Estatística II - Teoria da Amostragem: Métodos e Distribuições

ESAMC Estatística II ESAMC Módulo A ESAMC Módulo A Teoria da Amostragem ESAMC Estatística II TEORIA DA AMOSTRAGEM Determina a relação entre a amostra e a população São consideradas duas dimensões 1 Dimensionamento da amostra 2 Composição da amostra COMO OBTER GRANDEZAS DESCONHECIDAS A partir da análise de dados Média Variância Etc COMO DIZER SE AS DIFERENÇAS AMOSTRAIS SÃO CASUAIS OU VERDADEIRAS Testes de significância Testes de Hipóteses RESPOSTAS A partir da estatística amostral ou Inferência Estatística II Composição da Amostra a Métodos Probabilísticos Exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado Normalmente possuem a mesma probabilidade Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre população a partir do conhecimento da amostra Tipos de Amostragem Aleatória Simples Sistemática Estratificada Conglomerados ou Agrupamento Composição da amostra b Métodos Não Probabilísticos São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população pois as amostras nãoprobabilísticas não garantem a representatividade da população Tipos de Amostragem Aleatória Acidental Intencional Por Quotas Amostras com ou sem reposição Com Reposição Cada elemento pode ser escolhido mais de uma vez comprador passageiro Sem reposição Cada elemento só pode ser escolhido uma vez eleitor renda per capita População Finita Número reduzido Amostra sem reposição bolas de uma urna no bingo Infinita Número muito grande ou ilimitado Amostra com reposição Amostra finita muito grande caracoroa com uma moeda Distribuição Amostral Considerar todas as amostras de tamanho n indivíduos que podem ser retiradas da população com ou sem reposição Para cada amostra calcular um parâmetro estatístico média desvio padrão etc Distribuição Amostral Obtémse uma distribuição dos parâmetros das amostras distribuição amostral da média etc Para cada distribuição podem ser calculados Média Desvio padrão Etc Parâmetros da Distribuição Amostral Distribuição Amostral Distribuição amostral das médias Todas as amostras de tamanho n sendo n N População N Sendo a média e o desvio padrão da população Sendo x a média e x o desvio padrão da distribuição amostral Distribuição Amostral Distribuição amostral das médias Sem reposição População finita 1 Np N Np N x Distribuição Amostral Distribuição amostral das médias com reposição População infinita N x Distribuição Amostral Distribuição amostral das médias observação Se n é grande n30 Dist amost é normal para qualquer população Se n é pequeno n30 Dist amost é normal se a população é normal Distribuição Amostral Distribuição amostral das proporções observação Todas as amostras de tamanho n N População Sendo P a proporção de eventos de sucesso Sendo Q a proporção de eventos de não sucesso na população Exemplo cara ou coroa P ½ Q 1 ½ ½ na população Distribuição Amostral Fórmula N P P N P Q p 1 Obs se n é grande n30 a distribuição amostral das proporções é normal Distribuição Amostral Distribuição amostral da diferença ou soma Se temos duas populações Pop1 e Pop2 Se temos amostras independentes N1 retirada de Pop1 não depende de N2 N2 retirada de Pop2 não depende de N1 Distribuição Amostral Distribuição amostral da diferença ou soma Se temos muitas amostras de tamanho n1 retiradas de Pop1 Se temos muitas amostras de tamanho n2 retiradas de Pop2 Se calculamos uma grandeza estatística S1 a partir de cada amostra n1 Se calculamos uma grandeza estatística S2 a partir de cada amostra n2 Distribuição Amostral Distribuição amostral da diferença ou soma Produzimos uma distribuição amostral de S1 com S1 e S1 Produzimos uma distribuição amostral de S2 com S2 e S2 Distribuição Amostral Distribuição amostral da diferença ou soma Se consideramos S1 S2 teremos uma distribuição amostral da diferença Com S1 S2 S1 S2 e S1 S2 S1 2 S2 2 Se consideramos S1 S2 teremos uma distribuição amostral da soma Com S1 S2 S1 S2 e S1 S2 S1 2 S2 2 Distribuição Amostral Valem para as médias proporções e outras grandezas estatísticas Se n1 30 e n2 30 A distribuição amostral da ou da é Normal Teoria Estatística da Estimação O último tópico da teoria da amostragem mostra que Conhecida a população Podemos informar a amostra Interessa o Inverso A partir da amostra inferir a população Inferência estatística Estimação de parâmetros populacionais a partir da estatísticas das amostras média variância desvio padrão etc Estimativas Imparciais SE Média da distribuição Amostral de uma estatística Parâmetro populacional correspondente ENTÃO A estatística considerada é chamada de ESTIMADOR IMPARCIAL estimativa imparcial do parâmetro populacional Estimativas Imparciais Caso em Contrário A estatística considerada é chamada de ESTIMADOR PARCIAL estimativa parcial do parâmetro populacional O estimador parcial é dependente de algum parâmetro que deve ser considerado para garantir nossas afirmações Estimativas Imparciais Se duas distribuições amostrais de duas estatísticas tem a mesma média ou esperança matemática a estatística de menor variância é chamada de estimador eficiente estimativa eficiente A outra é chamada de estimador ineficiente estimativa ineficiente Estimativa por ponto e por intervalo A estimativa de um parâmetro populacional dada por um número único é chamada de estimativa por ponto ex a média é 528 Quando dada por dois números entre os quais podese considerar que ela esteja é chamada de estimativa por intervalo ex a média esta entre 524 e 532 ou 528 ou 004 onde o erro 004 é chamado de fidedignidade Módulo B ESAMC Módulo B Intervalos de Confiança ESAMC Questões Comuns em Negócios Como estimar os parâmetros de um novo mercado com base numa simples amostra Qual a confiança neste resultado Como se amostrar Inferência Estatística Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra Conteúdo Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem População x Amostra média desvio padrão padrão 1 desvio s médiaamostra1 x 1 1 padrão 2 desvio s médiaamostra2 x 2 2 3 3 3 3 padrão desvio s média amostra x 1 2 3 Exemplo Uma pesquisa nos bancos de dados de um callcenter mostrou que em 121 chamadas amostradas a venda média foi de R 700 com desvio padrão de R 100 Como estimar a venda média deste negócio Resp intervalo de confiança da média Intervalo de confiança da média n z x IC 258 99 196 95 165 90 Z GRAU DE CONFIANÇA Solução do exemplo 95 17 8 700 121 196 100 700 confiança R R venda venda Repetir para confiança de 90 e 99 Comentários Interpretação da confiança Confiança x tamanho do intervalo Validade da fórmula População normal Amostra grande n30 ou desvio padrão populacional conhecido para amostras pequenas n30 Amostragem representativa Amostras Pequenas n30 Desvio Padrão Populacional desconhecido Exemplo Testes de uma nova droga em 10 pacientes revelou um aumento médio de pressão sangüínea de 225 com desviopadrão de 095 Qual deve ser o intervalo de confiança para 95 Resp distribuição t ao invés da normal z Solução do exemplo Valor de t 2262 n19 225 0 68 2 25 10 2 262 0 95 2 25 pressão pressão Conteúdo Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem Estimação de proporção Casos mais comuns Marketshare Índice de audiência Índice de reclamações Eleitores de certo partido Exemplo Uma pesquisa de mercado com 90 consumidores mostrou que o marketshare de sua empresa é de 25 Como estimar o marketshare do mercado com 95 de confiança Fórmula aplicada n p p z p IC p 1 Solução do exemplo 0 09 0 25 p 90 0 25 0 25 1 196 0 25 p Repetir poutros níveis de confiança Comentários Validade da fórmula Tamanho da amostra suficiente para o intervalo p 3 não conter 0 ou 1 Amostragem representativa Conteúdo Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem Tamanho da Amostra n para Estimativa da Média E Erro de Estimação semiamplitude vide cálculo do intervalo de confiança xExxE n z E 2 E z n Exemplo de Tamanho da Amostra n para Estimativa da Média Volta ao exemplo do callcenter média R700 desviopadrão R100 95 confiança E R 10 Erro de Estimação semiamplitude 690700710 n E 196100 2 10 1 96100 n n 385 Tamanho da Amostra n para Estimativa da Proporção E Erro de Estimação semiamplitude vide cálculo do intervalo de confiança pEppE n p p z E 1 1 2 p p E z n Exemplo de Tamanho da Amostra n para Estimativa da Proporção Volta ao exemplo do marketshare p025 95 confiança E 2 Erro de Estimação semiamplitude 232527 0 25 0 75 n 1801 0 02 196 n 2 Conteúdo Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra Módulo C Testes de Hipóteses Momento TBL Item 31 TESTE DE HIPÓTESES É uma técnica para fazer inferência A partir de uma amostra fazemos inferência sobre a população Objetivos Formular hipótese quanto ao valor de um parâmetro POPULACIONAL Fazer um teste que indicará a aceitação ou rejeição da hipótese CONCEITOS Hipótese Estatística Suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional Testes de Hipótese Regras de decisão Tipos de Hipóteses Ho hipótese a ser testada chamada hipótese nula H1 hipótese alternativa CONCEITOS cont Tipos de Erros Tipo I Rejeição de uma hipótese Ho verdadeira Tipo II Aceitação de uma hipótese Ho falsa OBS Pr Pr erro tipo II ob ob erro tipo I Exemplos de tipos de hipóteses 1 65 1 1 65 1 65 1 1 65 1 65 1 1 65 gera um teste unilateral à direita H Ho gera um teste unilateral à esquerda H Ho gera um teste bilateral H Ho Gráficos correspondentes aos exemplos anteriores Bilateral Unilateral à esquerda Unilateral à direita RAHo RAHo RAHo RRHo RRHo RRHo Onde RAHo Região de Aceitação de Ho RRHo Região de Rejeição de Ho Testes Teste de Médias Teste de Proporções Teste de Igualdade de Médias Teste de Igualdade de Proporções Como proceder nos testes Formular as hipóteses Ho e H1 Fixar o nível de significância Usar as tabelas estatísticas Calcular a fórmula do teste Aceitar ou rejeitar as hipóteses Teste de Médias Usar a tabela tStudent n1 graus de liberdade Fórmula do teste tamanho da amostra n padrão da amostra desvio s da hipótese nula valor média da amostra x onde n s x tcal 0 0 Exemplo 1 teste de média Historicamente temos um registro médio de 115 pontos em um teste vocacional para alunos de uma escola Este ano foi feito teste para uma nova turma e numa amostra de 25 alunos observouse uma média igual a 118 com desviopadrão igual a 20 Podemos afirmar com 5 de significância que a média da população é a mesma dos anos anteriores Solução 75 0 25 20 115 118 5 115 1 115 cal t do problema dado H Ho Solução cont Achar os valores tabelados tStudent n1 graus de liberdade 25124 Fazer o gráfico correspondente Concluir Exemplo 2 Para uma amostra de 51 firmas tomadas de uma particular indústria o número médio de empregados por firma é de 4204 com um desviopadrão amostral de 557 Antes que os dados fossem coletados foi feita a hipótese de que o número médio de empregados por firma nesta indústria era no máximo de 408 Testar esta hipótese com 5 e 1 de significância Exemplo 3 Uma agência publicitária afirma que as propagandas feitas por ela nos últimos meses têm rendido em média R900000 mensais de lucro Um dos gerentes desta agência extraiu uma amostra encontrando um rendimento médio de R800000 com desvio padrão amostral de R100000 com base em 51 propagandas feitas Faça o teste de hipóteses adequado com 5 e 1 de significância TESTE DE PROPORÇÕES Usar a tabela normal reduzida Z Fórmula do teste tamanho da amostra n valor da hipótese p proporção da amostra f onde n p p p f Z cal 0 0 0 0 1 OBSERVAÇÕES O procedimento para resolução de problemas de testes de hipóteses é sempre o mesmo para qualquer tipo de teste As únicas coisas que mudam são fórmula do teste e tabela a utilizar Exemplo teste Proporção Numa cidade a taxa de mortalidade indica que 60 dos nascidos vivem até os 65 anos Numa amostra com 1000 nascidos verificouse que 530 sobreviveram até 65 anos Podemos afirmar que a proporção de sobreviventes até 65 anos é igual a 60 com 5 de significância E com 1 Resolução 52 4 1000 60 1 60 0 60 53 0 0 60 1 0 60 0 cal Z p H p H Resolução Cont Encontrar os valores tabelados Fazer os gráficos Tirar conclusões Exemplo 2 proporção Uma pesquisa conclui que 90 dos médicos recomendam aspirina a pacientes que têm filhos Teste a afirmação com 5 e 1 de significância contra a alternativa de que a percentagem é inferior a 90 se numa amostra aleatória de 100 médicos 80 recomendam aspirina Exemplo 3 proporção Uma agência publicitária afirma que 40 das pessoas que passam por umdeterminado local observam uma campanha publicitária estampada num outdoor neste mesmo local Foram entrevistadas 80 pessoas que passavam por esse local e 25 pessoas responderam que observavam o outdoor a Teste a afirmação da agência com 5 de significância b Teste a afirmação da agência com 5 de significância contra a alternativa de que a percentagem é inferior a 40 TESTE DE IGUALDADE DE MÉDIAS Usar a tabela normal reduzida Z Fórmula do teste 2 2 2 1 2 1 2 1 n s n s x x Z cal Exemplo igualdade de Médias Um fabricante de pneus fabrica dois tipos A e B onde o desviopadrão de A é de 2500km e o de B é 3000km de vida útil Foram testados 50 pneus do tipo A apresentando vida útil média de 24000km e testados 40 pneus do tipo B apresentando vida útil média de 26000km Podemos afirmar com 4 de significância que a vida útil média dos pneus A e B é a mesma TESTE DE IGUALDADE DE PROPORÇÕES Usar a tabela normal reduzida Z Fórmula do teste frequência absoluta x proporção da amostra f n n x x p onde n n p p f f Z cal 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 Exemplo igualdade de proporções Uma revista foi lida por 200 homens e 70 deles se lembraram de uma certa propaganda Essa mesma revista foi lida por 180 mulheres e 50 delas se lembraram dessa propaganda Será que podemos dizer com 10 de significância que as proporções de homens e mulheres que se lembraram da propaganda são iguais Módulo D Módulo D Regressão e Correlação ESAMC Momento TBL Item 41 ESAMC Regressão Linear Simples Revisão A R E T A a maior que zero y mesmo a a maior que zero b a0 a menor que zero x b X1 X2 Equação da reta y a x b Equação da reta y a x b Revisão A reta Equação da reta y a x b a coeficiente angular Mostra a variação de Y para cada unidade de variação de X É a tangente do angulo da reta Quanto maior a mais inclinada é a reta Se a é positivo reta crescente Se a é negativo reta decrescente Se a é zeroY não depende de X reta é paralela ao eixo X na altura do valor b b coeficiente de intersecção ou intercepto Situação Como estimar o faturamento de um negócio com base em seu investimento em publicidade 0 20 40 60 0 20 40 60 X Y Regressão Linear Simples Regressão Linear Simples Modelos Probabilísticos Ajuste do Modelo Hipóteses do Modelo Análise de Validade do Modelo Modelos Probabilísticos Devido aleatoriedade de várias fontes podese assumir que o valor da grandeza de interesse será composta de uma parte determinística e de um erro No exemplo do faturamento teremos Receita a bInvestimento erro Vendas 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 Publicidade 100 Vendas 1000 Linha de Regressã o Erro aleatório Modelos Probabilísticos y 0 10 20 30 0 2 4 6 8 10 12 14 Variavel Conhecida Independente X Variável Procurada Dependente Y Erro 1 Erro 2 Erro 3 Erro 4 x1y1 x2y2 x3y3 x4y4 Modelos Probabilísticos Forma geral para regressão linear simples i i i X Y 1 0 Intercepto Inclinação Erro Variável Dependente Resposta Variável Independente Explicativa Interpretação de cada parcela Intercepto valor de y para x0 Inclinação acréscimo em y para cada unidade de x Curva ajustada mínimos quadrados Validade apenas no range dos dados Hipóteses do Modelo 1 A distribuição do erro possui média zero 2 A variância do erro é constante 3 A distribuição do erro é normal 4 Os valores do erro são independentes dos y observados X1 X2 X Y fe Linha de Regressão Distribuição de probabilidade do erro Visualização das hipóteses r2 1 Y X r 1 r2 1 Y X r 1 r2 8 Y X r 09 r2 0 Y X r 0 Coeficientes de Correlação r e de Determinação r2 Coeficientes de Determinação r2 Indica o poder de explicação do modelo em Em outras palavras o modelo de regressão capturou 100r2 da variação da variável de interesse Análise de Validade do Modelo O modelo linear vale Há chance da inclinação ser zero Duas formas de se verificar Valor de t ou sua p ou Intervalo de confiança p inclinação Exercício Suponha que uma farmácia ou supermercado ou diskqualquer coisa tenha um site para entregas a domicílo e fez um levantamento de quanto gastaram 32 de seus clientes durante certo período Ela deseja saber se este gasto depende da distância do domicílio ao ponto de venda e se obedece uma relação linear Distância do domicílio ao Ponto de Vendas Km Consumo médio semanal R 23 231 31 275 38 261 21 240 34 262 46 313 28 261 26 196 48 364 18 178 43 313 55 36 07 141 3 223 11 173 Buscamos saber se existe uma relação y ax b onde Y consumo médio mensal R variável dependente X distância do cliente ao pto de venda variável independente Erro aleatório Exercício Situação O Conselho de Administração está preparando o Planejamento Estratégico para o ano seguinte e precisa de uma previsão de demanda Sabendo que você tem acesso ao banco de dados da empresa com as vendas dos anos anteriores como proceder Módulo E ESAMC Definição Os números índices são medidas estatísticas frequentemente usadas por administradores economistas e engenheiros para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples e resumido das mudanças em áreas relacionadas como preços de matérias primas preços de produtos acabados volume físico de produção etc Números Índices Com a utilização de números índices é possível estabelecer comparações entre Variações ocorridas ao longo de tempo Diferenças entre lugares Diferenças entre categorias semelhantes tais como produtos pessoas etc Números Índices Os números índices são usados para indicar variações relativas em quantidades preços ou valores de um artigo durante um dado período de tempo Um número índice é uma razão usada para avaliar a variação entre dois períodos de tempo Números Índices Um número índice simples avalia a variação relativa de um único item ou variável econômica entre dois períodos de tempo Calculase como a razão do preço quantidade ou valor em um dado período para o correspondente preço quantidade ou valor num período base Preços Relativos Relaciona o preço de um produto numa época t chamada época atual ou época dada com o de uma época 0 chamada base Preços Relativos pt preço numa época atual ou dada p0 preço na época base 0 0 p p p t t Exemplo O preço de determinado artigo em 1998 foi R 120 e em 1999 subiu para R 138 Tomandose por base o ano 1998 determinar o preço relativo em 1999 115 1 20 38 1 1998 1999 19981999 p p p Relativo Quantidade qt quantidade de um produto numa época atual ou dada q0 quantidade de um produto numa época base 0 0 q q q t t Exemplo Uma empresa produziu 45 toneladas de aço em 1979 e 68 toneladas em 1980 A quantidade relativa será tomandose o ano de 1979 como base 151 45 68 79 80 7980 q q q Relativos de Valor Se p for o preço de determinado artigo em certa época e q a quantidade produzida ou consumida desse mesmo artigo na mesma época então pxq será denominado valor total de produção ou de consumo t t t t t t q p q p q p v v v 0 0 0 0 0 0 Exemplo Uma empresa vendeu em 1990 1000 unidades de um artigo ao preço unitário de R5000 Em 1991 vendeu 2000 unidades do mesmo artigo ao preço unitário de R6000 O valor relativo da venda em 1991 foi 240 42 1000 50 2000 60 9091 v Exercícios Os preços médio no varejo de uma produção por unidade durante os anos de 1993 a 1998 estão apresentados na tabela abaixo Anos 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Preços 1495 1494 151 1565 1628 1653 Exercícios a Adotando o ano de 1993 como base determinar os preços relativos correspondentes a todos os anos dados Anos 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Preços 1495 1494 151 1565 1628 1653 Anos 1993 1994 1995 1996 1997 1998 preço relativo 1000 999 1010 1047 1089 1106 Exercícios b Adotando o ano de 1996 como base determinar os preços relativos correspondentes a todos os anos dados Anos 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Preços 1495 1494 151 1565 1628 1653 Anos 1993 1994 1995 1996 1997 1998 anos base 1996 9553 9546 9649 10000 10403 10562 Aplicação Aplicações de todos os conceitos estudados em exercícios práticos