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CORRELAÇÃO E REGRESSÃO DEFINIÇÕES DIAGRAMA DE DISPERSÃO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO RETA DE REGRESSÃO LINEAR DEFINIÇÕES Correlação Mede o grau de relacionamento entre duas variáveis exemplos Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco Resultado da produção e tempo do processo Número de cliente e vendas custo de manutenção por hora e idade de máquina Venda e propaganda REGRESSÃO Estabelece uma equação matemática que descreve o relacionamento entre duas variáveis Exemplo Estimar valores de uma variável com base em valores conhecidos da outra Resistência e dureza de um metal teste de resistência destrói o metal enquanto dureza não DIAGRAMA DE DISPERSÃO Mostra a relação entre duas variáveis ou seja a representação gráfica do conjunto de dados Correlação linear positiva Correlação linear negativa Não existe correlação Correlação não linear COEFICIENTE DE CORREÇÃO LINEAR OU COEFICIENTE DE PEARSON Coeficiente de Correção Linearr Valor numérico que mede o grau de relacionamento entre duas variáveis1 r 1 Quanto mais próximo de 1 maior correlação negativa Quanto mais próximo de 1 maior correlação positiva Quanto mais próximo de 0 menor a correlação linear COEFICIENTE DE CORREÇÃO LINEAR OU COEFICIENTE DE PEARSON Sejam duas amostras relativas às variáveis X e Y dadas a seguir O coeficiente de correlação entre os valores de X e Y é dado por n y y S y y S n x x S x x S n y x x y S y y x x S r com S S S r n i i n i i yy n i i yy n i i n i i xx n i i xx n i i n i i n i i i xy i n i i xy yy xx xy 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 r com y y n x x n y x x y n r n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i yy xx xy S S S r Substituindo Sxy Sxx e Syy na equação resulta RETA DE REGRESSÃO LINEAR A regressão linear constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática linear que descreva o relacionamento entre duas variáveis Uma equação linear tem a forma A reta de regressão pelo método dos mínimos quadrados que passa pelos pontos x1 y1 x2 y2 xn yn é dada por a x y b e S S a b em que ax y xx xy ˆ média de x n x x média de y n y y Sendo n i i n i i 1 1 1 y1 x 2 y2 x xn yn EXEMPLOS Exemplo1 Dados os pontos 1 1 1 2 2 2 3 2 e 4 5 aFaça o diagrama de dispersão b Determine o coeficiente de correlação c Calcule a reta de regressão linear a Diagrama de dispersão EXEMPLOS b Coeficiente de correlação 1 passo preencher a tabela x y xy x² y² 1 1 1 1 1 2 1 2 4 1 2 2 4 4 4 3 2 6 9 4 4 5 20 16 25 x12 y11 xy33 x²34 y²35 2 passo calcular Sxy Sxx e Syy 66 26 4 33 5 1211 33 xy xy xy xy S S S n y x xy S 25 28 8 34 5 12 34 2 2 2 xx xx xx xx S S S n x x S 8 10 24 2 35 5 11 35 2 2 2 yy yy yy yy S S S n y y S 3 passo calcular o coeficiente de correlação 0 8807 494 7 66 10 8 25 66 r r x r S S S r yy xx xy EXEMPLOS c Calculo a reta de regressão linear 1 passo determinar a 2 passo determinar b 3 passo cálculo da reta de regressão b ax y ˆ 𝑎 𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑥𝑥 𝑎 66 52 𝑎 𝟏 𝟐𝟔𝟗𝟐 42 5 12 22 5 11 1 1 n x x n y y n i i n i i 𝑏 lj𝑦 𝑎 lj𝑥 𝑏 22 12692 24 𝑏 𝟎 𝟖𝟒𝟔𝟏 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 𝟏 𝟐𝟔𝟗𝟐 𝑥 𝟎 𝟖𝟒𝟔𝟏 EXEMPLOS Exemplo 2 Um varejista de ferragens quer saber a demanda y de uma ferramenta em função do preço x As vendas mensais com quatro preços diferentes da ferramenta são listradas na tabela Preçox 25 30 35 40 Demanday 82 75 67 55 a Calcule o coeficiente de correlação diagrama de dispersão b Determinar a reta de regressão linear por mínimos quadrados para os dados c Estime a demanda quando o preço for 3295 d Qual o preço criará uma demanda de 83 ferramentas EXEMPLOS a Coeficiente de correlação 1 passo preencher a tabela 2 passo calcular Sxy Sxx e Syy 5 222 9067 5 8845 4 130279 8845 xy xy xy xy S S S n y x xy S 125 4225 4350 4 130 4350 2 2 2 xx xx xx xx S S S n x x S 75 402 1946025 19863 4 279 19863 2 2 2 yy yy yy yy S S S n y y S 3 passo calcular o coeficiente de correlação 𝑟 𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑦𝑦 𝑟 2225 125𝑥40275 𝑟 2225 224374 𝒓 𝟎 9916 x y xy x² y2 25 82 2050 625 6724 30 75 2250 900 5625 35 67 2345 1225 4489 40 55 2200 1600 3025 130 279 8845 4350 19863 EXEMPLOS b Calculo a reta de regressão linear 1 passo determinar a 2 passo determinar b 3 passo cálculo da reta de regressão b ax y ˆ 1 78 125 5 222 a a S S a xx xy 32 5 4 130 6975 4 279 1 1 n x x n y y n i i n i i 6 127 178325 75 69 b b a x y b 1276 1 78 ˆ ˆ x y b ax y EXEMPLOS c Estime a demanda quando o preço for 3295 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 178 𝑥 1276 𝑦 178 3295 1276 𝑦 6895 d Qual o preço criará uma demanda de 83 ferramentas 01 25 1276 1 78 83 ˆ x x b ax y EXEMPLOS 5Y consumo de vitamina B12 presente na levedura de cerveja diário em mil mg e X temperatura máxima em C As variáveis foram observadas em nove localidades com as mesmas características demográficas e sócioeconômicas Com base nos dados apresentados a Determinar o coeficiente de correlação b Encontrar a equação estimada de regressão linear c Qual o consumo previsto para uma temperatura de 27C TemperaturaX ConsumoY 16 290 25 330 30 370 28 350 32 390 29 370 31 385 21 320 14 270
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CORRELAÇÃO E REGRESSÃO DEFINIÇÕES DIAGRAMA DE DISPERSÃO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO RETA DE REGRESSÃO LINEAR DEFINIÇÕES Correlação Mede o grau de relacionamento entre duas variáveis exemplos Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco Resultado da produção e tempo do processo Número de cliente e vendas custo de manutenção por hora e idade de máquina Venda e propaganda REGRESSÃO Estabelece uma equação matemática que descreve o relacionamento entre duas variáveis Exemplo Estimar valores de uma variável com base em valores conhecidos da outra Resistência e dureza de um metal teste de resistência destrói o metal enquanto dureza não DIAGRAMA DE DISPERSÃO Mostra a relação entre duas variáveis ou seja a representação gráfica do conjunto de dados Correlação linear positiva Correlação linear negativa Não existe correlação Correlação não linear COEFICIENTE DE CORREÇÃO LINEAR OU COEFICIENTE DE PEARSON Coeficiente de Correção Linearr Valor numérico que mede o grau de relacionamento entre duas variáveis1 r 1 Quanto mais próximo de 1 maior correlação negativa Quanto mais próximo de 1 maior correlação positiva Quanto mais próximo de 0 menor a correlação linear COEFICIENTE DE CORREÇÃO LINEAR OU COEFICIENTE DE PEARSON Sejam duas amostras relativas às variáveis X e Y dadas a seguir O coeficiente de correlação entre os valores de X e Y é dado por n y y S y y S n x x S x x S n y x x y S y y x x S r com S S S r n i i n i i yy n i i yy n i i n i i xx n i i xx n i i n i i n i i i xy i n i i xy yy xx xy 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 r com y y n x x n y x x y n r n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i yy xx xy S S S r Substituindo Sxy Sxx e Syy na equação resulta RETA DE REGRESSÃO LINEAR A regressão linear constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática linear que descreva o relacionamento entre duas variáveis Uma equação linear tem a forma A reta de regressão pelo método dos mínimos quadrados que passa pelos pontos x1 y1 x2 y2 xn yn é dada por a x y b e S S a b em que ax y xx xy ˆ média de x n x x média de y n y y Sendo n i i n i i 1 1 1 y1 x 2 y2 x xn yn EXEMPLOS Exemplo1 Dados os pontos 1 1 1 2 2 2 3 2 e 4 5 aFaça o diagrama de dispersão b Determine o coeficiente de correlação c Calcule a reta de regressão linear a Diagrama de dispersão EXEMPLOS b Coeficiente de correlação 1 passo preencher a tabela x y xy x² y² 1 1 1 1 1 2 1 2 4 1 2 2 4 4 4 3 2 6 9 4 4 5 20 16 25 x12 y11 xy33 x²34 y²35 2 passo calcular Sxy Sxx e Syy 66 26 4 33 5 1211 33 xy xy xy xy S S S n y x xy S 25 28 8 34 5 12 34 2 2 2 xx xx xx xx S S S n x x S 8 10 24 2 35 5 11 35 2 2 2 yy yy yy yy S S S n y y S 3 passo calcular o coeficiente de correlação 0 8807 494 7 66 10 8 25 66 r r x r S S S r yy xx xy EXEMPLOS c Calculo a reta de regressão linear 1 passo determinar a 2 passo determinar b 3 passo cálculo da reta de regressão b ax y ˆ 𝑎 𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑥𝑥 𝑎 66 52 𝑎 𝟏 𝟐𝟔𝟗𝟐 42 5 12 22 5 11 1 1 n x x n y y n i i n i i 𝑏 lj𝑦 𝑎 lj𝑥 𝑏 22 12692 24 𝑏 𝟎 𝟖𝟒𝟔𝟏 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 𝟏 𝟐𝟔𝟗𝟐 𝑥 𝟎 𝟖𝟒𝟔𝟏 EXEMPLOS Exemplo 2 Um varejista de ferragens quer saber a demanda y de uma ferramenta em função do preço x As vendas mensais com quatro preços diferentes da ferramenta são listradas na tabela Preçox 25 30 35 40 Demanday 82 75 67 55 a Calcule o coeficiente de correlação diagrama de dispersão b Determinar a reta de regressão linear por mínimos quadrados para os dados c Estime a demanda quando o preço for 3295 d Qual o preço criará uma demanda de 83 ferramentas EXEMPLOS a Coeficiente de correlação 1 passo preencher a tabela 2 passo calcular Sxy Sxx e Syy 5 222 9067 5 8845 4 130279 8845 xy xy xy xy S S S n y x xy S 125 4225 4350 4 130 4350 2 2 2 xx xx xx xx S S S n x x S 75 402 1946025 19863 4 279 19863 2 2 2 yy yy yy yy S S S n y y S 3 passo calcular o coeficiente de correlação 𝑟 𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑦𝑦 𝑟 2225 125𝑥40275 𝑟 2225 224374 𝒓 𝟎 9916 x y xy x² y2 25 82 2050 625 6724 30 75 2250 900 5625 35 67 2345 1225 4489 40 55 2200 1600 3025 130 279 8845 4350 19863 EXEMPLOS b Calculo a reta de regressão linear 1 passo determinar a 2 passo determinar b 3 passo cálculo da reta de regressão b ax y ˆ 1 78 125 5 222 a a S S a xx xy 32 5 4 130 6975 4 279 1 1 n x x n y y n i i n i i 6 127 178325 75 69 b b a x y b 1276 1 78 ˆ ˆ x y b ax y EXEMPLOS c Estime a demanda quando o preço for 3295 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 178 𝑥 1276 𝑦 178 3295 1276 𝑦 6895 d Qual o preço criará uma demanda de 83 ferramentas 01 25 1276 1 78 83 ˆ x x b ax y EXEMPLOS 5Y consumo de vitamina B12 presente na levedura de cerveja diário em mil mg e X temperatura máxima em C As variáveis foram observadas em nove localidades com as mesmas características demográficas e sócioeconômicas Com base nos dados apresentados a Determinar o coeficiente de correlação b Encontrar a equação estimada de regressão linear c Qual o consumo previsto para uma temperatura de 27C TemperaturaX ConsumoY 16 290 25 330 30 370 28 350 32 390 29 370 31 385 21 320 14 270