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Agronomia ·
Matemática Aplicada
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2 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ao obter coleções de elementos classificados a partir de certa característica formando conjuntos Os animais vertebrados por exemplo podem ser divididos em cinco classes peixes anfíbios repteis aves e mamíferos Cada uma dessas classes de animais forma um conjunto Na Matemática a ideia de conjunto é fundamental e está presente em diversos conceitos Podemos formar conjuntos a partir de elementos de diferentes naturezas tais como objetos pessoas e números Cada componente de um conjunto é denominado elemento De maneira geral os conjuntos são indicados por letras maiúsculas e seus elementos são dispostos entre chaves separados por vírgula Um conjunto também pode ser indicado por meio de uma figura chamada diagrama de Venn Quando um elemento compõe um conjunto dizemos que esse elemento pertence ao conjunto De maneira semelhante quando ele não compõe o conjunto dizemos que não pertence ao conjunto Quando se trata de números temos uma separação em seis conjuntos numéricos dos quais estudaremos cinco 11 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS INTEIROS RACIONAIS IRRACIONAIS E REAIS Da necessidade de quantificar os membros da comunidade o rebanho de animais etc o ser humano começou a realizar contagens e a registrar quantidades Podemos dizer que dessa necessidade surgiram os números que formam o conjunto dos números naturais 876543210 N Em determinadas situações os números naturais não foram capazes de suprir as necessidades que o ser humano teve de expressar quantidades negativas Dessa necessidade surgiram os números inteiros negativos que com os números naturais formam o conjunto dos números inteiros 5432101 2 3 4 5 Z Como todos os números naturais também são números inteiros temos que N é subconjunto de Z ou seja N Z Ao realizarmos uma medição de massa comprimento temperatura superfície etc estamos comparando a quantidade a ser medida a uma unidade tomada como 3 padrão Se considerarmos por exemplo a área do quadrado maior a seguir como uma unidade de área 1u2 temos que a parte destacada corresponde a 2 4 1 u Para expressarmos medidas como essa utilizamos os números racionais ou seja aqueles que podem ser escritos na forma b a com 0 Z e b Z b a Esses números formam o conjunto dos números racionais Z Z e b b a a Q Os números naturais e os inteiros também são racionais ou seja Q Z N Como vimos os números racionais estão diretamente relacionados à necessidade humana de realizar medições É verdade que até certo momento da história acreditavase que esses números eram suficientes para expressar qualquer medida Contudo os pitagóricos mostraram em seus estudos que nem toda medida pode ser expressa por um número na forma b a com 0 Z e b Z b a Em particular esses estudiosos provaram que a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede uma unidade não corresponde a um número racional Pelo Teorema de Pitágoras temos 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 d d d b a d A representação decimal de 2 possui infinitas casas decimais não periódicas ou seja não é um número decimal exato ou uma dízima periódica Utilizando uma calculadora ou um computador podemos obter 2 com algumas casas decimais 4 168872420 7309504880 2 14142135623 Números com essas características formam o conjunto dos números irracionais indicado por I A raiz quadrada de um número natural não quadrado perfeito é irracional De maneira semelhante toda raiz cúbica de um número natural não cúbico perfeito também é irracional Ao reunirmos o conjunto dos números racionais Q e o conjunto dos números irracionais I obtemos o conjunto dos números reais indicado por R Dessa maneira temos que todo número natural inteiro racional e irracional é um número real I Q R 12 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS Um número real é qualquer número que pode ser escrito na forma decimal Números reais são representados por símbolos como 8 0 175 2333 2 O conjunto dos números reais é ordenado Isso significa que podemos comparar quaisquer dois números reais que não são iguais usando desigualdades podemos dizer que um é menor que ou maior que o outro Geometricamente a b significa que a está à direita de b de modo equivalente b está à esquerda de a na reta dos números reais Podemos comparar dois números reais quaisquer devido à seguinte propriedade importante desses números Lei da Tricotomia Seja a e b dois números reais quaisquer Somente uma das seguintes expressões é verdadeira a b a b ou a b Desigualdades podem ser usadas para descrever intervalos de números reais Sejam a e b números reais com a b Notação de intervalo Tipo de intervalo Notação de desigual dade Representação gráfica ab Fechado b x a 5 ab Aberto b x a ab Fechado à esquerda e aberto à direita b x a ab Aberto à esquerda e fechado à direita b x a a Fechado à esquerda e infinito à direita x a a Aberto à esquerda e infinito à direita x a b Infinito à esquerda e fechado à direita x b b Infinito à esquerda e aberto à direita x b Operações com intervalos Intersecção A B x U x A e x B União A B x U x A ou x B Diferença A B x U x A e x B Exemplos 1 Se A x R 2 x 5 e B x R 3 x 8 determine A B A B e A B 6 2 Se A x R 2 x 0 e B x R 2 x 3 determinar A B A B e A B 13 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Notação científica é também denominada por padrão ou notação em forma exponencial é uma forma de escrever números que acomoda valores demasiadamente grandes 100000000000 ou pequenos 000000000001 para serem convenientemente escritos em forma convencional Para se escrever um número demasiadamente grande em notação científica deslocase a vírgula para a esquerda de maneira que fique apenas um valor à esquerda da vírgula valor este que deverá ser diferente de zero De maneira análoga nos números demasiadamente pequenos deslocase a vírgula para a direita até que fique apenas um número diferente de zero à esquerda da vírgula Em ambos os casos o número formado irá multiplicar uma potência de base 10 cujo expoente corresponderá ao número de casas em que a vírgula fora deslocada 7 Quando a vírgula for deslocada para a esquerda o expoente da potência de base 10 será positivo quando para a direita negativo Exemplos 10 11 10 82 8 0000000002 0 10 62 00 2600000000 Alguns Conceitos Importantes MÓDULO DE UM NÚMERO O módulo de um número é geometricamente a distância dele ao ponto de coordenada zero Assim 0 0 se a a se a a a Exemplo Se a 3 então a 3 ou a 3 Se a 3 então 3 3 a Se a 3 então 3 3 a ou a PAR ORDENADO Se a e b são números reais então ab é um par ordenado de números reais onde o primeiro elemento é a e o segundo elemento é b Representação Gráfica y Eixo das ordenadas b Pab o a x Eixo das abscissas P é o ponto de coordenadas a e b O número a é chamado abscissa de P O número b é chamado ordenada de P A origem do sistema é o ponto O00 2 ÁLGEBRA A álgebra envolve o uso de letras e outros símbolos para representar números reais Uma variável é uma letra ou símbolo por exemplo x y t que representa um 8 número real não específico Uma constante é uma letra ou símbolo por exemplo 2 0 3 que representa um número específico Uma expressão algébrica é a combinação de variáveis e constantes envolvendo adição subtração multiplicação divisão potenciação e radiciação Apresentamos algumas das propriedades das operações aritméticas de adição subtração multiplicação e divisão Adição e multiplicação são as operações primárias Subtração e divisão são definidas em termos da adição e multiplicação Subtração b a b a Divisão 0 1 a b b b a Nas duas definições b é a inversa aditiva ou oposto de b e 1b é a recíproca de b As inversas aditivas nem sempre são números negativos A inversa aditiva de 5 é o número 5 Porém a inversa aditiva de 3 é o número 3 As seguintes propriedades são válidas para números reais variáveis e expressões algébricas Propriedades da álgebra Sejam u v e w números reais variáveis ou expressões algébricas 1 Propriedade comutativa Adição u v v u Multiplicação uv vu 2 Propriedade associativa Adição w v u w v u Multiplicação u vw uv w 3 Propriedade do elemento neutro Adição u u 0 Multiplicação u u 1 4 Propriedade do elemento inverso Adição 0 u u Multiplicação 0 1 u u u u 5 Propriedade distributiva Multiplicação em relação à adição vw uw v w u uw uv w v u Multiplicação em relação à subtração vw uw v w u uw uv w v u O lado esquerdo das equações na propriedade distributiva mostra a forma fatorada das expressões algébricas e o lado direito mostra a forma expandida 21 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO A notação exponencial é usada para diminuirencurtar produtos de fatores que se repetem 9 Sejam a um número real uma variável ou uma expressão algébrica e n um número inteiro positivo Então a a a a a n onde n é o expoente a é a base e n a é a nésima potência de a Sejam u e v números reais variáveis ou expressões algébricas e m e n números inteiros Todas as bases são consideradas diferentes de zero 1ª m n n m u u u 2ª n m n m u u u 3ª u0 1 4ª n n u u 1 5ª m m m v u u v 6ª mn m n u u 7ª m m m v u v u Exemplos de simplificações de expressões envolvendo potências a 5 3 5 2 2 a b ab b 3 1 2 2 v u u v c 3 2 2 x 211 Radicais Se b a 2 então b é a raiz quadrada de a Por exemplo 2 e 2 são raízes quadradas de 4 porque 4 2 2 2 2 Da mesma maneira se b a 3 então b é a raiz cúbica de a Por exemplo 2 é a raiz cúbica de 8 porque 23 8 10 Seja n um número inteiro maior que 1 e a e b números reais 1º Se b n a então b é uma raiz nésima de a 2º Se a tem uma raiz nésima então a principal raiz nésima de a é aquela com o mesmo sinal de a A principal raiz nésima de a é denotada pela expressão com o radical n a O inteiro positivo é o índice do radical e a é o radicando Todo número real tem exatamente uma raiz nésima real quando n é impar Por exemplo 2 é a única raiz cúbica real de 8 Quando n é par números reais positivos têm duas raízes nésimas reais e números reais negativos não têm raízes nésimas reais Por exemplo 2 4 16 e 16 não tem raiz quarta real A principal raiz quarta de 16 é 2 Sejam u e v números reais variáveis ou expressões algébricas e m e n números positivos inteiros maiores que 1 Vamos supor que todas as raízes sejam números reais e todos os denominadores não sejam zero 1ª n n n v u uv 2ª n n n v u v u 3ª m n m n u u 4ª u u n n 5ª m n n m u u 6ª para n ímpar u para n par u n u n 212 Simplificação de expressões com radicais Muitas técnicas de simplificação de raízes de números reais não são mais usadas devido à utilização das calculadoras No entanto vamos mostrar com exemplos o que podemos fazer em casos sem o uso delas a 4 4 4 4 4 2 5 5 2 16 5 80 b x x x x x x x 2 3 2 3 2 9 18 2 2 2 4 5 c xy xy x y 4 4 4 4 4 11 d 3 2 3 2 3 3 6 3 2 3 2 24 y y y 213 Racionalização O processo de reescrever frações contendo radicais de modo que o denominador fique sem esses radicais é a racionalização Quando o denominador tem a forma n n k u poderemos eliminar o radical do denominador pois u u u u u u u n n n k n k n n k k n n k n k Exemplo 3 6 3 3 3 2 3 2 3 2 214 Potenciação com expoentes racionais Sabemos como manipular expressões exponenciais com expoentes inteiros Por exemplo 7 4 3 x x x 6 3 2 x x e assim por diante Mas os expoentes podem ser também números racionais Como deveríamos definir por exemplo 2 1 x Para começar podemos supor que as mesmas regras que aplicamos para expoentes inteiros se aplicam para expoentes racionais Seja u um número real variável ou expressão algébrica e n um número maior que 1 Então n n u u 1 Se m é um número inteiro positivo mn está na forma reduzida e todas as raízes são números reais então n n m n n m u u u 1 e n m n m n m u u u 1 O numerador de um expoente racional é a potência para a qual a base está elevada e o denominador é o índice da raiz A fração mn precisa estar na forma reduzida pois caso contrário isso pode ocasionar algum problema de definição Vejamos 2 3 3 2 u u e esta expressão está definida para todo número real u mas 12 4 6 6 4 u u está definida somente para u 0 Exemplo 2 3 3 y x y x Uma expressão envolvendo potências está simplificada se cada fator aparece somente uma vez e todos os expoentes são positivos Exemplo 5 3 5 2 3 3 2 2 3 1 2 9 x y xy x y xy x y 22 POLINÔMIOS E FATORAÇÃO Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma 0 1 1 1 a a x x a a x n n n n onde n é um inteiro não negativo e an 0 Os números 0 1 1 a a an são números reais chamados coeficientes O grau do polinômio é o n e o coeficiente principal é o número real n a Polinômios com um dois três termos são monômios binômios e trinômios respectivamente Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão 221 Adição subtração e multiplicação de polinômios Para adicionar ou subtrair polinômios nós adicionamos ou subtraímos termos semelhantes usando a propriedade distributiva Termos dos polinômios que têm a mesma variável cada uma elevada à mesma potência são termos semelhantes a 3 5 2 1 4 3 2 2 3 2 3 x x x x x x 3 1 5 4 2 3 2 2 2 3 3 x x x x x x 2 3 2 3 x x x b 2 2 4 3 4 2 3 2 x x x x x 6 4 3 2 2 4 3 4 2 0 2 3 2 2 3 x x x x x x x x Para expandir o produto de dois polinômios nós usamos a propriedade distributiva por exemplo 13 10 7 12 10 8 15 12 2 5 2 4 5 3 4 3 5 2 4 5 4 3 5 2 4 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x x A multiplicação de dois polinômios requer multiplicação de cada termo de um polinômio por todos os termos do outro Uma maneira conveniente de desenvolver o produto é organizar os polinômios na forma padrão um sobre o outro de modo que os termos iguais fiquem alinhados verticalmente Exemplo 5 4 3 4 2 2 x x x x 2 3 4 2 2 3 4 5 4 3 4 x x x x x x x x x x 12 16 4 2 3 15 20 5 2 x x 15 8 8 0 2 3 4 x x x x Assim 15 8 8 5 4 3 4 2 4 2 2 x x x x x x x 222 Produtos notáveis Alguns produtos são uteis quando por exemplo precisamos fatorar polinômios Eis uma lista de alguns produtos notáveis Sejam u e v números reais variáveis ou expressões algébricas 1º Produto de uma soma e uma diferença 2 2 v u v v u u 2º Quadrado de uma soma de dois termos 2 2 2 2 v uv u v u 3º Quadrado de uma diferença de dois termos 2 2 2 2 v uv u v u 4º Cubo de uma soma de dois termos 3 2 2 3 3 3 3 v uv u v u v u 5º Cubo de uma diferença de dois termos 3 2 2 3 3 3 3 v uv u v u v u ATIVIDADES DE APLICAÇÃO 1 Complete usando os símbolos ou a 7 N b 2 Q c ½ I d 4 9 Q e 01666 Q f 64 R g 3232 Q h 3 27 Z
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2 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ao obter coleções de elementos classificados a partir de certa característica formando conjuntos Os animais vertebrados por exemplo podem ser divididos em cinco classes peixes anfíbios repteis aves e mamíferos Cada uma dessas classes de animais forma um conjunto Na Matemática a ideia de conjunto é fundamental e está presente em diversos conceitos Podemos formar conjuntos a partir de elementos de diferentes naturezas tais como objetos pessoas e números Cada componente de um conjunto é denominado elemento De maneira geral os conjuntos são indicados por letras maiúsculas e seus elementos são dispostos entre chaves separados por vírgula Um conjunto também pode ser indicado por meio de uma figura chamada diagrama de Venn Quando um elemento compõe um conjunto dizemos que esse elemento pertence ao conjunto De maneira semelhante quando ele não compõe o conjunto dizemos que não pertence ao conjunto Quando se trata de números temos uma separação em seis conjuntos numéricos dos quais estudaremos cinco 11 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS INTEIROS RACIONAIS IRRACIONAIS E REAIS Da necessidade de quantificar os membros da comunidade o rebanho de animais etc o ser humano começou a realizar contagens e a registrar quantidades Podemos dizer que dessa necessidade surgiram os números que formam o conjunto dos números naturais 876543210 N Em determinadas situações os números naturais não foram capazes de suprir as necessidades que o ser humano teve de expressar quantidades negativas Dessa necessidade surgiram os números inteiros negativos que com os números naturais formam o conjunto dos números inteiros 5432101 2 3 4 5 Z Como todos os números naturais também são números inteiros temos que N é subconjunto de Z ou seja N Z Ao realizarmos uma medição de massa comprimento temperatura superfície etc estamos comparando a quantidade a ser medida a uma unidade tomada como 3 padrão Se considerarmos por exemplo a área do quadrado maior a seguir como uma unidade de área 1u2 temos que a parte destacada corresponde a 2 4 1 u Para expressarmos medidas como essa utilizamos os números racionais ou seja aqueles que podem ser escritos na forma b a com 0 Z e b Z b a Esses números formam o conjunto dos números racionais Z Z e b b a a Q Os números naturais e os inteiros também são racionais ou seja Q Z N Como vimos os números racionais estão diretamente relacionados à necessidade humana de realizar medições É verdade que até certo momento da história acreditavase que esses números eram suficientes para expressar qualquer medida Contudo os pitagóricos mostraram em seus estudos que nem toda medida pode ser expressa por um número na forma b a com 0 Z e b Z b a Em particular esses estudiosos provaram que a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede uma unidade não corresponde a um número racional Pelo Teorema de Pitágoras temos 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 d d d b a d A representação decimal de 2 possui infinitas casas decimais não periódicas ou seja não é um número decimal exato ou uma dízima periódica Utilizando uma calculadora ou um computador podemos obter 2 com algumas casas decimais 4 168872420 7309504880 2 14142135623 Números com essas características formam o conjunto dos números irracionais indicado por I A raiz quadrada de um número natural não quadrado perfeito é irracional De maneira semelhante toda raiz cúbica de um número natural não cúbico perfeito também é irracional Ao reunirmos o conjunto dos números racionais Q e o conjunto dos números irracionais I obtemos o conjunto dos números reais indicado por R Dessa maneira temos que todo número natural inteiro racional e irracional é um número real I Q R 12 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS Um número real é qualquer número que pode ser escrito na forma decimal Números reais são representados por símbolos como 8 0 175 2333 2 O conjunto dos números reais é ordenado Isso significa que podemos comparar quaisquer dois números reais que não são iguais usando desigualdades podemos dizer que um é menor que ou maior que o outro Geometricamente a b significa que a está à direita de b de modo equivalente b está à esquerda de a na reta dos números reais Podemos comparar dois números reais quaisquer devido à seguinte propriedade importante desses números Lei da Tricotomia Seja a e b dois números reais quaisquer Somente uma das seguintes expressões é verdadeira a b a b ou a b Desigualdades podem ser usadas para descrever intervalos de números reais Sejam a e b números reais com a b Notação de intervalo Tipo de intervalo Notação de desigual dade Representação gráfica ab Fechado b x a 5 ab Aberto b x a ab Fechado à esquerda e aberto à direita b x a ab Aberto à esquerda e fechado à direita b x a a Fechado à esquerda e infinito à direita x a a Aberto à esquerda e infinito à direita x a b Infinito à esquerda e fechado à direita x b b Infinito à esquerda e aberto à direita x b Operações com intervalos Intersecção A B x U x A e x B União A B x U x A ou x B Diferença A B x U x A e x B Exemplos 1 Se A x R 2 x 5 e B x R 3 x 8 determine A B A B e A B 6 2 Se A x R 2 x 0 e B x R 2 x 3 determinar A B A B e A B 13 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Notação científica é também denominada por padrão ou notação em forma exponencial é uma forma de escrever números que acomoda valores demasiadamente grandes 100000000000 ou pequenos 000000000001 para serem convenientemente escritos em forma convencional Para se escrever um número demasiadamente grande em notação científica deslocase a vírgula para a esquerda de maneira que fique apenas um valor à esquerda da vírgula valor este que deverá ser diferente de zero De maneira análoga nos números demasiadamente pequenos deslocase a vírgula para a direita até que fique apenas um número diferente de zero à esquerda da vírgula Em ambos os casos o número formado irá multiplicar uma potência de base 10 cujo expoente corresponderá ao número de casas em que a vírgula fora deslocada 7 Quando a vírgula for deslocada para a esquerda o expoente da potência de base 10 será positivo quando para a direita negativo Exemplos 10 11 10 82 8 0000000002 0 10 62 00 2600000000 Alguns Conceitos Importantes MÓDULO DE UM NÚMERO O módulo de um número é geometricamente a distância dele ao ponto de coordenada zero Assim 0 0 se a a se a a a Exemplo Se a 3 então a 3 ou a 3 Se a 3 então 3 3 a Se a 3 então 3 3 a ou a PAR ORDENADO Se a e b são números reais então ab é um par ordenado de números reais onde o primeiro elemento é a e o segundo elemento é b Representação Gráfica y Eixo das ordenadas b Pab o a x Eixo das abscissas P é o ponto de coordenadas a e b O número a é chamado abscissa de P O número b é chamado ordenada de P A origem do sistema é o ponto O00 2 ÁLGEBRA A álgebra envolve o uso de letras e outros símbolos para representar números reais Uma variável é uma letra ou símbolo por exemplo x y t que representa um 8 número real não específico Uma constante é uma letra ou símbolo por exemplo 2 0 3 que representa um número específico Uma expressão algébrica é a combinação de variáveis e constantes envolvendo adição subtração multiplicação divisão potenciação e radiciação Apresentamos algumas das propriedades das operações aritméticas de adição subtração multiplicação e divisão Adição e multiplicação são as operações primárias Subtração e divisão são definidas em termos da adição e multiplicação Subtração b a b a Divisão 0 1 a b b b a Nas duas definições b é a inversa aditiva ou oposto de b e 1b é a recíproca de b As inversas aditivas nem sempre são números negativos A inversa aditiva de 5 é o número 5 Porém a inversa aditiva de 3 é o número 3 As seguintes propriedades são válidas para números reais variáveis e expressões algébricas Propriedades da álgebra Sejam u v e w números reais variáveis ou expressões algébricas 1 Propriedade comutativa Adição u v v u Multiplicação uv vu 2 Propriedade associativa Adição w v u w v u Multiplicação u vw uv w 3 Propriedade do elemento neutro Adição u u 0 Multiplicação u u 1 4 Propriedade do elemento inverso Adição 0 u u Multiplicação 0 1 u u u u 5 Propriedade distributiva Multiplicação em relação à adição vw uw v w u uw uv w v u Multiplicação em relação à subtração vw uw v w u uw uv w v u O lado esquerdo das equações na propriedade distributiva mostra a forma fatorada das expressões algébricas e o lado direito mostra a forma expandida 21 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO A notação exponencial é usada para diminuirencurtar produtos de fatores que se repetem 9 Sejam a um número real uma variável ou uma expressão algébrica e n um número inteiro positivo Então a a a a a n onde n é o expoente a é a base e n a é a nésima potência de a Sejam u e v números reais variáveis ou expressões algébricas e m e n números inteiros Todas as bases são consideradas diferentes de zero 1ª m n n m u u u 2ª n m n m u u u 3ª u0 1 4ª n n u u 1 5ª m m m v u u v 6ª mn m n u u 7ª m m m v u v u Exemplos de simplificações de expressões envolvendo potências a 5 3 5 2 2 a b ab b 3 1 2 2 v u u v c 3 2 2 x 211 Radicais Se b a 2 então b é a raiz quadrada de a Por exemplo 2 e 2 são raízes quadradas de 4 porque 4 2 2 2 2 Da mesma maneira se b a 3 então b é a raiz cúbica de a Por exemplo 2 é a raiz cúbica de 8 porque 23 8 10 Seja n um número inteiro maior que 1 e a e b números reais 1º Se b n a então b é uma raiz nésima de a 2º Se a tem uma raiz nésima então a principal raiz nésima de a é aquela com o mesmo sinal de a A principal raiz nésima de a é denotada pela expressão com o radical n a O inteiro positivo é o índice do radical e a é o radicando Todo número real tem exatamente uma raiz nésima real quando n é impar Por exemplo 2 é a única raiz cúbica real de 8 Quando n é par números reais positivos têm duas raízes nésimas reais e números reais negativos não têm raízes nésimas reais Por exemplo 2 4 16 e 16 não tem raiz quarta real A principal raiz quarta de 16 é 2 Sejam u e v números reais variáveis ou expressões algébricas e m e n números positivos inteiros maiores que 1 Vamos supor que todas as raízes sejam números reais e todos os denominadores não sejam zero 1ª n n n v u uv 2ª n n n v u v u 3ª m n m n u u 4ª u u n n 5ª m n n m u u 6ª para n ímpar u para n par u n u n 212 Simplificação de expressões com radicais Muitas técnicas de simplificação de raízes de números reais não são mais usadas devido à utilização das calculadoras No entanto vamos mostrar com exemplos o que podemos fazer em casos sem o uso delas a 4 4 4 4 4 2 5 5 2 16 5 80 b x x x x x x x 2 3 2 3 2 9 18 2 2 2 4 5 c xy xy x y 4 4 4 4 4 11 d 3 2 3 2 3 3 6 3 2 3 2 24 y y y 213 Racionalização O processo de reescrever frações contendo radicais de modo que o denominador fique sem esses radicais é a racionalização Quando o denominador tem a forma n n k u poderemos eliminar o radical do denominador pois u u u u u u u n n n k n k n n k k n n k n k Exemplo 3 6 3 3 3 2 3 2 3 2 214 Potenciação com expoentes racionais Sabemos como manipular expressões exponenciais com expoentes inteiros Por exemplo 7 4 3 x x x 6 3 2 x x e assim por diante Mas os expoentes podem ser também números racionais Como deveríamos definir por exemplo 2 1 x Para começar podemos supor que as mesmas regras que aplicamos para expoentes inteiros se aplicam para expoentes racionais Seja u um número real variável ou expressão algébrica e n um número maior que 1 Então n n u u 1 Se m é um número inteiro positivo mn está na forma reduzida e todas as raízes são números reais então n n m n n m u u u 1 e n m n m n m u u u 1 O numerador de um expoente racional é a potência para a qual a base está elevada e o denominador é o índice da raiz A fração mn precisa estar na forma reduzida pois caso contrário isso pode ocasionar algum problema de definição Vejamos 2 3 3 2 u u e esta expressão está definida para todo número real u mas 12 4 6 6 4 u u está definida somente para u 0 Exemplo 2 3 3 y x y x Uma expressão envolvendo potências está simplificada se cada fator aparece somente uma vez e todos os expoentes são positivos Exemplo 5 3 5 2 3 3 2 2 3 1 2 9 x y xy x y xy x y 22 POLINÔMIOS E FATORAÇÃO Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma 0 1 1 1 a a x x a a x n n n n onde n é um inteiro não negativo e an 0 Os números 0 1 1 a a an são números reais chamados coeficientes O grau do polinômio é o n e o coeficiente principal é o número real n a Polinômios com um dois três termos são monômios binômios e trinômios respectivamente Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão 221 Adição subtração e multiplicação de polinômios Para adicionar ou subtrair polinômios nós adicionamos ou subtraímos termos semelhantes usando a propriedade distributiva Termos dos polinômios que têm a mesma variável cada uma elevada à mesma potência são termos semelhantes a 3 5 2 1 4 3 2 2 3 2 3 x x x x x x 3 1 5 4 2 3 2 2 2 3 3 x x x x x x 2 3 2 3 x x x b 2 2 4 3 4 2 3 2 x x x x x 6 4 3 2 2 4 3 4 2 0 2 3 2 2 3 x x x x x x x x Para expandir o produto de dois polinômios nós usamos a propriedade distributiva por exemplo 13 10 7 12 10 8 15 12 2 5 2 4 5 3 4 3 5 2 4 5 4 3 5 2 4 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x x A multiplicação de dois polinômios requer multiplicação de cada termo de um polinômio por todos os termos do outro Uma maneira conveniente de desenvolver o produto é organizar os polinômios na forma padrão um sobre o outro de modo que os termos iguais fiquem alinhados verticalmente Exemplo 5 4 3 4 2 2 x x x x 2 3 4 2 2 3 4 5 4 3 4 x x x x x x x x x x 12 16 4 2 3 15 20 5 2 x x 15 8 8 0 2 3 4 x x x x Assim 15 8 8 5 4 3 4 2 4 2 2 x x x x x x x 222 Produtos notáveis Alguns produtos são uteis quando por exemplo precisamos fatorar polinômios Eis uma lista de alguns produtos notáveis Sejam u e v números reais variáveis ou expressões algébricas 1º Produto de uma soma e uma diferença 2 2 v u v v u u 2º Quadrado de uma soma de dois termos 2 2 2 2 v uv u v u 3º Quadrado de uma diferença de dois termos 2 2 2 2 v uv u v u 4º Cubo de uma soma de dois termos 3 2 2 3 3 3 3 v uv u v u v u 5º Cubo de uma diferença de dois termos 3 2 2 3 3 3 3 v uv u v u v u ATIVIDADES DE APLICAÇÃO 1 Complete usando os símbolos ou a 7 N b 2 Q c ½ I d 4 9 Q e 01666 Q f 64 R g 3232 Q h 3 27 Z