Introducao a Analise Real - Livro para Licenciatura em Matematica

IInnttrroodduucc ao ao aa A Annalise alise R Real eal AAldo ldo B B M Maciel aciel ee O Osmundo smundo A A LLima ima 11a EEddiicc ao ao Pref Pref acios acios A nossa motivac ao para escrever este texto nasceu no segundo semestre do ano letivo de 2003 quando ministramos pela terceira vez a disciplina Introduc ao a Analise no Curso de Licenciatura em Matematica da Universidade Estadual da Paraıba Essa disciplina e oferecida para os alunos do ultimo ano do curso quando estes ja estao praticamente prontos para o exercıcio da profissao de professor tendo adquirido um senso bastante cr ıtico para a leitura de textos de Matem atica e por conseguinte passam a aparentemente apresentar al guma dificuldade no aprendizado do asunto a partir dos textos comumente utilizados Nosja tınhamos uma longa experiˆencia no ensino de An alise Real para cursos de Bacharelado em Matematica em outras universidades e sempre adotavamos os textos conhecidos na literatura sobre o assunto publicados no Brasil Quando passamos a ensinar no Curso de Licenciatura em Matematica da Universidade Estadual da Paraıba cujo projeto pedagogico prioriza fortemente a formac ao do professor sem contudo negligenciar o rigor na apresentac ao e desenvolvi mento dos conteudos especıficos de Matematica passamos a observar que os textos usuais da literatura n ao contemplavam esta perspectiva e residia a ı a aparente dificuldade no apren dizado encontrada pelos estudantes Sentimos entao a ausˆencia na literatura de um texto introdut orio de An alise Real que ao mesmo tempo em que apresentasse o assunto com o rigor nescessario para a transmiss ao das id eias utilizasse uma lin guagem leve e dialogada de tal modo a estimular o estudante do ultimo ano do Curso de Licenciatura a aprender para en sinar Analise Real Este e portanto o objetivo deste texto o qual cobre todo o material de um primeiro curso de An alise Real a ser ministrado no ultimo ano da graduacao 3 Gostarıamos de expressar nossos agradecimentos aos colegas do Departamento de Matem atica e Estatıstica da Uni versidade Estadual da Paraıba por utilizarem nossas notas de aulas e pelo incentivo a publicacao das mesmas aos nossos exalunos de Introduc ao a Analise particularmente a Anselmo Ribeiro Lopes pelo trabalho na elaborac ao e resoluc ao de parte das listas de exercıcios aos professores Luiz Adauto Medeiros e Manoel Milla Miranda da Universidade Federal do Rio de Janeiro pela leitura crıtica e valiosas sugestoes ao texto e finalmente agradecer a Editora da Universidade Estadual da Paraıba eduep pela oportunidade de publicacao do texto Campina GrandePB dezembro de 2005 Os Autores A primeira edic ao deste livro alcancou um relativo sucesso tendo sido usado como texto basico ou como texto de referˆencia em disciplinas introdut orias de An alise Real tanto em cursos de licenciatura como em cusos de bacharelado em Matematica e tambem em cursos de nivelamento para ingresso em Mestra dos em Matem atica de diversas universidades brasileiras A todos os colegas que adotaram o texto os autores agrade cem n ao so pelas mensagens de est ımulo a uma segunda edic ao mas principalmente pelas varias sugestoes encamin hadas tendo sido acolhidas e incorporadas neste nesta se gunda edicao todas aquelas que na opini ao dos autores con tribuiram para o aperfeicoamento da apresentacao dos assun tos dentro da filosofia do texto destacada no prefacio da primeira edic ao diversos cursos de Matem atica nossa motivac ao para es crever este texto nasceu no segundo semestre do ano letivo de 2003 quando ministramos pela terceira vez a disciplina Introduc ao a Analise no Curso de Licenciatura em Matematica da Universidade Estadual da Para ıba Essa disciplina e ofer ecida para os alunos do ultimo ano do curso quando estes ja estao praticamente prontos para o exerc ıcio da profiss ao de professor tendo adquirido um senso bastante cr ıtico para a leitura de textos de Matem atica e por conseguinte passam a aparentemente apresentar alguma dificuldade no apren dizado do asunto a partir dos textos comumente utilizados Nos ja tınhamos uma longa experi ˆencia no ensino de An alise Real para cursos de Bacharelado em Matem atica em outras universidades e sempre adotavamos os textos conhecidos na literatura sobre o assunto publicados no Brasil Quando passamos a ensinar no Curso de Licenciatura em Matematica da Universidade Estadual da Paraıba cujo projeto pedagogico prioriza fortemente a formacao do professor sem contudo negligenciar o rigor na apresentac ao e desenvolvi 5 mento dos conteudos especıficos de Matematica passamos a observar que os textos usuais da literatura n ao contemplavam esta perspectiva e residia a ı a aparente dificuldade no apren dizado encontrada pelos estudantes Sentimos entao a ausˆencia na literatura de um texto introdutorio de Analise Real que ao mesmo tempo em que apresentasse o assunto com o rigor nescessario para a transmissao das ideias utilizasse uma lin guagem leve e dialogada de tal modo a estimular o estudante do ultimo ano do Curso de Licenciatura a aprender para en sinar Analise Real Este e portanto o objetivo deste texto o qual cobre todo o material de um primeiro curso de An alise Real a ser ministrado no ultimo ano da graduacao Gostarıamos de expressar nossos agradecimentos aos colegas do Departamento de Matem atica e Estatıstica da Uni versidade Estadual da Paraıba por utilizarem nossas notas de aulas e pelo incentivo a publicac ao das mesmas aos nossos exalunos de Introducao a An alise particularmente a Anselmo Ribeiro Lopes pelo trabalho na elaborac ao e resoluc ao de parte das listas de exerc ıcios aos professores Luiz Adauto Medeiros e Manoel Milla Miranda da Universidade Federal do Rio de Janeiro pela leitura crıtica e valiosas sugestoes ao texto e finalmente agradecer a Editora da Universidade Estadual da Paraıba eduep pela oportunidade de publicacao do texto Campina GrandePB dezembro de 2005 Os Autores 6 Conte Conteudo udo Pref Prefacio acio da da Prim Primeir eira E a Edic dic ao ao 22 Pref Prefacio acio da da Segu Segunda nda Edic Edic ao ao 44 1 1 Si Sist stem emas as de de NN uum meerroos s 1111 11 Introduc ao 11 12 Conjuntos e Func oes 12 13 N umeros Naturais 14 14 N umeros Inteiros 18 15 Numeros Racionais 19 16 N umeros Reais 26 161 Valor Absoluto e Intervalos 30 162 Propriedade Arquimediana de R 31 17 Conjuntos Contaveis 33 18 Exercıcios do Capıtulo 1 38 2 2 SSeeq quuˆˆencias Num encias Numeerriiccaas s 4477 21 Introduc ao 47 22 Seq uˆencias de N umeros Reais 47 23 Limite de Uma Seq uˆencia 51 24 Sequˆencias de Cauchy 61 25 Exercıcios do Capıtulo 2 64 7 8 CONTE CONTE UDO UDO 3 3 SSeries Num eries Numeerriiccaas s 6699 31 Introduc ao 69 32 S eries 70 321 S eries de Termos nao Negativos 74 322 S eries Alternadas 78 33 Convergˆencia Absoluta 79 34 Outros Testes de Converg ˆencia 81 35 Exercıcios do Capıtulo 3 87 4 4 Noc Noc ooees s dde e TTooppoollooggiia a dda a RReetta a 9933 41 Introduc ao 93 42 Limite Superior e Limite Inferior 94 43 Noc oes de Topologia da Reta 99 431 Conjuntos Abertos 101 432 Conjuntos Fechados 102 433 Conjuntos Compactos 104 434 Conjuntos Completos 106 44 Exercıcios do Capıtulo 4 109 5 5 Limites Limites de de Func Func ooees s 111133 51 Introduc ao 113 52 Func oes Limitadas 113 53 Limites de Func oes Reais 116 54 Limites Laterais Infinitos e no Infinito 122 541 Limites Laterais 123 542 Limites Infinitos 124 543 Limites no Infinito 125 55 Func oes Monotonas 126 56 Exercıcios do Capıtulo 5 132 6 6 Func Func oes Cont oes Contıınnuuaas s 113355 61 Introduc ao 135 62 Func oes Contınuas 135 621 Func oes Contınuas em Intervalos 145 CONTE CONTE UDO UDO 9 622 Func oes Uniformemente Contınuas 149 63 Exercıcios do Capıtulo 6 153 7 7 Func Func oes Deriv oes Derivaavveeiis s 115599 71 Introduc ao 159 72 A Derivada 159 73 O Teorema do Valor M edio 165 74 A F ormula de Taylor 171 75 A Regra de LH ˆopital 174 76 Exercıcios do Capıtulo 7 181 8 8 Func Func oes Integr oes Integraavveeiis s 118877 81 Introduc ao 187 82 Integral Superior e Integral Inferior 188 83 A Integral de Riemann 195 831 A Integral Como Limite de Som as de Riemann 200 832 Propriedades da Integral de Riemann 204 833 O Teorema Fundamental do Calculo 211 84 Exercıcios do Capıtulo 8 220 9 9 SSeeqq uuˆˆencias e S encias e S eri eries es de de Fun Funcc ooees s 222277 91 Introduc ao 227 92 Seq uˆencias de Funcoes 228 93 A Converg ˆencia Pontual 229 94 A Converg ˆencia Uniforme 232 941 Propriedades da Convergˆencia Uniforme 235 95 Series de Func oes 238 951 Criterios de Convergˆencia para Series de Func oes 240 96 S eries de Potˆencias 249 961 A S erie de Taylor 254 962 A S erie Binomial 261 97 Exercıcios do Capıtulo 9 264 10 CONTE CONTE UDO UDO BBiibblliiooggrraafifia a 226699 Cap Capıtulo 1 ıtulo 1 Sistemas de N Sistemas de N umeros umeros 11 11 Introduc Introduc ao ao A Analise Real trabalha conceitos que de um jeito ou de outro conforme o proprio nome indica estao relacionados com numeros reais Sendo assim entendemos ser importante fazer uma apresentac ao desse sistema num erico bem como co mentar suas principais propried ades Esse e o principal obje tivo deste capıtulo Contudo nao faremos aqui uma construc ao detalhada do sistema dos numeros reais tarefa esta mais per tinente a um curso de Fundamentos da Matem atica Aqui nos limitaremos a fazer uma breve apresentac ao de um dos metodos dentre os varios conhecidos na literatura matematica de introduc aodosnumeros reais a partir do sistema mais prim itivo dos n umeros naturais Antes por em a fim de facilitar a comunicac ao com o leitor achamos conveniente dedicar uma sec ao do texto para apresentar a notac ao e a terminologia mınima necessarias para tratar conjuntos e funcoes 11 12 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS 12 12 Conjun Conjuntos tos e e Func Func oes oes Se A e um conjunto a notac ao x A lˆese x pertence a A significa que x e um elemento de A Escrevemos x A lˆese x nao pertence a A para indicar que x nao e um elemento de A Um conjunto B denominase subconjunto do conjunto A quando cada elemento de B e tambem elemento de A e denotamos tal fato por B A lˆese B esta contido em A Quando ocorrer de B A e existir a A com a B dizemos que B e um suconjunto pr oprio de A Dizemos que dois conjuntos A e B s ao iguais e escrevemos A B quando ocorre simultanemente que A B e B A Indicamos por e chamamos de conjunto vazio o conjunto que n ao possui elementos Temos naturalmente que A qualquer que seja o conjunto A Dados os conjuntos A e B podemos formar o conjunto A B lˆese A uniao B obtido juntandose os elementos de A aos elementos de B ou seja o conjunto formado pelos elementos que est ao em A ou em B Em sımbolos temos A B x x A ou x B Tambem podemos formar o conjunto A B lˆese A intersec ao B como sendo o conjunto dos elementos que pertencem si multaneamente a A e a B Em sımbolos temos A B x x A e x B Podemos considerar ainda a diferenca entre A e B denotado por A B lˆese A menos B e formado pelos elementos que estao em A e nao est ao em B Em sımbolos temos A B x x A e x B Observemos que para considerarmos a diferenca entre A e B nao exigimos que B seja necessariamente subconjunto de A 12 12 CONJU CONJUNTOS E FUN NTOS E FUNCC OES OES 13 No entanto quando isso ocorre a diferenca A B e chamada de complementar de B com respeito a A Para simplificar alguns argumentos utilizamos os sımbolos quantificador universal e quantificador existencial para significar para todo e existe respectivamente Dados dois conjuntos n ao vazios A e B uma funcao f de A em B e uma regra ou associac ao que a cada x A corre sponde um unico elemento y B O conjunto A e denominado domınio e o B de contradomınio da func ao f Usamos a notac ao f A B x f x para denotar uma funcao f de A em B Dados dois conjuntos A e B construimos um novo conjunto denominado produto cartesiano de A por B e denotado por A B lˆese A cartesiano B cujos elementos sao os pares ordenados a b onde a A e b B isto e A B a b a A e b B Um conjunto importante associado a uma func ao f A B e o seu grafico denotado por G f que e o subconjunto de A B dado por G f x y A B y f x Dadas uma func ao f A B e S um subconjunto de A denominamos de imagem de S por f e denotamos por f S o subconjunto de B definido por f S y B y f x para algum x S Analogamente se C e um subconjunto de B denominamos de imagem inversa de C por f e denotamos por f 1 C o subcon junto de A definido por f 1C x A f x C 14 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Seja f A B uma func ao Dizemos que f e injetiva quando f x1 f x2 sempre que x1 x2 ou equivalentemente f x1 f x2 acarreta x1 x2 Dizemos que f e sobrejetiva quando para cada y B existe x A tal que f x y Quando f e simultaneamente injetiva e sobrejetiva dize mos que e uma bijec ao Quando f A B e uma bijec ao fica bem definida a func ao inversa de f denotada por f 1 cujo domınio e B e contradomınio e A como sendo a func ao que a cada y B associa o unico x A tal que f x y Dadas f A B e g B C definimos a func ao composta g f A C por g f x g f x x A Por enquanto o material ate aqui exposto e suficiente para o trabalho nas proximas sec oes e a medida que formos ne cessitando iremos introduzindo a linguagem adicional necessaria para trabalharmos com conjuntos e func oes 113 3 NN umeros Naturais umeros Naturais A partir desta sec ao vamos apresentar os sistemas de numeros com os quais trabalharemos neste texto Admitire mos a exist ˆencia de um conjunto n ao vazio N chamado de Numeros Naturais para o qual vale os seguintes axiomas conhecidos como Axiomas de Peano12 1Giuseppe Peano 18581932 2Os Axiomas de Peano aparecem na sua obra Princıpios de Aritm etica publicada em 1889 1 13 3 N N UMEROS NATURAIS UMEROS NATURAIS 15 Axioma 11 Axioma 11 1 e um n umero natural isto e 1 N Axioma 12 Axioma 12 Cada n umero natural n possui um unico suces sor o qual e denotado por n Axioma 13 Axioma 13 O n umero natural 1 n ao e sucessor de nenhum outro n umero natural ou seja n 1n N Axioma 14 Axioma 14 Se m e n s ao n umeros naturais tais que m n ent ao m n Axioma 15 Axioma 15 Se M N tem as propriedades a a 1 M b b n M sempre que n M ent ao M N A partir dos Axiomas de Peano e possıvel definir em N uma operac ao de adicao denotada por de tal maneira que 1 o sucessor de 1 e 1 1 o qual e denotado por 2 o sucessor de 2 e 2 1 o qual e denotado por 3 e em geral n n 1 De modo que temos N 1 2 3 A partir deste ponto abandonaremos a notac ao n para denotar o sucessor de n e escreveremos sempre n1 como o sucessor de n Definese tamb em em N utilizandose a operac ao de adic ao ja definida e dos Axiomas de Peano uma operacao de multiplicac ao3 denotada por e as duas operac oes definidas gozam das seguintes propriedades Associatividade Associatividade m n p m n p e m n p m n p para quaisquer m n p N 3Para os detalhes recomendamos a leitura de 9 16 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Comutatividade Comutatividade m n n m e m n n m para quaisquer m n N Leis do Cancelamento Leis do Cancelamento Se m p n p entao m n e se m p n p entao m n para quaisquer m n p N Distributividade Distributividade mn p mn m p para quaisquer m n p N Ob Obse serrva vacc ao ao Na pratica quando nao ha risco de ambiguidade omitimos a notacao para indicar a operac ao de multiplicao O Axioma 15 e conhecido na literatura matematica como Prime Primeiro iro Prin Princcıpio ıpio de de Induc Induc ao ao e se constitui numa ferramenta muito utilizada para demonstrar afirmac oes sobre numeros nat urais O procedimento e feito da seguinte forma suponhamos que uma determinada afirmativa An sobre n N cumpre as seguintes condic oes a a A1 e verdadeira isto e a afirmativa e valida para n 1 b b Ak verdadeira Ak 1 verdadeira4 isto e admitindo a veracidade da afirmativa para um natural k abitrario e possıvel demonstrar a veracidade da mesma para k 1 Nestas condic oes An e verdadeira para todo n N Exemplo 11 Exemplo 11 Considere a seguinte afirmativa Para n N 2 4 6 2n nn 1 11 Vamos mostrar que a f ormula 11 e v alida para todo n N usando o primeiro princ ıpio de induc ao Se n 1 temos que 2 11 1 4O sımbolo significa implica 1 13 3 N N UMEROS NATURAIS UMEROS NATURAIS 17 ou seja a f ormula vale para n 1 Admitindo agora a veraci dade da f ormula para um k arbitr ario de N tentemos demon strar a veracidade da mesma para k 1 Temos ent ao que 2 4 6 2k 2k 1 k k 1 2k 1 k 2k 1 k 1k 1 1 de modo que a afirmativa vale para k 1 Pelo primeiro princ ıpio de induc ao segue que a afirmativa 11 e verdadeira para todo n N No conjunto N esta definida a relac ao do seguinte modo dados m n N dizemos que m e menor que n e es crevemos m n quando existe k N tal que m k n Quando m n dizemos tambem que n e maior que m e es crevemos n m As principais propriedades da relac ao sao Tricotomia Tricotomia Para cada par de n umeros naturais m e n uma e somente uma das sentencas abaixo e ver dadeira i m n ou ii n m ou iii m n Monotonicidade Monotonicidade Se m n N e m n entao para todo k N i m k n k e ii km kn As demonstrac oes das propriedades acima decorrem do primeiro princıpio de induc ao e podem sem encontradas em 9 Escrevemos m n lˆese m e menor ou igual a n para indicar que m n ou m n Escrevemos tambem n m lˆese n e maior ou igual a m quando m n A relacao goza das seguintes propriedades 18 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Reflexividade Reflexividade x N x x Transitividade Transitividade Para x y e z N se x y e y z ent ao x z AntiSimetria AntiSimetria Para x y N se x y e y x entao x y Ob Obse serrva vacc ao ao Uma relac ao entre elementos de um conjunto nao vazio A que goza das propriedades acima e chamada de relac ao de ordem 114 4 NN umeros Inteiros umeros Inteiros O sistema dos numeros naturais apresenta uma deficiˆencia obvia qual seja a de que a equac ao m x n nem sempre admite uma solucao para m e n dados arbitrariamente em N Por exemplo 5 x 7 admite a soluc ao x 2 enquanto que 5 x 2 nao admite soluc ao em N Essa dificuldade e resolvida construindose5 o conjunto dos Numeros Inteiros Z contendo N como um subconjunto pr oprio e no qual est ao definidas operac oes de adic ao e multiplicac ao que general izam as operacoes correspondentes de N Alem do mais a a Z possui um elemento chamado zero e denotado por 0 que e neutro em relac ao a adic ao isto e m0 m m Z b b O elemento 1 N Z e neutro em relac ao a multiplicac ao ou seja 1m m m Z c c Em Z a equacao m x n admite soluc ao unica quaisquer que sejam m n Z 5Nao faremos os detalhe s aqui Recomendamos ao estudante a referˆencia 9 1 15 5 N N UMEROS RACIONAIS UMEROS RACIONAIS 19 A relacao de ordem de N se estende para Z de modo que Z fica sendo formado pelos inteiros maiores que zero chama dos de inteiros positivos o pr oprio zero e os inteiros menores que zero que s ao os inteiros negativos Assim podemos es crever a lista usual dos numeros inteiros 3 2 1 0 1 2 3 e a sua representac ao como pontos de uma reta separados por uma dist ˆancia fixa de tal modo que a b indica que a esta a esquerda de b 115 5 NN umeros Racionais umeros Racionais O sistema dos n umeros inteiros apresenta por sua vez a deficiˆencia de que nem sempre uma equac ao do tipo mx n pode ser resolvida em Z Por exemplo a equac ao 4 x 8 possui a soluc ao x 2 enquanto que a equac ao 6 x 7 nao admite soluc ao em Z Essa defici ˆencia e suprida construindo se o conjunto dos n umeros racionais Q isto e Q p q p q Z e q 0 Os elementos de Q s ao tambem chamados de fracoes Em Q definimos a Igualdade Igualdade a A Addiicc ao ao e a M Mul ultip tiplilicac cac ao ao do seguinte modo Igualdade Igualdade p q m n pn qm q 0 e n 0 AAddiicc ao ao p q m n np mq qn q 0 e n 0 Mu Multltip iplilica cacc ao ao p q m n pm qn q 0 e n 0 20 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Uma fracao do tipo p1 e identificada com o inteiro p Com esta identificac ao temos que Q contem Z como um subcon junto proprio As operac oes de adic ao e de multiplicac ao definidas em Q generalizam as correspondentes operac oes de Z e al em de satisfazerem as propriedades associativa comutativa ex istˆencia dos elementos neutros o 0 da adic aoeo 1 da multiplicac ao a exist ˆencia dos sim etricos aditivos e a distributividade sat ifaz tambem a propriedade da existˆ encia dos inversos multi plicativos Dizemos ent ao que Q munido das operac oes de adic ao e multiplicac ao e gozando das propriedades acima de scritas constitui um corpo Diferentemente do que ocorre em Z o corpo Q e um sis tema num erico no qual resolvese qualquer equac ao do tipo ax b com a e b em Q e a 0 No entanto o sistema dos numeros racionais apresenta ainda a defici ˆencia de que deter minadas equac oes alg ebricas como por exemplo x2 2 n ao admite soluc ao em Q De fato se existissem numeros inteiros p e q tais que p2q2 2 com p e q primos entre si ent ao p2 2q2 Assim p2 seria um inteiro par e portanto p tambem seria par o quadrado de um inteiro e par se e somente se o inteiro e par Terıamos entao que p 2m para algum inteiro m Neste caso 4m2 2q2 donde q2 2m2 logo q2 seria par e consequentemente q tambem seria par o que contradiria a hipotese de que p e q sao primos entre si Outros exemplos de equacoes alg ebricas que n ao admitem soluc oes em Q s ao apresentadas nos exercıcios deste capıtulo Essa deficiˆencia apresentada pelos racionais e seria Um exemplo desta difi culdade e que para uma figura plana quadrada com lado de medida igual a 1 nao existe n umero racional que represente a medida da sua diagonal pois se a fosse um tal n umero entao pelo famoso Teorema de Pitagoras deverıamos ter que a2 12 12 2 No entanto como acabamos de ver n ao 1 15 5 N N UMEROS RACIONAIS UMEROS RACIONAIS 21 existe em Q um numero cujo quadrado seja igual a 2 Com este exemplo vemos a real necessidade de dispormos de um sistema numerico mais amplo que o dos racion ais Este fato foi provavelmente constatado pelos pitagoricos no perıodo de 450 a 400 a C quando observaram que a diago nal de um quadrado e o seu lado s ao grandezas incomensuraveis Con vidamos o estudante a ler a referˆ encia 2 onde ha uma boa exposic ao sobre o assunto Passamos agora a desenvolver algumas etapas que em basam o processo teorico de ampliac ao do corpo dos numeros racionais para um corpo no qual podemos resolver a quest ao observada no paragrafo anterior No corpo Q dizemos que uma fracao pq e positiva se pq N Isso na verdade significa dizer que p e q ou sao ambos inteiros positivos ou ambos inteiros negativos O subconjunto das frac oes positivas de Q e denotado por Q E simples verificar facao como exercıcio que o subcon junto Q goza das seguintes propriedades ii Q e fechado com respeito as operac oes de Q isto e se x y Q entao x y e xy pertencem a Q ii ii Dado x Q uma e somente uma das alternativas a seguir e verdadeira ou x 0 ou x Q ou x Q Dados dois racionais x e y dizemos que x e menor que y e escrevemos x y ou que y e maior que x e escrevemos y x se y x Q A relac ao introduzida em Q generaliza a relac ao de Z que por sua vez e uma generalizac ao da relacao introduzida em N Observe que em Q o subconjunto Q dos racionais positivos e exatamente o conjunto dos racionais x de Q tais que x 0 As principais propriedades da relacao de Q s ao 22 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS a a Dados x e y em Q uma e somente uma das alternativas e verdadeira ou x y ou x y ou y x b b Dados x y e z em Q se x y e y z entao x z c c Se x y entao x z y z z Q d d Se x y e z 0 entao zx zy e e Se 0 x y ent ao 1 y 1 x Convidamos o estudante a demonstrar como um exercıcio cada uma das propriedades acima Analogamente ao que fizemos em Z escrevemos x y para indicar que x y ou x y Quando x y escrevemos tambem y x A relac ao goza das propriedades Re flexiva Transitiva e AntiSimetrica portanto e uma relacao de ordem em Q O conjunto Q munido das operac oes de adic ao e multiplicac ao e da relac ao de ordem constitui uma estrutura algebrica que chamamos de corpo ordenado Duas propriedades importantes de Q sao dadas nas proposic oes a seguir Pr Prop opos osic ic ao 11 ao 11 Se x e y s ao n umeros racionais tais que x y ent ao existe um n umero racional z tal que x z y Prova Prova Sendo x y entao 2 x x x x y y y 2 y Assim 2 x x y 2 y e multiplicando por 12 obtemos x x y 2 y Tomemos z x y 2 e temos o resultado Pr Prop opos osic ic ao 12 ao 12 Se x e y s ao dois n umeros racionais posi tivos existe um inteiro positivo m tal que mx y 1 15 5 N N UMEROS RACIONAIS UMEROS RACIONAIS 23 Prova Prova Sendo x e y racionais entao x p q e y r s com p q r e s inteiros os quais podemos supor que s ao todos maiores ou iguais a 1 pois x e y s ao positivos Assim ps 1 e portanto 2 ps 2 1 o que acarreta 2qrps qr Considerando o inteiro m 2qr obtemos m p q r s como querıamos A propriedade de Q dada pela Proposic ao 12 e conhecida como Propriedade Arquimediana de Q O corpo Q dos numeros racionais al em da deficiˆencia algebrica anteriormente explicitada apresenta outra deficiˆencia a qual apresentaremos a seguir ap os a introduc ao de alguns con ceitos necessarios DDeefifinniicc ao 11 ao 11 Um subconjunto S de Q denominase limitado superiormente quando existe t Q tal que x t para todo x S Um numero t nas condic oes da Definicao 11 denominase cota superior par S E claro que se t e uma cota superior para S entao qualquer n umero maior que t tambem e uma cota su perior para S Analogamente definese subconjunto limitado inferiormente de Q e cota inferior Quando um subconjunto de Q e simultaneamente limitado inferiormente e superiormente dizemos que e limitado De Defifini nicc ao 12 ao 12 Um n umero racional u denominase supremo de um subconjunto limitado superiormente S Q se ii u e uma cota superior para S e ii ii se t e qualquer cota superior para S ent ao u t Quando o supremo de S Q existe nos o denotamos por sup S E imediata a verificac ao de que o supremo de um sub conjunto limitado superiormente de Q quando existe e unico 24 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Analogamnete definese ınfimo de um subconjunto limitado in feriormente S Q e quando tal n umero existe o denotamos por inf S Quando S Q possui supremo e sup S S dizemos que S possui um elemento maximo Observac ao an aloga para ınfimo e elemento mınimo Uma caracterizac ao importante para o supremo de um sub conjunto limitado superiormente S de Q e apresentada na proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 13 ao 13 Seja S um subconjunto limitado superiormente de Q Ent ao u Q e o supremo de S se e somente se a a u e cota superior de S isto e x u x S b b Dado qualquer racional r 0 existe x S tal que ur x Prova Prova Suponhamos que u e o supremo de S Ent ao u e uma cota superior de S portanto satisfaz a Se existisse r 0 0 tal que u r 0 x x S entao u r 0 que e estritamente menor que u seria cota superior de S o que contradiria a min imalidade de u Portanto para cada r 0 existe x S tal que ur x Reciprocamente suponhamos que u satisfaz a e b e seja t uma outra cota superior de S Se fosse t u tomarıamos r u t 0 e por b existiria x S com u u t x Isto e t x o que contradiria a hipotese de t ser cota superior de S Portanto u t donde sup S u O exemplo a seguir e importante e explicita conforme prom etemos exibir uma outra defici ˆencia dos racionais Tratase de um exemplo de um subconjunto de Q que e limitado su periormente mas que n ao possui nem elemento m aximo nem supremo Exemplo 12 Exemplo 12 Consideremos os subconjuntos S e T de Q da dos por S x Q x 0 e x2 2 1 15 5 N N UMEROS RACIONAIS UMEROS RACIONAIS 25 e T y Q y 0 e y2 2 Observe que se x S e y T como ambos x e y s ao pos itivos e x2 y2 segue que x y Em outras palavras os elementos de T s ao cotas superiores para S e os elementos de S s ao cotas inferiores para T Mostremos agora que o con junto S n ao possui elemento m aximo De fato se x S sendo x 0 e x2 2 ent ao 2 x2 0 e 2 x 1 0 Pela Propriedade Arquimediana de Q Proposic ao 12 podemos ecolher n N tal que n2 x2 2 x 1 donde 2 x1 n 2 x2 Al em disso sendo n 1 segue que 1 n2 1 n Assim x 1 n2 x2 2 x n 1 n2 x2 2 x n 1 n x2 2 x 1 n x2 2 x2 2 Portanto x 1 n S Mas x 1 n x e assim deduzimos que S n ao possui elemento m aximo Por sua vez o conjunto T n ao possui elemento m ınimo pois se y T ent ao y 0 e y2 2 logo pela Propriedade Arquimediana de Q podemos escolher m N tal que m y2 2 2 y donde 2 y m 2 y2 Logo y 1 m2 y2 2 y m 1 m2 y2 2 y m y2 2 y2 2 Note que o fato de ser y 1 e m 1 acarreta ym 1 donde y 1 m 0 ou seja y 1 m T e portanto T n ao possui ele mento mınimo Podemos finalmente concluir que S n ao pos sui supremo De fato se existisse u sup S n ao poderia ser u2 2 pois neste caso u S e assim u seria o elemento m aximo de S que n ao existe Tamb em n ao pode ser u2 2 pois neste caso como u 0 ter ıamos u T Mas T n ao tem 26 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS m ınimo e assim existiria v T com v u Ora como todos os elementos de T s ao cotas superiores para S ter ıamos uma contradic ao para o fato de u ser o supremo de S Muito bem Se n ao pode ser u2 2 nem u2 2 s o pode ser u2 2 No en tanto em Q n ao existe elemento cujo quadrado seja igual a 2 Portanto s o podemos concluir pela n ao exist ˆ encia do supremo de S em Q 116 6 NN umeros Reais umeros Reais Na sec ao anterior exibimos duas dificuldades apresentadas pelo corpo dos numeros racionais Q quais sejam a n ao ex istˆencia de um n umero racional cujo quadrado seja igual a 2 e um exemplo de um subconjunto limitado superiormente que nao possui supremo Observando mais atentamente o Ex emplo 12 vemos que os subconjuntos S e T sao disjuntos todos os elementos de S sao menores que todos os elemen tos de T mas n ao existe em Q um elemento separador dos conjuntos Isto nos conduz a seguinte interpretac ao imagi nando os racionais como pontos de uma reta como fizemos com os inteiros mesmo sabendo que dados quaisquer dois racionais t ao pr oximos quanto queiramos um do outro sem pre podemos exibir um terceiro racional entre eles ainda as sim alguns pontos na realidade muitos pontos n ao est ao as sociados a n umeros racionais Em outras palavras Q nao preenche toda a reta Por todos os motivos anteriormente apresentados torna se necessaria a ampliac ao do corpo dos n umeros racionais para um corp o maior que ven ha a sanar as defici ˆencias apresentados por Q Isto e feito construindose o corpo dos numeros reais R a partir do corpo dos numeros racionais Q Ha diversos metodos para fazer tal construc ao Dois bem famosos 1 16 6 N N UMEROS REAIS UMEROS REAIS 27 e que podem sem encontrados na literatura listada na bibli ografia recomendada neste texto sao o M etodo dos Cortes de Dedekind6 e o Metodo das Seq uˆencias de Cauchy 7 Adianta mos contudo que por quaisquer dos m etodos utilizados os corpos finalmente construıdos gozarao exatamente das mes mas propriedades Deixamos de apresentar aqui os detalhes da construc ao do corpo dos n umeros reais pelos seguintes motivos Uma tal construc ao demanda um tempo extra normal mente n ao dispon ıvel em um curso como o aqui pro posto Em geral os estudantes de um curso introdudut orio de Analise Real nao adquiriram ainda maturidade suficiente do ponto de vista de conhecimentos matem aticos acu mulados para acompanharem os detalhes da construc ao Entendemos que neste momento e mais importante para o estudante conhecer as propriedades satisfeitas pelo numeros reais R do que mesmo conhecer qual seja a natureza desses numeros A partir de agora vamos aceitar o fato de que existe um corpo ordenado contendo Q como um subconjunto pr oprio chamado corpo dos numeros reais e denotado por R para o qual vale o seguinte Teorema Teorema 11 Teorema de Dedekind Teorema 11 Teorema de Dedekind Suponha que R se es creve como uma uni ao disjunta de dois subconjuntos n ao vazios A e B tais que para todo a A e para todo b B vale que a b Ent ao existe um unico c R satisfazendo a c para todo a A e c b para todo b B 6Richard Dedekind 18311916 7AugustinLouis Cauchy 17891857 28 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Convidamos o estudante a consultar a refer ˆencia 10 onde e apresentada a construc ao de R usando cortes de Dedekind e e dada uma demontrac ao do Teorema de Dedek ind Re comendamos tambem a leitura da refer ˆencia 9 onde e feita uma construc ao de R com bastante detalhes utilizando o metodo das seq uˆencias de Cauchy No corpo R vale o seguinte resultado o qual conforme j a constatamos por meio do Exemplo 12 nao e verdadeiro em Q Teorema 12 Teorema 12 Todo subconjunto S R n ao vazio e limitado superiormente possui supremo Prova Prova Vamos construir dois subconjuntos A e B de R que estao nas condic oes do Teorema de Dedek ind Para tanto consideremos A a R a x para algum x S e B o subconjunto de todos os outros n umeros reais isto e B b R b x para todo x S O subconjunto B e o conjunto das cotas superiores de S logo e nao vazio pois S e limitado superiormente O subconjunto A e nao vazio pois S e nao vazio Dado t R ou t x para todo x S neste caso t B ou existe x S tal que t x e neste caso t A Portanto R A B Alem disso para todo a A e para todo b B temos que a b Com efeito se a A e b B entao existe x S tal que a x b donde a b Pelo Teorema de Dedekind existe m0 R tal que a m0 b para todo a A e para todo b B Desde que m0 R ent ao ou m0 A ou m0 B Se fosse m0 A entao existiria x0 S 1 16 6 N N UMEROS REAIS UMEROS REAIS 29 com m0 x0 Consideremos δ x0 m0 2 0 e tomemos a0 m0 δ m0 Temos que a0 x0 m0 2 m0 x0 m0 2 x0 e portanto a0 A o que seria uma contadic ao Logo m0 B que e o conjunto das cotas superiores de S Como m0 b para todo b B segue que m0 e a menor das cotas superiores de S isto e m0 sup S Um corpo ordenado no qual vale o Teorema 12 e denom inado corpo orden ado completo Assim R e um corpo or denado completo para o qual temos as seguintes inclus oes proprias N Z Q R Em R podemos agora resolver aquela equacao x2 2 que nao foi poss ıvel resolver em Q Isto e existe em R um ele mento r 0 tal que r 2 2 De fato como Q R entao S o subconjunto limitado superiormente de Q dado no Exemplo 12 e obviamente um subconjunto limitado superiormente de R Logo existe r R tal que r sup S Mas do mesmo modo como foi feito no Exemplo 12 r 2 nao pode ser nem menor que 2 nem maior que 2 Portanto ter a que ser igual a 2 Este numero real e denotado por 2 e e chamado de raiz quadrada positiva de 2 Tratase de um n umero real que conforme j a vimos nao e racional Os numeros reais que nao sao racionais sao chamados de numeros irracionais Ha muitos outros n umeros irracionais alguns bem famosos como a razao entre o comprimento e o diˆametro de uma circunferˆencia denotado por π e a base dos logaritmos neperianos denotado por e Mais ainda veremos na secao 17 deste cap ıtulo que num certo sentido h a bem mais irracionais que racionais em R 30 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS 161 161 VValor alor Abso Absoluto luto e e Inter Intervalo valoss Dado x R definimos o valor absoluto ou m odulo de x e denotamos por x como sendo x x se x 0 x se x 0 Ou equivalentemente x max x x ou ainda x x2 As principais propriedades do valor absoluto sao ii x 0 x R e x 0 x 0 ii ii xy x y e x y x y se y 0 iii iii x a a x a e x a x a ou x a iv iv x y x y x R e y R v v x y x y x R e y R Uma classe importante de subconjuntos de R e a dos in tervalos para os quais ha uma notac ao especial do seguinte modo dados a e b R com a b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b b x R b x b x R b x a x R x a e a x R x a O proprio corpo dos reais R e considerado um intervalo e escrevemos R 1 16 6 N N UMEROS REAIS UMEROS REAIS 31 Os intervalos do tipo a b a b e sao chamados de intervalos abertos e os do tipo a b a e b s ao chamados de intervalos fechados 162 162 Pro Propried priedade ade Arq Arquimed uimediana iana de de R O corpo dos reais goza da Propriedade Arquimediana con forme vemos na proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 14 ao 14 Dados a b R com a 0 existe n N tal que na b Prova Prova Consideremos o subconjunto S de R dado por S ma m N Negar a existˆencia de n N tal que na b significa dizer que ma b para todo m N Ou seja S seria limitado superior mente Pelo Teorema 12 existe u sup S Como a 0 pelo item b da Proposic ao 13 existe m0 N tal que u a m0a donde u m0 1a Ora como m0 1 N entao o numero m0 1a S por definic ao de S o que e uma contradicao Logo existe sim n N tal que na b Uma propriedade importante de R e estabelecidada pela proxima proposic ao Pr Prop opos osic ic ao 15 ao 15 Sejam a e b n umeros reais com a b Ent ao existe r Q tal que a r b Prova Prova Vamos separar a demonstrac ao em 3 casos Caso 1 Caso 1 0 a b Pela Proposic ao 14 Propriedade Arquimediana existe k N tal que k b a 1 de modo que temos 1 k a b Seja A m N m ka Novamente pela 32 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Proposic ao 14 segue que A Usando o Princ ıpio da Boa Ordenac ao8 de N temos que o conjunto A possui um menor elemento digamos n0 Entao n0 k a e n0 1 k a Portanto a n0 k 1 k a b Assim r n0 k Q e a r b Caso 2 Caso 2 a 0 b Outra vez pela Proposic ao 14 existe k N tal que kb 1 Neste caso 0 r 1 k b e portanto a r b Caso 3 Caso 3 a b 0 Neste caso temos 0 b a que se enquadra nos caso anteriores logo existe r Q tal que b r a ou seja a r b Corol Corolario ario Sejam a e b n umeros reais com a b Ent ao existe t R Q tal que a t b Prova Prova Sendo a b entao a 2 b 2 Portanto existe um racional r tal que a 2 r b 2 Assim t r 2 R Q e tal que a t b como querıamos DDeefifinniicc ao 13 ao 13 Seja D R Dizemos que D e denso em R se para todo intervalo aberto a b de R temos D a b A Proposic ao 15 juntamente com seu Corolario afirmam exatamente que Q e R Q sao ambos densos em R O fato de 8O Princıpio da Boa Ordenacao afirma que todo subconjunto nao vazio de N possui um menor elemento 17 17 CONJUNT CONJUNTOS OS CONT CONT AVEIS AVEIS 33 Q ser denso em R juntamente com o fato de ser enumer avel conforme veremos na proxima secao conferem a R uma es trutura topologica importante chamada de Espaco Topologico Separavel 1 17 7 Co Conj njun unto tos s Co Cont nt aveis aveis DDeefifinniicc ao 14 ao 14 Dizemos que um conjunto A e equipotente a um conjunto B ou que A e B t ˆ em a mesma cardinalidade e escrevemos A B quando existe uma bijec ao f de A em B Desde que inversas de bijec oes s ao bijec oes ent ao se A B segue que B A Como tambem compostas de bijec oes sao bijec oes temos que se A B e B C entao A C Al em disso e obvio que qualquer que seja o conjunto A temos sem pre A A Portanto a propriedade ser equipotente a estab elece uma relacao de equivalˆencia na classe dos conjuntos Um conjunto A e dito finito quando ou e vazio ou qundo existe n N tal que A e equipotente a 1 2 n E claro que se A e equipotente a 1 2 n e a 1 2 m ent ao n m Dizemos assim que n e o numero de elementos de A ou que a cardinalidade de A e n e escremos A n Portanto dois conjuntos finitos sao equipotentes se e somente se tˆ em o mesmo n umero de elementos Um conjunto que n ao e finito e dito infinito Um conjunto infinito A e dito enumeravel se A N Em out ras palavras os elementos de A podem ser arranjados como os termos de uma seq uˆencia9 Neste caso dizemos que A tem cardinalidade ℵ0 l ˆese alefe zero Os conjunto finitos e os enumeraveis sao classificados gener icamente como conjuntos contaveis 9Uma sequˆencia e uma funcao cujo domınio e N Veja mais detalhes no Capıtulo 2 34 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Exemplo 13 Exemplo 13 O conjunto dos n umeros racionais do intervalo 0 1 isto e Q0 1 e enumer avel De fato se agruparmos esses n umeros utilizando seus denominadores comuns temos a seq u ˆ encia 0 1 12 13 23 14 34 15 25 35 45 Pr Prop opos osic ic ao 16 ao 16 Se f A B e injetiva e B e cont avel ent ao A e cont avel Prova Prova Se A for finito nada temos a demonstrar Se A for infinito como f A f A e uma bijecao segue que A f A onde f A denota a imagem de A por f Portanto f A e infinito e como f A B com mais razao B tambem e infinito Como por hip otese B e cont avel segue que e enumer avel Logo existe uma bijec ao g N B Denotemos por bn gn para n N Assim B b1 b2 b3 Seja k 1 o primeiro numero natural tal que bk 1 f A Chamemos de k 2 o primeiro numero natural maior do que k 1 tal que bk 2 f A Tomemos em seguida o primeiro n umero natural k 3 maior que k 2 tal que bk 3 f A Continuando com este processo obtemos que f A bk 1 bk 2 bk 3 Definamos agora h f A N pondo hbk j j j 1 2 3 E claro que h e uma bijec ao Como f A f A e uma bijecao segue que h f A N e uma bijecao donde A N ou seja A e enumeravel Corol Corolario ario Todo subconjunto de um conjunto cont avel e cont avel Prova Prova Seja B contavel e S B Considere iS S B a in clusao de S em B dada por iS x x Claramente iS e injetiva 17 17 CONJUNT CONJUNTOS OS CONT CONT AVEIS AVEIS 35 Exemplo 14 Exemplo 14 Vimos no Exemplo 13 que Q 0 1 e enu mer avel Usando adequadamente a Proposic ao 16 facao como exerc ıcio podemos mostrar que os conjuntos A j Q j1 2 1 j1 2 se j e ımpar Q j 2 1 j 2 se j e par s ao todos enumer aveis Observe que A1 Q 0 1 A2 Q 1 0 A3 Q 1 2 e assim por diante Pr Prop opos osic ic ao 17 ao 17 A uni ao enumer avel de conjuntos enumer aveis e enumer avel Prova Prova Sejam A1 A2 A3 An conjuntos enumeraveis e A i1 Ai Sendo cada Ai enumeravel ent ao podemos escr ever A1 a11 a12 a13 a14 a15 a1n A2 a21 a22 a23 a24 a25 a2n A3 a31 a32 a33 a34 a35 a3n A4 a41 a42 a43 a44 a45 a4n An an1 an2 an3 an4 an5 ann Consideremos o esquema grafico a seguir indicado 36 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 Seguindo a indicacao das setas concluimos que os termos da sequˆencia a11 a12 a21 a31 a22 a13 a14 a23 a32 a41 enumera todos os elementos de A Logo A e enumeravel Teorema 13 Teorema 13 Oconjunto Q dos n umeros racionais e enumer avel Prova Prova Para demonstrar este teorema e suficiente considerar a colecao de conjuntos A1 Q 0 1 A2 Q 1 0 A3 Q 1 2 do Exemplo 14 a qual e uma colec ao enumeravel de conjun tos enumer aveis Observando agora que o conjunto Q pode ser escrito como Q i1 Ai segue que e enumeravel A primeira grande diferenca ate agora observada entre Q e R e que R e completo e Q n ao e Vamos agora mostrar outra diferenca significativa entre Q e R qual seja a de que R n ao e enumeravel Este e o conte udo do teorema a seguir 17 17 CONJUNT CONJUNTOS OS CONT CONT AVEIS AVEIS 37 Teorema 14 Teorema 14 Oconjunto dos n umeros reais R n ao e enumer avel Prova Prova Vamos mostrar que o intervalo aberto 0 1 nao e enu meravel usando um processo construtivo chamado de Processo Diagonal de Cantor Raciocinemos por contradic ao Supon hamos que existe uma enumerac ao de 0 1 ou seja 0 1 x1 x2 x3 xn Usando a expansao decimal10 de cada xn temos x1 0 a11a12a13 a1m x2 0 a21a22a23 a2m x3 0 a31a32a33 a3m x4 0 a41a42a43 a4m xn 0 an1an2an3 anm 12 onde os ai j sao algarismos de 0 a 9 Vamos exibir um ele mento de 0 1 que n ao se encontra na lista acima Facamos o seguinte para cada n N escolhamos bn tal que bn 1 se ann 1 e bn 2 se ann 1 Tomemos agora o n umero x 0 1 cuja expansao decimal e x 0 b1b2b3 O numero x n ao se encontra na lista 12 pois por construc ao difere de cada xn exatamente no nesimo termo de sua representac ao decimal Assim n ao existe enumerac ao de 0 1 Segue que R n ao e enumeravel pois do contr ario todos os seus subcon juntos seriam enumeraveis o que nao e verdade para 0 1 conforme acabamos de ver O conjunto dos n umeros irracionais R Q e nao enu meravel pois se n ao fosse assim ter ıamos que R seria enu meravel uma vez que R Q R Q estaria sendo represen tado pela uni ao de dois conjuntos enumer aveis 10Para detalhes sobre expansao decimal ver 1 38 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS 118 8 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 1 ıtulo 1 11 11 Demonstre as propriedades abaixo sobre numeros reais a a Se x Q e y R Q entao x y R Q b b Se x Q y R Q e x 0 ent ao xy R Q c c Se x R x 0 e xy 0 entao y0 d d Se x 0 e y 0 entao xy x y 2 e e a b a b a b R ff ab a b a b R g g a b ab a b R h h a b 1 a b a 1 a b 1 b a b R 12 12 Mostre que a a 1 2 a b a b max a b b b 1 2 a ba b mina b 13 13 Mostre que se a1 a2 an R ent ao a1 a2 an a1 a2 an 14 14 Demonstre a desigualdade de Bernoulli11 1 xn 1 nx n N e x 1 15 15 Mostre que se x 0 entao 1 xn 1 nx nn 1 2 x2 n N 11James Bernoulli 16541705 18 18 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 1 ITULO 1 39 16 16 Mostre que dado ε 0 existe N N tal 1 N ε 17 17 Mostre que se S R e limitado inferiormente e m0 inf S entao para cada y m0 existe x S tal que y x m0 18 18 Mostre que as equac oes ax b a 0 e a x b possuem soluc oes unicas em R 19 19 Mostre que n N xn yn x y xn1 xn2 y xyn2 yn1 110 110 Para n e k em Z com n 1 e 0 k n considere os numeros binomiais n k n k n k nn 1n 2 n k 1 12 k Demonstre a chamada Relac ao de Stifel12 n k n k 1 n 1 k 1 111 111 Use induc ao e a Relacao de Stifel para mostrar que x yn n k 0 n k xnk yk x y R e n N 112 112 Demonstre a Desigualdade de CauchySchwarz 13 da dos n umeros reais arbitr arios x1 x2 xn e y1 y2 yn entao n i1 xi yi 2 n i1 x2 i n i1 y2 i 12Michael Stifel 14861567 13Hermann Amandus Schwarz 18431920 40 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS 113 113 Mostre que para cada a 0 existe um unico x 0 tal que x2 a 114 114 Mostre que os n umeros reais a seguir sao todos irra cionais a log10 5 b 3 c 2 3 d 2 3 115 115 Seja S R nao vazio e limitado inferi ormente Mostre que m inf S se e somente se satisfaz as seguintes condic oes a a m e cota inferior de S e b b ε 0 x S tal que x m ε 116 116 Mostre que todo subconjunto nao vazio e limitado inferi ormente S R possui ınfimo 117 117 Dados x y R defina a dist ˆancia de x a y por d x y x y Mostre que d goza das propriedades a a d x y 0 x y R e d x y 0 x y b b d x y d y x x y R c c d x y d x z d y z x y z R 118 118 Seja A 1 n n N Mostre que inf A 0 119 119 Mostre que se p e um numero primo positivo entao p e irracional 120 120 Mostre que se p q s ao ambos primos positivos ent ao pq e irracional 121 121 Mostre que se 0 a 1 n n N entao a 0 18 18 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 1 ITULO 1 41 122 122 Seja S um subconjunto nao vazio e limitado de R Dado a R considere os conjuntos aS ax x S e a S a x x S a a Mostre que aS e a S sao nao vazios e limitados b b Se a 0 mostre que supaS a sup S e infaS a inf S c c Se a 0 mostre que supaS a inf S e infaS a sup S d d Mostre que supa S a sup S e infa S a inf S 123 123 Sejam S e T subconjuntos nao vazios e limitados supe riormente de R Demonstre que o conjunto S T x y x S e y T e nao vazio limitado superiormente e supS T sup S sup T 124 124 Mostre que se f A B e sobrejetiva entao existe uma func ao g B A tal que f g I B onde I B denota a func ao identidade de B em B Em particular g e injetiva 125 125 Mostre que se f A B e injetiva ent ao existe uma func ao h B A tal que h f I A onde I A denota a func ao identidade de A em A 126 126 Mostre que a composta de duas func oes bijetivas e uma func ao bijetiva 127 127 Sejam a e b n umeros reais tais que a b 1 n para todo n N Mostre que a b 128 128 Prove que 2n1 n para todo n N 42 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS 129 129 Prove que o Primeiro Princıpio de Inducao e o Princ ıpio da Boa Ordenacao sao equivalentes em N 130 130 Prove que se f A B e uma func ao sobrejetiva e A e enumeravel entao B e tamb em enumeravel 131 131 Sejam S e T subconjuntos de R nao vazios e limitados inferiormente Demonstre que o conjunto S T x y x S e y T e nao vazio limitado inferiormente e infS T inf S inf T 132 132 Mostre que se C e um conjunto enumer avel e A e qual quer conjunto infinito ent ao A C A e que se B e qualquer conjunto nao enumeravel entao B C B 133 133 Mostre que ii Todos os intervalos abertos limitados de R sao equipo tentes ii ii Todos os intervalos abertos de R s ao eq uipotentes iii iii Todos os intervalos de R s ao equipotentes 134 134 Prove que para qualquer colec ao C de subconjuntos de um conjunto X temse X AC A AC X A e X AC A AC X A Em palavras temos O complementar da uniao e a intersec ao dos complementares e O complementar da intersec ao e a uni ao dos complementares 18 18 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 1 ITULO 1 43 135 135 Dado X um conjunto finito qualquer denote por X o numero de elementos de X Mostre que se A e B sao conjuntos finitos entao A B A B A B 136 136 SejaC uma colec ao de subconjuntos de um conjunto X Prove que para qualquer func ao f X Y temse a a f AC A AC f A b b f AC A AC f A c c f A B f A f B para todo A e B de C d d f e injetiva se e somente se f A B f A f B para todo A e B de C e e Se f e injetiva entao f AC A AC f A ff Se f A B f A f B para todo A e B de C entao f e injetiva 137 137 Seja C uma colec ao de subconjuntos de um conjunto Y Prove que para qualquer func ao f X Y temse que a a f 1 BC B BC f 1 B b b f 1 BC B BC f 1 B c c f 1C D f 1C f 1 D para todo C e D de C d d f 1 f A A para todo A X e e f 1 f A A para todo A X se e somente se f e injetiva 44 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS ff f f 1 B B para todo B Y e e f f 1 B B para todo B Y se e somente se f e sobrejetiva 138 138 Prove que todo conjunto infinito cont em um subconjunto enumeravel 139 139 Prove que todo conjunto infinito cont em um subconjunto proprio ao qual e equipotente 140 140 Seja C uma colec ao enumer avel de conjuntos dois a dois disjuntos tal que para todo A C A R Mostre que AC A R 141 141 Mostre que se A e B sao contaveis entao A B e contavel 142 142 Mostre que se A1 A2 An sao contaveis ent ao A1 A2 An e cont avel Conclua que Qn e enumeravel 143 143 Dado um conjunto A denote por PA a colec ao de todos os subconjuntos de A Mostre que a a Se A possui n elementos entaoPA possui 2n elemen tos b b Se A e enumeravel entaoPA R Em particularPN R c c Se A e qualquer conjunto entaoPA nao e equipotente a A 144 144 Mostre que qualquer colec ao de intervalos abertos dois a dois disjuntos de R e cont avel 18 18 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 1 ITULO 1 45 145 145 Prove que o conjunto dos polin ˆomios a0 a1 x a2 x2 an xn com coeficientes inteiros e enumeravel 146 146 Um numero real e dito algebrico14 se e raiz de um polinˆomio com coeficientes inteiros Mostre que o conjunto dos numeros algebricos e enumeravel 14Um numero real que nao e algebrico e chamado de transcendente 46 CAP CAP ITUL ITULO 1 O 1 SIS SISTEMA TEMAS DE N S DE N UMEROS UMEROS Cap Capıtulo 2 ıtulo 2 Seq Seq uu ˆ ˆencias Num encias Numericas ericas 21 21 Introduc Introduc ao ao A nocao de limite tem uma posicao destacada em An alise Matematica Os principais conceitos ou resultados desse ramo da Matematica geralmente estao relacionados a algum tipo de limite A maneira mais simples do ponto de vista pedag ogico de se introduzir o conceito de limite e por meio de seq uˆencias de numeros reais Nosso objetivo geral aqui e analisar tal con ceito estudando suas propriedades e demonstrando os prin cipais resultados que serao de interesse para este e para os proximos capıtulos 222 2 SSeeqq uu ˆ ˆencias de N encias de N umeros Reais umeros Reais Uma sequˆencia ou sucessaoden umeros reais e uma func ao a N R n an an 47 48 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS que a cada n N associa um n umero an R chamado de termo geral ou de nesimo termo da seq uˆencia Representa mos uma seq uˆencia por annN ou a1 a2 an ou sim plesmente por an Exemplo 21 Exemplo 21 Est ao dados abaixo alguns exemplos de seq u ˆ encias a a 1 n nN ou 1 1 2 1 3 1 4 1 5 b b nnN ou 1 2 3 4 5 c c 2 nN ou 2 2 2 2 2 d d 1nnN ou 1 1 1 1 1 E importante aqui fazer a distinc ao entre entre a notac ao a1 a2 an para a seq uˆencia e an n N para a sua imagem Na notac ao a1 a2 an entendese a listagem de um n umero infinito de termos enquanto que sua imagem tanto pode ser infinita como finita e at e mesmo ser um conjunto unit ario como ocorre com qualquer seq uˆencia constante como por exemplo a sequˆencia do item c do Ex emplo 21 Uma subsequˆencia de uma seq uˆencia an e a restricao da mesma a um subconjunto infinito N n1 n2 nk N Escrevemos ank k N ou an1 an2 ank ou ank para denotar uma subsequˆencia Exemplo 22 Exemplo 22 Considere a seq u ˆ encia 1nnN 1 1 1 1 1 1 e sejam P 2 4 6 8 10 o subconjunto de N for mado pelos naturais pares e I 1 3 5 7 9 o for mado pelos naturais ımpares Temos que P e I s ao infinitos 2 22 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS DE N ENCIAS DE N UMEROS REAIS UMEROS REAIS 49 Para estes subconjuntos temos as seguintes subseq u ˆ encias da seq u ˆ encia srcinal 1nnP 1 1 1 1 1 1 e 1nnI 1 1 1 1 1 1 Observemos que se N e um subconjunto pr oprio e infinito de N e se a N R e uma seq uˆencia ent ao a rigor a sub sequˆencia aN N R nao seria uma sequˆencia uma vez que seu domınio e N N No entanto conforme o estudante podera verificar nos exercıcios deste capıtulo podemos sem pre considerar uma subsequˆencia como uma funcao real cujo domınio e N Dizemos que uma sequˆencia e limitada superiormente re spec limitada inferiormente quando existe M R tal que an M n N respec an M n N Quando an e simultaneamente limitada superiormente e inferiormente dize mos que e limitada o que e equivalente a dizer que existe M 0 tal que an M n N Evidentemente toda sub sequˆencia de uma sequˆencia limitada superiormente inferi ormente ou os dois e tamb em limitada superiormente inferi ormente ou os dois Uma sequˆencia an e denominada nao decrescente quando an an1 para todo n N Quando vale a desiguldade es trita dizemos que a seq uˆencia e crescente Analogamente definese sequˆencias n ao crescentes e seq uˆencias decres centes Classificamos tais tipos de sequˆencias como sequˆencias monotonas A seguir damos exemplos de algumas sequˆencias de inter esse em C alculo e em An alise Matematica Exemplo 23 Exemplo 23 Fixado q R consideremos a seq u ˆ encia an cujo termo geral e an qn n N Quando q 0 ou q 50 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS 1 temos as seq u ˆ encias 0 0 0 e 1 1 1 respectiva mente Se 0 q 1 ent ao para todo n N temos 0 qn 1 e qn1 qn logo an e limitada e decrescente Se q 1 ent ao qn1 qn para todo n N portanto a seq u ˆ encia e crescente Al em disso sendo q 1 temse q 1 d para algum d 0 e da desigualdade de Bernoulli vide Exerc ıcio 14 do Cap ıtulo 1 qn 1 d n 1 nd n N isto e an e n ao limitada superiormente Se 1 q 0 a seq u ˆ encia n ao e mon otona seus termos s ao alternadamente positivos e negativos mas e ainda limitada pois qn qn 1 n N Se q 1 a seq u ˆ encia e 1 11 1 que n ao e mon otona mas e lim itada Finalmente se q 1 a seq u ˆ encia n ao e mon otona seus termos se alternam de sinal e e n ao limitada uma vez que as suas subseq u ˆ encias a2n1 e a2n s ao ilimitadas re spectivamente inferiormente e superiormente Exemplo 24 Exemplo 24 Seja 0 q 1 e consideremos a seq uˆ encia que tem como termo geral bn n j0 q j A seq uˆ encia bn e claramente crescente e da f ormula da soma dos n primeiros termos de uma progress ao geom etrica de raz ao q temos bn 1 qn1 1 q 1 1 q qn1 1 q 1 1 q Portanto 1 bn 1 1 q n N logo limitada Exemplo 25 Exemplo 25 Consideremos a seq u ˆ encia cn cujo termo geral e cn n j0 1 j Tal seq u ˆ encia e evidentemente crescente Temos tamb em que 1 n 1 2n1 n 1 23 23 LIMI LIMITE DE U TE DE UMA SE MA SEQ Q U U ˆ ˆ ENCIA ENCIA 51 conforme se comprova no Exerc ıcio 128 do Cap ıtulo 1 Logo para todo n 1 temos 2 cn 1 n1 j0 1 2 j 1 1 1 2n 1 1 2 3 usando q 1 2 no exemplo anterior Observe que obtivemos para n 2 2 cn 3 Exemplo 26 Exemplo 26 Seja a seq u ˆ encia zn cujo termo geral e dado por zn 1 1 nn Usando o desenvolvimento binomial de Newton 1 obtemos 1 1 nn 1 n n nn 1 2n2 nn 1n 2 1 nnn 2 1 1 n 2 1 1 n 1 2 n 1 n1 n n 2 1 2 1 n cn onde cn e o termo geral da seq u ˆ encia do exemplo anterior Portanto a seq uˆ encia zn a qual e claramente crescente e tamb em limitada e al em disso 2 zn cn 3 para todo n 2 2 23 3 Li Limi mite te de de Um Uma a Se Seqq uu ˆ ˆencia encia DDeefifinniicc ao 21 ao 21 Dizemos que um n umero L e o limite de uma seq uˆ encia an se para cada ε 0 existir N ε N tal que an L ε para todo n N ε 1Isaac Newton 16421727 52 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS Quando uma seq uˆencia an possui limite L dizemos que an converge para L ou e convergente para L e denotamos tal fato simbolicamente por lim n an L ou lim an L ou ainda por an L Quando uma seq uˆencia n ao e convergente dizemos que e divergente Ob Obse serrva vacc ao ao Na Definic ao 21 escrevemos N ε para explic itar a depend ˆencia do natural N ao numero ε 0 dado No entanto para nao sobrecarregar a notac ao e sempre que nao houver risco de ambiguidade escreveremos simplesmente N Pr Prop opos osic ic ao 21 ao 21 Olimite de uma seq u ˆ encia convergente e unico Prova Prova Seja an convergente Suponhamos por contradic ao que an L e an L com L L Vamos supor sem perda da generalidade que L L Sendo assim podemos tomar ε L L 2 0 Neste caso existiriam N 1 e N 2 em N tais que an L ε n N 1 e an L ε n N 2 Agora se n max N 1 N 2 terıamos an 3 L L 2 L L 2 L L 2 3 L L 2 o que e um absurdo O significado intuitivo do fato de an possuir limite L e que estabelecendose uma margem de erro mediante um n umero positivo ε podemos aproximar todos os termos da sequˆencia a partir de N ε por L e o erro cometido com esta aproximacao e menor que ε Exemplo 27 Exemplo 27 Considere a seq u ˆ encia an cujo termo geral e an 1 n Ent ao lim n an 0 De fato dado ε 0 a propriedade 23 23 LIMI LIMITE DE U TE DE UMA SE MA SEQ Q U U ˆ ˆ ENCIA ENCIA 53 arquimediana dos reais garante que existe N N tal que N ε 1 isto e 1 N ε Logo para qualquer n N 1 n 0 1 n 1 N ε Exemplo 28 Exemplo 28 Considere a seq u ˆ encia an cujo termo geral e an 1 1 2n Ent ao lim n an 1 De fato observe que an 1 1 2n 1 2n e pela desigualdade de Bernoulli temos 2n 1 1n 1 n n n N logo 1 2n 1 n n N Ou seja an 1 1 2n 1 n n N Assim dado ε 0 considere N N tal que 1 N ε Logo para qualquer n N an 1 1 n 1 N ε Exemplo 29 Exemplo 29 A seq u ˆ encia 1nnN e divergente Com efeito se existisse L R tal que 1n L ent ao para ε 1 2 existiria N N tal que n N ter ıamos 1n L 1 2 isto e L 1 1 2 e L 1 1 2 Em outras palavras terıamos L 3 2 1 2 1 2 3 2 o que e um absurdo 54 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS A seq uˆencia do exemplo anterior e um exemplo de uma sequˆencia limitada que n ao e convergente A rec ıproca deste fato no entanto e verdadeira como mostra a proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 22 ao 22 Toda seq u ˆ encia convergente e limitada Prova Prova Seja an uma seq uˆencia convergente para L Con siderando ε 1 temos que existe N N tal que an L 1 para todo n N Como an an L L an L L entao para todo n N temos an 1 L Tomemos agora M maxa1 a2 a N 1 1 L e obtemos an M n N demonstrando que an e limi tada As sequˆencias convergentes apresentam um comportamento plenamente compat ıvel com as operac oes alg ebricas de R conforme explicitado na proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 23 ao 23 Sejam an e bn com an a e bn b Ent ao ii an bn e convergente e an bn a b iiii anbn e convergente e anbn ab iii iii Se n N bn 0 e tamb em b 0 ent ao 1 bn 1 b iii iii Se b 0 e bn 0 n N ent ao an bn a b 23 23 LIMI LIMITE DE U TE DE UMA SE MA SEQ Q U U ˆ ˆ ENCIA ENCIA 55 Prova Prova Para provar i seja ε 0 dado Ent ao existem N 1 e N 2 em N tais que n N 1 acarreta an a ε 2 e n N 2 acarreta bn b ε 2 Agora se n max N 1 N 2 temos an bn a b an a bn b ε 2 ε 2 ε Para a prova de ii sabemos em primeiro lugar que de acordo com a Proposic ao 21 existe M 0 tal an M n N Seja agora ε 0 Entao existem N 1 N tal que n N 1 an a ε 21 b e N 2 N tal que bn b ε 2 M Portanto se n max N 1 N 2 temos a nb n ab a nb n b ba n a anbn b ban a anbn b ban a M ε 2 M b ε 21 b ε 2 ε 2 ε Para provar iii seja ε 0 dado Temos que existe N 1 N tal n N 1 bn b b 2 Mas bn b b bn bbn e portanto n N 1 bn b 2 Tambem existe N 2 N tal que n N 2 bn b εb2 2 56 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS Agora se n max N 1 N 2 temos 1 bn 1 b b bn bbn bn b bbn εb2 2 b 2b ε Para a prova de iv use iii e ii A seguir apresentamos algumas proposic oes que estab elecem propriedades importantes que as seq uˆencias conver gentes satisfazem e que s ao bastante uteis no c alculo de lim ites e em demonstracoes de outros resultados de an alise Pr Prop opos osic ic ao 24 ao 24 Se an converge e lim n an a ent ao an converge e lim nan a Prova Prova Dado ε 0 existe N N tal que an a ε se n N Mas ana an a donde ana ε se n N E importante observar que a recıproca da proposic ao an terior n ao e verdadeira a menos que a 0 vide Exercıcio 27 deste Capıtulo como podemos constatar com o exemplo da sequˆencia divergente 1n cuja seq uˆencia obtida tomando se o valor absoluto de cada termo e a seq uˆencia constante e igual a 1 portanto convergente Pr Prop opos osic ic ao 25 ao 25 Sejam an bn e cn seq u ˆ encias tais que an bn cn para todo n N Se lim n an lim n cn a ent ao lim n bn a Prova Prova Dado ε 0 existem naturais N 1 e N 2 tais que n N 1 an a ε 23 23 LIMI LIMITE DE U TE DE UMA SE MA SEQ Q U U ˆ ˆ ENCIA ENCIA 57 e n N 2 cn a ε Tome N max N 1 N 2 Entao n N an a ε e cn a ε Mas an bn cn para todo n Logo an a bn a cn a para todo n Se n N temos tambem ε an a bn a cn a ε isto e bn a ε como querıamos Corol Corolario ario Sejam bn e cn seq u ˆ encias de n umeros reais tais que 0 bn cn para todo n R e lim n cn 0 Ent ao lim n bn 0 Exemplo 210 Exemplo 210 Considere a seq u ˆ encia an com a um n umero real fixo Suponhamos que 0 a 1 Vamos verificar que lim n an 0 De fato sendo 0 a 1 ent ao 1a 1 Seja x 1 a 1 Temos que x 0 e a 1 1 x Pela Desigualdade de Bernoulli temos 1 xn 1 nx Assim para todo n N temos an 1 1 xn 1 1 nx Mas an an donde 0 an 1 1 nx 1 nx para todo n N Usando o Corol ario anterior temos que lim n an 0 Pr Prop opos osic ic ao 26 ao 26 Seja an uma seq u ˆ encia convergente e tal que an 0 para todo n N Ent ao lim n an 0 58 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS Prova Prova Suponhamos por contradic ao que lim n an a 0 Entao existe N N tal que an a a 2 se n N Portanto an a a 2 donde an a 2 0 para todo n N o que e uma contradic ao Corol Corolario ario Sejam an e bn seq u ˆ encias convergentes de n umeros reais tais que an bn para todo n N Ent ao lim n an lim n bn Prova Prova E suficiente considerar cn an bn 0 Exemplo 211 Exemplo 211 Considere uma seq u ˆ encia an com an 0 para todo n N e lim n an a Ent ao lim n an a Com efeito se for a 0 temos an a an a an a an a an a an a Agora an a a 1 an a 1 a donde obtemos an a an a a Dado ε 0 existe N N tal que n N an a ε a Logo para n N an a an a a ε a a ε ou seja lim n an a Se tivermos a 0 dado ε 0 existe N N tal que an ε2 para todo n N Logo an ε o que significa lim n an 0 23 23 LIMI LIMITE DE U TE DE UMA SE MA SEQ Q U U ˆ ˆ ENCIA ENCIA 59 A seguir estabeleceremos algumas proposic oes importantes a respeito de seq uˆencias e subseq uˆencias que conduzem a um dos resultados principais deste cap ıtulo que e o Teorema Teorema de de BolzanoW BolzanoWeierstrass eierstrass23 Pr Prop opos osic ic ao 27 ao 27 Seja an uma seq u ˆ encia convergente para L Ent ao toda subseq u ˆ encia de an converge para L Prova Prova Seja ank uma subsequˆencia de an Em primeiro lugar observemos que sendo n1 n2 n3 nk temos n1 1 n2 2 n3 3 e em geral nk k para todo k N Considere agora ε 0 dado Ent ao existe N N tal que n N acarreta an L ε Em particular para nk N temos ank L ε Mas nk k para todo k N e portanto k N nk N ank L ε Em outras palavras lim k ank L Pr Prop opos osic ic ao 28 ao 28 Seja an uma seq u ˆ encia n ao decrescente e limitada superiormente Ent ao an e convergente Prova Prova Sendo an uma sequˆencia limitada superiormente entao existe M supan n N Mostremos que M e o limite de an De fato dado ε 0 existe N N tal que M ε a N Sendo an nao decrescente temos que n N acarreta an a N Como M supan n N entao n N M ε a N an M M ε ou seja a n M ε para todo n N 2Bernard Bolzano 18711848 3Karl Wierstrass 18151897 60 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS Um resultado an alogo ocorre para seq uˆencias n ao cres centes e limitadas inferiormente facao como exercıcio Com binando estes dois ultimos resultados temos o seguinte Corol Corolario ario Toda seq u ˆ encia mon otona e limitada e conver gente Voltando agora aos Exemplos 24 25 e 26 podemos con cluir que todas as sequˆencias ali exibidas sao convergentes Conforme anunciamos apresentamos agora um resultado fundamental a respeito de sequˆencias numericas Tratase do Teo Teorema rema 21 21 BolzanoW BolzanoWeierstrass eierstrass Toda seq u ˆ encia limitada possui uma subseq u ˆ encia convergente Prova Prova E suficiente mostrar que toda seq uˆencia limitada ou nao possui uma subseq uˆencia mon otona Em seguida us ando a hipotese de a sequˆencia ser limitada segue do Corol ario da Proposic ao 28 o resultado Para justificar que toda seq uˆencia possui uma subsequˆencia monotona considere an uma sequˆencia qualquer Dizemos que um seu termo a n e um termo desta cado se am an para todo m n Por exemplo uma sequˆencia monotona n ao decrescente n ao possui termos destacados enquanto que para uma seq uˆencia mon otona n ao crescente todos os seus termos s ao destacados Denotemos por D o conjunto dos ındices n tais que an e um termo destacado de an As possibilidades para D sao D e infinito e infinito Isto e D n1 n2 nk Neste caso sendo an1 destacado am an1 para todo m n1 Em particular an2 an1 Do mesmo modo am an2 para todo m n2 em particular an3 an2 Assim a subsequˆencia an1 an2 ank e mon otona n ao crescente D e finito e finito Sendo assim seja n1 N maior que todos os ele mentos de D Ent ao an1 nao e destacado logo podemos encontrar an2 com n2 n1 e an2 an1 Do mesmo modo 2 24 4 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS DE ENCIAS DE CA CAUCHY UCHY 61 an2 nao e destacado e podemos prosseguir construindo uma subsequˆencia de an que e mon otona crescente D e vazio e vazio Neste caso como j a observamos anteriormente a propria seq uˆencia an e mon otona n ao decrescente Muito bem Sabendose agora que toda sequˆencia possui uma subsequˆencia monotona e as subseq uˆencias de um sequˆencia limitada sao tamb em limitadas segue o resultado 224 4 SSeeqq uu ˆ ˆencias de Cauchy encias de Cauchy DDeefifinniicc ao 22 ao 22 Uma seq uˆ encia an e denominada seq uˆ encia de Cauchy se para cada ε 0 existe um N ε tal que m n N ε am an ε Em outras palavras significa dizer que quando uma seq u ˆ encia e de Cauchy os seus termos ficam arbitrariamente pr oximos uns dos outros a partir de um determinado ındice Exemplo 212 Exemplo 212 A seq u ˆ encia 1 n e de Cauchy pois se ε 0 e dado considere N N tal que N ε 2 cuja existˆ encia e garantida pela Propriedade Arquimediana de R Ent ao m n N 1 n 1 m 1 n 1 m 1 N 1 N ε 2 ε 2 ε Pr Prop opos osic ic ao 29 ao 29 Toda seq uˆ encia corvergente e de Cauchy Prova Prova Seja an uma seq uˆencia convergente para o limite L Dado ε 0 existe N N tal que n N an L ε 2 62 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS Portanto para m n N am an am L an L ε 2 ε 2 ε Pr Prop opos osic ic ao 210 ao 210 Toda seq u ˆ encia de Cauchy e limitada Prova Prova Seja an uma seq uˆencia de Cauchy Para ε 1 existe N N tal que m n N am an 1 Pela desigualdade triangular temos que para todo n N an an a N a N an a N a N 1 a N Seja M max a1 a2 a N 1 1 a N e temos que an M para todo n N Pr Prop opos osic ic ao 211 ao 211 Toda seq u ˆ encia de Cauchy de R e conver gente Prova Prova Seja an uma sequˆencia de Cauchy Temos que an e limitada pela proposic ao anterior Pelo Teorema de Bolzano Weierstrass an possui uma subseq uˆencia ain convergente para o limite L Dado ε 0 existe N 1 N tal que in N 1 ain L ε 2 Por outro lado sendo an de Cauchy existe N 2 N tal que n m N 2 an am ε 2 2 24 4 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS DE ENCIAS DE CA CAUCHY UCHY 63 Tomemos N 3 max N 1 N 2 Como in n para todo n N teremos n N 3 acarretando in N 3 donde an L an ain ain L an ain ain L ε 2 ε 2 ε isto e lim n an L A Propopsic ao 211 n ao e verdadeira em Q pois qualquer sequˆencia de racionais convergindo para um irracional por ex emplo a seq uˆencia das aproximacoes decimais de 2 e uma sequˆencia de Cauchy em R e em particular em Q que n ao converge em Q Na sec ao 434 do Cap ıtulo 4 voltaremos a tratar dessa questao 64 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS 225 5 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 2 ıtulo 2 21 21 Calcule os limites abaixo a a lim n 3n2 4n 2 2n 2 1 b b lim n n 3 n c c lim n n 1 1 n 1 d d lim n 1 n2 2 n2 n n2 e e lim n sen n n 22 22 Calcule lim n an onde an 1 12 1 23 1 nn 1 23 23 Mostre que lim n 1 2n 0 24 24 Seja S R nao vazio e limitado superiormente e seja M sup S Mostre que existe uma seq uˆencia xn de elementos de S tal que lim n xn M 25 25 A seq uˆencia xn tal que xn 1nsenn 3 possui alguma subsequˆencia convergente Justifique sua resposta 26 26 Sejam an e bn sequˆencias convergentes para a e b re spectivamente Mostre que max an bn converge max a b e minan bn converge para mina b 27 27 Mostre que se lim nan 0 entao lim n an 0 25 25 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 2 ITULO 2 65 28 28 Mostre que se lim n an 0 e bn e uma seq uˆencia limitada entao lim n anbn 0 29 29 Mostre que a seq uˆencia 2 2 2 2 2 2 con verge para 2 210 210 Mostre que lim n n a 1 se a 0 211 211 Mostre que lim n n n 1 212 212 Mostre que ii Se xn 0 n N e lim n xn1 xn a 1 entao vale que lim n xn 0 ii ii Use o item anterior par a mostrar que lim n nk αn lim n αn n 0 onde k N e α 1 213 213 Use a parte i do problema anterior e o fato de que lim n 1 1 nn e para mostrar que lim n n nn 0 214 214 Dadas xn e yn defina zn pondo z2n1 yn e z2n xn Prove que lim n xn lim n yn a se e somente se lim n zn a 215 215 Suponha que existe ε 0 tal que ε xn n2 para todo n suficientemente grande Prove que lim n n xn 1 66 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS 216 216 Se lim n xn a prove que lim n x1 x2 xn n a A recıproca e verdadeira Justifique sua resposta 217 217 Seja xn uma seq uˆencia com a seguinte propriedade existe um n umero p N tal que xn p xn n N Prove que se xn e convergente entao xn e constante 218 218 Prove que se uma sequˆencia monotona tem uma sub sequˆencia convergente entao ela pr opria e convergente 219 219 Dados a b R defina as seq uˆencias xn e yn pondo x1 ab y1 ab 2 e xn1 xn yn yn1 xn yn 2 Prove que xn e yn convergem para o mesmo limite 220 220 Se 0 r 1 e uma seq uˆencia xn satisfaz a desigual dade xn1 xn r n n N mostre que xn e de Cauchy 221 221 Sejam a 0 e b 0 Mostre que lim nan bn 1n maxa b 222 222 Mostre que a seq uˆencia xn tal que xn 1 1 2 1 3 1 n e divergente 223 223 Mostre que a sequˆencia an definida recursivamente por a1 1 e an 1 an n 2 converge e calcule seu limite 224 224 Mostre que se an e nao crescente e limitada inferior mente entao an converge e seu limite e o inf an n N 25 25 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 2 ITULO 2 67 225 225 Mostre que lim n an a se e somente se toda sub sequˆencia ank de an possui subseq uˆencias ank j tal que lim j ank j a 226 226 Mostre que se uma seq uˆencia de Cauchy an tem uma subsequˆencia que converge para a ent ao lim n an a 227 227 Seja xn tal que xn 1 a1 a2 1 an Mostre que lim n xn existe se 0 a 1 228 228 Seja x1 0 dado Para n 1 defina xn 1 1 xn1 Mostre que lim n xn existe e determineo 229 229 Seja xn tal que xn 1 1 1 2 1 3 1 n Use o criterio de Cauchy para mostrar que lim n xn existe 230 230 Seja xn uma sequˆencia tal que xn1 xn cn e suponha que a sequˆencia sn n k 1 ck converge Entao xn con verge 231 231 Prove que se xn converge entao para cada p 1 lim nan p an 0 232 232 Seja x1 1 e defina xn1 2 1 xn Mostre que xn e monotona e limitada Calcule lim n xn 233 233 A seq uˆencia an definida como sendo a1 1 a2 1 e an2 an1 an para n 1 2 3 conhecida como sequˆencia de Fibonacci 4 e claramente divergente mas 4Fibonacci tambem conhecido como Leonardo de Pisa 11751250 68 CAP CAP ITU ITULO LO 2 2 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS NUM ENCIAS NUM ERICAS ERICAS a sequˆencia r n dada por r n an1 an converge Prove a ultima afirmac ao e calcule lim n r n Sugest ao Prove que r 2k e nao crescente e limitada inferiormente e r 2k 1 e nao decrescente e limitada superiormente Cap Capıtulo 3 ıtulo 3 SSeries Num eries Numericas ericas 31 31 Introduc Introduc ao ao A ideia de serie infinita surge quando imaginamos a operac ao de somar sucessivamente sem que essa operac ao termine apos um numero finito de parcelas Um exemplo motivador para essa questao pode ser visto ao considerarmos o seguinte problema geometrico simples Dado um quad rado de area igual a 2 ao tracarmos uma das suas diagonais dividimolo em dois tri ˆangulos retˆangulos cada um com area igual a 1 Em seguida dividamos um dos tri ˆangulos ao meio tracando a bis setriz do seu ˆangulo reto para obter dois tri ˆagulos ret ˆangulos cada um com area igual a 12 Dividamos novamente um dos tri ˆangulos de area 12 pela bissetriz de seu ˆangulo reto para obter dois triˆangulos de areas iguais a 14 Prosseguindo com essas divis oes indefinidamente obtemos uma infinidade de triˆangulos cada um com area igual a metade da area do anterior e tais que a soma das areas vale a area do quadrado srcinal Em outras palavras podemos dizer que a area do quadrado srcinal se exprime como a soma infinita das areas dos tri ˆangulos 69 70 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS Assim podemos dizer que 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 31 possui o valor 2 e escrevemos 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 2 Vemos deste modo que o conceito de s erie infinita ex tende o conceito aritm etico de soma de uma quantidade finita de parcelas para soma de uma quantidade infinita de parcelas Evidentemente que fazse necessario estabelecer as condic oes matematicas para dar sentido a tal conceito O objetivo deste capıtulo e portanto introduzir o conceito matem atico de s erie de numeros reais quando tambem apresentaremos diversos exemplos e daremos os principais crit erios e testes de con vergˆencia 332 2 SS eries eries Dada uma seq uˆencia de n umeros reais an podemos for mar uma nova sequˆencia sn da seguinte forma s1 a1 s2 a1 a2 s3 a1 a2 a3 sn a1 a2 an O termo geral da seq uˆencia sn e chamado de nesima soma parcial ou de reduzida de ordem de n de an A sequˆencia 3 32 2 SS ERIES ERIES 71 sn assim obtida e chamada de serie infinita ou simplesmente de serie e e denotada por n1 an Quando sn converge para um limite S dizemos que a serie n1 an e convergente e escrevemos n1 an S Quando uma s erie n ao e convergente dizemos que e divergente Ob serve que no caso de s eries convergentes estamos usando o mesmo sımbolo n1 an para denotar tanto a propria serie como o seu limite S E evidente que na pratica deduzir se uma dada s erie con verge ou n ao usando como argumento para tal deduc ao so mente a definic ao pode ser um trabalho muito difıcil Neste sentido e importante termos crit erios para podermos garantir se uma dada serie e convergente ou nao Uma condic ao necessaria para a convergˆencia de uma serie e que seu termo gera l tenha limite zero De fato se n1 an e convergente para S ou seja se lim n sn S entao lim n an lim nsn sn1 lim n sn lim n sn1 S S 0 Esta condic ao no entanto n ao e suficiente para a convergˆencia de uma s erie como mostra o importante exemplo a seguir Exemplo 31 A S Exemplo 31 A S erie Harm erie Harmˆˆonica onica Consideremos a s erie n1 1 n chamada de S erie Harm ˆ onica Seu termo geral an 1 n tem limite zero no entanto a s erie diverge De fato consideremos a sua reduzida s2n de ordem 2n 72 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS s2n 1 1 2 1 3 1 4 2n1 parcelas 1 2n1 1 1 2n 1 1 2 1 4 1 4 1 2n 1 2n 2n1 parcelas iguais a 1 2n 1 1 2 2 4 2n1 2n n parcelas iguais a 1 2 1 n 1 2 Observe que para obtenc ao da desigualdade acima substitu imos em cada parˆ entesis todas as parcelas pela menor delas Vemos assim que a subseq u ˆ encia s2n de sn cresce arbi trariamente e conseq uentemente a seq u ˆ encia sn tamb em cresce A Serie Harm ˆonica se constitui num exemplo de uma s erie divergente Vamos agora apresentar um exemplo importante de uma s erie convergente e que inclui como caso particular o exemplo usado como motivac ao na Introduc ao deste capıtulo Exemplo 32 A S Exemplo 32 A S erie Geom erie Geometrica etrica Dado q R considere mos a s erie n1 qn Se q 1 temos que lim n qn 0 Temos tamb em vide Exemplo 24 do Capıtulo 2 que sn q 1 q qn1 1 q q 1 q 1 qn e portanto lim n sn q 1 q 1 lim n qn q 1 q 3 32 2 SS ERIES ERIES 73 Em muitos casos e mais pr atico considerar uma serie com o somatorio iniciando em n 0 Este eocasodas erie geometrica e temos n0 qn 1 1 q Para o caso particular da s erie geometrica com q 1 2 obte mos a s erie 31 da introduc ao deste Capıtulo ou seja n0 1 2n 2 Um crit erio de converg ˆencia para s eries muito importante do ponto de vista teorico e o chamado Criterio de Cauchy para series dado pela proposic ao seguir Pr Prop opos osic ic ao 31 Crit ao 31 Criterio de Cauchy para s erio de Cauchy para series eries Uma s erie n1 an e convergente se e somente se para cada ε 0 existe N N tal que para todo p N n N an1 an2 an p ε Prova Prova Uma s erie n1 an e convergente se e somente se a sequˆencia das somas parciais sn e convergente Uma vez que em R uma seq uˆencia e convergente se e somente se e uma seq uˆencia de Cauchy resulta que n1 an ser convergente e equivalente a sn ser de Cauchy isto e para cada ε 0 existe N N tal que n m N sm sn 74 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS Assim se n N entao como qualquer que seja p N temos n p N logo sn p sn an1 an2 an p como querıamos Asseries convergentes se comportam compativelmente com as oprec oes algebricas de R conforme estabelece a proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 32 ao 32 Se n1 an e n1 bn s ao s eries convergentes e α e β s ao constantes reais ent ao a s erie n1 αan βbn e convergente Al em disso se n1 an a e n1 bn b ent ao n1 αan βbn αa βb Simbolicamente escrevemos n1 αan βbn α n1 an β n1 bn Prova Prova A prova segue do resultado correspondente aplicado as seq uˆencias das reduzidas 33221 1 SS eries de Termos n eries de Termos n ao Negativos ao Negativos Apresentaremos aqui o principal crit erio de converg ˆencia para s eries de termos n ao negativos Tratase do Crit erio de Comparac ao dado pela pr oxima Proposic ao 3 32 2 SS ERIES ERIES 75 Pr Prop opos osic ic ao 33 Crit ao 33 Criter erio io de de Com Compar parac ac ao ao Dadas as s eries de de termos n ao negativos n1 an e n1 bn se existir uma con stante C 0 tal que an Cbn n N ent ao a converg ˆ encia de n1 bn implica a de n1 an e a diverg ˆ encia de n1 an implica a de n1 bn Prova Prova Desde que an 0 e bn 0 para todo n N entao as reduzidas sn e t n de n1 an e n1 bn respectivamente sao sequˆencias monotonas nao decrescentes e alem disso sn Ct n para todo n N Se t n for convergente entao em particular e limitada e assim sn e limitada e monotona nao decrescente portanto convergente Por outro lado se sn nao for convergente sendo monotona nao decrescente e neces sariamente nao limitada o que implica na n ao limitac ao de t n e portanto na n ao convergˆencia de n1 bn Exemplo 33 Exemplo 33 A s erie n0 1 n 12n e convergente uma vez que 1 n 12n 1 2n para todo n N e a s erie n0 1 2n e convergente como vimos anteriormente Ob Obse serrva vacc ao ao Na demonstrac ao da Proposic ao 33 o argu mento utilizado foi em outras palavras o seguinte uma s erie 76 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS de termos n ao negativos n1 an e convergente se e somente se a seq uˆencia sn das suas reduzidas e limitada Vamos utilizar essa observac ao no exemplo a seguir Exemplo 34 Exemplo 34 psseries eries Considere a s erie n1 1 n p p R Vamos usar a Observac ao acima para mostrar que se p 1 ent ao n1 1 n p e convergente De fato para n 2m 1 temos 1 1 2 p 1 3 p 1 2m1 p 1 2m1 p 1 1 2 p 1 2 p 1 2 pm1 1 2 pm1 2m1 parcelas 1 2 2 p 2m1 2m1 p 1 1 2 p1 1 2 p12 1 2 p1m1 onde para a obtenc ao da desigualdade acima substituimos em cada par ˆ entesis todos os termos pelo maior deles Desde que p 1 0 ent ao 1 2 p1 1 Logo a s erie geom etrica n0 1 2 p1n converge Em particular a seq u ˆ encia das suas so mas parciais e limitada Segue que a seq u ˆ encia das somas parciais sn da s erie n1 1 n p a qual e mon otona n ao decre cente e convergente Assim n1 1 n p e convergente Observe que para o caso p 1 temos que n p n e assim 1 n 1 n p 3 32 2 SS ERIES ERIES 77 Como a s erie n1 1 n e divergente segue da Proposic ao 33 que n1 1 n p e divergente As series convergentes de termos nao negativos tˆem ainda uma propriedade interessante qual seja a de que o valor de sua soma e independente da ordem em que os termos sao so mados Para formalizar esse resultado seja n1 an uma s erie de termos n ao negativos e convergente para o limite S 1 Se σ N N e uma bijec ao de N e bn aσn vamos mostrar que n1 bn obtida de n1 an por uma reindexac ao e convergente e n1 bn S 1 De fato se t m e a mesima soma parcial de n1 bn consideremos j maxσi i 1 2 m e s j a jesima soma parcial de n1 an Entao claramente t m s j S 1 Logo a seq uˆencia das somas parciais de n1 bn e limitada e conse quentemente e convergente pois e nao decrescente Por tanto existe S 2 R tal que lim m t m S 2 e alem disso S 2 S 1 Do mesmo modo podemos pensar em n1 an como obtida de n1 bn por uma reindexac ao e deduzimos que S 1 S 2 Logo S 1 S 2 78 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS 33222 2 SS eries Alternadas eries Alternadas Quando os termos de uma s erie se alternam de sinal dize mos que e uma s erie alternada Uma s erie alternada e por tanto uma serie de um dos tipos n1 1n1an ou n1 1nan onde an 0 para todo n N Vimos que para uma serie qualquer ser convergente e necess rio que o seu termo geral tenha limite zero No caso das s erie alternadas vale uma quase rec ıproca que e um resultado conhecido como Criterio de Leibniz 1 para series alternadas e esta dado na proposicao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 34 Crit ao 34 Criterio de Leibniz erio de Leibniz Seja an uma seq u ˆ encia decrescente de termos positivos tal que lim n an 0 Ent ao n1 1n1an e convergente Prova Prova Vamos analizar as reduzidas de ordem par s2n e as de ordem ımpar s2n1 de n1 1n1an Temos que s2n a1 a2 a3 a4 a2n1 a2n sendo cada parcela entre parˆentesis um numero positivo Logo s2n e uma seq uˆencia crescente de termos positivos Tambem podemos escrever s2n a1 a2 a3 a2n a2n1 e sendo cada parcela entr e par ˆentesis um numero positivo de duzimos que 0 s 2n a1 para todo n N Portanto s 2n e con vergente para um limite S Agora observe que s2n1 s2n a2n 1Gottfrid Wilhelm Leibniz 16461716 33 33 CONV CONVERG ERG ˆ ˆ ENCIA ABSOLUTA ENCIA ABSOLUTA 79 Logo lim n s2n1 lim n s2n lim n a2n S 0 S Segue que lim n sn S ver Exercıcio 214 O resultado expresso na Proposic ao 34 obviamente vale tambem para series alternadas do tipo n1 1nan Exemplo 35 Exemplo 35 A s erie harm ˆ onica alternada n1 1n1 1 n 1 1 2 1 3 1 4 e convergente pois 1 n e decrescente e lim n 1 n 0 3 33 3 Co Connvver ergˆ gˆencia Absoluta encia Absoluta A serie harmˆonica alternada dada no Exemplo 35 a qual e convergente e tal que a s erie obtida tomandose os valores absolutos dos seus termos que e a serie harmˆonica nao e convergente Esse fato e destacado e sugere a definic ao a seguir DDeefifinniicc ao 31 ao 31 Dizemos que uma s erie n1 an e absolutamente convergente se n1 an converge Quando n1 an converge mas n1 an n ao converge dizemos que n1 an e condicionalmente convergente 80 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS A s erie harm ˆonica alternada como vimos anteriormente e um exemplo de uma serie condicionalmente convergente Exemplo 36 Exemplo 36 As s eries do tipo n1 1n1 1 n p com p 1 s ao absolutamente convergentes pois como sabemos as s eries n1 1 n p com p 1 s ao convergentes Na verdade a propria serie n1 1n1 1 n p com p 1 e convergente tratase de uma s erie alternada com an 1 n p a qual para p 1 forma uma sequˆencia decrescente com limite zero Esse fato e verdadeiro em geral s eries absolutamente convergentes tambem sao convergentes como bem expressa a proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 35 ao 35 Toda s erie absolutamente convergente e con vergente Prova Prova Consideremos n1 an uma serie absolutamente conver gente Desde que an an an segue que 0 an an 2an para todo n N Como por hip otese n1 an e con vergente segue do crit erio de comparac ao para s eries de temos n ao negativos que n1 an an e convergente Por outro lado a s erie n1 an e convergente portanto n1 an n1 an anan e convergente 34 34 OUTR OUTROS TESTE OS TESTES DE CO S DE CONVERG NVERG ˆ ˆ ENCIA ENCIA 81 34 34 Out Outro ros s TTest estes es de de Con Conver vergg ˆ ˆencia encia Ao tratarmos com uma s erie numerica as questoes que se apresentam sao em primeiro lugar investigar se a dada serie e convergente ou nao e uma vez garantida a converg ˆencia da mesma calcular ou pelo menos estimar o valor da sua soma Para a investigacao da convergˆencia ou n ao de determinadas series s ao conhecidos alguns criterios Apresentamos nesta sec ao tr ˆes crit erios de convergˆencia Os dois primeiros j a familiares para os estudantes desde os cursos elementares de Calculo Diferencial e Integral quais se jam o Criterio de dAlembert2 ou Teste da Razao e o Criterio de Cauchy ou Teste da Raiz e o terceiro e o Criterio de Dirich let3 Ha muitos testes de conver gˆencia alguns deixados como exercıcios como o Teste da Integral o Teste de Comparac ao no Limite e o Teste de Abel 4 e outros de demonstracao e de aplicac ao um pouco mais elaborados que o estudante inter essado poder a consultar a bibliografia recomendada ao final deste texto Pr Prop opos osic ic ao 36 Teste da Raz ao 36 Teste da Raz ao ao Seja n1 an uma s erie de ter mos n ao nulos e suponhamos que lim n an1 an L Ent ao a a Se L 1 a s erie e absolutamente convergente b b Se L 1 a s erie e divergente c c Se L 1 o teste e inconclusivo 2Jean Le Rond dAlembert 17171783 3Peter Gustav Lejeune Dirichlet 18051859 4Neils Henrik Abel 18021828 82 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS Prova Prova Para a prova de a ecolhamos b R tal que L b 1 Como lim n an1 an L entao existe N N tal que an1 an b para todo n N Portanto a N 1 b a N a N 2 ba N 1 b2a N a N 3 ba N 2 b3a N e podemos deduzir usando o Primeiro Princ ıpio de Inducao que a N j b ja N para todo j N Sendo 0 b 1 entao j1 a N b j a N j1 b j e convergente e segue do crit erio de comparacao que n1 an e convergente Logo n1 an e absolutamente convergente Para a prova de b temos que existe N N tal que an1 an 1 para todo n N Assim para todo j N temos que a N j a N j1 a N j2 a N 0 isto e a sequˆencia an nao tem limite zero portanto n1 an n ao converge Para justificar a inconclusibilidade do teste no caso L 1 consideremos as s eries n1 1 n e n1 1 n2 Em ambos os casos lim n an1 an 1 sendo que a primeira s erie e divergente e a segunda e convergente 34 34 OUTR OUTROS TESTE OS TESTES DE CO S DE CONVERG NVERG ˆ ˆ ENCIA ENCIA 83 Exemplo 37 Exemplo 37 A s erie n1 1n 1 n e absolutamente convergente pois an1 an 1n1 1 n1 1n 1 n n n 1 1 n 1 donde lim n an1 an 0 1 Pr Prop opos osic ic ao 37 Teste da Raiz ao 37 Teste da Raiz Seja n1 an uma s erie e supon hamos que lim n n an L Ent ao a a Se L 1 a s erie e absolutamente convergente b b Se L 1 a s erie e divergente c c Se L 1 o teste e inconclusivo Prova Prova Para a prova de a ecolhamos b R tal que L b 1 Como lim n n an L entao existe N N tal que n an b para todo n N Portanto an bn para todo n N Sendo 0 b 1 entao n1 bn e convergente e segue do crit erio de comparac ao que n1 an e convergente Logo n1 an e abso lutamente convergente Para a prova de b temos que existe N N tal que n an 1 para todo n N Assim a seq uˆencia an nao tem limite zero portanto n1 an diverge Para ver que o teste e inconclusivo no caso L 1 consideremos novamente as series n1 1 n e n1 1 n2 Em ambos os casos lim n n an 1 84 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS e como sabemos a primeira s erie diverge enquanto que a segunda converge Exemplo 38 Exemplo 38 A s erie n1 1n r n n n e absolutamente convergente qualquer que seja r R pois n 1n r n nn n r n nn r n donde lim n an 0 1 onde an 1n r n nn Pr Prop opos osic ic ao 38 Crit ao 38 Criterio de Dirichlet erio de Dirichlet Sejam an e bn se q uˆ encias de n umeros reais tais que ii A seq uˆ encia sn das somas parciais de an e limitada ii ii A seq u ˆ encia bn e mon otona e lim n bn 0 Ent ao a s erie n1 anbn e convergente Para a prova da Proposic ao 38 estabeleceremos inicial mente dois lemas t ecnicos Lema 31 Lema 31 Sejam a1 a2 a p e b1 b2 b p n umeros reais e consideremos sk k j1 a j k 1 2 p Ent ao a1b1 a2b2 a pb p s1b1 b2 s2b2 b3 s p1b p1 b p s pb p 34 34 OUTR OUTROS TESTE OS TESTES DE CO S DE CONVERG NVERG ˆ ˆ ENCIA ENCIA 85 Prova Prova Observe que a1 s1 a2 s2 s1 a3 s3 s2 e de um modo geral a j1 s j1 s j para j 1 2 p 1 Portanto a1b1 a2b2 a3b3 a pb p s1b1 s2 s1b2 s3 s2b3 s p s p1b p s1b1 s2b2 s1b2 s3b3 s2b3 s pb p s p1b p s1b1 b2 s2b2 b3 s p1b p1 b p s pb p como querıamos Lema 32 Lema 32 Sejam b1 b2 b3 b p n umeros reais satisfazendo a hip otese b1 b2 b3 b p 0 e a1 a2 a3 a p n umeros reais quaisquer Consideremos sk k j1 a j e supon hamos que existem n umeros reais µ e M tais que µ sk M k 1 2 p Ent ao µb1 a1b1 a2b2 a3b3 a pb p Mb1 Prova Prova Desde que µ sk M para k 1 2 p e b1 b2 b3 b p 0 entao µb1 b2 s1b1 b2 M b1 b2 µb2 b3 s2b2 b3 M b2 b3 µb p1 b p s p1b p1 b p M b p1 b p µb p s pb p Mb p 86 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS Somando membro a membro essas desigualdades obtemos µb1 s1b1b2 s2b2b3 s p1b p1b p s pb p Mb1 Assim pelo Lema 31 µb1 a1b1 a2b2 a3b3 a pb p Mb1 como querıamos Prova Prova da da Pro Propos posic ic ao 38 ao 38 Podemos supor sem perda da gen eralidade que a seq uˆencia bn e nao crescente e bn 0 para todo n N Como sn e limitada existe H 0 tal que sn H para todo n N Logo an1 an2 ank snk sn snk sn 2 H ou seja 2 H an1 an2 ank 2 H Pelo Lema 32 temos 2 Hbn1 an1bn1 an2bn2 ank bnk 2 Hbn1 ou an1bn1 an2bn2 ank bnk 2 Hbn1 Desde quer lim n bn 0 ent ao para cada ε 0 existe N N tal que n N bn ε 2 H Logo an1bn1 an2bn2 ank bnk nk jn1 a jb j ε o que acarreta a converg ˆencia da s erie n1 anbn pelo pelo Criterio de Cauchy 35 35 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 3 ITULO 3 87 335 5 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 3 ıtulo 3 31 31 Considere as s eries n1 an e n1 bn onde an n 1 n e bn ln 1 1 n Mostre que lim n an lim n bn 0 Calcule explicitamente as nesimas somas parciais sn e t n dessas series e mostre que lim n sn lim n t n Conclua que as series dadas sao divergentes 32 32 Use o teste da raiz para mostrar que as s eries abaixo convergem a n1 n5 5n b n1 n n 1 c n1 n 3n 1 n 33 33 Verifique se as seguintes series convergem ou divergem a n1 2 nn n b n1 1n2n n c n1 1n nn 2 34 34 Se n1 an an 0 n N e convergente ent ao as series n1 an xn x 0 1 e n1 ansennx x R sao absolutamente convergentes 88 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS 35 35 Mostre que se n1 an converge absolutamente ent ao n1 a2 n converge 36 36 Prove que se n1 a2 n e n1 b2 n convergem entao n1 anbn converge absolutamente 37 37 Prove que se n1 a2 n e n1 b2 n convergem entao n1 an bn2 tambem converge 38 38 Prove que se n1 a2 n e n1 b2 n convergem entao n1 anbn 2 n1 a2 n n1 b2 n 39 39 Mostre que se n1 an e n1 bn convergem absolutamente entao n1 an cosnx bnsennx tambem converge 310 310 Suponha que a sequˆencia de termos nao negativos an e decrecente e a s erie n1 an converge Mostre que lim n nan 0 35 35 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 3 ITULO 3 89 311 311 Mostre que uma s erie de numeros reais e absolutamente convergente se e somente se ela pode ser expressa como a diferenca de series convergentes de termos nao negativos 312 312 Prove que a s erie n1 an an 0 e convergente se e somente se a seq uˆencia sn das somas parciais e limitada 313 313 Determine para quais valores de x as series n1 xn n2 e n1 xn nn sao convergentes 314 314 Dˆe exemplos de uma s erie convergente n 1 an e de uma sequˆencia limitada xn tais que n1 an xn seja divergente 315 315 Prove que se an 0 para todo n N e n1 an converge entao n1 an n tambem converge 316 316 Seja an e uma seq uˆencia decrescente de termos posi tivos como limite nulo e f uma func ao decrescente definida em 1 e tal que f n an para todo n N Mostre queas erie n1 an converge se e somente se 1 f xdx converge 90 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS 317 317 Se an 0 e bn 0 para todo n N e se lim n an bn 0 entao n1 an converge se n1 bn converge 318 318 Criterio de Abel Sejam an e bn sequˆencias de numeros reais tais que a a n1 an e convergente b b bn e mon otona e limitada Entao n1 anbn e convergente 319 319 Mostre que n2 1 n ln n e diverente 320 320 Mostre que a s erie n2 1 nln nr converge se r 1 e di verge se r 1 321 321 Sejam n1 an e n1 bn duas s eries de termos positivos tais que 0 lim n an bn Mostre que ou ambas as s eries convergem ou ambas divergem 322 322 A serie n1 1 nn 1 converge ou diverge Justifique sua resposta 35 35 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 3 ITULO 3 91 323 323 Mostre que se n1 an converge e se sn e tal que sn a1 a2 an entao a sequˆencia s1 s2 sn n con verge e seu limite e n1 an 324 324 Mostre que se n1 an converge e n1 bn diverge entao a serie n1 an bn diverge 325 325 A serie n1 1n n n 1 converge ou diverge Justifique sua resposta 326 326 Determine os valores de x para os quais a s erie n1 xn n x seja convergente 327 327 Seja an e uma seq uˆencia decrescente de termos n ao negativos Mostre que a s erie n1 an converge se e so mente se k 0 2k a2k converge 328 328 Suponhamos que n0 an A n0 bn B e a convergˆencia de n0 an e absoluta Seja cn n k 0 ak bnk para n 0 1 2 Mostre que n0 cn A B 92 CAP CAP IT ITULO ULO 3 3 SS ERIES NUM ERIES NUM ERICAS ERICAS 329 329 Mostre que se n1 an e absolutamente convergente entao n1 an n1 aσn para toda bijec ao σ N N Cap Capıtulo 4 ıtulo 4 NNoocc oes de Topologia da Reta oes de Topologia da Reta 41 41 Introduc Introduc ao ao Topologia e o campo da Matem atica que objetiva basica mente descrever como estao colocadas determinadas classes de subconjuntos de um conjunto maior chamado de espaco topologico e no qual alguma noc ao de proximidade esta definida A linguagem introduzida pela Topologia e fundamental para a generalizac ao do conceito de continuidade de func oes Trata se portant o de um importante campo de estudo Contudo uma vez que nao faz parte dos objetivos deste texto o aprofun damento desse tema nos limitaremos a apresentar as noc oes topologicas necessarias para trabalhar nos proximos capıtulos com limite e continuidade de func oes reais Usaremos forte mente a interpretac ao geom etrica de R como pontos de uma reta daı a denominac ao Topologia da Reta Antes por em retornaremos as questoes de limites de seq uˆencias para intro duzir alguns conceitos b asicos para um melhor entendimento da linguagem da topologia da reta E o que faremos na proxima sec ao 93 94 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA 42 42 Lim Limite ite Sup Superi erior or e e Lim Limite ite Inf Inferi erior or Umnumero real x chamase ponto aderente de uma sequˆencia de numeros reais an quando esta possui uma subseq uˆencia an j tal que lim n j an j x Portanto o conjunto dos pontos ader entes de uma seq uˆencia e o conjunto dos limites de suas sub sequˆencias convergentes O Teorema 21 garante que o conjunto dos pontos ader entes de uma sequˆencia limitada e sempre nao vazio e a Proposic ao 21 afirma que uma sequˆencia convergente possui um unico ponto aderente que e exatamente o seu limite A seq uˆencia nnN por ser estritamente crescente e n ao limitada nao possui ponto aderente algum Por outro lado a seq uˆencia 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 admite cada n umero natural como um ponto aderente Vemos entao com estes dois ultimos exemplos e os comentarios do par agrafo anterior que o conjunto dos pontos aderentes de uma seq uˆencia tanto pode ser infinito como finito e at e mesmo vazio Quando uma seq uˆencia an e limitada ent ao o conjunto C de seus pontos aderentes que e nao vazio e tambem limitado Podemos assim para uma sequˆencia limitada definir o limite superior de an denotado por lim sup an e o limite inferior de an denotado por lim inf an como sendo lim sup an sup C e liminf an inf C Quando a seq uˆencia an nao e limitada superiormente es crevemos lim sup an e quando n ao e limitada inferior mente escrevemos lim inf an E claro que lim sup an R se e somente se an e limitada superiormente Analoga mente lim inf an R se e somente se an e limitada infe riormente 42 42 LIMITE SU LIMITE SUPERIOR E L PERIOR E LIMITE INF IMITE INFERIOR ERIOR 95 Pr Prop opos osic ic ao 41 ao 41 Se L lim sup an e lim inf an ent ao dado ε 0 existe N N tal que n N ε an L ε Prova Prova Desde que L e sao numeros reais ent ao an e lim itada Se para algum ε0 0 tivessemos an L ε0 para um numero infinito de ındices n entao poderıamos escolher n1 n2 nk em N de tal modo que ank L ε0 Sendo an limitada entao ank e tamb em limitada e pelo Teo rema de BolzanoWeierstrass ank possui uma subsequˆencia ank j convergente para um limite x R que seria assim um ponto aderente de an Como ank j L ε0 entao x Lε0 L o que e uma contradicao pois L e o supremo do conjunto dos pontos aderentes de an Logo para cada ε 0 so pode haver um n umero finito de ındices n com an L ε Isto e existe N 1 N tal que n N 1 an L ε Por meio de um racioc ınio semelhante podemos garantir que existe N 2 N tal que n N 2 ε an Tomando agora N max N 1 N 2 obtemos n N ε an L ε como querıamos demonstrar Corol Corolario ario Uma seq u ˆ encia an e convergente se e somente se lim sup an lim inf an 96 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA Exemplo 41 Exemplo 41 Considere a seq u ˆ encia an cujo termo geral e dado por an 1 1 n sennπ 2 Temos que a4n1 1 1 4n 1 sen4n 1π 2 1 1 4n 1 1 e assim lim n a4n1 1 Temos tamb em que a4n1 1 1 4n 1 sen4n 1π 2 1 1 4n 1 1 e portanto lim n a4n1 1 Como an 1 1 n sennπ 2 1 para todo n N segue que lim inf an 1 e limsup an 1 Podemos tamb em concluir usando o Corol ario da Proposic ao 41 que an e divergente Ha outra forma de se introduzir o limite superior e o limite inferior de uma seq uˆencia an eq uivalente a acima apresen tada formulac ao esta que em determinadas situacoes facilita o trabalho com o limite superior e o limite inferior Tratase da seguinte formulac ao para cada n N consideremos o con junto An an an1 an2 41 Uma vez que an e limitada entao An e um conjunto limitado e portanto existem αn inf An e βn sup An Como An1 An temos tamb em que αn αn1 e βn1 βn ou seja αn e βn sao seq uˆencias monotonas e sendo limitadas pois an e 42 42 LIMITE SU LIMITE SUPERIOR E L PERIOR E LIMITE INF IMITE INFERIOR ERIOR 97 limitada sao ambas convergentes vide Proposic ao 28 e seu comentario logo a seguir Sejam L lim n αn e L lim n βn Mostremos na proposic ao a seguir que L lim inf an e L lim sup an Pr Prop opos osic ic ao 42 ao 42 Seja an uma seq u ˆ encia limitada Ent ao lim inf an L lim n inf An e lim sup an L lim n sup An onde An est a definido em 41 Prova Prova Vamos demonstrar que L limsup an e deixamos como um exercıcio a demonstrac ao de que L lim inf an Seja x um ponto aderente de an isto e x e o limite de uma sub sequˆencia ank de an Como nk k entao ank Ak logo ank βk Assim x lim k ank lim k βk L Donde segue que lim sup an L 42 Vamos agora construir uma subseq uˆencia de an que con verge para L Para k 1 como β1 sup A1 existe n1 N tal que β1 1 an1 β1 Para k 2 como βn 1 1 sup An 1 1 podemos determinar n2 n1 tal que βn1 1 1 2 an2 βn1 1 98 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA Para k 3 como βn2 1 sup An2 1 existe n3 n2 tal que βn2 1 1 3 an3 βn2 1 Prosseguindo com essa construc ao para cada k N determi namos ank tal que βnk 1 1 k 1 ank 1 βnk 1 43 Passando ao limite em 43 quando k obtemos lim k ank L Assim L e um ponto aderente de an e consequentemente L lim sup an 44 De 42 e 44 segue que L limsup an como querıamos demonstrar Com o auxılio da Proposic ao 42 vamos dar uma caracterizac ao para o limite superior e o limite inferior de uma seq uˆencia limi tada Pr Prop opos osic ic ao 43 ao 43 Seja an uma seq u ˆ encia limitada Ent ao ii L e o limite superior de an se e somente se dado ε 0 a a existe N N tal que an L ε para todo n N e b b an L ε para uma infinidade de ındices n ii ii e o limite inferior de an se e somente se dado ε 0 c c existe N N tal que an ε para todo n N e d d an ε para uma infinidade de ındices n 4 43 3 NO NOCC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA 99 Prova Prova Vamos demonstrar o item i e deixamos como ex ercıcio o item ii Suponhamos que L lim sup an Pela Proposic ao 42 temos que L lim n βn onde βn supan an1 Logo existe N N tal que β N L ε e portanto an L ε para todo n N o que prova a Outra vez pela Proposic ao 42 sabe mos que existe uma subsequˆencia de an que converge para L Logo exite uma infinidade de ındices n tais que an L ε o que prova b Reciprocamente suponhamos que vale a e b Por a temos que βn sup An L ε para n N e como por b an L ε para uma infinidade de ındices n sendo βn uma sequˆencia nao crescente segue que βn L ε para todo n N Donde obtemos L lim n βn 43 43 Noc Noc oes de Topologia da Reta oes de Topologia da Reta DDeefifinniicc ao 41 ao 41 Dado um subconjunto S R dizemos que um ponto x0 R e um ponto de acumulac ao de S se para cada ε 0 existe x S tal que 0 x x0 ε O conjunto dos pontos de acumulac ao de S e chamado de derivado de S e e denotado por S Exemplo 42 Exemplo 42 Para o intervalo I 0 1 os pontos 0 e 1 s ao pontos de acumulac ao Na realidade qualquer x R tal que 0 x 1 e ponto de acumulac ao de 0 1 ou seja I 0 1 Exemplo 43 Exemplo 43 O subconjunto S 1 2 2 3 3 4 n n 1 de R tem exatamente um ponto de acumulac ao a saber x0 1 100 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA Se S R e finito entao S nao possui pontos de acumulac ao O conjunto N dos n umeros naturais tambem nao possui pon tos de acumulac ao No entanto vale a seguinte vers ao do Teorema de BolzanoWeierstrass para conjuntos Teorema 41 Teorema 41 Todo subconjunto infinito e limitado de n umeros reais possui pelo menos um ponto de acumulac ao Prova Prova Seja S R infinito e limitado Podemos selecionar uma sequˆencia an de pontos dois a dois distintos de S Sendo S limitado entao an e limitada e pelo Teorema 21 Teorema de BolzanoWeirestrass esta possui uma subsequˆencia conver gente an j Seja x0 lim n j an j Mostremos que x0 e um ponto de acumulac ao de S De fato dado ε 0 existe N N tal que n j N an j x0 ε Escolhamos n j0 N tal que an j0 x0 Tal escolha e possıvel tendo em vista que a seq uˆencia an e constituida de pontos dois a dois distintos Logo para cada ε 0 existe an j0 S tal que 0 an j0 x0 ε o que prova que x0 e um ponto de acumulac ao de S Pr Prop opos osic ic ao 44 ao 44 Se x0 e um ponto de acumulac ao de S R ent ao existe uma seq uˆ encia xn de pontos de S com xn x0 para todo n N satisfazendo lim n xn x0 Prova Prova Como x0 e um ponto de acumulac ao de S entao para cada ε 0 existe x S tal que 0 x x0 ε Em particular para cada n N existe xn S tal que 0 xn x0 1 n Portanto lim n xn x0 4 43 3 NO NOCC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA 101 43 431 1 Con Conjun juntos tos Abe Aberto rtoss Dados x e ε 0 em R chamamos o intervalo xε x ε de vizinhanca de centro x e raio ε e o representamos por V ε x O conjunto V ε x x isto e a vizinhanca de centro x e raio ε suprimida de x e denotada por V ε x Nesta terminologia um ponto x e um ponto de acumulac ao de S R se para toda vizinhanca V ε x temos V ε x S DDeefifinniicc ao 42 ao 42 Um subconjunto A de R denominase aberto se para cada x A existe ε 0 tal que V ε x A Exemplo 44 Exemplo 44 Para a e b em R com a b o intervalo aberto a b e um subconjunto aberto De fato para cada x a b podemos escolher ε min x a b x e temos V ε x a b Os intervalos do tipo a e b assim como o pr oprio R s ao tamb em subconjuntos abertos justifique Observe que o conjunto vazio nao contradiz a Definic ao 42 simplesmente porque nao possui ponto algum logo e um sub conjunto aberto A classe dos subconjuntos abertos goza das propriedades dadas pela proposic ao a seguir cuja demonstrac ao e deixada para os exercıcios Pr Prop opos osic ic ao 45 ao 45 A uni ao de uma colec ao qualquer de sub conjuntos abertos e um subconjunto aberto e a intersec ao de uma colec ao finita de subconjuntos abertos e um subconjunto aberto Se A R e um subconjunto aberto n ao vazio ent ao para cada x A existe ε x 0 tal que V ε x x A Assim A x A V ε x x 102 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA Isto e todo subconjunto aberto n ao vazio de R pode ser rep resentado como uma uni ao de intervalos abertos Podese mostrar vide 8 um resultado mais refinado o qual afirma que todo subconjunto aberto pode ser representado como uma uniao enumeravel de intervalos abertos dois a dois disjuntos 43 432 2 Con Conjun juntos tos FFech echado adoss DDeefifinniicc ao 43 ao 43 Um subconjunto F de R e denominado fechado se seu complementar R F e aberto Exemplo 45 Exemplo 45 Para a e b em R com a b o intervalo fechado a b e um subconjunto fechado de R Para ver isto e bastante obeservar que R a b a b e usar o Exemplo 44 e a Proposic ao 45 Exemplo 46 Exemplo 46 Desde que R R e R e aberto segue que e fechado Como tamb em R R e e aberto segue que R e fechado Um fato importante a respeito de R e que os seus unicos subconjuntos que s ao simultaneamente abertos e fechados sao o vazio e o pr oprio R A demonstrac ao deste fato extrapola os objetivos deste texto e pode ser vista em 8 Decorre da Proposic ao 45 e das propriedades da operac ao de tomar complementares que a colec ao dos subconjuntos fechados de R goza das seguintes propriedades a intersec ao de uma colec ao qualquer de fechados e um fechado e a uniao de uma colecao finita de fechados e um fechado Pr Prop opos osic ic ao 46 ao 46 Um subconjunto F R e fechado se e so mente se F cont em todos os seus pontos de acumulac ao 4 43 3 NO NOCC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA 103 Prova Prova Suponhamos que F e fechado Mostremos que nen hum ponto de R F pode ser ponto de acumulac ao de F Seja x0 R F Sendo R F aberto existe ε x0 0 tal que V ε x0 x0 R F Neste caso V ε x0 x0 F Em outras palavras nao existe x F tal que 0 x x0 ε x0 Portanto x0 nao e ponto de acumulacao de F Reciprocamente supon hamos que F contem todos os seus pontos de acumulac ao Seja x0 um ponto arbtr ario de R F Temos por hip otese que x0 nao e ponto de acumulac ao de F Sendo assim ex iste ε x0 0 tal que para todo x F vale V ε x0 F Em outras palavras V ε x0 x0 R F o que mostra que R F e aberto e conseq uentemente F e fechado Os conjuntos fechados podem tambem ser caracterizados em termos de limites de seq uˆencias de seus pontos conforme estabelece a proposic ao seguinte Pr Prop opos osic ic ao 47 ao 47 Uma condic ao necess aria e suficiente para que um conjunto F R seja fechado e que para qualquer seq u ˆ encia convergente xn de pontos de F temse lim n xn F Prova Prova Sponhamos que F R e um subconjunto fechado e seja xn uma seq uˆencia convergente para x R com xn F para todo n N Somente duas situac oes pode ocorrer ou existe n0 N tal que xn0 x e neste caso j a temos que x F ou ent ao x xn para todo n N e neste caso para cada ε 0 existe N N tal que 0 xn x ε para todo n N Em outras palavras x e um ponto de acumulacao de F e pela Proposic ao 46 segue que x F Suponhamos agora que F contem os limites de todas as suas seq uˆencias convergentes Mostremos que F o conjunto dos pontos de acumulac ao de F esta contido em F Se F entao F F Se F seja x F Pela Proposic ao 44 existe uma seq uˆencia xn de 104 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA pontos de F tal que lim n xn x e portanto x F Assim em qualquer caso temse F F ou seja F e fechado 43 433 3 Con Conjun juntos tos Co Compa mpacto ctoss DDeefifinniicc ao 44 ao 44 Um subconjunto K R e denominado com pacto quando e limitado e fechado Exemplo 47 Exemplo 47 Todo intervalo a b de R e compacto pois e limitado e fechado Intervalos do tipo a b ou a b n ao s ao compactos pois s ao limitados mas n ao s ao fechados e inter valos do tipo a ou a n ao s ao compactos pois s ao fechados mas n ao s ao limitados Uma caracterizac ao dos subconjuntos compactos de R em termos de seq uˆencias e dada pela proposicao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 48 ao 48 Um subconjunto K R e compacto se e so mente se toda seq u ˆ encia xn de pontos de K possui uma subseq u ˆ encia xn j convergente para um ponto de K Prova Prova Suponhamos K compacto isto e limitado e fechado e seja xn uma seq uˆencia de pontos de K Temos que xn e limitada e pelo Teorema de BolzanoWeierstrass xn pos sui uma subseq uˆencia xn j convergente para um limite x R Sendo K fechado segue da Proposic ao 47 que x K Recip rocamente suponhamos que toda sequˆencia xn de pontos de K possui uma subseq uˆencia xn j convergente para um ponto x K Se K n ao fosse limitado para cada n N existiria xn K com xn n Neste caso terıamos uma sequˆencia xn de pon tos de K que n ao admitiria nenhuma subseq uˆencia conver gente contradizendo a hip otese sobre K Tambem se K nao fosse fechado existiria x K com x K e pela Proposic ao 44 4 43 3 NO NOCC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA 105 existiria uma sequuˆencia xn de pontos de K convergente para x o que novamente contradiria a hipotese sobre K Ha uma outra caracterizac ao dos subconjuntos compactos de R cuja formulac ao matematica e a que se usa em Topologia Geral para definir compactos Para darmos essa caracterizac ao necessitamos da definic ao seguinte DDeefifinniicc ao 45 ao 45 Uma colec ao de conjuntos abertos A Aλ λ Γ onde Γ e um conjunto de ındices qualquer e denominada cobertura aberta de um subconjunto S R se S λΓ Aλ Na Definic ao 45 qualquer subcolec ao de A cuja uni ao contem S e chamada de subcobertura de S De posse da Definic ao 45 podemos enunciar sem dar mos a demonstrac ao do Teorema de Borel Lebesgue 12 que se constitui muma caracterizac ao dos compactos de R Teorema 42 Teorema de BorelLebesgue Teorema 42 Teorema de BorelLebesgue Um subconjunto K R e compacto se e somente se toda cobertura aberta de K possui uma subcobertura finita Para a prova do Teorema 42 recomendamos a leitura de 10 Exemplo 48 Exemplo 48 O subconjunto 0 1 de R n ao e compacto pois a colec ao de abertos A 1 n 2 n N e uma cobertura aberta de 0 1 que n ao possui nenhuma subcobertura finita Do mesmo modo o subconjunto 0 de R n ao e compacto pois a colec ao de abertos A n2 n n N e uma cober tura aberta de 0 que n ao possui nenhuma subcobertura finita 1Emile Borel 18711938 2Henri Lebesgue 18751941 106 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA 43 434 4 Con Conjun juntos tos Co Compl mpleto etoss No Capıtulo 1 n os dissemos que um corpo ordenado era completo quando valia o Teorema 12 isto e quando todo subconjunto nao vazio e limitado superiormente possuia supremo e naquele capıtulo vimos que R era um corpo completo Anal isando bem a demonstrac ao do Teorema 12 vemos que a propriedade de R ser um corpo completo n ao depende do fato de R ser corpo ou seja nao depende das propriedades algebricas e sim da nocao de ordem entre pontos de R e nat uralmente da validade do Teorema de Dedekind Aqui nesta secc ao usando seq uˆencias de Cauchy vamos introduzir o conceito de conjunto completo como sendo aquele em que toda sequˆencia de Cauchy e convergente e veremos por meio do Exemplo 49 que o pr oprio R e um conjunto completo Ev identemente que para a introduc ao do conceito de sequˆencia de Cauchy e em particular o conceito de conjunto completo e fundamental a func ao valor absoluto ou seja a ferramenta matematica usada em R para medir dist ˆancias Veremos nesta sec ao que em R os conceitos de ser completo no sentido de que todo subcunjunto limitado superiormente pos sui supremo e ser um conjunto completo no sentido de que toda seq uˆencia de Cauchy e convergente estao fortemente relacionados DDeefifinniicc ao 46 ao 46 Um subconjunto S R e dito completo se toda seq u ˆ encia de Cauchy de pontos de S e convergente para um ponto de S Exemplo 49 Exemplo 49 Opr oprio R e completo uma vez qu toda seq uˆ encia de Cauchy de n umeros reais e convergente conforme estab elece a Proposic ao 211 Uma outra demonstrac ao de que R e um conjunto com pleto usando o lim inf e lim sup e a seguinte Dada xn uma 4 43 3 NO NOCC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA 107 sequˆencia de Cauchy em R e ε 0 existe N N tal que xn xm ε para todo m n N Consequentemente para todo n N temos que x N ε xn x N ε e assim x N ε α N lim n αn lim n βn β N x N ε 45 onde αn inf xn xn1 e βn sup xn xn1 Da Proposic ao 42 segue que lim inf xn lim n αn e lim sup xn lim n βn segue de 45 que lim inf xn e lim sup xn s ao finitos e 0 lim sup xn lim inf xn 2ε Sendo ε 0 arbitrario temos lim sup xn liminf xn e pelo Corolario da Proposicao 41 segue que xn e convergente Exemplo 410 Exemplo 410 O subconjunto 0 1 de R n ao e completo pois 1 n e uma seq uˆ encia de pontos de 0 1 que e de Cauchy mas n ao converge em 0 1 Exemplo 411 Exemplo 411 O subconjunto Q dos n umeros racionais n ao e completo pois a seq uˆ encia 1 1 4 1 41 1 414 1 4142 das aproximac oes decimais de 2 converge para 2 e por tanto e uma seq u ˆ encia de Cauchy que n ao e convergente em Q uma vez que 2 e irracional Pr Prop opos osic ic ao 49 ao 49 Admitamos que em R toda seq u ˆ encia de Cauchy e convergente Ent ao todo subconjunto de R n ao vazio e limi tado superiormente possui supremo 108 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA Prova Prova Seja S R nao vazio e limitado superio rmente Seja x1 S e M 1 R com x1 M 1 Se nao existir nenhum ponto de S diferente de x1 no intervalo x1 M 1 ent ao x x1 para todo x S Neste caso x1 e o supremo de S Caso contr ario isto e se existe pelo menos um ponto de S diferente de x1 no intervalo x1 M 1 consideremos os dois subintervalos x1 M 1 x1 2 e M 1 x1 2 M 1 Pode ocorrer de existir um ponto de S no intervalo M 1 x1 2 M 1 e pode ocorrer de n ao existir ponto algum de S no intervalo M 1 x1 2 M 1 Neste ultimo caso M 1 x1 2 e uma cota superior de S Assim em qualquer caso podemos considerar um intervalo x2 M 2 com x2 S e M 2 uma cota superior de S e al em disso x2 x1 M 1 x1 Raciocinando do mesmo modo com o intervalo x2 M 2 podemos determinar um intervalo x3 M 3 com x3 S M 3 uma cota superior de S e x3 x2 M 1 x1 2 Prosseguindo com essa construc ao obtemos uma seq uˆencia monotona nao decrescente xn de pontos de S e uma sequˆencia monotona n ao crescente M n de cotas superiores de S de tal maneira que xn1 xn M 1 x1 2n1 46 e M n xn M 1 x1 2n1 47 para n 1 2 3 De 46 segue facao como um exercıcio que xn e uma sequˆencia de Cauchy logo existe u R tal que lim n xn u De 47 temos que lim n M n xn 0 Logo lim n M n u Como x M n para todo x S entao x u para todo x S ou seja u e uma cota superior de S Agora dado qualquer ε 0 existe N N tal que se n N temse xn u ε u o que demonstra que u e o supremo de S 44 44 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 4 ITULO 4 109 444 4 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 4 ıtulo 4 41 41 Determine os pontos aderentes de cada seq uˆencia dada abaixo asen nπ 2 1 n bcos nπ 2 1 n c n d 1 n e nn2 12n2 f 21n 2 1 n 42 42 Sejam xn e yn seq uˆencias limitadas de R satisfazendo a condic ao xn yn para todo n N Mostre que lim inf xn lim inf yn e limsup xn lim sup yn 43 43 Seja xn uma seq uˆencia limitada de R Mostre que a a Se c 0 entao lim infcxn c lim inf xn e lim supcxn c lim sup xn b b Se c 0 ent ao lim infcxn c lim sup xn e lim supcxn c lim inf xn 44 44 Sejam xn e yn sequˆencias limitadas de R Mostre que a a lim inf xn yn lim inf xn lim inf yn 110 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA b b limsup xn yn lim sup xn lim sup yn 45 45 Dˆe exemplos para mostrar as desigualdades no Exercıcio 44 podem ser desigualdades estritas 46 46 Mostre que todo subconjunto finito de R e fechado 47 47 Prove que a uniao de uma colecao finita e a intersecao de uma colec ao qualquer de subconjuntos compactos de R e um subconjunto compacto 48 48 Dado um subconjunto S de R dizemos um ponto x R e um ponto fronteira de S se toda vizinhanca de x contem pontos de S e de R S Denotamos por S o conjunto dos pontos fronteira de S Prove que A R e aberto se e somente se A A 49 49 Seja S um subconjunto de R Dizemos que x e um ponto aderente de S se x e o limite de alguma sequˆencia xn de pontos de S Chamamos de fecho de S e denotamos por S o conjunto dos pontos aderentes de S Prove que para todo S R temse S S S Deduza entao que S e fechado se e somente se S S 410 410 Mostre que para quaisquer dois subconjuntos A e B de R temse que A B A B e A B A B Dˆe exemplos de subconjuntos de R para os quais vale que A B e um subconjunto proprio de A B 411 411 Prove que para todo S R temse que S o conjunto dos pontos de acumulac ao de S e um conjunto fechado 412 412 Seja F n an bn n N uma famılia de intervalos fechados limitados e tais que an1 bn1 an bn Mostre que existe pelo menos um ponto x0 pertencente 44 44 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 4 ITULO 4 111 a todo os F n em outras palavras nN F n Mostre ainda que se lim nbn an 0 entao existe exatamente um ponto x0 que pertence a todos os intervalos F n 413 413 Neste exercıcio vemos que a condic ao de ser fechado e limitado do Exercıcio 412 e essencial a a Seja I n 0 1 n Mostre que nN I n b b Seja J n n Mostre que nN J n 414 414 Seja E um subconjunto de R Um subconjunto D R e dito denso em E se D E D Prove que se C e denso em D e D e denso em E ent ao C e denso em E 415 415 Prove que se S R e finito entao S o seu derivado e vazio 416 416 Prove que x0 e um ponto de acumulac ao de S se e so mente se toda vizinhanca de x0 contem infinitos pontos de S 417 417 Demonstre a Proposic ao 45 418 418 Demonstre que a a A intersec ao de uma fam ılia qualquer de conjuntos fechados e um conjunto fechado b b A uniao de uma colec ao finita de conjuntos fechados e um conjunto fechado 419 419 Dˆe exemplo de uma fam ılia de conjuntos fechados cuja uniao nao e um fechado 112 CAP CAP ITU ITULO 4 LO 4 NOC NOC OES DE TOPOLOGIA DA RETA OES DE TOPOLOGIA DA RETA 420 420 Dˆe exemplo de uma fam ılia de conjuntos abertos cuja intersec ao nao e um aberto 421 421 Dizemos que um conjunto D R e denso em R se D a b para todo intervalo aberto a b R Prove que D e denso em R se e somente se todo n umero real x0 e ponto de acumulac ao de D 422 422 Se A e B sao conjuntos nao vazios definese a dist ˆancia entre A e B por d A B inf a b a A e b B a a Prove que se d A B 0 com A fechado e B com pacto entao A B b b Dˆe exemplos de dois conjuntos fechados A e B tais que d A B 0 e A B 423 423 Mostre que toda colec ao de abertos n ao vazios e dois a dois disjuntos de R e enumeravel Cap Capıtulo 5 ıtulo 5 Li Limi mite tes s de de Fu Func nc oes oes 51 51 Introduc Introduc ao ao O nosso principal objetivo nesse Cap ıtulo e ampliar o con ceito de limite j a introduzido no Capıtulo 2 para o caso de sequˆencias numericas para a situac ao mais geral de func oes reais definidas em subconjuntos de R A nossa estrategia levando em considerac ao o p ublico alvo deste texto e apresentar o conceito na forma mais ampla possıvel de modo a dar condic oes mınimas aos interessados em leituras mais avancadas mas procurando estabelecer as equivalˆencias em termos de limites de sequˆencias numericas de tal modo a aproveitar bem o ma terial at e agora estudado 52 52 Func Func oes Limitadas oes Limitadas DDeefifinniicc ao 51 ao 51 Dados um subconjunto S de R e f S R uma func ao real dizemos que f e limitada inferiormente quando existe m R tal que m f x para todo x S 113 114 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES Analogamente dizemos que f e limitada superiormente quando existe M R tal que f x M para todo x S Quando f e ao mesmo tempo limitada inferiormente e su periormente dizemos que e limitada Ou seja quando existem m e M em R tais que m f x M para todo x S ou equivalentemente existe C 0 tal que f x C para todo x S Vemos deste modo que f S R e uma funcao limitada se e somente se a sua imagem f S f x x S e um subconjunto limitado de R e portanto existem inf xS f x e sup xS f x Exemplo 51 Exemplo 51 A func ao f R R dada por f x x2 e limitada inferiormente pois 0 f x para todo x R mas n ao e limitada superiormente pois para cada M 0 tomando x0 M 1 obtemos f x0 f M 1 M 12 M 1 M Exemplo 52 Exemplo 52 A func ao f 0 R definida por por f x 1 x n ao e limitada superiormente pois dado M 0 podemos encontrar x 0 de tal modo que x 1 M e conseq uentemente f x 1 x M Mas f e limitada inferiormente pois 0 f x para todo x 0 Al em disso temos que inf x0 f x 0 pois 5 52 2 FU FUNC NC OES OES LIMIT LIMITADAS ADAS 115 dado ε 0 existe x R tal que x 1 ε e assim 0 f x 1 x ε Agora para a 0 f restrita a a e limitada pois se x a 0 temos 0 1 x 1 a Pr Prop opos osic ic ao 51 ao 51 Sejam f S R e g S R func oes reais ii Se f e g s ao limitadas ent ao f g e f g s ao limitadas ii ii Se f e limitada e existe α 0 tal que g x α x S ent ao f g e limitada Prova Prova i Existem M 1 0 e M 2 0 tais que f x M 1 e g x M 2 x S Entao f g x f x g x f x g x M 1 M 2 e f g x f xg x f xg x M 1 M 2 ii Existe M 0 tal que f x M para todo x S Logo f g x f x g x f x g x M α para todo x S 116 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES 53 53 Limite Limites s de de Func Func oes Reais oes Reais Sejam S um subconjunto de R a um ponto de acumulac ao de S e f S R uma func ao real Dizemos que L R e o limite de f em a e escrevemos lim xa f x L quando para cada ε 0 existe δ 0 tal que x S e 0 x a δ acarreta f x L ε Equivalentemente lim xa f x L quando dada qualquer vizinhanca V ε L existe V δa tal que se x S V δa entao f x V ε L E claro que o n umero δ cuja existˆencia e assegurada pela definic ao de limite n ao e unico pois para qualquer δ 0 sat isfazendo δ δ tambem tese que que x S e 0 x a δ acarreta f x L ε Exemplo 53 Exemplo 53 Considere f R R definida por f x 3 x 1 Ent ao lim x3 f x 8 De fato dado ε 0 tome δ 3 e temos que se 0 x 3 δ f x 8 3 x 1 8 3 x 9 3 x 3 3δ ε Exemplo 54 Exemplo 54 Considere f R R definida por f x x2 4 x 2 se x 2 1 se x 2 Ent ao lim x2 f x 4 Com efeito dado ε 0 tome δ ε e temos que se 0 x 2 δ x2 4 x 2 4 x 2 x 2 x 2 4 x 2 δ ε 53 53 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES REAIS OES REAIS 117 Exemplo 55 Exemplo 55 Seja f R R definida por f x x2 Ent ao lim x3 f x 9 De fato dado ε 0 devemos determinar δ 0 tal que 0 x 3 δ implique em f x 9 ε Como queremos estimar f nas proximidades do ponto 3 podemos nos restringir aos pontos x tais que x 3 1 Neste caso temos x x 3 3 x 3 3 4 e assim x 3 7 Logo f x 9 x2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 7 x 3 Vemos ent ao que se escolhemos δ min1 ε 7 temos 0 x 3 δ x2 9 7δ ε Exemplo 56 Exemplo 56 A func ao f 0 R dada por f x x e tal que lim xa f x a para a 0 De fato dado ε 0 devemos determinar δ 0 tal que 0 x a δ implique em x a ε Observemos inicialmente que para todo x 0 temos x a x a x a x a x a x a Como para todo x 0 temos sempre que x a a ent ao 1 x a 1 a Logo x a 1 a x a e portanto dado ε 0 podemos escolher δ ε a para ter mos x a ε A proposic ao a seguir estabelece uma equival ˆencia entre a definicao de limite formulada em termos de epsilons e deltas com uma formulacao em termos de seq uˆencias convergentes 118 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES Pr Prop opos osic ic ao 52 ao 52 Sejam f S R uma func ao real e a um ponto de acumulac ao de S Ent ao lim xa f x L se e somente se para toda seq u ˆ encia xn de pontos de S com xn a para todo n N e lim x xn a temse lim xa f xn L Prova Prova Suponhamos que lim xa f x L Se xn e uma sequˆencia de pontos de S com xn a para todo n N e lim x xn a entao dado ε 0 existe δ 0 tal que x S e 0 x a δ f x L ε Por outro lado para o δ 0 acima determinado existe N N tal que n N xn a δ Assim para n N temos 0 xn a δ e portanto f xn L ε ou seja lim n f xn L Reciprocamente suponhamos que para qualquer seq uˆencia x n de pontos de S com x n a para todo n N e lim x xn a temse lim xa f xn L Mostremos que lim xa f x L Negar essa hip otese significa dizer que ex iste um n umero ε0 0 tal que para cada n N e possıvel encontrar xn S com 0 xn a 1 n mas f xn L ε0 Neste caso terıamos xn a para todo n N com lim n xn a sem que lim n f xn L o que e uma contradic ao Corol Corolario 1 ario 1 Se lim xa f x L e lim xa f x M ent ao L M Prova Prova Considere uma sequˆencia xn com xn a para todo n N e lim n xn a Temos entao que lim n f xn L e lim x f xn M o que implica vide Proposic ao 21 em L M Corol Corolario 2 ario 2 Sejam f S R e g S R com lim xa f x L e lim xa g x M ent ao 53 53 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES REAIS OES REAIS 119 ii lim xa f x g x L M ii ii lim xa f xg x L M iii iii Se g x 0 e M 0 ent ao lim xa f x g x L M Prova Prova Seja xn tal que xn a para todo n N e lim n xn a Entao lim n f xn L e lim n g xn M Segue agora da Proposic ao 23 que a a lim n f xn g xn L M b b lim n f xng xn L M c c lim n f xn g xn L M o que demonstra o corol ario Corol Corolario 3 ario 3 Sejam f e g func oes reais tais que f x g x para todo x a Se lim xa f x L e lim xa g x M ent ao L M Prova Prova Seja xn tal que xn a para todo n N e lim n xn a Entao lim n f xn L e lim x g xn M Como f xn g xn para todo n N segue da Proposic ao 24 que L M Corol Corolario 4 ario 4 Sejam f g e h func oes reais tais que f x g x h x para todo x a Se lim xa f x lim xa h x L ent ao lim xa g x L Prova Prova Seja xn tal que xn a para todo n N e lim n xn a Entao lim n f xn lim n h xn L Como f xn g xn h xn para todo n N segue da Proposic ao 25 que lim n g xn L e portanto lim xa g x L 120 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES Corol Corolario 5 ario 5 Se lim xa f x L ent ao lim xa f x L Prova Prova Seja xn tal que xn a para todo n N e lim n xn a Temos que lim n f xn L e portanto da Proposic ao 24 segue que lim n f xn L Logo lim x a f x L Pr Prop opos osic ic ao 53 ao 53 Sejam f S R e gS R func oes reais e a um ponto de acumulac ao de S Suponhamos que lim xa f x 0 e g e limitada em uma vizinhanca de a Ent ao lim xa f xg x 0 Prova Prova Sendo g limitada em uma vizinhaca de a entao existem numeros reais C e h positivos tais que g x C para todo x S com 0 x a h Logo 0 f xg x f xg x C f x Como lim xa f x lim xa f x 0 0 temos pelo Corol ario 4 da Proposicao 52 que lim xa f xg x 0 o que acarreta lim xa f xg x 0 Exemplo 57 Exemplo 57 Sejam f g R R dadas por f x c c con stante e g x x Ent ao para todo a R temos lim xa f x c e lim xa g x a pois se xn e tal que xn a para todo n N e lim n xn a temos f xn c e g xn xn para todo n N e portanto lim n f xn c e lim n g xn a Exemplo 58 Exemplo 58 Seja p R R um polin ˆ omio isto e existem n umeros reais a0 a1 an tais que p x a0 a1 xan xn para todo x R Usando o Exemplo 57 e fazendo aplicac oes sucessivas do Corol ario 2 da Proposic ao 52 segue que lim xa p x pa Temos tamb em que se q e um polin ˆ omio com qa 0 53 53 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES REAIS OES REAIS 121 ent ao existe uma vizinhanca de a na qual q x 0 e portanto em tal vizinhanca a func ao f x p x q x est a bem definida e vale que lim xa p x q x pa qa Exemplo 59 Exemplo 59 Considere f R 0 R dada por f x sen 1 x Verifiquemos que f n ao possui limite em x0 0 Para tanto consideremos a seq u ˆ encia xn dada por xn 2 2n1π Temos que xn 0 para todo n N limn xn 0 e f xn sen 1 xn sen 2n 1π 2 sen nπ π 2 Assim f xn 1 se n e par e f xn 1 se n e ımpar ou seja a seq u ˆ encia f xn n ao possui limite Veja um esboco do gr afico de f abaixo 122 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES Exemplo 510 Exemplo 510 Considere a func ao f R0 R definida por f x xsen 1 x Temos que lim x0 x 0 e sen 1 x 1 para todo x 0 Pela Proposic ao 53 segue que lim x0 f x 0 Veja um esboco do gr afico de f abaixo Exemplo 511 Exemplo 511 A func ao 1 f R R dada por f x 1 se x Q 0 se x R Q n ao tem limite em ponto algum de R De fato se a R podemos escolher uma seq u ˆ encia de racionais xn e uma seq u ˆ encia de irracionais yn com xn a e yn a para todo n N e tais que xn a e yn a Neste caso temos f xn 1 e f yn 0 para todo n N e portanto lim n f xn 0 e lim n f yn 1 ou seja f n ao possui limite em a 5 54 4 Li Limi mite tess La Late tera raisis In Infin finititos os ee no no In Infin finititoo No estudo de algumas func oes reais particulares certas situac oes merecem destaque tais como nas vizinhancas de um determinado ponto o comportamento dos valores da func ao pode ser diferente quando a variavel independente se aprox ima do ponto em quest ao pela esquerda ou pela direita a func ao pode estar definida para valores muito grandes em val ores absolutos e e importante analisar o que ocorre com os valores da funcao O nosso objetivo nesta secao e introduzir a linguagem matematica adequada para tratar tais situacoes 1A funcao f do Exemplo 511 e conhecida como Funcao de Dirichlet 54 54 LIMITES LA LIMITES LATERAIS INFIN TERAIS INFINITOS E NO INFINITO ITOS E NO INFINITO 123 54 541 1 Lim Limite ites s Lat Later erais ais DDeefifinniicc ao 52 ao 52 Seja f uma func ao real definida no intervalo a a η para algum η 0 Dizemos que um n umero L e o limite lateral a direita de f em a e escrevemos lim x a f x L se para cada ε 0 existe δ 0 δ η tal que a x a δ acarreta f x L ε Analogamente se f est a definida em um intervalo a η a para algum η 0 dizemos que um n umero L e o limite lateral a esquerda de f em a e escreve mos lim xa f x L quando para cada ε 0 existe δ 0 δ η tal que a δ x a acarreta f x L ε Exemplo 512 Exemplo 512 Consideremos f R R dada por f x x 1 se x 2 2 x 3 se x 2 Temos lim x2 f x 1 e lim x2 f x 3 De fato dado ε 0 tomemos δ ε 2 e obtemos para 2 x 2 δ isto e 0 x 2 δ f x 1 2 x 3 1 2 x 4 2 x 2 2 x 2 2δ ε Para o c alculo do limite a esquerda no ponto 2 tome agora δ ε e temos para 2 δ x 2 isto e x 2 δ f x 3 x 1 3 x 2 x 2 δ ε Vide esboco do gr afico de f abaixo Pr Prop opos osic ic ao 54 ao 54 Seja f a η a a a η R Ent ao lim xa f x L se e somente se lim xa f x lim xa f x L 124 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES Prova Prova Suponhamos que lim xa f x L Assim dado ε 0 existe δ 0 tal que se 0 x a δ entao f x L ε Portanto a x a δ implica f x L ε e a δ x a implica f x L ε Assim lim xa f x L e lim xa f x L Reciprocamente suponhamos que lim xa f x lim xa f x L Dado ε 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que se a x a δ1 temse f x L ε e se a δ2 x a temse f x L ε Seja δ minδ1 δ2 Entao para 0 x a δ ou seja x a δ a a δ2 a ou x a a δ a a δ1 temos f x L ε Logo lim xa f x L Exemplo 513 Exemplo 513 Seja f R R definida por f x x2 se x 0 x se x 0 Dado ε 0 escolhamos δ ε Se consideramos 0 x δ ent ao f x 0 x2 x2 δ2 ε Assim lim x0 f x 0 Por outro lado dado ε 0 podemos escolher δ ε e temos para δ x 0 f x 0 x x δ ε isto e lim x0 f x 0 Logo pela Proposic ao 54 lim x0 f x 0 54 542 2 Lim Limite ites s In Infini finitos tos DDeefifinniicc ao 53 ao 53 Seja f S R e a um ponto de acumulac ao de S Dizemos que o limite de f em a e e escrevemos lim xa f x quando para cada M 0 existe δ 0 tal que 0 x a δ ent ao f x M Analogamente dizemos que o limite de f em a e e escrevemos lim xa f x quando para cada M 0 existe δ 0 tal que 0 x a δ ent ao f x M 54 54 LIMITES LA LIMITES LATERAIS INFIN TERAIS INFINITOS E NO INFINITO ITOS E NO INFINITO 125 Exemplo 514 Exemplo 514 Consideremos f R 0 R definida por f x 1 x Dado M 0 escolhamos δ 1 M Ent ao para 0 x 0 δ ou seja 0 x 1 M obtemos 1 x M Portanto lim x0 f x Exemplo 515 Exemplo 515 Seja f R 0 R definida por f x ln x Dado M 0 tomemos δ e M Se 0 x 0 δ ou seja 0 x e M ent ao ln x M Logo lim x0 f x 54 543 3 Lim Limite ites s no no In Infini finito to De Defifini nicc ao 54 ao 54 Seja f a R Dizemos que um n umero L e o limite de f em e escrevemos lim x f x L quando para cada ε 0 existe K 0 tal que se x K acarreta f x L ε Analogamente se f a R dizemos que L e o limite de f em e escrevemos lim x f x L quando para cada ε 0 existe K 0 tal que x K ent ao f x L ε Exemplo 516 Exemplo 516 Seja f 0 R dada por f x 1 1 x Dado ε 0 tomemos K 1 ε e obteremos para x K f x 0 1 1 x 1 1 x 1 x 1 K ε Portanto lim x f x 0 Exemplo 517 Exemplo 517 Considere f 1 R definida por f x 1 1 x Dado ε 0 tomemos K 1 1 ε para obter para x 1 1 ε f x 0 1 1 x 1 1 x ε Portanto lim x f x 0 126 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES Exemplo 518 Exemplo 518 A func ao do exemplo anterior possui limite lat eral a esquerda igual a no ponto 1 Para ver isto se K 0 e dado tomemos δ 1 M e temos para 1 δ x 1 isto e 0 1 x δ f x 1 1 x 1 δ K Portanto lim x1 f x DDeefifinniicc ao 55 ao 55 Seja f a R Dizemos que f tem limite quando x tende a e escrevemos lim x f x quando para cada M 0 existe K 0 tal que se x K ent ao f x M Analogamente se f a R dizemos que f tem limite quando x tende a e escrevemos lim x f x quando para cada M 0 existe K 0 tal que se x K implica f x M Ha ainda os casos lim x f x e lim x f x os quais recomendamos ao leitor formalizalos como exercıcios Exemplo 519 Exemplo 519 Seja f 0 R dada por f x x Para cada M 0 escolhamos K M 2 e obtemos para x K f x x K M 2 M ou seja lim x f x 55 55 Func Func oes Mon oes Monotonas otonas Uma funcao f S R definida em um subconjunto S de R e dita n ao decrecente se para todo par de pontos x1 e x2 em 5 55 5 FU FUNC NC OES MON OES MON OTONAS OTONAS 127 S com x1 x2 temse f x1 f x2 Quando vale a desigual dade estrita dizemos que f e crescente Analogamente define se funcao nao crescente e funcao decrescente Classificamos tais tipos de funcoes como funcoes mon otonas Notemos que uma func ao constante e simultaneamente n ao crescente e n ao decrescente Observe que pode ocorrer de f S R n ao ser monotona mas sua restric ao a algum subconjunto de S ser Este e o caso por exemplo da func ao f R R dada por f x x que e decrescente no intervalo 0 e crescente no intervalo 0 Exemplo 520 Exemplo 520 Seja f R R tal que f x x3 Temos que f e crecente pois se x y ent ao f x f y x3 y3 x y x2 xy y2 Mas quaisquer que sejam x e y temse x2 xy y2 x2 2 x y 2 y2 4 3 y2 4 x y 22 3 y2 4 0 e assim f x f y x y x2 xy y2 0 ou seja f x f y se x y Vide esboco do gr afico de f abaixo 128 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES Exemplo 521 Exemplo 521 Consideremos a func ao f 1 R dada por f x 1 x onde x denota a func ao ch ao de x isto e x o maior inteiro que e menor ou igual a x Mostremos que f e n ao crescente Para tanto sejam x1 e x2 em 1 com x1 x2 Temos que existem unicos n umeros naturais n1 e n2 tais que x1 n1 n1 1 e x2 n2 n2 1 e al em disso n1 n2 uma vez que x1 x2 Portanto f x1 1 x1 1 n1 1 n2 1 x2 f x2 ou seja f e n ao crescente Observemos que quando f S R e crescente ou de crescente segue da definic ao que f e injetiva isto e x1 x2 acarreta que f x1 f x2 Portanto existe a func ao inversa f 1 f S S dada por f 1 y x se e somente se f x y Pr Prop opos osic ic ao 55 ao 55 Se f a b R e mon otona ent ao existem os limites laterais de f em cada ponto x0 a b Prova Prova Suponhamos que f e nao decrescente o caso f nao crecente e analogo e deixado como exercıcio Se x0 a b para todo x a x0 temos f x f x0 Ou seja f restrita a a x0 e limitada superiormente Seja α o supremo do con junto f x x a x0 Mostremos que lim x x 0 f x α Para tanto dado ε 0 sendo α o supremo de f em a x0 ex iste x1 a x0 satisfazendo α ε f x1 α Tomemos δ x0 x1 0 e obtemos para x0 δ x x0 f x α α f x α f x1 ε ou seja lim x x 0 f x α Por outro lado f e limitada inferiormente em x0 b pois aı f x0 f x Tomemos agora β o ınfimo do 5 55 5 FU FUNC NC OES MON OES MON OTONAS OTONAS 129 conjunto f x x x0 b e mostremos que lim x x 0 f x β Dado ε 0 sendo β o ınfimo de f em x0 b existe x2 x0 b tal que β f x2 β ε Tomemos δ x2 x0 0 e ent ao para todo x tal que x0 x x0 δ temos f x β f x β f x2 β ε isto e lim x x 0 f x β Corol Corolario 1 ario 1 Se f e n ao decrescente em a b ent ao para cada x0 a b temos lim x x 0 f x sup xa x0 f x f x0 inf x x0b f x lim x x 0 f x e se f e n ao crescente em a b ent ao para cada x0 a b temos lim x x 0 f x inf xa x0 f x f x0 sup x x0b f x lim x x 0 f x Segue do Corol ario 1 da Proposic ao 55 que quando f e monotona em a b entao o valor de f em x0 e finito uma vez que existem e sao finitos os limites laterais em cada ponto x0 a b Corol Corolario 2 ario 2 Se f e n ao decrescente em a b e se a x1 x2 b ent ao lim x x 1 f x lim x x 2 f x Prova Prova Escolha ˆ x x1 x2 Desde que ˆ x x1 b temos inf x x1b f x f ˆ x Analogamente desde que ˆ x a x2 entao f ˆ x sup xa x2 f x 130 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES Agora pelo Corolario 1 da Proposicao 55 temos lim x x 1 f x inf x x1b f x f ˆ x sup xa x2 f x lim x x 2 f x o que demonstra o Corolario Uma propriedade de destaque das func oes monotonas definidas em intervalos e que em cada ponto do intervalo o limite existe e este coincide com o valor da func ao no ponto exceto even tualmente em um subconjunto cont avel Este resultado e o que estabelece a proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 56 ao 56 Se f a b R e mon otona ent ao existe lim x x0 f x e e igual a f x0 exceto eventualmente em uma quantidade cont avel de pontos de a b Prova Prova Suponhamos que f e nao decrescente o caso n ao crescente e feito de maneira semelhante em a b Sabemos pelo Corolario 1 da Proposicao 55 que para todo ponto x0 de a b temos lim x x 0 f x f x0 lim x x 0 f x Chamemos de N o subconjunto de a b dado por N x0 a b lim x x 0 f x lim x x 0 f x Dizer que x0 N significa que lim x x 0 f x f x0 lim x x 0 f x ou seja o limite de f em x0 existe e e igual a f x0 Assim e suficiente provarmos que N e contavel Para cada x0 N escolhamos r x0 Q tal que lim x x 0 f x r x0 lim x x 0 f x 5 55 5 FU FUNC NC OES MON OES MON OTONAS OTONAS 131 Um tal r x0 sempre existe em virtude da densidade de Q em R Seja Ψ N Q a func ao que a cada x0 N associa o r x0 acima escolhido Afirmamos que Ψ e injetiva De fato se x1 e x2 pertencem a N com x1 x2 ent ao lim x x 1 f x lim x x 1 f x e lim x x 2 f x lim x x 2 f x e pelo Corol ario 2 da Proposicao 55 temos lim x x 1 f x lim x x 2 f x Logo Ψ x1 r x1 lim x x 1 f x lim x x 2 f x r x2 Ψ x2 Isto e Ψ x1 Ψ x2 e portanto Ψ e injetiva Segue da Proposic ao 16 que N e cont avel como querıamos 132 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES 556 6 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 5 ıtulo 5 51 51 Prove que ii lim x 1 x3 1 ii ii lim x1 x2 1 x 1 2 iii iii lim x2 2 x 1 3 iv iv lim xa cos x cosa 52 52 Prove que se lim xa f x L entao existe uma vizinhanca de a na qual f e limitada 53 53 Prove que se f x 0 x a e lim xa f x L entao lim xa f x L 54 54 Prove que cada uma das seguintes func oes e limitada no intervalo indicado a a f x sen x 1 x2 em b b f x sen x x em 0 c c f x cos x x2 2 x 2 em d d f x 1 x2 1 x3 em 1 1 55 55 Encontre o supremo e o ınfimo das seguintes func oes a a f x 3 2 x x2 em 0 4 b b f x 2 x 1 em 2 2 56 56 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 5 ITULO 5 133 c c f x e x em 56 56 Suponha que f e limitada em A e g e ilimitada em A Prove que f g deixa de ser limitada em A 57 57 Encontre func oes f e g nenhuma das quais e limitada em A mas que o produto e limitada em A 58 58 Prove que se lim xa f x 0 entao lim xa f x 0 59 59 Calcule os seguintes limites a a lim x0 x 1 1 x b b lim x x 1 x 510 510 Sejam f g S R R func oes limitadas Prove que a a sup f g sup f sup g b b inf f g inf f inf g c c supc f c sup f e infc f c inf f se c 0 d d Se c 0 temse supc f c inf f e infc f c sup f 511 511 Prove que ii Para todo a b R a2 ab b2 0 ii ii A func ao f R R tal que f x x3 e extritamente crescente em R 512 512 Prove que se lim x a f x e f x g x em alguma vizinhanca suprimida de x a ent ao lim xa g x 513 513 Prove que 134 CAP CAP ITULO 5 ITULO 5 LIMIT LIMITES DE FU ES DE FUNC NC OES OES a a Se lim xa f x entao lim xa 1 f x 0 b b Se lim xa f x 0 e f x 0 x V δa entao lim x a 1 f x 514 514 Prove que se lim x f x L ent ao existe a R tal que f e limitada em a 515 515 Prove que se f e monotona decrescente em a b entao para cada x0 a b lim x x 0 f x e lim x x 0 f x ambos exis tem e vale lim x x 0 f x inf xa x0 f x f x0 e f x0 sup x x0b f x lim x x 0 f x 516 516 Prove que se f e monotona decrescente em a b entao para a x1 x2 b temos lim x x 1 f x lim x x 2 f x 517 517 Se f x g x x S dˆe um contraexemplo para mostrar que em geral nao se tem lim xa f x lim xa g x 518 518 Seja f Q R definida por f p q 1 q onde p e q s ao primos entre si e q 1 Mostre que a R lim xa f x 0 Cap Capıtulo 6 ıtulo 6 FFuunncc oes Cont oes Contınuas ınuas 61 61 Introduc Introduc ao ao Apresentamos neste cap ıtulo o conceito de continuidade de func oes reais Tal conceito e sem d uvida um dos mais basicos em Calculo e Analise Real muito importante em aplicac oes dada a sua utilidade em problemas de aproximac oes e funda mental em outras areas como Geometria e Topologia Intuitiva mente falando a propriedade de continuidade de uma func ao significa que pequenas variac oes na vari avel independente produz pequenas variacoes nos valores da funcao 62 62 Func Func oes Cont oes Contınuas ınuas DDeefifinniicc ao 61 ao 61 Sejam f S R uma func ao definida em um subconjunto n ao vazio de R e x0 um ponto de acumulac ao de S Dizemos que f e cont ınua em x0 se lim x x0 f x f x0 isto e se para cada ε 0 existe δ 0 que pode depender de 135 136 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS ε e de x0 tal que x S e x x0 δ f x f x0 ε Uma observac ao necessaria a ser feita neste inst ante e que quando definimos limite de uma funcao f S R em um ponto x0 vide sec ao 53 n ao exigimos que tal ponto fosse necessariamente um ponto de S mas sim que fosse ponto de acumulac ao de S A exig ˆencia dessa hip otese e que ao in vestigarmos a existˆencia do limite de uma funcao em um ponto x0 R n ao importa se a func ao est a definida em x0 e sim que esteja definida em pontos pr oximos de x0 Por outro lado na Definic ao 61 acima o ponto x0 pertence a S o domınio de f podendo ser ou nao um ponto de acumulac ao de S Ocorre no entanto que se x0 nao for ponto de acumulacao de S isto e se existe δ0 0 tal que x0 δ0 x0 δ0 S x0 ent ao f e necessariamente contınua em x0 pois dado ε 0 podemos tomar δ δ0 e teremos que se x S e x x0 δ0 entao x x0 logo f x f x0 0 ε Quando x0 S nao e ponto de acumulac ao de S dizemos que e um ponto isolado de S O que acabamos de mostrar no paragrafo anterior foi que toda func ao e contınua em pontos isolados do seu dom ınio de definicao Uma outra observac ao importante a ser feita e que a pro priedade de f ser contınua em x0 e uma propriedade local isto e o que importa s ao os valores de f para x em uma vizinhanca de x0 E com base nessa observac ao que ao in vestigarmos a existˆencia do limite de uma determinada funcao f em um ponto x0 e em particular ao verificarmos se f e contınua em x0 podemos restringir os valores de x a uma vizinhanca especıfica e conveniente de x0 Usamos esse pro cedimento no Exemplo 64 6 62 2 FU FUNC NC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 137 Exemplo 61 Exemplo 61 Seja f R R definida por f x k k uma constante Se x0 e um ponto arbitr ario de R ent ao f e cont ınua em x0 pois para qualquer ε 0 podemos tomar δ como sendo qualquer valor positivo e temos x x0 δ f x f x0 k k 0 ε Exemplo 62 Exemplo 62 Considere f R R definida por f x x e seja x0 um ponto arbitr ario de R Se ε 0 e dado tomemos δ ε e obtemos x x0 δ f x f x0 x x0 δ ε Portanto f e contınua em x0 Exemplo 63 Exemplo 63 Seja f R R definida por f x ax b a e b constantes Considere x0 um ponto arbitr ario de R Se a 0 ent ao f e constante e j a vimos no Exemplo 61 que f e contınua em x0 Se agora a 0 dado ε 0 tomemos δ ε a e temos f x f x0 ax b ax0 b a x x0 ε se x x0 δ Portanto em qualquer caso f e cont ınua em x0 Exemplo 64 Exemplo 64 Considere f R R definida por f x x2 e seja x0 um ponto arbitr ario de R Mostremos que f e cont ınua em x0 Em primeiro lugar vamos considerar x x0 1 x0 1 ou seja x x0 1 Neste caso x 1 x0 Assim f x f x0 x2 x2 0 x x0 x x0 x x0 x x0 1 2 x0 x x0 Portanto dado ε 0 tomando δ min1 ε 1 2 x0 teremos x x0 δ f x f x0 ε 138 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS No Exemplo 64 fica evidente a dependˆencia do δ ao ε dado e ao x0 considerado Exemplo 65 Exemplo 65 Seja f R R dada por f x x Sabemos que quaisquer que sejam x e x0 em R x x0 x x0 Portanto dado ε 0 arbitr ario podemos tomar δ ε para concluirmos que f x f x0 x x0 x x0 ε se x x0 δ Quando f S R n ao e contınua em x0 S dizemos que e descontınua em x0 ou que x0 e uma descontinuidade de f Assim como costumamos proceder nos cursos de C alculo para f ser contınua em x0 devemos observar trˆes itens 1 1 f esta definida em x0 2 2 Existe o limite de f em x0 3 3 lim x x0 f x f x0 Se pelo menos um dos itens acima nao for verdadeiro entao f e descontınua em x0 Exemplo 66 Exemplo 66 Consideremos f R 1 R definida por f x x2 1 x 1 Temos que lim x1 f x lim x1 x2 1 x 1 lim x1 x 1 x 1 x 1 lim x1 x 1 2 Como f n ao est a definida em x0 1 n ao cabe arguir sobre continuidade ou descontinuidade neste ponto No entanto temos uma boa alternativa para estender f a toda a reta de modo a termos uma func ao cont ınua basta definir f 1 2 6 62 2 FU FUNC NC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 139 Exemplo 67 Exemplo 67 Seja f R R definida por f x x se x 0 1 se x 0 Temos que lim x0 f x 0 e lim x0 f x 0 Portanto lim x0 f x 0 f 0 1 ou seja f e descont ınua em x0 0 No Exemplo 67 acima poder ıamos redefinir f no ponto 0 como sendo f 0 0 e assim a nova func ao f seria contınua no ponto Uma descontinuidade como a deste ex emplo e chamada de descontinuidade removıvel Observe que o que fizemos nos Exemplos 66 e 67 para obter uma func ao contınua foi redefinir o valor da func ao no ponto como sendo o valor do limite de f O que estava ocor rendo era que o limite de f no ponto existia mas ou f nao estava definida naquele ponto ou quando estava definida o valor de f no ponto era diferente do valor do limite O que fizemos foi consertar as coisas isto e removemos a descon tinuidade Daı a denominacao descontinuidade removıvel Exemplo 68 Exemplo 68 Consideremos f R 0 R definida por f x x x Temos que xlim 0 f x 1 e lim x 0 f x 1 Assim f n ao possui limite em x0 0 sendo portanto de scont ınua neste ponto 140 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS No Exemplo 68 acima uma vez que os limites laterais de f existem mas s ao distintos e impossıvel redefinir f no ponto x0 0 de modo a ter uma func ao f contınua Uma de scontinuidade como a deste exemplo e chamada de descon tinuidade de salto As descontinuidades removıveis e as de salto s ao classi ficadas como descontinuidades de 1a especie Todos os out ros tipos de descontinuidades sao classificadas como descon tinuidades de 2a especie Exemplo 69 Exemplo 69 Seja f R R definida por f x 1 se x Q 0 se x R Q J a vimos no Exemplo 511 que f n ao possui limite em ponto algum de R Na verdade uma reformulac ao simples do argu mento utilizado naquele Exemplo mostra que em qualquer ponto de R os limites laterais n ao existem Ou seja f e de scont ınua em todos os pontos e todas as descontinuidades s ao de 2a esp ecie A seguir estabelecemos a equival ˆencia entre a definic ao de continuidade em termos de epsilons e deltas e em termos de seq uˆencias convergentes Pr Prop opos osic ic ao 61 ao 61 Seja f S R uma func ao real Ent ao f e cont ınua em x0 S se e somente se para qualquer seq u ˆ encia xn de pontos de S com lim n xn x0 temse que f xn e convergente e lim n f xn f x0 Prova Prova Demonstrac ao analoga a da Proposic ao 52 6 62 2 FU FUNC NC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 141 Pr Prop opos osic ic ao 62 ao 62 Sejam f e g de S R em R cont ınuas em x0 S Ent ao a a f g e contınua em x0 b b f g e cont ınua em x0 c c Se g x0 0 ent ao existe uma vizinhanca V η x0 tal que a func ao f g est a bem em definida em V η x0 S e e cont ınua em x0 Prova Prova A prova dos itens a e b segue diretamente do Corolario 2 da Proposic ao 52 Para a prova do item c como g x0 0 consideremos ε0 g x0 2 e desde que g e contınua em x0 ex iste η 0 tal que se x S e x x0 η entaog xg x0 ε0 isto e g x0 g x0 2 g x g x0 g x0 2 Se for g x0 0 segue que 0 g x0 2 g x e se for g x0 0 segue que g x g x0 2 0 Em qualquer caso temos g x 0 em V η x0 S e portanto f g esta aı bem definida A continuidade de f g em x0 decorre do Corolario 2 da Proposicao 52 142 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS Exemplo 610 Exemplo 610 Vimos nos Exemplos 61 e 62 que toda func ao constante e a func ao identidade s ao cont ınuas em todo ponto x0 R Logo por aplicac oes sucessivas dos itens a e b da Proposic ao 62 deduzimos que as func oes polinomiais s ao contınuas em todo ponto x0 R Segue agora deste ultimo fato e do item c da Proposic ao 62 que as func oes racionais isto e definidas como quociente de dois polinˆ omios s ao contınuas em todos os pontos onde o denominador n ao se anule Observe que usando a Proposic ao 62 reobtemos a con tinuidade das funcoes dadas nos Exemplos 63 e 64 Pr Prop opos osic ic ao 63 ao 63 Sejam f S R e g T R com f S T f cont ınua em x0 S e g cont ınua em f x0 T Ent ao g f S R e contınua em x0 Prova Prova Seja xn uma sequˆencia de pontos de S tal que lim n xn x0 Sendo f contınua em x0 ent ao lim n f xn f x0 e sendo g contınua em f x0 segue que lim n g f xn g f x0 Ou seja lim ng f xn g f x0 o que significa a continuidade de g f em x0 Usando a Proposic ao 63 e o Exemplo 65 deduzimos que se f S R e contınua em x0 S entao f S R dada por f x f x e contınua em x0 Quando uma func ao f e contınua em todos os pontos do seu domınio de definic ao S dizemos que e contınua em S 6 62 2 FU FUNC NC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 143 Exemplo 611 Exemplo 611 Considere f S R uma func ao com a seguinte propriedade 1 existe k 0 tal que f x f y k x y Ent ao f e cont ınua em S pois dados um ponto qualquer x0 de S e ε 0 tomemos δ ε k e temos que se x S e x x0 δ f x f x0 k x x0 k ε k ε Exemplo 612 Exemplo 612 Vamos mostrar que a func ao seno e cont ınua em todo R Em primeiro lugar temos que para todo x R sen x x e em segundo lugar temos que sen xsen y 2sen x y 2 cos x y 2 Logo como a func ao cosseno e limitada por 1 vem que sen xsen y x y para todo x y R isto e a func ao seno e lipschitziana Segue do Exemplo 611 que seno e cont ınua Exemplo 613 Exemplo 613 Seja f R R definida por f x sen 1 x se x 0 0 se x 0 Temos que f e cont ınua em R0 uma vez que e a composta da func ao seno com a func ao racional 1 x em R0 Observe que conforme podemos deduzir do Exemplo 59 f n ao possui limites laterais em x0 0 sendo este ponto portanto uma descontinuidade de 2 a esp ecie 1Uma funcao com tal propriedade e dita funcao lipschitziana em honra ao matematico Rudolph Lipschitz 18311904 144 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS Exemplo 614 Exemplo 614 Considere g R R definida por g x xsen 1 x se x 0 0 se x 0 Ent ao g e cont ınua em todo R De fato se x0 0 temos lim x0 g x lim x0 xsen1 x 0 g0 Logo g e contınua em x0 Agora se x 0 temos pelo Exem plo 613 que a func ao f dada por f x sen 1 x e cont ınua em R 0 e pelo Exemplo 62 a func ao h dada por h x x e contınua em R Portanto pelo item b da Proposic ao 62 segue que g e cont ınua em R Observe que para x 0 g x xsen 1 x xsen 1 x x Como g0 0 concluimos que para todo x R x g x x Assim o gr afico de g est a compreendido entre as retas y x e y x Exemplo 615 Exemplo 615 Utilizando um racic ınio totalmente an alogo ao do exemplo anterior podemos mostrar que a func ao g R R definida por g x x2sen 1 x se x 0 0 se x 0 e cont ınua em todo R Neste exemplo temos que para x 0 g x x2sen 1 x x2 sen 1 x x2 Como g0 0 concluimos que para todo x R x 2 g x x2 Assim o gr afico de g fica compreendido entre as par abolas y x2 e y x2 6 62 2 FU FUNC NC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 145 621 621 Func Func oes Cont oes Contınuas em Intervalos ınuas em Intervalos Conforme ja comentamos anteriormente a propriedade de continuidade e uma propriedade loc al No entanto quando as funcoes contınuas estao definidas em intervalos estas pos suem otimas propriedades globais Algumas destas propriedades serao exploradas nessa secao Antes porem a fim de garantir a clareza dos enunciados fazse necess ario introduzir o con ceito de continuidade a direita e a esquerda de um ponto DDeefifinniicc ao 62 ao 62 Dizse que uma func ao f S R e cont ınua a direita no ponto x0 S se lim x x 0 f x f x0 Analogamente f e contınua a esquerda em x0 se lim x x 0 f x f x0 Exemplo 616 Exemplo 616 Consideremos f R R dada por f x x onde x indica o maior inteiro que e menor ou igual a x Dado k Z temos f x k para k x k 1 e f x k 1 para k 1 x k Portanto lim xk f x k 1 f k e lim xk f x k f k Logo em x0 k temos que f e contınua a direita e descont ınua a esquerda Dada uma funcao real f definida em um intervalo fechado a b quando dissermos que f e contınua em a b fica suben tendido que nas extremidades do intervalo estamos considerando a continuidade lateral correspondente Teorema 61 Teorema 61 Consideremos a b um intervalo fechado e lim itado de R Ent ao toda func ao cont ınua f a b R e limi tada Prova Prova Suponhamos por absurdo que f nao fosse limitada Entao para cada n N existiria um ponto xn em a b tal que f xn n Sendo a b um limitado ent ao xn seria uma 146 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS sequˆencia limitada e pelo Teorema de BolzanoWeierstrass possuiria uma subsequˆencia xn j convergente para um ponto α R Sendo a b um fechado de R segue da Proposic ao 47 que α a b Pela continuidade de f terıamos que f xn j seria convergente exatamente para f α e em particular se ria limitada Mas isso n ao poderia ocorrer pois f xn j n j Logo f tera que ser limitada Ob Obse serrva vacc ao ao Na demonstrac ao do Teorema 61 acima n ao usamos o fato de a b ser um intervalo mas somente o fato de ser um fechado e limitado isto e um compacto de R Assim o que demonstramos foi que func oes reais contınuas definidas em compactos sao limitadas Teorema 62 Teorema do M Teorema 62 Teorema do M aximo e do M aximo e do Mınimo ınimo Sejam a b um intervalo fechado e limitado e f a b R uma func ao cont ınua Ent ao existem α e β em a b tais que f α f x f β para todo x a b Prova Prova Pelo Teorema 61 temos que f a b e um subcon junto limitado de R Logo existem m inf xa b f x e M sup xa b f x Mostremos que existem α e β em a b tais que f α m e f β M isto e o m aximo e o m ınimo s ao atingidos em pontos de a b Suponhamos por contradic ao que o maximo M n ao e atingido ou seja f x M para todo x a b Seja g a b R dada por g x 1 M f x Temos que g e contınua e g x 0 para todo x a b Pelo Teorema 61 existe K 0 tal que 0 g x K para todo x a b Ou 6 62 2 FU FUNC NC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 147 seja 1 M f x K para todo x a b Ou ainda f x M 1 K para todo x a b Mas isso e uma contradic ao pois M 1 K M e M e supremo de f em a b A demostrac ao para o caso do ınfimo e feita de maneira an aloga Teorema 63 Teorema do Valor Intermedi Teorema 63 Teorema do Valor Intermedi ario ario Suponha que f a b R e cont ınua e f a f b Ent ao para cada c R entre f a e f b existe x0 a b tal que f x0 c Prova Prova Se for c f a temos x0 a e se for c f b temos x0 b Suponhamos sem perda da generalidade que f a f b e seja c com f a c f b Consideremos g a b R definida por g x f x c e seja S x a b g x 0 Notemos que S e limitado e n ao vazio uma vez que ga f a c 0 Logo existe x0 sup S Vamos provar que x0 a b e f x0 c De fato como g e contınua a direita em a entao existe δ1 0 tal que se x a a δ1 entao g x 0 Ou seja a a δ1 S De modo que a x0 b Por outro lado gb f b c 0 e como g e contınua a esquerda em b existe δ2 0 tal que se x b δ2 b entao g x 0 Consequentemente a x0 b Sendo x0 sup S para cada n N existe xn S tal que x01 n xn x0 Assim lim n xn x0 Sendo g contınua em x0 ent ao lim n g xn g x0 Como g xn 0 para todo n N ent ao lim n g xn 0 Isto e g x0 0 Agora para todo x a b e x x0 temos g x 0 Isso acarreta que lim x x0 g x 0 Ora como g e contınua em x0 temos g x0 lim x x0 g x lim x x 0 g x 0 148 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS Concluimos que g x0 0 ou seja que f x0 c como querıamos provar Corol Corolario 1 ario 1 Se f est a nas condic oes do Teorema do Valor Intermedi ario e e n ao constante ent ao a imagem de f e o in tervalo fechado m M onde m inf xa b f x e M sup xa b f x Prova Prova Os numeros m e M existem pois f a b e um sub conjunto n ao vazio e limitado de R Pelo Teorema do Maximo e do M ınimo Teorema 62 existem x1 e x2 em a b tais que f x1 m e f x2 M Temos tambem que m M pois f e nao constante Pelo Teorema do Valor Intermedi ario para todo y m M existe x a b tal que f x y Logo f a b m M Corol Corolario 2 ario 2 Se f est a nas condic oes do Teorema do Valor Intermedi ario e e crescente respec decrescente ent ao existe exatamente um x0 em a b tal que f x0 c Prova Prova Suponhamos f crescente Se existissem x0 e x0 em a b com x0 x0 e f x0 f x0 c terıamos uma contradic ao pois c f x0 f x0 c A proposic ao a seguir e uma otima aplicac ao do Teorema do Valor Intermediario Pr Prop opos osic ic ao 64 ao 64 Se f a b a b e cont ınua ent ao existe x0 a b tal que f x0 x0 Prova Prova Considere g a b R dada por g x x f x Temos que g e contınua em a b ga a f a 0 e gb b f b 0 Logo pelo Teorema do Valor Intermedi ario existe x0 a b tal que g x0 0 Isto e f x0 x0 6 62 2 FU FUNC NC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 149 Pr Prop opos osic ic ao 65 ao 65 Seja f a b R cont ınua e injetiva Ent ao a func ao inversa f 1 m M a b e cont ınua onde m inf xa b f x e M sup xa b f x Prova Prova Sejam y0 m M e yn uma seq uˆencia de pontos de m M com lim n yn y0 Devemos mostrar que xn f 1 yn converge para x0 f 1 y0 Suponhamos por contradic ao que isso nao ocorre Entao existe ε0 0 tal que xn x0 ε0 para uma infinidade de ındices isto e existe uma sub sequˆencia xn j de xn tal que xn j x0 ε0 61 Como xn j e limitada pelo Teorema de BolzanoWeierstrass e pelo fato de a b ser um fechado de R a seq uˆencia xn j possui uma subseq uˆencia xn jk convergente para um ponto x a b Em virtude de 61 temos que necess ariamente x0 x Sendo f contınua entao f xn jk converge para f x Mas f xn jk e uma subseq uˆencia de yn e portanto con verge para y0 f x0 Logo pela unicidade do limite temos f x0 f x Mas isso e uma contradic ao uma vez que x0 x e f e injetiva 622 622 Func Func oes Uniformemente Cont oes Uniformemente Contınuas ınuas Na definic ao de continuidade de uma func ao f em um ponto x0 o delta que interv em depende em geral tanto de epsilon como do pr oprio ponto x0 No entanto determinadas func oes contınuas tˆem um comportamento mais uniforme no seu domınio de definic ao e o delta depende somente do epsilon positivo dado Estas s ao as funcoes uniformemente cont ınuas For malmente temos 150 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS DDeefifinniicc ao 63 ao 63 Uma func ao f S R e denominada unifor mente cont ınua em S se para cada ε 0 existe δε 0 tal que x x S x x δ f x f x ε Exemplo 617 Exemplo 617 A func ao f R R tal que f x x e uni formemente cont ınua pois dado ε 0 basta escolher δ ε e temos que se x y δ f x f y x y x y ε Exemplo 618 Exemplo 618 A func ao f R R dada por f x sen x e uniformemente cont ınua pois sen x sen y x y e portanto dado ε 0 tomemos δ ε para obtermos x y δ acarretando f x f y Exemplo 619 Exemplo 619 A func ao f 0 1 R dada por f x 1 x e cont ınua em 0 1 mas n ao e uniformemente cont ınua De fato para ε 1 2 dado δ 0 qualquer seja n N tal que 1 n δ e tomemos x1 1 n e x2 1 n1 Temos que x1 e x2 pertencem a 0 1 e x1 x2 1 n 1 n1 1 n δ mas f x1 f x2 1 x1 1 x2 n n 1 1 ε O que mostra que f n ao e uniformemente contınua em 0 1 Pr Prop opos osic ic ao 66 ao 66 Seja f a b R cont ınua Ent ao f e uniformemente cont ınua 6 62 2 FU FUNC NC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 151 Prova Prova Suponhamos por absurdo que f nao seja uniforme mente contınua Entao existe ε0 0 tal que para todo δ 0 podemos encontrar pontos x e y em a b com x y δ mas que f x f y ε0 Em particular para cada n N podemos escolher δ 1 n e obtemos sequˆencias xn e yn em a b tais que xn yn 1n mas f xn f yn ε0 Como xn e yn s ao limitadas entao pelo Teorema de BolzanoWeierstrass e pelo fato de a b ser fechado elas possuem subsequˆencias xn j e yn j respectivamente que convergem para pontos de a b Sejam entao r lim j xn j e s lim j yn j Temos entao que 0 lim j xn j yn j lim j xn j yn j lim j 1 n j 0 isto e 0 r s 0 donde r s Pela continuidade de f temos lim j f xn j lim j f yn j f r logo lim j f xn j f yn j 0 Mas isto e uma contradic ao pois f xn j f yn j ε0 para todo n j Voltando ao Exemplo 619 se considerarmos f definida em x0 para qualquer x0 0 teremos que f e uniforme mente contınua como uma decorrˆencia da proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 67 ao 67 Consideremos f a R uma func ao contınua e suponhamos que lim x f x L R Ent ao f e uniformemente cont ınua em a 152 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS Prova Prova Seja ε 0 dado Ent ao existe b 0 de tal modo que f x L ε 2 para todo x b Assim se x1 b e x2 b entao f x1 f x2 ε Pela Proposic ao 66 segue que f e uniformemente contınua em a b 1 logo existe δ 0 o qual podemos consideralo menor que 1 tal que se x1 x2 a b1 e x1 x2 δ entao f x1 f x2 ε Agora dados x1 e x2 em a com x1 x2 δ ou ocorre de x1 e x2 pertencerem a a b 1 e neste caso f x1 f x2 ε ou ocorre de x1 e x2 pertencerem a b e neste caso tambem acontece que f x1 f x2 ε ou em ultimo caso est ao ambos na intersec ao b b 1 e novamente temos f x1 f x2 ε Corol Corolario 1 ario 1 Se f e cont ınua em b e lim x f x R ent ao f e uniformemente cont ınua em b Prova Prova A prova e deixada para os exercıcios Pr Prop opos osic ic ao 68 ao 68 Seja f R R cont ınua e tal que exis tem lim x f x e lim x f x L Ent ao f e uniformemente contınua em R Prova Prova Deixamos para os exercıcios 63 63 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 6 ITULO 6 153 663 3 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 6 ıtulo 6 61 61 Mostre que a func ao f x x se x Q 0 se x R Q tem descontinuidade de 2a especie em cada x0 0 e e contınua em x0 0 62 62 Prove que se f e contınua em x0 e f x 0 x R entao h x f x e contınua em x0 63 63 Mostre que se f e contınua em R e f x 0 para todo x Q entao f x 0 para todo x R 64 64 Seja f R R contınua em x0 0 e satisfaz a condic ao f x y f x f y x R Mostre que f e contınua em R 65 65 Prove que se g e contınua em x0 0 g0 0 e existe δ 0 tal que f x g x x V δ0 entao f e contınua em x0 0 66 66 Seja f contınua em a b e tal que ambos lim xa f x lim xb f x existem Mostre que f e limitada em a b 67 67 Mostre que se f e contınua e injetiva em a b ent ao f e monotona crescente ou decrescente 154 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 68 68 Prove que o polin ˆomio p x a0 a1 x an xn onde an 0 e n e ımpar possui pelo menos uma raiz x0 R 69 69 Mostre mediante um exemplo que se f e g sao uniforme mente contınuas em I ent ao o produto f g pode falhar de ser uniformemente contınua em I 610 610 Seja f contınua em a b Mostre que f e uniforme mente contınua em a b se e somente se existem lim xa f x e lim xb f x 611 611 Prove que se f e contınua em R entao f e uniforme mente contınua em todo intervalo limitado I 612 612 Verifique se as func oes abaixo s ao contınuas em seus domınios a a f x x2 1 x R b b g x e 1 x se x 0 0 se x 0 c c u x x2sen 1 x se x 0 0 se x 0 d d v x sen x x se x 0 1 se x 0 613 613 Sejam f g I R contınuas Mostre que h x max f x g x e k x min f x g x sao contınuas em R 614 614 Mostre que toda func ao lipschitziana f I R e contınua 615 615 Seja f R R tal que f x x3 Mostre que f restrita ao intervalo α α α 0 e lipschitziana 63 63 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 6 ITULO 6 155 616 616 Seja f R R tal que f λ x λ f x para todo x e todo λ R Mostre que f e contınua em R 617 617 Seja f R R definida como 0 se x R Q 1 se x 0 1q se x pq q 0 e mdc p q 1 Prove que a R lim xa f x 0 e conclua que f e contınua apenas em R Q 618 618 Seja f R R uma func ao contınua tal que f x y f x f y x y R Prove que f e da forma α x para algum α R 619 619 Mostre que a equac ao 5 x 1 7 x 2 16 x 3 0 admite uma soluc ao entre 1 e 2 e outra entre 2 e 3 620 620 Mostre que se f e contınua em a b entao existe uma func ao contınua g em R tal que g x f x para todo x a b Uma tal func ao e chamada de extensao contınua de f a R 621 621 Seja f R R uma func ao contınua tal que lim x f x lim x f x 0 Mostre que f e limitada em R 156 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS 622 622 Seja I R um intervalo e f I R uma func ao Defina D f x f y x y x y I e x y Prove que se D e limitado entao f e uniformemente contınua em I 623 623 Prove que se f e g sao uniformemente contınuas em um intervalo limitado a b entao o produto f g e uma funcao uniformemente contınua em a b 624 624 Seja f a b a b satisfazendo a seguinte condic ao existe 0 λ 1 tal que f x f y λ x y para todo x e todo y em a b Mostre que existe um unico x0 a b tal que f x0 x0 625 625 Seja f R R uma funcao tal que f x f y λ x y para todo x e todo y de R e para algum 0 λ 1 Mostre que existe um unico x R tal que f x x Sugest Sugest ao ao Dado x0 R defina a sequˆencia xn por xn f xn1 para n 1 2 3 e mostre que xn e de Cauchy em R 626 626 Seja f a b R dada por f x x Mostre que f e uniformemente contınua porem nao e lipschitziana 627 627 Dizemos que uma func ao f R R e peri odica de perıodo p 0 se f x p f x para todo x R Prove que toda funcao f R R contınua e peri odica e limi tada e existem pontos x1 x2 R satisfazendo a condic ao f x1 f x f x2 para todo x R 628 628 Prove que f R R e contınua se e somente se para todo S R temse f S f S 63 63 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 6 ITULO 6 157 629 629 Mostre que se f e uniformemente contınua em R entao dadas quaisquer duas seq uˆencias xn e yn tais que lim n xn yn 0 temse que lim n f xn f yn 0 630 630 Sejam f g h e k func oes de 0 em R definidas por f x x2 g x cos x h x 1 1 x cos x2 e k x x Quais delas sao uniformemente contınuas em 0 631 631 Uma func ao real definida em um intervalo a b e dita linear por partes quando existem pontos x0 x1 xn sat isfazendo a x0 x1 xn b e f restrita a cada subintervalo xi1 xi i 0 1 n e linear Mostre que dada qualquer func ao f contınua em a b e dado ε 0 existe uma func ao g contınua e linear por partes em a b tal que f x g x ε 158 CAP CAP ITU ITULO 6 LO 6 FUN FUNCC OES CONT OES CONT INUAS INUAS Cap Capıtulo 7 ıtulo 7 FFuunncc oes Deriv oes Derivaveis aveis 71 71 Introduc Introduc ao ao Didicamos este capıtulo ao estudo das func oes derivaveis e uma vez que estamos supondo o leitor familiarizado com a interpretac ao gem etrica da derivada como coeficiente angular da reta tangente ao gr afico da funcao ou com a interpretac ao fısica como a velocidade de um ponto material concentraremos nossa argumentac ao nos aspectos matematicos do conceito objetivando estudar as propriedades basicas da noc ao de derivada e enfatizar os resultados que conduzam a informac oes sobre a funcao a partir de informacoes sobre a sua derivada 7 72 2 A A De Derriivvad adaa DDeefifinniicc ao 71 ao 71 Sejam I R um intervalo aberto e f I R uma func ao Dizemos que f e deriv avel em x0 I se existe o limite lim x x0 x x0 f x f x0 x x0 71 159 160 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS O limite 71 quando existe e denotado por f x0 e de nominado derivada da func ao f no ponto x0 Fazendo em 71 h x x0 ou seja x x0 h teremos que x x0 se e somente se h 0 Assim quando o limite existe escrevemos f x0 lim h0 f x0 h f x0 h 72 Outras notac oes para a derivada de uma func ao em um ponto s ao D f x0 d f dx x0 ou d f dx x x0 Quando em 72 nos restringimos a valores positivos de h o limite quando existe e denominado derivada lateral a direita de f em x0 e denotado por f d x0 e quando nos restringimos a valores negativos de h o limite quando existe e denominado derivada lateral a esquerda de f em x0 e e denotado por f e x0 Assim f d x0 lim h0 f x0 h f x0 h e f e x0 lim h0 f x0 h f x0 h Evidentemente que f e deriv avel em x0 se e somente se ex istem as derivadas laterais em x0 e f d x0 f e x0 f x0 Quando f x exsite em todo x I dizemos que f e de rivavel em I Exemplo 71 Exemplo 71 Seja f R R definida por f x k k uma constante Se x0 e um ponto qualquer de R ent ao f e deriv avel em x0 e f x0 0 pois lim h0 f x0 h f x0 h lim h0 k k h lim h0 0 h lim h0 0 0 72 72 A DERIV A DERIVADA ADA 161 Exemplo 72 Exemplo 72 Considere f R R definida por f x x e seja x0 um ponto de R Temos que lim h0 f x0 h f x0 h lim h0 x0 h x0 h lim h0 h h lim h0 1 1 Portanto f e deriv avel em x0 e f x0 1 Exemplo 73 Exemplo 73 A func ao f R R definida por f x x n ao e deriv avel em x0 0 pois lim h0 f h f 0 h lim h0 h h lim h01 1 e lim h0 f h f 0 h lim h0 h h lim h0 1 1 Portanto n ao existe lim h0 f h f 0 h A primeira informac ao que deduzimos de uma funcao que e deriv avel em um ponto e que esta e contınua no ponto E o que estabelece a proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 71 ao 71 Seja f I R uma func ao deriv avel em um ponto x0 I onde I e um intervalo aberto Ent ao f e cont ınua em x0 Prova Prova Considere a igualdade f x f x0 f x f x0 x x0 x x0 x x0 Entao lim x x0 f x f x0 lim x x0 f x f x0 x x0 lim x x0 x x0 f x0 f x00 f x0 162 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS isto e lim x x0 f x f x0 o que significa dizer que f contınua em x0 A recıproca da Proposicao 71 e falsa conforme constata mos mediante o Exemplo 73 As propriedades algebricas da derivada estao apresentadas na proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 72 ao 72 Sejam f e g func oes definidas em um inter valo aberto I e deriv aveis em x0 I Ent ao ii f g e deriv avel em x0 e f g x0 f x0 g x0 ii ii f g e deiv avel em x0 e f g x0 f x0g x0 f x0g x0 iii iii Se g 0 ent ao f g e deriv avel em x0 e f g x0 f x0g x0 f x0g x0 g x02 Prova Prova Para a prova de i temos que f g x0 h f g x0 h f x0 h f x0 h g x0 h g x0 h O resultado segue das propriedades de limite de func oes Para a verificac ao de ii e bastante observar que f x0 hg x0 h f x0g x0 h f x0 hg x0 h g x0 h f x0 h f x0 h g x0 usar a Proposic ao 71 e as propriedades do limite de func oes Finalmente para provar iii temos que f x0h g x0h f x0 g x0 h f x0h f x0 h g x0 f x0 g x0hg x0 h g x0g x0 h 72 72 A DERIV A DERIVADA ADA 163 e da Proposicao 71 e das propriedades do limite de func oes temos o resultado Segue agora por aplicac oes sucessivas da Proposic ao 72 que os polin ˆomios s ao funcoes deriv aveis em todos os pontos de R como tamb em as funcoes racionais nos pontos onde o denominador e nao nulo Pr Prop opos osic ic ao 73 Regra da Cadeia ao 73 Regra da Cadeia Sejam f I R e g J R func oes definidas respectivamente nos intervalos abertos I e J com f I J Suponha que f e deriv avel em x0 I e g deriv avel em f x0 J Ent ao g f e deriv avel em x0 e g f x0 g f x0 f x0 Prova Prova Suponhamos inicialmente que f x0 0 Neste caso temos que f x f x0 para todo x suficientemente proximo de x0 Logo g f x g f x0 x x0 g f x g f x0 f x f x0 f x f x0 x x0 Passando ao limite quando x x0 obtemos g f x0 g f x0 f x0 Por outro lado se for f x0 0 entao para x pr oximo de x0 ou ocorre que f x f x0 e neste caso g f x g f x0 donde lim x x0 g f x g f x0 x x0 0 g f x00 g f x0 f x0 ou ocorre f x f x0 portanto vale g f x g f x0 x x0 g f x g f x0 f x f x0 f x f x0 x x0 164 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS e teremos lim x x0 g f x g f x0 x x0 lim x x0 g f x g f x0 f x f x0 f x f x0 x x0 0 Assim em qualquer situac ao temos a validade da formula g f x0 g f x0 f x0 E importante observar que na passagem ao limite usamos o fato de que quando x x0 temos que f x f x0 pela continuidade de f em x0 Exemplo 74 Exemplo 74 Considere f R R definida por f x xsen 1 x se x 0 0 se x 0 Temos para x 0 e pelas Proposic oes 71 e 72 f x sen1 x x cos1 x 1 x2 sen1 x 1 x cos1 x Agora para x0 0 temos f x f x0 x x0 xsen 1 x x sen1 x que n ao tem limite quando x 0 Isto e f n ao e deriv avel em x0 0 Exemplo 75 Exemplo 75 Considere f R R definida por f x x2sen 1 x se x 0 0 se x 0 73 73 O TEOREMA O TEOREMA DO V DO VALOR M ALOR M EDIO EDIO 165 Temos para x 0 e pela Regra da Cadeia f x 2 xsen 1 x cos 1 x E para x0 0 temos f x f x0 x x0 x2sen 1 x x xsen 1 x Como lim x0 xsen1 x 0 segue que f e deriv avel em x0 0 e f 0 0 Assim f x 2 xsen 1 x cos 1 x se x 0 0 se x 0 Mas f n ao e uma func ao cont ınua pois cos 1 x n ao tem limite quando x 0 73 73 O O TTeor eorema ema do do VValor alor M Medio edio Seja I R um intervalo e f I R uma func ao Dizemos que f assume um maximo absoluto em x0 I se f x0 f x para todo x I Se a desigualdade f x0 f x ocorre apenas em uma vizinhanca de V δ x0 I dizemos que f assume um maximo local em x0 Quando temos f x0 f x para todo x I dizemos que f assume um m ınimo absoluto em em x0 e quando for f x0 f x apenas para x restrito a uma vizinhanca de V δ x0 I dizemos que f assume um m ınimo 166 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS local em x0 Os pontos onde f assume um m aximo local ou absoluto ou um m ınimo local ou absoluto s ao chamados de extremos de f E evidente que se x0 e um ponto interior de I e se x0 for um extremo absoluto de f entao x0 e um extremo local de f Pr Prop opos osic ic ao 74 ao 74 Sejam I um intervalo aberto de R f I R uma func ao e x0 um extremo local de f Se f for deriv avel em x0 ent ao f x0 0 Prova Prova Vamos admitir que f assume um m aximo local em x0 o caso de mınimo local e analogo Entao existe δ 0 tal que f x f x0 para todo x x0 δ x0 δ Portanto f x f x0 x x0 0 se x0 x x0 δ 0 se x0 δ x x0 73 Agora como existe f x0 necessariamente temos lim x x 0 f x f x0 x x0 f x0 lim x x 0 f x f x0 x x0 Mas por 73 temos lim x x 0 f x f x0 x x0 0 e lim x x 0 f x f x0 x x0 0 Donde se conclui que f x0 0 Teorema 71 Teorema de Rolle Teorema 71 Teorema de Rolle 1 Seja f contınua em a b e deriv avel em a b com f a f b Ent ao existe x0 a b tal que f x0 0 1Michel Rolle 16521719 73 73 O TEOREMA O TEOREMA DO V DO VALOR M ALOR M EDIO EDIO 167 Prova Prova Se for f x f a para todo x a b como f a f b ent ao f e constante em a b e portanto f x 0 para todo x a b Assim podemos supor que existe x a b tal que f x f a Sendo f contınua em a b pelo Teorema do Maximo e do Mınimo Teorema 62 f possui extremos abso lutos em a b Como estamos supondo que f nao e constante em a b e pelo fato de que f a f b entao pelo menos um dos pontos de extremo absoluto de f pertence a a b Seja x0 tal ponto Segue da Proposic ao 74 que f x0 0 Teorema 72 do Valor M Teorema 72 do Valor Medio de Cauchy edio de Cauchy Sejam f e g fun c oes reais cont ınuas em a b e deriv aveis em a b Ent ao existe x0 a b tal que f b f ag x0 gb ga f x0 74 Prova Prova Consideremos a func ao ϕ definida em a b por ϕ x f b f ag x gb ga f x 75 Temos que ϕ e contınua em a b diferenciavel em a b e ϕa ϕb Portanto a func ao ϕ esta nas condic oes do Teorema de Rolle Logo existe x0 a b tal que ϕ x0 0 Mas para todo x a b temos ϕ x f b f ag x gb ga f x Logo para x x0 temos f b f ag x0 gb ga f x0 como querıamos demonstrar A versao do Teorema do Valor M edio mais amplamente ap resentada nos cursos de C alculo Diferencial e um caso partic ular do Teorema 72 e e a seguinte 168 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS Teorema 73 do Valor M Teorema 73 do Valor Medio de Lagrange edio de Lagrange 2 Seja f a b R uma func ao que e cont ınua em a b e e diferenci avel em a b Ent ao existe x0 a b tal que f x0 f b f a b a 76 Prova Prova Para a prova e suficiente considerar no Teorema 72 g x x Pr Prop opos osic ic ao 75 ao 75 Seja f a b R uma func ao deriv avel ii Se f x 0 x a b ent ao f e crescente em a b ii ii Se f x 0 x a b ent ao f e decrescente em a b iii iii Se f x 0 x a b ent ao f e constante em a b Prova Prova Dados x1 e x2 em a b com x1 x2 podemos su por sem perder a generalidade da demonstrac ao que x1 x2 Assim a func ao f restrita ao intervalo x1 x2 atende as hipoteses do Teorema 75 e portanto existe t x1 x2 tal que f x2 f x1 f t x2 x1 77 Logo i ii e iii seguem diretamente de 77 Pr Prop opos osic ic ao 76 ao 76 Sejam f e g func oes deriv aveis em a b com f x g x para todo x a b Ent ao existe uma con stante c tal que f x g x c para todo x a b Prova Prova Consideremos ϕ x f x g x em a b Temos que ϕ x f x g x 0 para todo x a b Portanto por iii da Proposic ao 75 existe c tal que ϕ x c isto e f x g x c 2Joseph Louis Lagrange 17361813 73 73 O TEOREMA O TEOREMA DO V DO VALOR M ALOR M EDIO EDIO 169 Pr Prop opos osic ic ao 77 ao 77 Seja f I R um func ao deriv avel em um intervalo aberto I R e suponhamos que existe M 0 tal que f x M para todo x I Ent ao f x f y M x y para todo x e todo y de I ou seja f e uma func ao lipschitziana vide Exercıcio 614 Prova Prova Sejam x e y quaisquer em I Podemos supor sem perda da generalidade que y x Pelo Teorema do Valor Medio existe ξ y x tal que f x f y f ξ x y Por tanto f x f y f ξ x y f ξ x y M x y e temos demonstrada a proposic ao Exemplo 76 Exemplo 76 Consideremos f R R dada por f x sen x Temos que f x cos x Como cos x 1 ent ao sen x sen y x y Mais particularmente temos sen x x para todo x R Pr Prop opos osic ic ao 78 ao 78 Se f e deriv avel em um intervalo aberto I R e existe M 0 tal que f x f y M x y para todo x e todo y de I ent ao f x M para todo x I Prova Prova Para cada x I temos que f x lim y x f y f x y x Desde que f x f y y x M se y x 170 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS segue que f x M como querıamos Quando uma func ao f e deriv avel em um intervalo aberto I o valor de sua derivada em cada ponto e univocamente de terminado uma vez que e dado por um limite e o limite como sabemos e unico Neste caso temos a funcao f I R que a cada x I associa f x Podemos agora indagar se dado x0 I existe a derivada de f em x0 Quando tal derivada ex iste dizemos que f possui uma derivada segunda em x0 e a denotamos por f x0 Do mesmo modo quando f x existe para todo x I podemos indagar se existe a derivada de f em um ponto x0 I e quando tal derivada existe dizemos ser f e trˆes vezes deriv avel em x0 e denotamola por f x0 E assim por diante podemos indagar sobre a exist ˆencia da derivada de ordem n de f em um ponto x0 I quando f possui derivada de ordem n 1 em todos os pontos de I e quando e este o caso denotamos tal derivada por f n x0 Usase tambem d n f dxn x0 ou d n f dxn x x0 para denotar a derivada de ordem n de f em x0 A partir daqui faremos a convenc ao de que para n 0 entenderemos f 0 x0 como sendo o valor de f em x0 DDeefifinniicc ao 72 ao 72 Se f I R possui derivadas at e a ordem n contınuas em I dizemos que f e de classe C n e escrevemos f C n I Na definic ao 72 se I a b estaremos considerando nas extremidades do intervalo a derivada lateral correspondente Quando f I R possui derivadas de qualquer ordem contınuas dizemos que f e de classe C e escrevemos f C I 7 74 4 A A F F ORMULA DE TAYLOR ORMULA DE TAYLOR 171 As func oes polinomiais as trigonometricas cos e sen definidas em R a func ao logarıtmica definida em R e a func ao expo nencial definida em R s ao de classe C nos seus respectivos domınios Tambem as funcoes racionais sao de classe C nos seus domınios de definic ao 774 4 A A FF ormula de Taylor ormula de Taylor Para func oes f de classe C na b ha uma excelente aproximac ao polinomial para f como mostra a proposic ao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 79 F ao 79 Formula de ormula de TTaylor aylor 3Seja f a b R uma func ao de classe C na b e tal que f n1 existe em a b Se c e um ponto qualquer de a b ent ao para cada x a b x c existe ξ entre c e x tal que f x f c f c x c 1 f c x c2 2 f nc n x cn f n 1 ξ n 1 x cn1 78 Prova Prova Consideremos c x O caso c x e tratado de maneira analoga Definamos F c x R pondo F t f x f t f t x t 1 f t x t 2 2 1 n f nt x t n K x c x t n1 n 1 onde K x c e escolhida satisfazendo K x c x cn1 n 1 f x f c f c x c 1 1n f nc x cn 3Brook Taylor 16851731 172 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS de tal modo que F c 0 F x 0 Alem disso temos que F e contınua em c x derivavel em c x e F x 0 De maneira que podemos aplicar o Teorema de Rolle Teorema 71 para garantir a existˆencia de ξ c x tal que F ξ 0 Mas F t f t f t 1 f t x t 1 2 f t 2 x t 1 1 2 f t x t 2 1 3 f t 3 x t 21 1 n1 f nt x t n1 1 n f nt n x t n11 1 n f n1t x t n K x cn 1 xt n n11 isto e F t f t f t f t x t f t x t 1 2 f t x t 2 1 2 f t x t 2 1 n1 f n t x t n 1 1 n1 f n t x t n 1 1 n f n1t x t n K x c xt n n Portanto F t 1 n f n1t x t n K x c x t n n Como temos F ξ 0 entao K f n1 ξ e temos demon strada a proposicao O termo Rn1 f n1 ξ n 1 x cn1 79 da Formula 78 e chamado de Resto de Lagrange e a pr opria formula 78 e chamada de F ormula de Taylor com Resto de Lagrange Observe que se n 0 temos exatamente o Teorema 7 74 4 A A F F ORMULA DE TAYLOR ORMULA DE TAYLOR 173 do Valor Medio de Lagrange Teorema 75 Observe tambem que lim xc Rn1 x cn 0 e isto significa dizer que quando f satizfaz as condic oes da Proposic ao 79 ent ao para x proximo de c podemos aproxi mar f x pelo polinˆomio Pn x f c f c x c f nc n x cn e o erro cometido com esta aproximacao e menor que C xcn onde C e uma constante positiva Exemplo 77 Exemplo 77 Consideremos f x e x no intervalo 1 1 e c 0 Neste caso temos f 0 f 0 f n0 1 Portanto e x 1 x x2 2 xn n Rn1 onde Rn1 e ξ xn1 n 1 Chamando Pn x 1 x xn n temos e x Pn x e ξ xn1 n 1 e n 1 Esta ultima desigualdade informa que o erro cometido ao aprox imarmos e x pelo polinˆ omio Pn x no intervalo 1 1 e menor ou igual a e n 1 174 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS 7 75 5 A A Re Regr gra a de de LLH H ˆ ˆopital opital Uma boa utilizacao do Teorema do Valor Medio de Cauchy Teorema 72 aparece no c alculo de determinados limites de quocientes do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito os quais s ao comumente chamados de indeterminac oes As proposic oes 710 e 712 deste cap ıtulo estabelecem em que condic oes tais indeterminac oes podem ser contornadas e as regras de procedimento s ao conhecidas em C alculo como Regras de LHˆopital 4 Pr Prop opos osic ic ao 710 ao 710 Sejam f e g func oes reais definidadas em um intervalo I R e a um ponto de I Suponhamos que ii f e g existem em V δa uma vizinhanca de a desprovida do centro na qual g x 0 ii ii lim xa f x lim xa g x 0 iii iii lim xa f x g x existe Ent ao lim xa f x g x existe e lim xa f x g x lim xa f x g x Prova Prova Vamos redefinir f e g no ponto a como sendo f a ga 0 Deste modo temos que f e g s ao contınuas em uma vizinhanca V δa para algum δ 0 Naturalmente que n ao sabemos se f a e ga existem Se a x a δ entao f e g sao contınuas em a x e deriv aveis em a x Logo pelo Teorema do Valor Medio de Cauchy Teorema 72 existe t x a x tal que f x f agt x g x ga f t x 4Guillaume Francois Antoine de LHˆopital 16611704 75 75 A REGR A REGRA DE A DE LLH H ˆ ˆ OPITAL OPITAL 175 ou seja f xgt x g x f t x N os temos tamb em que g x 0 De fato desde que ga 0 se fosse g x 0 ent ao pelo Teorema de Rolle Teorema 71 existiria c a x tal que gc 0 o que contradiria o hip otese de ser g x 0 em V δa Consequentemente temos f x g x f t x gt x Uma argumentac ao semelhante para a δ x a mostra que existe t x x a tal que f x g x f t x gt x Agora quando x a temos que t x a e portanto lim xa f x g x lim t xa f t x gt x lim xa f x g x uma vez que por hip otese este ultimo limite existe Exemplo 78 Exemplo 78 Considere o problema de calcular lim x0 1 cos x sen2 x Para isso consideremos as func oes f x 1 cos x e g x sen2 x Temos que lim x0 f x lim x0 g x 0 Al em disso f x sen x e g x 2sen x cos x Logo lim x0 f x g x lim x0 sen x 2sen x cos x lim x0 1 2 cos x 1 2 Pr Prop opos osic ic ao 711 ao 711 Sejam f uma func ao real definida em um intervalo I R e a um ponto de I Suponhamos que 176 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS ii f e cont ınua em a ii ii f e deriv avel em V δa para algum δ 0 iii iii lim x a f x existe Ent ao f e deriv avel em a e f a lim xa f x Prova Prova Consideremos F x f x f a e G x xa Temos que lim xa F x lim xa G x 0 Temos tambem que lim xa F x G x lim xa f x 1 lim xa f x isto e existe lim xa F x G x Pela Proposic ao 710 existe lim xa F x G x e lim xa F x G x lim xa F x G x lim xa f x Portanto lim xa f x f a x a lim xa f x Em outras palavras f e deriv avel em a e f e contınua em a Pr Prop opos osic ic ao 712 ao 712 Sejam f e g func oes reais definidadas em um intervalo b e suponhamos que ii f x e g x existem e g x 0 para todo x b ii ii lim x f x lim x g x iii iii lim x f x g x existe 75 75 A REGR A REGRA DE A DE LLH H ˆ ˆ OPITAL OPITAL 177 Ent ao lim x f x g x existe e lim x f x g x lim x f x g x Prova Prova Seja L lim x f x g x Entao dado ε 0 existe um numero a tal que f x g x L ε 2 para todo x a 710 Observemos que necessariamente g x ga para todo x a pois se existisse x1 a tal que g x1 ga entao sendo lim x g x podemos encontrar x2 x1 tal que g x2 ga e pelo Teorema do Valor Intermedi ario Teorema 63 existiria c R com a x1 c x2 e gc ga Mas neste caso pelo Teorema de Rolle Teorema 71 existiria d R com a d c tal que gd 0 o que contradiria a hip otese de que g x 0 para todo x b Usando o Teorema do Valor M edio de Cauchy Teorema 72 para f e g no intervalo a x temos que existe ξ a x tal que f x f a g x ga f ξ g ξ 711 Por 710 temos f ξ g ξ L ε 2 712 Logo tambem temos f x f a g x ga L ε 2 x a 713 178 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS Escolhamos x a suficientemente grande tal que f x f a e ga 0 Como lim x f x lim x g x entao lim x f x f x f a 1 lim x g x ga g x Logo lim x f x f x f a g x ga g x 1 Assim se x a f x f x f a g x ga g x 1 ε 2 L ε se x a Entao f x g x f x f a g xga f x f a g xga f x f x f a g xga g x f x f a g xga f x f a g x ga f x f x f a g xga g x 1 L ε 2 2 ε L ε ε 2 pois de 713 temos f x f a g xga L ε 2 Consequentemente temos f x g x L f x g x f x f a g xga f x f a g xga L ε 2 ε 2 ε se x a Portanto lim x f x g x L lim x f x g x Exemplo 79 Exemplo 79 Considere o problema de calcular lim x x e x Para resolver este problema facamos f x x e g x e x Ent ao lim x f x lim x g x e lim x f x g x lim x 1 e x 0 Portanto lim x x e x 0 75 75 A REGR A REGRA DE A DE LLH H ˆ ˆ OPITAL OPITAL 179 Pr Prop opos osic ic ao 713 ao 713 Sejam f e g func oes reais definidadas em um intervalo I e a um ponto de I Suponhamos que ii f x e g x existem e g x 0 em a x a δ para algum δ 0 ii ii lim xa f x e lim xa g x iii iii lim xa f x g x L Ent ao lim xa f x g x L Prova Prova Seja x a 1 u ou eq uivalentemente u 1 x a Entao x a se e somente se u Agora lim u f a 1 u lim xa f x e lim u g a 1 u lim xa g x Pela Proposic ao 79 e usando a Regra da Cadeia temos lim xa f x g x lim u f a 1 u g a 1 u lim u f a 1 u 1 u2 g a 1 u 1 u2 lim u f a 1 u g a 1 u lim xa f x g x L Exemplo 710 Exemplo 710 Considere o problema de determinar lim x0 x ln x 180 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS Para solucion alo escrevamos para x 0 x ln x ln 1 x 1 x ln 1 x 1 x Sejam f x ln 1 x e g x 1 x Temos que f x e g x existem g x 0 lim x0 f x lim x0 g x e f x g x 1 x 1 x2 x Donde lim x0 f x g x 0 e portanto lim x0 f x g x 0 Pr Prop opos osic ic ao 714 ao 714 Sejam f e g func oes reais definidadas em um intervalo I e a um ponto de I Suponhamos que ii f x e g x existem e g x 0 em a δ x a para algum δ 0 ii ii lim xa f x e lim xa g x iii iii lim xa f x g x L Ent ao lim xa f x g x L Prova Prova O argumento da prova e semelhante ao da Proposic ao 713 e e deixada para os exercıcios 76 76 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 7 ITULO 7 181 776 6 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 7 ıtulo 7 71 71 Seja f R R definida por f x x3 Calcule f x e f x para todo x R e mostre que f nao e deriv avel em x 0 72 72 Seja f R R dada por f x x3 se x 1 ax b se x 1 onde a e b s ao constantes Determine os valores de a e b para os quais f e diriv avel em x0 1 73 73 Seja f R R dada por f x x2sen 1 x2 se x 0 0 se x 0 Mostre que f e deriv avel em R mas f n ao e limitada em vizinhanca alguma da srcem 74 74 Explique porque a func ao f 0 2 R definida por f x 1 1 x n ao satisfaz o Teorema de Rolle 75 75 Demonstre que para qualquer numero real b o polinˆomio p x x3 x b possui exatamente uma raiz real 76 76 Prove que se f e deriv avel em x a entao f a lim h0 f a h 2 f a h 2 h 77 77 Prove que se f e duas vezes derivavel em x a entao f a lim h0 f a h 2 f a f a h h 182 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS 78 78 Seja f R R tal que f x f y x y2 para todo x y R Prove que f e constante 79 79 Sejam c0 c1 cn constantes reais tais que c0 c1 2 cn1 n cn n 1 0 Prove que a equacao c0 c1 x cn1 xn1 cn xn 0 tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 710 710 Seja f 0 R derivavel e suponha que lim x f x 0 Seja g x f x 1 f x Prove que lim x g x 0 711 711 Seja f 0 R e suponha que ii f e contınua para em 0 ii ii f x existe para todo x 0 iii iii f 0 0 iv iv f e monotona crescente Se g x f x x para x 0 prove que g e mon otona cres cente 712 712 Seja f contınua em x0 b e derivavel em x0 b e suponha que existe lim x x 0 f x Mostre que f d x0 existe e f d x0 lim x x 0 f x 76 76 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 7 ITULO 7 183 713 713 Seja f derivavel em a b e k R tal que k esta entre f d a e f eb Prove que existe c a b com f c k 714 714 Prove que se lim x f x lim x g x e lim x f x g x L R entao lim x f x g x L 715 715 Seja f R R dada por f x xαsen 1 x se x 0 0 se x 0 Para que valores de α f e derivavel em x 0 716 716 Seja f uma func ao mon otona em um intervalo I tal que f x 0 para todo x I Seja ϕ a inversa de f Mostre que se f x0 existe em um ponto x0 I entao para y0 f x0 ϕ y0 existe e ϕ y0 f x0 f x03 717 717 Seja f R R uma func ao tal que ii f e contınua em R e f 0 0 ii ii f e deriv avel em x 0 iii iii f x y f x f y para todo x e todo y em R Mostre que f x ecx onde c f 0 718 718 Sejam f e g func oes deriv aveis em a b satisfazendo f a ga e f x g x x a b Mostre que f x g x x a b 184 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS 719 719 Demonstre que xn 1 n x 1 x 1 e n N 720 720 Mostre que a a x tan x se 0 x π 2 b b log1 x x se x 0 c c x arcsen x x 1 x2 se 0 x 1 721 721 Suponha que f e deriv avel em x x0 e lim x f x L Mostre que lim x f x x L 722 722 Mostre que lim x 1 1 x x e e lim x 1 a x x ea 723 723 Mostre que se f e positiva e derivavel em um intervalo I entao d dx log f x f x f x x I 724 724 Suponha que f x0 e g x0 existam g x0 0 e que f x0 g x0 0 Prove que lim x x0 f x g x f x0 g x0 725 725 Seja g R R derivavel e suponha que existe M 0 tal que g x M para todo x R Fixe ε 0 e defina f x x εg x Prove que para ε e suficientemente pequeno f e biunıvoca 76 76 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 7 ITULO 7 185 726 726 Seja f 0 1 R derivavel Suponha que f 0 0 e f x f x x 0 1 Mostre que f x 0 para todo x 0 1 727 727 Suponha que f x 0 em a b a a Prove que f e estritamente monotona em a b b b Seja g inversa de f Prove que g e deriv avel e que g f x 1 f x em a b 728 728 Seja f R R uma funcao real Um ponto x0 R e dito ponto fixo de f se f x0 x0 Suponha que existe uma constante 0 λ 1 tal que f x λ para todo xR a a Prove que f possui um unico ponto fixo x0 b b Prove ainda que x0 lim n xn sendo x1 um numero real arbitrario de R e xn1 f xn para n 1 2 3 729 729 Seja f I R uma func ao Mostre que se f e derivavel em x I entao existe uma funcao contınua u I R tal que f y f x y x f x u y e lim y x u y 0 730 730 Seja L uma func ao real definida em 0 satisfazendo L x y L x L y e lim x 0 L1 x x 1 Mostre que L x log x para todo x 0 186 CAP CAP ITU ITULO 7 LO 7 FUN FUNCC OES DERIV OES DERIV AVEIS AVEIS Cap Capıtulo 8 ıtulo 8 FFuunncc oes Integr oes Integraveis aveis 81 81 Introduc Introduc ao ao Apresentamos neste capıtulo o conceito de integral de uma func ao real definida e limitada em um intervalo fechado I a b de R Historicamente a srcem do c alculo integral e bem ante rior a do c alculo diferencial e rudemente falando surgiu na antiguidade nos trabalhos de Arquimedes 285212 aC liga dos ao calculo de areas de figuras planas e volumes de solidos pelo metodo da exaustao V ˆese assim o forte apelo geom etrico inerente ao conceito de integral desde a sua srcem mais re mota O desenvolvimento que faremos aqui e bem mais re cente e segue as ideias de Riemann1 com os aperfeicoamentos itroduzidos por Darboux 184219172 1Georg Friedrich Bernard Riemann 18261866 2Gaston Darboux 18241917 187 188 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS 82 82 Int Integr egral al Sup Superi erior or e e Int Integr egral al Inf Inferi erior or Uma particao de um intervalo fechado e limitado a b de R e um subconjunto finito P x0 x1 xn de pontos de a b satisfazendo a condicao a x0 x1 xn1 xn b Cada subintervalo xi1 xi com i variando de 1 ate n tem comprimento xi xi1 e e chamado de iesimo intervalo da partic ao P Seja f a b R uma func ao limitada e seja P x0 x1 xn uma partic ao de a b Temos que f e limitada em cada subintervalo xi1 xi de P e portanto existem mi e M i respectivamente o ınfimo e o supremo de f em xi1 xi Assim mi inf f x x xi1 xi e M i sup f x x xi1 xi Definimos a soma inferior de f relativamente a partic ao P como sendo s f P n i1 mi xi xi1 81 e analogamente definimos a soma superior de f relativa mente a partic ao P como sendo S f P n i1 M i xi xi1 82 Os numeros s f P e S f P sao denominados respectiva mente de somas de RiemannDarboux inferior e superior de f relativas a particao P A seguir apresentamos tr ˆes resultados t ecnicos a respeito de somas inferiores e superiores a fim de podermos definir a integral inferior e a integral superior de uma func ao limitada f 82 82 INTEGRAL INTEGRAL SUPERIOR E SUPERIOR E INTEGRAL INTEGRAL INFERIOR INFERIOR 189 Lema 81 Lema 81 Se f a b R e limitada ent ao para qualquer partic ao P de a b temse mb a s f P S f P M b a onde m inf f x x a b e M sup f x x a b Prova Prova A prova segue diretamente do fato de que para cada i 1 2 n temse que m mi M i M e que n i1 xi xi1 b a Denotemos por Pa b a colec ao de todas as partic oes de a b Se P e Q pertencem a Pa b dizemos que Q e um refinamento de P se P Q Lema 82 Lema 82 Seja f a b R uma func ao limitada e sejam P e Q duas partic oes de a b Se Q e um refinamento de P ent ao ii s f P s f Q e ii ii S f Q S f P Prova Prova Seja P x0 x1 xn e suponhamos inicialmente que a partic ao Q resulta de P pelo acr escimo de um ponto ou seja Q P r com x j1 r x j para algum j entre 1 2 n Sejam m e m respectivamente os ınfimos de f nos subintervalos x j1 r e r x j de Q Eevidentemente que m j m m j m e x j x j1 x j r r x j1 Portanto s f Q s f P mr x j1 m x j r m j x j x j1 mr x j1 m x j r m j x j r m jr x j1 m m jr x j1 m m j x j r 0 190 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Donde s f P s f Q A passagem para o caso geral e feita repetindose o argumento anterior um n umero finito de vezes Analogamente provase que S f Q S f P O Lema 82 nos informa que os refinamentos de uma partic ao tendem a aumentar as somas inferiores e a dinimuir as supe riores Lema 83 Lema 83 Seja f a b R uma func ao limitada e sejam P e Q duas partic oes quaisquer de a b Ent ao s f P S f Q Prova Prova A partic ao P Q e um refinamento comum a P e Q De modo que pelos dois lemas anteriores s f P s f P Q S f P Q S f Q Concluimos do Lema 83 que para uma funcao limitada em a b as somas inferiores s ao cotas inferiores para a somas superiores e que as somas superiores s ao cotas superiores para a somas inferiores De maneira que podemos estab ele cer a seguinte definic ao DDeefifinniicc ao 81 ao 81 Seja f a b R uma func ao limitada Defin imos a integral inferior de f como b a f xdx sup PPs f P e a integral superior de f por b a f xdx inf PPS f P 82 82 INTEGRAL INTEGRAL SUPERIOR E SUPERIOR E INTEGRAL INTEGRAL INFERIOR INFERIOR 191 Pr Prop opos osic ic ao 81 ao 81 Seja f a b R uma func ao limitada e sejam m e M tais que m f x M para todo x a b Ent ao mb a b a f xdx b a f xdx M b a Prova Prova Pelo Lema 81 temos mb a s f P S f P M b a para qualquer P P Portanto mb a sup PPs f P inf PPS f P M b a Logo mb a b a f xdx b a f xdx M b a como querıamos Pr Prop opos osic ic ao 82 ao 82 Seja f a b R uma func ao limitada Ent ao para qualquer c R temos ii b a f x cdx b a f xdx cb a ii ii b a f x cdx b a f xdx cb a Prova Prova Seja P uma partic ao qualquer de a b Vamos domon strar o item ii e deixamos o item i como um exerc ıcio De notemos por µi sup f x c x xi1 xi e por M i 192 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS sup f x x xi1 xi Temos que µi M i c Logo n i1 µi xi xi1 n i1 M i c xi xi1 n i1 M i xi xi1 cb a Ou seja S f c P S f P cb a donde inf PPS f c P b a f x cdx inf PPS f P cb a b a f xdx cb a Pr Prop opos osic ic ao 83 ao 83 Seja f a b R limitada Dado qualquer c a b temse que ii b a f xdx c a f xdx b c f xdx ii ii b a f xdx c a f xdx b c f xdx Prova Prova Denotemos por S b a S c a e S b c as somas superiores de f relativamente as partic oes de a b a c e c b re spectivamente Seja P uma partic ao qualquer de a b O ponto c pode pertencer ou n ao a P Se c P consideremos P P c Entao P e uma partic ao de a b que induz as partic oes P1 P a c e P2 P c b de a c e c b respectivamente Assim S b a f P S b a f P S c a f P S b c f P c a f xdx b c f xdx 83 82 82 INTEGRAL INTEGRAL SUPERIOR E SUPERIOR E INTEGRAL INTEGRAL INFERIOR INFERIOR 193 Portanto b a f xdx c a f xdx b c f xdx 84 Seja agora ε 0 dado arbitrariamente Existem partic oes P1 e P2 de a c e c b respectivamente tais que S c a f P1 c a f xdx ε 2 e S b c f P2 b c f xdx ε 2 Observemos que o conjunto P P1 P2 e uma particao de a b tal que S b a f P S c a f P1 S b c f P2 Logo b a f xdx S c a f P1 S b c f P2 c a f xdx b c f xdx ε qualquer que seja ε 0 dado Assim b a f xdx c a f xdx b c f xdx 85 De 84 e 85 segue b a f xdx c a f xdx b c f xdx como querıamos demonstrar Nos definimos a integral inferior e a integral superior para func oes limitadas definidas em a b com a b No entanto para simplificar a escrita e estender alguns resultados sobre integrais e importante incluir os caso a b e a b e assim definimos Para a b a a f xdx a a f xdx 0 194 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Para a b b a f xdx a b f xdx e b a f xdx a b f xdx Considerando a definic ao acima podemos agora ampliar a aplicabilidade da Proposic ao 83 tamb em para os casos em que c a ou c b com a hipotese adicional de f estar definida em c a ou b c Pr Prop opos osic ic ao 84 ao 84 Seja f a b R limitada Definamos as func oes F e G em a b do seguinte modo F a Ga 0 e para x a b F x x a f t dt e G x x a f t dt Ent ao em cada ponto x0 a b onde f e cont ınua temos F x0 G x0 f x0 Prova Prova Vamos demonstrar que F x0 f x0 se x0 for um ponto de continuidade de f e deixamos para os exerc ıcios a demonstrac ao de que G x0 f x0 Seja x0 a b e h R tal que x0 h a b Usando a Proposic ao 83 com a devida adaptac ao para o caso de ser h 0 obtemos F x0 h F x0 x0h a f t dt x0 a f t dt x0 a f t dt x0h x0 f t dt x0 a f t dt x0h x0 f t dt De maneira que F x0 h F x0 h 1 h x0h x0 f t dt 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 195 Usando agora a Proposic ao 82 temos F x0 h F x0 h f x0 x0h x0 f t f x0dt h Pela Proposic ao 81 temos que h inf t x0h f t f x0 x0h x0 f t f x0dt h sup t x0h f t f x0 Logo inf t x0h f t f x0 F x0 h F x0 h f x0 sup t x0h f t f x0 Se x0 e um ponto de continuidade de f entao inf t x0h f t f x0 e sup t x0h f t f x0 tendem a zero quando h tende a zero Concluimos portanto que F x0 f x0 8 83 3 A A In Inte tegr gral al de de Rie Riema mann nn Tendo sido apresentados os conceitos de integral superior e integral inferior de uma funcao f definida e limitada em um in tervalo a b passemos agora a definir a integral de Riemann de f 196 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS DDeefifinniicc ao 82 ao 82 Seja f a b R uma func ao limitada Dize mos que f e integr avel a Riemann em a b quando b a f t dt b a f t dt e o valor comum denotamos por b a f t dt Exemplo 81 Exemplo 81 Seja f a b R dada por f x c para todo x a b Ent ao f e integr avel em a b e b a f t dt cb a De fato qualquer que seja a partic ao P de a b temos que mi M i c em todos os subintervalos e por conseguinte s f P S f P cb a Logo b a f t dt b a f t dt cb a Exemplo 82 Exemplo 82 Seja f a b R definida por f x 1 se x Q a b 0 se x a b Q Ent ao f n ao e integr avel em a b pois qualquer que seja a partic ao P a x0 x1 xn b de a b em cada de seus subintervalos xi1 xi existem n umeros racionais e irracionais portanto mi 0 e M i 1 Logo s f P 0 e S f P b a o que acarreta b a f t dt 0 e b a f t dt b a 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 197 DDeefifinniicc ao 83 ao 83 Dada uma partic ao P a x0 x1 xn b de a b definese a norma de P e denotase por P o n umero P max xi xi1 i 1 2 n Pr Prop opos osic ic ao 85 ao 85 Se f a b R e mon otona ent ao e in tegr avel Prova Prova Suponhamos que f e nao decrescente Para qualquer partic ao P de a b temos b a f t dt b a f t dt S f P s f P PPab M i mi xi xi1 P PPab M i mi Desde que f e por hipotese nao decrescente em cada subin tervalo xi 1 xi temos M i f xi e mi f xi 1 De modo que PPab M i mi PPab f xi f xi1 f b f a Logo temos 0 b a f t dt b a f t dt P f b f a ii Se f b f a entao f e constante e portanto integravel ii ii Se f b f a ent ao para ε 0 seja δ ε f b f a Se P δ temos b a f t dt b a f t dt ε 198 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS o que acarreta b a f t dt b a f t dt ou seja f e integravel em a b Pr Prop opos osic ic ao 86 ao 86 Seja f a b R cont ınua Ent ao f e integr avel Prova Prova Consideremos F e G como na Proposic ao 84 Temos que F x G x f x x a b Logo F x G x c para todo x a b e para alguma constante c Como F a Ga 0 segue que c 0 Ou seja F x G x para todo x a b Em particular para x b temos b a f t dt F b Gb b a f t dt portanto f e integravel em a b Pr Prop opos osic ic ao 87 ao 87 Seja f a b R limitada Ent ao f e in tegr avel se e somente se para cada ε 0 existe uma partic ao P de a b tal que S f P s f P ε Prova Prova Suponhamos que f e integravel em a b Entao b a f t dt b a f t dt b a f t dt Logo dado ε 0 existem partic oes P1 e P2 de a b tais que S f P1 b a f t dt ε 2 e b a f t dt s f P2 ε 2 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 199 Assim temos S f P1 s f P2 ε Tomemos P P1 P2 e entao S f P1 S f P s f P s f P2 e portanto S f P s f P S f P1 s f P2 ε Reciprocamente suponhamos que para cada ε 0 existe uma partic ao P de a b tal que S f P s f P ε Desde que que S f P b a f t dt b a f t dt s f P entao 0 b a f t dt b a f t dt ε Sendo ε 0 arbitrario segue que b a f t dt b a f t dt Logo f e integravel em a b Exemplo 83 Exemplo 83 Considere dois n umeros reais c e d e definamos f a b R por f x c se a x b d se x a Ent ao f e integr avel em a b e b a f t dt cb a 200 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Com efeito suponhamos sem perda da generalidade que c d Ent ao qualquer que seja partic ao P a x0 x1 xn b de a b temos m1 c M 1 d e mi M i c para i 2 n Portanto S f P s f P d c x1 x0 Seja agora ε 0 dado e tomemos uma partic ao P0 de a b tal que x1 x0 ε d c e teremos que S f P0 s f P0 ε Logo f e integr avel em a b Al em disso como para qualquer partic ao P de a b temos s f P cb a ent ao b a f t dt cb a 8 83 31 1 A In A Inte tegr gral C al Com omo Li o Limi mite d te de So e Soma mas de R s de Rieie mann mann Apresentamos nesta sec ao uma caracterizac ao importante da integral de Riemann como limite de somas conhecidas como somas de Riemann Tal caracterizac ao e muito util es pecialmente na demonstrac ao de algumas propriedades da in tegral Antes porem vamos demonstrar a proxima proposic ao a qual ser a util na demonstrac ao do Teorema 81 Pr Prop opos osic ic ao 88 ao 88 Seja f a b R limitada Ent ao para cada ε 0 existe δ 0 tal que S f P b a f t dt ε e s f P b a f t dt ε para qualquer partic ao P de a b tal que P δ Prova Prova Suponhamos que f x 0 em a b Dado ε 0 existe uma partic ao P0 a x0 x1 xn b de a b tal que S f P0 b a f xdx ε 2 Seja M sup xa b f x e tomemos 0 δ ε 2 Mn Se P e qualquer particao de a b 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 201 com P δ indiquemos com y j1 y j os subintervalos de P que est ao contidos em algum subintervalo xi1 xi de P0 e com yk 1 yk os intervalos restantes de P Cada um dos intervalos yk 1 yk contem pelo menos um ponto xi Assim ha no maximo n intervalos do tipo yk 1 yk Quando y j 1 y j xi1 xi temos M j M i e y j y j1 xi xi1 Logo M j y j y j1 M i xi xi1 uma vez que tratamse de n umeros nao negativos Alem disso M k yk yk 1 M δ Portanto S f P j M j y j y j1 k M k yk yk 1 n i1 M i xi xi1 Mnδ S f P0 ε 2 b a f xdx ε Para o caso geral como f e limitada existe uma constante c 0 tal que f x c 0 para todo x a b Tomando g x f x c temos pelo que j a provamos S g P b a g xdx ε qualquer que seja a particao P do intervalo a b tal queP δ Ocorre que S g P S f P cb a e portanto b a g xdx b a f xdx cb a o que acarreta S f P cb a b a f xdx cb a ε e por fim S f P b a f xdx ε Com um raciocınio analogo provase a outra desigualdade s f P b a f xdx ε e fica demonstrada a proposicao 202 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Dada uma partic ao P a x0 x1 xn b de a b escolhamos um ponto ξ i em cada subintervalo xi1 xi e denotemos por ξ a nupla ξ 1 ξ 2 ξ n Se f e uma funcao real definida em a b a expressao S f P ξ n i1 f ξ i xi xi1 e chamada de soma de Riemann de f DDeefifinniicc ao 84 ao 84 Escrevemos lim P0 S f P ξ γ R quando para cada ε 0 existe δ 0 tal que S f P ξ γ ε qualquer que seja a partic ao P de a b com P δ e qualquer que seja a escolha de ξ associada a P Teorema 81 Teorema 81 Seja f a b R uma func ao limitada Ent ao f e integr avel a Riemann se e somente se 3 lim P0 S f P ξ b a f xdx Prova Prova Suponhamos que f e integr avel a Riemann Dada uma partic ao P a x0 x1 xn b de a b qualquer que seja ξ ξ 1 ξ 2 ξ n com ξ i xi1 xi temos claramente que s f P S f P ξ S f P Como f e integravel a Riemann em a b entao pela Proposic ao 88 lim P 0 s f P b a f xdx lim p 0 S f P 3A construcao da integral como no Teorema 81 e conhecida como Integral de Cauchy 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 203 Logo lim p0 S f P ξ b a f xdx Reciprocamente suponhamos que lim P0 S f P ξ γ R Mostremos que f e integr avel a Riemann em a b e al em disso b a f xdx γ Para tanto seja ε 0 dado e considere mos uma partic ao P a x0 x1 xn b de a b Para cada i 1 2 n escolhamos ξ i e ηi em xi xi1 tais que f ξ i M i ε e f ηi mi ε Tais escolhas sao possıveis tendo em vista que M i e o supremo de f em xi1 xi e mi e o ınfimo de f em xi1 xi Entao S f P ξ S f P εb a e S f P η s f P εb a e portanto S f P η εb a s f P b a f xdx 86 b a f xdx S f P S f P ξ εb a Passando ao limite em 86 quando P 0 obtemos γ εb a b a f xdx b a f xdx γ εb a Desde que ε 0 e arbitrario concluimos que f e integravel em a b e que b a f xdx γ Exemplo 84 Exemplo 84 Seja f a b R dada por f x x Sabemos que f e integr avel em a b uma vez que e a ı cont ınua Vamos 204 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS usar o Teorema 81 para determinar o valor de b a f xdx Para tanto consideremos uma partic ao qualquer P a x0 x1 xn b do intervalo a b e para cada i 1 2 n escolhamos ξ i xi xi1 2 Temos que ξ i xi1 xi e S f P ξ n i1 f ξ i xi xi1 n i1 1 2 xi xi1 xi xi1 1 2 n i1 x2 i x2 i1 1 2 x2 n x2 0 1 2b2 a2 Assim b a f xdx lim P0 S f P ξ 1 2b2 a2 832 832 Pro Propried priedades ades da da Integ Integral ral de de Riem Riemann ann Pr Prop opos osic ic ao 89 ao 89 Sejam f a b R e g a b R in tegr aveis e c R uma constante Ent ao ii f g e integr avel em a b e b a f x g xdx b a f xdx b a g xdx ii ii c f e integr avel em a b e b a c f xdx c b a f xdx Prova Prova Para provar i seja ε 0 dado Sendo f e g integraveis em a b existem numeros reais δ1 0 e δ2 0 tais que S f P ξ b a f xdx ε 2 sempre que P δ1 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 205 e S g P ξ b a g xdx ε 2 sempre que P δ2 onde P e uma partic ao de a b Seja δ min δ1 δ2 e tomemos uma partic ao P de a b com P δ Temos entao S f g P ξ b a f xdx b a g xdx S f P ξ S g P ξ b a f xdx b a g xdx S f P ξ b a f xdx S g P ξ b a g x ε 2 ε 2 ε Isto e lim P 0 S f g P ξ b a f xdx b a g xdx b a f x g xdx Para provar ii observamos inicialmente que se c 0 o resul tado e imediato Podemos entao supor que c 0 Dado ε 0 sendo f integravel em a b existe δ 0 tal que S f P ξ b a f xdx ε c sempre que P δ Logo se P δ temos S c f P ξ c b a f x cS f P ξ c b a f xdx cS f P ξ b a f xdx c ε c ε 206 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Isto e lim P0 S c f P ξ b a c f xdx c b a f xdx Pr Prop opos osic ic ao 810 ao 810 Se f a b R e integr avel e c d a b ent ao f e integr avel em c d Prova Prova Dado ε 0 sendo f integravel em a b existe uma partic ao P de a b tal que S f Ps f P ε Consideremos P P c d Temos que P e um refinamento de P Logo s f P s f P S f P S f P o que acarreta S f P s f P S f P s f P ε Seja agora ˆP P c d Entao S d c f ˆP sd c f ˆP S f P s f P ε o que significa que f e integravel em c d Pr Prop opos osic ic ao 811 ao 811 Se f e integr avel em a b e c a b ent ao b a f xdx c a f xdx b c f xdx Prova Prova Pela Proposic ao 810 f e integravel em a c e em c b O resultado segue da Proposic ao 83 Pr Prop opos osic ic ao 812 ao 812 Se f a b R e integr avel e f x 0 para todo x a b ent ao b a f xdx 0 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 207 Prova Prova Para cada partic ao P de a b temos que S f P ξ 0 Logo b a f xdx lim P0 S f P ξ 0 Corol Corolario ario Sejam f a b R e g a b R func oes integr aveis tais que f x g x para todo x a b Ent ao b a f xdx b a g xdx Prova Prova Sendo f e g func oes integraveis segue da Proposic ao 89 que g f e integravel e b a g x f xdx b a g xdx b a f xdx Por hipotese g x f x 0 para todo x a b Logo pela Proposic ao 812 b a g x f xdx 0 Combinando os re sultados fica demonstrado o Corolario Dada uma func ao real qualquer f a b R vamos definir f a b R e f a b R respectivamente por f x f x se f x 0 0 se f x 0 e f x f x se f x 0 0 se f x 0 Quando f a b R e limitada ent ao f e f sao func oes4 limitadas n ao negativas satisfazendo f f f e f f f como se comprova facilmente 4As func oes f e f sao chamadas de parte positiva e parte negativa re spectivamente de f 208 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Se f a b R e limitada e P e uma particao qualquer de a b entao para cada i 1 2 n denotamos por M i e m i respectivamente o supremo e o ınfimo de f em xi1 xi ou seja M i sup f x x xi 1 xi e m i inf f x x xi1 xi Lema 84 Lema 84 Se f a b R e limitada ent ao M imi M i m i para i 1 2 n Prova Prova Se tivermos mi 0 entao f x 0 em xi1 xi e neste caso f x f x em xi1 xi logo M i M i e m i mi Se for M i 0 entao f x 0 em xi1 xi Neste caso f x 0 em xi1 xi e portanto M i m i 0 Finalmente se for mi 0 M i entao como f x 0 m i 0 e portanto m i mi Donde mi m i e como neste caso M i M i temos M i mi M i m i Pr Prop opos osic ic ao 813 ao 813 Se f a b R e integr avel ent ao f e f tamb em s ao integr aveis em a b Prova Prova Dado ε 0 existe uma partic ao P a x0 x1 xn b de a b tal que S f P s f P ε Agora S f P s f P n i1 M i m i xi xi1 n i1 M i mi xi xi1 S f P s f P ε Portanto f e integr avel em a b Por outro lado da igual dade f f f e da Proposic ao 89 segue que f e in etgravel em a b 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 209 Pr Prop opos osic ic ao 814 ao 814 Se f a b R e integr avel ent ao f e integr avel em a b e b a f xdx b a f xdx Prova Prova Da Proposic ao 813 temos que f e f s ao integraveis em a b Como f f f segue da Proposic ao 89 que f e integravel em a b Agora usando a desigualdade f x f x f x valida para todo x a b e o Corolario da Proposic ao 812 temos b a f xdx b a f xdx b a f xdx isto e b a f xdx b a f xdx Pr Prop opos osic ic ao 815 ao 815 Sejam f a b R e g a b R func oes integr aveis Ent ao f g a b R dada por f g x f xg x e integr avel Prova Prova Suponhamos inicialmente que ambas as func oes sao nao negativas em a b Seja P a x0 x1 xn b uma partic ao de a b Vamos escrever M f g sup f xg x x xi1 xi m f g inf f xg x x xi1 xi M f sup f x x xi1 xi 210 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS m f inf f x x xi1 xi M g supg x x xi1 xi mg inf g x x xi1 xi M 1 sup f x x a b e M 2 supg x x a b Entao M f g M f M g e m f g m f mg em xi1 xi Assim M f g m f g M f M g m f mg M f M g M f mg M f mg m f mg M f M g mg mg M f m f 87 M 1 M g mg M 2 M f m f Multiplicando 87 por xi xi1 e somando desde i 1 ate i n obtemos S f g P s f g P M 1S g P sg P M 2S f P s f P 88 Sabemos que para cada ε 0 existe uma partic ao P de a b tal que S g P sg P ε 21 M 1 e S f P s f P ε 21 M 2 89 Substituindo 89 em 88 obtemos S f g P s f g P ε o que implica na integrabilidade de f g em a b Para tratar o 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 211 caso geral em que f e g n ao sao necessariamente nao nega tivas em a b e suficiente escrever f g f f g g f g f g f g f g e usar o que acabamos de demonstrar 833 833 O O TTeor eorema ema Fund Fundamen amental tal do do CCalculo alculo Historicamente o Calculo nasceu da necessidade que os matematicos da antig uidade tiveram para resolver dois tipos de problemas calcular areas de figuras planas ou volumes de solidos e tracar tangentes em pontos de uma dada curva do plano O primeiro tipo de problema carrega o germe do Calculo Integral e o segundo o do Calculo Diferencial Na segunda metade do s eculo XVII os trabalhos desen volvidos pelos grandes matematicos Isaac Newton 16421727 e Gottfried Leibniz 16461716 foram fundamentais para a sistematizac ao e a unificac ao das duas teorias matematicas ao ponto de na atualidade se creditar a esses dois matem aticos a invencao do C alculo Diferencial e Integral O nosso objetivo principal nesta sec ao e demonstrar o O Teorema Fundamental do Calculo o qual se constitui no re sultado que estabelece a conexao entre o Calculo Diferencial e o Calculo Integral Suponhamos que f a b R e limitada Seguese da Proposic ao 84 que vale a f ormula d dx x a f t dt f x 810 em cada ponto x a b no qual f e contınua Em particular se f e contınua em a b a equac ao 810 e satisfeita para todo x a b 212 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Uma funcao G com a propriedade de que G x f x para todo x a b e chamada de primitiva ou integral indefinida de f Assim para as func oes contınuas em a b a equac ao 810 informa que a func ao F a b R definida por F x x a f t dt e uma primitiva de f Notemos que se c R e uma constante entao F c e tambem uma primitiva de f Na verdade como uma consequˆencia do Teorema do Valor Medio de Lagrange Teorema 73 qual quer primitiva de f e do tipo F c para alguma constante c Va mos usar este resultado para estabelecer o teorema a seguir Teorema 82 Teorema 82 Se f a b R e cont ınua e G e uma primitiva de f ent ao b a f xdx Gb Ga 811 Prova Prova Seja F a b R dada por F x x a f t dt Temos que F x G x logo G x F x c para alguma constante c Como F a 0 entao c Ga Isto e F x G x Ga Em particular F b Gb Ga ou seja b a f xdx Gb Ga E comum nos livros de C alculo usarse a notac ao G x b a Gb Ga 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 213 Uma aplicac ao importante do Teorema 82 consiste em para calcularmos a integral de uma func ao contınua f em a b tudo que precisamos e ter em m aos uma primitiva qualquer G de f e teremos b a f xdx Gb Ga Assim o problema de calcular a integral de uma func ao contınua f em a b se transfere para o problema aparentemente mais simples de se determinar uma primitiva de f Daı a justificativa para o esforco que e desenvolvido nos cursos introdutorios de C alculo Difer encial e Integral especialmente os mais dirigidos para aplicac oes em se construir extensas tabelas de primitivas Neste sentido e importante o estabelecimento das chamadas t ecnicas de integrac ao Nao e nosso objetivo tratar aqui desta quest ao com profundidade e recomendamos ao leitor a refer ˆencia 1 A equacao 810 sugere a indagacao de se toda derivada pode ser integrada para retornarmos a func ao srcinal A re sposta para essa quest ao e negativa conforme vemos no ex emplo a seguir Exemplo 85 Exemplo 85 Considere a func ao f R R definida por f x x2sen 1 x2 se x 0 0 se x 0 Como se comprova facilmente temos f x 2 xsen 1 x2 2 x cos 1 x2 se x 0 0 se x 0 Observamos que f n ao e limitada em nenhuma vizinhanca da orıgem e portanto n ao e integr avel em qualquer intervalo contendo a or ıgem A resposta a questao acima levantada e positiva se a derivada for limitada e integravel como mostra a proposic ao a seguir 214 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Pr Prop opos osic ic ao 816 ao 816 Seja f a b R uma func ao deriv avel tal que f e limitada e integr avel em a b Ent ao b a f xdx f b f a Prova Prova Dada uma partic ao P a x0 x1 xn b qualquer de a b temos f b f a n i1 f xi f xi1 812 O Teorema do Valor M edio de Lagrange aplicado em cada subintervalo xi1 xi garante que que existe ξ i xi1 xi tal que f xi f xi1 f ξ i xi xi1 Assim 812 se escreve como f b f a n i1 f ξ i xi xi1 813 Sendo f limitada consideremos para cada i 1 2 n M i sup f x x xi1 xi e m i inf f x x xi1 xi Portanto para cada i 1 2 n m i xi xi1 f ξ i xi xi1 M i xi xi1 814 Adicionando desde i 1 at e i n e usando 813 obtemos n i1 m i xi xi1 f b f a n i1 M i xi xi1 815 Isto significa que qualquer que seja a partic ao P de a b temos s f P f b f a S f P 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 215 Assim b a f xdx f b f a b a f xdx Como f e in tegravel em a b segue que b a f xdx f b f a Pr Prop opos osic ic ao ao 81 817 7 In Integr tegrac ac ao ao por por Subs Substitu tituic ic ao ao Sejam f a b R contınua e v c d a b com derivada cont ınua Suponhamos que vc a e vd b Ent ao b a f ydy d c f v xv xdx Prova Prova Seja F a b R definida por F y y a f t dt Temos que F y f y F a 0 e F b b a f ydy Mas pela Regra da Cadeia obtemos F v x F v xv x f v xv x Agora pelo Teorema Fundamental do C alculo temos d c f v xv xdx F v x d c F vd F vc F b F a b a f ydy Pr Prop opos osic ic ao ao 81 818 8 In Integr tegrac ac ao por Partes ao por Partes Consideremos u a b R e v a b R func oes deriv aveis com derivadas u e v integr aveis em a b Ent ao b a u xv xdx u xv x b a b a v xu xdx 216 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Prova Prova Sabemos da regra de derivac ao de um produto que uv uv uv Portanto uv e integr avel em a b Pela Proposic ao 816 temos b a u xv xdx u xv x b a donde segue o resultado Dada f a b R limitada e integravel sejam m inf f x x a b e M sup f x x a b Sabemos da Proposicao 81 que m 1 b a b a f xdx M A quantidade 1 b a b a f xdx pode ser interpretada como a media de f em a b Teorema 83 Primeiro Teorema da M Teorema 83 Primeiro Teorema da M edia edia Consideremos f a b R contınua Ent ao existe c a b tal que b a f xdx f cb a Prova Prova Seja F x x a f t dt Sabemos que F e contınua em a b e diferenciavel em a b Pelo Teorema do Valor M edio de Lagrange Teorema 73 temos que existe c a b tal que F b F a F cb a Ou seja b a f xdx F cb a f cb a 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 217 como querıamos Quando f e uma func ao nao negativa o Primeiro Teorema da Media admite uma interpretac ao geom etrica simples Com efeito desde que a integral de f corresponde a area da regiao do plano compreendida entre o eixo das abcissas as retas x a e x b e o gr afico de f o resultado afirma em primeiro lugar que esta area e um n umero compreendido entre a area do ret ˆangulo de base b a e altura m e a do ret ˆangulo de mesma base e altura M e em segundo lugar que quando f e contınua esta area e igual a area de um ret ˆangulo de base b a e altura f c para algum c a b Quando f e g sao funcoes integr aveis em a b com f contınua g 0 e b a g xdx 0 o numero real µ b a f xg xdx b a g xdx 816 e chamado de m edia ponderada de f em a b com respeito a func ao peso g Podemos agora generelizar o Teorema 83 do seguinte modo Teorema 84 Teorema 84 Sejam f e g s ao func oes integr aveis em a b Suponhamos f cont ınua g n ao negativa e b a g xdx 0 Ent ao existe ξ a b tal que µ f ξ onde µ e o n umero real definido por 816 Prova Prova Sendo f e g integraveis em a b entao f g tambem e integravel em a b Sendo f contınua no intervalo fechado e limitado a b existem m e M tais que m f x M para todo x a b Como g x 0 em a b entao mg x f xg x Mg x 218 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS para todo x a b Logo m b a g xdx b a f xg xdx M b a g xdx donde dividindose por b a g xdx 0 obtemos m µ M Pelo Teorema do Valor Intermediario Teorema 63 temos que existe ξ a b tal que µ f ξ O resultado obtido no Teorema 84 informa que existe ξ em a b tal que b a f xg xdx f ξ b a g xdx o que generaliza o Teorema 83 tomandose g x 1 em a b Teorema 85 Segundo Teorema da M Teorema 85 Segundo Teorema da Media edia Suponhamos que f e mon otona f e integr avel e g e contınua em a b Ent ao existe ξ a b tal que b a f xg xdx f a ξ a g xdx f b b ξ g xdx Prova Prova Seja G x x a gt dt Sabemos que G x g x e portanto b a f xg xdx b a f xG xdx 817 Usando integrac ao por partes na ultima integral em 817 obte mos b a f xg xdx f xG x b a b a G x f xdx 818 83 83 A INTE A INTEGRAL DE R GRAL DE RIEMA IEMANN NN 219 Podemos agora usar o Teorema 84 e garantir a exist ˆencia de ξ a b tal que b a G x f xdx G ξ b a f xdx e do Teorema Fundamental da Calculo segue que b a G x f xdx G ξ f b f a 819 Substituindo 819 em 818 temos b a f xg xdx f aG ξ f bGb G ξ isto e b a f xg xdx f a ξ a g xdx f b b ξ g xdx como querıamos 220 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS 884 4 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 8 ıtulo 8 81 81 Prove que 12 22 32 n2 1 6 nn 12n 1 n N Use agora a particao P 0 1 n 2 n n 1 n 1 do intervalo 0 1 para mostrar que f x x2 e in tegravel em 0 1 e 1 0 x2dx 1 3 82 82 Prove que 13 23 33 n3 1 2nn 13 n N Usando a partic ao do exercıcio anterior prove que f x x3 e integravel em 0 1 e 1 0 x3dx 1 4 83 83 Seja f 0 1 R tal que f x 0 se x R Q x se x Q Mostre que f nao e integravel em 0 1 84 84 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 8 ITULO 8 221 84 84 Seja f a b R contınua e tal que f x 0 para todo x a b Prove que se b a f xdx 0 entao f x 0 x a b 85 85 Dˆe um exemplo de uma funcao f 0 1 R limitada que n ao e integravel em 0 1 mas f e aı integravel 86 86 Seja f integravel em a b e tal que 0 m f x M para todo x a b Mostre que m 1 b a b a f 2 xdx 1 2 M 87 87 Seja f a b R contınua e suponha que f x 0 para todo x a b Mostre que existe c a b tal que f c 1 b a b a f 2 xdx 1 2 88 88 Sejam f g a b R func oes integraveis Mostre que as func oes ϕ x max f x g x e ψ x min f x g x sao tambem integraveis em a b 89 89 Seja f a b R uma func ao contınua e defina ϕ x b x f t dt Calcule ϕ x 222 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS 810 810 Sejam I a b J c d e f I R uma func ao contınua e v J R uma func ao diferenciavel Suponha que v J I e mostre que a funcao G J R definida por G x v x a f t dt e diferenciavel com G x f v xv x 811 811 Calcule F x sendo a a F x x2 0 sen t 2dt b b F x sen x 0 cost dt 812 812 Sejam f a b R uma func ao contınua e I um inter valo de R Se α β I a b s ao func oes derivaveis defina ϕ I R pondo ϕ x β x α x f t dt x I Prove que ϕ e derivavel em I e ϕ x f β x β x f α xα x x I 813 813 Use o exercıcio anterior para calcular F x se F e dada por F x 2 x x2 1 t 2dt 814 814 Uma func ao f R R e dita peri odica de per ıodo T 0 se f x T f x para todo x R Mostre que se f e integravel e peri odica de perıodo T entao bT aT f t dt b a f t dt a b R 84 84 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 8 ITULO 8 223 815 815 Mostre que se f e limitada em a b e b aε f xdx existe para todo 0 ε b a entao b a f xdx existe 816 816 Mostre que se f a b R e limitada com um numero finito de descontinuidades entao f e integravel em a b 817 817 Seja f a b R limitada tal que f x 0 exceto nos pontos c1 c2 cn de a b Mostre que b a f xdx 0 818 818 Prove que se f a b R e contınua e b a f xg xdx 0 para toda func ao contınua g a b R entao f x 0 x a b 819 819 Prove que se f g a b R sao contınuas entao b a f xg xdx2 b a f x2dx b a g x2dx 820 820 Seja f a b R contınua e n ao negativa Mostre que se M max a b f x entao lim n b a f n xdx 1 n M 821 821 Considere o polin ˆomio P x a0 a1 x a2 x2 an xn cujos coeficientes satisfazem a relac ao n i1 a2 i 1 224 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Prove que 1 0 P xdx π 2 822 822 Um conjunto E R tem conte udo nulo se dado ε 0 existe uma colec ao finita de intervalos abertos an bn tais que E k n1 an bn e k n1 bn an ε Mostre que todo conjunto finito tem conte udo nulo 823 823 Mostre que todo conjunto infinito limitado com um n umero finito de pontos de acumulacao tem conte udo nulo 824 824 Um conjunto E R tem medida nula se dado ε 0 ex iste uma colec ao enumeravel de intervalos abertos an bn tais que E n1 an bn e n1 bn an ε Mostre que todo conjunto que tem conte udo nulo tem medida nula A recıproca e verdadeira Justifique 825 825 Mostre que todo conjunto enumeravel tem medida nula 826 826 Mostre que se f e limitada em a b e o conjunto E dos pontos de descontinuidade de f tem conte udo nulo entao f e integravel em a b 827 827 Seja f a b R limitada e seja E o conjunto dos pontos de descontinuidade de f Mostre que se E tem medida nula entao f e integravel em a b 84 84 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 8 ITULO 8 225 828 828 Seja f a b R definida por f x 0 se x e irracional e f x 1 q se x p q onde p e q sao inteiros primos entre si e q 0 Defina f 0 1 se 0 a b Prove que f e integravel em a b e b a f xdx 0 829 829 Mostre que se K e compacto e tem medida nula ent ao K tem conteudo nulo 830 830 Suponha que f e g satisfazeem as seguintes condic oes ii g existe e e integravel em a b ii ii f e contınua em c d onde c e d s ao respectivamente o ınfimo e o supremo de g em a b Mostre que se ga α e gb β entao β α f ydy b a f g xg xdx 831 831 Sejam f g a R tais que ii x a f zdz existe e e limitada para todo x a ii ii g e mon otona em a e lim x g x 0 Prove que a f xg xdx existe 832 832 Sejam f g a R tais que f e mon otona e limitada em a e a g xdx existe Prove que a f xg xdx existe 226 CAP CAP ITU ITULO 8 LO 8 FUN FUNCC OES INTEGR OES INTEGR AVEIS AVEIS Cap Capıtulo 9 ıtulo 9 Seq Seq uu ˆ ˆencias e S encias e Series de eries de FFuunncc oes oes 91 91 Introduc Introduc ao ao Tratamos neste capıtulo de seq uˆencias f n cujos termos sao funcoes reais definidas em um mesmo subconjunto S R Para cada x S podemos considerar a sequˆencia numerica f n x a qual podem ser aplicados os conceitos de limitac ao monotonicidade convergˆencia etc conforme estudados no Capıtulo 2 Nesse Capıtulo avaliaremos at e que ponto tais propriedades se estendem para seq uˆencias de funcoes e es tudaremos outras propriedades mais especıficas Dentre as v arias justificativas para a import ˆancia de se es tudar seq uˆencias e series de func oes destacamos a seguinte no tratamento de determinados problemas de equac oes fun cionais isto e equac oes onde a incognita e uma func ao uma tecnica utilizada consiste em pesquisar solucoes aproximadas do problema srcinal sob condic oes mais regulares e por pas sagem ao limite da sequˆencia de func oes resultante do processo de aproximac ao determinar a solucao exata do problema 227 228 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Para sequˆencias de func oes diferentemente das sequˆencias numericas estudadas no Cap ıtulo 2 h a diversos conceitos de limite Estudaremos aqui os dois principais deles o limite pon tual e o limite uniforme e dirigiremos nosso interesse em re sponder a seguinte questao se cada uma das func oes da sequˆencia f n possui uma propriedade comum a todas elas tal como continuidade diferenciabilidade ou integrabilidade sob que condic oes essa propriedade continua v alida para a func ao limite da sequˆencia 992 2 SSeeqq uu ˆ ˆen encicias as de de Fu Func nc oes oes Seja S um subconjunto de R Uma seq uˆencia de funcoes e uma funcao que a cada n N associa uma func ao f n definida em S etomando valores em R Usamos a notac ao f n xnN x S ou simplesmente f n quando esta suficientemente es clarecido no contexto qual seja o domınio S para denotar uma sequˆencia de func oes Exemplo 91 Exemplo 91 Alguns exemplos de seq u ˆ encias de func oes s ao 1 1 1 nx nN x 0 2 2 x n nN x R 3 3 xnnN x 0 1 4 4 sennx x nN x 0 93 93 A A CONV CONVERG ERG ˆ ˆ ENCIA PONTUAL ENCIA PONTUAL 229 9 93 3 A A Co Connvver ergg ˆ ˆencia Pontual encia Pontual DDeefifinniicc ao 91 ao 91 Dizemos que uma seq u ˆ encia de func oes f nnN f n S R converge pontualmente ou converge simples mente para uma func ao f de S em R quando para cada x S a seq uˆ encia num erica f n xnN e convergente para f x isto e dado ε 0 existe N ε x N tal que n N ε x f n x f x ε Na Definicao 91 escrevemos N ε x para enfatizar que o numero natural N pode depender tanto do ε dado como do x S em questao No entanto na pr atica na maioria das situac oes escreveremos apenas N para n ao sobrecarregar a notac ao Exemplo 92 Exemplo 92 A seq u ˆ encia f n dada por f n x 1 nx x em 0 e pontualmente convergente para f 0 R tal que f x 0 para todo x 0 De fato dado ε 0 se x 0 e fixado consideremos N ε x 1 ε x e teremos que para n N ε x isto e nx 1 ε 1 nx 0 1 nx ε Exemplo 93 Exemplo 93 A seq u ˆ encia f n dada por f n x x n x R e pontualmente convergente para a func ao f R R tal que f x 0 para todo x R De fato dado ε 0 se x R e fixado tomemos N ε x x ε e teremos que para n N ε x isto e n x ε x n 0 x n x n ε 230 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Passaremos agora nos proximos exemplos a analizar que tipo de resposta a convergˆencia pontual fornece para a questao levantada na introduc ao deste capıtulo Exemplo 94 Exemplo 94 Consideremos a seq uˆ encia f n onde f n x xn x 0 1 Observemos que todas as func oes s ao cont ınuas em 0 1 Observemos ainda que se 0 x 1 ent ao a seq u ˆ encia num erica xn e tal que lim n xn 0 e se x 1 a seq u ˆ encia num erica xn e tal que lim n xn lim n 1n 1 De maneira que a seq u ˆ encia f n e pontualmente convergente para a func ao descontınua f 0 1 R dada por f x 0 se 0 x 1 1 se x 1 Exemplo 95 Exemplo 95 Seja a seq uˆ encia f n onde f n x sennx n x R Temos que sennx n 1 n para todo x R Portanto lim n f n x 0 para cada x R Isto e f n e pontualmente convergente para a func ao identicamente nula em R Temos ainda que todas as f n s ao deriv aveis em R e a derivada de cada uma delas e dada por f n x sennx n n cosnx formando uma seq u ˆ encia que n ao tem limite em ponto algum de R Exemplo 96 Exemplo 96 Consideremos a seq u ˆ encia de func oes f n to das definidas em 0 1 da seguinte forma f n x n 1 xn se 0 x 1 0 se x 1 93 93 A A CONV CONVERG ERG ˆ ˆ ENCIA PONTUAL ENCIA PONTUAL 231 Aplicando o teste da raz ao a s erie n1 n1 xn concluimos pela converg ˆ encia da mesma para todo 0 x 1 portanto o seu termo geral n 1 xn tem limite zero Assim a seq u ˆ encia f n converge pontualmente para a func ao f identicamente nula em 0 1 Observe agora que todas as func oes f n s ao in tegr aveis em 0 1 e 1 0 f n xdx 1 No entanto 1 0 f xdx 1 0 0dx 0 Aanalise que fazemos dos ultimos trˆes exemplos e a seguinte No Exemplo 94 temos uma seq uˆencia de func oes contınuas que converge pontualmente para uma func ao descontınua isto e a converg ˆencia pontual n ao e suficientemente forte para transferir para a func ao limite f a propriedade de continuidade gozada por todas as f n No Exemplo 95 temos uma sequˆencia de funcoes deriv aveis f n que converge pontualmente para uma funcao f que inclusive e deriv avel em toda a reta e no entanto a seq uˆencia f n formada pelas derivadas de f n diverge em todos os pontos de R ou seja a sequˆencia das derivadas de f n nao converge para a derivada de f uma vez que nem sequer converge Finalmente no Exemplo 96 temos uma seq uˆencia de func oes f n todas integr aveis que con verge pontualmente para uma func ao f que tambem e integravel mas as integrais das f n formam uma sequˆencia numerica que converge para um valor diferente da integral do limite Voltando a analizar o Exemplo 94 podemos observar que o que ocorreu foi o seguinte Cada func ao f n e contınua a es querda no ponto x0 1 e portanto lim x1 f n x f n1 Alem disso como f n converge pontualmente em x0 1 entao lim n f n1 f 1 1 Ocorre que f nao e contınua a es querda em x0 1 pois lim x1 f x 0 e f 1 1 Mas f n x converge para f x em todos os pontos de 0 1 ou seja 232 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES lim n f n x f x Assim temos por um lado que lim x1lim n f n x 0 e por outro lado lim n lim x1 f n x 1 Em outras palavras a convergˆencia pontual nao foi suficiente mente forte para permitir neste caso a intercambialidade dos limites Nos Exemplos 95 e 96 uma vez que tanto a operac ao de derivac ao como a de integrac ao sao definidas atrav es de limites procedendose como acima fazendose as devidas adptac oes obeservase que tambem nao e valida a intercam bialidade dos limites Esse e digamos o principal defeito do limite pontual Na proxima sec ao apresentaremos um outro conceito de limite de seq uˆencia de funcoes que e bem mais comportado com relac ao as propriedades de continuidade diferenciabilidade e integrabilidade dos termos da sequˆencia e de seu limite 9 94 4 A A Co Connvver ergˆ gˆencia Uniforme encia Uniforme Na Definic ao 91 de converg ˆencia pontual o n umero nat ural N inerente a definic ao pode depender do ε 0 dado e do particular ponto x considerado Quando ocorre de o N de pender somente do ε e for independente do particular ponto x diremos qua a convergˆencia e uniforme Mais precisamente temos a seguinte definic ao DDeefifinniicc ao 92 ao 92 Dizse que uma seq u ˆ encia de func oes f nnN f n S R converge uniformemente para f S R quando para cada ε 0 existe N ε N tal que n N ε f n x f x ε x S 94 94 A A CONV CONVERG ERG ˆ ˆ ENCIA UNIFORME ENCIA UNIFORME 233 Observemos da definic ao acima que sup xS f n x f x ε se n N ε portanto sup xS f n x f x 0 quando n E evidente que se f n converge uniformente para f entao tambem converge pontualmente ou seja a convergˆencia uni forme implica na converg ˆencia pontual A recıproca no en tanto nao vale conforme comprovamos com os exemplos a seguir Exemplo 97 Exemplo 97 Nos Exemplos 92 e 93 obtivemos respectiva mente N ε x 1 ε x e N ε x x ε os quais dependem explicitamente do particular ponto x Vemos assim que em cada daqueles casos a converg ˆ encia n ao e uniforme Exemplo 98 Exemplo 98 A seq u ˆ encia do Exemplo 94 converge pontual mente no intervalo 0 1 para a func ao identicamente nula mas a converg ˆ encia n ao e uniforme veja Exerc ıcio 95 En tretanto se 0 α 1 ent ao a convergˆ encia e uniformeme em S 0 α pois sup xS xn 0 αn 0 quando n Um crit erio importante para a converg ˆencia uniforme e o criterio de Cauchy estabelecido no Teorema 91 a seguir Porem antes de demonstrar o teorema necessitamos da seguinte definic ao DDeefifinniicc ao 93 ao 93 Dizemos que uma seq u ˆ encia f n de func oes de S e uma seq u ˆ encia de Cauchy quando para cada ε 0 existe N N tal que m n N f n x f m x ε x S 234 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Pr Prop opos osic ic ao 91 ao 91 Uma seq u ˆ encia f n de func oes de S con verge uniformemente se e somente se e uma seq u ˆ encia de Cauchy Prova Prova Suponhamos que f n converge uniformemente para f S R Entao dado ε 0 existe N N tal que n N f n x f x ε 2 x S Logo se m n N temos f m x f n x f m x f x f n x f x ε 2 ε 2 ε para todo x S Ou seja f n e uma seq uˆencia de Cauchy Reciprocamente suponhamos que f n e uma seq uˆencia de Cauchy Entao para cada x S a seq uˆencia numerica f n x e uma sequˆencia de Cauchy e sendo R completo tal sequˆencia converge para um numero real lim n f n x univocamente deter minado tendo em vista a unicidade do limite em R Fica assim bem definida uma func ao f S R tal que f x lim n f n x Seja agora ε 0 dado e tomemos ε 0 com ε ε Temos que existe N N tal que para todo x S n N f n x f nm x ε m N Logo fixando n N temos que lim m f n x f nm x f n x f x ε ε Ou seja se n N ent ao f n x f x ε para todo x S o que demonstra a convergˆencia uniforme de f n para a func ao f 94 94 A A CONV CONVERG ERG ˆ ˆ ENCIA UNIFORME ENCIA UNIFORME 235 941 941 Pro Propried priedades ades da da Con Conver vergg ˆ ˆencia Uniforme encia Uniforme Veremos nessa sec ao como a convergˆencia uniforme se comporta relativamente as propriedades de continuidade difer enciabilidade e integrabilidade dos termos da seq uˆencia Teorema 91 Teorema 91 Seja f n uma seq uˆ encia de func oes de S em R que converge uniformemente para uma func ao f S R e suponhamos que todas as func oes f n s ao cont ınuas em um ponto x0 S Ent ao f e cont ınua em x0 Prova Prova Temos que dado ε 0 existe N N tal que n N f n x f x ε 3 x S Fixemos um natural n0 N Como f n0 e contınua em x0 existe δ 0 tal que x S e x x0 δ f n0 x f n0 x0 ε 3 Logo f x f x0 f x f n0 x f n0 x f n0 x0 f n0 x0 f x0 3 ε 3 ε se x x0 δ o que demonstra a continuidade de f em x0 Teorema 92 Teorema 92 Seja f n uma seq uˆ encia de func oes de a b em R que converge uniformemente para uma func ao f a b R e suponhamos que todas as func oes f n s ao integr aveis Ent ao ii f e integr avel em a b e 236 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES ii ii lim n b a f xdx lim n f n xdx Prova Prova Para a prova de i consideremos ε 0 e seja N N tal que n N f n x f x ε x a b 91 Seja agora P uma partic ao de a b De 91 temos para todo x a b f N x ε f x f N x ε entao s f N P εb a s f P S f P S f N P εb a Logo S f P s f P S f N P s f N P 2εb a Mas desde que f N e integravel em a b existe uma partic ao P0 de a b tal que S f N P0 s f N P0 ε Para a partic ao P0 temos S f P0 s f P0 ε1 2b a Donde segue que f e integravel em a b Para a prova de ii observemos que para todo n N b a f n xdx b a f xdx b a f n x f x dx εb a Portanto lim n b a f n xdx b a f xdx No teorema anterior se cada f n for contınua em a b entao pelo Teorema 91 f e contınua e portanto integr avel em a b 94 94 A A CONV CONVERG ERG ˆ ˆ ENCIA UNIFORME ENCIA UNIFORME 237 Teorema 93 Teorema 93 Seja f n uma seq u ˆ encia de func oes de classe C 1 em a b Se para algum c a b a seq u ˆ encia num erica f nc converge e al em disso a seq u ˆ encia das derivadas f n converge uniformemente em a b para uma func ao g ent ao f n converge uniformemente para uma func ao de classe C 1 f tal que f g Prova Prova Pelo Teorema Fundamental do C alculo para cada n N e para cada x a b temos f n x f nc x c f nt dt 92 Passando ao limite quando n em 92 e usando o Teo rema 92 segue que existe f x lim n f n x e vale a igualdade f x f c x c gt dt 93 Alem disso pelo Teorema 91 g e contınua em a b logo no vamente pelo Teorema Fundamental do Calculo f e deriv avel e f x g x Segue que f e de classe C 1 Agora de 92 e 93 temos f n x f x f nc f c x c f nt gt dt 94 Por outro lado sabemos que para todo ε 0 existe N N tal que para n N f nc f c ε e f nt gt ε t a b 95 Usando 95 em 94 resulta que n N f n x f x ε1 b a x a b Ou seja f n converge para f uniformemente em a b 238 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 995 5 SS er erieies s de de Fu Func nc oes oes Dada uma seq uˆencia de funcoes f n f n S R podemos considerar formalmente a serie n1 f n f 1 f 2 f n 96 O subconjunto dos pontos x de S tais que a s erie n1 f n x converge e chamado de dom ınio de convergˆencia de 96 Exemplo 99 Exemplo 99 A s erie n1 xn tem como dom ınio de converg ˆ encia o conjunto S x R x 1 Exemplo 910 Exemplo 910 A s erie n1 1 n x possui como dom ınio de con verg ˆ encia o conjunto S 1 Exemplo 911 Exemplo 911 A s erie n1 x 1n n2n converge pontualmente no intervalo 1 x 3 De fato usando o teste da raz ao podemos comprovar que a dada s erie converge absolutamente no in tervalo 1 x 3 e diverge se x 1 ou x 3 Para x 1 obtemos a s erie n1 2n n2n n1 1n n a qual con verge pelo crit erio de Leibniz e para x 3 obtemos a s erie n1 2n n2n n1 1 n a s erie harm ˆ onica a qual e divergente As sim a s erie de func oes dada converge pontualmente no inter valo 1 x 3 9 95 5 SS ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 239 Dada uma s erie de funcoes com domınio de convergˆencia S podemos definir a func ao φ S R por φ x n1 f n x A serie n1 f n x converge pontualmente ou uniformemente conforme a sequˆencia das somas parciais Φn dadas por Φn x f 1 x f 2 x f n x seja convergente pontualmente ou uniformente em S Como conseq uˆencias dos Teoremas 91 92 e 93 temos as seguintes propriedades para series de funcoes Se a s erie n1 f n x converge uniformemente para f em S e cada f n e contınua em c S segue do Teorema 91 que f e contınua em c Se a s erie n1 f n x converge uniformemente para f em a b e cada f n e integravel em a b segue do Teo rema 92 que f e integravel em a b e vale a igualdade b a n1 f n xdx n1 b a f n xdx Se a s erie n1 f n x convergente em um ponto c S cada f n e contınua em S e n1 f n x converge uniforme mente em S entao pelo Teorema 93 n1 f n x converge 240 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES uniformemente em S e vale a igualdade n1 f n x n1 f n x x S 9 9551 1 Cr Crititeri erios os de de Con Conve verg rg ˆ ˆen enciciaa pa para ra SSeries eries de de Func Func oes oes Apresentamos a seguir alguns crit erios de convergˆencia para s eries de funcoes Teorema 94 Crit Teorema 94 Criterio de Weierstrass erio de Weierstrass Seja n1 f n x uma s erie de func oes em S tais que f n x bn e n1 bn e convergente Ent ao n1 f n x converge uniformemente e absolutamente em S Prova Prova Seja Φn a seq uˆencia das somas parciais da s erie n1 f n x Desde que a s erie n1 bn e convergente dado ε 0 existe N N tal que m n N bn1 bn2 bnm ε Portanto para m n N temos sup xS Φm x Φn x bn1 bn2 bnm ε e pelo Teorema 91 temos que n1 f n x converge uniforme mente em S 9 95 5 SS ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 241 Exemplo 912 Exemplo 912 A s erie n1 cosnx n2 converge uniformemente em R uma vez que cosnx n2 1 n2 e n1 1 n2 e uma s erie num erica de termos n ao negativos que e convergente e portanto podemos aplicar o Crit erio de Weierstrass para concluir a converg ˆ encia uniforme da s erie dada DDeefifinniicc ao 94 ao 94 Dizemos que uma seq uˆ encia de func oes f n S R converge monotonicamente f S R quando para todo x de S a seq u ˆ encia f n x e mon otona e converge para f x Os proximos dois teoremas sao criterios uteis para deduzir a convergˆencia uniformee de s eries de funcoes Teorema 95 Crit Teorema 95 Criterio de Dirichlet erio de Dirichlet 1 Sejam an e bn duas seq u ˆ encias de func oes de S R em R satisfazendo as seguintes propriedades ii a seq u ˆ encia Φk x k j1 ak x das reduzidas de an e uni formemente limitada em S isto e existe H 0 tal que Φk x H para todo x em S e para todo k em N ii ii para cada x S bn x e uma seq u ˆ encia mon otona iii iii lim n bn x 0 uniformemente em S Ent ao n1 an xbn x converge uniformemente em S 1Peter Gustav Lejeune Dirichlet 18051859 242 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Prova Prova Por i para n k N e x S temos que an1 x ank x Φnk x Φn x 2 H Sejam S 1 x S bn x e monotona decrescente e S 2 x S bn x e mon otona crescente Temos que S S 1 S 2 Pelo Lema 32 para n p N temos an1 xbn1 x ank xbnk x 2 Hbn1 x para todo x S 1 Desde que lim n bn x 0 uniformemente em S 1 segue do Teorema 91 que a s erie n1 an xbn x converge uniformemente em S 1 Semelhantemente a s erie converge uniformemente em S 2 Portanto converge uniformemente em S Teorema 96 Crit Teorema 96 Criterio de Abel erio de Abel Sejam an e bn duas seq u ˆ en cias de func oes de S R em R satisfazendo as seguintes propriedades ii a s erie n1 an x e uniformemente convergente em S ii ii para cada x S bn x e uma seq u ˆ encia mon otona iii iii bn x e uniformemente limitada em S Ent ao n1 an xbn x converge uniformemente em S 9 95 5 SS ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 243 Prova Prova Seja M 0 tal que bn x M para todo x em S e para todo n em N Considere S 1 e S 2 como na demonstrac ao do Teorema 95 Podemos admitir que bn x 0 para tanto e sufuciente considerar bn x M Por i dado ε 0 existe N N tal que para n N an1 x ank ε x S k N Entao pelo Lema 32 temos an1 xbn1 x ank xbnk x εbn1 ε M para todo n N para todo k N e para todo x S 1 Portanto pelo Teorema 91 a serie n1 an xbn x converge uniformente em S 1 A convergˆencia uniforme em S 2 e obtida semelhante mente e consequentemente a convergˆencia em S Teorema 97 Teorema de Dini Teorema 97 Teorema de Dini 2 Seja f n uma seq u ˆ encia de func oes reais definidas em um subconjunto compacto K de R e pontualmente convergente para uma func ao f K R Se para todo x de K a seq uˆ encia num erica f n x e mon otona e tanto f como todas as f n s ao cont ınuas em K ent ao a con vergˆ encia e uniforme Prova Prova Consideremos ε 0 dado arbitrariamente Para cada c K existe nc N tal que f nc f c ε para todo n nc Como f nc f e contınua existe uma vizinhanca aberta V c de centro c tal que f nc x f x ε para todo x V c Por hipotese f nc x f x e decrescente e portanto f nc x f x ε para todo n nc e para todo x V c Observemos que K cK V c e sendo K compacto pelo Teorema de Borel Lebesgue Teorema 42 existe um n umero finito de pontos 2DiniUlisse 18451918 244 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES c1 c2 cr de K tais que K r j1 V c j Assim se tomamos N maxnc1 nc2 ncr entao f n x f x ε para todo n N e para todo x K o que demonstra a convergˆ encia uniforme de f n para f Apresentamos a seguir um importante resultado que num certo sentido generaliza o Teorema de BolzanoWeierstrass Teorema 43 e como tal encontra muitas aplicac oes em teoremas de exist ˆencia Antes por em para facilitar a com preensao e util estabelecer a seguintes definicoes DDeefifinniicc ao 95 ao 95 Dizemos que uma seq u ˆ encia f n de func oes de S R e eq uicont ınua em S quando para cada ε 0 existe δ 0 tal que x y S e x y δ f n x f n y ε n N DDeefifinniicc ao 96 ao 96 Dizemos que uma seq u ˆ encia f n f n S R e uniformemente limitada quando existe uma constante real positiva M tal que f n x M para todo n N e para todo x S Teorema 98 Teorema de Arzel Teorema 98 Teorema de ArzelaAscoli aAscoli 3 4 Seja f n uma seq u ˆ encia de func oes reais cont ınuas e definidas em um inter valo a b Suponhamos que f n e eq uicont ınua e uniforme mente limitada em a b Ent ao f n possui uma subseq u ˆ encia uniformemente convergente em a b Prova Prova Sendo Q enumeravel seja r n uma enumerac ao dos racionais de a b Consideremos a sequˆencia numerica f nr 1 Temos que f nr 1 M para todo n N e pelo Teorema 3Cesare Arzela 18471912 4Giulio Ascoli 18431896 9 95 5 SS ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 245 de BolzanoWeierstrass Teorema 43 f nr 1 possui uma subsequˆencia convergente f 1nr 1 Ou seja a seq uˆencia de func oes f 1n converge para x r 1 Consideremos agora a sequˆencia numerica f 1nr 2 Temos novamente que f 1nr 2 M e portanto podemos extrair uma subsequˆencia f 2n de f 1n que converge para x r 2 de modo que f 2n e conver gente em x r 1 e em x r 2 Continuando com este procedi mento obteremos sequˆencias f knnN k 1 2 3 com as seguintes proriedades ii f knnN e uma subsequˆencia de f jnnN se j k ii ii f knnN e convergente em x r j j 1 2 k Consideremos agora a seq uˆencia de func oes f nnnN Exceto para um numero finito de termos tal seq uˆencia e uma sub sequˆencia de f knnN k 1 2 3 Portanto f nnnN con verge em x r j j 1 2 3 Em outras palavras a sequˆencia converge nos pontos racionais de a b Mostremos que f nnnN converge uniformemente em a b Seja ent ao ε 0 dado Usando a hip otese de eq uicontinuidade de f nnN e em par ticular a continuidade uniforme de f nnnN existe um numero real δ 0 tal que f nn x f nn y ε 3 97 se x y δ e para todo n N Seja agora uma partic ao P a x0 x1 x p b de a b tal que max xq xq1 q 1 2 p δ Usando a densidade de Q em R podemos supor que todos os pontos xq 1 q p sao racionais Claramente pela escolha da partic ao P para qualquer x a b existe pelo menos um ponto xq 1 q p tal que x xq δ Portanto para cada x a b podemos em 97 fazer y xq para um certo xq e temos f nn x f nn xq ε 3 n N 98 246 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Por outro lado as seq uˆencias f nn xqnN 1 q p sao convergentes De modo que existe N ε N tal que f nn xq f mm xq ε 3 99 se m n N ε e para todo 1 q p De 98 e 99 temos que f nn x f mm x f nn x f nn xq f nn xq f mm xq f mm xq f mm x ε 3 ε 3 ε 3 ε x a b e m n N ε Logo f nnnN converge uniforme mente em a b Vamos encerrar essa secao apresentando um teorema im portante sobre aproximac ao de func oes contınuas por polinˆomios Tratase do Teorema de Aproximacao de Weierstrass a seguir enunciado e demonstrado Teorema Teorema 99 99 Aproxi Aproximac mac ao de Weirstrass ao de Weirstrass Dadauma func ao f a b R contınua existe uma seq uˆ encia pn de polinˆ omios em a b tal que lim n pn x f x uniformemente em a b Prova Prova Primeiramente vamos demonstrar o teorema para o caso em que a b 0 1 e f 0 f 1 0 Desde que 0 1 e fechado e limitado ent ao f e uniformemente contınua em 0 1 Proposic ao 66 Neste caso podemos considerar a extensao de f a R como sendo nula fora de 0 1 a qual continuaremos a denotar por f que assim e uniformemente contınua em R Para cada n N seja cn 1 1 1 x2ndx1 9 95 5 SS ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 247 Temos que cn 0 para todo n N Consideremos agora para cada n N o polin ˆomio qn x cn1 x2n Obeservemos que tendo em vista a escolha de cn 1 1 qn xdx 1 para todo n N 910 Observemos tambem que 1 1 1 x2ndx 2 1 0 1 x2ndx 1 n 0 1 x2ndx 1 n 0 1 nx2dx 4 3 n 1 n Donde segue que cn n Considerando que para cada δ tal que 0 δ 1 temos para 0 δ x 1 qn n1 δ2n 911 e considerando que a serie n1 n1δ2n e convergente pelo Teste da Razao segue usando o Crit erio de Weierstrass Teo rema 94 que lim n qn x 0 uniformemente Definamos agora para cada n N a func ao de 0 1 em R dada por pn x 1 1 f x t qnt dt 912 Como f e nula fora de 0 1 entao pn x 1 x x f x t qnt dt 913 Fazendo a mudanca de varavel s x t em 913 obtemos pn x 1 0 f sqns xds 914 248 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Desde que qn e um polin ˆomio segue que pn e um polin ˆomio Dado ε 0 escolhamos δ 0 tal que y x δ acarrete f y f x ε 2 e escolhamos N N tal que n1 δ2n ε 8 M para todo n N 915 onde M sup f x 1 x 1 Usando 910 912 915 e o fato de que qn x 0 vemos que pn x f x 1 1 f x t f xqnt dt 1 1 f x t f xqnt dt 2 M δ 1 qnt dt 916 ε 2 δ δ qnt dt 2 M 1 δ qnt dt 4 M n1 δ2n ε 2 ε 2 ε 2 ε para todo n N e para todo x 0 1 Se f 0 1 R e contınua e nao necessariamente satisfaz a condic ao f 0 f 1 0 podemos considerar a func ao g 0 1 R definida por g x f x f 0 x f 1 f 0 que e contınua e agora satisfaz a condicao g0 g1 0 Pelo que ja demon stramos g pode ser uniformemente aproximada por polinˆomios e portanto vale o mesmo para f Finalmente se f a b R e contınua consideremos g 0 1 R dada por gt f at ba Pelo que je demonstramos existe uma sequˆencia qn de polin ˆomios tal que lim n qnt gt uniformemete em 0 1 Dado x a b seja t x a b a 0 1 Portanto lim n qnt gt f a x a b ab a f x 9 96 6 SS ERIES DE POT ERIES DE POT ˆ ˆ ENCIAS ENCIAS 249 uniformemente em a b ficando assim demonstrado o teo rema 996 6 SS eries de Pot eries de Pot ˆ ˆencias encias Um tipo particular de serie de func oes e que aparece com destaque em An alise Real tanto do ponto de vista te orico como do ponta de vista das aplicac oes saoasseries de potˆencias que s ao series da forma n0 an x cn a0 a1 x c a2 x c2 917 O numero c e chamado de centro da s erie e dizemos que 917 e uma s erie de centro c Quando c 0 temos a s erie n0 an xn a0 a1 x a2 x2 a3 x3 918 a qual e uma s erie de centro zero Pr Prop opos osic ic ao 92 ao 92 O domınio de convergˆ encia de n0 an x cn e intervalo cujo centro e o centro da s erie Prova Prova Suponhamos que a s erie converge em x0 c Entao ela converge absolutamente no conjunto dos x tais que xc x0c De fato como lim n an x0 cn 0 Portanto existe b 0 tal que an x0 c n b para n 0 1 2 Mas an x cn an x0 cn x cn x0 cn b x cn x0 cn 250 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES para n 0 1 2 Logo se x c x0 c ent ao n0 an x cn converge pelo criterio de comparacao com a s erie geometrica n0 bqn cuja razao e x c x0 x 1 Exemplo 913 Exemplo 913 Alguns exemplos de s eries de pot ˆ encias s ao a n0 xn b n0 n xn c n0 xn n d n1 xn n e n1 x 1n n2n f n1 xn n2 E obvio que para x c a serie 917 e convergente e seu valor e a0 aqui e importante convencionarmos que 00 1 O conjunto dos pontos x R para os quais 917 converge e chamado de domınio de convergˆencia da serie Exemplo 914 Exemplo 914 Consideremos a s erie n1 x 1n n2n Ent ao o seu dom ınio de converg ˆ encia e 1 x 3 De fato lim n n x 1n n2n x 1 2 1 lim n n n x 1 2 pois lim n n n 1 Conseq uentemente pelo Teste da Raiz a s erie converge se x 1 2 1 isto e 1 x 3 Para x 9 96 6 SS ERIES DE POT ERIES DE POT ˆ ˆ ENCIAS ENCIAS 251 1 obtemos n1 2n n2n n1 1n n a qual e convergente pelo Crit erio de Leibniz Finalmente para x 3 obtemos a s erie n1 2n n2n n1 1 n a qual e divergente Portanto o domınio de converg ˆ encia e 1 x 3 Exemplo 915 Exemplo 915 Consideremos a s erie n0 xn Temos que para x 1 a s erie e convergente Para x 1 obtemos a s erie n0 1 a qual e divergente e se x 1 obtemos a s erie n0 1n a qual tamb em n ao converge Vemos assim que o domınio de converg ˆ encia e x R 1 x 1 O intervalo de converg ˆencia de uma s erie de pot ˆencias e o intervalo aberto que resulta do dom ınio de convergencia ao suprimirse os eventuais extemos onde a serie converge A serie de potˆencias do Exemplo 915 eumas erie geometrica a qual como sabemos converge absolutamente se x 1 e o valor da soma e 1 1 x ou seja 1 1 x n0 xn para 1 x 1 Dizemos que uma func ao real f e desenvolvıvel em s erie de pot ˆencias no intervalo x r x r se existem constantes reais a0 a1 a2 tais que f x n0 an x cn 252 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Assim pelo Exemplo 915 a funcao 1 1 x e desenvolvıvel em serie de pot ˆencias no intervalo 1 x 1 Pr Prop opos osic ic ao 93 ao 93 Seja n0 an x cn uma s erie de pot ˆ encias com intervalo de convergˆ encia c r c r Ent ao para cada s R com 0 s r a s erie converge uniformemente no intervalo c s c s Prova Prova Para cada x c s c s c s temos que a serie numerica n0 an xcn converge absolutamente Ou seja n0 ansn e absolutamente convergente Como para todo x c s c s temos que an x cn ansn segue pelo Criterio de Weierstrass Teorema 94 que a serie n0 an x cn e uni formemente convergente no intervalo c s c s Corol Corolario 1 ario 1 Se n0 an xcn converge no intervalo c r c r seja f c r c r R a func ao dada por f x n0 an x cn Ent ao ii f e cont ınua ii ii f e deriv avel e f x n1 nan x cn1 9 96 6 SS ERIES DE POT ERIES DE POT ˆ ˆ ENCIAS ENCIAS 253 iii iii Para cada x c r c r existe x c f t dt e x c f t dt n0 an x cn1 n 1 Prova Prova Dado x c r c r seja 0 s r tal que x c s c s A sequˆencia das somas parciais de n0 an x cn sao polin ˆomios portanto contınuas derivaveis e integr aveis em no intervalo c s c s Como a convergˆencia e uniforme pela Proposic ao 93 podemos usar os Teoremas 91 92 e 93 e obter i ii e iii Podemos usar as propriedades das s eries de pot ˆencias demonstradas no Corolario 1 da Proposic ao 93 para obter novos desenvolvimentos em s eries de pot ˆencias a partir de desenvolvimentos ja conhecidos Por exemplo vimos no Ex emplo 915 e coment arios logo a seguir que se x 1 1 1 x n0 xn 1 x x2 x3 919 Substituindo x por x em 919 na verdade estamos tomando compostas de func oes contınuas obtemos para x 1 o desenvolvimento 1 1 x n0 1n xn 1 x x2 x3 920 Integrando 920 de 0 a x e usando que x 0 1 1 t dt ln1 x obtemos para x 1 ln1 x n0 1n xn1 n 1 x x2 2 x3 3 x4 4 921 254 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Substituindo agora x por x2 em 920 obtemos para x 1 o desenvolvimento 1 1 x2 n0 1n x2n 1 x2 x4 x6 922 Agora integrando 921 desde t 0 ate t x e usando o fato de que x 0 1 1 t 2 dt arctg x obtemos para x 1 arctg x n0 1n x2n1 2n 1 x x3 3 x5 5 x6 6 923 Sabemos do criterio de Leibniz que a serie numerica n0 1n n 1 e convergente Assim obtemos tomando x 1 em 921 que ln 2 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 Do mesmo modo podemos tomar x 1 em 923 e usando o fato de que arctg1 π 4 obtemos π 4 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 99661 1 A A SS erie de Taylor erie de Taylor Quando uma func ao real f e desenvolvıvel em serie de potˆencias ou seja f x n0 a n x cn x c r c r entao do item ii do Corol ario da Proposicao 93 temos 9 96 6 SS ERIES DE POT ERIES DE POT ˆ ˆ ENCIAS ENCIAS 255 f x n1 nan x cn1 x c r c r f x n2 nn 1an x cn2 x c r c r f x n3 nn 1n 2an x cn3 x c r c r e por induc ao f k x nk nn 1 n k 1an x cnk x c r c r para todo k N de tal modo que f c a0 f c 1a1 f c 21a2 f c 321a3 e por induc ao f k c k ak Logo an f nc n n N 924 Concluimos entao que quando f e desenvolvıvel em serie de potˆencias em um intervalo c r c r f e infinitamente de rivavel em c r c r e f x n0 f nc n x cn x c r c r 925 O s erie do segundo membro de 925 e chamada S erie de Taylor de f em torno de c no intervalo cr cr Em particular se c 0 obtemos f x n0 f n0 n xn x r r 926 que e chamado de desenvolvimento de Maclaurin5 de f 5Colin Maclaurin 16981746 256 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES No Capıtulo 7 vimos que para uma func ao f que pos sui derivadas cont ınuas at e a ordem n 1 em um intervalo c x e possui a derivada de ordem n podemos escrever a sua F ormula de Taylor com resto de Lagrange isto e f x f c f c x c f c 2 x c2 f n1c n 1 x cn1 Rn 927 onde Rn f n ξ n x cn para um certo ξ c x Quando f e uma func ao de classe C em um intervalo a b e se c a b entao para cada x a b e para todo n N podemos escrever 927 Portanto uma func ao de classe C e desenvolvıvel em sua s erie de Taylor em torno de um ponto de seu intervalo de definicao se e somente se lim n Rn 0 Apliquemos o que acabamos de ver acima para a func ao f x sen x em torno de c 0 Temos para cada n N sen x x x3 3 x5 5 1n x2n1 2n 1 R2n Como as funcoes seno e cosseno t ˆem valor absoluto menor ou igual a 1 em toda a reta real ent ao R2n x2n 2n Por outro lado sabemos que qualquer que seja x R a serie n0 x n n e convergente logo o limite do seu termo geral e zero Assim obtemos o desenvolvimento de Maclaurin da 9 96 6 SS ERIES DE POT ERIES DE POT ˆ ˆ ENCIAS ENCIAS 257 func ao seno sen x x x3 3 x5 5 x7 7 n0 1n x2n1 2n 1 928 Para obtermos o desenvolvimento de Maclaurin da func ao cosseno e suficiente derivarmos 926 termo a termo e assim cos x 1 x2 2 x4 4 x6 6 n0 1n x2n 2n 929 Consideremos agora a func ao exponencial f x e x Us ando a formula de Taylor com resto de Lagrange temos para todo n N e x 1 x x2 2 x3 3 xn1 n 1 Rn 930 onde Rn xn n se x 0 e Rn eb xn n se x 0 para algum b 0 Em ambos os casos lim n Rn 0 Assim o desenvolvimento de Maclaurin da func ao exponencial e e x 1 x x2 2 x3 3 n0 xn n 931 Quando uma func ao f de classe C e desenvolvıvel em sua sua serie de Taylor em torno de um ponto c dizemos que e uma funcao analıtica numa vizinhanca de c As func oes seno cosseno e exponencial sao func oes analıticas em uma vizinhanca da srcem como acabamos de verificar Na realidade tais func oes s ao analıticas em uma vizinhanca de qualquer ponto 258 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES da reta real De um modo geral as func oes elementares do calculo s ao funcoes analıticas como o estudante pode veri ficar com facilidade N ao faz parte dos prop ositos deste texto exibir listas de func oes analıticas o que pode ser suprido por um bom livro de Calculo Diferencial e Integral Evidentemente que toda func ao analıtica e de classe C mas a recıproca nao e verdadeira como podemos observar no classico exemplo a seguir exibido de uma func ao de classe C que n ao e analıtica em vizinhanca alguma da srcem Consideremos f R R dada por f x e1 t se t 0 0 se t 0 Mostremos que f e de classe C R Para tanto mostremos inicialmente que lim t 01 t k e1 t 0 para todo inteiro k 0 932 De fato 1 t k e1 t 1 t k e 1 t 1 t k n0 1 n 1 t n 1 t k 1 k 1 1 t k 1 k 1t 0 9 96 6 SS ERIES DE POT ERIES DE POT ˆ ˆ ENCIAS ENCIAS 259 quando t 0 Como consequˆencia de 932 temos que qual quer que seja o polin ˆomio p ent ao lim t 0 p 1 t e1 t 0 933 Mostremos agora que f n existe para todo inteiro n 0 e esta definida para todo t R Primeiramente mostremos por induc ao sobre n que para t 0 f nt p 1 t e1 t para algum polin ˆomio p 934 Para n 0 temos f 0t f t e 1 t para t 0 por definic ao de f e neste caso p e o polin ˆomio identicamente igual a 1 Suponhamos que 934 e valida para n Entao derivando 934 com respeito a t temos f n1t 1 t 2 p 1 t p 1 t e1 t q 1 t e1 t 935 onde q e o polin ˆomio dado por q x x p x p x Observe que f n e t 0 para t 0 pois por definic ao f t 0 para t 0 Vamos agora mostrar que existe f n d 0 para todo n N Temos que lim t 0 f t f 0 t lim t 0 1 t e1 t 0 ou seja f d 0 0 Vamos supor que f k d 0 0 e provemos 260 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES que f k 1 d 0 0 Temos que f k 1 d 0 lim t 0 f k t f k d 0 t lim t 0 1 t p 1 t e1 t lim t 0 g1 t e1t 0 Sendo p um polinˆomio entao g x xp x tambem e um polinˆomio e podemos usar 933 Logo f k 1 d 0 Portanto f n d 0 0 para todo n inteiro com n 0 Como f n e 0 f n d 0 0 para todo n 0 inteiro concluimos que f se anula juntamente com todas as suas derivadas em x 0 Logo sua serie de Maclau rin e identicamente nula em qualquer vizinhanca srcem o que evidentemente nao ocorre com f pois f t 0 para t 0 Em outras palavras f e de classe C mas nao e analıtica em nen huma vizinhanca da srcem Na sec ao 74 apresentamos a Formula de Taylor com Resto de Lagrange No entanto h a uma express ao alternativa para a Formula de Taylor na qual o resto aparece envolvendo uma integral E o que apresentamos na proposicao a seguir Pr Prop opos osic ic ao 94 ao 94 Suponhamos que f a b R possui derivada cont ınua at e a ordem n 1 em um ponto c a b e definamos Rn x para x a b como sendo f x n k 0 f k c k x cn Rn x 936 Ent ao Rn x 1 n x c x c n f n1 sds 937 Prova Prova Para a prova recomendamos a leitura de 1 9 96 6 SS ERIES DE POT ERIES DE POT ˆ ˆ ENCIAS ENCIAS 261 99662 2 A A SS erie Binomial erie Binomial Dedicamos esta sec ao para mostrar que a func ao real f α definida em 1 1 por f α x 1 xα α uma n umero real e desenvolvivel em serie de Maclaurin no intervalo 1 1 Trata se de um exemplo interessante onde aparece a chamada Serie Binomial a qual se constitui numa generalizac ao para o con hecido Binˆomio de Newton Temos que f α e de classe C em 1 1 e f α x α1 xα1 f α x αα 11 xα2 f α x αα 1α 21 xα3 f n α x αα 1α 2 α n 11 xαn Portanto f α0 1 f α0 α f α 0 αα 1 f α 0 αα 1α 2 e de uma forma geral f n α 0 αα 1α 2 α n 1 para todo n Z n 0 Assim a F ormula de Maclaurin para f α se escreve f α x 1 α x αα 1 2 x2 αα 1α 2 3 x3 αα 1 α n 1 n xn Rn x Passaremos a mostrar que lim n Rn x 0 Utlizaremos aqui a expressao do resto Rn x na sua forma integral Proposic ao 94 ou seja Rn x 1 n x 0 f n1 α t x t ndt 938 262 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES Consideremos inicialmente 0 x 1 Substituindo f n1 α t em 938 e tomando valor absoluto obtemos Rn x αα 1 α n n x 0 1 t αn1 x t ndt 939 Observe que sendo 0 t 1 entao lim n1 t αn1 lim n 1 t α 1 t n1 0 Logo 1 t αn1 1 para todo n suficientemente grande Us ando esta informac ao em 939 e realizando a integrac ao in dicada obtemos Rn x αα 1 α n n 1 xn1 940 Aplicando o Teste da Raz ao a Serie n0 αα 1 α n n 1 xn1 podemos constatar a convergˆencia da mesma Logo seu termo geral tem limite zero donde segue que lim n Rn x 0 Consideremos agora o caso1 x 0 Neste caso temos Rn x 1 n 0 x f n1 α t t xndt 941 Substituindo o valor de f n1 α t em 941 tomando o valor ab soluto obtemos Rn x αα 1 α n n 0 x 1 t αn1t xndt 9 96 6 SS ERIES DE POT ERIES DE POT ˆ ˆ ENCIAS ENCIAS 263 isto e Rn x αα 1 α n n 0 x 1 t α1t x 1 t n dt 942 A funcao 1 t α1 para x t 0 e contınua logo limitada Alem do mais vale a seguinte desiguladade t x 1 t x se 1 x t 0 De fato multipliquemos a desigualdade 1 x port 0 e adicionemos x a ambos os lados para obter t x x1 t Portantot x 1 t n xn e 1 t α1 M se 1 x t 0 para um certo M 0 Levando estas informac oes em 942 e realizando a integrac ao indicada vem que Rn x αα 1 α n M n xn1 943 Usando o Teste da Razao deduzimos que lim n Rn x 0 Por tanto 1 xα 1 α x αα 1 2 x2 αα 1α 2 3 x3 αα 1 α n 1 n xn Denotando por α n o n umero αα 1 α n 1 n temos entao que 1 xα 1 n1 α n xn para x 1 944 A serie em 944 e chamada de S erie Binomial e quando α e um inteiro positivo m se reduz a uma soma finita que coincide com o Bin ˆomio de Newton para 1 xm e que neste caso e valido para todo x R 264 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 997 7 EExxeerrccıcios do Cap ıcios do Capıtulo 9 ıtulo 9 91 91 Mostre que se f n x xn 1 xn n N entao lim n f n x 0 se x 1 1 se x 1 1 2 se x 1 pontualmente 92 92 Mostre que se f n x n2 x1 xn n N entao lim n f n x 0 pontualmente em 0 1 93 93 Mostre que se f n x nxenx2 n N entao lim n f n x 0 pontualmente em R 94 94 Mostre que se f n x nx1 xn n N entao lim n f n x 0 pontualmente no intervalo 0 1 mas nao uniforme mente 95 95 Faca um exame quanto a convergencia uniforme em 0 1 para a seq uˆencia f n onde f n x xn 96 96 Examine a converg ˆencia uniforme em 0 1 para as sequˆencias f n e gn definidas por f n x xn1 xn e gn x nxenx2 97 97 As seq uˆencias f n em 0 1 gn em 0 1 e hn em 0 100 s ao dadas por f n x xn1 x gn x sen nx nx e hn x nx3 1 nx Mostre que f n gn e hn convergem pontualmente nos seus respectivos domınios de definic ao Qual delas convergeem uniformemente 97 97 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 9 ITULO 9 265 98 98 As func oes f n e f definidas em A B sao tais que f n A con verge uniformemente para f A e f n B converge uniforme mente para f B Mostre que f n converge uniformemente para f em A B 910 910 Seja f n e gn sequˆencias de funcoes que convergem uniformemente para f e g respectivamente em um in tervalo I de R Prove que α f n βgn α f βg uniformemente em I para todo α e todo β reais O que se pode dizer com respeito ao produto f ngn 911 911 Mostre que a serie n1 1 x xn converge pontualmente em 1 1 e sua soma e a funcao f x 1 se x 1 0 se x 1 A convergencia e uniforme 912 912 Para n N as seq uˆencias f n e gn sao definidas em 0 1 por f n x 1 x2 xn e gn x 1n xn1 x Prove que n1 f n x e n1 gn x convergem uniformemente em 0 1 913 913 Prove que as s eries de funcoes n1 sennx n2 e n1 cosnx n3 convergem uniformemente em R 266 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 914 914 Mostre que quando α 0 a serie 1 n1 α n xn converge uniformemente para 1 x α no intervalo 1 1 915 915 Mostre que a s erie n1 xnsennx n p p 1 converge uni formemente em 1 1 916 916 Prove que a s erie n1 1n1 n x converge uniformemente em 0 mas nao converge absolutamente para todo x R 917 917 Suponha que cada f n e mon otona no intervalo a b e que a sequˆencia f n converge pontualmente em a b para uma funcao contınua Prove que a converg ˆencia e uniforme 918 918 Mostre que a s erie n1 x n1 nx2 converge uniforme mente em R 919 919 Prove que a s erie n1 1n n x lnn 1 converge uniforme mente em 0 920 920 Considere a seq uˆencia de funcoes f n em 0 2 dada por f n x 1 xn 1 n Prove que a seq uˆencia de func oes f n todas deriv aveis em 0 2 converge uniformemente para uma func ao lim ite f a qual n ao e deriv avel no ponto x 1 97 97 EXER EXERC C ICIOS DO CAP ICIOS DO CAP ITULO 9 ITULO 9 267 921 921 Considere a seq uˆencia f n de func oes em 0 1 dada por f n x nx 1 n2 x p p 0 Encontre os valores de p para os quais f n converge uniformemente para uma func ao limite f Examine se 1 0 f n xdx 1 0 f xdx para p 2 e p 4 922 922 Mostre que lim x0 1 x p e 1 x2 0 para todo p 1 2 3 923 923 Seja f R R definida por f x e 1 x2 se x 0 0 se x 0 Prove que f e de classe C porem nao e analıtica na srcem 924 924 Mostre que existe uma seq uˆencia de polin ˆomios que converge uniformemente para x no intervalo1 x 1 925 925 Seja g a func ao definida por g x 0 se x 0 x se x 0 Entao para todo intervalo α β existe uma seq uˆencia de polinˆomios que converge uniformemente para g em α β 926 926 Seja f a b R uma func ao contınua Mostre que existe uma seq uˆencia de polin ˆomios que converge uni formemente para f em a b 268 CAP CAP ITUL ITULO O 9 9 SEQ SEQ U U ˆ ˆ ENCIAS E S ENCIAS E S ER ERIE IES S DE DE FU FUNC NC OES OES 927 927 Seja f a b R uma func ao contınua satisfazendo b a f x xndx 0 n N Mostre que ii b a f 2 xdx 0 ii ii Deduza que f x 0 para todo x a b Bibliografia Bibliografia 1 APOSTOL T M Calculus Volumenes 1 y 2 Editorial Revertˆe Barcelona 1976 2 AVILA G S Introduc ao a An alise Matem atica Sao Paulo Edgard Blucher Ltda 1993 3 AYRES Jr F Algebra Moderna Trad M C Matos McGrawHill do Brasil Sao Paulo 1973 4 BEALS R Advanced Mathematical Analysis Springer Verlag New York 1973 5 BOYER C B Hist oria da Matem atica Trad E F Go mide Ed Edgard Blucher Ltda S ao Paulo 1974 6 FIGUEIREDO D G de An alise I 2a Edic ao L T C Edi tora Rio de Janeiro 1973 7 HALMOS P R Naive Set Theory D Van Nostrand Com pany New Jersey 1960 8 LIMA E L Curso de An alise Volume 1 Rio de Janeiro IMPAColec ao Projeto Euclides 1976 9 MONTEIRO L H J Elementos de Algebra Rio de Janeiro Ao Livro Tecnico 1969 269 270 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA 10 RUDIN W Principles of Mathematical Analysis McGrawHill Book Co New York 1964 11 SIMMONS G F Introduction to Topology and Modern Analysis McGrawHill Book Company New York 1963 Indice Indice Adicao de numeros naturais 15 de numeros racionais 19 Associatividade 15 Axiomas de Peano 14 Cardinalidade 33 Cobertura aberta 105 Comutatividade 15 Conjunto 12 aberto 101 compacto 104 completo 106 denso 32 enumeravel 33 fechado 102 finito 33 infinito 33 limitado 23 inferiormente 23 superiormente 23 vazio 12 Conjuntos contaveis 33 equipotentes 33 Convergˆencia pontual 229 uniforme 232 Corpo 20 ordenado 22 completo 29 Cota 23 inferior 23 ınfimo 24 superior 23 supremo 23 Criterio de Dirichlet 241 de Weirstrass 240 Densidade de Q em R 32 Derivado 99 Diagonal de Cantor 37 Distribitividade 15 Expansao decimal 37 Formula de Taylor 171 Funcao 13 bijetiva 14 composta 14 contınua 135 271 272 INDICE INDICE derivavel 159 imagem de uma 13 imagem inversa de uma 13 injetiva 14 inversa 14 limitada 113 inferiormente 113 limitada superiormente 114 sobrejetiva 14 uniformemente contınua 150 Grafico de uma funcao 13 Integracao por partes 215 por substituicao 215 Integral de Riemann 195 inferior 190 superior 190 Intervalo 30 aberto 31 fechado 31 Leis do Cancelamento 15 Limite de uma funcao 116 de uma sequˆencia 51 inferior 94 superior 94 Limites laterais 123 Numero algebrico 45 transcendente 45 Numeros Inteiros 18 Irracionais 29 Naturais 14 Racionais 19 Reais 26 Norma de uma particao 197 Operacoes com conjuntos 12 Particao 188 refinamanto 189 Ponto aderente 94 Ponto de acumulacao 99 Princıpio da Boa Ordenacao 32 de Inducao 16 Produto cartesiano 13 Propriedade Arquimediana de Q 23 Raiz quadrada 29 Regra da Cadeia 163 de LHˆopital 174 Relacao de equivalˆencia 33 de ordem 18 Serie 70 Binomial 263 convergente 71 INDICE INDICE 273 de Maclaurin 255 de Potˆencias 249 de Taylor 255 geometrica 72 harmˆonica 71 Sequˆencia convergente 52 de Cauchy 61 de numeros reais 47 divergente 52 limitada 49 inferiormente 49 superiormente 49 Soma de Riemann 202 de RiemannDarboux 188 inferior 188 superior 188 Squˆencia de funcoes 227 Subconjunto 12 proprio 12 Subsequˆencia 48 Sucessor 15 Teorema da media primeiro 217 segundo 218 de BolzanoWeierstrass 60 de Dedekind 27 de Dini 243 de Pitagoras 20 de Rolle 166 do maximo e do mınimo 146 do valor intermediario 147 do valor medio de Cauchy 167 de Lagrange 168 Fundamental do Calculo 211 Topologia 93 Valor absoluto 30 Vizinhanca 101