Dinâmica dos Fluidos II: Equação de Bernoulli

aula VII dinâmica dos fluidos II Mecânica dos Fluidos Prof Dr Sidney Leal da Silva SUMÁRIO Dinâmica dos fluidos II Equação de Bernoulli Fluidos ideais Fluidos reais equação de Bernoulli EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS CONSIDERAÇÕES GERAIS Regime permanente Sem dispositivo mecânico que forneça bomba ou retire turbina energia do fluido na forma de trabalho Sem perdas por atrito no escoamento do fluido Propriedades uniformes nas seções Fluido incompressível Sem trocas de calor Prof Dr Sidney Leal da Silva EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS DEDUÇÃO Após um intervalo dt uma massa infinitesimal dm de fluido a montante da seção 1 atravessaa e penetra no trecho 12 acrescentandolhe energia dE1 dm1 g z1 1 2 dm1 v12 1 dv1 Prof Dr Sidney Leal da Silva EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS DEDUÇÃO Na seção 2 uma massa dm2 do fluido que pertencia ao trecho 12 escoa para fora levando energia dE2 dm2 g z2 1 2 dm2 v22 2 dv2 Prof Dr Sidney Leal da Silva EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS DEDUÇÃO Como há conservação de energia pelas considerações iniciais então dE1 dE2 dm1 g z1 1 2 dm1 v12 1 dV1 dm2 g z2 1 2 dm2 v22 2 dV2 ρ dm dV dm1 g z1 1 2 dm1 v12 1 dm1 ρ1 dm2 g z2 1 2 dm2 v22 2 dm2 ρ2 ρ1 ρ2 ρ fluido incompressível dm1 dm2 dm regime permanente g z1 1 2 v12 1 ρ g z2 1 2 v22 2 ρ g z1 v12 2g 1 ρ g z2 v22 2g 2 ρ g γ ρ g z1 v12 2g 1 γ z2 v22 2g 2 γ Prof Dr Sidney Leal da Silva EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS RELAÇÃO ENTRE COTAS VELOCIDADE PRESSÃO E FORÇA PESO A equação de Bernoulli permite relacionar cotas velocidades e pressões entre duas seções de escoamento de fluido 𝑧 mg mg z EP G HP energia potencial por unidade de peso carga potencial v2 2g mv2 2mg EC G HC energia cinética por unidade de peso carga da velocidae γ V γV EPR G HPR energia de pressão por unidade de peso carga da pressão Portanto H HP HC HPR energia total de pressão por unidade de peso carga total Prof Dr Sidney Leal da Silva EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS Então Se entre duas seções do escoamento o fluido for incompressível sem atritos e o regime permanente se não houver dispositivo mecânico nem trocas de calor então as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção não havendo nem ganhos nem perdas das cargas RELAÇÃO ENTRE COTAS VELOCIDADE PRESSÃO E FORÇA PESO H v2 2g z γ energia total por unidade de peso Logo H1 H2 Prof Dr Sidney Leal da Silva EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS ESTUDO DE CASO 1 Água escoa em regime permanente no venture da figura abaixo No trecho considerado supõemse o sistema ideal A área da seção 1 é 20 cm2 e a área da garanta seção 2 10 cm2 Um manômetro cujo fluido manométrico é o mercúrio gHg 136000 Nm3 é ligado entre as seções 1 e 2 e indica o desnível mostrado na figura Pedese a vazão da água que escoa pelo venturi gH20 9810 Nm3 Prof Dr Sidney Leal da Silva ESTUDO DE CASO 1 solução As hipóteses do problema se encaixam perfeitamente na utilização da equação de Bernoulli então z1 v12 2g 1 γ z2 v22 2g 2 γ Os centros geométricos das seções têm a mesma cota z1 z2 v12 2g 1 γ v22 2g 2 γ v22 2g v12 2g 1 γ 2 γ v22v12 2g 12 γ 1 Como A1 A2 então v2 v1 logo a energia cinética aumenta de 1 para 2 e a energia de pressão diminui para que a soma seja constante Isso explica porque o manômetro está desnivelado da esquerda para a direita Prof Dr Sidney Leal da Silva Equação manométrica 1 γH2O h γHg h 2 1 2 γHg γH2O h Substituindo este resultado na equação 1 v22 v12 2g 1 2 γH2O γHg γH2O γH2O h v22 v12 γHg γH2O γH2O 2 g h 2 Mas pela equação da continuidade Q1 Q2 v1 A1 v2 A2 v1 v2 A2 A1 v2 10 cm2 20 cm2 v1 v2 2 3 ESTUDO DE CASO 1 solução Prof Dr Sidney Leal da Silva Substituindo a expressão 3 na equação 2 temse v22 v12 γHg γH2O γH2O 2 g h v22 v2 2 2 γHg γH2O γH2O 2 g h v2 8 γHg γH2O 3 γH2O g h Então v2 8 136000 N m3 9810 N m3 3 x 9810 N m3 981 m s2 x 101m v2 580 ms ESTUDO DE CASO 1 solução Prof Dr Sidney Leal da Silva Logo v1 v2 2 580 2 ms v1 290 ms Portanto Q v2 A2 580 m s x 10 x 102 m 2 Q 580 x 103 m3 s ou Q v1 A1 290m s x 20 x 102 m 2 Q 580 x 103 m3 s ESTUDO DE CASO 1 solução Prof Dr Sidney Leal da Silva EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS REAIS Nesse caso são considerados os atritos internos no escoamento do fluido São mantidas as hipóteses de regime permanente fluido incompressível propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas A equação de Bernoulli nesse caso fica H1 H2 Hp12 Hp12 energia perdida entre 1 e 2 por unidade de peso do fluido H1 H2 são as cargas totais Hp12é a perda de carga Prof Dr Sidney Leal da Silva EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS REAIS Na presença de dispositivo mecânico bomba ou turbina H1 HD H2 Hp12 HD energia fornecida bomba ou retirada turbina H1 H2 são as cargas totais Hp12é a perda de carga HD é carga do dispositivo Prof Dr Sidney Leal da Silva ATIVIDADE Água escoa em regime permanente no venture da figura abaixo No trecho considerado supõemse o sistema ideal A área da seção 1 é 60 cm2 e a área da garanta seção 2 5 cm2 Um manômetro cujo fluido manométrico é o mercúrio gHg 136000 Nm3 é ligado entre as seções 1 e 2 e indica o desnível mostrado na figura Pedese a vazão da água que escoa pelo venturi gH20 9810 Nm3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Prof Dr Sidney Leal da Silva BIBLIOGRAFIA BÁSICA BUNETTI F Mecânica dos Fluidos São Paulo Prentice Hall 2ª ed 2009 CIMBALA JM ÇENGEL YA Mecânica dos Fluídos Fundamentos e Aplicações McGrawHill Interamericana do Brasil Ltda 819p 2007 YOUNG DF OKISH TH MUNSON BR Fundamentos da Mecânica dos Fluídos Ed Edgard Blucher Tradução da 4a edição americana 2004 MACINTYRE A J Equipamentos Industriais e de Processo LTC 1997 FOX R W MACDONALD A T Introdução à Mecânica dos Fluidos 6ª Edição LTC 2006 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Prof Dr Sidney Leal da Silva BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR HENN E A L Máquinas de Fluido 2ª ed Ed Universidade Federal de Santa Maria Santa Maria RS 2006 WHITE FM Mecânica Dos Fluidos McGrawHill 4ª ed 2010 MUNSON BR YOUNG DF OKIISHI TH Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Edgard Blucher 2004 SCHIOZER D Mecânica dos Fluidos Ed LTC 2006 BISTAFA S R Mecânica Dos Fluidos Noções E Aplicações Ed Edgard Blucher 2010 de referência Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences ISSN 01007386 disponível em wwwscielobr