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Engenharia da Computação ·
Geometria Analítica
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ESAMC Regime especial 202302 Prof Diogo Cirulli Parte 01 Matrizes e determinantes 1 Calcule o determinante das matrizes abaixo 2 Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer Parte 02 Geometria analítica 1 Calcule a distância entre os pontos a seguir a 23 e 47 b 45 e 2 4 c 6 8 e 0 0 2 Calcule o ponto médio dos segmentos cujos pontos extremos são a 23 e 47 b 45 e 2 4 c 6 8 e 0 0 3 Calcule o baricentro dos triângulos formados pelos vértices a 11 23 e 47 b 11 45 e 2 4 c 11 6 8 e 0 0 4 Determine a equação reduzida das retas que passam pelos pontos a 0 3 e 45 b 0 2 e 3 8 c 3 1 e 3 10 d 0 5 e 3 5 5 Encontre o ponto de interseção entre as retas a seguir a y 3x 2 e y 5x 1 b y 2x 4 e y 3x 1 c y x 2 e y x 4 6 Determine a equação da reta paralela à reta y 2x 1 que passa pelo ponto médio do segmento AB onde A 1 1 e B 2 3 7 Uma reta que passa pela intersecção das retas 7x 2y 0 e 4x y 1 é perpendicular à reta 3x 8y 19 Determine a equação 8 Encontre a equação reduzida da circunferência com os centros e raios indicados a seguir a C00 e R 1 b C34 e R 5 c C22 e R 2 Parte 03 Vetores 1 Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente a 23 34 b 1253 c 1 01 0 01 2 Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a b e c a a 106 b 238 c 856 b a 2i 3j 2k b i j c 2i 3k 3 Encontre a b 60 a a 25 b 31 b a 2 8 b 6 4 c a 4 7 1 b 2 1 4 d a 1 2 3 b 2 8 6 e a 2i 3j 4k b i 3j k f a i k b i 2j Parte 04 TESTES GERAIS 1 Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante de A é 2 calcule o valor do determinante da matriz 3A a 8 b 54 c 27 d 18 e 2 2 Considerando a matriz quadrada A abaixo e detA seu determinante calcule o valor de 5detA a 10 b 140 c 270 d 130 e 35 3 A reta r de equação 6x 8y 48 0 intersecta os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q Desse modo a distância em uc de P a Q é igual a a 7 b 8 c 10 d 14 e 18 4 A distância entre o centro da circunferência de equação x 2² y 5² 9 e a reta de equação 2y 5x 0 é a 5 b 0 c 2 d 5 e 9 5 A distância entre o ponto P35 e a reta r de equação x 2y 8 0 é igual a a 5 b 3 c 2 d 5 e 3 6 Considere as equações I 2x y 5 0 II 5x 2y 4 0 III 5x 2y 4 0 IV 4x 2y 7 0 Qual das afirmações é verdadeira a II e III representam retas coincidentes b I e III representam retas perpendiculares c II e III representam retas paralelas d I e IV representam retas paralelas e I e III representam retas paralelas 7 Dada a circunferência de equação x² y² 6x 10y 30 0 seja P seu ponto de ordenada máxima A soma das coordenadas de P é a 10 b 105 c 11 d 115 e 1 8 Considere a circunferência C dada pela equação x² y² 4x 5 0 O raio desta circunferência é a 3 b 4 c 5 d 6 e 7 9 Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD Se A 2 3 e C 0 5 a área de ABCD em unidades de área é a 4 b 4 2 c 8 d 8 2 e 16 10 O ponto B 3 b é equidistante dos pontos A 6 0 e C 0 6 Logo o ponto B é a 31 b 36 c 33 d 32 e 30 11 A equação da reta mostrada na figura a seguir é a 3x 4y 12 0 b 3x 4y 12 0 c 4x 3y 12 0 d 4x 3y 12 0 e 4x 3y 12 0 12 As retas x ay 3 0 e 2x y 5 0 são paralelas se a vale a 2 b 05 c 05 d 2 e 8 13 Dados os vetores calcule a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 14 Dados os pontos A2 1 1 B3 0 1 e C2 1 3 determinar o ponto D tal que a D4 1 1 b D4 1 1 c D4 1 1 d D4 1 1 e D011 Parte 01 1 a 3 1 4 2 det 3 1 4 2 4 6 10 logo det 10 b 1 3 4 5 2 3 1 4 2 det 1 3 4 5 2 3 1 4 2 8 12 30 4 9 80 49 logo det 49 c 1 4 6 0 2 5 0 0 3 det 1 4 6 0 2 5 0 0 3 0 0 0 6 0 0 6 logo det 6 d 1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3 L2 L2 3L1 L3 L3 2L1 1 3 2 0 0 8 6 2 0 3 4 1 0 2 1 3 L3 L3 38L2 L4 L4 14L2 1 3 2 0 0 8 6 2 0 0 74 94 0 0 42 72 L4 L4 27L3 1 3 2 0 0 8 6 2 0 0 74 14 0 0 0 247 Agora que temos a matriz na forma escada det 1 8 74 247 48 e 0 a b 1 0 1 0 0 a a 0 b 1 b a 0 L3 L1 a a 0 b 0 1 0 0 0 a b 1 1 b a 0 L4 L4 1aL1 L3 L3 aL2 a a 0 b 0 1 0 0 0 0 b 1 0 b1 a ba L4 L4 b1L1 a a 0 b 0 1 0 0 0 0 b 1 0 0 a ba L4 L4 abL3 a a 0 b 0 1 0 0 0 0 b 1 0 0 0 a2 b2ab Agora que temos a matriz na forma escada det a 1 b a2 b2ab a2 b2 f 1 2 3 4 5 0 a 1 2 3 0 0 b 1 2 0 0 0 c 1 0 0 0 0 d Nessa situação temos a matriz na forma escada det 1abcd abcd 2 a 2x y 2z 4 x 2y z 1 3x 5y 2z 1 Fazendo a matriz dos coeficientes 2 1 2 1 2 1 3 5 2 Calculando o determinante Δ 2 1 2 1 2 1 3 5 2 12 10 2 8 3 10 3 Δ 3 Para Δ1 4 1 2 1 2 1 1 5 2 Δ1 4 20 2 16 1 10 15 Para Δ2 2 4 2 1 1 1 3 1 2 Δ2 6 2 8 4 12 2 6 Para Δ3 2 1 4 1 2 1 3 5 9 Δ3 24 10 1 4 3 20 6 logo temos x Δ1Δ 153 5 y Δ2Δ 63 2 z Δ3Δ 63 2 x 5 y 2 e z 2 b x 3y z 0 2y 2z 0 x y z 0 Fazendo a matriz dos coeficientes 1 3 1 0 2 2 1 1 1 Calculando o determinante Δ 1 3 1 1 3 0 2 2 0 2 1 1 1 1 1 Δ 2 2 0 2 6 0 8 Para Δ1 0 3 1 0 2 2 0 1 1 Como temos uma coluna de zeros então Δ1 det 0 Para Δ2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 Como temos uma coluna de zeros então Δ2 det 0 Para Δ3 1 3 0 0 2 0 1 1 0 Como temos uma coluna de zeros então Δ3 det 0 logo x Δ1Δ 08 0 y Δ2Δ 08 z Δ3Δ 0 x y z 0 c x y z 0 2x y z 1 3x y z 1 Fazendo a matriz dos coeficientes 1 1 1 2 1 1 3 1 1 Calculando o determinante Δ 1 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 3 2 8 Para Δ1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Δ1 1 0 1 0 1 1 2 Para Δ2 1 0 1 2 1 1 3 1 1 Δ2 3 1 0 1 0 2 1 Para Δ3 1 1 0 2 1 2 3 1 3 Δ3 0 1 2 1 3 0 3 logo x Δ1Δ 28 14 y Δ2Δ 18 z Δ3Δ 38 Então x 14 y 18 e z 38 Parte 02 1 a 23 e 47 d sqrt422 732 d sqrt22 42 d sqrt4 16 d sqrt20 b 45 e 24 d sqrt242 452 d sqrt62 92 d sqrt36 81 d sqrt117 c 68 e 00 d sqrt062 082 d sqrt62 82 d sqrt36 64 d sqrt100 10 2 a 23 e 47 xM yM 422 732 xM yM 62 102 35 b 45 e 24 xM yM 242 452 xM yM 22 12 1 12 c 68 e 00 xM yM 062 082 xM yM 62 82 34 3 a 11 23 e 47 xB yB 1243 1373 xB yB 73 113 b 11 45 e 24 xB yB 1423 1543 xB yB 1 23 c 11 68 e 00 xB yB 1603 1803 xB yB 73 3 4 a 03 e 45 Sabendo que m m ΔyΔx y2 y1 x2 x1 5340 24 12 Como a equação da reta é dada por y mx b y 12 x b Substituindo um ponto 03 3 12 0 b b 3 logo y 12 x 3 b 02 e 38 Sabendo que m m ΔyΔx y2 y1 x2 x1 8 2 3 0 103 Como a equação da reta é dada por y mx b y 103 x b Substituindo um ponto 02 2 103 0 b b 2 logo y 103 x 2 c 31 e 310 Para os pontos dados vemos que a reta é do tipo logo temos que a equação da reta é x 3 d 05 e 35 Sabendo que m m ΔyΔx y2 y1 x2 x1 5 5 0 3 0 Como a equação da reta é dada por y mx b y 0x b Substituindo um ponto 05 5 00 b b 5 logo y 5 5 a y1 3x 2 e y2 5x 1 Para encontrar o ponto de interseção fazemos y1 y2 3x 2 5x 1 2 1 5x 3x 1 2x x 12 Substituindo em uma das equações y 312 2 72 logo o ponto de interseção 12 72 b y1 2x 4 e y2 3x 1 Para encontrar o ponto de interseção fazemos y1 y2 2x 4 3x 1 4 1 3x 2x 3 5x x 35 Substituindo em uma das equações y 335 1 145 logo o ponto de interseção 35 145 c y1 x 2 e y2 x 4 Para encontrar o ponto de interseção fazemos y1 y2 x 2 x 4 x x 4 2 0 6 Vemos que chegamos em um resultado falso Logo não existe interseção entre as retas 6 y 2x 1 A 1 1 e B 2 3 Como a reta é paralela então m 2 Para encontrar o ponto médio xm ym 1 22 1 32 32 1 Sabendo que a equação é dada por yy0 mxx0 y1 2 x 32 y1 2x 3 y 2x 2 7 Como a reta passa na interseção das retas então 7x 2y 0 y1 72 x 4x y 1 y2 4x 1 y1 y2 72 x 4x 1 7x2 4x 1 x 2 Substituindo em uma das eq y 722 7 Então a reta passa no ponto 27 Sabemos que a reta é perpendicular a reta 3x 8y 19 y 3x8 198 Então o coeficiente angular da nova reta é o inverso negativo logo m 83 Sendo a equação da reta y y0 m xx0 y 7 83 x 2 y 8x3 163 7 y 8x3 53 8 a C00 e R1 Sabendo que a equação da circunferência é dada por xxc2 yyc2 R2 logo x02 y02 12 x2 y2 1 b C34 e R5 Sabendo que a equação da circunferência é dada por xxc2 yyc2 R2 logo x32 y42 52 x32 y42 25 c C22 e R2 Sabendo que a equação da circunferência é dada por xxc2 yyc2 R2 logo x22 y22 22 x22 y22 4 Parte 03 1 a 23 34 23 34 5 1 b 12 53 15 23 4 5 c 101 001 10 00 11 1 0 2 2 a 106 b 238 e c 856 Sabemos que o volume é dado por V a b c V 1 0 6 2 3 8 8 5 6 V 216 40 0 18 0 60 226 uv b a 2i 3j 2k 2 3 2 b i j 1 1 0 c 2i 3k 2 0 3 V 2 3 2 1 1 0 2 0 3 V4 0 9 6 0 0 11 uv 3 a a 2 5 e b 3 1 2 53 1 23 51 6 5 1 b a 2 8 e b 6 4 2 86 4 26 84 12 32 20 c a 4 7 1 e b 2 1 4 4 7 1214 42 71 14 8 7 4 5 d a 1 2 3 e b 2 8 6 1 2 3286 12 28 36 2 16 18 0 e a 2 3 4 e b 1 3 1 2 3 41 3 1 21 33 41 2 9 4 11 f a 1 0 1 e b 1 2 0 1 0 11 2 0 11 02 10 1 Parte 04 1 det3A 33 detA det3A 27 2 54 Alternativa B 2 A 7 13 2 4 det A 26 28 54 logo 5 det A 5 54 270 Alternativa C 3 6x 8y 48 0 Isolando y y 6x8 488 y 3x4 6 Quando x 0 y 34 0 6 y 6 logo um ponto é 06 Quando y 0 0 34 x 6 x 8 o outro ponto é 80 Fazendo a distancia entre os pontos d PQ 082 602 d PQ 82 62 100 10 Alternativa C 4 x22 y52 9 e 2y 5x 0 Pela equação vemos que o centro da circunferência é C 25 Podemos usar a fórmula de distância d axc b yc c a2 b2 d 52 2 5 0 52 22 d 10 10 29 0 Alternativa B 5 P 35 e x 2y 8 0 Podemos usar a fórmula de distância d axc byc c a2 b2 d 13 25 8 12 22 d 55 55 5 Alternativa D 6 Alternativa D 7 x2 y2 6x 10y 30 0 Colocando na forma reduzida x 32 y 52 22 C 35 e R 2 A coordenada da ordenada máxima é P xc yc R P 3 5 2 37 3 7 10 Alternativa A 8 x² y² 4x 5 0 Colocando na forma reduzida x² 4x y² 5 0 x 2² 4 y 0² 5 0 x 2² y 0² 9 x 2² y 0² 3² logo R 3 Alternativa A 9 A 23 e C 05 dAC Fazendo dA C 0 2² 5 3² dA C 4 4 8 dA C 8 22 Sabemos que a diagonal em função do lado é L dAC 2 22 2 2 logo A L² 2² 4 Alternativa A 10 B 3b A 60 e C 06 Sabemos que dBA dBC 36² b0² 30² b6² 9 b² 9 b6² b² b² 12b 36 b 36 12 3 logo B 33 Alternativa C 11 Sabemos que a equação da reta é y mx b b é o ponto onde o gráfico toca o eixo y b 3 Então y mx 3 Vemos que quando y 0 x 4 0 4m 3 m 3 4 logo y 3 4 x 3 ou 3x 4y 12 0 Alternativa B 12 x ay 3 0 e 2x y 5 0 Organizando as equações x ay 3 0 y xa 3 2x y 5 0 y 2x 5 Para ser paralelas 1a 2 a 12 05 Alternativa B 13 u 3 1 2 v 2 4 1 e w 1 0 1 u v w 3 1 2 3 1 2 4 1 1 0 u v w 8 0 2 12 1 0 5 Alternativa E 14 A 2 1 1 B 3 0 1 e C 2 1 3 BC 2 1 3 3 0 1 1 1 4 AC 2 1 3 2 1 1 0 2 2 BC x AC i j k 1 1 4 0 2 2 BC x AC 0 8i 2j 2i 0 2k 6 2 2 logo AD 14 2 2 x y z 2 1 1 6 2 2 x 2 6 x 4 y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 logo D 4 1 1 Alternativa A
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ESAMC Regime especial 202302 Prof Diogo Cirulli Parte 01 Matrizes e determinantes 1 Calcule o determinante das matrizes abaixo 2 Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer Parte 02 Geometria analítica 1 Calcule a distância entre os pontos a seguir a 23 e 47 b 45 e 2 4 c 6 8 e 0 0 2 Calcule o ponto médio dos segmentos cujos pontos extremos são a 23 e 47 b 45 e 2 4 c 6 8 e 0 0 3 Calcule o baricentro dos triângulos formados pelos vértices a 11 23 e 47 b 11 45 e 2 4 c 11 6 8 e 0 0 4 Determine a equação reduzida das retas que passam pelos pontos a 0 3 e 45 b 0 2 e 3 8 c 3 1 e 3 10 d 0 5 e 3 5 5 Encontre o ponto de interseção entre as retas a seguir a y 3x 2 e y 5x 1 b y 2x 4 e y 3x 1 c y x 2 e y x 4 6 Determine a equação da reta paralela à reta y 2x 1 que passa pelo ponto médio do segmento AB onde A 1 1 e B 2 3 7 Uma reta que passa pela intersecção das retas 7x 2y 0 e 4x y 1 é perpendicular à reta 3x 8y 19 Determine a equação 8 Encontre a equação reduzida da circunferência com os centros e raios indicados a seguir a C00 e R 1 b C34 e R 5 c C22 e R 2 Parte 03 Vetores 1 Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente a 23 34 b 1253 c 1 01 0 01 2 Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a b e c a a 106 b 238 c 856 b a 2i 3j 2k b i j c 2i 3k 3 Encontre a b 60 a a 25 b 31 b a 2 8 b 6 4 c a 4 7 1 b 2 1 4 d a 1 2 3 b 2 8 6 e a 2i 3j 4k b i 3j k f a i k b i 2j Parte 04 TESTES GERAIS 1 Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante de A é 2 calcule o valor do determinante da matriz 3A a 8 b 54 c 27 d 18 e 2 2 Considerando a matriz quadrada A abaixo e detA seu determinante calcule o valor de 5detA a 10 b 140 c 270 d 130 e 35 3 A reta r de equação 6x 8y 48 0 intersecta os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q Desse modo a distância em uc de P a Q é igual a a 7 b 8 c 10 d 14 e 18 4 A distância entre o centro da circunferência de equação x 2² y 5² 9 e a reta de equação 2y 5x 0 é a 5 b 0 c 2 d 5 e 9 5 A distância entre o ponto P35 e a reta r de equação x 2y 8 0 é igual a a 5 b 3 c 2 d 5 e 3 6 Considere as equações I 2x y 5 0 II 5x 2y 4 0 III 5x 2y 4 0 IV 4x 2y 7 0 Qual das afirmações é verdadeira a II e III representam retas coincidentes b I e III representam retas perpendiculares c II e III representam retas paralelas d I e IV representam retas paralelas e I e III representam retas paralelas 7 Dada a circunferência de equação x² y² 6x 10y 30 0 seja P seu ponto de ordenada máxima A soma das coordenadas de P é a 10 b 105 c 11 d 115 e 1 8 Considere a circunferência C dada pela equação x² y² 4x 5 0 O raio desta circunferência é a 3 b 4 c 5 d 6 e 7 9 Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD Se A 2 3 e C 0 5 a área de ABCD em unidades de área é a 4 b 4 2 c 8 d 8 2 e 16 10 O ponto B 3 b é equidistante dos pontos A 6 0 e C 0 6 Logo o ponto B é a 31 b 36 c 33 d 32 e 30 11 A equação da reta mostrada na figura a seguir é a 3x 4y 12 0 b 3x 4y 12 0 c 4x 3y 12 0 d 4x 3y 12 0 e 4x 3y 12 0 12 As retas x ay 3 0 e 2x y 5 0 são paralelas se a vale a 2 b 05 c 05 d 2 e 8 13 Dados os vetores calcule a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 14 Dados os pontos A2 1 1 B3 0 1 e C2 1 3 determinar o ponto D tal que a D4 1 1 b D4 1 1 c D4 1 1 d D4 1 1 e D011 Parte 01 1 a 3 1 4 2 det 3 1 4 2 4 6 10 logo det 10 b 1 3 4 5 2 3 1 4 2 det 1 3 4 5 2 3 1 4 2 8 12 30 4 9 80 49 logo det 49 c 1 4 6 0 2 5 0 0 3 det 1 4 6 0 2 5 0 0 3 0 0 0 6 0 0 6 logo det 6 d 1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3 L2 L2 3L1 L3 L3 2L1 1 3 2 0 0 8 6 2 0 3 4 1 0 2 1 3 L3 L3 38L2 L4 L4 14L2 1 3 2 0 0 8 6 2 0 0 74 94 0 0 42 72 L4 L4 27L3 1 3 2 0 0 8 6 2 0 0 74 14 0 0 0 247 Agora que temos a matriz na forma escada det 1 8 74 247 48 e 0 a b 1 0 1 0 0 a a 0 b 1 b a 0 L3 L1 a a 0 b 0 1 0 0 0 a b 1 1 b a 0 L4 L4 1aL1 L3 L3 aL2 a a 0 b 0 1 0 0 0 0 b 1 0 b1 a ba L4 L4 b1L1 a a 0 b 0 1 0 0 0 0 b 1 0 0 a ba L4 L4 abL3 a a 0 b 0 1 0 0 0 0 b 1 0 0 0 a2 b2ab Agora que temos a matriz na forma escada det a 1 b a2 b2ab a2 b2 f 1 2 3 4 5 0 a 1 2 3 0 0 b 1 2 0 0 0 c 1 0 0 0 0 d Nessa situação temos a matriz na forma escada det 1abcd abcd 2 a 2x y 2z 4 x 2y z 1 3x 5y 2z 1 Fazendo a matriz dos coeficientes 2 1 2 1 2 1 3 5 2 Calculando o determinante Δ 2 1 2 1 2 1 3 5 2 12 10 2 8 3 10 3 Δ 3 Para Δ1 4 1 2 1 2 1 1 5 2 Δ1 4 20 2 16 1 10 15 Para Δ2 2 4 2 1 1 1 3 1 2 Δ2 6 2 8 4 12 2 6 Para Δ3 2 1 4 1 2 1 3 5 9 Δ3 24 10 1 4 3 20 6 logo temos x Δ1Δ 153 5 y Δ2Δ 63 2 z Δ3Δ 63 2 x 5 y 2 e z 2 b x 3y z 0 2y 2z 0 x y z 0 Fazendo a matriz dos coeficientes 1 3 1 0 2 2 1 1 1 Calculando o determinante Δ 1 3 1 1 3 0 2 2 0 2 1 1 1 1 1 Δ 2 2 0 2 6 0 8 Para Δ1 0 3 1 0 2 2 0 1 1 Como temos uma coluna de zeros então Δ1 det 0 Para Δ2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 Como temos uma coluna de zeros então Δ2 det 0 Para Δ3 1 3 0 0 2 0 1 1 0 Como temos uma coluna de zeros então Δ3 det 0 logo x Δ1Δ 08 0 y Δ2Δ 08 z Δ3Δ 0 x y z 0 c x y z 0 2x y z 1 3x y z 1 Fazendo a matriz dos coeficientes 1 1 1 2 1 1 3 1 1 Calculando o determinante Δ 1 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 3 2 8 Para Δ1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Δ1 1 0 1 0 1 1 2 Para Δ2 1 0 1 2 1 1 3 1 1 Δ2 3 1 0 1 0 2 1 Para Δ3 1 1 0 2 1 2 3 1 3 Δ3 0 1 2 1 3 0 3 logo x Δ1Δ 28 14 y Δ2Δ 18 z Δ3Δ 38 Então x 14 y 18 e z 38 Parte 02 1 a 23 e 47 d sqrt422 732 d sqrt22 42 d sqrt4 16 d sqrt20 b 45 e 24 d sqrt242 452 d sqrt62 92 d sqrt36 81 d sqrt117 c 68 e 00 d sqrt062 082 d sqrt62 82 d sqrt36 64 d sqrt100 10 2 a 23 e 47 xM yM 422 732 xM yM 62 102 35 b 45 e 24 xM yM 242 452 xM yM 22 12 1 12 c 68 e 00 xM yM 062 082 xM yM 62 82 34 3 a 11 23 e 47 xB yB 1243 1373 xB yB 73 113 b 11 45 e 24 xB yB 1423 1543 xB yB 1 23 c 11 68 e 00 xB yB 1603 1803 xB yB 73 3 4 a 03 e 45 Sabendo que m m ΔyΔx y2 y1 x2 x1 5340 24 12 Como a equação da reta é dada por y mx b y 12 x b Substituindo um ponto 03 3 12 0 b b 3 logo y 12 x 3 b 02 e 38 Sabendo que m m ΔyΔx y2 y1 x2 x1 8 2 3 0 103 Como a equação da reta é dada por y mx b y 103 x b Substituindo um ponto 02 2 103 0 b b 2 logo y 103 x 2 c 31 e 310 Para os pontos dados vemos que a reta é do tipo logo temos que a equação da reta é x 3 d 05 e 35 Sabendo que m m ΔyΔx y2 y1 x2 x1 5 5 0 3 0 Como a equação da reta é dada por y mx b y 0x b Substituindo um ponto 05 5 00 b b 5 logo y 5 5 a y1 3x 2 e y2 5x 1 Para encontrar o ponto de interseção fazemos y1 y2 3x 2 5x 1 2 1 5x 3x 1 2x x 12 Substituindo em uma das equações y 312 2 72 logo o ponto de interseção 12 72 b y1 2x 4 e y2 3x 1 Para encontrar o ponto de interseção fazemos y1 y2 2x 4 3x 1 4 1 3x 2x 3 5x x 35 Substituindo em uma das equações y 335 1 145 logo o ponto de interseção 35 145 c y1 x 2 e y2 x 4 Para encontrar o ponto de interseção fazemos y1 y2 x 2 x 4 x x 4 2 0 6 Vemos que chegamos em um resultado falso Logo não existe interseção entre as retas 6 y 2x 1 A 1 1 e B 2 3 Como a reta é paralela então m 2 Para encontrar o ponto médio xm ym 1 22 1 32 32 1 Sabendo que a equação é dada por yy0 mxx0 y1 2 x 32 y1 2x 3 y 2x 2 7 Como a reta passa na interseção das retas então 7x 2y 0 y1 72 x 4x y 1 y2 4x 1 y1 y2 72 x 4x 1 7x2 4x 1 x 2 Substituindo em uma das eq y 722 7 Então a reta passa no ponto 27 Sabemos que a reta é perpendicular a reta 3x 8y 19 y 3x8 198 Então o coeficiente angular da nova reta é o inverso negativo logo m 83 Sendo a equação da reta y y0 m xx0 y 7 83 x 2 y 8x3 163 7 y 8x3 53 8 a C00 e R1 Sabendo que a equação da circunferência é dada por xxc2 yyc2 R2 logo x02 y02 12 x2 y2 1 b C34 e R5 Sabendo que a equação da circunferência é dada por xxc2 yyc2 R2 logo x32 y42 52 x32 y42 25 c C22 e R2 Sabendo que a equação da circunferência é dada por xxc2 yyc2 R2 logo x22 y22 22 x22 y22 4 Parte 03 1 a 23 34 23 34 5 1 b 12 53 15 23 4 5 c 101 001 10 00 11 1 0 2 2 a 106 b 238 e c 856 Sabemos que o volume é dado por V a b c V 1 0 6 2 3 8 8 5 6 V 216 40 0 18 0 60 226 uv b a 2i 3j 2k 2 3 2 b i j 1 1 0 c 2i 3k 2 0 3 V 2 3 2 1 1 0 2 0 3 V4 0 9 6 0 0 11 uv 3 a a 2 5 e b 3 1 2 53 1 23 51 6 5 1 b a 2 8 e b 6 4 2 86 4 26 84 12 32 20 c a 4 7 1 e b 2 1 4 4 7 1214 42 71 14 8 7 4 5 d a 1 2 3 e b 2 8 6 1 2 3286 12 28 36 2 16 18 0 e a 2 3 4 e b 1 3 1 2 3 41 3 1 21 33 41 2 9 4 11 f a 1 0 1 e b 1 2 0 1 0 11 2 0 11 02 10 1 Parte 04 1 det3A 33 detA det3A 27 2 54 Alternativa B 2 A 7 13 2 4 det A 26 28 54 logo 5 det A 5 54 270 Alternativa C 3 6x 8y 48 0 Isolando y y 6x8 488 y 3x4 6 Quando x 0 y 34 0 6 y 6 logo um ponto é 06 Quando y 0 0 34 x 6 x 8 o outro ponto é 80 Fazendo a distancia entre os pontos d PQ 082 602 d PQ 82 62 100 10 Alternativa C 4 x22 y52 9 e 2y 5x 0 Pela equação vemos que o centro da circunferência é C 25 Podemos usar a fórmula de distância d axc b yc c a2 b2 d 52 2 5 0 52 22 d 10 10 29 0 Alternativa B 5 P 35 e x 2y 8 0 Podemos usar a fórmula de distância d axc byc c a2 b2 d 13 25 8 12 22 d 55 55 5 Alternativa D 6 Alternativa D 7 x2 y2 6x 10y 30 0 Colocando na forma reduzida x 32 y 52 22 C 35 e R 2 A coordenada da ordenada máxima é P xc yc R P 3 5 2 37 3 7 10 Alternativa A 8 x² y² 4x 5 0 Colocando na forma reduzida x² 4x y² 5 0 x 2² 4 y 0² 5 0 x 2² y 0² 9 x 2² y 0² 3² logo R 3 Alternativa A 9 A 23 e C 05 dAC Fazendo dA C 0 2² 5 3² dA C 4 4 8 dA C 8 22 Sabemos que a diagonal em função do lado é L dAC 2 22 2 2 logo A L² 2² 4 Alternativa A 10 B 3b A 60 e C 06 Sabemos que dBA dBC 36² b0² 30² b6² 9 b² 9 b6² b² b² 12b 36 b 36 12 3 logo B 33 Alternativa C 11 Sabemos que a equação da reta é y mx b b é o ponto onde o gráfico toca o eixo y b 3 Então y mx 3 Vemos que quando y 0 x 4 0 4m 3 m 3 4 logo y 3 4 x 3 ou 3x 4y 12 0 Alternativa B 12 x ay 3 0 e 2x y 5 0 Organizando as equações x ay 3 0 y xa 3 2x y 5 0 y 2x 5 Para ser paralelas 1a 2 a 12 05 Alternativa B 13 u 3 1 2 v 2 4 1 e w 1 0 1 u v w 3 1 2 3 1 2 4 1 1 0 u v w 8 0 2 12 1 0 5 Alternativa E 14 A 2 1 1 B 3 0 1 e C 2 1 3 BC 2 1 3 3 0 1 1 1 4 AC 2 1 3 2 1 1 0 2 2 BC x AC i j k 1 1 4 0 2 2 BC x AC 0 8i 2j 2i 0 2k 6 2 2 logo AD 14 2 2 x y z 2 1 1 6 2 2 x 2 6 x 4 y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 logo D 4 1 1 Alternativa A