compostas para resolver problemas do dia a dia da engenharia Seja bemvindo à Unidade 2 e bons estudos 27 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS BÁSICOS DE CONDUÇÃO DE CALOR A transferência de calor tem direção e magnitude e portanto é uma grandeza vetorial e a taxa de transferência de calor é diretamente proporcional ao gradiente de temperatura A transferência de calor em um meio por condução geralmente é dependente do tempo e da posição dessa maneira podemos definir que a temperatura é função das coordenadas e do tempo A condução como forma de transferência de calor é dita em regime permanente quando a temperatura não muda e em regime transiente quando a temperatura muda em algum ponto no interior do sistema considerado Dizemos que a condução de calor é unidimensional quando o fenômeno de transferência de calor é significativo em apenas uma dimensão do sistema de coordenada adotado bidimensional quando a transferência de calor por condução não é significativa em apenas uma das dimensões consideradas e por fim tridimensional quando o fenômeno é significativo nas três dimensões do sistema de coordenada adotado 28 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Um sistema de coordenada define um ponto no espaço como produto da intersecção de três superfícies que podem ser planas ou não Na Figura 1 são apresentados os sistemas de coordenadas retangulares cilíndricas e esféricas a Sistema de coordenadas cartesianas b Sistema de coordenadas cilíndricas c Sistema de coordenadas esféricas Figura 1 As várias distâncias e os ângulos envolvidos na descrição da posição de um ponto em diferentes sistemas de coordenadas Fonte O autor 29 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE EM PAREDES PLANAS Considere a condução de calor em uma parede plana em regime permanente e unidimensional como ilustrado na Figura 2 Figura 2 Condução em parede plana Fonte Çengel e Ghajar 2012 O balanço energético através da seção reta da parede em uma dimensão nos permite escrever que Como o regime é permanente não há variação de energia interna no interior da parede o que implica que o termo do lado direito da observação acima é identicamente nulo Desse modo o balanço de energia fica escrito em regime permanente como Vimos na Unidade 1 que a Lei de Fourier para condução de calor unidimensional é escrita como Eq 1 30 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A equação 1 é uma equação diferencial ordinária de variável separável Separando as variáveis e integrando de x 0 onde T T1 até x onde T T2 resulta em Eq 2 A equação 2 pode ser reescrita como Eq 3 O termo é denominado resistência térmica de condução é denotado por R e depende da geometria do sistema e do material que constitui a parede Assim podemos fazer uma analogia entre a resistência térmica de condução com a resistência elétrica de circuito elétrico como ilustra a Figura 3 Figura 3 Analogia de resistência elétrica e térmica Fonte O autor Na prática em inúmeras situações encontramos paredes planas que consistem em várias camadas de materiais distintos O conceito de resistência térmica pode ser utilizado para determinar a taxa de transferência de calor permanente através dessas paredes compostas como ilustrado na Figura 4 Figura 4 Ilustração de parede composta Fonte O autor 31 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Considerando a parede composta da Figura 4 a rede de resistência térmica de transferência de calor por condução através da parede é mostrada na Figura 5 Considere ainda que as paredes estão submetidas a temperaturas constantes e conhecidas T1 e T3 respectivamente Figura 5 Rede de resistência térmica de condução de duas paredes planas Fonte O autor Como o fluxo de calor que atravessa a parede é o mesmo segue que e ainda que Somando membro a membro as duas equações acima segue que Note que os termos dentro dos parênteses do lado direito da equação acima correspondem às resistências térmicas de condução Assim a taxa de transferência de calor por condução pode ser determinada por meio da equação Sem perda de generalidade podemos considerar a transferência de calor através de uma parede composta por N paredes associadas em série Daí a taxa de transferência de calor pode ser determinada por meio da equação Eq 4 em que denota a variação de temperatura total através da parede e corresponde à soma das N resistências das N paredes em série 32 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 1 A Figura 6 apresenta duas barras de materiais diferentes combinadas em série e montadas entre duas paredes A área da seção reta de cada barra vale 1 m2 e ambas possuem 04 m de espessura Considerandose as condutividades térmicas apresentadas determine a taxa de calor através das paredes e as temperaturas nas interfaces ao longo da parede Figura 6 Duas paredes em série Fonte O autor Solução Temos a condução de calor através de duas paredes em série Assim considerando regime permanente a equação 4 pode ser empregada As resistências térmicas de condução das paredes 1 e 2 são calculadas como mostrado a seguir e a resistência total é Daí substituindo na equação 4 segue que a taxa de calor através das paredes é Para determinar a temperatura na interface usamos o fato de que a taxa de transferência de calor por condução através das paredes é a mesma Assim considerando a parede da esquerda e aplicando novamente a equação 4 temos que ou seja a temperatura na interface é aproximadamente de 1067ºC O estudante cético e com insônia fica convidado a verificar o mesmo resultado quanto à temperatura da parede na interface começando pela parede da direita 33 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 2 A parede externa de uma casa é composta por uma camada de 25 cm de espessura de tijolo comum e uma camada de 5 cm de gesso como ilustra a Figura 7 Qual a taxa de transferência de calor por unidade de área se a face externa da parede se encontra a 35C e a face interna a 20C Dados ktijolo 070 WmK kgesso 050 WmK Figura 7 Duas paredes em série Fonte O autor Solução Temos a condução de calor através de duas paredes em série Assim considerando regime permanente a equação 4 pode ser empregada A resistência térmica de condução da parede 1 de tijolo e a da parede 2 de gesso são calculadas como mostrado a seguir e a resistência total é Daí substituindo na equação 4 segue que a taxa de calor através das paredes é Logo a taxa de transferência de calor por condução é de 328 W 34 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 3 No exemplo 2 qual a espessura de isolamento de lã de rocha k 007 WmK que deve ser adicionada à parede para se reduzir a transferência de calor em 80 Solução Observe nesse exemplo que apenas 20 do total da taxa de transferência de calor por condução deverá passar através da parede Isso significa que teremos que aumentar a resistência da parede por meio da adição da camada de lã de vidro Empregando a equação 4 podemos determinar a resistência total das três paredes em série Assim De exemplo 2 temos que a soma das resistências das paredes de tijolo e gesso é igual a o que indica que a camada de lã de vidro deverá fornecer uma resistência de 1833 Daí temos que Assim para reduzir a taxa de transferência de calor em 80 devese acrescentar uma camada de 13 cm de lã de vidro Considere agora um sistema composto de paredes planas associadas em paralelo submetidas a uma fonte de calor de temperatura constante e conhecida de um lado e a um sorvedouro de calor do outro lado também de temperatura constante e conhecida como ilustra a Figura 8 Figura 8 Associação de paredes em paralelo Fonte O autor 35 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Considere também que todas as paredes estão sujeitas à mesma diferença de temperatura as paredes podem ser de materiais eou dimensões distintas e a taxa de calor total é a soma das taxas por cada parede individual Assim a taxa de transferência de calor na parede 1 é dada por e no caso da parede 2 a taxa de transferência de calor é Daí como o fluxo de calor total é igual à soma dos fluxos de calor segue que Considerando a parede composta da Figura 8 a rede de resistência térmica de transferência de calor por condução através da parede é mostrada na Figura 9 Figura 9 Rede de resistência térmica de condução de duas paredes planas Fonte O autor Sem perda de generalidade podemos considerar a transferência de calor através de uma parede composta por N paredes associadas em paralelo Daí a taxa de transferência de calor pode ser determinada por meio da equação Eq 5 em que denota a variação de temperatura total através da parede e corresponde à soma das N resistências das N paredes em paralelo 36 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 4 A Figura 10 apresenta duas barras de materiais diferentes combinadas em paralelo e montadas entre duas paredes A área da seção reta de cada barra vale 05 m2 Considerandose as condutividades térmicas apresentadas determine o fluxo de calor através das paredes e as temperaturas nas interfaces ao longo da parede Figura 10 Duas paredes em paralelo Fonte O autor Solução Temos a condução de calor através de duas paredes em paralelo Assim considerando regime permanente a equação 5 pode ser empregada As resistências térmicas de condução das paredes 1 e 2 são calculadas como mostrado a seguir e a resistência total das paredes em paralelo é Daí substituindo na equação 5 segue que a taxa de calor através das paredes é Portanto a taxa de transferência de calor é de aproximadamente 49 kW 37 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA O exemplo a seguir ilustra a transferência de calor por condução em associação mista de paredes Exemplo 5 Considere uma parede de 12 m de altura 8 m de comprimento e 022 m de espessura cuja seção transversal é representada na Figura 11 As condutividades térmicas dos vários materiais utilizados em W m1 K1 são kA kF 2 kB 8 kC 20 kD 15 e kE 35 As superfícies esquerda e direita da placa são mantidas em temperaturas uniformes de 300ºC e 100ºC respectivamente Assumindo que a transferência de calor através da parede seja unidimensional determine a taxa de transferência de calor por condução através da parede Figura 11 Associação mista de paredes Fonte O autor Solução Temos a condução de calor através de paredes planas em série e em paralelo Assim considerando regime permanente a equação de Fourier pode ser empregada Mas primeiramente vamos determinar a resistência total equivalente A Figura 12 apresenta o circuito térmico dessa parede Figura 12 Circuito térmico da parede Fonte O autor 38 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A resistência térmica da parede A é dada por A parede BCB está em paralelo Assim a resistência térmica das paredes B e C são calculadas como segue Assim a resistência total das paredes CBC é igual a Agora a resistência térmica das paredes D e E que também estão em paralelo é calculada como Assim a resistência total das paredes D e E é igual a A resistência térmica da parede F é dada por Assim a resistência total é Logo a taxa de transferência de calor é 39 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Até agora fizemos a análise da taxa de transferência de calor desprezando a transferência de calor por convecção a partir da superfície da parede de área As e temperatura Ts para o fluido cuja temperatura suficientemente distante da superfície é Nessas situações devemos acrescentar o termo da resistência referente à convecção A equação que descreve a taxa de calor transferido por convecção é a qual pode ser rearranjada como segue Observe na equação acima que a resistência referente à convecção é expressa como Nas paredes em série da Figura 4 fizemos apenas a análise das resistências térmicas de condução Vamos considerar agora os efeitos da convecção como ilustrado na Figura 13 Figura 13 Ilustração de parede composta em série e a rede de resistências Fonte O autor Na situação apresentada na Figura 13 para o caso de uma parede composta a resistência total considerando as resistências de condução e convecção é 40 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 6 Considere uma janela de vidro ilustrada na Figura 14 de 08 m de altura 15 m de largura 8 mm de espessura e condutividade térmica k 078 W m1K1 Determine a taxa de transferência de calor permanente através dessa janela de vidro para o dia em que a sala está mantida a 20ºC enquanto a temperatura externa é de 10ºC Figura 14 Esquema para o exemplo 6 Fonte Çengel e Ghajar 2012 Solução Considerando o regime permanente a equação de Fourier pode ser empregada Note que o circuito térmico é dado pela Figura 15 em que R1 corresponde à resistência por convecção na parte interna R2 à resistência por condução e R3 à resistência por convecção na parte externa Figura 15 Circuito térmico Fonte O autor Assim 41 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A resistência total é Substituindo na equação 4 segue que a taxa de calor através das paredes é Logo a taxa de transferência de calor é de 2662 W 42 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 7 Considere uma janela de painel duplo de 08 m de altura e 15 m de largura composta por duas placas de vidro k 078 W m1K1 de 4 mm de espessura separadas por uma camada de ar estagnado k 0026 W m1K1 de 10 mm de largura como ilustrado na Figura 16 Determine a taxa de transferência de calor através dessa janela de painel duplo enquanto a temperatura externa estiver em 10ºC Considere os coeficientes de transferência de calor sobre as superfícies interna e externa da janela iguais a 10 W m2 K1 e 40 W m2 K1 Figura 16 Esquema para o exemplo 7 Fonte Çengel e Ghajar 2012 Solução Considerando o regime permanente a equação de Fourier pode ser empregada Note que o circuito térmico é dado pela Figura 16 em que R1 R2 e R3 correspondem às resistências por condução e Ri e Re às resistências por convecção Assim 43 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A resistência total é Substituindo na equação 4 segue que a taxa de calor através das paredes é Logo a taxa de transferência de calor é de 692 W 3 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE EM CILINDROS E ESFERAS Considere um cilindro vazado de comprimento L de raio interno r1 e externo r2 constituído de um material cuja condutividade térmica é k submetido a uma diferença de temperatura entre a superfície interna T1 e externa T2 como apresentado na Figura 17 Figura 17 Condução de calor através de um cilindro Fonte O autor Para a condução de calor unidimensional em coordenadas cilíndricas a Lei de Fourier é escrita como Eq 6 44 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Para a Eq 6 separando as variáveis substituindo a área pela expressão da área lateral do cilindro e integrando temos que Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo segue que Daí segue que a taxa de condução de calor através do cilindro é Eq 7 Note que a Eq 7 pode ser reescrita como Eq 8 As equações 7 e 8 permitem o cálculo da taxa de transferência de calor em um cilindro O denominador da Eq 7 é dito resistência de condução de calor em uma camada cilíndrica Considerando a resistência por convecção na parte interna e externa do cilindro escrevemos que a resistência total sobre a superfície cilíndrica é dada por Eq 9 45 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Para situações em que há camadas sobrepostas em formato cilíndrico como ilustrado na Figura 18 o procedimento é análogo à associação de paredes planas em série Figura 18 Associação de paredes cilíndricas em série Fonte Çengel e Ghajar 2012 Em situações como a apresentada pela Figura 18 a resistência total obtida a partir do circuito térmico é calculada como segue Eq 10 46 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 8 Compare a perda de calor em uma tubulação cilíndrica de cobre isolada e não isolada ilustrada pela Figura 19 sob as condições a seguir A tubulação k 400 W m1 K1 tem diâmetro interno de 15 cm e externo de 17 cm Vapor saturado flui através dessa tubulação a 110ºC e h 15 W m2 K1 A tubulação está localizada em ambiente a 30ºC onde o coeficiente de transferência de calor em sua superfície externa é estimado em 20 W m2 K1 O isolamento disponível para reduzir as perdas de calor tem uma espessura de 35 cm e sua condutividade térmica é igual a 025 W m1 K1 Admita que o comprimento do cilindro seja de 1 m Figura 19 Condução de calor através de cilindro e circuito térmico Fonte Kreith e Bohn 2011 Solução Considerando o regime permanente e que o cilindro inicialmente não possui a camada de isolante a equação 9 pode ser empregada para o cálculo da resistência total Assim Aplicando a equação 4 temos que a taxa de transferência de calor é Agora vamos considerar regime permanente e que o isolamento foi acrescentado ao cilindro Assim uma nova camada surge e a ela temos associada uma resistência térmica por condução A resistência total nesse caso é 47 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA em que r3 corresponde ao raio da camada de isolante acrescentada Assim Aplicando novamente a lei de Fourier temos que a taxa de transferência de calor é Observe que o percentual de redução da taxa de transferência de calor devido à adição da camada de isolante corresponde a aproximadamente 48 em relação à quantia inicial 48 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 9 Vapor superaquecido a uma temperatura de 210ºC é transportado através de um tubo de aço k 45 W m1 K1 diâmetro interno 6 cm e diâmetro externo 8 cm e comprimento 25 m O tubo é isolado com uma camada de 2 cm de gesso k 055 W m1 K1 e colocado horizontalmente num ambiente cuja temperatura média do ar é de 20ºC Os coeficientes de transferência de calor do vapor e do ar são estimados em 850 W m2 K1 e 150 W m2 K1 respectivamente Calcule A a taxa de transferência de calor diária a partir do vapor superaquecido B a temperatura da superfície externa do isolamento de gesso Solução A Considerando o regime permanente a lei de Fourier pode ser empregada A resistência total nesse caso é Assim Aplicando a equação 4 temos que a taxa de transferência de calor é B A temperatura da superfície externa do isolamento de gesso é calculada como segue Daí Logo a temperatura da superfície externa do isolamento de gesso é de 436ºC 49 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Considere uma esfera oca submetida a uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a externa como apresentado na Figura 20 Figura 20 Transferência de calor em esfera Fonte Çengel e Ghajar 2012 Admita que a temperatura na superfície interna seja constante e igual a T1 enquanto a temperatura da superfície externa seja T2 Para a condução de calor unidimensional em coordenadas esféricas a Lei de Fourier é escrita como Eq 11 Para a Eq 11 separando as variáveis substituindo a área pela expressão da área da esfera e integrando temos que Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo segue que Daí segue que a taxa de condução de calor através de uma esfera é Eq 12 50 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Note que a Eq 12 pode ser reescrita como Eq 13 As equações 12 e 13 permitem o cálculo da taxa de transferência de calor em uma esfera O denominador da Eq 13 é dito resistência de condução de calor em uma camada esférica Considerando a resistência por convecção nas partes interna e externa da esfera escrevemos que a resistência total sobre a superfície esférica é dada por Eq 14 51 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 10 Um tanque de aço k 40 kcal h1 m1 K1 de formato esférico e raio interno 05 m e espessura 5 mm é isolado com 381 cm de lã de rocha k 004 kcal h1 m1 K1 A temperatura da face interna do tanque é de 220ºC e a face externa do isolante é de 30ºC Após alguns anos de utilização a lã de rocha foi substituída por outro isolante de mesma espessura tendo sido notado um aumento de 15 no calor dissipado ao ambiente mantendose constantes as demais condições Com base nessas informações determine A a taxa de transferência de calor por condução pelo tanque isolado com lã de rocha B a condutividade térmica do novo material isolante considerando que a espessura do novo material seja de 381 cm C qual deveria ser a espessura do novo isolante a fim de se ter o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha Solução A Considerando o regime permanente a lei de Fourier pode ser empregada A resistência total por condução considerando a parede de aço e o isolamento constituído de lã de vidro é Daí a taxa de transferência de calor por condução pelo tanque isolado com lã de rocha é 52 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA B Considerando o aumento de 15 na taxa de transferência de calor o novo valor é de 7895 Daí a nova resistência térmica é Então C Para manter a mesma taxa de transferência de calor que a obtida no item A o valor da espessura da nova camada de isolante é calculado a partir da equação da resistência total que deverá apresentar o mesmo valor numérico que o inicial Assim o que implica uma espessura de isolante de 0044 m ou seja de 44 cm 53 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 11 Um recipiente esférico e oco de ferro com 20 cm de diâmetro e 02 m de espessura contém uma mistura de água e gelo a 0ºC Considerando a temperatura externa de 5ºC determine a taxa em que o gelo derrete no recipiente Dado calor de fusão da água é de 334 kJkg Solução Admitindo regime permanente e desprezando a convecção e a radiação segue que a taxa de derretimento de gelo é dada por em que Q é a taxa de calor fornecido ao sistema é a taxa de evaporação de gelo e L é o calor latente de fusão da água A taxa de transferência de calor Q é calculada a partir da Eq 12 como segue Daí segue que a taxa de derretimento de gelo é Quando um objeto entra na atmosfera da Terra fica submetido a algumas forças entre as quais gravidade e arrasto A gravidade puxa um objeto em direção a Terra naturalmente Mas sozinha ela não faria com que o objeto caísse de forma perigosamente rápida Por sorte a atmosfera terrestre contém partículas de ar À medida que o objeto cai ele atinge essas partículas e o atrito com elas gera fricção Essa fricção faz com que o objeto experimente arrasto ou resistência do ar o que desacelera o objeto a uma velocidade de reentrada segura porém arriscada O vídeo a seguir ilustra os procedimentos de reentradas de naves espaciais na atmosfera terrestre httpswwwyoutubecomwatchv0pEZ1IFEpHs 54 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Por que a reentrada de naves na atmosfera gera calor Por causa da velocidade estonteante atingida pelas naves Os ônibus espaciais que voltavam para a Terra por exemplo podiam entrar na atmosfera a 25 mil kmh cerca de 20 vezes a velocidade do som A 100 mil metros de altura essa descida desembestada não causa maiores problemas pois a atmosfera é extremamente rarefeita e o atrito é mínimo Mas o ar vai se tornando mais denso à medida que a altitude diminui E é aí que mora o perigo A quantidade de calor é proporcional à densidade da atmosfera e à velocidade diz o engenheiro Ulisses Thadeu Guedes do Inpe A temperatura externa da nave pode chegar a impressionantes 8000ºC uma marca que supera até mesmo a temperatura da superfície do Sol que é em média 6000ºC O mesmo problema não acontece na subida porque a velocidade das naves é três vezes menor não chega a 8 mil kmh Assim no trajeto de ida rumo aos limites da atmosfera o calor raramente ultrapassa os mil graus Para resistir à fritura da descida os veículos espaciais possuem um revestimento especial de cerâmica com 10 centímetros de espessura Ao absorver o calor esse material vai se desfazendo aos poucos e precisa ser reposto a cada voo Sob a cerâmica a fuselagem possui placas de titânio que garantem uma proteção adicional Mas a carapaça externa sozinha não garante o sucesso do voo Os pilotos ou os controladores das naves não tripuladas precisam ter um cuidado extremo ao programar a descida Para reduzir a velocidade é preciso dar uma verdadeira barrigada ou seja na hora da reentrada a nave fica num ângulo quase horizontal em relação à atmosfera Isso ajuda a reduzir a velocidade antes de atingir as camadas mais densas da atmosfera diz Ulisses A tragédia que matou todos os tripulantes do ônibus espacial Columbia em 2003 é um triste exemplo da violência do procedimento de reentrada Um pedaço se descolou quebrou a asa e provocou a explosão SUPERINTERESSANTE 2011 Disponível em httpssuperabrilcombrmundoestranho porqueareentradadeespaconavesnaatmosferagera fogoeatritotaoviolentos 55 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 4 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE A temperatura dos corpos em geral varia com o tempo e com a posição Em coordenadas retangulares a variação de temperatura é expressa como Tx y z t em que x y z denota a variação nas direções x y e z e t indica a variação do tempo Nesse sentido o estudo da transferência de calor por condução em regime transiente pode ser feito por meio da análise de sistemas de aglomerados Nessa metodologia assumimos que a temperatura do corpo varia com o tempo mas permanece uniforme em todo o espaço em determinado momento Para ilustrar o método considere um corpo de massa M volume V massa específica área superficial As calor específico cp e inicialmente na temperatura Ti Admita que no instante t 0 esse corpo seja inserido num ambiente de temperatura tal que Ti e ainda h é o coeficiente de transferência de calor Durante um intervalo de tempo dt a temperatura do corpo aumenta de dT O balanço de energia do corpo permite escrever que Assim em termos de uma equação matemática temos que Como segue que Podemos escrever pois é supostamente constante Assim Integrando a expressão acima de t 0 quando TiTi até t t quando TiTt temos que Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo segue que 56 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Realizando algumas manipulações algébricas na expressão acima temos que Eq 15 Na equação 15 tem dimensão de T1 ou seja no Sistema Internacional a unidade dessa grandeza é s1 e ela é denominada constante de tempo O comportamento gráfico da Eq 15 é apresentado na Figura 21 Figura 21 Comportamento da temperatura em sistema de aglomerado Fonte Çengel e Ghajar 2012 A análise de sistemas aglomerados é bem prática quando fazemos a análise de transferência de calor e é muito importante saber quando é possível aplicála Para verificar a possibilidade de aplicação da técnica primeiramente definimos o comprimento característico Lc Eq 16 e em seguida o número de Biot Bi Eq 17 57 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A hipótese para aplicarmos o método de sistemas de aglomerados é a de que a temperatura é uniforme a qual só pode acontecer quando a resistência térmica de condução tende a zero Assim inferese que para situações nas quais Bi 0 a análise do sistema aglomerado é exata Por outro lado quando Bi 0 a solução é aproximada A aplicabilidade do método de sistemas de glomerados é aconselhada quando Bi 010 ou seja em situações quando o corpo é relativamente pequeno e constituído de um material com elevada condutividade térmica k Exemplo 12 CESPE UnB O número de Biot Bi usado para definir o método a ser utilizado na solução de problemas de transferência de calor transiente é um parâmetro que representa a razão entre A o coeficiente de transferência convectiva de calor na superfície do sólido e a condutância específica do sólido B a resistência térmica convectiva e a resistência térmica condutiva C a capacidade de armazenamento de energia térmica e a resistência térmica condutiva D a capacidade de armazenamento de energia térmica e a resistência térmica convectiva E o gradiente de temperatura no interior do corpo e a resistência térmica radiativa Solução De acordo com a equação 17 temos que o número de Biot é definido como Observe que no numerador desse número adimensional há o coeficiente de transferência convectiva de calor na superfície do sólido enquanto que no denominador há a condutância específica do sólido Portanto responde à questão a alternativa A 58 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 13 O processo de endurecimento brusco de uma barra cilíndrica de aço massa específica 782 g cm3 calor específico 434 J kg1K1 condutividade térmica 64 W m1K1 consiste em aquecer a barra em um forno a 850ºC e depois resfriar em banho de água a uma temperatura média de 95ºC O banho de água está inicialmente a 40ºC e apresenta coeficiente de transferência de calor por convecção de 450 Wm2K1 Considerando uma barra de 5 cm de diâmetro e comprimento de 25 m determine A o tempo necessário para resfriar a barra de 850ºC até 95ºC no banho de água B a quantidade de calor transferido à água nesse processo de endurecimento da barra de aço Solução A Considerando as informações apresentadas no enunciado segue que o comprimento característico e o número de Biot para o problema são Como o número de Biot é menor que 01 o método da análise de sistema aglomerado pode ser aplicado Assim o tempo necessário para o resfriamento da barra de 850ºC até 95ºC é calculado a partir da Eq 15 Resolvendo a equação acima para o tempo t segue que Logo o tempo necessário para resfriar a barra de 850ºC até 95ºC no banho de água é de 2535 segundos B A quantidade de calor transferido à água nesse processo de endurecimento da barra de aço é calculada como 59 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Para situações em que o método não seja aplicável podemos fazer uso de gráficos de temperatura transiente Nesse procedimento consideramos a variação de temperatura com o tempo e com a posição Para essa situação consulte o capítulo 4 de Çengel e Ghajar 2012 Na transferência de calor em regime transiente a temperatura muda não só com a posição no interior do corpo ela também muda com o tempo em uma mesma posição tanto a taxa de transferência de calor através do corpo como a energia interna do corpo mudam com o tempo O corpo acumula ou desacumula energia interna O vídeo a seguir explica de maneira simples o que acabamos de estudar a análise de sistemas de aglomerados ou método da capacitância O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchv74Coq7mXd1M Após estudar o método da análise de sistemas aglomerados ou método da capacitância global agora vamos aplicar em um exercício O vídeo a seguir apresenta uma aplicação bastante interessante O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchvMmzAkZsryy8 O projeto de edificações energeticamente eficientes necessita de conhecimentos sobre a transferência de calor proveniente do ambiente externo a fim de criar soluções que associem diferentes materiais e espessuras às condições desejadas de conforto térmico O artigo Análise da transferência de calor em paredes compostas por diferentes materiais de Specht et al 2010 aborda essa ideia O trabalho está disponível em httpswwwscielobrscielophppidS1678 86212010000400002scriptsciarttext 60 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS Esta unidade apresentou uma visão geral do campo de transferência de calor bem como sua relação com a termodinâmica Estudamos a transferência de calor em paredes compostas em diversos tipos de geometria Espero que ao final desta unidade você consiga reconhecer os modos básicos de transferência de calor em paredes compostas e também aplicar as equações que regem esse fenômeno de transporte tão importante Tenha em mente que esse assunto de transferência de calor está em constante estado de evolução e é desejável que você como futuro engenheiro mecânico acompanhe a literatura atual sobre o assunto para manterse atualizado Na Unidade 3 vamos discutir coeficientes de transferência de calor por convecção e aprender sobre aletas Apertem os cintos e vamos nessa Até lá 6161 WWWUNINGABR U N I D A D E 03 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 62 1 O MECANISMO FÍSICO DA CONVECÇÃO 63 2 ALETAS 73 CONSIDERAÇÕES FINAIS 86 FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM ALETAS PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 62 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Até o momento estudamos as formas básicas de transferência de calor na Unidade 1 e os fenômenos de transferência de calor por condução e convecção através de paredes na Unidade 2 Nesta unidade inicialmente vamos estudar o mecanismo de transferência de calor através de fluido na presença de movimento de sua massa Em seguida estudaremos a transferência de calor através de superfícies estendidas ou aletas Seja bemvindo à Unidade 3 e bons estudos 63 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 O MECANISMO FÍSICO DA CONVECÇÃO Vimos na Unidade 1 que o modo de transferência de calor ocorre por condução quando as moléculas permanecem em posições relativamente fixas isso inclui os sólidos e os fluidos estagnados Por outro lado quando um fluido está em movimento a transferência de calor se dá por meio da convecção e já sabemos que poderá ser convecção natural ou convecção forçada A transferência de calor por convecção é complicada pois envolve a condução e o movimento do fluido De acordo com Çengel e Ghajar 2012 o movimento do fluido aumenta a transferência de calor colocando mais partes quentes e frias do fluido em contato e quanto maior a velocidade do fluido maior a taxa de transferência de calor A experiência mostra que a transferência de calor por convecção depende da viscosidade absoluta condutividade térmica massa específica calor específico e da velocidade de escoamento do fluido Embora a transferência de calor por convecção seja a mais complexa das formas de transferência de calor observase que a taxa de transferência de calor por convecção é muito bem definida pela lei de Newton do resfriamento que é escrita como Eq 1 em que é a taxa de transferência de calor por convecção h é o coeficiente de transferência de calor por convecção A é a área de transferência de calor é a temperatura da superfície e é a temperatura do fluido suficientemente longe da superfície Çengel e Ghajar 2012 definem o coeficiente de transferência de calor por convecção como a taxa de transferência de calor entre uma superfície sólida e um fluido por unidade de área por unidade de diferença de temperatura O escoamento de um fluido em geral ocorre entre superfícies sólidas e é importante compreender a forma como a presença da superfície sólida afeta esse escoamento Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície seja o escoamento em regime laminar ou turbulento as partículas na vizinhança da superfície sólida são desaceleradas em virtude das forças viscosas A porção de fluido contida na região de variação substancial de velocidade ilustrada na Figura 1 é denominada camada limite hidrodinâmica Figura 1 Fluido escoando sobre uma superfície estacionária Fonte O autor 64 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Admita agora que no escoamento do fluido ao longo da superfície sólida exista uma diferença de temperatura entre o fluido e a superfície Nessa situação o fluido presente na região de variação substancial de temperatura é denominado camada limite térmica Vamos ater nossa atenção na transferência de calor para o caso do fluido em escoamento sobre uma superfície aquecida como ilustrado pela Figura 2 Para que ocorra a transferência de calor por convecção através do fluido é necessário que exista um gradiente de temperatura camada limite térmica em uma região de baixa velocidade camada limite hidrodinâmica Figura 2 Fluido escoando sobre uma superfície estacionária Fonte O autor Nessa região o mecanismo de transferência de calor por convecção pode então ser entendido como a ação combinada da transferência de calor por condução de calor na região de baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e movimento de mistura na região de alta velocidade Isso significa que na região de baixa velocidade a transferência de calor por condução é mais importante ao passo que na região de alta velocidade a mistura entre o fluido mais quente e o mais frio contribui substancialmente para a transferência de calor Na camada limite térmica temse elevados gradientes de temperatura e podese dizer que o estudo do fenômeno da convecção se reduz ao estudo da condução através dela Impondo a condição de não deslizamento na região de camada limite térmica e hidrodinâmica podemos afirmar que a transferência de calor a partir da superfície sólida para a região adjacente à superfície ocorre exclusivamente por condução Assim Eq 2 em que k é a condutividade térmica representa o perfil de temperatura e é o gradiente de temperatura na superfície 65 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Dessa forma o calor é então transportado para longe da superfície por convecção como resultado do movimento do fluido Substituindo a Eq 1 na Eq 2 e efetuando simplificações temos que o coeficiente de transferência de calor por convecção quando a distribuição de temperatura pode ser calculado como segue Eq 3 Tenha em mente que o coeficiente de transferência de calor por convecção varia ao longo da direção do escoamento no caso da Figura 2 na direção x e acabamos por usar o coeficiente médio de transferência de calor por convecção Exemplo 1 Um fluxo de ar a 20ºC flui sobre uma superfície plana aquecida a 160ºC O perfil de temperatura no interior da camada de ar é modelado como em que y é a medida da distância vertical medida a partir da superfície da placa em m Assuma que a condutividade térmica do ar seja igual a 003024 e calcule o coeficiente de transferência de calor por convecção Solução Depreendese do enunciado que e Como a transferência de calor da placa para o ar na superfície se dá por condução o coeficiente de transferência de calor por convecção a partir da superfície sólida para a camada de fluido adjacente à superfície é determinado a partir da Eq 3 Assim Logo Para avaliar o coeficiente de transferência de calor por convecção h é comum adimensionalizar as equações e combinar as variáveis em grupos adimensionais para reduzir o número total de variáveis Assim o coeficiente de transferência de calor por convecção fica escrito em termos do número de Nusselt como Eq 4 66 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA em que é um comprimento característico Note também que o número de Nusselt pode ser escrito como Eq 5 Note que no interior da camada limite térmica e hidrodinâmica fazemos e O número de Nusselt representa o aumento de transferência de calor através da camada de fluido como resultado da convecção em relação à condução do mesmo fluido em toda a camada Quanto maior for o número de Nusselt mais eficaz é a convecção Número de Nusselt igual a 1 para a camada de fluido representa a transferência de calor em toda a camada por condução pura Números adimensionais aparecem com frequência nos estudos de transferência de calor de massa e de quantidade de movimento Eis alguns O número de Nusselt Nu é uma grandeza bastante utilizada para a determinação do coeficiente de transferência de calor por convecção baseada na análise dimensional a qual é utilizada para determinar parâmetros por meio de relações de similaridade O número de Prandtl Pr é um número adimensional que aproxima a razão de difusividade de momento viscosidade cinemática e difusividade térmica de um fluido expressando a relação entre a difusão de quantidade de movimento e a difusão de quantidade de calor dentro do próprio fluido sendo uma medida da eficiência dessas transferências nas camadas limites hidrodinâmica e térmica É um número adimensional importante para o estudo dos processos de transferência de calor por convecção e é escrito como em que é a viscosidade é o calor específico e k é a condutividade térmica O número de Reynolds Re é um número adimensional usado em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido sobre uma superfície O número de Grashof Gr é um número adimensional da mecânica dos fluidos e que fornece a relação entre a sustentação de um fluido em relação à viscosidade 67 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA O coeficiente de transferência de calor por convecção h é uma função complexa de uma série de variáveis relacionadas com as seguintes características comprimento característico D propriedades físicas do fluido e estado de movimento Assim podemos afirmar que Uma equação que levasse em conta todos esses parâmetros seria extremamente complexa O problema é então contornado dividindose o estudo em casos particulares como os que serão discutidos a partir de agora Para cada caso particular são obtidas equações empíricas empregando a técnica de análise dimensional aquela estudada em Mecânica dos Fluidos combinada com experimentos em que os coeficientes de transferência de calor por convecção são avaliados a partir de equações empíricas obtidas correlacionandose os dados experimentais com o auxílio da análise dimensional Para escoamento de um fluido no interior de um tubo de diâmetro D no regime de escoamento turbulento podemos fazer uso da correlação de DittusBoelter Eq 6 com n 04 para situações de aquecimento n 03 para situações de resfriamento e todas as propriedades do fluido deverão ser avaliadas na temperatura média obtida a partir da temperatura de entrada e saída do fluido da tubulação Para escoamento de um fluido no interior de um tubo de diâmetro D no regime de escoamento laminar e plenamente desenvolvido podemos fazer uso da correlação de Colburn Eq 7 e nesse caso todas as propriedades do fluido deverão ser avaliadas na temperatura média obtida a partir da temperatura de entrada e saída do fluido da tubulação Para situação em que o regime de escoamento do fluido é laminar plenamente desenvolvido em um tubo circular de diâmetro D e submetido a um fluxo de calor constante na superfície o número de Nusselt é constante e igual a 436 isso indica que não há nenhuma dependência em relação aos números de Reynolds e Prandtl A seguir é apresentado um vídeo que descreve de forma sucinta o que é a camada limite térmica O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchvJLY8xEmWfJc 68 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Uma análise para situação em que o regime de escoamento do fluido é laminar plenamente desenvolvido num tubo circular de diâmetro D e submetido a uma temperatura de superfície Ts constante na superfície o número de Nusselt é constante e igual a 366 isso indica que também não há nenhuma dependência em relação aos números de Reynolds e Prandtl Para tubos não circulares as relações para o fator de atrito e o número de Nusselt são apresentadas na Figura 3 Para escoamento laminar plenamente desenvolvido em tubos de diferentes seções transversais o número de Reynolds e o de Nusselt para escoamento nesses tubos estão baseados no diâmetro hidráulico Figura 3 Número de Nusselt e fator de atrito para escoamento laminar plenamente desenvolvido em tubos com diferentes diâmetros hidráulicos Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 O diâmetro hidráulico é definido como a razão entre a área molhada e o perímetro molhado de uma dada seção transversal 69 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Uma vez conhecido o número de Nusselt o coeficiente de transferência de calor por convecção é determinado a partir da equação Eq 8 Exemplo 2 As indústrias em geral trabalham constantemente com fluidos escoando pelo interior de tubos Considere que um fluido deva ser transportado através de um tubo cilíndrico cujas superfícies são mantidas a uma temperatura constante igual a 80C Esse fluido entra no tubo a 40C e sai a 60C Sabese que se o regime de escoamento for laminar o número de Nusselt será igual a 366 temperatura constante na parede Dado que a condutividade térmica do material é igual a 0044 e o coeficiente de transferência de calor por convecção é igual a estime a espessura da camada limite em mm Solução Depreendese do enunciado que Nu 366 e k 0044 Como a transferência de calor da placa para o fluido na superfície se dá por condução a espessura da camada limite térmica a partir da superfície sólida para a camada de fluido adjacente à superfície é determinada por meio da Eq 5 Assim 70 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 3 Verificase um escoamento de ar a uma velocidade de 4 ms e temperatura de 30ºC no interior de um cilindro de 7 cm de diâmetro A temperatura da superfície do cilindro é 60ºC Nessas condições estime o coeficiente de transferência de calor por convecção Solução Temos que e as propriedades do ar serão avaliadas na temperatura média ou seja a Assim temos que e e o número de Prandtl é estimado como O número de Reynolds é e o escoamento é turbulento Note que o ar será aquecido ao longo do escoamento Assim o número de Nusselt é estimado pela Eq 6 e com n 04 Daí Logo o coeficiente de transferência de calor por convecção é estimado pela Eq 8 em que o comprimento característico L é o diâmetro A transferência de calor por convecção natural em uma superfície depende da geometria da superfície e da sua orientação Depende também da variação da temperatura da superfície e das propriedades termofísicas do fluido envolvido Em situações como a do exemplo 3 para determinar a quantidade de calor transferida empregando a lei de Newton do resfriamento fazemos uso da diferença média logarítmica de temperatura 71 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A convecção natural tem lugar quando há movimento de um fluido resultante de forças de empuxo O empuxo tem lugar num fluido onde há gradientes de densidade e uma força mássica por exemplo força gravitacional proporcional à densidade Em transmissão de calor os gradientes de densidade são devidos a gradientes de temperatura e a força mássica é a gravidade Nesse caso os gradientes de temperatura podem ser estáveis e instáveis Analise a Figura 4 que ilustra a camada limite térmica e hidrodinâmica Figura 4 Camada limite hidrodinâmica e térmica para convecção natural Fonte O autor Na convecção natural o número de Nusselt é da forma Eq 9 em que é o coeficiente convectivo de troca térmica é um comprimento característico é a condutividade térmica C e n são constantes e é o número de Rayleigh que é um número adimensional definido como o produto entre os números adimensionais de Grashof e Prandtl isto é 72 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Os valores das constantes C e n dependem da geometria da superfície e do regime de escoamento O valor de é em geral empregado para escoamento laminar e para escoamento turbulento O valor da constante C em geral é menor que 1 A Figura 5 apresenta algumas correlações empíricas para convecção natural Figura 5 Correlações empíricas para convecção natural Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 73 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 ALETAS De acordo com Sissom e Pitts 1979 as aletas são extensões de superfície empregadas para aumentar a transferência de calor A Figura 6 apresenta alguns exemplos de aletas Figura 6 Exemplos de aletas Fonte O autor As superfícies aletadas são empregadas na prática para aumentar a transferência de calor e geralmente aumentam muito a taxa de transferência de calor a partir da superfície Na análise de aletas devemos considerar que a operação ocorre em regime permanente e sem a geração de calor Assumimos ainda que a condutividade térmica do material se mantém constante e que o coeficiente de troca térmica de convecção é uniforme ao redor da superfície da aleta Figura 7 Elemento de volume de aleta na posição x tendo comprimento área transversal Ac e perímetro p Fonte Çengel e Ghajar 2012 74 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Considere um elemento de volume da aleta na localização x tendo comprimento área de secção transversal e perímetro P como ilustrado na Figura 7 Sob as condições de regime permanente o balanço de energia nesse elemento de volume é que por sua vez pode ser reescrito como Temos que Substituindo dividindo por e fazendo manipulações algébricas temos que Tomando o limite quando temos que Sabemos que Daí A equação diferencial acima pode ser reescrita como Dividindo por segue que Eq 10 Fazendo por conveniência e ela pode ser reescrita como Eq 11 75 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A Eq 10 e a Eq 11 são equações diferenciais ordinárias de coeficientes constantes e homogêneas cuja solução geral é do tipo Eq 12 em que e são constantes arbitrárias cujos valores são determinados a partir das condições de contorno ou de fronteira isto é na base e na ponta da aleta Vamos analisar algumas situações 1º Caso Aletas muito compridas A primeira situação que vamos analisar é a da aleta infinita como ilustra a Figura 8 Nesse caso a aleta é comprida o suficiente de tal forma que podemos assumir que a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperatura ambiente Figura 8 Aleta longa de seção transversal uniforme e seu perfil de temperatura Fonte O autor Assim temos as seguintes condições de contorno A segunda condição afirma que a temperatura na base da aleta é Aplicando essas condições de fronteira e fazendo manipulações algébricas a solução particular que permite o cálculo do perfil de temperatura para aleta muito comprida é escrita como Eq 13 A taxa de transferência de calor trocada na aleta é Eq 14 76 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2º Caso Aletas com perda de calor desprezível A segunda situação e talvez a mais realista seja aquela na qual o comprimento da aleta não é tão grande mas a taxa de perda de calor na ponta da aleta é desprezível como ilustra a Figura 9 Isso é equivalente a assumir que a aleta é adiabática na ponta Figura 9 Aleta adiabática e seu perfil de temperatura Fonte O autor Assim temos as seguintes condições de contorno Aplicando essas condições de fronteira e fazendo manipulações algébricas a solução particular que permite o cálculo do perfil de temperatura para aleta adiabática na ponta é escrita como Eq 15 Uma aleta pode ser considerada infinita quando seu comprimento L é tal que Nessa condição 99 da máxima transferência de calor são atingidas HOLMANN 1983 77 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A taxa de transferência de calor trocada na aleta é Eq 16 3º Caso A temperatura é especificada na ponta da aleta A terceira situação é aquela na qual a temperatura na ponta da aleta é conhecida ou especificada Isso é equivalente a assumir que a aleta é adiabática na ponta como ilustra a Figura 10 Figura 10 Aleta com temperatura especificada na ponta e seu perfil de temperatura Fonte O autor Dependendo das condições de contorno empregadas na solução da Eq 12 irão aparecer na solução geral as funções hiperbólicas Os vídeos a seguir definem essas funções e algumas de suas propriedades Os vídeos estão disponíveis em Vídeo 1 httpswwwyoutubecomwatchvU02j4vr8PcM Vídeo 2 httpswwwyoutubecomwatchva4qXUOsQd6A Vídeo 3 httpswwwyoutubecomwatchvLFL5lhEZojg 78 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Assim temos as seguintes condições de contorno Aplicando essas condições de fronteira e fazendo manipulações algébricas a solução particular que permite o cálculo do perfil de temperatura para aleta com temperatura especificada na ponta é escrita como Eq 17 A taxa de transferência de calor trocada na aleta é Eq 18 4º Caso Convecção a partir da ponta da aleta A quarta situação é aquela mais real quando as pontas das aletas estão expostas ao ambiente ou seja existe a transferência de calor a partir das pontas da aleta por convecção como ilustra a Figura 11 Figura 11 Aleta com convecção na ponta e seu perfil de temperatura Fonte O autor 79 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Assim temos as seguintes condições de contorno Aplicando essas condições de fronteira e fazendo manipulações algébricas a solução particular que permite o cálculo do perfil de temperatura para aleta com temperatura especificada na ponta é escrita como Eq 19 A taxa de transferência de calor trocada na aleta é Eq 20 80 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 4 Uma barra de latão k 133 WmK de 100 mm de comprimento e 5 mm de diâmetro se estende horizontalmente de um molde de fundição que está a 200C A barra está no ar ambiente com T 20C e h 30 Wm2K como ilustra a Figura 12 Figura 12 Representação do exercício Fonte O autor Qual é a temperatura da barra na ponta da aleta Solução Considerando regime permanente que a condução seja unidimensional que as propriedades físicas e o coeficiente convectivo sejam constantes e ainda que a radiação seja desprezível temos que A situação descrita no enunciado é um caso em que há convecção a partir da ponta da aleta e nesse caso o perfil de temperatura é dado pela Eq 19 Daí Assim a temperatura da barra na ponta da aleta x 01 m é 81 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Para Sissom e Pitts 1979 um método altamente simplificado para o cálculo da transferência de calor em aletas é oferecido pelo conceito de eficiência da aleta definida por Eq 21 Assim podemos escrever que em que é a taxa de transferência de calor real a partir da aleta e é a taxa de transferência ideal a partir da aleta se a aleta inteira estiver na temperatura da base Assim Eq 22 A Eq 22 permite determinar a transferência de calor a partir da aleta quando sua eficiência é conhecida Os valores da eficiência podem ser determinados a partir de gráficos como apresentados nas Figuras 13 e 14 Figura 13 Eficiência de aletas planas para perfis retangulares triangulares e parabólicos Fonte Adaptado de Sissom e Pitts 1979 82 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 14 Eficiência de aletas anulares Fonte Adaptado de Sissom e Pitts 1979 Para casos de seção transversal constante de aletas muito compridas e aletas com pontas adiabáticas a eficiência é calculada respectivamente como Eq 23 Eq 24 83 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A Figura 15 apresenta as relações de eficiência de aleta com seção transversal uniforme e não uniforme Figura 15 Eficiência e áreas de superfície de configurações comuns de aletas Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 84 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Na Figura 15 as funções I e K que aparecem em algumas dessas equações são as funções de Bessel modificadas e seus valores são apresentados na Figura 16 Figura 16 Valores das funções de Bessel modificadas de primeiro e segundo tipos Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 85 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA As aletas ou superfícies estendidas são usadas com objetivo de aumentar a transferência de calor e sua utilização em uma superfície só é recomendada caso o aumento da transferência de calor justifique o aumento do custo e da complexidade associado com as aletas O desempenho das aletas é avaliado por meio do cálculo da efetividade definida como em que é a área transversal da aleta na base A definição acima em forma de equação fica escrita como Eq 25 Quando a efetividade da aleta é igual a 1 indica que a adição de aletas na superfície não afeta a transferência de calor isto é a taxa de transferência de calor conduzido para a aleta através da área da base é igual à taxa de transferência de calor transferido a partir da mesma área para o ambiente Quando a efetividade da aleta é menor que 1 indica que a aleta funciona como um isolamento diminuindo a transferência de calor a partir da superfície e isso pode acontecer quando são empregados materiais com baixa condutividade térmica Por fim quando a efetividade da aleta é maior que 1 temos que as aletas estão de fato aumentando a transferência de calor a partir da superfície Mas o emprego de aletas não pode ser justificado a menos que a efetividade seja superior a 1 isso porque as aletas são idealizadas para elevar ao máximo a eficácia para determinado custo ou tornar mínimos os custos para a eficácia desejada A Função de Bessel foi definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel Ela é a solução da equação diferencial em que p é um número real e a equação diferencial é denominada equação diferencial de Bessel de índice p No livro de Dennis G Zill Equações diferenciais com aplicações em modelagem da editora Cengage Learning de 2016 no capítulo 6 mais especificamente no item 64 o autor apresenta a solução da equação de Bessel de ordem p e as funções de Bessel de primeira e segunda espécie Fonte Amazon 2020 86 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS Iniciamos esta unidade estudando a transferência de calor por convecção e aprendemos correlações para o cálculo do coeficiente de transferência de calor convectivo Estudamos correlações para o cálculo do coeficiente de transferência de calor convectivo em regime laminar e turbulento para algumas geometrias de paredes compostas em diversos tipos de geometria Na segunda parte desta unidade aprendemos sobre a transferência de calor em superfícies estendidas ou aletas Realizamos um balanço de energia e chegamos a uma equação diferencial que descreve o comportamento de aletas Resolvemos essa equação diferencial empregando algumas condições de contorno Tenha em mente que esse assunto de transferência de calor está em constante estado de evolução e é desejável que você como futuro engenheiro mecânico acompanhe a literatura sobre o assunto para manterse atualizado Na Unidade 4 vamos discutir o fenômeno de transferência de massa Apertem os cintos e vamos nessa Até lá 87 87 WWWUNINGABR U N I D A D E 04 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 88 1 LEI DE FICK DA DIFUSÃO 89 2 DIFUSÃO MÁSSICA 94 3 O COEFICIENTE DE DIFUSÃO 99 4 A CÉLULA DE ARNOLD 103 CONSIDERAÇÕES FINAIS 107 FUNDAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 88 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Até aqui estudamos situações e problemas de transferência de calor que não envolvem nenhuma transferência de massa No entanto em algumas situações do cotidiano a transferência de calor é acompanhada de transferência de massa Um exemplo clássico é quando transpiramos cerca de um terço do calor emanado é devido à evaporação A transferência de massa é análoga à transferência de calor em muitos aspectos em particular a modelagem matemática e existe uma estreita semelhança entre as relações de transferência de calor e de massa Seja bemvindo à Unidade 4 89 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 LEI DE FICK DA DIFUSÃO Você como todo bom estudante de engenharia deve tomar um cafezinho enquanto estuda Primeiro porque é bom e depois ajuda a entender por exemplo algumas coisas na engenharia que parecem coisas de ciências ocultas Desabafos à parte vamos ao que interessa Considere uma xícara de café isso mesmo essa que está aí do seu lado Digamos que você tenha licença poética para adicionar a ele uma colher de açúcar sim sou contra açúcar no café Num primeiro momento você observará que todo açúcar adicionado irá se depositar no fundo da xícara e à medida que o tempo passa você observará que o açúcar se moverá para cima adoçando o café Esse é um clássico exemplo de transferência de massa de sólido em líquido Engenheiros mecânicos adoram estudar o diagrama de ferrocarbono É sabido que a difusão do carbono no ferro durante o endurecimento nos moldes é outro exemplo de transferência de massa entre sólidos Biólogos marinhos estão sempre atentos às quantidades de gás oxigênio do ar que se difundem na água para satisfazer as necessidades vitais de O2 dos animais marinhos e nesse caso temos a transferência de massa entre líquido e gás Observem na Figura 1 algumas ilustrações de fenômenos de transferência de massa Figura 1 Alguns exemplos de transferência de massa Fonte Çengel e Ghajar 2012 O fenômeno de transferência de massa pode ocorrer entre sólidos líquidos e gases desde que exista uma diferença de concentração da quantidade física em um meio De acordo com a segunda lei da termodinâmica à medida que é observada essa diferença de concentração a natureza tende a redistribuíla forçando o fluxo a partir da região de alta concentração para a de baixa concentração A espécie que é transferida é denominada soluto e as regiões que contêm o soluto e podem abrigar populações de uma ou mais espécies químicas distintas são denominadas solventes O conjunto solutosolvente por sua vez é denominado mistura para gases ou solução para líquidos 90 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Se definirmos a razão entre a quantidade de matéria de uma substância e volume como concentração C então a taxa da substância que ocorre sempre na direção da redução da concentração é definida por Eq 1 em que é o coeficiente de difusão do soluto no solvente ou viceversa A é a área normal à direção do transporte C é a concentração x é a direção do transporte da substância e denota o gradiente de concentração da substância na direção x Você deve estar se perguntando se a Eq 1 é da mesma forma que a Lei de Newton da viscosidade estudada em Mecânica dos Fluidos e a Lei de Fourier de transferência de calor estudada na Unidade 1 e eu digo que sim Para facilitar a compreensão de difusão admita um tanque de paredes rígidas divididas em duas partes iguais por uma parede também rígida Admita que esse tanque contenha em um dos lados oxigênio gasoso puro e do outro lado ar 21 de O2 e 79 de N2 As moléculas de O2 e N2 são indicadas por círculos como ilustra a Figura 2 Quando a divisória é removida as moléculas de O2 começam a se difundir no ar enquanto as moléculas de N2 se difundem nas moléculas de O2 como ilustrado na Figura 2 Lembrese de que as constantes de proporcionalidade das leis de Newton e de Fourier foram definidas como uma propriedade de transporte da viscosidade cinemática e condutividade térmica respectivamente Do mesmo modo a constante de proporcionalidade na lei de Fick é definida como outra propriedade de transporte denominada coeficiente de difusão binária ou difusividade mássica denotada por As unidades da difusividade mássica da difusividade térmica e da difusividade da quantidade de movimento viscosidade cinemática apresentam a mesma unidade que no SI é m2 s 91 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Esse processo continua até que concentrações uniformes de N2 e O2 sejam estabelecidas em todo o tanque de modo que o número de moléculas de O2 ou N2 que se desloca através da linha tracejada para a direita seja igual ao número de moléculas que se desloca para esquerda resultando numa transferência líquida nula de N2 e O2 através da linha tracejada Figura 2 Representação de um tanque com O2 e ar e a difusão do O2 em ar Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 De acordo com Çengel e Ghajar 2012 as moléculas na mistura gasosa colidem continuamente umas com as outras e o processo de difusão é fortemente influenciado por esse processo de colisão A colisão de moléculas do mesmo tipo tem pouca consequência uma vez que ambas as moléculas são idênticas e não faz diferença qual molécula atravessa a linha tracejada na Figura 2 Por outro lado as colisões de moléculas de outros tipos contudo influenciam a taxa de difusão Moléculas diferentes podem ter diferentes massas e quantidades de movimento e assim o processo de difusão é determinado por moléculas mais pesadas Os coeficientes de difusão e portanto as taxas de difusão dos gases dependem fortemente da temperatura já que há uma medida de velocidade média das moléculas de gás Por isso as taxas de difusão são mais elevadas para altas temperaturas Você deve ter observado que existe uma relação entre a equação de transferência de calor Lei de Fourier discutida nas Unidades 1 e 2 e a equação de transferência de massa Lei de Fick Nesse sentido a Eq 1 pode ser resolvida para os mesmos tipos de condição de contorno empregados para Lei de Fourier Assim a Eq 1 é uma equação diferencial ordinária de variável separável separando as variáveis e integrando de x 0 onde C C1 onde a concentração é máxima até x onde C C2 onde a concentração é mínima resulta em Eq 2 em que é a espessura do filme onde ocorre a difusão e a unidade de no Sistema Internacional é As Eq 1 e 2 são denominadas lei de Fick da difusão 92 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 1 A purificação de hidrogênio pode ser feita por difusão do gás através de uma chapa de paládio a 600ºC Calcule a quantidade de hidrogênio que passa por hora através de uma chapa de paládio com 6 mm de espessura e área de 025 m2 Assuma que o coeficiente de difusão seja igual a e que as concentrações de hidrogênio dos dois lados da chapa sejam 20 e 04 kg m3 Solução Considerando regime permanente temos que e Aplicando a Eq 2 segue que O bromo é um dos cinco elementos da tabela periódica que se encontra em estado líquido à temperatura ambiente sendo o único não metálico os outros são mercúrio gálio césio e frâncio O líquido é avermelhado instável denso e volátil Evapora facilmente a temperaturas e pressões padrões formando um vapor avermelhado coloração parecida com a do dióxido de nitrogênio que apresenta um forte e desagradável odor O vídeo a seguir ilustra o processo de difusão do bromo gasoso no ar httpwwwyoutubecomwatchvH7QsDs8ZRMINR1 93 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 2 Gás nitrogênio em alta pressão e 298 K é contido em um recipiente cúbico de 2 m de lado feito de borracha natural cujas paredes têm 3 cm de espessura A concentração de nitrogênio nas superfícies interna e externa da borracha são 0067 e 0009 kg m3 respectivamente O coeficiente de difusão do nitrogênio na borracha é de Determine a vazão mássica do nitrogênio por difusão através do recipiente em kg s Solução Considerando regime permanente temos que lembrese de que cada face do cubo tem 4 de área e o cubo apresenta 6 faces e Aplicando a Eq 2 segue que Exemplo 3 Gás hélio He é armazenado em um recipiente esférico de 2 m de diâmetro interno e espessura de 2 cm feito de Pyrex O gás hélio tem coeficiente de difusão no Pyrex a 290 K de e a concentração molar do hélio no Pyrex é de 000069 kmol m3 na superfície interna e desprezível na superfície externa Determine a vazão mássica do hélio por difusão através do recipiente de Pyrex Solução Hélio é um gás nobre de massa molar 4 kg kmol Nesse exemplo temos um tanque esférico de 2 m de diâmetro o que nos fornece que esse recipiente tem área de Considerando regime permanente temos que e aqui estamos admitindo que fora do tanque de armazenamento a concentração de gás Hélio é nula Observe ainda que as concentrações estão expressas em unidades de quantidade de matéria e não em unidades de massa Não há problemas com isso desde que no final efetuemos a conversão da unidade Aplicando a Eq 2 segue que Assim 94 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Nos processos de transferência de massa a força motriz é a diferença de concentração Assim a massa é transferida de uma região de maior concentração para outra região cuja concentração seja menor Se não existe diferença de concentração da espécie entre as diferentes partes do meio então não há transferência de massa 2 DIFUSÃO MÁSSICA A lei de Fick proposta em 1855 é uma lei quantitativa escrita na forma de uma equação diferencial que descreve diversos casos de difusão de matéria em um meio no qual inicialmente não há equilíbrio químico Essa lei afirma que existem situações nas quais há gradiente de concentração de uma dada substância química que por sua vez origina um fluxo mássico dessa substância visando à harmonização e à uniformização da concentração De acordo com a segunda lei da termodinâmica esse fluxo mássico é consequência do movimento aleatório das partículas dessa substância Assim um problema de difusão mássico pode ser entendido como um processo termodinâmico irreversível ou como um processo físico Segundo Çengel e Ghajar 2012 embora a maior concentração da espécie signifique mais moléculas dessa espécie por unidade de volume a concentração da espécie pode ser expressa de várias maneiras como por exemplo em base mássica em base molar e como misturas de gases ideais Sabemos que a densidade de uma substância é a razão entre a massa m da substância e o volume solução V Assim para uma substância i qualquer em uma mistura escrevemos densidade parcial da substância i densidade total da mistura fração mássica da substância na solução Observe que e Observe também que a densidade e a fração mássica de uma dada substância em geral variam com a localização a menos que o gradiente de concentração seja nulo Nesse sentido a lei de Fick da difusão da espécie A na espécie B é expressa matematicamente em base mássica como Eq 3 em que é o fluxo mássico difusivo da espécie A expresso no Sistema Internacional em é o coeficiente de difusão da substância A na substância B 95 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Podemos reescrever a Eq 3 em base molar que denota a quantidade de matéria em kmol por unidade de volume Assim para uma substância i qualquer em uma mistura escrevemos concentração molar parcial da substância i concentração molar total da mistura fração mássica da substância na solução Novamente observe que e A massa m e o número de mols N estão relacionados por meio de em que M é a massa molar da substância A densidade e a concentração molar estão relacionadas entre si por meio das equações para a substância i e para a mistura A massa molar da mistura é calculada por meio da equação As frações mássicas e molares estão relacionadas por meio da equação Nesse sentido a lei de Fick da difusão da espécie A na espécie B é expressa matematicamente em base molar como Eq 4 em que é o fluxo molar difusivo da espécie A expresso no Sistema Internacional em é o coeficiente de difusão da substância A na substância B A Figura 3 apresenta algumas maneiras de expressar a concentração de uma dada espécie em uma mistura binária Figura 3 Diferentes formas de expressar a concentração de espécies em uma mistura binária Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 96 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A analogia entre a transferência de calor e de massa também se aplica às geometrias cilíndricas e esféricas Assim considerando que a transferência de massa seja permanente unidimensional sem reação química e através de um cilindro a lei de Fick é escrita como Eq 5 em que é o coeficiente de difusão do soluto no solvente ou viceversa A é a área normal à direção do transporte C é a concentração r é a direção do transporte da substância e denota o gradiente de concentração da substância na direção r Sabemos que para um cilindro em que r é o raio e L o comprimento do cilindro Substituindo a equação da área do cilindro na Eq 5 separando as variáveis e integrando de onde a concentração é até onde a concentração é segue que Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo segue que Daí segue que a vazão mássica através do cilindro é Eq 6 A Eq 6 pode ser reescrita como Eq 7 ou ainda como Eq 8 97 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A vazão molar em coordenadas cilíndricas é calculada segundo as equações Eq 9 ou ainda como Eq 10 Exemplo 4 Gás nitrogênio puro a 1 atm e 25ºC está fluindo em um tubo de borracha de 10 m de compri mento 3 cm de diâmetro interno e 2 mm de espessura como ilustra a Figura 4 Determine a taxa em que o N2 vaza para fora do tubo considerando que o meio circundante ao tubo é vá cuo que o coeficiente de difusão é e que a solubilidade no gás nitrogênio na borracha seja igual a 000156 Figura 4 Ilustração do exercício Fonte O autor Solução Considerando regime permanente temos que r1 0015 m raio interno r2 0017 m raio externo Como a região está evacuada não há nitrogênio ao redor o que nos permite afirmar que A concentração do gás nitrogênio no sólido na interface é calculada como Assim aplicando a Eq 10 temos 98 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Agora considere a transferência de massa em uma região de casca esférica Sabemos que para uma esfera a área é em que r é o raio da esfera Substituindo a equação da área da esfera na Eq 5 e separando as variáveis temos Agora integrando de onde a concentração é até onde a concentração é segue que Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo segue que Daí segue que a vazão mássica através da esfera é Eq 11 A Eq 11 pode ser reescrita como Eq 12 ou ainda como Eq 13 A vazão molar em coordenadas cilíndricas é calculada segundo a equação Eq 14 ou ainda como Eq 15 99 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 5 Gás hidrogênio é armazenado a 85ºC em um recipiente esférico de raio interno 24 m e raio externo 246 m de raio externo feito de níquel como ilustra a Figura 5 A concentração molar do hidrogênio na superfície interna é 0087 kmol e a concentração molar do hidrogênio na superfície externa é nula O coeficiente de difusão do gás hidrogênio em níquel é Determine a vazão molar do hidrogênio por difusão através do recipiente de níquel Figura 5 Ilustração do exercício Fonte O autor Solução Considerando regime permanente temos que r1 240 m raio interno r2 246 m raio externo Aplicando a Eq 15 segue que 3 O COEFICIENTE DE DIFUSÃO O fator de proporcionalidade da lei de Fick conhecido como difusividade mássica ou coeficiente de difusão é uma propriedade específica do sistema Seu valor depende da pressão do sistema da temperatura e da composição SISSOM PITTS 1979 A unidade de difusividade mássica no Sistema Internacional é m2s que é a mesma da difusividade térmica ou da difusividade da quantidade de movimento também chamada de viscosidade cinemática Em virtude da natureza complexa da difusão de massa os coeficientes de difusão são normalmente determinados experimentalmente A teoria cinética dos gases indica que o coeficiente de difusão para gases diluídos em pressões normais é essencialmente independente da composição da mistura e tende a aumentar com a temperatura T ao passo que diminui com a pressão P de acordo com a equação 100 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Eq 16 A Eq 16 é útil na determinação do coeficiente de difusão de gases em diferentes temperaturas e pressão a partir do conhecimento do coeficiente de difusão em determinada temperatura e pressão Relações mais complicadas que levam em conta os efeitos das colisões moleculares podem ser encontradas em Cremasco 1998 A Tabela 1 apresenta os coeficientes de difusão de alguns gases no ar a 1 atm de pressão para diferentes temperaturas Ao usarmos os coeficientes de difusão apresentados nessa tabela devemos multiplicar o valor por Assim por exemplo o coeficiente de difusão do gás oxigênio a 200 K no ar é m2s Tabela 1 Coeficientes de difusão binária m2s Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 Os valores dos coeficientes de difusão para sólidos e líquidos também podem aumentar com a temperatura ao passo que apresentam uma forte dependência em relação à composição O processo de difusão em fase sólida e líquida é mais complexo de ser estudado que em gases e os coeficientes de difusão são quase que exclusivamente determinados experimentalmente Os coeficientes de difusão binária para diversas misturas binárias de gás e soluções sólidas e líquidos são apresentados nas Tabelas 2 e 3 101 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Tabela 2 Coeficientes de difusão binária para misturas de gases diluídos a 1 atm Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 Tabela 3 Coeficiente de difusão binária de soluções de líquidos diluídos e soluções sólidas a 1 atm Fonte Adaptado de Çengel e Ghajar 2012 A análise das Tabelas 1 2 e 3 nos permite afirmar que i os coeficientes de difusão em geral são mais altos em gases e mais baixos em sólidos Os coeficientes de difusão dos gases são várias ordens de magnitude maiores que os dos líquidos ii os coeficientes de difusão aumentam com a temperatura 102 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 6 O coeficiente de difusão do CO2 no ar a 1 atm e 200 K é m2s Determine o coeficiente de difusão do CO2 no ar a 050 atm e 400 K Solução Vamos considerar que 1 seja a condição inicial 1 atm e 200 K e que 2 seja a condição final 050 atm e 400 K Aplicando a Eq 16 segue que m2s O coeficiente de difusão do carbono através do ferro durante o processo de endurecimento aumenta em 6000 vezes quando a temperatura aumenta de 500ºC para 1000ºC A determinação de coeficientes de transferência de massa constitui um ramo da engenharia de grande interesse O trabalho de Colaço et al 2012 apresenta a determinação do coeficiente de difusão em metais em materiais não convencionais empregando a técnica de difusão em filmes finos por gradientes de concentração O trabalho está disponível em httpswwwscielobrpdfqnv35n7v35n7a14pdf 103 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 4 A CÉLULA DE ARNOLD A Figura 6 ilustra um capilar semipreenchido por líquido puro volátil A Admita que sobre esse líquido exista um filme gasoso estagnado B e que se deseja avaliar o coeficiente de difusão do vapor de A nessa película Figura 6 Ilustração da célula de Arnold Fonte O autor Após um intervalo de tempo considerável notase a variação do nível do líquido a partir do topo do capilar desde Z0 t 0 até Z1 t t1 A equação diferencial que descreve o fluxo mássico de um soluto A desde Z0 até Z1 em um filme de gás estagnado B em um tubo capilar de dimensões infinitas é Eq 17 Note que a Eq 17 é uma EDO de variável separável Assim separando as variáveis e integrando de Z0 onde que é a fração molar na superfície do líquido até Z1 onde que é a fração molar no topo do tubo temos ou ainda Logo o fluxo molar de A na direção z é Eq 18 104 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA em que Z0 é a altura entre o topo da coluna e a superfície do líquido antes de iniciar o processo de difusão de A em B t 0 Z1 é a altura entre o topo da coluna e a superfície do líquido após iniciar o processo de difusão de A em B yAt é a fração molar de A no topo do tubo yAs é a fração molar de A na superfície do líquido C é a concentração molar global na coluna gasosa é o coeficiente de difusão de A em B Em algumas situações de transferência de massa uma das condições de contorno pode moverse com o tempo Nesse caso o modelo pseudoestacionário é empregado pois a difusão varia em pequena quantidade sobre um longo período de tempo Assim o fluxo molar na direção z e em regime pseudoestacionário é expresso como Eq 19 Substituindo a Eq 18 na Eq 19 e fazendo temos que Note que essa equação é uma EDO de variável separável Separando as variáveis e integrando temos A resolução das integrais definidas acima resulta em Eq 20 Note que a Eq 20 determina o tempo final de difusão de A em B em que t é o tempo gasto para o nível da substância A na célula de Arnold passar de para 105 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 7 Um esquema experimental foi montado para a determinação da difusividade mássica de clorofórmio no ar como ilustra a Figura 7 Sabese que em 10 horas a distância entre a superfície do clorofórmio CCl4 e do topo da célula passou de Z0 640 cm t 0 para Z1 684 cm t t1 Considere que no topo da célula escoava ar puro e que na superfície do clorofórmio as condições são de saturação A temperatura e a pressão foram mantidas constantes e iguais a 298 K e 1013 kPa respectivamente Dados pressão de vapor do CCl4 a 298 K é igual a 266 kPa rCCl4 1480 Kgm M CCl4 119 Kg Kmol C 00409 Kmolm3 Figura 7 Ilustração do exercício Fonte O autor Solução Nesse experimento em um intervalo de tempo Dt medese a quantidade de líquido evaporado através da variação do nível dado por DZ Z1 Z0 aqui olhe para a representação da Figura 7 e perceba que o eixo z está invertido para baixo A difusividade do clorofórmio no ar é então determinada pela Eq 20 Temos as seguintes informações uma vez que no topo da célula de Arnold não há CCl4 e que fração mássica na superfície do líquido dentro da célula de Arnold é determinado como segue Vamos fazer ainda as seguintes considerações o ar é insolúvel em clorofórmio regime pseudoestacionário temperatura difusividade e pressão constantes podemos aplicar a Eq 20 como segue 106 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Substituindo os valores temos que Logo a difusividade do clorofórmio no ar é estimada em 107 WWWUNINGABR TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS Olá alunoa Chegamos ao fim dos nossos estudos da disciplina Transferência de Calor e Massa Alguns falarão ufa outros falarão mas já e eu digo que pena Vimos que essa disciplina é uma ciência básica que aborda a taxa de transferência de energia térmica tem ampla aplicação dentro da engenharia que vai de aparelhos domésticos comuns até o envio de homens ao espaço Ao longo do nosso curso estudamos diversas maneiras de efetuar a transferência de calor e algumas de suas aplicações Estudamos também o fenômeno de transferência de massa e percebemos que esse fenômeno é descrito por uma lei empírica semelhante à lei empírica de transferência de calor Eu vou ficando por aqui Lembrese estudar é preciso estudar sempre é fundamental Um forte abraço 108 WWWUNINGABR ENSINO A DISTÂNCIA REFERÊNCIAS ÇENGEL Y A GHAJAR A J Transferência de calor e massa uma abordagem prática 4 ed Porto Alegre McGrawHill 2012 COLAÇO C D et al Coeficientes de difusão de metais em materiais não convencionais agarose e acetato de celulose usados na técnica de difusão em filmes finos por gradientes de concentração Quim Nova s l v 35 n 7 p 13601364 2012 Disponível em httpswwwscielobrpdfqn v35n7v35n7a14pdf Acesso em 29 out 2020 CREMASCO M A Fundamentos de transferência de massa Campinas Editora Unicamp 1998 HOLMANN J P Transferência de calor Porto Alegre McGrawHill 1983 KREITH F BOHN M S Princípios de transferência de calor 6 ed São Paulo Cengage Learning 2011 SISSOM L E PITTS D R Fenômenos de transporte S l Guanabara Dois 1979 SPECHT L P et al Análise da transferência de calor em paredes compostas por diferentes materiais Ambiente Construído Porto Alegre v 10 n 4 outdez 2010 Disponível em https wwwscielobrscielophppidS167886212010000400002scriptsciarttext Acesso em 29 out 2020 SUPERINTERESSANTE Por que a reentrada de naves na atmosfera gera fogo 18 abr 2011 Disponível em httpssuperabrilcombrmundoestranhoporqueareentradade espaconavesnaatmosferagerafogoeatritotaoviolentos Acesso em 29 out 2020 ZILL D G Equações diferenciais com aplicações em modelagem São Paulo Cengage Learning 2016