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Introdução à Aplicação de séries e Transformada de Fourier Apresentação As séries de Fourier são caracterizadas pela soma de senos e cossenos que pode formar qualquer sinal contínuo no domínio do tempo Para a análise em frequência necessitase da transformação de Fourier para passálas ao domínio da frequência No campo das telecomunicações e do processamento de sinais tais séries e transformações são de vital importância aos engenheiros Nesta Unidade de Aprendizagem você vai ver as séries trigonométrica e exponencial de Fourier e as suas respectivas transformadas Primeiramente serão caracterizadas as séries e posteriormente determinadas as características e as propriedades das transformadas de Fourier Diante da análise das transformadas de Fourier serão exemplificadas as aplicações em processamento de sinais tais como modulação e deslocamentos no domínio do tempo Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Descrever as séries de Fourier Apontar as características da transformada de Fourier Analisar as séries e as transformadas de Fourier no processamento de sinais Desafio A transmissão em amplitude modulada é uma das mais antigas nas telecomunicações Modular um sinal significa processálo A AM como é chamada a modulação em amplitude perdura até os dias de hoje embora muito mais para fins de transmissão de voz do que de músicas A faixa comercial de frequências do AM vai de 535 kHz a 1605 kHz A faixa de áudio da voz humana vai até 5 kHz Para este Desafio observe os dados a seguir Você tem as seguintes tarefas 1 Visualize a forma de onda AM e o espectro de frequências de uma onda AM com portadora de 1000 kHz e as suas bandas laterais no software Scilab 2 Depois module um sinal de voz de 5 kHz por meio do Scilab e verifique as formas de ondas e transformada de Fourier com os seus respectivos espectros de frequências conforme informações acima 3 Por fim insira os resultados obtidos em um arquivo de texto ou em uma apresentação e anexe o a seguir Clique aqui Infográfico As formas de ondas de sinais elétricos são estudadas como funções matemáticas e tais funções têm período e frequência Melhor explicando a frequência está relacionada ao número de oscilações de onda em certo período de tempo No Infográfico a seguir você vai ver duas aplicações práticas de séries e transformadas de Fourier por meio de ondas aperiódicas e periódicas Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Conteúdo do livro As séries exponenciais e trigonométricas de Fourier auxiliam na composição de diversos sinais no domínio do tempo e as suas respectivas transformadas na passagem do domínio do tempo para a frequência No capítulo Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier da obra Sistemas lineares você vai encontrar as definições de séries e transformada de Fourier as suas características as suas propriedades e as suas aplicações práticas sendo detalhados todos os cálculos envolvidos no processamento de sinais Boa leitura SISTEMAS LINEARES Dárcio Silvestre Sabbadin Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Caracterizar as séries de Fourier Determinar as características da transformada de Fourier Analisar as séries e transformadas de Fourier no processamento de sinais Introdução Neste capítulo você vai estudar as séries e transformadas de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier 17681830 foi um grande matemático e físico francês que trabalhou nos campos da calorimetria e do cálculo Para ho menageálo seu nome foi dado às séries e transformadas aplicadas aos sinais elétricos em regime contínuo muito utilizadas na engenharia elétrica Basicamente Fourier descobriu que qualquer função periódica ou não pode ser composta por uma soma infinita de funções senoidais e cossenoidais A transformada de Fourier é um caso particular da trans formada de Laplace e transforma a função no domínio do tempo para o domínio da frequência angular criando o espectro de frequências do sinal Atualmente a transformada de Fourier é aplicada em muitas áreas especialmente em processamento de sinais Caracterização das séries de Fourier Segundo Lathi 2006 sinais periódicos complexos podem ser decompostos em uma série trigonométrica de Fourier Um somatório de senos e cossenos com amplitudes diferentes fases e frequências diferentes também Sua de composição facilita o estudo do conteúdo do sinal Os sinais complexos são uma composição de senos e cossenos Figura 1 conforme a expressão matemática a seguir À expressão é dado o nome de série trigonométrica de Fourier Onde o coeficiente a0 é o valor médio da função ft no intervalo de 0 a T an e bn são os coeficientes da série de Fourier ω0 é a velocidade angular em radianossegundos da função ft e equivale a 2 π f0 com f0 a frequência em Hz T é o intervalo da função ft Figura 1 Forma de onda senoidal periódica e harmônica e forma de onda complexa Fonte Adaptada de Fouad A SaadShutterstockcom Saída harmônica Fundamental 1ª harmônica 2ª harmônica 3ª harmônica 4ª harmônica Forma complexa Forma harmônica Fundamental Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 2 O valor médio de uma função Vm é assim definido conforme a teoria do cálculo STEWART 2011 Os coeficientes na forma de integral ficam As figuras ditas pares e ímpares Figura 2 podem abreviar e simplificar o cálculo dos termos das séries de Fourier Na definição de Stewart 2011 uma função par é aquela em que fx fx e uma função ímpar é aquela em que fx fx Considere os exemplos a seguir 1 IMPAR PAR 07 0 π π π2 π4 π4 2π 3π π2 0 π π π2 2π 3π π2 1 xrads xrads fxsenx fxcosx Figura 2 Funções pares e ímpares Fonte Adaptada de MilanBShutterstockcom Observe que a integral ou área da função seno no intervalo de π a π é zero Esten dendo o raciocínio às funções ímpares podese dizer o mesmo Acompanhe o Quadro 1 relativo ao produto de funções pares e ímpares 3 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Características da transformada de Fourier Conforme Roland Albert e Toussaint 2011 o que caracteriza uma série de Fourier é a periodicidade dos sinais que a compõem Quando o sinal for aperiódico a transformada de Fourier será necessária para a caracterização das frequências que fazem parte do sinal elétrico Então segundo Haykin e Venn 2001 sendo f uma função integrável a transformada de Fourier relacionará as funções no domínio do tempo com as funções no domínio da frequência podendose escrever da seguinte maneira Produto de funções Resultado Função par x Função par Função par Função par x Função ímpar Função ímpar Função ímpar x Função par Função ímpar Função ímpar x Função ímpar Função par Quadro 1 Produtos de funções e resultados A partir do Quadro 1 podese concluir que 1 se f for par 2 se f for ímpar 3 quanto à multiplicação de funções senos e cossenos para quaisquer n e m𝜀 R para n m e n m para n m 2 π para n m 0 e π para n m 0 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 4 A Figura 3 ilustra as características de alguns dos principais sinais elétricos no domínio do tempo transformados para o domínio da frequência Figura 3 Sinais no domínio do tempo e da frequência Fonte Adaptada de Fouad A SaadShutterstockcom Sinal st Onda cossenoidal Função sink Função gaussiana Exponencial duplo Banda uniforme Lorenziana Gaussiana Frequência única Transformada de Fourier Sω Observe as curvas da Figura 3 A principal característica da transformada de Fourier é a capacidade de transformar um sinal periódico no tempo em um espectro de frequência único como no caso da onda cossenoidal e um sinal aperiódico em uma banda ou faixa de frequências uniforme 5 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Conforme Stewart 2011 senos e cossenos podem ser escritos na forma exponencial a seguir Assim a transformada de Fourier pode ser reescrita da seguinte maneira Assim como ocorre com as transformadas e antitransformadas de Laplace a operação inversa da transformada de Fourier é a antitransformada de Fourier que pode ser descrita pela seguinte expressão A característica principal tanto da transformada quanto da antitransformada de Fourier é que a frequência complexa s terá apenas a componente complexa jωdiferindose da transformada de Laplace em que a frequência complexa contempla a parte real σ Assim para Fourier s 𝜎 jω com 𝜎 0 As demais características fazem parte das propriedades e teoremas das transformadas de Fourier que são utilizadas no processamento de sinais e encontramse na próxima seção Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 6 Nos links a seguir você pode ver informações complementares sobre séries e trans formadas de Fourier Série de Fourier parte 1 UNIVESP httpsgooglG16UZc Série de Fourier parte 2 UNIVESP httpsgoogl5rdvuB Série de Fourier parte 3 UNIVESP httpsgooglNBmUNH Transformadas de Fourier UNICAMP httpsgoogl3dCPsy Séries e transformadas de Fourier em processamento de sinais Segundo Nalon 2009 a variação de informações conforme a passagem do tempo recebe o nome de sinal Já à manipulação de tais sinais para a obtenção de um resultado desejado dáse o nome de processamento de sinais O pro cessamento do sinal é facilitado quando analisado no domínio da frequência angular Para isso é necessário aplicar a transformada de Fourier ao sinal no domínio do tempo O método aplicado é o uso da tabela de transformadas ilustrada no Quadro 2 7 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Fonte Adaptado de Lathi 2006 xt Xω eatut eatut eat t eatut tn eatut 𝛿t 1 1 ejω0t cosω0t senω0t ut cosω0t ut sen ω0t ut eat cosω0t ut eat cosω0t ut Quadro 2 Funções no domínio do tempo e suas respectivas transformadas de Fourier Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 8 O exercício das propriedades das transformadas de Fourier denota um processamento de funções ou sinais exemplificados a seguir LATHI 2006 Linearidade A transformada da soma de funções multiplicadas por coefi cientes com plexos é a mesma se tais coefi cientes forem multiplicados por suas funções transformadas Mudança de escala Modulação Translação no tempo Teorema de Plancherel 9 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Determinação da série de Fourier da função ft t2 no intervalo de π a π Cálculo de a0 Substituindo o intervalo T π e ft na expressão anterior você tem Cálculo do coeficiente an Substituindo o intervalo T π e ft na expressão anterior você tem Integrando por partes Chamando u t2 du 2t dt e Substituindo na equação original e utilizando a relação STEWART 2011 Como sennπ 0 e sen0 0 o primeiro termo entre parênteses é nulo assim Novamente é necessária a integração por partes Chamando u t e dv sennt você tem Substituindo em an Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 10 Analisando o primeiro termo t cosnt para n par e diferente de zero e t π cosnt 1 e para n ímpar cosnt 1 você pode escrever O segundo termo entre parênteses senntn será nulo pois tanto senπ quando sen0 é zero Assim Portanto Cálculo de bn Substituindo os valores de T e ft Como t2 é uma função par e sennt uma função ímpar o produto delas resultará numa função ímpar cuja integral é zero Assim o coeficiente bn 0 Dessa forma você finalmente pode escrever a série de Fourier de ft t2 que será uma outra função gt periódica Concluindo a série gt é a extensão periódica da função ft representada a seguir no intervalo de 2π a 2π porém seu domínio se estende desde até Figura 4 gt π π π2 π2 a0 a0 t 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2 0 3 2 1 0 1 2 3 4 Figura 4 Representação do intervalo de 2π a 2π 11 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier HAYKIN S VENN B V Sinais e sistemas Porto Alegre Bookman 2001 LATHI B P Sinais e sistemas lineares 2 ed Porto Alegre Bookman 2006 NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro LTC 2009 ROLAND E T ALBERT J R TOUSSAINT G J Análise e projeto de circuitos elétricos lineares 6 ed Porto Alegre Bookman 2011 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2011 v 1 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 12 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor A amplitude modulada da voz humana é muito utilizada na faixa de rádio comercial para frequências que vão desde 550 kHz até 1650 kHz A propriedade do deslocamento em frequência da transformada de Fourier traduz bem essa aplicação Veja a seguir dicas sobre a modulação em amplitude que aplica a transformada de Fourier e as suas propriedades Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Determine os coeficientes ao an e bn da série de Fourier da função ftt para π t π assinale a A a02 an1n bn2n B a00 an0 bn2πncosnπ2senπnπn2 C a00 an1n bn 1n12nsennx D a01 an0 bnsennxn E a00 an0 bn1n1 2 Observe a seguinte série Agora assinale a alternativa que indica como ficaria a forma genérica da série A B C D E 3 Calcule a transformada de Fourier para a função A B C D E 4 Calcule a transformada de Fourier da função aperiódica E assinale a alternativa correta A B C D E 5 Calcule a transformada da função retângulo de amplitude 1 no intervalo de T2 a T2 representada pela figura a seguir A B C D E Na prática As séries e a transformada de Fourier são ferramentas matemáticas muito úteis na análise e no processamento de sinais de telecomunicações As séries possibilitam que uma soma infinita de senos e cossenos forme qualquer forma de onda as transformadas por sua vez permitem a mudança do domínio do tempo para a frequência o que facilita a filtragem e o processamento de sinais Você vai ver a seguir situações do cotidiano do engenheiro de sistemas no processamento de sinais por meio de softwares e equipamentos que analisam as séries e a transformada de Fourier Tais equipamentos e laboratórios de telecomunicações são muito dispendiosos daí a solução via softwares aplicativos prevendo situações futuras e tornando as pesquisas mais baratas Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Filtro de transformada de Fourier Leia o artigo a seguir sobre a utilização de filtro de transformada de Fourier para minimização de ruídos em sinais analíticos Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Aplicações no processamento de sinais e Imagens Leia o trabalho a seguir sobre séries e transformada de Fourier no processamento de sinais e imagens Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Aplicação da transformada de Fourier Leia o artigo a seguir que relata a aplicação da transformada de Fourier em ondaleta às séries temporais de diferenças de altitude determinadas por GPS acoplado a shaker na base usp Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar
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Introdução à Aplicação de séries e Transformada de Fourier Apresentação As séries de Fourier são caracterizadas pela soma de senos e cossenos que pode formar qualquer sinal contínuo no domínio do tempo Para a análise em frequência necessitase da transformação de Fourier para passálas ao domínio da frequência No campo das telecomunicações e do processamento de sinais tais séries e transformações são de vital importância aos engenheiros Nesta Unidade de Aprendizagem você vai ver as séries trigonométrica e exponencial de Fourier e as suas respectivas transformadas Primeiramente serão caracterizadas as séries e posteriormente determinadas as características e as propriedades das transformadas de Fourier Diante da análise das transformadas de Fourier serão exemplificadas as aplicações em processamento de sinais tais como modulação e deslocamentos no domínio do tempo Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Descrever as séries de Fourier Apontar as características da transformada de Fourier Analisar as séries e as transformadas de Fourier no processamento de sinais Desafio A transmissão em amplitude modulada é uma das mais antigas nas telecomunicações Modular um sinal significa processálo A AM como é chamada a modulação em amplitude perdura até os dias de hoje embora muito mais para fins de transmissão de voz do que de músicas A faixa comercial de frequências do AM vai de 535 kHz a 1605 kHz A faixa de áudio da voz humana vai até 5 kHz Para este Desafio observe os dados a seguir Você tem as seguintes tarefas 1 Visualize a forma de onda AM e o espectro de frequências de uma onda AM com portadora de 1000 kHz e as suas bandas laterais no software Scilab 2 Depois module um sinal de voz de 5 kHz por meio do Scilab e verifique as formas de ondas e transformada de Fourier com os seus respectivos espectros de frequências conforme informações acima 3 Por fim insira os resultados obtidos em um arquivo de texto ou em uma apresentação e anexe o a seguir Clique aqui Infográfico As formas de ondas de sinais elétricos são estudadas como funções matemáticas e tais funções têm período e frequência Melhor explicando a frequência está relacionada ao número de oscilações de onda em certo período de tempo No Infográfico a seguir você vai ver duas aplicações práticas de séries e transformadas de Fourier por meio de ondas aperiódicas e periódicas Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Conteúdo do livro As séries exponenciais e trigonométricas de Fourier auxiliam na composição de diversos sinais no domínio do tempo e as suas respectivas transformadas na passagem do domínio do tempo para a frequência No capítulo Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier da obra Sistemas lineares você vai encontrar as definições de séries e transformada de Fourier as suas características as suas propriedades e as suas aplicações práticas sendo detalhados todos os cálculos envolvidos no processamento de sinais Boa leitura SISTEMAS LINEARES Dárcio Silvestre Sabbadin Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Caracterizar as séries de Fourier Determinar as características da transformada de Fourier Analisar as séries e transformadas de Fourier no processamento de sinais Introdução Neste capítulo você vai estudar as séries e transformadas de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier 17681830 foi um grande matemático e físico francês que trabalhou nos campos da calorimetria e do cálculo Para ho menageálo seu nome foi dado às séries e transformadas aplicadas aos sinais elétricos em regime contínuo muito utilizadas na engenharia elétrica Basicamente Fourier descobriu que qualquer função periódica ou não pode ser composta por uma soma infinita de funções senoidais e cossenoidais A transformada de Fourier é um caso particular da trans formada de Laplace e transforma a função no domínio do tempo para o domínio da frequência angular criando o espectro de frequências do sinal Atualmente a transformada de Fourier é aplicada em muitas áreas especialmente em processamento de sinais Caracterização das séries de Fourier Segundo Lathi 2006 sinais periódicos complexos podem ser decompostos em uma série trigonométrica de Fourier Um somatório de senos e cossenos com amplitudes diferentes fases e frequências diferentes também Sua de composição facilita o estudo do conteúdo do sinal Os sinais complexos são uma composição de senos e cossenos Figura 1 conforme a expressão matemática a seguir À expressão é dado o nome de série trigonométrica de Fourier Onde o coeficiente a0 é o valor médio da função ft no intervalo de 0 a T an e bn são os coeficientes da série de Fourier ω0 é a velocidade angular em radianossegundos da função ft e equivale a 2 π f0 com f0 a frequência em Hz T é o intervalo da função ft Figura 1 Forma de onda senoidal periódica e harmônica e forma de onda complexa Fonte Adaptada de Fouad A SaadShutterstockcom Saída harmônica Fundamental 1ª harmônica 2ª harmônica 3ª harmônica 4ª harmônica Forma complexa Forma harmônica Fundamental Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 2 O valor médio de uma função Vm é assim definido conforme a teoria do cálculo STEWART 2011 Os coeficientes na forma de integral ficam As figuras ditas pares e ímpares Figura 2 podem abreviar e simplificar o cálculo dos termos das séries de Fourier Na definição de Stewart 2011 uma função par é aquela em que fx fx e uma função ímpar é aquela em que fx fx Considere os exemplos a seguir 1 IMPAR PAR 07 0 π π π2 π4 π4 2π 3π π2 0 π π π2 2π 3π π2 1 xrads xrads fxsenx fxcosx Figura 2 Funções pares e ímpares Fonte Adaptada de MilanBShutterstockcom Observe que a integral ou área da função seno no intervalo de π a π é zero Esten dendo o raciocínio às funções ímpares podese dizer o mesmo Acompanhe o Quadro 1 relativo ao produto de funções pares e ímpares 3 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Características da transformada de Fourier Conforme Roland Albert e Toussaint 2011 o que caracteriza uma série de Fourier é a periodicidade dos sinais que a compõem Quando o sinal for aperiódico a transformada de Fourier será necessária para a caracterização das frequências que fazem parte do sinal elétrico Então segundo Haykin e Venn 2001 sendo f uma função integrável a transformada de Fourier relacionará as funções no domínio do tempo com as funções no domínio da frequência podendose escrever da seguinte maneira Produto de funções Resultado Função par x Função par Função par Função par x Função ímpar Função ímpar Função ímpar x Função par Função ímpar Função ímpar x Função ímpar Função par Quadro 1 Produtos de funções e resultados A partir do Quadro 1 podese concluir que 1 se f for par 2 se f for ímpar 3 quanto à multiplicação de funções senos e cossenos para quaisquer n e m𝜀 R para n m e n m para n m 2 π para n m 0 e π para n m 0 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 4 A Figura 3 ilustra as características de alguns dos principais sinais elétricos no domínio do tempo transformados para o domínio da frequência Figura 3 Sinais no domínio do tempo e da frequência Fonte Adaptada de Fouad A SaadShutterstockcom Sinal st Onda cossenoidal Função sink Função gaussiana Exponencial duplo Banda uniforme Lorenziana Gaussiana Frequência única Transformada de Fourier Sω Observe as curvas da Figura 3 A principal característica da transformada de Fourier é a capacidade de transformar um sinal periódico no tempo em um espectro de frequência único como no caso da onda cossenoidal e um sinal aperiódico em uma banda ou faixa de frequências uniforme 5 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Conforme Stewart 2011 senos e cossenos podem ser escritos na forma exponencial a seguir Assim a transformada de Fourier pode ser reescrita da seguinte maneira Assim como ocorre com as transformadas e antitransformadas de Laplace a operação inversa da transformada de Fourier é a antitransformada de Fourier que pode ser descrita pela seguinte expressão A característica principal tanto da transformada quanto da antitransformada de Fourier é que a frequência complexa s terá apenas a componente complexa jωdiferindose da transformada de Laplace em que a frequência complexa contempla a parte real σ Assim para Fourier s 𝜎 jω com 𝜎 0 As demais características fazem parte das propriedades e teoremas das transformadas de Fourier que são utilizadas no processamento de sinais e encontramse na próxima seção Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 6 Nos links a seguir você pode ver informações complementares sobre séries e trans formadas de Fourier Série de Fourier parte 1 UNIVESP httpsgooglG16UZc Série de Fourier parte 2 UNIVESP httpsgoogl5rdvuB Série de Fourier parte 3 UNIVESP httpsgooglNBmUNH Transformadas de Fourier UNICAMP httpsgoogl3dCPsy Séries e transformadas de Fourier em processamento de sinais Segundo Nalon 2009 a variação de informações conforme a passagem do tempo recebe o nome de sinal Já à manipulação de tais sinais para a obtenção de um resultado desejado dáse o nome de processamento de sinais O pro cessamento do sinal é facilitado quando analisado no domínio da frequência angular Para isso é necessário aplicar a transformada de Fourier ao sinal no domínio do tempo O método aplicado é o uso da tabela de transformadas ilustrada no Quadro 2 7 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Fonte Adaptado de Lathi 2006 xt Xω eatut eatut eat t eatut tn eatut 𝛿t 1 1 ejω0t cosω0t senω0t ut cosω0t ut sen ω0t ut eat cosω0t ut eat cosω0t ut Quadro 2 Funções no domínio do tempo e suas respectivas transformadas de Fourier Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 8 O exercício das propriedades das transformadas de Fourier denota um processamento de funções ou sinais exemplificados a seguir LATHI 2006 Linearidade A transformada da soma de funções multiplicadas por coefi cientes com plexos é a mesma se tais coefi cientes forem multiplicados por suas funções transformadas Mudança de escala Modulação Translação no tempo Teorema de Plancherel 9 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier Determinação da série de Fourier da função ft t2 no intervalo de π a π Cálculo de a0 Substituindo o intervalo T π e ft na expressão anterior você tem Cálculo do coeficiente an Substituindo o intervalo T π e ft na expressão anterior você tem Integrando por partes Chamando u t2 du 2t dt e Substituindo na equação original e utilizando a relação STEWART 2011 Como sennπ 0 e sen0 0 o primeiro termo entre parênteses é nulo assim Novamente é necessária a integração por partes Chamando u t e dv sennt você tem Substituindo em an Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 10 Analisando o primeiro termo t cosnt para n par e diferente de zero e t π cosnt 1 e para n ímpar cosnt 1 você pode escrever O segundo termo entre parênteses senntn será nulo pois tanto senπ quando sen0 é zero Assim Portanto Cálculo de bn Substituindo os valores de T e ft Como t2 é uma função par e sennt uma função ímpar o produto delas resultará numa função ímpar cuja integral é zero Assim o coeficiente bn 0 Dessa forma você finalmente pode escrever a série de Fourier de ft t2 que será uma outra função gt periódica Concluindo a série gt é a extensão periódica da função ft representada a seguir no intervalo de 2π a 2π porém seu domínio se estende desde até Figura 4 gt π π π2 π2 a0 a0 t 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2 0 3 2 1 0 1 2 3 4 Figura 4 Representação do intervalo de 2π a 2π 11 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier HAYKIN S VENN B V Sinais e sistemas Porto Alegre Bookman 2001 LATHI B P Sinais e sistemas lineares 2 ed Porto Alegre Bookman 2006 NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro LTC 2009 ROLAND E T ALBERT J R TOUSSAINT G J Análise e projeto de circuitos elétricos lineares 6 ed Porto Alegre Bookman 2011 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2011 v 1 Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier 12 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor A amplitude modulada da voz humana é muito utilizada na faixa de rádio comercial para frequências que vão desde 550 kHz até 1650 kHz A propriedade do deslocamento em frequência da transformada de Fourier traduz bem essa aplicação Veja a seguir dicas sobre a modulação em amplitude que aplica a transformada de Fourier e as suas propriedades Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Determine os coeficientes ao an e bn da série de Fourier da função ftt para π t π assinale a A a02 an1n bn2n B a00 an0 bn2πncosnπ2senπnπn2 C a00 an1n bn 1n12nsennx D a01 an0 bnsennxn E a00 an0 bn1n1 2 Observe a seguinte série Agora assinale a alternativa que indica como ficaria a forma genérica da série A B C D E 3 Calcule a transformada de Fourier para a função A B C D E 4 Calcule a transformada de Fourier da função aperiódica E assinale a alternativa correta A B C D E 5 Calcule a transformada da função retângulo de amplitude 1 no intervalo de T2 a T2 representada pela figura a seguir A B C D E Na prática As séries e a transformada de Fourier são ferramentas matemáticas muito úteis na análise e no processamento de sinais de telecomunicações As séries possibilitam que uma soma infinita de senos e cossenos forme qualquer forma de onda as transformadas por sua vez permitem a mudança do domínio do tempo para a frequência o que facilita a filtragem e o processamento de sinais Você vai ver a seguir situações do cotidiano do engenheiro de sistemas no processamento de sinais por meio de softwares e equipamentos que analisam as séries e a transformada de Fourier Tais equipamentos e laboratórios de telecomunicações são muito dispendiosos daí a solução via softwares aplicativos prevendo situações futuras e tornando as pesquisas mais baratas Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Filtro de transformada de Fourier Leia o artigo a seguir sobre a utilização de filtro de transformada de Fourier para minimização de ruídos em sinais analíticos Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Aplicações no processamento de sinais e Imagens Leia o trabalho a seguir sobre séries e transformada de Fourier no processamento de sinais e imagens Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Aplicação da transformada de Fourier Leia o artigo a seguir que relata a aplicação da transformada de Fourier em ondaleta às séries temporais de diferenças de altitude determinadas por GPS acoplado a shaker na base usp Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar