Cap-6 - Estabilidade

Estabilidade\n\nResultados de Aprendizagem do Capítulo\nApós completar este capítulo o estudante estará apto a:\n• Construir e interpretar uma tabela de Routh básica para determinar a estabilidade de um sistema (Seções 6.1-6.2)\n• Construir e interpretar uma tabela de Routh onde o primeiro elemento de uma linha é nulo ou uma linha inteira é nula (Seções 6.3-6.4)\n• Utilizar uma tabela de Routh para determinar a estabilidade de um sistema representado no espaço de estados (Seção 6.5)\n\nResultados de Aprendizagem do Estudo de Caso\nVocê será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue:\n• Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas diantieras, você será capaz de obter a faixa de ganho do pré-amplificador que mantém o sistema estável.\n• Dados os diagramas de blocos dos sistemas de controle de arrefecimento e de rumo do veículo UFSS nas guards traseiras, você será capaz de determinar a faixa de ganho para a estabilidade do sistema de controle de arrefecimento ou de rumo. 6.1 Introdução\nNo Capítulo 1, vimos que três requisitos fazem parte do projeto de um sistema de controle: resposta transitória, estabilidade e erros em regime permanente. Até agora cobrimos a resposta transitória, sobre a qual falaremos novamente no Capítulo 8. Estamos agora prontos para discutir o requisito seguinte, a estabilidade.\n\nA estabilidade é a especificação de sistema mais importante. Caso um sistema seja instável, a resposta transitória e os erros em regime permanente são uma questão irrelevante. Um sistema instável não pode ser projetado para ter uma resposta transitória específica ou para atender um requisito de erro em regime permanente. O que, então, é estabilidade? Existem muitas definições de estabilidade, dependendo do tipo de sistema ou do ponto de vista. Nesta seção, nos limitamos a sistemas lineares e invariantes no tempo.\n\nNa Seção 1.5 verificamos que podemos controlar a saída de um sistema e a resposta em regime permanente consistir apenas na resposta forçada. Porém, a resposta total de um sistema é a soma das respostas forçada e natural, ou\n\nc(t) = c_forçada(t) + c_natural(t) (6.1)\n\nUtilizando esses conceitos, apresentamos as seguintes definições de estabilidade, instabilidade e estabilidade marginal:\n\nUm sistema linear invariante no tempo é estável se a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a infinito.\nUm sistema linear invariante no tempo é instável se a resposta natural aumenta sem limites à medida que o tempo tende a infinito.\nUm sistema linear invariante no tempo é marginalmente estável caso a resposta natural não decaia nem aumente, mas permaneça constante ou oscile à medida que o tempo tende a infinito.\n\nDessa forma, a definição de estabilidade implica que apenas a resposta forçada permanece à medida que a resposta natural tende a zero.\n\nEssas definições se baseiam em uma descrição da resposta natural. Quando se está observando a resposta total, pode ser difícil separar a resposta natural da resposta forçada. Entretanto, percebemos que se a entrada for limitada e a resposta total não estiver tendendo a infinito à medida que o tempo tende a infinito, então a resposta natural obviamente não estará tendendo a infinito. Se a entrada for ilimitada, temos uma resposta total ilimitada, e não podemos chegar a nenhuma conclusão sobre a estabilidade do sistema; não podemos dizer que a resposta total é ilimitada porque a resposta forçada é ilimitada ou porque a resposta natural é ilimitada. Assim, nossa definição alternativa de estabilidade, que diz respeito à resposta total, é:\n\nUm sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada. Um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada.\n\nEssas definições ajudam a esclarecer nossa definição anterior de estabilidade marginal, a qual na verdade quer dizer que o sistema é estável para algumas entradas limitadas e instável para outras. Por exemplo, mostramos que se a resposta natural não arremeteu, entrando uma senoidal limitada da mesma frequência produzirá uma resposta natural com oscilações crescentes. Assim, o sistema parecerá ser estável para todas as entradas limitadas, exceto para esta senoidal. Portanto, os sistemas marginalmente estáveis segundo as definições das respostas natural e forçada consistem como sistemas instáveis segundo as definições BIBO.\n\nVamos resumir nossas definições de estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.\nUsando a resposta natural:\n\n1. Um sistema é estável se a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a infinito.\n2. Um sistema é instável se a resposta natural tende à infinito à medida que o tempo tende a infinito.\n3. Um sistema é marginalmente estável se a resposta natural não decair nem crescer, mas permanecer constantemente. Os polos no semiplano da direita (spd) produzem respostas naturais de exponenciais crescentes puras ou senóides exponencialmente crescentes. Essas respostas naturais tendem a infinito à medida que o tempo tende a infinito. Assim, os polos do sistema em malha fechada estiverem na metade direita do plano s e consequenteivemente tiverem parte real positiva, o sistema será instável. Além disso, polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário levam a soma de respostas da forma Atn(os(t + φ), em que n = 1, 2, ..., que também tendem a infinito à medida que o tempo tende a infinito. Portanto, os sistemas instáveis possuem funções de transferência em malha fechada com pelo menos um polo no semiplano da direita e/ou polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário.\n\nFinalmente, um sistema que possui polos com multiplicidade 1 no eixo imaginário produz oscilações senoidais puras como uma resposta natural. Essas respostas não aumentam nem diminuem em amplitude. Portanto, os sistemas marginalmente estáveis possuem funções de transferência em malha fechada apenas com polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 e polos no semiplano da esquerda.\n\nComo exemplo, a resposta do grau unitário do sistema estável da Figura 6.1(a) é comparada com a do sistema instável da Figura 6.1(b). As respostas, também mostradas na Figura 6.1, mostraram que enquanto os oscilações para o sistema estável diminuem, do sistema instável aumentam sem limite. Além disso, observe que, neste caso, o sistema estável tende à um estado em regime permanente.\n\nNem sempre é simples determinar um sistema de controle com realimentação é estável. Infelizmente, um problema típico surge é mostrado na Figura 6.2. Embora conheçamos os polos da função de transferência à frente na Figura 6.2(a), não sabemos a posição dos polos do sistema em malha fechada equivalente da Figura 6.2(b) sem fatorar ou calcular explicitamente as raízes do denominador. FIGURA 6.1 Polos em malha fechada e resposta: a. sistema estável; b. sistema instável.\n\nContudo, em certas condições, podemos tirar algumas conclusões sobre a estabilidade do sistema. Primeiro, se a função de transferência em malha fechada possuir apenas polos no semiplano da esquerda, então os termos do denominador da função de transferência em malha fechada consistirão em produtos de termos como (s + ai), em que ai é real e positivo, ou o complexo com parte real positiva. O produto desses termos é um polinômio com todos os coeficientes positivos. Nenhum termo do polinômio pode estar faltando, uma vez que isso implicaria cancelamento entre coeficientes positivos e negativos ou fatores de raízes sobre o eixo imaginário, ou que não é o caso. Portanto, uma condição suficiente para que um sistema seja estável é que nem todos os sinais dos coeficientes do denominador da função de transferência em malha fechada sejam iguais. Se potências de s estiverem faltando, o sistema é instável ou, na melhor das hipóteses, marginalmente estável. Infelizmente, se todos os coeficientes do denominador estiverem presentes e forem positivos, não temos informações definitivas sobre as posições dos polos do sistema. FIGURA 6.2 Causa comum de problemas na obtenção dos polos em malha fechada: a. sistema original; b. sistema equivalente.\n\nSe o método descrito no parágrafo anterior não for suficiente, então um computador pode ser utilizado para determinar a estabilidade calculando-se as posições das raízes do denominador da função de transferência em malha fechada. Atualmente algumas calculadoras portáteis podem calcular as raízes de um polinômio. Há, contudo, outro método para testar a estabilidade sem a necessidade de se calcular as raízes do denominador. Discutimos este método na próxima seção.\n\n6.2 Critério de Routh-Hurwitz\n\nNesta seção, estudamos um método que fornece informações sobre a estabilidade sem a necessidade de se calcular os polos do sistema em malha fechada. Utilizando este método, podemos dizer quantos polos do sistema em malha fechada estão no semiplano da direita e sobre o eixo jo. (Observe que foi dito quantos, e não onde.) Podemos obter o número de polos em cada seção de plano s, porém não podemos obter suas coordenadas. O método é chamado de critério de Routh-Hurwitz para a estabilidade (Routh, 1905).\n\nO método requer dois passos: (1) gerar uma tabela de dados chamada de tabela de Routh e (2) interpretar a tabela de Routh para dizer quantos polos do sistema em malha fechada estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e sobre o eixo jo. Você pode querer saber por que estudamos o critério de Routh-Hurwitz quando calculadoras e computadores modernos podem nos dizer a posição exata dos polos do sistema. O poder do método está no projeto e não na análise. Por exemplo, se você tem um parâmetro desconhecido no denominador de uma função de transferência, é difícil determinar por meio de uma calculadora a faixa de valores deste parâmetro que resulta em estabilidade. Você provavelmente dependeria de um processo de tentativa e erro para responder sobre a questão da estabilidade. Veremos mais adiante que o critério de Routh-Hurwitz pode fornecer uma expressão fechada para a faixa de valores do parâmetro desconhecido. sº. Em seguida, inicie com o coeficiente da potência mais alta de s no denominador e liste, horizontalmente, na primeira linha, os demais coeficientes, mas sempre pulando um coeficiente. Na segunda linha liste, horizontalmente, começando com a segunda potência mais alta de s, todos os coeficientes que foram pulados na primeira linha.\n\nOs elementos remanescentes são preenchidos da seguinte forma: cada elemento é o negativo do determinante de elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento na primeira coluna diretamente acima da linha que está sendo calculada. A coluna da esquerda do determinante é sempre a primeira coluna das duas linhas anteriores, e a coluna da direita é constituída dos elementos da coluna acima e à direita. A tabela está completa quando todas as linhas estiverem completas até sº. A Tabela 6.2 é a tabela de Routh completa. Vamos ver um exemplo.\n\nFIGURA 6.3 Função de transferência em malha fechada equivalente.\n\nTABELA 6.1 Apresentação inicial da tabela de Routh\n\na4 a2 a0\n a3 a1 0\n -a4 0 0\n -a3 0 0\n s1\n s0 Exemplo 6.1\nCriando uma Tabela de Routh\n\nPROBLEMA: Construa a tabela de Routh para o sistema mostrado na Figura 6.4(a).\n\nSolução: O primeiro passo é obter o sistema em malha fechada equivalente, porque queremos ter o denominador desta função e não da função de transferência é fornecida. Utilizando a fórmula do realinhamento, obtemos o equivalente da Figura 6.4(b). O critério de Routh-Hurwitz será aplicado a este denominador. Primeiro reúna as linhas com potências de s na ordem de s³ em uma coluna vertical, como mostrado na Tabela 6.3. Em seguida, forme a primeira linha da tabela utilizando os coeficientes do denominador da função de transferência em malha fechada. Comece com o coeficiente de mais alta potência e pule uma de cada vez. Agora mostre a próxima linha com os coeficientes do denominador na primeira coluna. As linhas subsequentes são formadas como determinadas na Tabela 6.3.\n\nPara conveniência, qualquer linha da tabela de Routh pode ser multiplicada por uma constante positiva sem alterar os valores das linhas abaixo. Isso deve ser providenciado exatamente como os elementos generais da tabela de Routh nesses dois exemplos. A segunda linha é então identificada e cancelada. Na Tabela 6.3 está a Tabela de Routh completa para o Exemplo 6.1.\n\nTABELA 6.3 Tabela de Routh completa para o Exemplo 6.1\n\n0 31 0\n1 103 0\n-72 -72 0\n-72 0 0 Interpretando a Tabela Básica de Routh\nAgora que sabemos como construir a tabela de Routh, vamos ver como interpretá-la. A tabela de Routh básica se aplica a sistemas com polos nos semiplanos esquerdo e direito. Os sistemas com polos imaginários e o tipo de tabela de Routh resultante serão discutidos na próxima seção. Enunciado de forma simples, o critério de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes do polinômio que estão no semiplano direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna.\n\nSe a função de transferência em malha fechada possui todos os polos na metade esquerda do plano s, o sistema é estável. Assim, um sistema é estável se não houver mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh. Por exemplo, a Tabela 6.3 tem duas mudanças de sinal na primeira coluna. A primeira mudança de sinal ocorre de 1 na linha s² para -72 na linha s¹. A segunda ocorre de -72 na linha s¹ para 103 na linha sº. Portanto, o sistema da Figura 6.4 é instável, uma vez que existem dois polos no semiplano da direita.\n\nExercício 6.1\nPROBLEMA: Construa uma tabela de Routh e diga quantas raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita e no semiplano da esquerda.\n\nP(s) = 3s³ + 9s² + 6s + 5s⁴ + 7s⁵ + 8s² + 2s + 6\n\nRESPOSTA: Quatro no semiplano da direita (spd) e três no semiplano da esquerda (spe). A solução completa está no site da LTC Editora.\n\nAgora que descrevemos como construir e interpretar uma tabela de Routh básica, vamos estudar dois casos especiais que podem ocorrer.\n\n6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais\nDois casos especiais podem ocorrer: (1) a tabela de Routh algumas vezes terá um zero apenas na primeira coluna de uma linha, ou (2) a tabela de Routh algumas vezes terá uma linha inteira que consiste em zeros. Vamos examinar o primeiro caso.\n\nZero Apenas na Primeira Coluna\nCaso o primeiro elemento de uma linha seja zero, uma divisão por zero seria necessária para formar a próxima linha. Para evitar esse fenômeno, um epsilon, ε, é designado para substituir o zero na primeira coluna. O valor ε é então feito tender a zero pelo lado positivo ou pelo lado negativo, após o qual os sinais dos elementos na primeira coluna podem ser determinados. Vamos ver um exemplo. Experimento 6.1\n\nUse as seguintes instruções MATLAB para obter os polos da função de transferência em malha fechada na Eq. (6.2).\n\nTABELA 6.4 Tabela de Routh completa para o Exemplo 6.2\n\ns^0 3 0 0\n\nTABELA 6.5 Determinando sinais na primeira coluna de uma tabela de Routh com zero como primeiro elemento em uma linha\n\nRótulo Primeira coluna\n\nε = + ε = −\n\ns^0 1 1\n\ns^1 2 2\n\ns^2 6 − 7\n\ns^3 42ε − 49 − 6ε^2\n\n6 − 7\n\n42ε − 49 − 6ε^2\n\n12ε − 14 Caso E seja escolhido positivo, a Tabela 6.5 mostrará uma mudança de sinal da linha 3 para a linha 2, e haverá outra mudança de sinal da linha 1 para a linha 3. Assim, o sistema é instável e possui dois polos no semiplano da direita.\n\nAlternativamente, poderíamos escolher o negativo. A Tabela 6.5 mostraria então uma mudança de sinal da linha 3 para a linha 2. Outra mudança de sinal ocorreria da linha 3 para a linha 1. Nosso resultado seria exatamente o mesmo que para uma escolha de E positivo. Portanto, o sistema é instável, com dois polos no semiplano da direita.\n\nEstudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo capítulo F no site da LTC Editora. Você aprenderá como utilizar a Symbolic Math Toolbox para calcular os valores dos elementos em uma tabela de Routh mesmo que a tabela contenha objetos simbólicos, como ε. Você verá que a Symbolic Math Toolbox e o MATLAB fornecem um caminho alternativo para gerar a tabela de Routh para o Exemplo 6.2.\n\nOutro método que pode ser utilizado quando um zero aparece apenas na primeira coluna de uma linha é deduzido a partir do fato de que um polinômio que tenha raízes recíprocas das raízes do polinômio original possui suas raízes recíprocas semiplano da esquerda ou eixo imaginário – porque o recíproco do valor de uma raiz está na mesma região da raiz. Assim, caso possamos obter o polinômio que possui as raízes recíprocas das do polinômio original, é possível que a tabela de Routh para o novo polinômio não tenha um zero na primeira coluna. Este método é geralmente mais fácil, do ponto de vista computacional, do que o método do ε que acabamos de descrever.\n\nMostramos agora que o polinômio que procuramos, aquele com as raízes recíprocas, é simplesmente o polinômio original com seus coeficientes escritos na ordem inversa (Phillips, 1991). Admita a equação\n\ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1s + a_0 = 0 (6.3).\n\nCaso s seja substituído por 1/d, então d terá raízes que são as recíprocas de s. Fazendo essa substituição na Eq. (6.3)\n\n(1/a)^{n} + a_{n-1}(1/a)^{n-1} + ... + a_1(1/a) + a_0 = 0 (6.4)\n\nColocando (1/d)^{n} em evidência, Assim, o polinômio com raízes recíprocas é um polinômio com os coeficientes escritos na ordem inversa. Vamos refazer o exemplo anterior para mostrar a vantagem computacional deste método.\n\nExemplo 6.3\n\nEstabilidade via Coeficientes em Ordem Inversa\n\nPROBLEMA: Determine a estabilidade da função de transferência em malha fechada\n\nT(s) = 10/(s^2 + 2s + 3)(s^2 + 5s + 5) (6.6)\n\nSOLUÇÃO: Primeiro escreva um polinômio que tenha as raízes recíprocas do denominador da Eq. (6.6). A partir de nossa discussão, este polinômio é formado escrevendo-se o denominador da Eq. (6.6) em ordem inversa. Assim,\n\nConstruímos a tabela de Routh como mostrado na Tabela 6.6 utilizando a Eq. (6.7). Uma vez que existem duas mudanças de sinal, o sistema é instável e possui dois polos no semiplano da direita. Este é o mesmo resultado obtido no Exemplo 6.2. Observe que a Tabela 6.6 não possui um zero na primeira coluna.\n\nTABELA 6.6 Tabela de Routh para o Exemplo 6.3\n\ns^5 3 6 2\n\ns^4 5 3 1\n\ns^3 4.2 1.4\n\ns^2 1.33 1\n\ns^1 -1.75\n\ns^0 1 Uma Linha Inteira de Zeros\nExaminamos agora o segundo caso especial. Algumas vezes, ao se construir uma tabela de Routh, verificamos que uma linha inteira é constituída de zeros porque há um polinômio par que é um fator do polinômio original. Este caso deve ser tratado de modo diferente do caso de um zero apenas na primeira coluna de uma linha. Vamos ver um exemplo que mostra como construir e interpretar a tabela de Routh quando uma linha inteira de zeros estiver presente.\n\nExemplo 6.4\nEstabilidade via Tabela de Routh com Linha de Zeros\nPROBLEMA: Determine o número de polos no semiplano da direita da função de transferência em malha fechada\n\nT(s) = s^5 + s^4 + 42s^2 + 6s + 8\n\nSOLUÇÃO: Comece construindo a tabela de Routh para denominador da Eq. (6.8) (ver Tabela 6.7). Na segunda linha, multiplicamos por 1/7, por conveniência. Param na terceira linha, uma vez que a linha inteira consiste em zeros, e substituímos um polinômio aqui. Primeiro, retornamos à linha imediatamente acima da linha de zeros e construímos um polinômio equivalente, adicionando elementos desta linha como coeficientes. A polinômio começará com a primeira linha de resultado correspondente a uma potência s de. Assim, o polinômio resultante para este exemplo é\n\nTABELA 6.7 Tabela de Routh para o Exemplo 6.4\n s^5 1 6 \n s^4 1 42 6 \n s^3 1 12 3 \n s^2 3 8 0 \n s^1 1/3 0 \n s^0 8 0 \n\nEm seguida, derivamos o polinômio em relação a s e obtemos\n Finalmente, usamos os coeficientes da Eq. (6.10) para substituir a linha de zeros. Novamente, por conveniência, a terceira linha é multiplicada por 1/4 após a substituição dos zeros.\n\nO restante da tabela é construído de modo direto, seguindo a forma-padrão mostrada na Tabela 6.2. A Tabela 6.7 mostra que todos os elementos na primeira coluna são positivos. Assim, não existem polos no semiplano da direita.\n\nVamos examinar melhor o caso que resulta em uma linha inteira de zeros. Uma linha inteira de zeros aparecerá na tabela de Routh quando um polinômio estritamente par ou estritamente ímpar for um fator do polinômio original. Por exemplo, s^4 + s^2 + 7 é um polinômio par; ele possui apenas potências pares de s. Os polinômios pares só possuem raízes que são simétricas com relação à origem. Esta simetria pode ocorrer sob três condições de posições das raízes: (1) As raízes são simétricas e reais, (2) as raízes são simétricas e imaginárias ou (3) as raízes são quadráticas. A Figura 6.5 mostra exemplos desses casos. Cada caso ou combinação desses casos gera um polinômio par.\n\nFIGURA 6.5 Posições das raízes para se gerar polinômios pares: A, B, C ou qualquer combinação.\n\nÉ este polinômio par que faz com que a linha de zeros apareça. Assim, a linha de zeros indica a existência de um polinômio par cujas raízes são simétricas em relação à origem. Algumas das raízes poderiam estar sobre o eixo jω. Por outro lado, uma vez que raízes jω são simétricas em relação à origem, se não tivermos uma linha de zeros, não será possível termos raízes jω. PROBLEMA: Para a função de transferência\nT(s) = s^3 + s^2 + 22s + 39s^3 + 38s + 20\n\ndiga quantos polos estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω.\n\nSOLUÇÃO: Utilize o denominador da Eq. (6.11) e construa a tabela de Routh mostrada na Tabela 6.8. Por conveniência, a linha s^6 é multiplicada por 1/20 e a linha s^5 é multiplicada por 1/20. Na linha s^3 obtemos uma linha para s, extraímos o polinômio par, P(s), como\n\nP(s) = s^4 + 3s^2 + 2\n\nTABELA 6.8 Tabela de Routh para o Exemplo 6.5\n\nEste polinômio dividirá o denominador da Eq. (6.11) e, consequentemente, é um fator. Derivando em relação a s para obter os coeficientes que substituem a linha de zeros na linha 3, obtemos\n\ndP(s)\nds = 4s^3 + 12s^2 + 0\n\nSubstitua a linha de zeros com 4, 6 e 0, e multiplique a linha por 1/2, por conveniência. Finalmente, continue a tabela até a linha s^3, utilizando o procedimento-padrão.\n\nComo interpretamos agora a tabela de Routh? Uma vez que todos os elementos a partir do polinômio par na linha s^3 até a linha s^3 é um teste apenas do polinômio par. Não existe mudança de sinal da linha 3 para a linha 5. Assim, o polinômio par não possui polos no semiplano da direita. Uma vez que não há polos no semiplano da direita, não existem polos no semiplano da esquerda, devido ao requisito de simetria. Portanto, o polinômio par, Eq. (6.12), deve ter todos os seus quatro polos sobre o eixo jω. Esses resultados são resumidos na primeira coluna da Tabela 6.9.\n\nAs raízes remanescentes do polinômio total são avaliadas a partir da linha 3 até a linha 5. Observamos duas mudanças de sinal: uma da linha 3 para a linha 5 e outra da linha 4 para a linha 5. Portanto, o outro polinômio deve ter duas raízes no semiplano da direita. Esses resultados são incluídos na Tabela 6.9, na coluna \"Outro\". A contagem final é a soma das raízes ao contrário, o polinômio par e o outro polinômio, como mostrado na coluna \"Total\" na Tabela 6.9. Assim, o sistema tem dois polos no semiplano da esquerda e quatro polos sobre o eixo jω; ele é estável devido aos polos no semiplano da direita.\n\nTABELA 6.9 Resumo das posições dos polos para o Exemplo 6.5\n\nPolinômio\n\nPosição\n\n(Par (quarta ordem)\n\nOutro (quarta ordem)\n\nTotal (ativa ordem)\n\nSemiplano da direita\n\n0\n\n2\n\n2\n\nSemiplano da esquerda\n\n2\n\n0\n\n2\n\njω\n\n0\n\n0\n\n0\n\nExercício 6.2 PROBLEMA: Utilize o critério de Routh-Hurwitz para descobrir quantos polos do sistema em malha fechada a seguir, T(s), estão no spd, no spe e sobre o eixo jω.\n\nResposta: Dois no spd, dois no spe e dois sobre o eixo jω. A solução completa está no site da LTC Editora.\n\nVamos demonstrar a utilidade do critério de Routh-Hurwitz com alguns exemplos adicionais.\n\n6.4 Crítério de Routh-Hurwitz: Exemplos Adicionais\n\nAs duas seções anteriores apresentaram o critério de Routh-Hurwitz. Agora precisamos mostrar a aplicação do método a alguns problemas de análise e de projeto.\n\nExemplo 6.6\n\nRouth-Hurwitz Padrão\n\nPROBLEMA: Determine o número de polos no semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo jω para o sistema da Figura 6.6.\n\nSolução: Primeiro, obtenha a função de transferência em malha fechada como\n\nT(s) = 200/(s³ + 6s² + 11s + 6)\n\nA tabela de Routh para o denominador da Eq. (6.14) é mostrada na Tabela 6.10. Para maior clareza, deixamos as células na zero em branco. Na linha 1 há um coeficiente negativo; assim, existem duas mudanças de sinal. O sistema é instável, uma vez que ele possui dois polos no semiplano da direita e dois polos no semiplano da esquerda. O sistema não pode possuir polos sobre o eixo jω uma vez que não apareceu uma linha de zeros na tabela de Routh.\n\nTABELA 6.10 Tabela de Routh para o Exemplo 6.6 O próximo exemplo mostra a ocorrência de um zero apenas na primeira coluna de uma linha.\n\nExemplo 6.7\n\nRouth-Hurwitz com Zero na Primeira Coluna\n\nPROBLEMA: Determine o número de polos no semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo jω para o sistema da Figura 6.7.\n\nSolução: A função de transferência em malha fechada é\n\nT(s) = 1/(2s² + 3s² + 2s + 2)\n\nConstrua a tabela de Routh mostrada na Tabela 6.11 utilizando o denominador da Eq. (6.15). Um zero aparece na primeira coluna da linha 3. Uma vez que a linha toda não é nula, simplesmente substitua o zero por um valor pequeno, e continue a tabela. Fazendo que e seja um valor pequeno e positivo, verificamos que o primeiro elemento da linha 3 é negativo. Assim, há duas mudanças de sinal, e o sistema é instável, com dois polos no semiplano da direita. Os demais polos estão no semiplano da esquerda.\n\nTABELA 6.11 Tabela de Routh para o Exemplo 6.7 3𝑠−4\n𝜖 1\n12𝑒−16−3𝑠2\n9𝑒−12\n\nTambém podemos usar a abordagem alternativa, onde produzimos um polinômio cujas raízes são as recíprocas dos\noriginal. Utilizando o denominador da Eq. (6.15), construímos um polinômio escrevendo os coeficientes em ordem inversa,\n\nA tabela de Routh para este polinômio é mostrada na Tabela 6.12. Infelizmente, neste caso temos um zero apenas na\nprimeira coluna da linha 3𝑠. Contudo, é mais fácil trabalhar com ela do que com a Tabela 6.11. A Tabela 6.12 fornece os\nmesmos resultados que a Tabela 6.11: três polos no semi-plano da esquerda e dois polos no semi-plano da direita. O sistema é\ninstável.\n\nTABELA 6.12 Tabela de Routh alternativa para o Exemplo 6.7\n\n𝑠3 1 1 3\n𝑠2 2 2\n𝑠1 2𝑒−4\n𝑠0 2\n\nOs estudantes que estiverem usando o MATLAB devem, agora, executar o arquivo chp61 do Apêndice B. Você aprenderá como\nrealizar a redução de diagrama de blocos para obter T(s),\nseguida da avaliação dos polos do sistema em malha fechada\npara determinar a estabilidade. Este exercício utiliza o\nMATLAB para resolver o Exemplo 6.7.\n\nNo próximo exemplo vemos uma linha inteira de zeros aparecer, juntamente com a Exemplo 6.8\n\nRouth-Hurwitz com Linha de Zeros.\n\nPROBLEMA: Determine o número de polos no semi-plano da esquerda, no semi-plano da direita e sobre o eixo j𝜔 para o\nsistema da Figura 6.8. Tire conclusões a respeito da estabilidade do sistema em malha fechada.\n\nSolução: A função de transferência em malha fechada para o sistema da figura 6.8 é\n\nT(s) = 𝑠^6 + 𝑠^5 + 48𝑠^4 + 9𝑠^3 + 128\n\n(\n128(𝑠+12)\n)\n\n\nUtilizando o denominador, construa a tabela de Routh mostrada na Tabela 6.13. Uma linha de zeros aparece na linha 𝑠^5.\nPortanto, o denominador da função de transferência em malha fechada deve ter um polinômio par como fator. Retorne à\nlinha 𝑠 e construa o polinômio:\n\nP(s) = 𝑠^6 + 8𝑠^4 + 32𝑠^2 + 64\n\n(6.18)\n\nDerive este polinômio com relação a s para obter os coeficientes que substituirão a linha de zeros:\n\ndP(s)\nds = 6𝑠^5 + 32𝑠^3 + 64 + 0\n\n(6.19)\n\nSubstitua a linha de zeros na linha s^ pelos coeficientes da Eq. (6.19) e multiplique por 1/2 por conveniência. Em seguida, observamos que há duas mudanças de sinal do polinômio par na linha s^5 até o final da tabela. Portanto, o polinômio par\npossui dois polos no semi-plano da direita. Por causa da simetria em relação à origem, o polinômio par deve ter o mesmo\nnúmero de polos no semi-plano da esquerda. Portanto, o polinômio par tem dois polos no semi-plano da esquerda. Uma vez\nque o polinômio par é de sexta ordem, os dois polos restantes devem estar sobre o eixo j𝜔.\n\nTABELA 6.13 Tabela de Routh para o Exemplo 6.8\n\n Não há mudanças do início da tabela até o polinômio par na linha s^5. Portanto, o resto do polinômio não tem polos no\nsemi-plano da direita. Os resultados são resumidos na Tabela 6.14. O sistema tem dois polos no semi-plano da direita, quatro\npolos no semi-plano da esquerda e dois polos sobre o eixo j𝜔, os quais são de multiplicidade unitária. O sistema em malha\nfechada é instável por causa dos polos no semi-plano da direita.\n\nTABELA 6.14 Resumo das posições dos polos para o Exemplo 6.8\n\nPosição Par (sexta ordem) Outro (segunda ordem) Total (oitava ordem)\n\nSemi-plano da direita 2 0 2\nSemi-plano da esquerda 2 0 2\nEixo j𝜔 0 2 2 O crit\u00e9rio de Routh-Hurwitz oferece uma prova n\u00edtida de que mudan\u00e7as no ganho de um sistema de controle com realiza\u00e7\u00e3o resultam em diferen\u00e7as na resposta transit\u00f3ria em decorr\u00eancia de mudan\u00e7as nas posi\u00e7\u00f5es dos polos em malha fechada. O pr\u00f3ximo exemplo demonstra este conceito. Veremos que para sistemas de controle, como os mostrados na Figura 6.9, varia\u00e7\u00f5es de ganho podem mover os polos de regi\u00f5es est\u00e1veis do plano s para o eixo j\u03c9 e, em seguida, para o semiplano da direita.\n\nFIGURA 6.9 Jason \u00e9 um ve\u00edculo subaqu\u00e1tico controlado remotamente que foi utilizado para explorar os destru\u00e7\u00f5es do Lusitania. O manipulador e a c\u00e2mara abrangem alguns sistemas de controle do ve\u00edculo.\n\nExemplo 6.9\n\nProjeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz\n\nPROBLEMA: Determine a faixa de valores de ganho, K, para o sistema da Figura 6.10, que far\u00e3o com que o sistema seja est\u00e1vel, inst\u00e1vel e marginalmente est\u00e1vel. Admita K > 0.\n\nR(s) E(s) C(s)\nK s(s + 7s + 11)