Manometria: Conceitos e Exemplos de Cálculo

CURSO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS Prof Dr Sergio Arnosti Junior MANOMETRIA 3 MANOMETRIA A pressão atmosférica é medida pelo barômetro Se um tubo cheio de líquido fechado na extremidade inferior e aberto na superior for virado dentro de uma vasilha do mesmo líquido ele descerá até uma certa posição e nela permanecerá em equilíbrio 31 O Barômetro Barômetro de Mercúrio A pressão atmosférica local pode ser medida em qualquer elevação por um barômetro Balanço de forças na coluna de fluido A área da seção transversal do tubo 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐴𝐴 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝐴𝐴 Peso da ColunamgρghA Desprezível 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 Unidades 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎3 𝑎𝑎 𝑠𝑠2 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑎𝑎2 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 760 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌 10330 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎2 1013 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 OBS fluidos com altas densidades possibilitam colunas mais curtas Exemplo 1 No experimento do barômetro nível do mar e temperatura 0 ºC a altura da coluna de mercúrio é 760 mmHg Determine a pressão em Pa g 980665 ms2 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 ρHg T 0ºC 13595 kgm3 h 760 mmHg 076 m 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 13595980665076 10132429 𝑃𝑃𝑃𝑃 101325 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑜𝑜𝑜𝑜 101325 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 Exemplo 2 Qual é altura de uma coluna de água ρ 1000 kgm3 para medir a patm 101325 kPa g 980665 ms2 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜌 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌 101352 1000 980665 1033 1034 𝑚𝑚 Exemplo 3 Mergulhador 10 metros coluna de água 1 patm 32 Medidores de Pressão 321 Manômetro metálico ou de Bourdoun A pressão é medida a partir da deformação de um elemento metálico Quando o tubo está aberto para a atmosfera ele não se deforma e a agulha do mostrador neste estado está calibrada para a leitura zero pressão manométrica No caso da figura abaixo a parte interna do tubo metálico está sujeita à pressão p1 enquanto a externa está à p2 Dessa forma o manômetro indicará não a pressão p1 mas a diferença p1 p2 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑣𝑣𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚𝑣𝑣𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 322 Coluna piezométrica ou piezômetro Consiste num simples tubo de vidro que ligado ao reservatório permite medir diretamente a carga de pressão Três problemas que limitam o uso dos piezômetros a A altura h para pressões elevadas e para líquidos de baixo peso específico será muito alta Exemplo água com pressão de 105 Nm2 e cujo peso específico é 104 Nm3 formará uma coluna h pγ 105104 10 m INVIÁVEL b Não se pode medir pressão de gases pois eles escapam sem formar a coluna h c Não se pode medir pressões efetivas negativas pois nesse caso haverá entrada de ar para o reservatório em vez de haver a formação da coluna h 323 Manômetros com tubo em U A partir do uso do manômetro com a configuração de tubo em U conseguimos corrigir o problema das pressões negativas e de medir a pressão de gases A Figura a mostra um manômetro em U No caso de pressão negativa se ocorrer a coluna de fluido do lado direito ficará abaixo do nível AA A Figura b mostra o mesmo manômetro com a inclusão de um fluido manométrico que em geral é mercúrio A presença do fluido manométrico permite a medida da pressão de gases já que impede que estes escapem O uso de um fluido manométrico de elevado peso específico diminui a altura da coluna que se formaria com um líquido qualquer Os manômetros de tubo em U podem estar ligados a dois reservatórios em vez de ter um dos ramos aberto à atmosfera Neste caso chamamse manômetros diferenciais 324 Equação manométrica É a expressão que permite por meio de um manômetro determinar a pressão de um reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios Pressão no fundo dos dois ramos pγh Teorema de Stevin Pressão se transmite integralmente a todos os pontos do fluido Lei de Pascal Aplicase Pressão no fundo do ramo esquerdo 𝑝𝑝𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝜌1 𝜌2 𝛾𝛾𝑀𝑀𝜌2 Pressão no fundo do ramo direito 𝑝𝑝𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑝𝑝𝐵𝐵 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌4 𝜌3 𝛾𝛾𝑀𝑀𝜌3 Como o fluido está em equilíbrio então a pressão no mesmo nível deve ser a mesma Logo pfepfd 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝜌1 𝜌2 𝛾𝛾𝑀𝑀𝜌2 𝑝𝑝𝐵𝐵 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌4 𝜌3 𝛾𝛾𝑀𝑀𝜌3 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝜌1 𝜌2 𝛾𝛾𝑀𝑀𝜌2 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌4 𝜌3 𝛾𝛾𝑀𝑀𝜌3 𝑝𝑝𝐵𝐵 OU OBS cada peso específico aparece multiplicado pela respectiva altura da coluna sem necessidade de adotar como referência o fundo Regra Prática Começando do lado esquerdo somase à pressão pA a pressão das colunas descendentes e subtraise aquela das colunas ascendentes Notar que as cotas são sempre dadas até a superfície de separação de dois fluidos do manômetro 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝛾𝛾1𝜌1 𝛾𝛾2𝜌2 𝛾𝛾3𝜌3 𝛾𝛾4𝜌4 𝛾𝛾5𝜌5 𝛾𝛾6𝜌6 𝑝𝑝𝐵𝐵 Exemplos de Medidas de Pressão usando Colunas de Fluidos Medidas de Pressão em Tubos Medidas de Perda de Carga Medidas de Velocidade e Vazão Tubo de Pitot Medidor Venturi 325 Micromanômetros Os micromanômetros usualmente usam dois tipos de líquidos no intuito de melhorar a precisão das medidas de diferenças de pressão Uma pequena diferença de pressão acarretaria em um grande desnível p1 p2 p1 p2 h1 h2 h3 h32 h32 Δy Δy γC γA γB Nível inicial do fluido B Nível inicial do fluido C área de seção do reservatório AR área de seção do tubo AT O volume de líquido deslocado em cada reservatório deverá ser igual ao deslocamento do tubo em U 𝑦𝑦𝐴𝐴𝑅𝑅 𝜌3 2 𝐴𝐴𝑇𝑇 A equação manométrica partindo de 1 pode ser escrita 𝑝𝑝1 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝜌1 𝑦𝑦 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌2 𝑦𝑦 𝜌3 2 𝜌3𝛾𝛾𝐶𝐶 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌2 𝑦𝑦 𝜌3 2 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝜌1 𝑦𝑦 𝑝𝑝2 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝜌1 𝑦𝑦 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌2 𝑦𝑦 𝜌3 2 𝜌3𝛾𝛾𝐶𝐶 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌2 𝑦𝑦 𝜌3 2 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝜌1 𝑦𝑦 Isolando Δy e substituindo na equação manométrica 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 2𝛾𝛾𝐴𝐴𝑦𝑦 2𝛾𝛾𝐵𝐵𝑦𝑦 2𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌3 2 𝜌3𝛾𝛾𝐶𝐶 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 2𝛾𝛾𝐴𝐴 𝜌3 2 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝐴𝐴𝑅𝑅 2𝛾𝛾𝐵𝐵 𝜌3 2 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝐴𝐴𝑅𝑅 𝛾𝛾𝐵𝐵𝜌3 𝜌3𝛾𝛾𝐶𝐶 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝜌3 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝐴𝐴𝑅𝑅 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝐴𝐴𝑅𝑅 𝛾𝛾𝐵𝐵 𝛾𝛾𝐶𝐶 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝜌3 𝛾𝛾𝐶𝐶 𝛾𝛾𝐵𝐵 1 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝐴𝐴𝑅𝑅 𝛾𝛾𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝐴𝐴𝑅𝑅 326 Manômetros de base inclinada Nesse tipo de manômetro a inclinação faz com que se obtenha um aumento de sensibilidade h2 𝜌2 𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 A a h1 𝑉𝑉1 𝑉𝑉2 𝜌1𝐴𝐴 𝐿𝐿𝑃𝑃 𝜌1 𝜋𝜋𝐷𝐷2 4 𝐿𝐿 𝜋𝜋𝑑𝑑2 4 𝜌1 𝐿𝐿 𝑑𝑑 𝐷𝐷 2 h 𝜌 𝜌1 𝜌2 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝛾𝛾 𝐿𝐿 𝑑𝑑 𝐷𝐷 2 𝐿𝐿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝑝𝑝1 𝛾𝛾𝜌 𝑝𝑝2 𝑝𝑝1 𝛾𝛾 𝜌1 𝜌2 𝑝𝑝2 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝛾𝛾𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝐷𝐷 2 Se Dd 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝛾𝛾𝐿𝐿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 Exemplo 4 Dado o esquema da figura a Qual a leitura no manômetro metálico b Qual é a força que age sobre o topo do reservatório a Determinação de pM na escala efetiva patm 0 γAR pequeno qdo comparado ao de líquidos efeito da coluna desprezível 𝑝𝑝𝑀𝑀 𝛾𝛾𝑣𝑣𝜌𝑣𝑣 𝛾𝛾𝐻𝐻2𝑂𝑂𝜌𝐻𝐻2𝑂𝑂 𝛾𝛾𝐻𝐻2𝑂𝑂Lsen30 0 pelo teorema de Stevin a pressão independe da distância dependendo somente da diferença de cotas 𝑝𝑝𝑀𝑀 𝛾𝛾𝐻𝐻2𝑂𝑂Lsen30 𝜌𝐻𝐻2𝑂𝑂 𝛾𝛾𝑣𝑣𝜌𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑀𝑀 10000 06𝑥𝑥𝑥5 02 8𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥1 𝑝𝑝𝑀𝑀 200 𝑁𝑁 𝑚𝑚2 b Força no topo do tanque FT Por definição 𝐹𝐹𝑇𝑇 𝑝𝑝𝑀𝑀 𝐴𝐴 200 𝑥𝑥 10 2000 𝑁𝑁 Exemplo 5 Na barragem abaixo o fluido é a água ρ1000 kgm3 Determine a pressão manométrica nas profundidades 1 2 3 4 e 5 m e mostre a grandeza dos vetores da pressão agindo na barragem com a profundidade g 981 ms2 Exemplo 6 A figura abaixo mostra um tanque de óleo aberto para a atmosfera de um lado e uma pequena parte com ar confinado do outro lado O óleo tem uma massa específica relativa de 09 Calcule as pressões manométricas nos pontos A B C D e E g 981 ms2 𝜌𝜌𝑣𝑣𝑚𝑚𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑖𝑖𝑣𝑣𝑎𝑎 𝜌𝜌ó𝑟𝑟𝑚𝑚𝑣𝑣 𝜌𝜌á𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎 à 4𝐶𝐶 𝜌𝜌ó𝑟𝑟𝑚𝑚𝑣𝑣 09 𝑥𝑥 1000 900 𝑘𝑘𝜌𝜌𝑚𝑚3 Ponto A está na superfície do fluido exposto a atmosfera pA 0 Pa Pmanométrica Ponto B Ponto a 3 m de profundidade pB ρ g h 900 981 3 264870 Pa Ponto C Ponto a 6 m de profundidade pC ρ g h 900 981 6 529740 Pa Ponto D Mesmo nível do ponto B pD pB 264870 Pa Ponto F O ponto está 15 m acima do ponto A PF ρ g h 900 981 15 132435 Pa Ponto E Mesmo nível do ponto A pE pA 0 Pa OBS o ponto F só pode ficar acima do ponto A se há pressão negativa vácuo parcial no ar confinado Exemplo 7 Determinar a pressão manométrica e a pressão absoluta no ponto A g981 ms2 patm 101325 kPa na escala efetiva patm 0 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝜌𝜌á𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎𝜌𝜌 𝜌1 𝜌2 𝜌𝜌𝐻𝐻𝑘𝑘𝜌𝜌 𝜌2 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 pmanométrica 0 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝜌𝜌á𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎𝜌𝜌 𝜌1 𝜌2 𝜌𝜌𝐻𝐻𝑘𝑘𝜌𝜌 𝜌2 𝑝𝑝𝐴𝐴 1000 981 015 025 13540 981 025 𝑝𝑝𝐴𝐴 2928285 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑃𝑃𝑠𝑠 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠 2928285 101325 13060725 𝑃𝑃𝑃𝑃 130608 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 sendo Exemplo 8 Determine a diferença de pressão pApB no manômetro abaixo g981 ms2 h2 h1 011 m 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝜌𝜌Ó𝑟𝑟𝑚𝑚𝑣𝑣𝜌𝜌 𝜌1 𝜌2 𝜌𝜌á𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎𝜌𝜌 𝜌2 𝜌𝜌Ó𝑟𝑟𝑚𝑚𝑣𝑣𝜌𝜌 𝜌1 𝑝𝑝𝐵𝐵 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑝𝑝𝐵𝐵 𝜌𝜌Ó𝑟𝑟𝑚𝑚𝑣𝑣𝜌𝜌 𝜌1 𝜌2 𝜌𝜌á𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎𝜌𝜌 𝜌2 𝜌𝜌Ó𝑟𝑟𝑚𝑚𝑣𝑣𝜌𝜌 𝜌1 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑝𝑝𝐵𝐵 860 981 011 075 1000 981 075 860 981 011 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑝𝑝𝐵𝐵 1030 05 𝑃𝑃𝑃𝑃 Exemplo 9 Determinar a equação pApB do manômetro diferencial abaixo 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝜌𝜌1𝜌𝜌 𝜌1 𝜌2 𝜌𝜌2𝜌𝜌 𝜌1 𝜌𝜌3𝜌𝜌 𝜌2 𝜌3 𝑝𝑝𝐵𝐵 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑝𝑝𝐵𝐵 𝜌𝜌1𝜌𝜌 𝜌1 𝜌2 𝜌𝜌2𝜌𝜌 𝜌1 𝜌𝜌3𝜌𝜌 𝜌2 𝜌3 Exemplo 10 Os reservatórios abertos mostrados na figura abaixo são ligados por um manômetro de mercúrio Admitindo conhecidos os valores de ρA ρB ρHg h1 h2 e h3 calcule o valor da massa específica do fluido contido no reservatório B h1 h2 h3 g Observar que as alturas h aqui estão num eixo e referem se a cotas 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝐴𝐴𝜌𝜌 𝜌3 𝜌2 𝜌𝜌𝐻𝐻𝑘𝑘𝜌𝜌 𝜌2 𝜌1 𝜌𝜌𝐵𝐵𝜌𝜌 𝜌3 𝜌1 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 mercúrio 𝜌𝜌𝐵𝐵 𝜌𝜌𝐴𝐴 𝜌3 𝜌2 𝜌𝜌𝐻𝐻𝑘𝑘 𝜌2 𝜌1 𝜌3 𝜌1 patm Exemplo 11 Um cilindro com área de seção transversal A contém água líquida com massa específica ρ até a altura H O cilindro apresenta um pistão inferior que pode ser movido pela ação do ar Deduza equação para a pressão do ar em função de h Observar que as alturas h aqui estão num eixo e referem se a cotas Balanço de forças no pistão 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐴𝐴 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑚𝑚 𝜌 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐴𝐴 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑚𝑚 𝜌 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑚𝑚 𝜌 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑚𝑚 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 y b a x Traçar a curva p x h Para h0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑚𝑚 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 Para hH 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑚𝑚 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 Equação linear a inclinação da reta b interseção no eixo x Exemplo 12 Os cilindros A e B contém um gás e estão conectados por uma Tubulação As áreas das seções transversais são AA 75 cm2 e AB 25 cm2 A massa do pistão A é 25 kg e a pressão ambiente é 100 kPa e g981 ms2 Calcule a massa do pistão B de modo que nenhum dos pistões fique apoiado nas superfícies inferiores dos cilindros A solução é baseada no fato de que dois reservatórios ligados por um gás tem a mesma pressão as diferenças de coluna de fluido são mínimas pA pB pA pB 𝑝𝑝𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝐴𝐴𝜌𝜌 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝐴𝐴𝜌𝜌 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑝𝑝𝐴𝐴 100000 25 981 75 𝑥𝑥 104 132700 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑝𝑝𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑚𝑚𝐵𝐵𝜌𝜌 𝑝𝑝𝐵𝐵 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝐵𝐵𝜌𝜌 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑝𝑝𝐵𝐵 100000 𝑚𝑚𝐵𝐵 981 25 𝑥𝑥 104 132700 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑝𝑝𝐴𝐴 Balanço de forças no pistão A mB 833 kg Caminho alternativo mais curto para solução do problema 𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑝𝑝𝐵𝐵 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝐴𝐴𝜌𝜌 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝐵𝐵𝜌𝜌 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑚𝑚𝐵𝐵 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 25 25 75 833 𝑘𝑘𝜌𝜌