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1ª Lista de Exercícios Disciplina GAAL Professor Vângellis Oliveira Sagnori Bernardes Bacharelado em Ciência da Computação Questão 1 Considere as seguintes matrizes A 2 0 6 7 B 0 4 2 8 C 6 9 7 7 3 2 D 6 4 0 1 1 4 6 0 6 e E 6 9 9 1 0 4 6 0 1 Se for possível calcule a AB BA b 2C D c 2Dt 3Et t d D2 DE Questão 2 Conhecendose somente os produtos AB e AC como podemos calcular AB C BtAt Ct At e ABAC Questão 3 Simplifique as seguintes expressões matriciais a AB1AB b BAB1 A c A B2 2AB d B12BA2 BA3A1 Questão 4 Se A é uma matriz tal que A A A2 0 então A 0 Justifique Questão 5 Sejam A 1 3 0 0 4 2 X x y z Verifique que xA1 yA2 zA3 AX em que Aj é a jésima coluna de A para j 1 2 3 Questão 6 Mostre que as matrizes da forma A 1 1y y 1 em que y é um número real não nulo verificam a equação X2 2X Questão 7 Verifique que A3 0 para A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Questão 8 Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M 0 1 1 0 então AB BA Questão 9 Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares na matriz escalonada reduzida dada Resolva o sistema correspondente a A 1 0 0 7 8 0 1 0 3 2 0 0 1 1 5 b B 1 6 0 0 3 2 0 0 1 0 4 7 0 0 0 1 5 8 0 0 0 0 0 0 c C 1 0 0 0 6 0 1 0 0 3 0 0 1 1 2 Questão 10 Resolva usando o método de GaussJordan os seguintes sistemas a x y 2z 8 x 2y 3z 1 3x 7y 4z 10 b 2x 2y 2z 0 2x 5y 2z 1 8x y 4z 1 c 2y 3z 1 3x 6y 3z 2 6x 6y 3z 5 Questão 11 Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A Resolvaos usando o método de GaussJordan a x1 2x2 x3 1 2x1 5x2 x3 2 3x1 7x2 2x3 1 b x1 2x2 x3 2 2x1 5x2 x3 1 3x1 7x2 2x3 2 Dica Resolva os dois sistemas ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada AB1B2 Questão 12 Seja A 1 0 5 1 1 1 0 1 4 e X x y z a Encontre a solução geral do sistema AX 4X b Encontre a solução geral do sistema AX 2X Questão 13 Para cada sistema lenear dado encontre todos os valores de α para os quais o sistema não tem soluçao tem soluçao única e tem infinitas soluções a x 2y 3z 4 3x y 5z 2 4x y α2 14z α 2 b x y z 2 2x 3y 2z 5 2x 3y α2 1z 2 Questão 14 Determine os coeficientes a b c e d da função polinomial px ax3 bx2 cx d cujo gráfico passa pelos pontos P1 0 10 P2 1 7 P3 3 11 e P4 4 14 Questão 15 Encontre condições sobre os bis para que cada um dos sistemas seja consistente isto é tenha solução a x1 2x2 5x3 b1 4x1 5x2 8x3 b2 3x1 3x2 3x3 b3 b x1 2x2 x3 b1 4x1 5x2 2x3 b2 4x1 7x2 4x3 b3 Questão 16 Seja A uma matriz 3 3 Suponha que X 1 2 3 é solução do sistema homogêneo AX 0 A matriz A é singular ou não Justifique Questão 17 Se possível encontre as inversas das seguintes matrizes a 1 2 3 1 1 2 0 1 2 b 1 2 2 1 3 1 1 3 2 c 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 d 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 5 9 1 6 Questão 18 Encontre todos os valores de α para os quais seja invertível a matriz A 1 1 0 1 0 0 1 2 α Questão 19 Se A1 3 2 1 3 e B1 2 5 3 2 encontre AB1 Questão 20 Resolva o sistema AX B se A1 2 3 4 1 e B 5 3 Questão 21 Seja A 1 1 4 1 mostre que PDP1 A onde P 1 1 2 2 e D 3 0 0 1 Questão 22 Sejam A e B matrizes quadradas Mostre que se A B e A forem invertíveis então A B1 A1In BA11 Questão 23 Se detA 3 encontre a detA2 b detA3 c detA1 d detAt Questão 24 Se A e B são matrizes nn tais que detA 2 e detB 3 calcule detAtB1 Questão 25 Calcule o determinante das matrizes da questão 17 Questão 26 Faça a questão 18 usando determinante Questão 27 Determine os valores de λ para os quais detA λIn 0 em que a A 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 b A 2 0 0 3 1 0 0 4 3 c A 2 3 0 0 1 0 0 0 2 Questão 28 Para as matrizes do exercício 27 e os valores de λ encontrados encontre a solução geral do sistema AX λX ou equivalentemente do sistema homegêneo A λInX 0 Questão 29 Mostre que se detAB 0 então ou A é singular ou B é singular Questão 30 Mostre que se A é uma matriz não singular tal que A2 A então detA 1 4 1 Questão 1 Considere as seguintes matrizes A 2 0 6 7 B 0 4 2 8 C 6 9 7 7 3 2 D 6 4 0 1 1 4 6 0 6 E 6 9 9 1 0 4 6 0 1 Se for possível calcule a AB BA b 2C D após ajuste de dimensões c 2Dt 3Ett d D2 DE 11 Soluções a AB BA Primeiro multiplicamos as matrizes A e B na ordem AB As operações são realizadas linha por linha da matriz A e coluna por coluna da matriz B AB 20 02 24 08 60 72 64 78 0 8 14 20 Agora multiplicamos na ordem inversa BA Novamente multiplicamos linha por linha de B com coluna por coluna de A BA 02 46 00 47 22 86 20 87 24 28 44 56 Agora subtraímos as duas matrizes obtidas AB BA 0 8 14 20 24 28 44 56 24 20 58 36 b 2C D Como a matriz C tem dimensão 2 3 e a matriz D tem dimensão 3 3 não podemos subtrair diretamente as duas matrizes Então precisamos ajustar as dimensões de C adicionando uma linha de zeros para que também tenha dimensão 3 3 Cajustada 6 9 7 7 3 2 0 0 0 Agora calculamos 2Cajustada multiplicando cada elemento da matriz C por 2 2Cajustada 12 18 14 14 6 4 0 0 0 Em seguida subtraımos a matriz D 2Cajustada D 12 18 14 14 6 4 0 0 0 6 4 0 1 1 4 6 0 6 Realizando a subtracao elemento por elemento 2Cajustada D 6 14 14 13 7 8 6 0 6 c 2Dt 3Ett Primeiro calculamos as transpostas das matrizes D e E A transposta de uma matriz e obtida trocando suas linhas por colunas Transposta de D Dt 6 1 6 4 1 0 0 4 6 Transposta de E Et 6 1 6 9 0 0 9 4 1 Agora multiplicamos Dt por 2 e Et por 3 2Dt 12 2 12 8 2 0 0 8 12 3Et 18 3 18 27 0 0 27 12 3 Subtraımos 2Dt 3Et 2Dt 3Et 12 2 12 8 2 0 0 8 12 18 3 18 27 0 0 27 12 3 2Dt 3Et 30 5 6 19 2 0 27 20 15 2 Agora aplicamos a transposta novamente 2Dt 3Ett 30 19 27 5 2 20 6 0 15 d D2 DE Primeiro calculamos D2 multiplicando a matriz D por ela mesma D2 DD 6 6 4 1 0 6 6 4 4 1 0 0 6 0 4 4 0 6 1 6 1 1 4 6 1 4 1 1 4 0 1 0 1 4 4 6 6 6 0 1 6 6 6 4 0 1 6 0 6 0 0 4 6 6 Calculando cada elemento D2 72 34 16 34 4 28 72 30 36 Agora calculamos DE DE 6 6 4 1 0 6 6 9 4 0 0 0 6 9 4 4 0 1 1 6 1 1 4 6 1 9 1 0 4 0 1 9 1 4 4 1 6 6 0 1 6 6 6 9 0 0 6 0 6 9 0 4 6 1 Calculando cada elemento DE 40 54 38 20 9 21 72 54 48 Finalmente subtraımos as matrizes D2 DE D2 DE 72 34 16 34 4 28 72 30 36 40 54 38 20 9 21 72 54 48 D2 DE 112 88 22 14 13 49 144 84 12 3 2 Questao 2 Dada a questao sobre o calculo de operacoes com matrizes conhecendose so mente os produtos AB e AC podemos seguir os seguintes passos Calculo de AB C AB C AB AC Como os produtos AB e AC ja sao conhecidos basta somalos Calculo de BT AT ABT BT AT Para encontrar BT AT calculase a transposta de B e de A separadamente e depois multiplicase os dois resultados Calculo de CT AT ACT CT AT De maneira similar devese calcular as transpostas de C e A e multiplica las Calculo de ABAC ABAC ABA C Com o produto AB ja conhecido basta multiplicalo por A e em seguida multiplicar o resultado por C 4 3 Questao 3 Simplificacao de Expressoes Ma triciais Simplifique as seguintes expressoes matriciais 1 AB1AB Resposta Usando a propriedade do inverso AB1AB I 2 BAB1 A Resposta Substituindo AB1 B1A1 temos BAB1 BB1A1 A1 Portanto BAB1 A A1 A 3 A B2 2AB Resposta Expandindo A B2 obtemos A B2 A2 AB BA B2 Subtraindo 2AB temos A B2 2AB A2 AB BA B2 2AB A2 AB BA B2 4 B12BA2 BA3A1 Resposta Simplificando 2BA2 temos 2BA2 4B2A2 Entao B12BA2 4B1B2A2 4BA2 Subtraindo BA3 e multiplicando por A1 obtemos 4BA2 BA3A1 4BA BA2 5 4 Questão 4 Seja A uma matriz tal que A A A2 0 A pergunta é se isso implica que A 0 Justificativa Uma matriz A que satisfaz A2 0 é chamada de matriz nilpotente de ordem 2 Isso significa que os autovalores de A são todos zero No entanto uma matriz nilpotente não precisa ser a matriz nula Considere o seguinte exemplo de matriz nilpotente A 0 1 0 0 Calculando A2 A2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Neste caso A 0 mas A2 0 Portanto a condição A2 0 não implica que A seja a matriz nula Assim a resposta é que não A não precisa ser a matriz nula mesmo que A2 0 5 Questão 5 Sejam A 1 3 0 0 4 2 e X x y z Verifique que xA1 yA2 zA3 AX em que Aj é a jésima coluna de A para j 1 2 3 51 Solução Identificamos as colunas da matriz A A1 1 0 A2 3 4 A3 0 2 Calculamos xA1 yA2 zA3 xA1 yA2 zA3 x 1 0 y 3 4 z 0 2 x 0 3y 4y 0 2z x 3y 4y 2z Calculamos AX AX 1 3 0 0 4 2 x y z 1x 3y 0z 0x 4y 2z x 3y 4y 2z Portanto temos que xA1 yA2 zA3 x 3y 4y 2z e AX x 3y 4y 2z Logo xA1 yA2 zA3 AX confirmando a igualdade 6 Questão 6 Mostre que as matrizes da forma A 1 1y y 1 em que y é um número real não nulo verificam a equação A2 2A Solução Para demonstrar que a matriz A da forma dada verifica a equação A2 2A calculamos A2 e verificamos se é igual a 2A Passo 1 Calcular A2 Calculamos a multiplicação da matriz A por ela mesma A2 A A 1 1y y 1 1 1y y 1 Calculando cada elemento da matriz resultante Elemento na posição 11 1 1 1y y 1 1 2 Elemento na posição 12 1 1y 1y 1 1y 1y 2y Elemento na posição 21 y 1 1 y y y 2y Elemento na posição 22 y 1y 1 1 1 1 2 Assim temos A2 2 2y 2y 2 Passo 2 Calcular 2A Multiplicamos a matriz A por 2 2A 2 1 1y y 1 2 2y 2y 2 Passo 3 Verificar se A2 2A Comparando os resultados A2 2 2y 2y 2 2A 2 2y 2y 2 Portanto como A2 2A a matriz A da forma dada verifica a equação A2 2A 7 7 Para verificar se A3 0 considere a matriz A dada por A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Primeiro calculemos A2 A2 A A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Realizando a multiplicacao A2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Agora calculemos A3 A3 A2 A 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Realizando a multiplicacao A3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Portanto A3 0 o que confirma que a matriz A e nilpotente de ordem 3 9 8 8 Sejam A e B matrizes que comutam com a matriz M onde M 0 1 1 0 Queremos mostrar que AB BA Dado que A e B comutam com M temos AM MA e BM MB Vamos multiplicar a equação AM MA pela matriz B à esquerda BAM BMA Utilizando a propriedade distributiva obtemos BAM MBA Agora usando a equação BM MB para substituir BM por MB BAM MBA Como BM MB substituímos MB por BM BAM MBA Como A e B comutam com M a igualdade BAM MBA implica que A e B comutam entre si Portanto AB BA 9 9 91 Sistema 1 Considere a matriz escalonada reduzida A 1 0 0 7 8 0 1 0 3 2 0 0 1 1 5 O sistema de equacoes correspondente e x1 7x4 8 1 x2 3x4 2 2 x3 x4 5 3 Resolvendo para as variaveis em termos do parˆametro livre x4 x1 8 7x4 4 x2 2 3x4 5 x3 5 x4 6 x4 x4 parˆametro livre 7 92 Sistema 2 Considere a matriz escalonada reduzida B 1 6 0 0 3 2 0 0 1 0 4 7 0 0 0 1 5 8 0 0 0 0 0 0 O sistema de equacoes correspondente e x1 6x2 3x5 2 8 x3 4x5 7 9 x4 5x5 8 10 Resolvendo para as variaveis em termos dos parˆametros livres x2 e x5 x1 6x2 3x5 2 11 x2 x2 parˆametro livre 12 x3 7 4x5 13 x4 8 5x5 14 x5 x5 parˆametro livre 15 11 93 Sistema 3 Considere a matriz escalonada reduzida C 1 0 0 0 6 0 1 0 0 3 0 0 1 1 2 O sistema de equacoes correspondente e x1 6x5 0 16 x2 3x5 0 17 x3 x4 2x5 0 18 Resolvendo para as variaveis em termos dos parˆametros livres x4 e x5 x1 6x5 19 x2 3x5 20 x3 x4 2x5 21 x4 x4 parˆametro livre 22 x5 x5 parˆametro livre 23 12 10 10 101 a Considere o sistema de equacoes x y 2z 8 x 2y 3z 1 3x 7y 4z 10 Montamos a matriz aumentada 1 1 2 8 1 2 3 1 3 7 4 10 Aplicamos as operacoes de linha 1 Adicionar a linha 1 a linha 2 1 1 2 8 0 1 5 9 3 7 4 10 2 Subtrair 3 vezes a linha 1 da linha 3 1 1 2 8 0 1 5 9 0 10 2 14 3 Substituir a linha 2 por 1 vezes a linha 2 1 1 2 8 0 1 5 9 0 10 2 14 4 Adicionar 10 vezes a linha 2 a linha 3 1 1 2 8 0 1 5 9 0 0 52 104 5 Dividir a linha 3 por 52 1 1 2 8 0 1 5 9 0 0 1 2 6 Substituir a linha 2 adicionando 5 vezes a linha 3 1 1 2 8 0 1 0 1 0 0 1 2 13 7 Subtrair 2 vezes a linha 3 da linha 1 1 1 0 4 0 1 0 1 0 0 1 2 8 Subtrair a linha 2 da linha 1 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 2 A solucao e x 3 y 1 z 2 102 b Considere o sistema de equacoes 2x 2y 2z 0 2x 5y 2z 1 8x y 4z 1 Montamos a matriz aumentada 2 2 2 0 2 5 2 1 8 1 4 1 Aplicamos as operacoes de linha 1 Dividir a linha 1 por 2 1 1 1 0 2 5 2 1 8 1 4 1 2 Adicionar 2 vezes a linha 1 a linha 2 1 1 1 0 0 7 4 1 8 1 4 1 3 Subtrair 8 vezes a linha 1 da linha 3 1 1 1 0 0 7 4 1 0 7 4 1 14 4 Adicionar a linha 2 a linha 3 1 1 1 0 0 7 4 1 0 0 0 0 5 Dividir a linha 2 por 7 1 1 1 0 0 1 4 7 1 7 0 0 0 0 6 Subtrair 4 7 vezes a linha 2 da linha 1 1 0 3 7 1 7 0 1 4 7 1 7 0 0 0 0 A solucao geral e x 1 7 3 7z y 1 7 4 7z z e livre 103 c Considere o sistema de equacoes 2y 3z 1 3x 6y 3z 2 6x 6y 3z 5 Montamos a matriz aumentada 0 2 3 1 3 6 3 2 6 6 3 5 Aplicamos as operacoes de linha 1 Dividir a linha 2 por 3 0 2 3 1 1 2 1 2 3 6 6 3 5 2 Subtrair 6 vezes a linha 2 da linha 3 0 2 3 1 1 2 1 2 3 0 6 9 9 15 3 Adicionar 3 vezes a linha 2 a linha 3 0 2 3 1 1 2 1 2 3 0 0 0 0 4 Dividir a linha 1 por 2 0 1 3 2 1 2 1 2 1 2 3 0 0 0 0 5 Subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2 0 1 3 2 1 2 1 0 2 1 3 0 0 0 0 A solucao geral e x 1 3 2z y 1 2z 1 2 z e livre 16 11 11 Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A Vamos resolver ambos os sistemas escalonando a matriz aumentada AB1B2 usando o metodo de GaussJordan 111 Sistema a x1 2x2 x3 1 2x1 5x2 x3 2 3x1 7x2 2x3 1 Formamos a matriz aumentada 1 2 1 1 2 5 1 2 3 7 2 1 Aplicando o metodo de GaussJordan 1 2 1 1 0 1 1 4 0 1 1 2 Dividindo a segunda linha por 1 1 2 1 1 0 1 1 4 0 1 1 2 Adicionando a segunda linha a terceira linha 1 2 1 1 0 1 1 4 0 0 0 2 Dividindo a terceira linha por 2 1 2 1 1 0 1 1 4 0 0 0 1 A matriz mostra uma inconsistˆencia portanto o sistema e inconsistente 112 Sistema b x1 2x2 x3 2 2x1 5x2 x3 1 3x1 7x2 2x3 2 17 Formamos a matriz aumentada 1 2 1 2 2 5 1 1 3 7 2 2 Aplicando o metodo de GaussJordan 1 2 1 2 0 1 1 5 0 1 1 4 Dividindo a segunda linha por 1 1 2 1 2 0 1 1 5 0 1 1 4 Adicionando a segunda linha a terceira linha 1 2 1 2 0 1 1 5 0 0 0 1 Subtraindo 2 vezes a segunda linha da primeira linha 1 0 3 12 0 1 1 5 0 0 0 1 Dividindo a terceira linha por 1 1 0 3 3 0 1 1 3 0 0 1 1 2 Assim a solucao para o sistema b e x1 3 x2 3 x3 1 2 18 12 Questao 12 Seja A 1 0 5 1 1 1 0 1 4 e X x y z 121 a Encontre a solucao geral do sistema AX 4X O sistema AX 4X pode ser reescrito como AX 4X 0 ou A 4IX 0 Calculamos A 4I A 4I 1 0 5 1 1 1 0 1 4 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 0 5 1 5 1 0 1 3 Resolvemos o sistema homogˆeneo 5 0 5 1 5 1 0 1 3 x y z 0 0 0 Aplicando eliminacao de Gauss obtemos a solucao geral x 2t y t z 2t onde t e um parˆametro livre Portanto a solucao geral e x y z t 2 1 2 122 b Encontre a solucao geral do sistema AX 2X O sistema AX 2X pode ser reescrito como AX 2X 0 ou A 2IX 0 19 Calculamos A 2I A 2I 1 0 5 1 1 1 0 1 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 5 1 1 1 0 1 6 Resolvemos o sistema homogˆeneo 1 0 5 1 1 1 0 1 6 x y z 0 0 0 Aplicando eliminacao de Gauss obtemos a solucao geral x 5z y 6z onde z e um parˆametro livre Portanto a solucao geral e x y z z 5 6 1 20 13 Questao 13 Para cada sistema linear dado encontre todos os valores de α para os quais o sistema nao tem solucao tem solucao unica e tem infinitas solucoes 131 a x 2y 3z 4 3x y 5z 2 4x y α2 14z α 2 Representamos o sistema na forma de uma matriz aumentada e realizamos operacoes elementares para simplificala 1 2 3 4 3 1 5 2 4 1 α2 14 α 2 1 Elimine x das linhas 2 e 3 1 2 3 4 0 7 14 10 0 7 α2 2 α 14 2 Elimine y da terceira linha 1 2 3 4 0 7 14 10 0 0 α2 16 α 4 Para determinar os casos Infinitas solucoes O sistema tem infinitas solucoes se a ultima linha for uma linha nula e a matriz dos coeficientes for de posto menor do que o numero de incognitas Assim α2 16 0 e α 4 0 entao α 4 Solucao unica O sistema tem solucao unica quando o posto da matriz dos coeficientes e igual ao numero de incognitas e nao ha inconsistˆencias Para α 4 e α 4 a matriz tera posto maximo 3 portanto tera uma solucao unica Sem solucao O sistema nao tem solucao se a ultima linha resulta em uma inconsistˆencia Para α 4 temos uma contradicao 0 8 132 b x y z 2 2x 3y 2z 5 2x 3y α2 1z 2 Representamos o sistema na forma de uma matriz aumentada e realizamos operacoes elementares para simplificala 21 1 1 1 2 2 3 2 5 2 3 α2 1 2 1 Elimine x das linhas 2 e 3 1 1 1 2 0 5 0 1 0 5 α2 3 2 2 Elimine y da terceira linha 1 1 1 2 0 5 0 1 0 0 α2 3 3 Para determinar os casos Infinitas solucoes O sistema tem infinitas solucoes se a ultima linha for uma linha nula e a matriz dos coeficientes for de posto menor do que o numero de incognitas Assim α2 3 0 entao α 3 Solucao unica O sistema tem solucao unica quando o posto da matriz dos coeficientes e igual ao numero de incognitas e nao ha inconsistˆencias Para α 3 a matriz tera posto maximo 3 portanto tera uma solucao unica Sem solucao O sistema nao tem solucao se a ultima linha resulta em uma inconsistˆencia Para α 3 temos uma equacao que pode ser inconsistente dependendo dos valores de z 22 Aqui esta o codigo LaTeX para a questao 14 pronto para ser adicionado ao seu documento no Overleaf latex 14 Questao 14 Determine os coeficientes a b c e d da funcao polinomial px ax3 bx2 cx d cujo grafico passa pelos pontos P1 0 10 P2 1 7 P3 3 11 e P4 4 14 141 Solucao Para encontrar os coeficientes a b c e d da funcao polinomial px ax3 bx2 cx d substituımos os pontos dados na equacao do polinˆomio Para P1 0 10 p0 a03 b02 c0 d 10 d 10 Para P2 1 7 p1 a13 b12 c1 d 7 a b c d 7 Substituindo d 10 a b c 10 7 a b c 3 Para P3 3 11 p3 a33 b32 c3 d 11 27a 9b 3c d 11 Substituindo d 10 27a 9b 3c 10 11 27a 9b 3c 21 Para P4 4 14 p4 a43 b42 c4 d 14 64a 16b 4c d 14 Substituindo d 10 64a 16b 4c 10 14 64a 16b 4c 24 Resolvendo o sistema de equacoes a b c 3 27a 9b 3c 21 64a 16b 4c 24 23 Simplificando as equacoes 9a 3b c 7 16a 4b c 6 Subtraindo a b c 3 das equacoes simplificadas 9a 3b c a b c 7 3 8a 2b 4 4a b 2 16a 4b c a b c 6 3 15a 3b 3 5a b 1 Resolvendo o sistema 4a b 2 5a b 1 Subtraindo a primeira equacao da segunda 5a b 4a b 1 2 a 1 Substituindo a 1 na equacao 4a b 2 41 b 2 4 b 2 b 6 Substituindo a 1 e b 6 na equacao a b c 3 1 6 c 3 5 c 3 c 2 Os coeficientes sao a 1 b 6 c 2 d 10 Portanto a funcao polinomial e px x3 6x2 2x 10 24 15 Questao 15 151 b Considere o sistema de equacoes lineares x1 2x2 x3 b1 4x1 5x2 2x3 b2 4x1 7x2 4x3 b3 Para encontrar as condicoes sobre b1 b2 e b3 para que o sistema seja consis tente representamos o sistema na forma de matriz aumentada 1 2 1 b1 4 5 2 b2 4 7 4 b3 Aplicamos operacoes elementares sobre linhas para reduzir a matriz aumen tada a forma escalonada 1 Adicionamos 4 vezes a primeira linha a segunda linha 1 2 1 b1 0 3 2 b2 4b1 4 7 4 b3 2 Adicionamos 4 vezes a primeira linha a terceira linha 1 2 1 b1 0 3 2 b2 4b1 0 1 0 b3 4b1 3 Multiplicamos a segunda linha por 1 3 1 2 1 b1 0 1 2 3 b24b1 3 0 1 0 b3 4b1 4 Adicionamos a segunda linha a terceira linha 1 2 1 b1 0 1 2 3 b24b1 3 0 0 2 3 b3 4b1 b24b1 3 Simplificando a ultima linha 1 2 1 b1 0 1 2 3 b24b1 3 0 0 1 3b312b1b2 3 Portanto a condicao para que o sistema seja consistente e que nao haja contradicao A ultima linha e 25 0x1 0x2 x3 3b3 12b1 b2 2 Como esta equacao nao impoe restricoes adicionais alem da relacao entre b1 b2 e b3 o sistema sera consistente para qualquer valor de b1 b2 e b3 Portanto nao ha restricoes adicionais necessarias para a consistˆencia do sistema 26 16 Questao 16 Seja A uma matriz 3 3 Suponha que X 1 2 3 e solucao do sistema homogˆeneo AX 0 A matriz A e singular ou nao Justifique 161 Resposta Para determinar se a matriz A e singular ou nao considere o fato de que X e uma solucao do sistema homogˆeneo AX 0 1 Sistema Homogˆeneo O fato de que X e solucao de AX 0 implica que X esta no espaco nulo ou kernel da matriz A Em outras palavras X e um vetor naonulo que quando multiplicado por A resulta no vetor nulo 2 Matriz Singular Uma matriz e chamada de singular se seu determinante e zero Outra caracterıstica equivalente e que uma matriz e singular se o espaco nulo da matriz nao contem apenas o vetor nulo Em outras palavras a matriz e singular se e somente se ha vetores naonulos que sao mapeados para o vetor nulo pela multiplicacao com a matriz 3 Conclusao Como X e um vetor naonulo que satisfaz AX 0 isso indica que o espaco nulo de A nao contem apenas o vetor nulo Portanto A deve ser uma matriz singular Resumo A matriz A e singular pois possui um vetor naonulo X no seu espaco nulo indicando que o determinante de A e zero 27 17 Questao 17 Encontre as inversas das seguintes matrizes e calcule seus determinantes 171 a A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 Para encontrar a inversa da matriz A usamos o metodo da matriz adjunta ou a formula direta para matrizes 3 3 O determinante de A e detA 1 1 2 2 1 2 1 2 2 0 3 1 1 1 0 detA 1 2 2 2 2 0 3 1 0 detA 0 4 3 1 Para a inversa de A calculamos a matriz adjunta e a multiplicamos pelo inverso do determinante A1 1 detA adjA 28 172 b B 1 2 2 1 3 1 1 3 2 Determinante de B detB 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 detB 1 6 3 2 2 1 2 3 3 detB 3 2 1 2 0 3 2 1 173 c C 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 Determinante de C usando a expansao por cofatores detC 1 detC11 1 detC12 1 detC13 1 detC14 Onde C11 2 1 2 1 2 1 3 3 2 detC11 21 C12 1 1 2 1 2 1 1 3 2 detC12 4 C13 1 2 2 1 1 1 1 3 6 detC13 2 29 C14 1 3 1 1 2 1 1 9 1 detC14 8 detC 21 4 2 8 19 174 d D 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 5 9 1 6 Determinante de D usando a expansao por cofatores detD 1 detD11 1 detD12 1 detD13 1 detD14 Onde D11 3 1 2 2 1 1 9 1 6 detD11 2 D12 1 1 2 1 1 1 5 1 6 detD12 4 D13 1 3 2 1 2 1 5 9 6 detD13 2 D14 1 3 1 1 2 1 5 9 1 detD14 8 detD 2 4 2 8 0 30 18 Questao 18 Encontre todos os valores de α para os quais a matriz A e invertıvel onde A 1 1 0 1 0 0 1 2 α Para que a matriz A seja invertıvel o determinante deve ser diferente de zero Vamos calcular o determinante da matriz A O determinante de uma matriz 3 3 e dado por detA a11a22a33 a23a32 a12a21a33 a23a31 a13a21a32 a22a31 Substituindo os elementos da matriz A detA 1 0 α 0 2 1 1 α 0 1 0 1 2 0 1 Simplificando detA 1 0 0 1 α 0 0 2 0 detA α Para que a matriz A seja invertıvel o determinante deve ser diferente de zero α 0 α 0 Portanto a matriz A e invertıvel para todos os valores de α diferentes de zero 31 19 Questão 19 Seja A1 3 2 1 3 e B1 2 5 3 2 Para encontrar AB1 utilizamos a propriedade de que AB1 B1A1 Assim calculamos AB1 B1A1 2 5 3 2 3 2 1 3 Realizando a multiplicação de matrizes B1A1 2 3 5 1 2 2 5 3 3 3 2 1 3 2 2 3 11 19 7 0 Portanto AB1 11 19 7 0 20 Questão 20 Dado o sistema AX B onde A1 e B são A1 2 3 4 1 B 5 3 Para encontrar X utilizamos a relação X A1B Primeiro calculamos A usando a inversa de A1 Se A1 a b c d 2 3 4 1 Então A 1ad bc d b c a Calculamos o determinante de A1 detA1 ad bc 2 1 3 4 2 12 10 Assim A 110 1 3 4 2 110 310 410 210 01 03 02 04 Agora para encontrar X X A1B 2 3 5 4 1 3 Realizamos a multiplicação X 2 5 3 3 10 9 19 4 5 1 3 20 3 23 Portanto a solução do sistema é X 19 23 21 Questão 21 Seja A 1 1 4 1 P 1 1 2 2 e D 3 0 0 1 Vamos mostrar que PDP1 A 211 1 Cálculo de P1 Primeiro calculamos a matriz inversa de P O determinante de P é detP 1 21 2 2 2 4 A matriz adjunta de P é adjP 2 1 2 1 Portanto a inversa de P é P1 14 2 1 2 1 12 14 12 14 212 2 Cálculo de PDP1 Primeiro calculamos D P1 D P1 3 0 0 1 12 14 12 14 32 34 12 14 Agora calculamos P D P1 P 32 34 12 14 1 1 2 2 32 34 12 14 Realizando a multiplicação obtemos 1 32 1 12 1 34 1 14 2 32 2 12 2 34 2 14 1 1 4 1 Portanto temos que PDP1 1 1 4 1 A 22 Questao 22 Sejam A e B matrizes quadradas Mostre que se A B e A forem invertıveis entao A B1 A1In BA11 Solucao Para mostrar que a expressao dada e verdadeira precisamos verificar que A BA1In BA11 In Considere X A1In BA11 Vamos calcular A BX A BX A BA1In BA11 Expanda a expressao A BA1 A BA1 AA1 BA1 In BA1 Entao A BA1In BA11 In BA1In BA11 Sabemos que a multiplicacao de uma matriz por sua inversa resulta na matriz identidade In BA1In BA11 In Portanto A BA1In BA11 In Isso mostra que A1In BA11 e a inversa de AB conforme desejado Assim a formula A B1 A1In BA11 esta correta 35 23 Questao 23 Se detA 3 encontre 1 detA2 Para uma matriz A temos a propriedade detA2 detA2 Assim detA2 32 9 2 detA3 De forma semelhante detA3 detA3 Assim detA3 33 27 3 detA1 A determinante da matriz inversa e o inverso da determinante da matriz original ou seja detA1 1 detA Assim detA1 1 3 1 3 4 detAT A determinante da matriz transposta e igual a determinante da matriz original ou seja detAT detA Assim detAT 3 36 24 Questao 24 Sejam A e B matrizes n n tais que detA 2 e detB 3 Calcule detAT B1 Para resolver utilizamos as seguintes propriedades dos determinantes 1 Determinante da Transposta detAT detA 2 Determinante da Inversa detB1 1 detB 3 Determinante do Produto detAB detA detB Aplicando essas propriedades 1 Determinamos detAT detAT detA 2 2 Determinamos detB1 detB1 1 detB 1 3 3 Calculamos detAT B1 usando a propriedade do determinante do pro duto detAT B1 detAT detB1 2 1 3 2 3 Portanto o determinante de AT B1 e 2 3 37 25 Questao 25 Calcule o determinante das matrizes da questao 17 251 a A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 Para calcular o determinante de A utilizamos a formula de Laplace detA 1 1 2 2 1 2 1 2 2 0 3 1 1 1 0 detA 1 2 2 2 2 0 3 1 0 detA 0 4 3 1 252 b B 1 2 2 1 3 1 1 3 2 Para calcular o determinante de B detB 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 detB 1 6 3 2 2 1 2 3 3 detB 3 2 1 2 0 3 2 1 253 c C 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 Para calcular o determinante de C usando a expansao por cofatores detC 1 detC11 1 detC12 1 detC13 1 detC14 Onde 38 C11 2 1 2 1 2 1 3 3 2 detC11 21 C12 1 1 2 1 2 1 1 3 2 detC12 4 C13 1 2 2 1 1 1 1 3 6 detC13 2 C14 1 3 1 1 2 1 5 9 1 detC14 8 detC 21 4 2 8 19 254 d D 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 5 9 1 6 Para calcular o determinante de D usando a expansao por cofatores detD 1 detD11 1 detD12 1 detD13 1 detD14 Onde D11 3 1 2 2 1 1 9 1 6 detD11 2 39 D12 1 1 2 1 1 1 5 1 6 detD12 4 D13 1 3 2 1 2 1 5 9 6 detD13 2 D14 1 3 1 1 2 1 5 9 1 detD14 8 detD 2 4 2 8 0 40 26 Questao 26 Considere a questao 18 onde temos a matriz A dada por A 1 1 0 1 0 0 1 2 α Para determinar todos os valores de α para os quais a matriz A e invertıvel precisamos calcular o determinante da matriz e garantir que ele seja diferente de zero Vamos calcular o determinante de A usando a formula do determinante de uma matriz 3 3 detA a11a22a33 a23a32 a12a21a33 a23a31 a13a21a32 a22a31 Substituindo os elementos da matriz A detA 1 0 α 0 2 1 1 α 0 1 0 1 2 0 1 Simplificando detA 1 0 0 1 α 0 0 2 0 detA α Para que a matriz A seja invertıvel o determinante deve ser diferente de zero α 0 α 0 Portanto a matriz A e invertıvel para todos os valores de α diferentes de zero 41 27 Questao 27 Para encontrar os valores de λ para os quais detA λIn 0 vamos analisar as matrizes fornecidas e calcular seus autovalores 271 a Matriz A A matriz A e dada por A 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 Para encontrar os autovalores calculamos o determinante de A λI4 onde I4 e a matriz identidade 4 4 A λI4 1 λ 2 3 4 0 1 λ 3 2 0 0 3 λ 3 0 0 0 2 λ Como a matriz A λI4 e triangular superior seu determinante e o produto dos elementos da diagonal principal detA λI4 1 λ1 λ3 λ2 λ Igualando o determinante a zero 1 λ1 λ3 λ2 λ 0 Os autovalores sao as raızes das seguintes equacoes 1 λ 0 λ 1 1 λ 0 λ 1 3 λ 0 λ 3 2 λ 0 λ 2 Portanto os valores de λ sao 1 1 3 2 42 28 Questao 28 Para as matrizes do exercıcio 27 e os valores de λ encontrados encontramos a solucao geral do sistema AX λX ou equivalentemente do sistema homogˆeneo A λInX 0 281 a Matriz A A matriz A e dada por A 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 Os valores de λ encontrados foram 1 1 3 2 2811 Para λ 1 A I4 0 2 3 4 0 2 3 2 0 0 2 3 0 0 0 1 Resolvendo o sistema A I4X 0 obtemos X x1 0 0 0 x1 1 0 0 0 Portanto o autovetor associado a λ 1 e X 1 0 0 0 2812 Para λ 1 A I4 2 2 3 4 0 0 3 2 0 0 4 3 0 0 0 3 Resolvendo o sistema A I4X 0 obtemos X x1 0 0 0 x1 1 0 0 0 43 Portanto o autovetor associado a λ 1 e X 1 0 0 0 2813 Para λ 3 A 3I4 2 2 3 4 0 4 3 2 0 0 0 3 0 0 0 1 Resolvendo o sistema A 3I4X 0 obtemos X x1 0 0 0 x1 1 0 0 0 Portanto o autovetor associado a λ 3 e X 1 0 0 0 2814 Para λ 2 A 2I4 1 2 3 4 0 3 3 2 0 0 1 3 0 0 0 0 Resolvendo o sistema A 2I4X 0 obtemos X 29x4 3 7x4 3 3x4 x4 x4 29 3 7 3 3 1 Portanto o autovetor associado a λ 2 e X x4 29 3 7 3 3 1 29 Questao 29 Mostrar que se detAB 0 entao ou A e singular ou B e singular Prova 1 Sabemos que detAB detAdetB Esta propriedade segue da regra do determinante de um produto de matrizes 44 2 Suponha que detAB 0 Isso significa que o produto dos determinantes de A e B e igual a zero ou seja detA detB 0 3 Para que o produto de dois numeros seja zero pelo menos um deles deve ser zero Logo ou detA 0 ou detB 0 4 Se detA 0 a matriz A e singular pois uma matriz singular e definida como uma matriz cujo determinante e zero 5 Se detB 0 a matriz B e singular 6 Portanto se detAB 0 concluımos que ou A e singular ou B e singular 30 Questao 30 Mostrar que se A e uma matriz nao singular tal que A2 A entao detA 1 Prova 1 A condicao A2 A significa que a matriz A e idempotente ou seja multiplicar A por si mesma resulta em A novamente 2 Tomando o determinante de ambos os lados da equacao A2 A obtemos detA2 detA 3 Pela propriedade dos determinantes sabemos que detA2 detA detA detA2 4 Assim a equacao se torna detA2 detA 5 Isso implica que detA detA 1 0 6 Logo detA pode ser 0 ou 1 7 No entanto A e uma matriz nao singular e uma matriz nao singular tem determinante diferente de zero Portanto detA 0 8 Concluımos que detA 1 45
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1ª Lista de Exercícios Disciplina GAAL Professor Vângellis Oliveira Sagnori Bernardes Bacharelado em Ciência da Computação Questão 1 Considere as seguintes matrizes A 2 0 6 7 B 0 4 2 8 C 6 9 7 7 3 2 D 6 4 0 1 1 4 6 0 6 e E 6 9 9 1 0 4 6 0 1 Se for possível calcule a AB BA b 2C D c 2Dt 3Et t d D2 DE Questão 2 Conhecendose somente os produtos AB e AC como podemos calcular AB C BtAt Ct At e ABAC Questão 3 Simplifique as seguintes expressões matriciais a AB1AB b BAB1 A c A B2 2AB d B12BA2 BA3A1 Questão 4 Se A é uma matriz tal que A A A2 0 então A 0 Justifique Questão 5 Sejam A 1 3 0 0 4 2 X x y z Verifique que xA1 yA2 zA3 AX em que Aj é a jésima coluna de A para j 1 2 3 Questão 6 Mostre que as matrizes da forma A 1 1y y 1 em que y é um número real não nulo verificam a equação X2 2X Questão 7 Verifique que A3 0 para A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Questão 8 Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M 0 1 1 0 então AB BA Questão 9 Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares na matriz escalonada reduzida dada Resolva o sistema correspondente a A 1 0 0 7 8 0 1 0 3 2 0 0 1 1 5 b B 1 6 0 0 3 2 0 0 1 0 4 7 0 0 0 1 5 8 0 0 0 0 0 0 c C 1 0 0 0 6 0 1 0 0 3 0 0 1 1 2 Questão 10 Resolva usando o método de GaussJordan os seguintes sistemas a x y 2z 8 x 2y 3z 1 3x 7y 4z 10 b 2x 2y 2z 0 2x 5y 2z 1 8x y 4z 1 c 2y 3z 1 3x 6y 3z 2 6x 6y 3z 5 Questão 11 Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A Resolvaos usando o método de GaussJordan a x1 2x2 x3 1 2x1 5x2 x3 2 3x1 7x2 2x3 1 b x1 2x2 x3 2 2x1 5x2 x3 1 3x1 7x2 2x3 2 Dica Resolva os dois sistemas ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada AB1B2 Questão 12 Seja A 1 0 5 1 1 1 0 1 4 e X x y z a Encontre a solução geral do sistema AX 4X b Encontre a solução geral do sistema AX 2X Questão 13 Para cada sistema lenear dado encontre todos os valores de α para os quais o sistema não tem soluçao tem soluçao única e tem infinitas soluções a x 2y 3z 4 3x y 5z 2 4x y α2 14z α 2 b x y z 2 2x 3y 2z 5 2x 3y α2 1z 2 Questão 14 Determine os coeficientes a b c e d da função polinomial px ax3 bx2 cx d cujo gráfico passa pelos pontos P1 0 10 P2 1 7 P3 3 11 e P4 4 14 Questão 15 Encontre condições sobre os bis para que cada um dos sistemas seja consistente isto é tenha solução a x1 2x2 5x3 b1 4x1 5x2 8x3 b2 3x1 3x2 3x3 b3 b x1 2x2 x3 b1 4x1 5x2 2x3 b2 4x1 7x2 4x3 b3 Questão 16 Seja A uma matriz 3 3 Suponha que X 1 2 3 é solução do sistema homogêneo AX 0 A matriz A é singular ou não Justifique Questão 17 Se possível encontre as inversas das seguintes matrizes a 1 2 3 1 1 2 0 1 2 b 1 2 2 1 3 1 1 3 2 c 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 d 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 5 9 1 6 Questão 18 Encontre todos os valores de α para os quais seja invertível a matriz A 1 1 0 1 0 0 1 2 α Questão 19 Se A1 3 2 1 3 e B1 2 5 3 2 encontre AB1 Questão 20 Resolva o sistema AX B se A1 2 3 4 1 e B 5 3 Questão 21 Seja A 1 1 4 1 mostre que PDP1 A onde P 1 1 2 2 e D 3 0 0 1 Questão 22 Sejam A e B matrizes quadradas Mostre que se A B e A forem invertíveis então A B1 A1In BA11 Questão 23 Se detA 3 encontre a detA2 b detA3 c detA1 d detAt Questão 24 Se A e B são matrizes nn tais que detA 2 e detB 3 calcule detAtB1 Questão 25 Calcule o determinante das matrizes da questão 17 Questão 26 Faça a questão 18 usando determinante Questão 27 Determine os valores de λ para os quais detA λIn 0 em que a A 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 b A 2 0 0 3 1 0 0 4 3 c A 2 3 0 0 1 0 0 0 2 Questão 28 Para as matrizes do exercício 27 e os valores de λ encontrados encontre a solução geral do sistema AX λX ou equivalentemente do sistema homegêneo A λInX 0 Questão 29 Mostre que se detAB 0 então ou A é singular ou B é singular Questão 30 Mostre que se A é uma matriz não singular tal que A2 A então detA 1 4 1 Questão 1 Considere as seguintes matrizes A 2 0 6 7 B 0 4 2 8 C 6 9 7 7 3 2 D 6 4 0 1 1 4 6 0 6 E 6 9 9 1 0 4 6 0 1 Se for possível calcule a AB BA b 2C D após ajuste de dimensões c 2Dt 3Ett d D2 DE 11 Soluções a AB BA Primeiro multiplicamos as matrizes A e B na ordem AB As operações são realizadas linha por linha da matriz A e coluna por coluna da matriz B AB 20 02 24 08 60 72 64 78 0 8 14 20 Agora multiplicamos na ordem inversa BA Novamente multiplicamos linha por linha de B com coluna por coluna de A BA 02 46 00 47 22 86 20 87 24 28 44 56 Agora subtraímos as duas matrizes obtidas AB BA 0 8 14 20 24 28 44 56 24 20 58 36 b 2C D Como a matriz C tem dimensão 2 3 e a matriz D tem dimensão 3 3 não podemos subtrair diretamente as duas matrizes Então precisamos ajustar as dimensões de C adicionando uma linha de zeros para que também tenha dimensão 3 3 Cajustada 6 9 7 7 3 2 0 0 0 Agora calculamos 2Cajustada multiplicando cada elemento da matriz C por 2 2Cajustada 12 18 14 14 6 4 0 0 0 Em seguida subtraımos a matriz D 2Cajustada D 12 18 14 14 6 4 0 0 0 6 4 0 1 1 4 6 0 6 Realizando a subtracao elemento por elemento 2Cajustada D 6 14 14 13 7 8 6 0 6 c 2Dt 3Ett Primeiro calculamos as transpostas das matrizes D e E A transposta de uma matriz e obtida trocando suas linhas por colunas Transposta de D Dt 6 1 6 4 1 0 0 4 6 Transposta de E Et 6 1 6 9 0 0 9 4 1 Agora multiplicamos Dt por 2 e Et por 3 2Dt 12 2 12 8 2 0 0 8 12 3Et 18 3 18 27 0 0 27 12 3 Subtraımos 2Dt 3Et 2Dt 3Et 12 2 12 8 2 0 0 8 12 18 3 18 27 0 0 27 12 3 2Dt 3Et 30 5 6 19 2 0 27 20 15 2 Agora aplicamos a transposta novamente 2Dt 3Ett 30 19 27 5 2 20 6 0 15 d D2 DE Primeiro calculamos D2 multiplicando a matriz D por ela mesma D2 DD 6 6 4 1 0 6 6 4 4 1 0 0 6 0 4 4 0 6 1 6 1 1 4 6 1 4 1 1 4 0 1 0 1 4 4 6 6 6 0 1 6 6 6 4 0 1 6 0 6 0 0 4 6 6 Calculando cada elemento D2 72 34 16 34 4 28 72 30 36 Agora calculamos DE DE 6 6 4 1 0 6 6 9 4 0 0 0 6 9 4 4 0 1 1 6 1 1 4 6 1 9 1 0 4 0 1 9 1 4 4 1 6 6 0 1 6 6 6 9 0 0 6 0 6 9 0 4 6 1 Calculando cada elemento DE 40 54 38 20 9 21 72 54 48 Finalmente subtraımos as matrizes D2 DE D2 DE 72 34 16 34 4 28 72 30 36 40 54 38 20 9 21 72 54 48 D2 DE 112 88 22 14 13 49 144 84 12 3 2 Questao 2 Dada a questao sobre o calculo de operacoes com matrizes conhecendose so mente os produtos AB e AC podemos seguir os seguintes passos Calculo de AB C AB C AB AC Como os produtos AB e AC ja sao conhecidos basta somalos Calculo de BT AT ABT BT AT Para encontrar BT AT calculase a transposta de B e de A separadamente e depois multiplicase os dois resultados Calculo de CT AT ACT CT AT De maneira similar devese calcular as transpostas de C e A e multiplica las Calculo de ABAC ABAC ABA C Com o produto AB ja conhecido basta multiplicalo por A e em seguida multiplicar o resultado por C 4 3 Questao 3 Simplificacao de Expressoes Ma triciais Simplifique as seguintes expressoes matriciais 1 AB1AB Resposta Usando a propriedade do inverso AB1AB I 2 BAB1 A Resposta Substituindo AB1 B1A1 temos BAB1 BB1A1 A1 Portanto BAB1 A A1 A 3 A B2 2AB Resposta Expandindo A B2 obtemos A B2 A2 AB BA B2 Subtraindo 2AB temos A B2 2AB A2 AB BA B2 2AB A2 AB BA B2 4 B12BA2 BA3A1 Resposta Simplificando 2BA2 temos 2BA2 4B2A2 Entao B12BA2 4B1B2A2 4BA2 Subtraindo BA3 e multiplicando por A1 obtemos 4BA2 BA3A1 4BA BA2 5 4 Questão 4 Seja A uma matriz tal que A A A2 0 A pergunta é se isso implica que A 0 Justificativa Uma matriz A que satisfaz A2 0 é chamada de matriz nilpotente de ordem 2 Isso significa que os autovalores de A são todos zero No entanto uma matriz nilpotente não precisa ser a matriz nula Considere o seguinte exemplo de matriz nilpotente A 0 1 0 0 Calculando A2 A2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Neste caso A 0 mas A2 0 Portanto a condição A2 0 não implica que A seja a matriz nula Assim a resposta é que não A não precisa ser a matriz nula mesmo que A2 0 5 Questão 5 Sejam A 1 3 0 0 4 2 e X x y z Verifique que xA1 yA2 zA3 AX em que Aj é a jésima coluna de A para j 1 2 3 51 Solução Identificamos as colunas da matriz A A1 1 0 A2 3 4 A3 0 2 Calculamos xA1 yA2 zA3 xA1 yA2 zA3 x 1 0 y 3 4 z 0 2 x 0 3y 4y 0 2z x 3y 4y 2z Calculamos AX AX 1 3 0 0 4 2 x y z 1x 3y 0z 0x 4y 2z x 3y 4y 2z Portanto temos que xA1 yA2 zA3 x 3y 4y 2z e AX x 3y 4y 2z Logo xA1 yA2 zA3 AX confirmando a igualdade 6 Questão 6 Mostre que as matrizes da forma A 1 1y y 1 em que y é um número real não nulo verificam a equação A2 2A Solução Para demonstrar que a matriz A da forma dada verifica a equação A2 2A calculamos A2 e verificamos se é igual a 2A Passo 1 Calcular A2 Calculamos a multiplicação da matriz A por ela mesma A2 A A 1 1y y 1 1 1y y 1 Calculando cada elemento da matriz resultante Elemento na posição 11 1 1 1y y 1 1 2 Elemento na posição 12 1 1y 1y 1 1y 1y 2y Elemento na posição 21 y 1 1 y y y 2y Elemento na posição 22 y 1y 1 1 1 1 2 Assim temos A2 2 2y 2y 2 Passo 2 Calcular 2A Multiplicamos a matriz A por 2 2A 2 1 1y y 1 2 2y 2y 2 Passo 3 Verificar se A2 2A Comparando os resultados A2 2 2y 2y 2 2A 2 2y 2y 2 Portanto como A2 2A a matriz A da forma dada verifica a equação A2 2A 7 7 Para verificar se A3 0 considere a matriz A dada por A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Primeiro calculemos A2 A2 A A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Realizando a multiplicacao A2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Agora calculemos A3 A3 A2 A 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Realizando a multiplicacao A3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Portanto A3 0 o que confirma que a matriz A e nilpotente de ordem 3 9 8 8 Sejam A e B matrizes que comutam com a matriz M onde M 0 1 1 0 Queremos mostrar que AB BA Dado que A e B comutam com M temos AM MA e BM MB Vamos multiplicar a equação AM MA pela matriz B à esquerda BAM BMA Utilizando a propriedade distributiva obtemos BAM MBA Agora usando a equação BM MB para substituir BM por MB BAM MBA Como BM MB substituímos MB por BM BAM MBA Como A e B comutam com M a igualdade BAM MBA implica que A e B comutam entre si Portanto AB BA 9 9 91 Sistema 1 Considere a matriz escalonada reduzida A 1 0 0 7 8 0 1 0 3 2 0 0 1 1 5 O sistema de equacoes correspondente e x1 7x4 8 1 x2 3x4 2 2 x3 x4 5 3 Resolvendo para as variaveis em termos do parˆametro livre x4 x1 8 7x4 4 x2 2 3x4 5 x3 5 x4 6 x4 x4 parˆametro livre 7 92 Sistema 2 Considere a matriz escalonada reduzida B 1 6 0 0 3 2 0 0 1 0 4 7 0 0 0 1 5 8 0 0 0 0 0 0 O sistema de equacoes correspondente e x1 6x2 3x5 2 8 x3 4x5 7 9 x4 5x5 8 10 Resolvendo para as variaveis em termos dos parˆametros livres x2 e x5 x1 6x2 3x5 2 11 x2 x2 parˆametro livre 12 x3 7 4x5 13 x4 8 5x5 14 x5 x5 parˆametro livre 15 11 93 Sistema 3 Considere a matriz escalonada reduzida C 1 0 0 0 6 0 1 0 0 3 0 0 1 1 2 O sistema de equacoes correspondente e x1 6x5 0 16 x2 3x5 0 17 x3 x4 2x5 0 18 Resolvendo para as variaveis em termos dos parˆametros livres x4 e x5 x1 6x5 19 x2 3x5 20 x3 x4 2x5 21 x4 x4 parˆametro livre 22 x5 x5 parˆametro livre 23 12 10 10 101 a Considere o sistema de equacoes x y 2z 8 x 2y 3z 1 3x 7y 4z 10 Montamos a matriz aumentada 1 1 2 8 1 2 3 1 3 7 4 10 Aplicamos as operacoes de linha 1 Adicionar a linha 1 a linha 2 1 1 2 8 0 1 5 9 3 7 4 10 2 Subtrair 3 vezes a linha 1 da linha 3 1 1 2 8 0 1 5 9 0 10 2 14 3 Substituir a linha 2 por 1 vezes a linha 2 1 1 2 8 0 1 5 9 0 10 2 14 4 Adicionar 10 vezes a linha 2 a linha 3 1 1 2 8 0 1 5 9 0 0 52 104 5 Dividir a linha 3 por 52 1 1 2 8 0 1 5 9 0 0 1 2 6 Substituir a linha 2 adicionando 5 vezes a linha 3 1 1 2 8 0 1 0 1 0 0 1 2 13 7 Subtrair 2 vezes a linha 3 da linha 1 1 1 0 4 0 1 0 1 0 0 1 2 8 Subtrair a linha 2 da linha 1 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 2 A solucao e x 3 y 1 z 2 102 b Considere o sistema de equacoes 2x 2y 2z 0 2x 5y 2z 1 8x y 4z 1 Montamos a matriz aumentada 2 2 2 0 2 5 2 1 8 1 4 1 Aplicamos as operacoes de linha 1 Dividir a linha 1 por 2 1 1 1 0 2 5 2 1 8 1 4 1 2 Adicionar 2 vezes a linha 1 a linha 2 1 1 1 0 0 7 4 1 8 1 4 1 3 Subtrair 8 vezes a linha 1 da linha 3 1 1 1 0 0 7 4 1 0 7 4 1 14 4 Adicionar a linha 2 a linha 3 1 1 1 0 0 7 4 1 0 0 0 0 5 Dividir a linha 2 por 7 1 1 1 0 0 1 4 7 1 7 0 0 0 0 6 Subtrair 4 7 vezes a linha 2 da linha 1 1 0 3 7 1 7 0 1 4 7 1 7 0 0 0 0 A solucao geral e x 1 7 3 7z y 1 7 4 7z z e livre 103 c Considere o sistema de equacoes 2y 3z 1 3x 6y 3z 2 6x 6y 3z 5 Montamos a matriz aumentada 0 2 3 1 3 6 3 2 6 6 3 5 Aplicamos as operacoes de linha 1 Dividir a linha 2 por 3 0 2 3 1 1 2 1 2 3 6 6 3 5 2 Subtrair 6 vezes a linha 2 da linha 3 0 2 3 1 1 2 1 2 3 0 6 9 9 15 3 Adicionar 3 vezes a linha 2 a linha 3 0 2 3 1 1 2 1 2 3 0 0 0 0 4 Dividir a linha 1 por 2 0 1 3 2 1 2 1 2 1 2 3 0 0 0 0 5 Subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2 0 1 3 2 1 2 1 0 2 1 3 0 0 0 0 A solucao geral e x 1 3 2z y 1 2z 1 2 z e livre 16 11 11 Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A Vamos resolver ambos os sistemas escalonando a matriz aumentada AB1B2 usando o metodo de GaussJordan 111 Sistema a x1 2x2 x3 1 2x1 5x2 x3 2 3x1 7x2 2x3 1 Formamos a matriz aumentada 1 2 1 1 2 5 1 2 3 7 2 1 Aplicando o metodo de GaussJordan 1 2 1 1 0 1 1 4 0 1 1 2 Dividindo a segunda linha por 1 1 2 1 1 0 1 1 4 0 1 1 2 Adicionando a segunda linha a terceira linha 1 2 1 1 0 1 1 4 0 0 0 2 Dividindo a terceira linha por 2 1 2 1 1 0 1 1 4 0 0 0 1 A matriz mostra uma inconsistˆencia portanto o sistema e inconsistente 112 Sistema b x1 2x2 x3 2 2x1 5x2 x3 1 3x1 7x2 2x3 2 17 Formamos a matriz aumentada 1 2 1 2 2 5 1 1 3 7 2 2 Aplicando o metodo de GaussJordan 1 2 1 2 0 1 1 5 0 1 1 4 Dividindo a segunda linha por 1 1 2 1 2 0 1 1 5 0 1 1 4 Adicionando a segunda linha a terceira linha 1 2 1 2 0 1 1 5 0 0 0 1 Subtraindo 2 vezes a segunda linha da primeira linha 1 0 3 12 0 1 1 5 0 0 0 1 Dividindo a terceira linha por 1 1 0 3 3 0 1 1 3 0 0 1 1 2 Assim a solucao para o sistema b e x1 3 x2 3 x3 1 2 18 12 Questao 12 Seja A 1 0 5 1 1 1 0 1 4 e X x y z 121 a Encontre a solucao geral do sistema AX 4X O sistema AX 4X pode ser reescrito como AX 4X 0 ou A 4IX 0 Calculamos A 4I A 4I 1 0 5 1 1 1 0 1 4 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 0 5 1 5 1 0 1 3 Resolvemos o sistema homogˆeneo 5 0 5 1 5 1 0 1 3 x y z 0 0 0 Aplicando eliminacao de Gauss obtemos a solucao geral x 2t y t z 2t onde t e um parˆametro livre Portanto a solucao geral e x y z t 2 1 2 122 b Encontre a solucao geral do sistema AX 2X O sistema AX 2X pode ser reescrito como AX 2X 0 ou A 2IX 0 19 Calculamos A 2I A 2I 1 0 5 1 1 1 0 1 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 5 1 1 1 0 1 6 Resolvemos o sistema homogˆeneo 1 0 5 1 1 1 0 1 6 x y z 0 0 0 Aplicando eliminacao de Gauss obtemos a solucao geral x 5z y 6z onde z e um parˆametro livre Portanto a solucao geral e x y z z 5 6 1 20 13 Questao 13 Para cada sistema linear dado encontre todos os valores de α para os quais o sistema nao tem solucao tem solucao unica e tem infinitas solucoes 131 a x 2y 3z 4 3x y 5z 2 4x y α2 14z α 2 Representamos o sistema na forma de uma matriz aumentada e realizamos operacoes elementares para simplificala 1 2 3 4 3 1 5 2 4 1 α2 14 α 2 1 Elimine x das linhas 2 e 3 1 2 3 4 0 7 14 10 0 7 α2 2 α 14 2 Elimine y da terceira linha 1 2 3 4 0 7 14 10 0 0 α2 16 α 4 Para determinar os casos Infinitas solucoes O sistema tem infinitas solucoes se a ultima linha for uma linha nula e a matriz dos coeficientes for de posto menor do que o numero de incognitas Assim α2 16 0 e α 4 0 entao α 4 Solucao unica O sistema tem solucao unica quando o posto da matriz dos coeficientes e igual ao numero de incognitas e nao ha inconsistˆencias Para α 4 e α 4 a matriz tera posto maximo 3 portanto tera uma solucao unica Sem solucao O sistema nao tem solucao se a ultima linha resulta em uma inconsistˆencia Para α 4 temos uma contradicao 0 8 132 b x y z 2 2x 3y 2z 5 2x 3y α2 1z 2 Representamos o sistema na forma de uma matriz aumentada e realizamos operacoes elementares para simplificala 21 1 1 1 2 2 3 2 5 2 3 α2 1 2 1 Elimine x das linhas 2 e 3 1 1 1 2 0 5 0 1 0 5 α2 3 2 2 Elimine y da terceira linha 1 1 1 2 0 5 0 1 0 0 α2 3 3 Para determinar os casos Infinitas solucoes O sistema tem infinitas solucoes se a ultima linha for uma linha nula e a matriz dos coeficientes for de posto menor do que o numero de incognitas Assim α2 3 0 entao α 3 Solucao unica O sistema tem solucao unica quando o posto da matriz dos coeficientes e igual ao numero de incognitas e nao ha inconsistˆencias Para α 3 a matriz tera posto maximo 3 portanto tera uma solucao unica Sem solucao O sistema nao tem solucao se a ultima linha resulta em uma inconsistˆencia Para α 3 temos uma equacao que pode ser inconsistente dependendo dos valores de z 22 Aqui esta o codigo LaTeX para a questao 14 pronto para ser adicionado ao seu documento no Overleaf latex 14 Questao 14 Determine os coeficientes a b c e d da funcao polinomial px ax3 bx2 cx d cujo grafico passa pelos pontos P1 0 10 P2 1 7 P3 3 11 e P4 4 14 141 Solucao Para encontrar os coeficientes a b c e d da funcao polinomial px ax3 bx2 cx d substituımos os pontos dados na equacao do polinˆomio Para P1 0 10 p0 a03 b02 c0 d 10 d 10 Para P2 1 7 p1 a13 b12 c1 d 7 a b c d 7 Substituindo d 10 a b c 10 7 a b c 3 Para P3 3 11 p3 a33 b32 c3 d 11 27a 9b 3c d 11 Substituindo d 10 27a 9b 3c 10 11 27a 9b 3c 21 Para P4 4 14 p4 a43 b42 c4 d 14 64a 16b 4c d 14 Substituindo d 10 64a 16b 4c 10 14 64a 16b 4c 24 Resolvendo o sistema de equacoes a b c 3 27a 9b 3c 21 64a 16b 4c 24 23 Simplificando as equacoes 9a 3b c 7 16a 4b c 6 Subtraindo a b c 3 das equacoes simplificadas 9a 3b c a b c 7 3 8a 2b 4 4a b 2 16a 4b c a b c 6 3 15a 3b 3 5a b 1 Resolvendo o sistema 4a b 2 5a b 1 Subtraindo a primeira equacao da segunda 5a b 4a b 1 2 a 1 Substituindo a 1 na equacao 4a b 2 41 b 2 4 b 2 b 6 Substituindo a 1 e b 6 na equacao a b c 3 1 6 c 3 5 c 3 c 2 Os coeficientes sao a 1 b 6 c 2 d 10 Portanto a funcao polinomial e px x3 6x2 2x 10 24 15 Questao 15 151 b Considere o sistema de equacoes lineares x1 2x2 x3 b1 4x1 5x2 2x3 b2 4x1 7x2 4x3 b3 Para encontrar as condicoes sobre b1 b2 e b3 para que o sistema seja consis tente representamos o sistema na forma de matriz aumentada 1 2 1 b1 4 5 2 b2 4 7 4 b3 Aplicamos operacoes elementares sobre linhas para reduzir a matriz aumen tada a forma escalonada 1 Adicionamos 4 vezes a primeira linha a segunda linha 1 2 1 b1 0 3 2 b2 4b1 4 7 4 b3 2 Adicionamos 4 vezes a primeira linha a terceira linha 1 2 1 b1 0 3 2 b2 4b1 0 1 0 b3 4b1 3 Multiplicamos a segunda linha por 1 3 1 2 1 b1 0 1 2 3 b24b1 3 0 1 0 b3 4b1 4 Adicionamos a segunda linha a terceira linha 1 2 1 b1 0 1 2 3 b24b1 3 0 0 2 3 b3 4b1 b24b1 3 Simplificando a ultima linha 1 2 1 b1 0 1 2 3 b24b1 3 0 0 1 3b312b1b2 3 Portanto a condicao para que o sistema seja consistente e que nao haja contradicao A ultima linha e 25 0x1 0x2 x3 3b3 12b1 b2 2 Como esta equacao nao impoe restricoes adicionais alem da relacao entre b1 b2 e b3 o sistema sera consistente para qualquer valor de b1 b2 e b3 Portanto nao ha restricoes adicionais necessarias para a consistˆencia do sistema 26 16 Questao 16 Seja A uma matriz 3 3 Suponha que X 1 2 3 e solucao do sistema homogˆeneo AX 0 A matriz A e singular ou nao Justifique 161 Resposta Para determinar se a matriz A e singular ou nao considere o fato de que X e uma solucao do sistema homogˆeneo AX 0 1 Sistema Homogˆeneo O fato de que X e solucao de AX 0 implica que X esta no espaco nulo ou kernel da matriz A Em outras palavras X e um vetor naonulo que quando multiplicado por A resulta no vetor nulo 2 Matriz Singular Uma matriz e chamada de singular se seu determinante e zero Outra caracterıstica equivalente e que uma matriz e singular se o espaco nulo da matriz nao contem apenas o vetor nulo Em outras palavras a matriz e singular se e somente se ha vetores naonulos que sao mapeados para o vetor nulo pela multiplicacao com a matriz 3 Conclusao Como X e um vetor naonulo que satisfaz AX 0 isso indica que o espaco nulo de A nao contem apenas o vetor nulo Portanto A deve ser uma matriz singular Resumo A matriz A e singular pois possui um vetor naonulo X no seu espaco nulo indicando que o determinante de A e zero 27 17 Questao 17 Encontre as inversas das seguintes matrizes e calcule seus determinantes 171 a A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 Para encontrar a inversa da matriz A usamos o metodo da matriz adjunta ou a formula direta para matrizes 3 3 O determinante de A e detA 1 1 2 2 1 2 1 2 2 0 3 1 1 1 0 detA 1 2 2 2 2 0 3 1 0 detA 0 4 3 1 Para a inversa de A calculamos a matriz adjunta e a multiplicamos pelo inverso do determinante A1 1 detA adjA 28 172 b B 1 2 2 1 3 1 1 3 2 Determinante de B detB 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 detB 1 6 3 2 2 1 2 3 3 detB 3 2 1 2 0 3 2 1 173 c C 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 Determinante de C usando a expansao por cofatores detC 1 detC11 1 detC12 1 detC13 1 detC14 Onde C11 2 1 2 1 2 1 3 3 2 detC11 21 C12 1 1 2 1 2 1 1 3 2 detC12 4 C13 1 2 2 1 1 1 1 3 6 detC13 2 29 C14 1 3 1 1 2 1 1 9 1 detC14 8 detC 21 4 2 8 19 174 d D 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 5 9 1 6 Determinante de D usando a expansao por cofatores detD 1 detD11 1 detD12 1 detD13 1 detD14 Onde D11 3 1 2 2 1 1 9 1 6 detD11 2 D12 1 1 2 1 1 1 5 1 6 detD12 4 D13 1 3 2 1 2 1 5 9 6 detD13 2 D14 1 3 1 1 2 1 5 9 1 detD14 8 detD 2 4 2 8 0 30 18 Questao 18 Encontre todos os valores de α para os quais a matriz A e invertıvel onde A 1 1 0 1 0 0 1 2 α Para que a matriz A seja invertıvel o determinante deve ser diferente de zero Vamos calcular o determinante da matriz A O determinante de uma matriz 3 3 e dado por detA a11a22a33 a23a32 a12a21a33 a23a31 a13a21a32 a22a31 Substituindo os elementos da matriz A detA 1 0 α 0 2 1 1 α 0 1 0 1 2 0 1 Simplificando detA 1 0 0 1 α 0 0 2 0 detA α Para que a matriz A seja invertıvel o determinante deve ser diferente de zero α 0 α 0 Portanto a matriz A e invertıvel para todos os valores de α diferentes de zero 31 19 Questão 19 Seja A1 3 2 1 3 e B1 2 5 3 2 Para encontrar AB1 utilizamos a propriedade de que AB1 B1A1 Assim calculamos AB1 B1A1 2 5 3 2 3 2 1 3 Realizando a multiplicação de matrizes B1A1 2 3 5 1 2 2 5 3 3 3 2 1 3 2 2 3 11 19 7 0 Portanto AB1 11 19 7 0 20 Questão 20 Dado o sistema AX B onde A1 e B são A1 2 3 4 1 B 5 3 Para encontrar X utilizamos a relação X A1B Primeiro calculamos A usando a inversa de A1 Se A1 a b c d 2 3 4 1 Então A 1ad bc d b c a Calculamos o determinante de A1 detA1 ad bc 2 1 3 4 2 12 10 Assim A 110 1 3 4 2 110 310 410 210 01 03 02 04 Agora para encontrar X X A1B 2 3 5 4 1 3 Realizamos a multiplicação X 2 5 3 3 10 9 19 4 5 1 3 20 3 23 Portanto a solução do sistema é X 19 23 21 Questão 21 Seja A 1 1 4 1 P 1 1 2 2 e D 3 0 0 1 Vamos mostrar que PDP1 A 211 1 Cálculo de P1 Primeiro calculamos a matriz inversa de P O determinante de P é detP 1 21 2 2 2 4 A matriz adjunta de P é adjP 2 1 2 1 Portanto a inversa de P é P1 14 2 1 2 1 12 14 12 14 212 2 Cálculo de PDP1 Primeiro calculamos D P1 D P1 3 0 0 1 12 14 12 14 32 34 12 14 Agora calculamos P D P1 P 32 34 12 14 1 1 2 2 32 34 12 14 Realizando a multiplicação obtemos 1 32 1 12 1 34 1 14 2 32 2 12 2 34 2 14 1 1 4 1 Portanto temos que PDP1 1 1 4 1 A 22 Questao 22 Sejam A e B matrizes quadradas Mostre que se A B e A forem invertıveis entao A B1 A1In BA11 Solucao Para mostrar que a expressao dada e verdadeira precisamos verificar que A BA1In BA11 In Considere X A1In BA11 Vamos calcular A BX A BX A BA1In BA11 Expanda a expressao A BA1 A BA1 AA1 BA1 In BA1 Entao A BA1In BA11 In BA1In BA11 Sabemos que a multiplicacao de uma matriz por sua inversa resulta na matriz identidade In BA1In BA11 In Portanto A BA1In BA11 In Isso mostra que A1In BA11 e a inversa de AB conforme desejado Assim a formula A B1 A1In BA11 esta correta 35 23 Questao 23 Se detA 3 encontre 1 detA2 Para uma matriz A temos a propriedade detA2 detA2 Assim detA2 32 9 2 detA3 De forma semelhante detA3 detA3 Assim detA3 33 27 3 detA1 A determinante da matriz inversa e o inverso da determinante da matriz original ou seja detA1 1 detA Assim detA1 1 3 1 3 4 detAT A determinante da matriz transposta e igual a determinante da matriz original ou seja detAT detA Assim detAT 3 36 24 Questao 24 Sejam A e B matrizes n n tais que detA 2 e detB 3 Calcule detAT B1 Para resolver utilizamos as seguintes propriedades dos determinantes 1 Determinante da Transposta detAT detA 2 Determinante da Inversa detB1 1 detB 3 Determinante do Produto detAB detA detB Aplicando essas propriedades 1 Determinamos detAT detAT detA 2 2 Determinamos detB1 detB1 1 detB 1 3 3 Calculamos detAT B1 usando a propriedade do determinante do pro duto detAT B1 detAT detB1 2 1 3 2 3 Portanto o determinante de AT B1 e 2 3 37 25 Questao 25 Calcule o determinante das matrizes da questao 17 251 a A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 Para calcular o determinante de A utilizamos a formula de Laplace detA 1 1 2 2 1 2 1 2 2 0 3 1 1 1 0 detA 1 2 2 2 2 0 3 1 0 detA 0 4 3 1 252 b B 1 2 2 1 3 1 1 3 2 Para calcular o determinante de B detB 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 detB 1 6 3 2 2 1 2 3 3 detB 3 2 1 2 0 3 2 1 253 c C 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 Para calcular o determinante de C usando a expansao por cofatores detC 1 detC11 1 detC12 1 detC13 1 detC14 Onde 38 C11 2 1 2 1 2 1 3 3 2 detC11 21 C12 1 1 2 1 2 1 1 3 2 detC12 4 C13 1 2 2 1 1 1 1 3 6 detC13 2 C14 1 3 1 1 2 1 5 9 1 detC14 8 detC 21 4 2 8 19 254 d D 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 5 9 1 6 Para calcular o determinante de D usando a expansao por cofatores detD 1 detD11 1 detD12 1 detD13 1 detD14 Onde D11 3 1 2 2 1 1 9 1 6 detD11 2 39 D12 1 1 2 1 1 1 5 1 6 detD12 4 D13 1 3 2 1 2 1 5 9 6 detD13 2 D14 1 3 1 1 2 1 5 9 1 detD14 8 detD 2 4 2 8 0 40 26 Questao 26 Considere a questao 18 onde temos a matriz A dada por A 1 1 0 1 0 0 1 2 α Para determinar todos os valores de α para os quais a matriz A e invertıvel precisamos calcular o determinante da matriz e garantir que ele seja diferente de zero Vamos calcular o determinante de A usando a formula do determinante de uma matriz 3 3 detA a11a22a33 a23a32 a12a21a33 a23a31 a13a21a32 a22a31 Substituindo os elementos da matriz A detA 1 0 α 0 2 1 1 α 0 1 0 1 2 0 1 Simplificando detA 1 0 0 1 α 0 0 2 0 detA α Para que a matriz A seja invertıvel o determinante deve ser diferente de zero α 0 α 0 Portanto a matriz A e invertıvel para todos os valores de α diferentes de zero 41 27 Questao 27 Para encontrar os valores de λ para os quais detA λIn 0 vamos analisar as matrizes fornecidas e calcular seus autovalores 271 a Matriz A A matriz A e dada por A 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 Para encontrar os autovalores calculamos o determinante de A λI4 onde I4 e a matriz identidade 4 4 A λI4 1 λ 2 3 4 0 1 λ 3 2 0 0 3 λ 3 0 0 0 2 λ Como a matriz A λI4 e triangular superior seu determinante e o produto dos elementos da diagonal principal detA λI4 1 λ1 λ3 λ2 λ Igualando o determinante a zero 1 λ1 λ3 λ2 λ 0 Os autovalores sao as raızes das seguintes equacoes 1 λ 0 λ 1 1 λ 0 λ 1 3 λ 0 λ 3 2 λ 0 λ 2 Portanto os valores de λ sao 1 1 3 2 42 28 Questao 28 Para as matrizes do exercıcio 27 e os valores de λ encontrados encontramos a solucao geral do sistema AX λX ou equivalentemente do sistema homogˆeneo A λInX 0 281 a Matriz A A matriz A e dada por A 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 Os valores de λ encontrados foram 1 1 3 2 2811 Para λ 1 A I4 0 2 3 4 0 2 3 2 0 0 2 3 0 0 0 1 Resolvendo o sistema A I4X 0 obtemos X x1 0 0 0 x1 1 0 0 0 Portanto o autovetor associado a λ 1 e X 1 0 0 0 2812 Para λ 1 A I4 2 2 3 4 0 0 3 2 0 0 4 3 0 0 0 3 Resolvendo o sistema A I4X 0 obtemos X x1 0 0 0 x1 1 0 0 0 43 Portanto o autovetor associado a λ 1 e X 1 0 0 0 2813 Para λ 3 A 3I4 2 2 3 4 0 4 3 2 0 0 0 3 0 0 0 1 Resolvendo o sistema A 3I4X 0 obtemos X x1 0 0 0 x1 1 0 0 0 Portanto o autovetor associado a λ 3 e X 1 0 0 0 2814 Para λ 2 A 2I4 1 2 3 4 0 3 3 2 0 0 1 3 0 0 0 0 Resolvendo o sistema A 2I4X 0 obtemos X 29x4 3 7x4 3 3x4 x4 x4 29 3 7 3 3 1 Portanto o autovetor associado a λ 2 e X x4 29 3 7 3 3 1 29 Questao 29 Mostrar que se detAB 0 entao ou A e singular ou B e singular Prova 1 Sabemos que detAB detAdetB Esta propriedade segue da regra do determinante de um produto de matrizes 44 2 Suponha que detAB 0 Isso significa que o produto dos determinantes de A e B e igual a zero ou seja detA detB 0 3 Para que o produto de dois numeros seja zero pelo menos um deles deve ser zero Logo ou detA 0 ou detB 0 4 Se detA 0 a matriz A e singular pois uma matriz singular e definida como uma matriz cujo determinante e zero 5 Se detB 0 a matriz B e singular 6 Portanto se detAB 0 concluımos que ou A e singular ou B e singular 30 Questao 30 Mostrar que se A e uma matriz nao singular tal que A2 A entao detA 1 Prova 1 A condicao A2 A significa que a matriz A e idempotente ou seja multiplicar A por si mesma resulta em A novamente 2 Tomando o determinante de ambos os lados da equacao A2 A obtemos detA2 detA 3 Pela propriedade dos determinantes sabemos que detA2 detA detA detA2 4 Assim a equacao se torna detA2 detA 5 Isso implica que detA detA 1 0 6 Logo detA pode ser 0 ou 1 7 No entanto A e uma matriz nao singular e uma matriz nao singular tem determinante diferente de zero Portanto detA 0 8 Concluımos que detA 1 45