Texto de pré-visualização
Transformadas de Laplace Apresentação Seja bemvindo Existem sistemas dinâmicos lineares dos mais variados tipos desde um sistema de amortecimento mecânico ao controle de processos eletrônicos dos mais sofisticados onde se faz necessário o estudo das respostas a certas entradas do tipo Impulso surto ou curtocircuito Degrau chaveamentos e Rampa variação contínua de uma variável de campo representando um erro em um período de tempo pequeno que é melhor retratado pelo estudo no domínio da frequência Tais sistemas são descritos por equações diferenciais complexas com condições iniciais conhecidas porém de difícil resolução Então entra o método algébrico de solução da Transformada de Laplace criado pelo físico e engenheiro eletricista inglês Oliver Heaviside 1850 1925 transformando tais equações diferenciais em sistemas de polinômios algébricos de fácil resolução Para facilitar a solução pelo método algébrico das transformadas e antitransformadas tabularamse as principais funções pertinentes aos problemas reais que devem ser consultadas perante tabelas como se tais tabelas fossem dicionários Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar as propriedades das Transformadas de Laplace que moldam uma ferramenta muito utilizada por engenheiros para resolução de problemas reais utilizando circuitos RC resistor e capacitor denominados de primeira ordem e RLC resistor capacitor e indutor denominados de segunda ordem passivos e ativos Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir as propriedades da Transformada de Laplace Reconhecer a Transformada de Laplace para solução de equações diferenciais com condições iniciais Aplicar a Transformada de Laplace a análise de sistemas LIT Desafio O circuito RLC é utilizado em sistemas de etiquetas de pedágio e pórticos de segurança em lojas de varejo Esse circuito é muito prático pois funciona sem bateria porque a própria energia irradiada pela antena transmissora interage com ele e recebe uma resposta relativa a tal detecção Confira a seguir a representação do circuito Como desafio você deve equacionar o circuito à frequência complexa s Infográfico O método criado por Heaviside consiste em transformar as equações diferenciais em polinômios de grau s e depois resolvêlos Encontrando uma solução no domínio s devese retornar ao domínio original da função Pode parecer mais difícil do que resolver as equações diferenciais porém quanto maior o grau das equações o método de Heaviside tornará a solução menos complicada Veja o exemplo no Infográfico Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Conteúdo do livro A Transformada de Laplace nada mais é que uma integral de convolução ou seja uma multiplicação entre uma função conhecida e uma exponencial com expoentes no domínio da frequência e tempo porém negativos o que proporciona um decaimento do resultado No capítulo Transformadas de Laplace da obra Sistemas lineares você aprenderá a deduzir as principais propriedades bem como identificar equações diferenciais de primeira e segunda ordens aplicandoas aos sistemas lineares invariantes com o tempo Boa leitura SISTEMAS LINEARES Dárcio Silvestre Sabbadin Transformadas de Laplace Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir as propriedades da transformada de Laplace Reconhecer a transformada de Laplace para solução de equações diferenciais com condições iniciais Aplicar a transformada de Laplace à análise de sistemas LIT Introdução Neste capítulo você vai estudar as propriedades das transformadas de Laplace que moldam uma ferramenta muito utilizada por engenheiros para resolução de problemas reais utilizando circuitos RC Resistor e Capacitor denominados de primeira ordem e RLC Resistor Capacitor e Indutor denominados de segunda ordem passivos e ativos Pierre Simon Laplace 17491827 foi um matemático francês que contribuiu muito com a física e a matemática Em sua homenagem foi criado o operador de funções laplaciano que como o próprio nome denota opera funções matemáticas no domínio do tempo para o domínio da frequência Neste capítulo você deve ter em mente os conceitos de função o conjunto do domínio da função e seu correspondente conjunto imagem Além disso precisa operar números complexos para exercer pleno domí nio da teoria de transformadas de Laplace bem como conhecer a teoria do cálculo como prérequisito Transformadas de Laplace e suas propriedades Primeiramente uma relação f entre dois conjuntos A e B quaisquer é uma função somente se obedecer aos seguintes requisitos MORETTIN BUSSAB HAZZAN 2016 todo elemento do conjunto A tem um correspondente em B definido pela relação f a cada elemento de A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio de f Na Figura 1 a seguir você pode compreender melhor esses requisitos Figura 1 Esquemático de conjuntos e funções Em sistemas dinâmicos lineares dos mais variados tipos desde um sistema de amortecimento mecânico ao controle de processos eletrônicos mais sofis ticados fazse necessário o estudo das respostas a certas entradas dos tipos impulso surto ou curtocircuito degrau chaveamentos e rampa variação contínua de uma variável de campo representando um erro num período de tempo pequeno que é melhor retratado pelo estudo no domínio da frequên cia Tais sistemas são descritos por equações diferenciais complexas com condições iniciais conhecidas porém de difícil resolução Aí entra o método algébrico das transformadas de Laplace criadas pelo físico e engenheiro eletricista inglês Oliver Heaviside 18501925 Esse método transforma tais equações diferenciais em sistemas de polinômios algébricos de fácil resolução conforme a Figura 2 Transformadas de Laplace 2 Figura 2 Diagrama de blocos do método de Heaviside Evidentemente após descobrir a solução no domínio da frequência é necessário realizar a transformada inversa de Laplace aqui representada por para voltar ao domínio do tempo Para facilitar a solução pelo método das transformadas e antitransformadas foram tabuladas as principais funções pertinentes aos problemas reais Portanto essas funções devem ser consultadas em tabelas como se tais tabelas fossem dicionários Definição da transformada de Laplace A transformada de Laplace nada mais é que uma integral de convolução ou seja uma multiplicação entre uma função conhecida e uma exponencial com expoentes no domínio da frequência e do tempo porém negativos o que proporciona um decaimento do resultado Veja a seguir a defi nição completa Dada uma função conhecida ft para t 0 sua transformada será calculada pela seguinte expressão OGATA 1999 Onde ft é uma função real ou complexa contínua porém segmentada no intervalo de zero a infinito S é a frequência complexa composta por uma parte real σ que representa o decaimento exponencial da função e uma parte imaginária j w assim representada por S σ j w sendo w a frequência angular em radianos por segundos rads unidade do sistema internacional 3 Transformadas de Laplace Para vêm as seguintes propriedades postuladas por Laplace que se transforma ram em teoremas que puderam ser comprovados por meio da teoria do cálculo 1 conversão de uma diferenciação em uma multiplicação por s 2 conversão de uma integração por uma divisão por s 3 a ft a Fs com a linearidade ou proporcionalidade 4 superposição 5 a ft b gt a Fs b Gs com a e b linearidade e superposição 6 com a translação na frequência 7 com a translação no tempo 8 com a escalonamento Para você entender melhor o significado do operador laplaciano você pode fazer uma analogia com as propriedades dos logaritmos em que o operador log de um produto de números adimensionais tornase uma soma dos logaritmos desses números ou seja Analogamente o operador log operando uma divisão de números tornase uma subtração dos logaritmos conforme exemplo Analogamente o operador log operando uma divisão de números tornase uma É necessário observar as dualidades da derivada e da integral da multiplicação e da divisão assim como as do capacitor e do indutor que também aparecem nas propriedades da transformada de Laplace É de suma importância que você revise os conceitos de operações com números complexos bem como as relações trigono métricas de Euler Transformadas básicas A seguir você vai ver as transformadas de Laplace básicas para a solução de outras diversas propostas Você vai ver também tabelas que servirão de Transformadas de Laplace 4 dicionário de consulta sempre que for necessária a aplicação eximindoo de nova dedução a cada problema Transformada da função unitária ft 1 A função é caracterizada por ter valor 1 em todo o seu domínio Dela podem vir todos os sinais de níveis contínuos tais como baterias elétricas de diversas tensões Aplicando a definição você tem no intervalo de t de 0 a Substituindo em t Assim Portanto Transformada da função exponencial ft eat com a A função exponencial está presente na carga de um capacitor por exemplo ou modelada em vários outros componentes eletrônicos por isso é essencial estudála Novamente aplicando a definição de transformada de Laplace você tem Daí Transformada da função seno ft sent As funções trigonométricas de modo geral estarão presentes em todos os sistemas de regime contínuo tais como energia elétrica gerada transmitida e distribuída Lembrese de que o argumento de uma função senoidal será sempre um ângulo em radianos ou graus então é necessário fazer a análise adimensional do argumento da função seno 5 Transformadas de Laplace Será conveniente agora utilizar a relação de Euler conforme Stewart 2011 Tal expressão é a seguinte Ela vem da relação Portanto Aplicando a definição da transformada de Laplace você tem Agora aplicando a propriedade da superposição de Laplace número 4 você tem Fazendo a aplicação da transformada da exponencial deduzida anterior mente a essa você tem Resolvendo o parênteses Assim finalmente Transformada da função cosseno f t cos t Analogamente à função seno deduzse a transformada da função cosseno Transformadas de Laplace 6 Novamente é necessário aplicar aqui a relação de Euler para o cosseno que é Então Dividindo em duas partes conforme a propriedade 4 da superposição você tem Portanto Demonstração da propriedade 6 teorema da translação Dada a função sua transformada de Laplace valerá Juntando os expoentes você tem Aplicando a definição da transformada de Laplace e fazendo s s a você tem Fisicamente essa transformada significa que a frequência fundamental do sinal ft foi deslocada de a Transformada da função ft a Considerase aqui Agora por conveniência substituise t por 𝜏 a assim 7 Transformadas de Laplace Como o termo é uma constante ele sai para fora da integral então fica Assim concluindo Observase aqui agora uma translação no domínio do tempo dual à de monstração anterior Transformada de Laplace da função derivada Considere a defi nição Para resolver essa integral recorrese à integração por partes conforme expressão a seguir STEWART 2011 Onde Assim Assim Transformada da função integral fτ dτ t Como a derivada de Ft com respeito ao tempo é a própria função ft ou seja resolvendo conforme a defi nição de Laplace Transformadas de Laplace 8 Assim aplicando a transformada da derivada definida anteriormente você tem Organizando você tem Então para a condição inicial genérica nula você tem Concluindo então a transformada de Laplace de uma integral vira uma divisão dual da transformada da diferenciação Agora de posse das propriedades e demonstrações que você acabou de ver é possível gerar a tabela de consulta a seguir Tabela 1 Ela servirá de dicionário de agilização de cálculos que envolvem transformadas para resolução de sistemas lineares sejam eles elétricos ou mecânicos 1 2 3 4 5 6 7 8 Tabela 1 Transformadas básicas Demonstração da transformada de Laplace para solução de equações diferenciais com condições iniciais As equações diferenciais tratadas a seguir serão de primeira e segunda ordens representadas fi sicamente por elementos de circuitos elétricos passivos como o resistor o capacitor e o indutor O fator que determina a ordem do circuito e da equação diferencial é a quantidade de elementos reativos que o circuito possui ou seja o número de capacitores e indutores Conforme Gussow 2009 o elemento resistor R de um circuito é linear e passivo De acordo com a lei de Ohm seu valor é representado no domínio do tempo por Já o capacitor pode ser representado como um derivador da tensão ou um integrador da corrente elétrica V O indutor por sua vez pode ser representado 9 Transformadas de Laplace por um derivador da corrente elétrica ou um integrador da tensão onde C é a capacitância em Farad F e L é a indutância em Henry H Agora unindo tais elementos em circuitos séries ou paralelos e aplicando as leis de Kirchhoff das malhas e nós conforme Gussow 2009 você obtém equações diferenciais de primeira e segunda ordens que serão resolvidas com a aplicação das propriedades das transformadas de Laplace Equação diferencial ordinária de primeira ordem Observe o circuito RC série na Figura 3 a seguir Figura 3 Circuito RC Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff você tem conforme Gussow 2009 Para vg t 0 no instante zero com capacitor descarregado Derivando a corrente it em ambos os lados da equação com respeito ao tempo você tem Transformadas de Laplace 10 Dividindo todos os termos por e reescrevendo você tem Como a transformada de it é Is conforme a própria definição de trans formada de Laplace e a transformada de uma derivada é sIs conforme a propriedade 7 da tabela de transformadas então a equação que você acabou de ver no domínio da frequência será uma equação de primeiro grau com variável s e frequência complexa Observe o circuito RLC série na Figura 4 a seguir Figura 4 Circuito RLC série Aplicando novamente a lei das malhas de Kirchhoff conforme Gussow 2009 você tem Para vg t 0 no instante zero Derivando ambos os lados da equação anterior com respeito ao tempo você tem 11 Transformadas de Laplace Organizando com respeito à ordem Dividindo todos os membros por L você tem Aplicando a propriedade da superposição das transformadas de Laplace você tem Repare agora que você obteve uma equação de segundo grau em s a frequência complexa Equação diferencial ordinária de segunda ordem Agora suponha que a equação do circuito RLC tenha como variável a carga elétrica q Conforme Gussow 2009 a definição de corrente elétrica no domínio do tempo é Reescrevendo a equação da malha do circuito RLC da Figura 4 você tem Podese reescrever a equação anterior com a notação seguinte conforme Stewart 2011 Aplicando agora as propriedades de transformadas à equação anterior você tem Transformadas de Laplace 12 Ou Reescrevendo Portanto a equação diferencial de segunda ordem com respeito ao tempo tornouse uma equação de segundo grau com variável em s a frequência complexa Conforme Ogata 1999 sistemas lineares invariantes no tempo com parâmetros constantes podem ser descritos matematicamente por equações diferenciais A análise dessas equações fornecerá informações necessárias para o controle desses sistemas Um sistema linear pressupõe a superposição de sinais estímulos e funções Os sistemas dinâmicos de modo geral obedecem às mesmas equações diferenciais tanto os siste mas mecânicos de amortecimento de um carro por exemplo um sistema hidráulico rotacional quanto um sistema elétrico A seguir a Figura 5 mostra a comparação entre dois sistemas muito presentes na vida cotidiana e na engenharia o sistema de amortecimento de um veículo e um circuito RLC que pode ser um filtro ou oscilador Figura 5 Comparativo entre sistemas e componentes mecânicos e elétricos Fonte Ogata 1999 13 Transformadas de Laplace Aplicação da transformada de Laplace à análise de sistemas LIT A sigla LIT signifi ca Sistema Linear Invariante com o tempo Esse tipo de sistema está presente em sistemas de processamento de sinais analógicos e digitais por exemplo A invariância com o tempo signifi ca que um desloca mento da sequência de entrada de um sistema provoca um deslocamento de mesma magnitude na saída NALON 2014 O diagrama de blocos da Figura 6 a seguir exemplifica tal definição no domínio da frequência Figura 6 Diagrama de blocos de sistema LIT Na Figura 6 Fs será a função de transferência do sistema Ves será a tensão de entrada do sistema e Vss será a tensão de saída do sistema que respeitará o seguinte modelo matemático Os sistemas LIT podem ser descritos completamente por meio da sua res posta ao impulso A resposta ao impulso de um sistema é a sequência obtida em sua saída quando é alimentado por uma sequência de impulso unitário NALON 2014 Na ordem a massa m de um veículo corresponde a um indutor L a mola k a um capacitor C e o amortecedor b a um resistor R Ambos os sistemas são representados por uma equação diferencial de segunda ordem como você pode ver a seguir Sistema mecânico Sistema elétrico Transformadas de Laplace 14 Dado no domínio do tempo e no domínio da frequência então Demonstração da transformada de Laplace da função impulso unitário delta de Dirac Observe a Figura 7 a seguir Figura 7 Função impulso unitário delta de Dirac Para t a δ t a tende a infinito e sua área correspondente à sua integral vale 1 Assim aplicando Laplace para a 0 você tem Perceba que 0 significa aproximação pela esquerda no limite e 0 aproximação pela direita no limite Portanto 15 Transformadas de Laplace Demonstração da transformada de Laplace da função degrau retangular unitário Observe a Figura 8 a seguir Figura 8 Degrau unitário Na Figura 8 denotase que para t 0 ft 0 para 0 t a ft 1 e finalmente para t a ft 0 novamente Daí podese escrever a função ft como Transformando a função do domínio do tempo para frequência você tem Aplicando agora as propriedades das transformadas básicas tabeladas anteriormente você tem Transformadas de Laplace 16 Então Nos links a seguir você vai encontrar problemas reais de mecânica e eletroeletrônica resolvidos por modelagem de sistemas dinâmicos e transformada de Laplace Tecnologia contra terremotos httpsgoogldeuoSc Aplicações de redes de primeira e segunda ordens httpsgooglMioBnC Demonstração da transformada de Laplace da função rampa Observe a Figura 9 a seguir Figura 9 Função rampa no domínio do tempo 17 Transformadas de Laplace Para t 0 ft t e para t 0 ft 0 Assim a transformada de Laplace para a função rampa fica Para a solução devese integrar por partes conforme Stewart 2011 Assim Então substituindo Daí Novamente por partes resolvese a integral acima e obtémse Tirando em evidência Como u s t substituindo na expressão anterior de 0 a Agora substituindo t pelo intervalo de zero a infinito você tem Portanto Na Figura 10 a seguir você observar as transformadas de Laplace Transformadas de Laplace 18 Figura 10 Transformadas de Laplace Fonte Ogata 1999 19 Transformadas de Laplace Agora como exemplo aplique a um circuito paralelo RC um impulso unitário e calcule a tensão vt nos terminais do capacitor e a tensão Vs no domínio da frequência conforme a Figura 11 e os dados a seguir Figura 11 Circuito paralelo Resolução Aplicando a primeira lei de Kirchhoff você obtém Substituindo os valores dados Aplicando a transformada de Laplace à expressão anterior e descontando os 10 V do capacitor você tem Organizando Colocando o VS em evidência Assim Agora para obter vt você deve aplicar as propriedades e tabelas de transformadas de Laplace e voltar ao domínio do tempo Comparando com a expressão da tabela você tem que Transformadas de Laplace 20 GUSSOW M Eletricidade básica 2 ed Porto Alegre Bookman 2009 Coleção Schaum MORETTIN P A BUSSAB W O HAZZAN S Cálculo funções de uma e várias variáveis 3 ed São Paulo Saraiva 2016 NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro LTC 2014 OGATA K Dinâmica de sistemas Rio de Janeiro Prentice Hall 1999 STEWART J Cálculo 6 ed São Paulo Cengage Learning 2011 v 1 21 Transformadas de Laplace Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo Dica do professor Nesta Dica do Professor você vai recordar o conceito de conjuntos funções domínio da função e imagem da função bem como a definição de operadores de função como prérequisitos para o aprendizado do método algébrico de resolução de equações diferenciais por Transformada de Laplace Acompanhe a seguir Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Aplicando a Transformada de Laplace à expressão ft7e 9t calcular FS A FS 7s9 B FS 5s7 C FS 7s9 D FS 9s7 E FS 9s7 2 Aplicando a propriedade da superposição da Transformada de Laplace resolver a expressão yt1 e 7t no domínio da frequência A YS 7ss7 B YS 7s7 C YS 7 ss7 D YS 7s E YS s7 3 Aplicando a tabela das Transformadas de Laplace calcular para o sinal de tensão vt100cos200t no domínio do tempo sua correspondente expressão no domínio da frequência A VS 10s s24000 B VS 100s s2 40000 C VS 100ss2400 D VS 100ss24000 E VS 10s 2400 4 Pela dualidade entre multiplicação e derivada podese provar que Então utilizando esse teorema e a tabela de Transformada de Laplace para o senwt calcular a Transformada de Laplace da expressão tsenwt e apontar a alternativa CORRETA A B C D E 5 Calcule a Transformada de vt Vt Vt5 no domínio da frequência A VS s s e 5s B VS s s e 5s C VS s s e 5s D VS 1s s e 5s E VS 1s 1se 5s Na prática Na Prática você vai ver um quadro comparativo muito útil entre sistemas hidráulicos e elétricos que fazem parte do cotidiano e que às vezes nem são percebidos As equações diferenciais aplicamse a ambos os sistemas bem como à solução no domínio de Laplace Observe Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Circuitos elétricos Transformada de Laplace Neste vídeo você poderá assistir a uma aula do Professor Doutor Yoshioka sobre Transformadas de Laplace e suas propriedades Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar O Japão e a incrível Engenharia AntiSísmica terremoto Conheça algumas tecnologias desenvolvidas e presentes no Japão para minimizar os danos causados por terremotos e tsunamis Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Circuitos elétricos Aplicações de redes de 1ª e 2ª ordem Assista a este vídeo Nele você encontrará uma aplicação para a elétrica bem próxima da vida real que é o sistema de detecção de passagem por pedágios e pórticos de lojas de varejo que aplicam a teoria de circuitos que por sua vez aplicam a teoria de Laplace Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar
Texto de pré-visualização
Transformadas de Laplace Apresentação Seja bemvindo Existem sistemas dinâmicos lineares dos mais variados tipos desde um sistema de amortecimento mecânico ao controle de processos eletrônicos dos mais sofisticados onde se faz necessário o estudo das respostas a certas entradas do tipo Impulso surto ou curtocircuito Degrau chaveamentos e Rampa variação contínua de uma variável de campo representando um erro em um período de tempo pequeno que é melhor retratado pelo estudo no domínio da frequência Tais sistemas são descritos por equações diferenciais complexas com condições iniciais conhecidas porém de difícil resolução Então entra o método algébrico de solução da Transformada de Laplace criado pelo físico e engenheiro eletricista inglês Oliver Heaviside 1850 1925 transformando tais equações diferenciais em sistemas de polinômios algébricos de fácil resolução Para facilitar a solução pelo método algébrico das transformadas e antitransformadas tabularamse as principais funções pertinentes aos problemas reais que devem ser consultadas perante tabelas como se tais tabelas fossem dicionários Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar as propriedades das Transformadas de Laplace que moldam uma ferramenta muito utilizada por engenheiros para resolução de problemas reais utilizando circuitos RC resistor e capacitor denominados de primeira ordem e RLC resistor capacitor e indutor denominados de segunda ordem passivos e ativos Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir as propriedades da Transformada de Laplace Reconhecer a Transformada de Laplace para solução de equações diferenciais com condições iniciais Aplicar a Transformada de Laplace a análise de sistemas LIT Desafio O circuito RLC é utilizado em sistemas de etiquetas de pedágio e pórticos de segurança em lojas de varejo Esse circuito é muito prático pois funciona sem bateria porque a própria energia irradiada pela antena transmissora interage com ele e recebe uma resposta relativa a tal detecção Confira a seguir a representação do circuito Como desafio você deve equacionar o circuito à frequência complexa s Infográfico O método criado por Heaviside consiste em transformar as equações diferenciais em polinômios de grau s e depois resolvêlos Encontrando uma solução no domínio s devese retornar ao domínio original da função Pode parecer mais difícil do que resolver as equações diferenciais porém quanto maior o grau das equações o método de Heaviside tornará a solução menos complicada Veja o exemplo no Infográfico Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Conteúdo do livro A Transformada de Laplace nada mais é que uma integral de convolução ou seja uma multiplicação entre uma função conhecida e uma exponencial com expoentes no domínio da frequência e tempo porém negativos o que proporciona um decaimento do resultado No capítulo Transformadas de Laplace da obra Sistemas lineares você aprenderá a deduzir as principais propriedades bem como identificar equações diferenciais de primeira e segunda ordens aplicandoas aos sistemas lineares invariantes com o tempo Boa leitura SISTEMAS LINEARES Dárcio Silvestre Sabbadin Transformadas de Laplace Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir as propriedades da transformada de Laplace Reconhecer a transformada de Laplace para solução de equações diferenciais com condições iniciais Aplicar a transformada de Laplace à análise de sistemas LIT Introdução Neste capítulo você vai estudar as propriedades das transformadas de Laplace que moldam uma ferramenta muito utilizada por engenheiros para resolução de problemas reais utilizando circuitos RC Resistor e Capacitor denominados de primeira ordem e RLC Resistor Capacitor e Indutor denominados de segunda ordem passivos e ativos Pierre Simon Laplace 17491827 foi um matemático francês que contribuiu muito com a física e a matemática Em sua homenagem foi criado o operador de funções laplaciano que como o próprio nome denota opera funções matemáticas no domínio do tempo para o domínio da frequência Neste capítulo você deve ter em mente os conceitos de função o conjunto do domínio da função e seu correspondente conjunto imagem Além disso precisa operar números complexos para exercer pleno domí nio da teoria de transformadas de Laplace bem como conhecer a teoria do cálculo como prérequisito Transformadas de Laplace e suas propriedades Primeiramente uma relação f entre dois conjuntos A e B quaisquer é uma função somente se obedecer aos seguintes requisitos MORETTIN BUSSAB HAZZAN 2016 todo elemento do conjunto A tem um correspondente em B definido pela relação f a cada elemento de A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio de f Na Figura 1 a seguir você pode compreender melhor esses requisitos Figura 1 Esquemático de conjuntos e funções Em sistemas dinâmicos lineares dos mais variados tipos desde um sistema de amortecimento mecânico ao controle de processos eletrônicos mais sofis ticados fazse necessário o estudo das respostas a certas entradas dos tipos impulso surto ou curtocircuito degrau chaveamentos e rampa variação contínua de uma variável de campo representando um erro num período de tempo pequeno que é melhor retratado pelo estudo no domínio da frequên cia Tais sistemas são descritos por equações diferenciais complexas com condições iniciais conhecidas porém de difícil resolução Aí entra o método algébrico das transformadas de Laplace criadas pelo físico e engenheiro eletricista inglês Oliver Heaviside 18501925 Esse método transforma tais equações diferenciais em sistemas de polinômios algébricos de fácil resolução conforme a Figura 2 Transformadas de Laplace 2 Figura 2 Diagrama de blocos do método de Heaviside Evidentemente após descobrir a solução no domínio da frequência é necessário realizar a transformada inversa de Laplace aqui representada por para voltar ao domínio do tempo Para facilitar a solução pelo método das transformadas e antitransformadas foram tabuladas as principais funções pertinentes aos problemas reais Portanto essas funções devem ser consultadas em tabelas como se tais tabelas fossem dicionários Definição da transformada de Laplace A transformada de Laplace nada mais é que uma integral de convolução ou seja uma multiplicação entre uma função conhecida e uma exponencial com expoentes no domínio da frequência e do tempo porém negativos o que proporciona um decaimento do resultado Veja a seguir a defi nição completa Dada uma função conhecida ft para t 0 sua transformada será calculada pela seguinte expressão OGATA 1999 Onde ft é uma função real ou complexa contínua porém segmentada no intervalo de zero a infinito S é a frequência complexa composta por uma parte real σ que representa o decaimento exponencial da função e uma parte imaginária j w assim representada por S σ j w sendo w a frequência angular em radianos por segundos rads unidade do sistema internacional 3 Transformadas de Laplace Para vêm as seguintes propriedades postuladas por Laplace que se transforma ram em teoremas que puderam ser comprovados por meio da teoria do cálculo 1 conversão de uma diferenciação em uma multiplicação por s 2 conversão de uma integração por uma divisão por s 3 a ft a Fs com a linearidade ou proporcionalidade 4 superposição 5 a ft b gt a Fs b Gs com a e b linearidade e superposição 6 com a translação na frequência 7 com a translação no tempo 8 com a escalonamento Para você entender melhor o significado do operador laplaciano você pode fazer uma analogia com as propriedades dos logaritmos em que o operador log de um produto de números adimensionais tornase uma soma dos logaritmos desses números ou seja Analogamente o operador log operando uma divisão de números tornase uma subtração dos logaritmos conforme exemplo Analogamente o operador log operando uma divisão de números tornase uma É necessário observar as dualidades da derivada e da integral da multiplicação e da divisão assim como as do capacitor e do indutor que também aparecem nas propriedades da transformada de Laplace É de suma importância que você revise os conceitos de operações com números complexos bem como as relações trigono métricas de Euler Transformadas básicas A seguir você vai ver as transformadas de Laplace básicas para a solução de outras diversas propostas Você vai ver também tabelas que servirão de Transformadas de Laplace 4 dicionário de consulta sempre que for necessária a aplicação eximindoo de nova dedução a cada problema Transformada da função unitária ft 1 A função é caracterizada por ter valor 1 em todo o seu domínio Dela podem vir todos os sinais de níveis contínuos tais como baterias elétricas de diversas tensões Aplicando a definição você tem no intervalo de t de 0 a Substituindo em t Assim Portanto Transformada da função exponencial ft eat com a A função exponencial está presente na carga de um capacitor por exemplo ou modelada em vários outros componentes eletrônicos por isso é essencial estudála Novamente aplicando a definição de transformada de Laplace você tem Daí Transformada da função seno ft sent As funções trigonométricas de modo geral estarão presentes em todos os sistemas de regime contínuo tais como energia elétrica gerada transmitida e distribuída Lembrese de que o argumento de uma função senoidal será sempre um ângulo em radianos ou graus então é necessário fazer a análise adimensional do argumento da função seno 5 Transformadas de Laplace Será conveniente agora utilizar a relação de Euler conforme Stewart 2011 Tal expressão é a seguinte Ela vem da relação Portanto Aplicando a definição da transformada de Laplace você tem Agora aplicando a propriedade da superposição de Laplace número 4 você tem Fazendo a aplicação da transformada da exponencial deduzida anterior mente a essa você tem Resolvendo o parênteses Assim finalmente Transformada da função cosseno f t cos t Analogamente à função seno deduzse a transformada da função cosseno Transformadas de Laplace 6 Novamente é necessário aplicar aqui a relação de Euler para o cosseno que é Então Dividindo em duas partes conforme a propriedade 4 da superposição você tem Portanto Demonstração da propriedade 6 teorema da translação Dada a função sua transformada de Laplace valerá Juntando os expoentes você tem Aplicando a definição da transformada de Laplace e fazendo s s a você tem Fisicamente essa transformada significa que a frequência fundamental do sinal ft foi deslocada de a Transformada da função ft a Considerase aqui Agora por conveniência substituise t por 𝜏 a assim 7 Transformadas de Laplace Como o termo é uma constante ele sai para fora da integral então fica Assim concluindo Observase aqui agora uma translação no domínio do tempo dual à de monstração anterior Transformada de Laplace da função derivada Considere a defi nição Para resolver essa integral recorrese à integração por partes conforme expressão a seguir STEWART 2011 Onde Assim Assim Transformada da função integral fτ dτ t Como a derivada de Ft com respeito ao tempo é a própria função ft ou seja resolvendo conforme a defi nição de Laplace Transformadas de Laplace 8 Assim aplicando a transformada da derivada definida anteriormente você tem Organizando você tem Então para a condição inicial genérica nula você tem Concluindo então a transformada de Laplace de uma integral vira uma divisão dual da transformada da diferenciação Agora de posse das propriedades e demonstrações que você acabou de ver é possível gerar a tabela de consulta a seguir Tabela 1 Ela servirá de dicionário de agilização de cálculos que envolvem transformadas para resolução de sistemas lineares sejam eles elétricos ou mecânicos 1 2 3 4 5 6 7 8 Tabela 1 Transformadas básicas Demonstração da transformada de Laplace para solução de equações diferenciais com condições iniciais As equações diferenciais tratadas a seguir serão de primeira e segunda ordens representadas fi sicamente por elementos de circuitos elétricos passivos como o resistor o capacitor e o indutor O fator que determina a ordem do circuito e da equação diferencial é a quantidade de elementos reativos que o circuito possui ou seja o número de capacitores e indutores Conforme Gussow 2009 o elemento resistor R de um circuito é linear e passivo De acordo com a lei de Ohm seu valor é representado no domínio do tempo por Já o capacitor pode ser representado como um derivador da tensão ou um integrador da corrente elétrica V O indutor por sua vez pode ser representado 9 Transformadas de Laplace por um derivador da corrente elétrica ou um integrador da tensão onde C é a capacitância em Farad F e L é a indutância em Henry H Agora unindo tais elementos em circuitos séries ou paralelos e aplicando as leis de Kirchhoff das malhas e nós conforme Gussow 2009 você obtém equações diferenciais de primeira e segunda ordens que serão resolvidas com a aplicação das propriedades das transformadas de Laplace Equação diferencial ordinária de primeira ordem Observe o circuito RC série na Figura 3 a seguir Figura 3 Circuito RC Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff você tem conforme Gussow 2009 Para vg t 0 no instante zero com capacitor descarregado Derivando a corrente it em ambos os lados da equação com respeito ao tempo você tem Transformadas de Laplace 10 Dividindo todos os termos por e reescrevendo você tem Como a transformada de it é Is conforme a própria definição de trans formada de Laplace e a transformada de uma derivada é sIs conforme a propriedade 7 da tabela de transformadas então a equação que você acabou de ver no domínio da frequência será uma equação de primeiro grau com variável s e frequência complexa Observe o circuito RLC série na Figura 4 a seguir Figura 4 Circuito RLC série Aplicando novamente a lei das malhas de Kirchhoff conforme Gussow 2009 você tem Para vg t 0 no instante zero Derivando ambos os lados da equação anterior com respeito ao tempo você tem 11 Transformadas de Laplace Organizando com respeito à ordem Dividindo todos os membros por L você tem Aplicando a propriedade da superposição das transformadas de Laplace você tem Repare agora que você obteve uma equação de segundo grau em s a frequência complexa Equação diferencial ordinária de segunda ordem Agora suponha que a equação do circuito RLC tenha como variável a carga elétrica q Conforme Gussow 2009 a definição de corrente elétrica no domínio do tempo é Reescrevendo a equação da malha do circuito RLC da Figura 4 você tem Podese reescrever a equação anterior com a notação seguinte conforme Stewart 2011 Aplicando agora as propriedades de transformadas à equação anterior você tem Transformadas de Laplace 12 Ou Reescrevendo Portanto a equação diferencial de segunda ordem com respeito ao tempo tornouse uma equação de segundo grau com variável em s a frequência complexa Conforme Ogata 1999 sistemas lineares invariantes no tempo com parâmetros constantes podem ser descritos matematicamente por equações diferenciais A análise dessas equações fornecerá informações necessárias para o controle desses sistemas Um sistema linear pressupõe a superposição de sinais estímulos e funções Os sistemas dinâmicos de modo geral obedecem às mesmas equações diferenciais tanto os siste mas mecânicos de amortecimento de um carro por exemplo um sistema hidráulico rotacional quanto um sistema elétrico A seguir a Figura 5 mostra a comparação entre dois sistemas muito presentes na vida cotidiana e na engenharia o sistema de amortecimento de um veículo e um circuito RLC que pode ser um filtro ou oscilador Figura 5 Comparativo entre sistemas e componentes mecânicos e elétricos Fonte Ogata 1999 13 Transformadas de Laplace Aplicação da transformada de Laplace à análise de sistemas LIT A sigla LIT signifi ca Sistema Linear Invariante com o tempo Esse tipo de sistema está presente em sistemas de processamento de sinais analógicos e digitais por exemplo A invariância com o tempo signifi ca que um desloca mento da sequência de entrada de um sistema provoca um deslocamento de mesma magnitude na saída NALON 2014 O diagrama de blocos da Figura 6 a seguir exemplifica tal definição no domínio da frequência Figura 6 Diagrama de blocos de sistema LIT Na Figura 6 Fs será a função de transferência do sistema Ves será a tensão de entrada do sistema e Vss será a tensão de saída do sistema que respeitará o seguinte modelo matemático Os sistemas LIT podem ser descritos completamente por meio da sua res posta ao impulso A resposta ao impulso de um sistema é a sequência obtida em sua saída quando é alimentado por uma sequência de impulso unitário NALON 2014 Na ordem a massa m de um veículo corresponde a um indutor L a mola k a um capacitor C e o amortecedor b a um resistor R Ambos os sistemas são representados por uma equação diferencial de segunda ordem como você pode ver a seguir Sistema mecânico Sistema elétrico Transformadas de Laplace 14 Dado no domínio do tempo e no domínio da frequência então Demonstração da transformada de Laplace da função impulso unitário delta de Dirac Observe a Figura 7 a seguir Figura 7 Função impulso unitário delta de Dirac Para t a δ t a tende a infinito e sua área correspondente à sua integral vale 1 Assim aplicando Laplace para a 0 você tem Perceba que 0 significa aproximação pela esquerda no limite e 0 aproximação pela direita no limite Portanto 15 Transformadas de Laplace Demonstração da transformada de Laplace da função degrau retangular unitário Observe a Figura 8 a seguir Figura 8 Degrau unitário Na Figura 8 denotase que para t 0 ft 0 para 0 t a ft 1 e finalmente para t a ft 0 novamente Daí podese escrever a função ft como Transformando a função do domínio do tempo para frequência você tem Aplicando agora as propriedades das transformadas básicas tabeladas anteriormente você tem Transformadas de Laplace 16 Então Nos links a seguir você vai encontrar problemas reais de mecânica e eletroeletrônica resolvidos por modelagem de sistemas dinâmicos e transformada de Laplace Tecnologia contra terremotos httpsgoogldeuoSc Aplicações de redes de primeira e segunda ordens httpsgooglMioBnC Demonstração da transformada de Laplace da função rampa Observe a Figura 9 a seguir Figura 9 Função rampa no domínio do tempo 17 Transformadas de Laplace Para t 0 ft t e para t 0 ft 0 Assim a transformada de Laplace para a função rampa fica Para a solução devese integrar por partes conforme Stewart 2011 Assim Então substituindo Daí Novamente por partes resolvese a integral acima e obtémse Tirando em evidência Como u s t substituindo na expressão anterior de 0 a Agora substituindo t pelo intervalo de zero a infinito você tem Portanto Na Figura 10 a seguir você observar as transformadas de Laplace Transformadas de Laplace 18 Figura 10 Transformadas de Laplace Fonte Ogata 1999 19 Transformadas de Laplace Agora como exemplo aplique a um circuito paralelo RC um impulso unitário e calcule a tensão vt nos terminais do capacitor e a tensão Vs no domínio da frequência conforme a Figura 11 e os dados a seguir Figura 11 Circuito paralelo Resolução Aplicando a primeira lei de Kirchhoff você obtém Substituindo os valores dados Aplicando a transformada de Laplace à expressão anterior e descontando os 10 V do capacitor você tem Organizando Colocando o VS em evidência Assim Agora para obter vt você deve aplicar as propriedades e tabelas de transformadas de Laplace e voltar ao domínio do tempo Comparando com a expressão da tabela você tem que Transformadas de Laplace 20 GUSSOW M Eletricidade básica 2 ed Porto Alegre Bookman 2009 Coleção Schaum MORETTIN P A BUSSAB W O HAZZAN S Cálculo funções de uma e várias variáveis 3 ed São Paulo Saraiva 2016 NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro LTC 2014 OGATA K Dinâmica de sistemas Rio de Janeiro Prentice Hall 1999 STEWART J Cálculo 6 ed São Paulo Cengage Learning 2011 v 1 21 Transformadas de Laplace Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo Dica do professor Nesta Dica do Professor você vai recordar o conceito de conjuntos funções domínio da função e imagem da função bem como a definição de operadores de função como prérequisitos para o aprendizado do método algébrico de resolução de equações diferenciais por Transformada de Laplace Acompanhe a seguir Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Aplicando a Transformada de Laplace à expressão ft7e 9t calcular FS A FS 7s9 B FS 5s7 C FS 7s9 D FS 9s7 E FS 9s7 2 Aplicando a propriedade da superposição da Transformada de Laplace resolver a expressão yt1 e 7t no domínio da frequência A YS 7ss7 B YS 7s7 C YS 7 ss7 D YS 7s E YS s7 3 Aplicando a tabela das Transformadas de Laplace calcular para o sinal de tensão vt100cos200t no domínio do tempo sua correspondente expressão no domínio da frequência A VS 10s s24000 B VS 100s s2 40000 C VS 100ss2400 D VS 100ss24000 E VS 10s 2400 4 Pela dualidade entre multiplicação e derivada podese provar que Então utilizando esse teorema e a tabela de Transformada de Laplace para o senwt calcular a Transformada de Laplace da expressão tsenwt e apontar a alternativa CORRETA A B C D E 5 Calcule a Transformada de vt Vt Vt5 no domínio da frequência A VS s s e 5s B VS s s e 5s C VS s s e 5s D VS 1s s e 5s E VS 1s 1se 5s Na prática Na Prática você vai ver um quadro comparativo muito útil entre sistemas hidráulicos e elétricos que fazem parte do cotidiano e que às vezes nem são percebidos As equações diferenciais aplicamse a ambos os sistemas bem como à solução no domínio de Laplace Observe Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Circuitos elétricos Transformada de Laplace Neste vídeo você poderá assistir a uma aula do Professor Doutor Yoshioka sobre Transformadas de Laplace e suas propriedades Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar O Japão e a incrível Engenharia AntiSísmica terremoto Conheça algumas tecnologias desenvolvidas e presentes no Japão para minimizar os danos causados por terremotos e tsunamis Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Circuitos elétricos Aplicações de redes de 1ª e 2ª ordem Assista a este vídeo Nele você encontrará uma aplicação para a elétrica bem próxima da vida real que é o sistema de detecção de passagem por pedágios e pórticos de lojas de varejo que aplicam a teoria de circuitos que por sua vez aplicam a teoria de Laplace Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar