Curso de Análise Estrutural - Volume I: Estruturas Isostáticas

wg i iz r 2 2p r st s e r zri i ar 4 I A S CURSO DE ANÁLISE ESTRUTURAL Volume I Estruturas Isostaticas O lum de Análise Estnitural compreende os volumes 1 Estruturas isostáticag 11 Deformações em estruturas Mbtodo das forças 111 Método das deformapes Processo de Cross CIPBrasil Cataiogaçãonakonlc Câmara Brasileira do Livro SP Siisseklnd 306 Carlos 1947 S963c Curso de análise estnitural José Carlos Siissekind v13 6 ed Porto Alegre Rio de Janeiro Globo 1981 v ilust EnciolopMia tbcniui unfversal Globo Bibiiogmííí Conteiido v 1 Estnitiuas isostáticar 2 Deforma ções em estruturas Método das forps 3 Método das deformaç6es Processo de Cross I 1 EstruturaçAnáüse Engenharia I Tftulo U Tftu 10 Estrutuas isostáticar IU Sene hdloes parn catálogo slstedtim 1 Análise estrutural Engenharia 624171 2 Estruturas Análise Engenhada 624171 Enciclopédia Técnica Universal Globo JOSE CARLOS SUSSEKIND CURSO DE ANÁLISE ESTRUTURAL Volume I Estruturas Isostáticas 6 Edição EOi IORA GLOBO Porto Alegre 0 Rio de Janeiro 1981 l Edição dezembro de 1975 2 Edição juiho de 1977 3 Edição março de 1979 4 Ediçáo maio de 1979 S Edlçáo março de 1980 Capa Ruben H e m a n n A primeira edição desta obra foi realizada em convênio com a Universidade de São Paulo Direitos exclusivos de edição em língua portuguesa da Editora Globo S A Av Getúlio Vagas 1271 90000 P o r t o Alegre RS Rua Sarg Sllno Hollenbach 350 21510 Rio de Janeiro R1 I Apresentacão A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da necessi dade encontrada de um texto que nos servisse desuporte para o ensino da Isosiática e da Hiperestática aos futuros engenheiros civis idéia esta que cresceu com o estímulo recebido da parte de diversos colegas de magistério que se vèm deparando com o mesmo problema e cuja concretização se tomou possível a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em editálo O Curso de Análise Estmturd será dividido em três volumes no primei ro dos quais estudaremos os esforços nas estmturas isostáticas ficando o es tudo dos esforços nas estruturas hiperestáticas e das deformações em estru turas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes Nestes últimos incluiremos também o estudo de alguns tbpicos especiais cujo conhecimento julgamos indipensável ao engenheiro civil Na apresentação deste Curso é dever de gratidão mencionar o nome do extraordinário professor que é o Dr Domício Falcão Moreira e Silva a quem devemos nossos conhecimentos de Mecãnica Racional e de Mecânica das Estruturas e por iniciativa de quem fomos lançados no magistério superior I na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Agradecemos antecipadamente aos nossos leitores e colegas quaisquer comentários sugestões ou críticas que nos venham a enviar através da Editora Globo pois a partir deles estaremos em condições de tentar sempre melhorar este trabalho no sentido de tornálo cada vez mais útil ao nosso estu dante objetivo final de nossos esforços Rio de Janeiro 1Q de abril de 1974 José Carlos Sussekind Sumário CAmULO I CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1 Domínio de estudo da Análise Estmtunl 1 2 As grandezas fundzmentais Força e Momento 2 21 Força 2 22 Momento 3 221 Propriedades do momento 4 22 11 Momento de uma força em relaçáo a um ponto 4 2212 Momentos de uma força em relação a diversos pontos 5 22 13 Momento de uma força em relação a um eua 6 2214 Momento constante de um sistema de duas forças paralelas de mesmo módulo e sentidos opostos 9 23 Redução de um sistema de forças a um ponto Conceito físico 10 3 Condições de equilíbrio 10 31 Casos particulares importantes 12 311 Sistema de forças concorrentes no espaço 12 312 Sistema de forças paralelas no espaço 12 313 Sistema de forças coplanares 14 4 Graus de liberdade Apoios Estaticidade e Estabilidade 16 41 Graus de liberdade 16 42 Apoios 17 421 Estruturas planas canegadas no próprio plano 18 422 Cálculo das reaçóes de apoiÒ 20 43 Estaticidade e Estabilidade 23 5 Esforps simples 25 51 Caso particular importante estruturas planas canegadas no próprio plano 34 6 Cargas 40 61 Cargas mncentradas 41 62 Cargas distribuídas 41 63 Cargasmomento 45 CAPITULO U ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 1 As equações fundamentais da Estática 48 2 Vigas biapoiadas 50 21 Carga concentrada 50 22 Carga uniformemente distribuída 53 23 Carga triangular 55 24 Carpamomcnto 59 25 Casa geral de carregamento 62 3 Vigas engastadas e livres 67 4 Vigas biapoiadas com balanços 69 5 Vigas Gerber 73 5L Introdução 73 52 Exemplos de decomposição 77 6 Vigas inclinadas 79 61 viga submetida a carregamento distribuído vertical 79 62 Viga submetida a carregamento distribuído horizontal 81 63 Viga submetida a carregamento distribuído perpendicular a scu eixo 82 7 Problemas resolvidos 84 8 Froblemas propostos 98 9 Solução dos pmblemas propostos 104 CAPfiULO 111 ESTUDO DOS QUADROS ISOSTATICOS PLANOS 1 Quadros simplm 110 11 Quadro biapoiado 110 12 Quadro engastado c livre 115 13 Quadro triarticulado 117 14 Quadro biapoiado com articulação L tuante ou escora 121 2 Quadros com banas c u m 123 3 Quadros compostos 130 31 Introdução 130 32 Exemplos de decomlosiçáo 131 33 Exemplos de resolução 135 4 Estudo dos arcos triarticulados 140 41 Estudo dos arcas triarticulados para carrwamanto vertical em função da viga de substituição 141 42 Definição e determinação da linha de pressões 143 43 Aplicações 146 6 Problemas propostos 156 1 i 7 Solução dos problemas pmpstos 170 2 Cbdieação das treliças 192 21 Qiianta à estatiçidde 192 22 Quanta à lei de formação 195 3 Método de Ritter 195 31 As bases do método 195 32 Exemplos de aplicação 198 33 Resolução das treliças de altura constante em funão da viga de substituição 202 331 Treliça com uma diagonal por paiiiel 202 332 Treliças com duas diagonais por painel VisHssler 214 4 Método de Cremona 220 41 Introdução 220 42 Apresentação do método 223 421 Notacão das cargas e dos esforço normais 223 422 Roteiro do método 223 43 Exemplos 226 5 Treliças compostas 231 51 Conceituação 231 52 Método dc resoluqão 233 53 Aplicaçóes 236 6 Treliças complexas 241 61 Conceituação 241 62 Método geral de resolução das treliças complexas Método de Henneberg 241 63 Aplicações 246 7 Treliças com cargas fora dos nó 251 71 Método de resolução 251 72 Aplicações 253 8 Intmdufão ao estudo das treliças espaciais 258 9 Problemas propostos 263 10 lo dos problemas PrOPOStOS 270 1 Estudo das grelhas isostáticas 275 11 Introdução 275 12 Definição 276 13 Aplicações 279 14 Vigasbalcão 286 2 Estudo dos quadros espaciais isostáticos 289 3 hohlcrnas propostos 292 4 Soluo dos pmblemaa prnposios 295 CAPTULO VI ESTUDO DAS CARGAS M6VEIS EM ESTRUTURAS ISOSTATICAS I lnhoduçáo 298 11 Classificação das cargas que atuam nas estruturas 298 12 Definivão das cargas móveis Tronstipo 299 13 O pmblcma a resolver Forma de resolução 300 2 Linhas de influência 301 21 Dcfinição 301 22 Fascs dc resolução do problcma 302 23 Obtenção dos efeitos conhecidos o tremtipo i a linha dc influência 302 24 Obtenção das linhas de influência para 2s estruturas isostáticas 304 241 Viga engastada e livre 304 242 Viga biapoiada 305 2421 Pesquisa dos valores máximos 311 243 Viga biapoiada com balanços 320 244 Vigas Gerber 325 245 Sistemas triarticulados 328 2451 Tcnsões nos bordos das seçõçs 330 2452 Tensóes nos bordos dos encontros 332 246 Treliyas 342 2461 Caso particular treliças de altura constante 346 3 Roblemas propostos 351 4 soluQ dos problemas pmpartos 357 Introducão ao primeiro volume O primeiro volume em que fazemos o estudo estático das estruturas isostáticas para cargas permmentes e móveis foi dividido em seis capítulos comentados a seguir O primeiro capitulo Conceitos Fundamentais visa a fiwaçãodos c m ceitos de Mecãnica Racional que julgamos base imprescindível à boa com preensão da Análise Estrutural nele d e f k o s as condições estáticas do equilíbrio introduzimos as noções de vínculos graus de liberdade e estati cidade de uma estrutura e definimos os esforços simples que atum numa seção de uma estrutura No segundo capítulo Estudo das vigas isostáticas apresentamos as equações diferenciais fundamentais de Estática estudando a seguir para os diversos tipos de carregamentos que podem ocorrer na prática as vigas biapoiada engastada e livre biapoiada com balanços e Gerber Durante este estudo são apresentadas ao leitor pouco a pouco as idéias básicas para o traçado dos diagramas solicitantes que ao fm deste capítulo não deverá mais encontrar qualquer dificuldade neste setor O terceiro capitulo aborda em detalhes os quadros isostáticos simples e compostos Queremos chamar a atenção para a enorme importância deste estudo pois embora os quadros isostáticos ocorram com pequena incidência I na prática seu perfeito conhecimento é absolutamente indispensável ao estudo das estruturas hiperestáticas Este é um problema com o qual nos deparamos constantemente no ensino de Hiperestáticq motivo pelo quaI demos uma grande ênfase ao tratamento dos quadros isostáticos em nosso Curso O quarto capitulo trata do estudo das treliças isostáticas planas simples compostas e complexas sendo discutida sua lei de formação è apresentados seus dois grandes métodos de resolução Ritter e Cremona São feitas aplicações para os tipos usuais de treliças da prática Entre eles ênfase especial mereceu o caso das treliças cujo estudo pode ser feito recair no de uma viga de substituição muito comuns em pontes No final do capitulo apresentanos as idiias básicas para a geração e o estudo das treliças isostáticas no espaço mostrando como obedecem às inesmasidéias básicas válidas para treliças planas O quinto capítulo estuda os quadros isostáticos espaciais recebendo ênfase maior o caso das grelhas Este estudo não aparece normalmente nas obras clássicas sobre Estática o que a nosso ver tem contribuído para criar quase que um tabu a respeito destas estruturas que julgamos poder evitar começando a estudiilas paralelamente ao estudo das estruturas planas Este procedimento vem sendo adotado com grande êxito nas cadeiras de Análise Estrutural na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro o que nos levou à colocação do assunto no primeiro volume deste Curso Finalmente o sexto capítulo estuda os efeitos estáticos das cargas móveis atuantes nas estruturas isostáticas através do processo das linhas de influência O processo é aplicado para todos os tipos de estruturas isostáticas obtendose as envoltórias necessárias ao projeto das pontes viadutos vigas de rolamento etc Ao fun de cada capítulo apresentamos uma lista de problemas p r o postos cuja resolução é indispensável à sedimentação da teoria e exemplos apresentados durante a exposição de cada assunto e que representam a parcela de trabalho individual que cada leitor precisa realiiapara atingir um bom domínio da Isostática base sólida e indispensável para o prossegui mento no estudo da Análise Estmtural Na oportunidade queremos deixar registrados nossos agradecimentos ao amigo José de Moura Villas Boas pelo trabalho de revisão deste volume e aos demais amigos que com suas sugestões estímulo e ajuda no traçado das figu ras colaboraram para elaboração deste trabalho Rio de Janeiro 3 de Junho de 1974 CONCEITOS FUI NDAN 1 DOMmIO DE ESTUDO DA ANÁLISE ESTRUTURAL A Anáiise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas consis tindo este estudo na determinação dos esforços e das deformações a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos cargas variações térmicas movimento de seus apoios etc As estruturas se compõem de uma ou mais peças ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável isto é um conjunto capaz de receher solicitações externas absoêIas internamente e transmitilas até seus apoios onde estas solicitações externas encontrar50 seu sistema estático equilibrante As peças que compõem as estruturas possuem evidentemente três diien sões Três casos podem ocorrer a duas dimensões são pequenas em relação à terceira h uma dimensão é pequena em relação às outras duas c as três dimens8es são consideráveis No l caso que corresponde ao da maioria das estruturas da prática a dimensão maior é o comprimento da peça estando as duas outras dimensães nadas no plano a ele perpendicular plano da seção transversal da peça ste caso o estudo estático da peça que será denominada barra pode ser ito considerandoa unidimensional isto é considerandoa representada pelo u eixo lugar geométrico dos centros de gravidade de suas seções trans rsais Uma barra será dita reta ou curva conforme seu eixo seja reto ou INO Conforme os eixos das diversas barras que compõem a estrutura este m ou não contidos no mesmo plano a estrutura será chamada estrutura ana ou espacial O 2P e o 39 casos são aqueles respectivamente das placas das cascas uja espessura 6 pequena em presença da superfície da peça superfície esta 2 Curso de analise estrutural plana para as placas e curva para as cascas e dos blocos caso das barragens e não serão abordados neste Ciifiau de Análise Estrutural são estudados a par tir da teoria da Elasticidade erri Cadeiras próprias em nível especialização ou pósgraduação dependendo da Universidade Nosso Curso de Análise Estrutural será então um curso da Análise Estni tural das barras A teoria que aqui desenvolveremos tem precisão excelen te para barras cuja relação do comprimento para a altura seja superior a 10 1 apresentando precisáo ainda boa para relações até 5 1 Estas relações englobam a esmagadora maioria das barras da prática Nos casos em que esta relação se torne inferior a peça não mais poder6 ser classificada como barra devendo ser estudada como placa casca ou bloco conforme o caso 2 AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS FORÇA E MOMENTO l Força A noção de força é das mais intuitivas possfveis podemos exercer uma força sobre um corpo por meio de um esforço muscular uma locomotiva exerce força sobre os vagões que ela reboca uma mola esticada exerce forças sobre as peças que fotam suas extremidades etc Em todos estes casos O corpo que exerce a força está em contato w m aquele sobre o qual ela é exer cida tratamse pois de forças de contato Há também forças que a t u m através do espaço sem contato chamadas por esta razão forças de ação à distância são as forças devidas à existência de campos agindo sobre o corpo É o caso das forças elhtricas magnéticas das forças de gravitação e no caso da Terra das forças devidas à gravidade que são os pesos dos corpos Estas últimas serão as mais importantes da Análise Estrutural c o n f m e veremos em seu desenvolvimento E wmum chamarse b forças que aluam numa estrutura de cargas denominação esta que manteremos em nosso Curso As forças são grandezas vetoriais caracterizadas por direçáo sentido e intensidade Sua unidade no sistema MTS que é o adotado em Engenharia Estrutural é a toneladaforça cujo símbolo B t ou mais simpmcadarnente t2 I Não é nosso objetivo neste tbpiw escrever um tratado sobre Estática Abstrata já estudada nas Cadeiras de Mecânica Racional que antecedem àr de Análise Estrutural Faremos apenas uma apresentaqão à nossa maneira dos conceitos basiws a respeito dos quais muitas vezes o aluno que se inicia no estudo da Análise Estrutural apresenta dúvidas mnforme tem demonstrado nossa experiência bem como a de diversos colegas de magistério Não confunair esre Ultimo com a unidade de massa do sistema MTS Conceitos fundamentais 3 No caso mais geral que é o das forças situadas no espaço elas ficam de fuiidas por um ponto de passagem e por suas componentes X Y e Z segundo os eixos triortogonais x y z a partir das quais podemos expressálas pela igualdade 11 Não nos deteremos no estudo das propriedades das forças para as quais valem as propriedades dos vetores já estudadas em Cálculo Vetorial 22 Momento Seja a barra da Fig 11 suportada em Cpor um cutelo sem atrito e tendo um peso de 10 kg suspenso em B que se deseja contrabalançar por um peso suspenso em L 4m 2m 1 Fig 11 E fácil ver que o peso a ser colocado em A a fm de contrabalançar o efeito da rotação da barra em tomo do cutelo C deve ser inferior a 10 kg por estar mais afastado de C do que este último por tentativas veríamos que seu valor deve ser de 5 kg Este exemplo simples foi escolhido para ilustrar o fato de que o efeito de rotação de uma força em torno de um ponto depende do valor da força e também de sua distância ao ponto sendo diretarnente pro porcional a ambos Se desejarmos então criar uma nandeza física através da qual queiramos representar a tendência de rotação em torno de um ponto provocada por uma força esta grandeza deverá ser função da força e de sua distância ao ponto Esta grandeza é o momento que será defmido da maneira a seguir Chamase momeo de uma força F em relação a um ponto O ao produto vetorial do vetzr OM sendoM um ponto qualquer situado sobre a Iinlia de ação da força F pela força F conforme indica a Fig 12 t t Temos 5 OMA F 12 4 Cuno de análise esbutural Representaremos o vetormomento m por um vetor com seta dupla a fm de não confundilo com uma for ça Sua direção é perpendicular ao plano 5 que contém a retasuporte da força F e o ponto 0 seu sentido é da do a a f t i r do sentidoba rotação do L 3 vetor no mesmo OM para a pjartir o vetor do sentido F ou o da que rota dá çio da força F em tomo do ponto 0 1 pela regra da mão direita conforme indica a Fig 12 fazendo a mão direi ia girar no sentido desta rotação e obtendose o sentido do vetormomen to pela posição ocupada pelo polegar durante esta rotação o polegar aponta para o lado em que está situada a seta dupla do v e t o m o m t o p u m6 dulo é dado por I ml i OMi IFlsen a Fd isto 6 iqal ao produto do mó dulo da força F pela menor distância do ponto O à sua linha de ação A unidade de momento no sistema Pig 12 MTS é o mt ou tm 221 Propriedades do momento Estudaremos a seguir algumas propriedades do momento que conduzirão a conclusóes importantes no estudo da Análise Estrutural 2211 O momento m de uma força em ração a um ponto 0 é igual à soma vetoribdo momento da força F em relação ao ponto O com o momento de F suposta aplicada em O em relação ao ponto 0 Conceitos fundamentais 5 A partir da definição de momento temos Como a partir da Fig 13 temos I OA 0 0 t OA podemos escrever I m3 00 O A A F O O A F GAF iii toCi 19 ficando demonstrada nossa propriedade 2212 Os momentos de uma força F em relação a diversos pontos situados sobre um mesmo eixo têm projeção idêntica sobre este eixo v Pig 14 Seja uma força F e um eixo r definido pelos ponfps O e O conforme indica a Fig 14 Calculado o momento da força F em relação ao pon to 0 podemos determinar sua projecão sobre a reta r à quchamaremos p Calculemos agora a projeção do momento m da força F em relação ao ponto O sobre a reta r A partir da igualdade 13 podèmos escrever que 6 Cursa de anblise estrutural 4 proj 2 proj proj OOAF P proj 0 3 F Ora sabemos pela definição de produto vetoriiqueOO A F é um vetar perpendicular à reta r e que portanto projOOAF 0 Com isto temos proj m proj m proj m p 2213 O momento iii de uma força F em relação a um ponto O pode ser representado por suas projeções M My e Mz na direção de 3 eixos cartesianos triortogonais conforme indica a Fig 15 a partir das quais pode ser definido pela igualdade L4 Z A As projeções M My e M são cha I madas momentos da força em rela I ção aos eixosx y e z respectivamente f O um momento eixo é então de uma uma força grandeza em relação emi a nentemente escalar cujo sinal 6 posi I tivo ou negativo conforme a dupla seta I O v 5 do momento resultante tenha sua I L projeção sobre o eixo acompanhando Mx ou não seu sentido positivo ou o que dá no mesmo verificando pela regra da máo direita se a rotação da força em torno do eixo d i um momento no Fig 15 sentido positivo ou negativo do eixo Levandose em conta a pypriedade 2212 deste tópico podemos definir o momento de uma força F em relação a um eixo como sendo a projeçáõ sobre esse eixo do momento desta força em relação a qualquer ponto desse eixo Observações a Calculemos o momento de uma força em relação a um eixo que lhe seja coplanar conforme indica a Fig 16 O momento m desta forçemrelação a um ponto genérico O deste eixo sendo dado por OMA F é perpendicular ao plano P definido pela força F e pelo eixo r Sua projeção sobre r seráentão nula Podemos pois afirmar que o momento de uma força em relação a um eixo que lhe seja concorrente ou paralelo 6 nulo nos dois casos a forqa e o eixo são coplanares Esta propriedade seri de grande importância no nosso estudo onceitos fundamentais Fig I 4 Fig 17 b O momento resultante de um sistema de forças coplanares em relação a qualquer ponto situado no plano destas forças será sempre perpendicular a este plano pois a partir da obseação anterior imaginando ser este plano o que contém os eixos x e y leríamos M My O e o momento resultante m ficaria dado por M k sendo z o eixo perpendicular ao plano das forças conforme indica a Fig 17 Usaremos esta propriedade no estudo das estruturas planas carregadas no próprio plano c O m6dulo do momento resultante de uma força em relação a um eixo pode ser obtido diretamente sem ser necessário calcular o momento resul tante para após achar sua componente na direçzo do eixo Fig 18 Seja calcular o momentoda forpa F em relação ao eixo z A força F pode r decomposta nas forças F e F indicadas na Fig 18 a primeira paralela o eixo z e a segunda situada num plano P a ele perpendicular A componente 8 Curso de análise estrutural Ex 11 Calcular os momentos M M e Mz em relaçdo aos eixosx y z z da força F de origem no poiito A1 4 O direçáo e sentido do vetor A 5 e cujo mbdulo em toneladas é igual ao módulo da distância AB Verificar a partir de sua definição que o inoinento da força3eni relação ao ponto O é dado por I F I por ser paralela a z não dari momeiito em relação a este eixo sobrando apenas o da componente F 2 cujo módulo é igual ao do momento desta força em relação ao p2nto O em que o eixo iiitercepta o plano P O módulo 3 Pefa FiI9godemos ver que a força F pode ser expressa pela igualdade F F F F em que cada uma destas últimas forças é paralela a um dos eixos coordenados Calculemos os momentos de cada uma delas em relação aos eixos x y e z i Temos Para a força Fl Mx O F 6 paralela a Ox My O F é concorrente com Oy M 4 X F i 1 2 m t do momento da foiça F em relaqáo ao eixo z será então igual a I M I F2d Fd sen a sendo d a menor distância do suporte da força F ao eixo z conforme indica a figura no caso o momento seri positivo pela regra da mão direita Podemos afirmar então que o módulo do momento de uma força em relação a um eixo é igual ao produto do módulo da força pela menor distincia entre a reta suporte da força e o eixo e pelo seno do ângulo formado pela força e o eixo seu sinal é obtido pela regra da mão direita definida anteriormente A aplicação seguinte esclarecera Conceitos fundamentais 9 Para a força F M O F2 é concorrente com Ox My O F1 é paralela a Oy M l X F 4 m t Para a força F M 4 X F 16 mt M Y I X F 4 m t M O F3 B paralela a Oz 4 Os momentos da força F em relação aos eixos x y e z serão então por superposição de efeitos C M x O O 1 6 1 6 m t My O 4 4 4 m t M 1 2 4 O 1 6 m t Calculemos o momento m da força F em relação ao ponto 0 Temos F B A 31 4j 4k e então valor este que já sabiamos a priori a partir dos valores já calculados para Mx My e M Obsem o leitor a enorme simplicidade com que calculamos os momentos da força F em relação aos eixos x y e z trabalhando com suas componentes nas direçees dos 3 eixos coordenados não foi necessário calcular menor distância entrea reta AB e cada um dos eixos nem os senos dos ingulos formos por F com cada um dos eixos porque não trabalhamos diretamente com F Tal procedimento deve ser sempre empregado a fim de simplificar a resolução numérica dos problemas 2214 Um sistema de duas forças paralelas de mesmo módulo e sen tidos opostos conforme indicado na Fig 110 tem a propriedade de possuir momento constante em relaqão a qualquer ponto do espaço senão vejamos O momento das duas forpas F em relaçãú ao ponto genérico O será da o F O O O O A P F MMA 2 independendo portanto da posição de O Dtzemos neste caso que as 2 forças formam um binirio que é conforme vimos uin invariante em relarão a qualquer ponto do espa o Fig 110 10 Curso de análise estrutural 23 Reduyão de um sistema de forças a um ponto Conceito físico Seja a força indicada lia Fig 11 11 que qucremos reduzir ao ponto 0 isto 6 cujos efeitos em relação ao ponto O desejamos conliecer Nada se altera sobo ponto de vista estatico se acrescentarmos no ponto 0 duas forças F e F conforme indicado em 11 12 Analisando o esquemz indicado nesta figura podemos encarálo como constit2do por uma força aplicada em O e pelo binário formado pelas forças F a g l i c a e m e F aplicada em A que pode ser ubstituidz pelo momento m OA A F que se confunde com o momento da força F em relação ao ponto 0 conforme indica 11 13 Podemos então afirmar que para reduzir uin sistema de forças a um determinado ponto do espaço basta transferir todas as forças para este ponto acrescentandc para cada uma delas seu momento em relação a es te ponto Um sistema de forças 6 então redutivel a uma resultante H e a um momento resultante em relação a qualquer ponto O do espaço nos casos mais gerais iguais respectivamente à soma vetorial de todas as forças e à soma vetorial dos momentos de todas estas forças em relação ao ponto 0 A resultante simboliza a tendência de translação do sistema e o momento resultante sua tendência de rotação emrelação a um eixo passando por 0 3 CONDIÇÓES DE EQUILíBRIO Para um corpo submetido a um sistema de forças estar em equilíbrio é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo Como a tendência de translação é dada pela resultante R das forças e a tendência de rotação em tomo de qualquer ponto 6 dada pelo momento resultante destas forças em relação a este ponto basta que estes dois vetores R e sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio Conceitos fundamentais 11 submetido a um sistema de forqas C que estas forças sattsfaçam às cquaq6es vetoriais t em que R é a resultante das forças e seu momeiito resultante em relayão a qualquer ponto do espaço Levandose em conta que r as 2 equações vetoriais de equilíbrio 15 podeni ser substituídas cada uma delas por trEs equações escalares de equilíürio obtendose o grupo das seis equaçóes I6 que são as seis equações universais da Esthtica regendo o equilibrio de um sistema de forças o mais geral no espaço i 3E IIcito afirmar que se para um dado ponto O do espaço temos R O e R 0 as mesmas igualdades se repetirão para todos os demais senão vejamos Sejaum sistema de forças que reduzido a uni ponto ü do espaço nos forneceu uma resultante R e um momento resultante X conforme indica a Pig 112 Reduzindo es tas solicitações pa o ponto O teremos por infiuCncia de R a aparecimento de uma O O A R forçaR e de um momento dado por aplicados em Oe por influência do momen to E um momento adicional de Z em O iá que uma cargamomento por poder ser R substitulda por uni binário é um invariante em relaqão a qualquer ponto do espae No ponto 0 temos então uma força R c um monicntoiZ A 2 Logo s c z e O morrem nus num dado ponto tirnbni o Serão par todos os demais iisscgrirando o 1ig 112 12 Curso de análise estrutural 31 Casos particulares importalites 311 Sistema de forças concorrentes no espaço Seja o sistema de forças no espaço concorrentes no ponto 0 indicado na Fig 113 Seu equilirio 6 conforme sabemos ditado pelo grupo de equa I ções 16 Por se tratarem de forças I concorrentes no ponto 0 as três ú1 timas equações do grupo que simboli zam o momento resultante nulo de generam em meras identidades pois uma força não dá momento em relação a um ponto situado sobre sua linha de I qão perdendo pois sua expressão x Fn como equações Tal caso será então regido apenas pelas equações que ca Fig 113 racterizam a resultante nula ou seja pelas equações 17 Observação Este caso de sistema de forças ocorrerá no estudo do equili brio dos 116s das treliças espaciais conforme veremos no Cap IV deste volume 312 Sistema de forças paralelas no espaço Seja o sistema de forças paralelas no espaço indicado na Fig 114 Por z serem todas as forças paralelas ao eixo I Oz as equações C X O C Y O e ZM O degeneram em identidades pois não há componentes de forças F3 1 I 1 paralelas a um dos eixos coordenados nas direções dos dois demais bem co L v mo não existe momento de uma força O em relação a um eixo que Lhe seja th lh paralelo Permanecerão válidas então X como equações as indicadas no grupo 18 que regerão o equilíbrio de um kig 114 sistema de forças paralelas ao eixo Oz Conceitos fundamentais 13 Obseaçóes a A equação C Z O pode ser substituida por uma terceira equação de somatóno de momentos nulo em relação a um 3P eixo r situado sobre o plano xy mas nãoconcorrente com estes 2 eixos em 0 conforme indica a Fig 115 senão vejamos Se temos CM EMy 0 isto 1s garante que o sistema de forças ío apresenta um momento resultante em relação ao ponto O pois CMx CMy CM O Um sistema de forças paralelas que satisfaça a estas duas primeiras condições poderia ser apenas redutível a uma resultante pas sando por 0 para indicar que esta resultinte deve também ser nula pode mos empregar a equação C Z O j5 Fig 115 discutida anteriormente ou uma equa qão de somat6rio de momentos nulo em relação a um em0 t nãoconcorrente com os eixos x e y em O O gmpo de equações 19 poderia ser então empregado para estudo do equilíbrio deste sistema de forças em ve7 do grupo 18 O equilíbrio de um sistema de forças paralelas no espaço pode ser estuda do então a partir de três equações de somat6rio de momentos nulo em tela ção a 3 eixos nãoconcorrentes os três no mesmo ponto nem paralelos os três entre si e situados num plano perpendicular ao das forças não existe obrigação de dois desses três eixos serem ortogonais pois basta eles serem ncorreutes num ponto e termos somat6rio de momentos nulo em relação a es para podermos afirmar que o momento resultante é nulo em relação a se ponto recaindose no raciocínio que introduziu o gmpo de equações 19 b Este tipo de sistema de forças ser4 abordado em detalhe no estudo das grelhas que se far5 no Cap V deste volume 14 Curso de análise esrutural 313 Sistema de forças coplanares Seja o sistema de forças situadas 110 plano xy indicado na Fig 116 t As equações Z Z O ZM O e Z M O se transformam em meras I identidades pois sabemos que um sis F1 1 1 y tema de forças situado no plano xy I não possui componentes na direçáo Oz nein dá inoinentos em relação aos eixos I x e y por lhe serem coplanares Per I maneceiii então válidas como equa O C x ções as duas outras equações de pmje Fig 116 ções Z X O e Z Y O e aoutra equação de somatório de momentos nulo ZM O que no caso coincidirá com Z m o O pois todos os momen tos terão a direção 02 O grupo de equações 110 regerá entáo o equili brio dos sistemas de forças coplanares sendo M o o momento de cada uma das forças em relação a um ponto O inteiramente arbitrário situado no plano das forças Observações a As duas equações de projeções Z X O e Z Y O podem ser substituídas por duas equaçdes de somatSrio de momentos nulo em relaqão a dois outros pontos 0 e O do plano xy desde que 0 Oe O não sejam colineares conforme indica a Fig 117 ou por uma equação de somatório de momentos nulo em relação ao ponto 0 e outra de somatório de projeções nulo segundo um eixo t que não seja perpendicular a OO conforme indica a Fig 118 Fig 117 ng 118 Conceitos fundamentais 15 De fato se temos M o O e Mo 0 isto quer dizer que a única possibi lidade do sistema de forças não estar em equilíbrio seria a dele ser redutível a uma resultante cuja linha de ação fosse 00 para amarrar o valor nulo dessa resultante podemos empregar ou uma equação de somatório de momen tos nulo emrelação a uin ponto0 situado fora da reta OO ou uma equação de somat6rio de projeções nulo em relação a um eixo t que não seja per pendicular à reta 00 Sendo assim as equações do grupo 11 1 referindose ao esquema da Fig 117 e do grupo 112 referindose ao da Fig 118 podem tambéin ser empregadas para reger o equilibrio dos sistemas de forças coplanares C ZMo O ZMo O EMO o I 12 ZMov O Z T O b O caso de sistema de forças coplanares é o mais frequente na Análise Estmtural pois a grande maioria das estruturas que se nos apresentam são estruturas planas submetidas a carregamentos atuantes no seu próprio plano c Abordaremos agora dois casos particulares dos sistemas de forças wplanares que são o caso de todas as forças serem concorrentes num mesmo ponto 0 conforme indica a Fig 119 e o de todas as forças serem paralelas entre si conforme indica a Fig 120 Fig 119 Fig 120 Para o caso da Fig 119 em que todas as forças passam pelo ponto 0 a luação EMo O perde evidentemente a expressão transformandose nu ia identidade Permanecem apenas então as duas equações de projeções Z X O e Z Y O que regerão pois o equilibrio de um sistema de forças planares e concorrentes num mesmo ponto este será o caso do estudo do equilíbrio dos nós de uma treliça plana conforme veremos no Cap IV ste volume 1 16 Curso de análise esbutural Para o caso da Fig 120 em que todas as forqas sao paralelas ao eixo Oy perde a etpressão a equação Z X O que se transforma em mera identi dade permanecendo válidas como equações ZY O e ZMo 0 que rege rão o equilíbrio de um sistema de forças paralelas e coplanares A equação Z Y O pode ser substituída por uma equação de somatório de momenCos nulo em relação a um 2P ponto O desde que a reta 00 não seja paralela à direção das forças pois caso o fosse restaria a possibilidade do sistema ser redutível a unia resultante passando por esta reta O caso de um sistema de forças paralelas no plano ocorre no estudo das vigas que será feito em detalhe no Cap I1 deste volume I Resumindo um sistema de forças coplanares e concorrentes é regido pe lo grupo de equações L13 a seguir I L um sistema de forças coplanares e paralelas 6 regido por um dos dois grupos de equações 114 ou I15 a partir do esquema da Fig 120 4 GRAUS DE LIBERDADE APOIOS ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 41 Graus de liberdade Já sabemos que a ação estitica de um sistema de forças no espaço em relação a um dado ponto igual a de sua resultante e de seu momento resultante em relação àquele ponto provocando a primeira uma tendência de translação e o segundo uma tendência de rotação Como no espaço uma iranslação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogo nais e uma rotação como a resultante de três rotações cada uma em torno de um desses eixos dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade 3 translações e 3 rotações segundo 3 caos triorto gonais 6 evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos de modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura a fm de ser possi vel seu equilíbrio Esta restrição é dada por apoios que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento através do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura nas direções dos movimentos que Conceitos fundamenta 17 5les impedem isto é dos graus de liberdade que eles restringem Estas reações de apoio se oporão às cargas aplicadas a estrutura formando este conjunto de cargas e reações um sistema de forças em equllibrio e regidas portanto pelos caupos de equações deduzidos no item anterior para os diversos tipos de sistemas de forças que podem ocorrer na prática 42 Apoios A função dos apoios conforme vimos em 41B a de restringir graus de liberdade das estruturas despertando com isto reações nas direções dos movimentos impedidos Eles serão classificados em função do número de graus de liberdade permitidos ou do número de movimentos impedidos po dendo ser então de 6 tipos diferentes isto é podendo permitir 5432 1 ou nenhum grau de liberdade Os exemplos seguintes esclarecerão a Seja o apoio representado na Fig 121 em que temos a estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada O único movimento que ela será capaz de Unpedir é a translação na direção vertical Oz aparecendo com isto uma reação R agindo sobre a estrutura conforme indica a Fig 121 O apoio será dito então um apoio com 5 graus de liberdade ou wm I movimento impedido b Seja agora o apoio aa Fig 122 constituído por très esferas ligadas ntre si por três hastes de modo a ficar formado um conjunto rígido Ficam 18 Curso de analise estrutural impedidas no caso além da translação na direção i as rotações em torno dos eixos v e y O apoio será dito então um apoio com 3 graus de liberdade que são no caso a rotação em torno do eixo Oi e as translações nas direções dos eixos 0i e Oj ou com 3 movimentos impedidos Aparecerão agindo sobre a estrutura as reaçóes M My e R indicadas na figura C O esquema da Fig 123 representa a ligação rígida entre a estrutura e seu apoio de dimensões tão maiores que as da estrutura que podem ser consi deradas infinitas em presença daquelas Neste caso o apoio impedirá todos os moviieiitos possíveis sendo dito um apoio sem grau de liberdade ou coni todos os movinentos impedidos Correspondendo a cada um dos movi mentos impedidos aparecem agindo sobre a estrutura as reaçóes R Ry R M M e iZ1 indicadas na figura Este tipo de apoio é chamado engaste Fig 123 421 Estruturas planas carregadas no próprio plano Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano que é o mais frequente da Análise Estrutural existem 3 graus de liberdade a combater senão vejamos Supondo a estrutura situada no pla no xy conforme indica a Fig 124 os graus de liberdade a combater são as translaçóes nas direçóes Ox e Oy e a Fq rotação em torno de um eixo perpen dicular ao plano no caso Oz pois L estas são as iinicas tendências de movi o mento capazes de serem produzidas tig 124 pelo sistema de forças indicado Conceitos fundamentais 19 são os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos a Apoio do 1P gênero ou charrioi que Rei pel 1251 1252 1253 Fig 125 O apoio do 1P genero pode ser obtido por uma das duas formas represen tadas nas Figs 1251 e 1252 na primeira temos a estratura apoiada so bre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamen na direção y permitindo livre rotação em torno dele assim como livre deslocamento na direção x na segunda a rotação é assegurada por um pino sem atrito e a translação na direção x pelos rolos diretamente em contato com o plano serve de apoio continuando impedido o deslocamento na direção y resentaremos esquematicamente em nosso Curso o apoio do 1P gênero a forma indicada na Fig 1253 Na direção do iinfco movimento impedido aparecerá uma reação de apoio R conforme indica 1253 b Apoio do 2P gênero articulação ou rótula x Pino 4 V A v Se no apoio da Fig 1252 substituirmos os rolos por uma chapa presa completamente ao planosuporte conforme indica 1261 estaremos impedin do todas as translações possíveis permanecendo livre apenas a rotaçáo assegurada pelo pino lubrificado indicado na figura A este apoio capaz de restringir todas as translações possíveis no plano chamamos apoio do 2P gênero Ele será representado esquematicamente em nosso Curso por uma 20 Curro de análise estrutural das 2 formas indicadas em 1262 e 1263 Na direção das translações impe didas aparecerão as reações H e V indicadas na figura cuja composição vetorial nos dará a reação de apoio resultante no apoio do ZP gênero Observaçáo Não somos obrigados a decompor a reação de apoio resul tante em direções ortogonais4 conforme fizemos na Fig 126 podemos decompôla em duas direções quaisquer nãoparalelas evidentemente a partir das quais obteremos a reação resultante Escolheremos sempre o ca minho que mais simplifique o cálculo das reações de apoio c Apoio do 3P gênero ou engaste 4 Y Estrutura Engaste C H t v 1271 1272 Pig 127 Se ancorarmos a estruma num bloco de dimensões que possam ser consideradas infmitas em presença das dimensões da estrutura conforme indica a Fig 1271 na seção de contato entre ambos o bloco estará impe dido por sua enorme rigidez todos os movimentos possíveis da estrutura e dizemos então que ele engasta a estrutura Um engaste será representado es quematicamente da forma indicada em 1272 aparecendo na direção de cada um dos 3 movimentos impedidos 2 translações e 1 rotação as reações de apoio H V e M indicadas 422 Cálculo das reações de apoio Definidos os apoios o cálculo de suas reações B imediato pois elas são forças ou momentos de ponto de aplicação e direção conhecidas e tais que equilibrem as cargas aplicadas à estrutura Serão calculadas então a partir das equapões de equilíbrio instituidas no item 3 deste capitulo Os exemplos seguintes esclarecem er explicação para esta observação no item 41 do Cap iil I I Ex I Z Calcular as reaçóes de apoio para a estrutura da Fig 128 Aplicando nos apoios do 29 gênero A e do 1P gênero D suas reações nas direções que já conhecemos e arbitrando para elas um sentido conforme indica a Fig 129 teremos a partir das equações de equilíbrio 110 que em o equilíbrio de um sistema de forças coplanares A Fig 129 Por EMA 0 8Vo 8 6 X 4 4 X 6 0 VD 5 t Por XY O VA VD 6 VA I3 Por Z X O H 4t Os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos arbitrados para forças Caso tivéssemos encontrado algum sinal negativo isto quereria dizer ie o módulo da reação seria o encontrado e o sentido correto o inverso do bitrado não sendo necessário refazer qualquer cálculo 22 Curso de análise estrutural Ex L3 Calcula1 as reações de apoio no engaste A da estrutura espacial da Fie 130 cujas bairas formam em todos os nós ângulos de 90 k 3 m 4 Fig 130 Como um engaste impede todos os movimentos possíveis nele aparecerão as reações de apoio indicadas na Fig 131 que serão calculadas a partir do grupo de equações 16 que regem o equilibno de um sstema de forças no espaçr Teremos Por X X O X A I t Por I Y O YA 1 t Por X Z O ZA 1 t Por ZMO M x 2 X 4 4 X 3 5 X 3 3 X 4 0 MA 1 mt Por ZM O 1 X 4 5 X 2 O My 6 mt por XM O I I x 3 3 X 2 0 MZa 3 mt nceims fundamentais 23 As reaçóes de apoio no engaste A são entao as indicadas na Iig 133 Itk I Y A Fig 132 Ohselvações a Não exercitaremos mais profundamente agora o cálculo das reaçóes de apoio porque este assunto será retomado ao longo de todo este volume para cada um dos tipos estruturais que estudareinos b Os apoios sZo os vínculos externos da estrutura isto é seus vínculos em relação a seus suportes solo o u outra estrutura Podem existir também vínculos internos nas estruturas preferimos não apresentálos já a fim de não confundir o leitor principiante com um excesso de conceitos tiovos deixando para definilos nos próximos capítulos quando aparecerão de Iòrma espontãnea 43 Estaticidade e Estabilidade Acabamos de ver que a função dos apoios 6 limitar os graus de liberdade de uma estrutura Três casos podem então ocorrer a Os apoios sáo em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura Neste caso o número de reações de apoio a determinar B igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis isto é número de incógnitas número de equaçóes chegandose a um sistema de equações determinado que resolverá o problema Foi o caso dos exemplos L2 e 13 anteriores Diremos entáo que a estmtura é isostática ocorrendo uma situação de equilíbrio estável b Os apoios sdo em número inferior ao necessário para impedir todos os vimentos possíveis da estrutura Neste caso evidentemente teremos mais equações que incógnitas che gandose a um sistema de equações impossível nos casos gerais A estrutura será dita hipostática e será entáo instável Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os graus de liherdade que os apoios não forem capazes de impedir será entao um 24 CUM de anlise estrutural caso de equilíbrio mas de equilíbrio instável pois qualquer que seja a deformação imposta à estrutura ela tenderá a prosseguir até a Sua mim As estrutras hipostáticas são então inadmissíveis para as construções c Os apoios sáo em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura Neste caso teremos menor número de equações que de incógnitas conduzindo a um sistema indeterminado As equações univenais da Estática não serão então suficientes para a determinação das reaçóes de apoio sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformaçóes conforme veremos no Vol I1 deste Curso A estrutura seri dita hiierestática continuando o equilibrio a ser estável aliás poderíamos dizer um pouco impropriamente que o equilibrio é mais que estável ObservaçBes a A partir do exposto neste item pode o leitor ser tentado a estabelecer o seguinte critério para classificar uma estrutura sem vínculos internos como externamente5 isostática hipostática ou hiperestática contar o número de apoios e ver se é igual menor ou maior que o número de graus de liberdade da estrutura Este critério 6 perfeito no caso das estruturas hipostáticas mas no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas fornece apenas uma condição necessária mas não suficiente conforme esclarecem os exemplos das Figs 133 e 134 No caso da estrutura plana da Fig I 3 3 que como tal possui três graus de liberdade temos um apoio do 20 gênero e um apoio do l gênero dando um total de três reaçóes de apoio a determinar Isto sugeriria que a estrutura fosse isostática fato que não ocorre entretanto pois o apoio A impede translaçóes nas direçóes Ax e Ay e o apoio B translação também na A r z ã o desta palavra externamente será vista quando estudarmos no VOl I1 deste Curso a determinação do grau hiperestático de uma estrutura Conceitos fundamentais 25 direção Ax A rotação do sistema não está pois impedida e a estrutura é então hipostdtica embora aparentemente isostática Analogamente a estrutura plana da Fig 134 é aparentemente hiperestá tica pois temos três graus de liberdade para cinco reaçóes de apoio a erminar Entretanto 6 fácil ver que nenhum dos apoios impede a islação na direção ABCDE com isto a estrutura é hipostática embora rentemente hiperestática Portanto para classificar uma estrutura sem vindos internos como externamente isostática ou hiperestática não basta comparar o número de reaçóes de apoio a determinar com o de graus de liberdade da estrutura 6 necessário nos certificarmos também que os apoios restringem de fato dos os graus de liberdade da estrutura em questão com isto 6 que oderemos afastar completamente a possibilidade da estrutura ser hipostática kte assunto será retomado ao longo deste volume no estudo dos diversos pos estruturais que serão abordados b As estruturas isostáticas serão estudadas neste volume ficando o studo da Hiperestática para os Vols I1 e 111 deste Curso 5 ESFORÇOS SIMPLES Já vimos como um sistema de forças atuando sobre um corpo encontra seu equilfino através das reaçóes de apoio que provocam Vejamos agora quais os efeitos estáticos que estas cargas e reações provocam em cada uma das seçóes do corpo Para tal consideremos o corpo representado na Fig 135 submetido ao Wnjunto de forças em equilibrio indicadas não importa quais são as forças aplicadas e quais as reaçóes de apoio importa sim que elas wnstituam um todo em equilibrio Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seção S dividindoo nas duas partes e indicadas nas Figs 1361 e 1362 1361 1362 Pig 136 Para ser possível esta diviso preservando o equilibrio destas duas partes basta que apliquemos na seçáo S da parte 0 um sistema estático equi valente ao das forças que ficaram na parte da direita já que estas iiltimas podem ser encaradas como sendo as forças tais que equilibram as forças situadas na parte da esquerda pois o conjunto de forças da esquerda e da direita está em equilíbrio e analogamente na seção S da parte um sistema estático equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda Esses esquemas estdticos equivalentes são obtidos evidentemente reduzindo as forças à esquerda e à direita da sego S a um ponto qualquer situado nesta seçáo S Este ponto pelas raz8es que ficarão claras quando do estudo da Resistência dos Materiais será sempre o centro de gravidade G da seção Assim teremos reduzindo as forcas situadas na parte ao cytro de gravidade G da seção S da parte 0 o aparecimento da resultante R destas forças e de seu momento resultante I em relação ao ponto G Reduzindo as forças situadas na parte ao c t r o de gravidade G da seçãõ S da parte D obteremos uma resultante R e um momento resultante de mesmo módulo e sentidos opostos aos encontrados pela redução sforça situadas na parte ao ponto G o que 6 evidente pois no I caso R um sistema estático equivalente às forças existentes na 20 caso um sistema equivalente às forças existentes na parte Q que se equilibram o mesmo acontecendo então com os vetores R e indicados em 1361 e 1362 Resumindo a resdtante R que atua na parte da esquerda foi obtida pelas forças da dieita e vieevem o momento resultante que atna na parte da esquerda foi obtido pelas f o v da direita e vicevena Conceitos fundamaiais n Podemos então dizer que uma seção S de umzorpoern equilíbrio está em equilíbrio submetida a um par de forças R e R e a um par de momentos e m aplicados no seu centro de gravidade e resultantes da redução a este centro de gravidade das forças atuantes respectivamente à esquerda e à direita da seção S Na Fig 137 está feita esta represen tação respeitandose os sentidos indi cados na Fig 136 para um elemento do corpo de comprimento infhitesimal que contém a seçáo S como seção transversal Fig 137 Façamos um estudo detalhado dos efeitos estáticos provocados por R e na seção S I I a s sen for dic vet 1381 1382 Pig 136 Decompondo os vetores R e em duas componentesuma perpendiculac eção S tendo portanto a direção do eixo da barra que representaremos npregor x e outra situadgno próprio plano da sego S obtemos as ças N perpenAicular a S e Q pertencente a S e osmomentos T perpen ular a S e M pertencente a S Façamos a análise de cada um desses ores aos quais chamaremos esforças simples atuantes na seção S Observafão Pelo exposto vemos que 6 indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção entrando com as forças da parte A esquerda ou da parte à direita da seção Na prática usaremos as forças do lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo a 3 Repysentando duas seçaes infmitamente próximas a tendência das forças N será a de promover uma variação da distância que separa as seçdes manecendo as mesmas paraleias uma à outra6 conforme indica a 6 O esiudo do valor desta vmiaçáo de distancia é feito na Resistência dos Mateiais I 28 Curso de an8lise estrutural Fig 1392 Por acarretar entãó uma tendência de movimento da sego normalmente à mesma que é a direção do eixo chamaremos a N de esforço normal atuante na seção Podemos então definir esforço normal atuante numa seção como sendo a soma algébrica das componentes na direção normal h seção de cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção O esforço normal ser8 positivo quando de traçáo isto é quando tender a afastar duas seçóes infiitamente próximas ou em linguagem mais simples quando estiver saindo da seçáo sendo negativo em caso contrário caso da compressáo ObservaçZo O sentido de esforço normal representado na Fig 139 6 o positivo isto 6 o de tnçáo b e Repsentando duas seçóes infiitamente próximas a tendência das duas forças Q 6 a de promover um deslizamento relativo de uma em relação outra conforme indicaa Fig 1402 aparecendo então uma tendência de corte Por esta razão Q 6 chamada de esforço cortante Conceitos fundamentais 29 NSo 6 usual entretanto por requerer uma soma vetorial calcular direta mente o esforço cortante atuante na sego preferimos calcular suas compo nentes Qy e Q segundo 2 eixos ortogonais y e z arbitrários situados no plano da seçáo conforme indica a Fig 141 pois que para efetuar tal cAlculo basta efetuar uma soma algarica de projeçóes o que 6 bem mais cômodo que uma soma vetorial Assim sendo podemos d e f i esforço cortante atuante numa seçáo na direçáo de um eixo pertencente a esta seção como sendo igual à soma alg6brica das projeções das forças situadas de um dos lados da seçáo segundo a dueçáo deste eixo Orientando os eixos y e z nos sentidos arbitrários indicados na Fig 142 o eixo x tem sempre a direçáo normal à seção diremos que um esforço cortante Q ou Q 6 positivo quando calculado pelas forças situadas do lado esquerdo da seçáo tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou o que dá no mesmo quando for caleuIado pelas forças situadas do lado direito da sego tiver o sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z Em caso contrário diremos que o esforço cortante 6 negativo Defmmios então esforço cortante atuante nnma seo como sendo ignal r3 sana vetorial das componentes sobre O piano da sepio das forças situadas de um dos iados desta seção 30 Cuim de analise estrutural A razão desta coiivenção de sinais ficará clara no desenvolvimento dos demais capítulos deste volunie de modo que por ora não faremos maiores coineiitários sobre ela bsrnoo Note o leitor que os sinais obtidos para os esforços cor tatites e e Q são fuiição das sentidos que arbitramos para os eixosj e z onhecidos Q e Q O esforço cortante resultante na seção é imediatamente obtido a do esquema da Fig 141 c T Representando duas seções mfmita mente rbximas a tendência do mo mento 6 a de promover umarotaçáo relativa destas duas seções em torno de um eixo que hes é perpendicular passando pelo seu centro de gravidade T exo x portanto Podemos dizer em linguagem simplista que o momento está torcendo a peça e ele 4 pois denominado momento torçor atuante Fig 143 na seçáo Defuimios então momento torçor atuante numa seção S como sendo a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta seção em relação ao eixo nomal a seção que contém o seu centro de gravidade A convenção de sinais que adotaremos para o momento torçor 6 inteira mente análoga i do esforço nomial Diremos que um momento torçor positivo quando o vetor de seta dupla que o representa está como que tracionando a seção em questão sendo negativo em caso contrário no caso da Fig 143 o momento torçor indicado é positivo d X Reprzentando duas seções infinitamente próximas a tendência do mo mento M conforme a regra da mão direita é a de provocar uma rotaçáo da seção em torno de um eixo situado no seu próprio plano Como um momento pode ser substituído por um binário vemos que O efeito de 2 pode ser assimilado ao do binário indicado na Fig 1442 que provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte A peça ficará então fletida sendo por isto denominado de momento fletor nceitos fundamentais 31 Fig 144 Definimos então como momento fletor atuante numa seção à soma vetonal das componentes sobre o plano da seção dos momentos de todas as forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade Náo é usual entretanto por requerer uma soma vetorial calcular direta mente o momento fletor atuante numa seção preferimos calcular suas componentes My e M segundo 2 eixos ortogonais arbitrários os mesmos idotados para o cálculo de Qy e Q y e r situados no plano da seção onfonne indica a Fig 145 pois que ara tal cálculo basta efetuar uma z1 soma algébrica de valores ao invés de uma soma vetorial Cgnhecidos My e M a obtenção de M é imediata a partir do esquema da Fig 145 Assim sendo definimos momento fletor atn ante numa seçáo na direção de um eixo contém pertencente o seu centro a esta de seção gravidade e que Ly como sendo a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um Fig 145 dos lados desta seção em relação a esse eixo Para o momento fletor desejamos sempre conhecer que fibras estão tracionadas e que fibras estão comprimidas para no caso das vigas de concreto amado por exemplo sabemos de que lado devemos colocar as barras de aço que são o elemento resistente à traçáo Náo terá então sentido físico algum estabelecemos uma convenção de sinais baseada em orientação dos eixos y e z de modo que não agiremos desta forma preferindo calcular o módulo do momento fletor acrescendoo da infor mação de que fibras ele traciona para obter que fibras da seção estão tracionadas pelo momento em questão basta substituilo por um binário de mesmo sentido que ele ficando a parte tracionada defuiida pela força do binário que tiver o sentido de traçáo Assim para o caso da Fig 145 o momento MI traciona as fibras do lado esquerdo da seção em perspec tiva na Fig 1461 correspondendo as fibras da frente e o momento My traciotia as fibras da parte superior conforme se pode verificar pelo esquema I da Fie 1462 As setas nas fmras indicam o sentido em que as fibras da seçáo tendem a se deformar Resumindo podemos dizer que numa seçãoatuam no caso mais ger quatro esforços simples um esforço normal N um esforço cortante Q definido por suas componentes Q e Qcsegundo 2 eixos ortogonais y e z pertenFes ao plano da seção um momento torçor 7 e um momento fletor M definido por suas componentes My e Mr segundo estes mesmos eixos y e z Estes esforços simples são obtidos pelas forças atuantes de um dos lados da seção trabalhandose em geral com aquele que conduzir ao menor trabalho de cálnilo numérico EX 14 Obter os esforços simples atuantes na se S indicada p m a estrutura da Fig 147 cujas barras formam em todos OS nós ângulos de 90 nceitos fundamentais 33 I Entrando no caso com as forças situadas à direita da seção o que é muito mais simples pois se quiséssemos entrar com as forças da esquerda teríamos que fazer o d a d o previ0 das reaçóes de apoio no engaste A obtemos reduzindoas à seção S os esforços indicados na Fig 148 A partir do esquema da Fii 148 temos levando em conta as definiçóes e convenç6es de sinais dadas para esforços simples neste item os esforços seguintes na sego S Esforço normal N 2 t comprime a seção Esforços cortantes Qy 1 t calculado pelas forças da direita tem o mesmo sentido que o sentido positivo de OY Q 4 t calculado pelas forças da direita tem sentido oposto ao sentido positivo Oz Momento torçor T 12 mt o vetor de dupla seta está como que comprimindo a seçáo Momentos fletores My 8 mt tracionando as fibras superiores M 8 mt tracionando as fibras da frente Qbsewações a A identificação das fibras tracionadas pelos momentos M e M 6 imediata a partir dos binários equivalentes indicados na Fig 149 tas fibras tracionadas esttio hachuradas 1491 Pig M 9 i492 34 Curso de análise estrutural b Pela composição vetorial de Q com Q e de M com M podemas obter o esforço cortante Q e o momento resultante fletbr M resultantes atuantes na seção que são iguais a Não d usual entretanto fazermos este cálculopois trabalIamos diretamente com as componentes Qy Q MY e M conforme se verá no Cap V deste volume e no Vol 11 deste Curso C Recomendamos ao leitor como exercício refazer o cálculo destes esforços simples entrando com as forças do lado esquerdo que são as reaçòes de apoio iio engaste Chegarse evidentemente aos mesmos resultados d Como os eáldos de esforços simples são feitos para o centro de gravidade das seçòes representaremos daqui para a frente as estruturas compostas de barras pelo seu eixo lugar geom6trico dos centros de gravidade das seçóes I 51 Caso particular importante estmturas planas carregadas no próprio I 1 plano Seja a estrutura representada na Fig 1501 que admite um plano P de simetria estando todas as cargas aplicadas nesse plano I Destacando o traço da estrutura neste plano de simetria P que contkn o eixo da estrutura obtemos o esquema representado na Fig 1502 em que a linha tracejada representa o eixo da estrutura Tratase então de um sistema de forças coplanares caso partinilar de um sistema de forças Conceitos fundamentais I 35 1 no espaço Os esforços simples sao então um caso particular do caso do 1 espaço e teremos chamandoxy ao plano da estrutura os seguintes esforços nulos My O T O pois ambos seriam momentos das forças situadas 1 de um dos lados da seção em questão em relação a eixos situados no mesmo plano das forças momentos estes nulos conforme vimos em 2213 observação a e Q O pos não há carregamento na direção 2 Sobram então N M e Qy que serão respectivamente o esforço normal o momento fletor e o esforço cortante atuantes na seção em estudo No I caso da estrutura plana carregada no próprio plano o momento M se confunde com o momento resultante M das forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade e 6 preferível representálo por uma curva que indica seu sentido de rotação conforme mostra a Fig151 ao invds de um vetor de dupla seta puis a curva pertence ao plano das cargas ao passo que o vetor de dupla seta seria a ele perpendicular o que nos obrigaria a representar uma terceira dimensão perpendinilar ao plano O momento fletor será defmido como sempre pelas fibras que está tracionando O esforço cortante Qy se confunde também com o esforço cortante iultante na seção pois Q O e representáloemos entzo por Q Sua nvenção de sinais 6 a mewa do caso do espaço mas apenas para evitar grau de iiberdade na escolha da orientação dos eixos orientaremos o o y para cima7 a direção x d sempre a do eixo da barra em estudo e demos então dizer que o esforço cortante é positivo quando calculado Ias forçds da esquerda for voltado para cima ou quando calculado pelas r p da direita for voltado para baixo Quanto ao esforço normal nada há a acrescentar valendo tudo que foi dito no caso do espaço tridimensional Na Fig 151 representamos os esforços simples M N Q que podem atuar numa seção S de uma estrutura plana Notar que os esforços indicados como atuando na parte da direita Fig 1512 foram calculados com as I I ver observaçáa h deste item 36 Cursa de análise esiruemutural forças existentes na parte da esquerda e viceversa No caso da Fig 151 os esforços cortante e normal indicados são positivos e o momento fletor traciona as fibras de baixo conforme mostra o esquema da Fig 152 em que substituímos MS por um binário equivalente indicado em pontilhado Pig 152 Resumindo podemos d e f da maneira seguinte os esforços simples atuantes numa seção de uma estrutura plana carregada em seu próprio plano Esforço nonnal L a soma algébrica das projeç6es das forças atuantes de um dos lados da seção na direção do eixo da estmtura direção normal à seção Esforço cortante B a soma algrica das projeçóes das forças atuantes de um dos lados da seção na diieção perpendicular ao eixo da estrutura Momento fletor é a soma alg6brica dos momentos das forças atuantes de um dos lados da seção em relação a seu centro de gravidade As convenções de sinais para esforço nomal e esforço cortante já foram explicadas anteriormente e o momento fletor deve ser acrescido da infor mação de que fibras da seção ele traciona Observações a Muitos autores a de eliminar a necessidade de se escrever com palavras que fibras da seção o momento fletor traciona adotam para ele a seguinte convenção de sinais Pontilhando um dos fados da estru tura conforme indica a Fig 153 diie mos que o momento fletor é positivo ll quando traciona as fibras do lado pontilhado sendo negativo em caso 1 I mntririo de se dizer E através m forma de um como sinal se quais vê I I são as fibras tracionadas pelo momento fletor e que nós adotaremos também Fig 153 No caso de todas as barras serem horizontais caso das vigas que estuda remos no Cap 11 suporemos sempre Concaitoa fundamentais 37 que o pontilhado esteja do iado de baixo isto 6 suporemos positivo o momento fletor que tracionar as fibras inferiores da estmtnra Para as estruturas espaciais não 6 interessante a adoção desses pontilhados pois devido ao fato de existirem momentos fletores em 2 planos distintos seríamos obrigados a pontilhar 2 lados da estmtura representação esta que feita em perspectiva poderia trazer o perigo de um entendimento errado no caso da perspectiva não ser suficientemente clara Por esta razão d que nas estmturas espaciais preferimos dizer com palavras quais sáo as fibras tracionadas pelos momentos fletores b Na furaçffo da convenção de sinais de esforços cortantes falamos em forças da esquerda em forças da direita e em orientação do eixo perpen dicular ao eixo da barra para cima No caso de uma barra vertical poderíamos ficar em dúvida quanto a esta classificação Tal problema é no entanto facilmente solucionável bastando que nós olhemos a barra por uma posição tal que ela fique horizontal at6no principio caso o leitor tenha dificuldades aconselhamos que ele gire o papel at6 tornar a barra horizontal recaindose então na situação de defuiição Seja por exemplo a estrutura da Fig 154 submetida ao carregamento autoequilibrado indicado para a qual desejamos determinar o esforço cortante em S Olhando a barra na posição indicada pelo observador 0 a força P aplicada em A se comporta como força esquerda e o esforço cortante será P para baixo e igual portanto a QS P cortante para baixo pelas forças da esquerda é negativo Note o leitor que d inteiramente indiferente o lado pelo qual olhamos para a barra se estivéssemos oihandoa na posição do observador O a força P aplicada em A seria uma força à direita e o cortante para cima calculado pelas forças A direita é negativo com o que obteríamos o mesmo valor 8 As razões para isto ficará0 claras a partu da d h s dos iesultados daintegração equago diferencial dM q feita no Cap ii deste volume I ds 38 Curso de análise estrutural Coiicluindo para fins de obtenção de esforço cortante devemos olhar cada uma das barras de uma posição tal que elas se comportem como horizontais aplicando então a convenção de sinais já definida Ex 15 Obter os esforços simples atuantes nas seçóes SI e S2 da estrutura da Fig 155 submetida ao carregamento indicado I Conceitos fundamentais Fig 155 Para obtermos os esforços simples necessitamos inicialmente calcular as reaçòes dk apoio iudicadas na Fig 155 A partir das equações de equilíbrio temos Por Z M A O 9 X 2 9 X 6 9 V g O V g B t Por Z Y O V V D 9 V I t Por Z X O H 9 t Os sinais positivos encontrados indicam que os sentidos arbitrados para as reações na Fig 155 estão corretos Temos então a seção SI Calculando pelas forças à esquerda temos o esquema indicado na Fig 1561 a partir do qual obtemos Ns 1 t compresGo Qsi 0 MsI I R mt o sinal positivo indica que as fibras tracionadas são as do lado pontilhado conforme indica a Fig 1562 1x4 9x218mt 1561 Pig 156 lbservaffio Os esforços poderiam também ser calculados pelas forças iireita obtendose os mesmos valores evidentemente conforme indica ig 157 Fig 157 alculando pelas torças à esquerda temos conforme o esquema da 158 40 Curso de analise estrutural Ex 16 Calcular os esforços simples atuantes na seção S da estmtura da Fig 159 10m Fig 159 Estando a estrutura submetida a um carregamento autoequilibrado as reações de apoio são nulas pois não 6 necessária força adicional alguma para equilibrar o carregamento atuante e os esforços simples na seção S calculados pelas forças à esquerda da sego valem a partir do esquema da Fig 160 Fig 160 Ossentidos dos esforços indicados na Fig 160 estáo corretos os sinais são negativos em obediência às nossas convenções de sinais 1 Conceitos fundamentais 41 61 Cargas concentradas Suponhamos uma roda de um caminhão descarregando uma reação P sobre uma ponte conforme simboliza a Fig 161 Esta reação P será descarregada ao longo da área de contato da roda com 1 a ponte que é bastante pequena ca racterizada por o mas não nula Não haverá então a aplicação rigorosa mente falando de uma carga concen trada P na estmtura haverá sim a aplicação de uma carga distribuída mas segundo uma área tão pequena u a que podemos considerála nula em Fig 141 nresença das dimensões da estmtura As cargas concentradas a o entáo uma forma aproximada de tratar rgas distribuídas segundo áreas tão pequenas em presença das dimensões da estmtura que podem ser consideradas nulas Neste caso o erro cometido por esta razão 6 absolutamente desprovido de significado e portanto inteiramente tolerável tendo em vista a simplificação de trabaiho de cálculo e ele possibilita 62 Cargas distninídas Ate agora só lidamos com cargas concentradas em nossos exemplos Façamos então um estudo das diferentes leis de distribuição de cargas que podem ocorrer na Análise Estmtural gshidaremos neste item a classificaçáo das cargas apenas quanto B sua lei de distribuição Não estudaremos por ora a classificação das cargas quanto à sua owirência em relação ao tempo cargas permanentes e cargas andentais nem quanto à forma com que carregam as estruturas cargas diretas e cargas induetas este estudo será feito no Cap VI deste volume Suponhamos que a estmtura 0 indicada na Fi 162 supor4e o corpo indicado cujo peso especifico é 7 Este peso introduzirá evidentemente um carregamento na estmtura 0 carregamento este distribuído e contínuo ja taxa de distribuição vamos calcular Fig 142 42 Curso de análise estrutural O volume do corpo que carrega um trecho de com rimento ds da estrutura 6 d s sendo s a área da seção determinada em 6 C por um plano perpen dicular ao eixo da estrutura O peso deste volume será dP ySds e a taxa de distribuição de carregamento qs ao longo do eixo da estrutura vale entáo qs yS conforme indica a Fig M3 variando então proporcionalmente com a variaçáo do valor da área S Fig 1 6 3 Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são as cargas uniformemente distribuídas S constante e as cargas triangulares casos de empuxos de terra e de águaprincipalmente indicadas na Fig 164 M A 1 Orna uniformemente distribuída u 1642 Carga triangular Pig 164 Com menor frequéncia ocorrem ainda carregamentos parab6licos e em casos mais excepcionais carregamentos de forma inteiramente aleat6ria Os diversos tipos de cargas distribuídas serão estudados em detalhe no Cap I1 deste volume Um problema no entanto precisa ser resolvido desde já o da determinação da resultante de um carregamento distribuído em módulo direçáo e sentido a fm de sermos capazes de calcular reaçÍ3es de apoio e esforços simples em estmturas submetidas a carregamentos distri buídos Sua soluçZo d simples senáo vejamos Como uma carga distribuída pode ser encarada wmo uma soma infinita de cargas concentradas infinitesimais qds conforme indica a Fig 165 a resultante do caregamento distripuido ser6 igual a R qds Conceitos fundamentais 43 ou seja será igual à área S2 Imitada entre a curva que detine a lei de variaçáo do carregamento e o eixo da estmtura Fig I45 Para obtermos a posição desta resultante basta lembrarmos que como ela 6 a força tal que d capaz de substituir estaticamente o carregamento distribuído atuante ela deverá dar em relação a qualquer ponto do espaço o mesmo momento que o dasforças da qual ela 6 resultante Assim chamando s a distância da resultante a um ponto gendrico 0 temos Momento da resultante R X 1 qds B Soma dos momentos das componentes i qdss I qsds Igualando obtemos 7 Pela expressão obtida para F podemos encarar esta distância como sendo a razão entre o momento estático da área C2 em relação ao eixo z e o valor C2 desta área Isto a partir da defdçáo de centro de gravidade de uma área C21 indica que S 6 a distância do centro de gravidade da área C2 ao eixo z e podemos escrever ento fmalmente que a resultante de um carregamento distniuido é igual i área compreendida entre a linha que defuie este carregamento e o eixo da barra sobre a qual está aplicado sendo seu ponto de apLicaçáo o centro de gravidade da referida ârea ver em livros de Cálailo Integral Mecânica Racional ou Resistência dos Materiais 44 Curso de an8lise estrutural Ex 17 Obter as reações de apoio para a estrutura da Fig 166 G 6 m 4 Fig 166 Para obter as reações de apoio devemos inicialmente substituir as cargas distribuídas por suas resultantes que produzem os mesmos efeitos estáticos que elas Assim temos levando em conta as conclusóes obtidas para carregamento distribuído neste item a partir do esquema da Fig 167 as seguintes reaçóes de apoio Por Z M A O 6 V t l X 2 4 X 2 6 X 4 0 V B 5 t Por Z Y O V 6 V a l t Por X O H A 1 3 t Os sinais positivos confirmam os sentidos arbitrados na Fig 167 Conceitos fundamentais 45 Ex 18 Obter os esforços simples atuantes na seção S da Fig 166 Entrando por exemplo com as forças atuantes à esquerda da seção e ue se encontram indicadas na Fig 168 obtemos substituindo o carrega lento distribuído atuante nesse trecho por sua resultante que vale 2 t i posição indicada Fig 166 Note o leitor que para fins de determinação dos esforços simples atuantes numa seção devemos substituir por sua resultante apenas as cargas distri buídas atuantes de um dos lados da seção Uma estrutura pode alkn de estar solicitada por cargasforça concen tradas e ou distribuídas estar solicitada por cargasmomento As cargas momento cujo tratamento estático não apresenta dificuldade adicional alguma ocorrem mais raramente como carregamento realmente atuante na estrutura mas têm importância fundamental como ferramenta de resoiuçxo das estruturas hiperestáticas conforme veremos nos volumes correspondentes de nosso Curso de modo que dedica M remos a elas a máxima ênfase neste volume Uma cargamomento é evi 5 i dentemente caracterizada pelo seu A t módulo direçzo sentido e ponto de aplicação conforme exemplifica o caso da Fig 169 i g 169 46 Curso de anslise estrutural Ex 19 Obter as reaç6es de apoio para a estrutura da Fig 170 415m 3m A 2 m 4 1 5 m J F Fig 170 8 m d Pig 171 Temos duas formas de encarar este problema A primeira consiste na utilização pura e simples das equações da Estática conduzindo a partir do esquema da Fig 171 aos seguintes resultados Por CMAO 8 V g t 7 3 8 O VB05t Por CY O V V 0 5 t Por CX O HA O A outra forma muito mais elegante de encarar o problema é verificar que existe uma cargamomento resultante de 3 t 8 7 4mt que só pode ser equilibrada por um binário de sentido oposto formado pelas reações verticais cujo sentidos devem ser então os indicados na Fig 171 e cujos módulos valem VA V 0s t Observações a Podem ocorrer tambkn cargasmomento distriiuídas esta ocorrência é no entanto raríssima na Análise Estmtural das estruturas compostas por barras cujo estudo estamos iniciando Não daremos pois ênfase especial a tais cargas em nosso Curso embora seu estudo não apresente dificuldade alguma pois elas são regidas pelos memos princípios a que obedecem as demais Conceitos fundamentais 47 b Neste Cap I nosso objetivo foi o de apenas apresentar conceitos básicos limitando a exemplificação ao número mínimo necessário à boa compreensão destes conceitos cuja sedimentação se fará ao longo dos próximos capítulos onde os assuntos aqui introduzidos serão estudados em detalhe para os diversos tipos estruturais que ocorrem na prática Seja a viga biapoiada da Fig 111 submetida ao carregamento indicado x d t A s Fig ü1 Os esforços simples em S são dados por Derivando as expressóes acima em relação à abscissa s que define a seção obtemos levando em conta que qdx s s i s hs qdx hs qdx S B hs q d Estudo das vigas irostáticas 49 os valores Em resumo temos val seç dic Demonstramos então que a derivada do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta submetida a um carregamento a ela perpendicular em relação à abscissa que defme esta seção é igual ao esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em relqão a esta abscissa 6 igual ao valor da taxa de carga aplicada na seçáo S com o sinal trocado As igualdades 111 112 são as equaqoes fundamentais da Estdtica pois nos permitem obter esforços solicitantes nas diversas seçoes da viga em função do carrega nto qx atuante A partir de qx obteremos então as funçoes Ms e QS que nos dão os ores dos momentos fletores e esforços cortantes atuantes em qualquer I ão da viga Representando graficamente estas funções MS e QS perpen I ularmente ao eixo da viga teremos seus assim chamados diagramas de momentos fletores e de esforços cortantes atuantes que iremos agora estudar para os diversos tipos de carregamentos que ocorrem na prática Observações 1 A partir de 111 temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante 2 A partir de 112 temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa seç5o S 6 igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com o sinal trocado 50 Curso de análise ertrutural Estudo das vigas isostáticas 51 3 Adotandoae como positivo o carregamento distribuído de cima para baixo o que é usual por integração das equações 111 e 012 obtemos que um esforço cortante é positivo quando calculado pelas forps da esquerda der para cima ou quando calculado pelas forças da direitader para baixo e que um momento fletor é positivo quando tracionar as fibras inferiores da viga Tais sáo as convenções de sinais que adotaremos embora dispensemos a colocação do sinal no diagrama de momentos fletores como pleonástico pois que o desenharemos sempre do lado das fibras por ele tncionadas 4 Uma observação importante sob o ponto de vista conceitual 6 que após carregada a viga ela se deformará e os esforços estão sendo calculados para sua posição indeformada primitiva Nosso estudo se baseia então nesta simplificação de precisão excelente pois as deformações das peças usuais são muito pequenas em presença de suas diimensóes conforme veremos no Vol I1 deste Curso e a Estática que estamos desenvolvendo é pois a Estática das pequenas deformações 2 VIGAS BIAPOIADAS 21 Carga concentrada Seja a viga biapoiada da Fig 112 submetida a uma carga concentrada P atuante na seção S I Fig 2 I Pa b I I I I I Das equações de equilibrio da Estgtica Ma O e riMg O por 1 exemplo obtemos as equações de apoio indicadas em 112 Passemos ao traçado dos diagramas solicitantes Por força de 111 e ILZ sabemos que num trecho descarregado q O o diagrama de esforços cortantes será uma reta horizontal pois q d2M I diagrama de momentos fletores uma reta pois q Assim no cho AS bem como no trecho BS o diagrama de momentos fletores será i l í n e o Como sabemos que em A e em B os momentos são nulos bastará conhecer seu valor em S para termos defmido o diagramaM Imediatamente obtemos Pab Ms I Q sof nel Quanto ao diagrama de esforços cortantes será dado no trecho AS por Pb Va e no trecho SB por Q Vg Na seçáo S ele i 1 rerá uma descontinuidade igual a I P valor da carga concentrada a aplicada Obsemções a O diagrania M possui um ponto anguloso em S o que dM era de se esperar pois a partir de IIl temos que dsseq Qsesq d M e dsSdir Qsdir e no caso Qsesq Z QSdir Na seção S nZo se define esforço cortante ele 6 defmido à esquerda e à direita da seção sofrendo nela uma descontinuidade igual a P Podemos afmar então que sob uma carga concentrada o diagrama de momentos fletores apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforços cortantes apresenta uma descontinuidade igual ao d o r desta carga b Calmlemos as integrais Qds Temos B 0 que é evidente em face de 111 Os valores acima ilustram a obtenção do diagrama de momentos fletores a partir do diagrama de esforços cortantes 1 A condi Qds O permite a verificação do equilibrio da viga c Caldemos os dores de tg a e tg a Pb Temos tg a Qea AS I Pa tgp Q ttechoSE Os valores acima ilustram a obtenpo do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fletores d O caso de mais de uma carga concentrada seri resolvido de maneira inteiramente análoga ao caso de uma s6 carga concentrada conforme esclareced o exemplo a seguir Ex U1 Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig 113 Pi 113 u 1lt Das equações da Estitica obtemos as reaçBes de apoio tudo das vigas iiwothicar 53 As ordenadas necessárias à determinaçáo do d i a m a M são Os esforços cortantes vaiem Seja a viga biapoiada da Fig 114 submetida a uma carga unifarmemente distribuída q 54 Curso de análise Wruiural Sendo as reações de apoio as indicadas na figura teremos os seguintes esforços simples numa seção genérica S O diagrama de esforços cortantes seri uma linha reta que fica deter minada pelos seus valores extremos correspondentes a x O e a x 1 que ao QA e QB Estes valores poderiam ser obtidos diieta mente a partir das reações de apoio O diagrama de momentos fletores será dado por uma parábolado 20 grau I passando por zero em A e B e passando por um máxmio2em x T seção I onde Q O de valor Mm 4 3 Para obtenção dos valores de M numa seção gengrica empregaremos a equação sendo WR E 2 II4 X onde E I A função W R introduzida na Análise Estrutural pelos autores alemães encontrase tabelada na tabela I para seçóes nos 112 do vão Observações a Temos Q O o que veritica o equillbrio da viga LB b Sendo a taxa de carregamento constánte grau zero o diagrama de esforços cortantes 6 retilineo grau um e o de momentos fletores 6 para bólico grau 2 conforme ji sabiamos por 111 e 112 Podemos afmar então que sob carga unifomemente diitribuída o diagrama de momentos fletores é parabólico do 2P grau e o diagrama de esforços cortantes é retilineo c Apresentamos na FigII5 uma constniçáo geom6trica que nos dá excelente preciso no traçado do diagrama de momentos fletores Sendo MM q128 marcamos MIM2 MM Dividimos os segmentos AM2 e BM em 4 partes iguais obtemos os pontos I 11 III I 11 e IIP que ligadas alternadamente nos dão tangentes externas i parábola que 6 então facilmente obtida Se quisermos aumentar nossa precisão dividimos AM2 e BM2 em 8 16 partes ao invés de 4 repetindo o mesmo tipo de traçado Estudo dar vigas irostatioas Fig 115 d Um valor notivel no diagrama de momentos fletores é o valor para as yBes com E 025 e e 075 que 6 h usual no caso de traçado de diagramas de moment fletores com I sgas uniformemente distribuídas cotar apenas o valor f Calculemos a inclinaeo do diagrama de esforços cortantes ql rir Temos tg a q conforme IL2 1 23 Carga tri Seja a viga biapoiada da Fig II6 submetida a uma carga triangular de taxa máxima igual a p no apoio da direita Sendo as reações de apoio as indicadas na figuratemos os seguintes esforços simples numa seção genkrica S 1 Ou simplificando I 56 Cursa de analise estruiural O diagrama de esforços cortantes será então parabblico do 20 grau com tangente horizontal em A pois dQds q O tendo seus valores extremos iguais aos valores conhecidos t VA e VB e passando por zero para x 1 3 3 0577 1 conforme pode ser obtido imediatamente a partir de sua equação Por ser uma meia parábola do segundo grau podemos para seu traçado gráfico aproveitar o tipo de construção apresentado em 22 Estudo das vigas isoríáticas 57 Para obtenção dos valores de Q numa seção gengrica empregaremos a equação Q U M 35 sendo w 1 3 2 II6 tabelada na tabela I O diagramr de momentos fletores será uma parábola do 30 grau que passa por um máximo em x 1 6 1 3 0577 1 bois dMds Q O de valor Mm g2 X 9 1 7 p129 3 0064p12 e cnjos valores numa seção genbrica sáo dados por P M w D 6 016 ido w E P II7 tabelado na tabela I Observações a Temos Qdx O o que verifica o equilibrio da viga L b Sendo a taxa de carregamento uma função linear grau um o diagrama de esforpi cortantes 6 parabdlico do 20 grau e o diagrama de momentos fletores 6 parabólico do 30 grau o que verifca ii1 e 112 PU tri ter Apresentamos na Fig 117 uma nstrupo geométrica que nos auxilia traçado do diagrama de momentos tores através da obtenção de suas t 2 l l 3 4 3 igentes externas Marcando a partir da sego M sição da resultante do carregamento angular o segmento MN pZ2 9 nos tga MNAM p16 QA tgP MTMB o QB lf 8 Logo AN e BN são tangentes ao Fig 117 diagrama de momentos fletores em m s origens E usual no caso de traçado de diagramas de momentos fletores com d g a triangular proceder a este traçado por pontos Uma ordenada genbrica 12 10 diagrama seria dada conforme iI61 por w 6 caso de carregamento indicado na Fig il8 recai imediatamente no tenor Temos 58 Curso de análise esirutural P I x 2 Qs I 3 6 I p12 z x 1 x 3 Ms 6 1 7 I I x x Fazendo e temos 1 1 As funções wM e w b estão tabeladas na tabela I f O caso de carregamento indicado em 119 é resolvido imediatamente empregandose o princípio de superposiçiio de efeitos somandole uma carga unifome pA com uma carga triangular de taxa máxima pB pA em E Obtemos Estudo das vigas isostáticas 59 que B traçado por pontos De maneira análoga agiríamos para a obtenção do diagrama de esforços cortantes Poderíamos ter resolvido o mesmo problema encarando o carregamento como a soma de 2 carregamentos triangulares de taxas máximas pA em A e pB em E obtendo g Com menor frequência podem ocorrer carregamentos com leis de variação parabólica Tais casos são resolvidos dentro da mesma metodologia empre gada em 22 e 2 3 e conduzem is expressões e funções w tabeladas na tabela I Seja a viga biapoiada da Fig 1110 submetida à cargamomento indicada As reaç6es de apoio devem ser tais que formem um binário de módulo M e sentido oposto ao do momento aplicado e são portanto as indicadas na Fipura A partir delas temos imediatamente os diagramas solicitantes O o o ZZ800 EE800 O I Z O Z8S10 6S910 I I SECO LZZZO 19PZO 9EEPO 91 LZO OIZEO 169PO 1 ZOEO S98EO SL9PO ooooz 6EZSI SE801 SL890 EEEEO 80200 00SZO Z6LPO 99990 SZ180 L9 160 Z6L60 0000 1 a 1 Nm 0000I Z6L60 L9160 SZ180 99990 Z6LPO OOSZO 80ZOO EEEEO SL890 SE801 6EZSl ooooz 3E 1 m SZIEO I ZOEO 91Lt0 LZZZO Z8S10 ZZSOO o 3 z t Z 3 m Z1 11 O1 6 8 L 9 S P E Z I o 0 5 a s o 82800 OZ910 PPEZO 9620 EWEO OSLEO 898EO WLEO 18ZEO 9PSZO P9PIO o E3 3 qm dm SLEPO SL9PO 169PO 9EEPO I ISEO 901ZO o pr3 P m SLEPO S98EO OIZFO 19Pf 0 6S910 EE800 o 3 3 dm o WPIO 9PSZO I8ZEO WLEO 8EO OSLEO EPPEO E96ZO MEZO OZ910 82800 o 3 Um o P900 68EIO SL810 ZZZZO IEPZO MSZO IEPZO ZZZZO SL810 68E10 P9LOO o z3 3 Xm ZI 11 O I 6 8 L 9 S P E Z I o o e 5 a 62 Curso de analise estrutural Este valor não reproduz o momento fletor atuante em B que d nulo e aliás não tinha nenhuma obrigação de reproduzir pois as equações 111 e 112 foram deduzidas para uma viga com carga vertical continuamente distribuída o que não é o caso de uma carga momento De qualquer forma podemos afirmar que o valor da área do diagrama de esforços cortantes de uma viga biapoiada é igual ao valor da resultante de todas 8s cargmmomento apiicadas na viga o sinal positivo correspondendo ao sentido antihorário b O diagrama de momentos fletores em S sofre uma descontinuidade igual a al Mbll M e podemos afirmar então que na seção de apiicaçáo de uma cargamomento numa viga o diagrama de momentos fletores sofre uma descontinuidade igual ao seu valor no seu sentido c Como casos particulares interessantes apresentamos na Fig 1111 dia gamas de momentos fletores para algumas posições notáveis da carga momento 25 Caso geral de carregamento Seja a viga biapoiada da Fig II12 submetida ao carregamento indicado Fig 1112 Estudo das vigas isostáticas 63 O problema novo que se nos depara 6 o da resolução de uma viga submetida a uma carga continuamente distribuída que não abrange todo o seu vão Para o fazermos recair num problema já conhecido romperemos a viga em B e C o que 6 lícito fazer desde que apliquemos nestes pontos seus esforços simples mantendo entâo o equilíbrio de cada trecho assim obtido Assim os esforços cortantes que atum nas extremidades de cada trecho Qa QB Qc Qo podem ser encarados como as forças que equilibram as outras cargas e momentos atuantes no trecho podendo ele então ser considerado como uma viga biapoiada independente submetida ao carrega mento externo que lhe está diretamente aplicado e a cargasmomento em seus apoios iguais aos momentos fletores atuantes nestes pontos na viga dada inicialmente de imediata determinação Recairemos então no problema de obtenção do diagrama de momentos fletores em vigotas do gênero BC que por superposição de efeitos é imediatamente obtido conforme mostra a Fig 1113 tfq qa2 8 Fig 1113 A linha reta pontihada representa o diagrama de momentos fletores devido somente a ME e Mc Marcandose na vertical a partir desta reta a parábola do 20 grau que 6 o diagrama devido apenas à carga distribuída teremos então o diagrama fmal no trecho O diagrama de momentos fletores na viga AD será então o da Fig 1114 úotar que existe no caso concordância em B e em C entre a parte tilínea e a parte parabólica o que já era de se esperar pois não existem cdrgas concentradas aplicadas nestes pontos 64 Curso de análise estrutural A obtenção do diagrama de esforços cortantes não apresenta maiores problemas sendo imediata a partir do conhecimento das reações de apoio Extrapolando as conclusões deste exemplo podemos afirmar que para trapr o diagrama de momentos fletores numa viga submetida a um carrega mento qualquer basta marcar os momentos fletores nos pontos onde muda a lei de variação do carregamento Ligálos por segmentos de retas e a partir da linha a obtida pendurar perpendicularmente ao eixo da viga os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes em seus respectivos trechos Os diagramas de esforços cortantes são obtidos imediatamente a partir do conhecimento das reações de apoio O exemplo 112 a seguir esclarecerá Ex 112 Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig ii15 Substituindose as cargas distniuídas por suas resultantes assinaladas em pontilhado na figura obtemos ZMBO 1 6 V 4 X l 4 t l X 1 0 3 X 6 4 V 5 t ZY O V s 4 1 3 5 3 t Estudo das vigas isostáticas 65 3 Fig 1115 Os momentos fletores atuantes nos pontos de transição de carga são M c 5 X 4 4 X 2 12mt M 5 X 6 4 X 4 14mt M S X 8 4 X 6 1 X 2 1 4 m t M F X 11 4 X 9 1 X 5 3 X 1 l l m t M q 5 X 1 3 s 4 X 1 1 5 1 X 7 5 3 X 3 5 3 5 m t M 3s t 4 7s rnt 66 Curso de análise estrutural Ligando estes pontos por linhas retas no diagrama passamos então à fase de pendurar a partir destas linhas retas os diagramas devidos somente às cargas distribuídas atuantes temos a pendurar então uma parábola do 20 grau no trecho AC cuja ordenada na seção mddia do trecho 6 1 X 418 2 mt valendo para seu traçado a construção apresentada em 22 e no trecho EF uma parábola do 30 grau cuja ordenada gendrica d dada por Não havendo mais outras cargas distribuídas os diagramas finais nos demais trechos são as linhas retas já traçadas Para obtenção do diagrama de esforços cortantes raciocinemos trecho a trecho no trecho AC será retilíneo pois o carregamento d uniforme variando de 5 t em A até 1 t em C no trecho CD d constante trecho descarregado e igual a 1 t em D a carga concentrada acarreta uma descontinuidade igual a seu valor caindo o cortante então para zero valor este que se mantem no trecho DE no trecho EF ser8 uma parábola do 2P grau carregamento triangular que começa do valor zero com tangente horizontal pois dQds q O terminando com 3 t com tangente inclinada pois dQds q 2 tlm o valor 3 t se mantém constante no trecho FB sem cargas verticais subindo a zero no apoio B Observações a Nas seçóes C E F existe concordância dos trechos parabólicos com os trechos retilíneos no diagrama de momentos fletores pois não existem cargas concentradas nestes pontos b Na seção D existe um ponto anguloso no diagrama de momentos fletores devido à existência da carga concentrada Notar que o ponto anguloso está no sentido da carga c Os diagramas de momentos fletores nos trechos FG e GB são paralelos entre si pois o esforço cortante nestes dois trechos constante e igual a 3 t d Na regi80 de momento fletor miximo trecho DE o esforço cortante C nulo e Qualquer ordenada do diagrama de esforços cortantes no trecho EFpode ser obtida com auxíiio da função U M conforme indica a Fig 1115 f Calculemos o valor da área do diagrama d e esforços cortantes Estudo das vigas isoítáticas 67 Q d r 3 X 4 l X 2 1 3 X 3 X 3 5 X 3 4 m t Este valor 6 igual ao valor da cargamomento atuante o sinal negativo indica que seu sentido 6 o horário g Na seção G o diagrama de momentos fletores apresenta uma descontinui dade de 4 mt valor da cargamomento nela aplicada h Notar que as parábolas devidas ao carregamento distribuído são sempre marcadas na direção perpendicular à barra portanto no caso na direção vertical 3 VIGAS ENGAfXADAS E LNRES Seja a viga engastada e livre AB da Fig 1116 No engaste aparecerão evidentemente uma reaçlio vertical e uma reação mente que equilibrará0 o carregamento atuante Isto posto passemos à tenção dos diagramas solicitantps O diagrama de momentos fletores se obter8 imediatamente a partir das nclusóes tiradas em 25 bastando marcar osmomentos fletores de cálculo ediato nas seçóes em que muda a lei de variação de carregamento no caso A C B D ligálos por segmentos de reta e a partir da linha assim obtida pendurar os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes no caso no trecho CD O diagrama de esforços cortantes se obter6 imediatamente a partir do regamento e reaçóes de apoio atuantes O exemplo I13 esclareceri Ex 113 Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig 1117 Sendo o carregamento atuante equivalente estaticamente a uma resultante de 16 t em C as reações de apoio no engaste B sáo as indicadas na figura 68 Curso de análise estrutural Os momentos fletores atuantes nos pontos de transição de carga todos tracionando as fibras superiores sgo Ligandose estes valores por linhas retas e pendurandoae na vertical a partir delas as parábolas iguais a 3 X Z2 18 15 mt temos determinado o diagrama de momentos fletores O diagrama de esforços cortantes indicado na figura 6 obtido sem maiores problemas a Na seção A o diagrama de momentos fletores tem tangente horizontal QA O e na seção C acrescenta um ponto anguloso presença da carga concentrada de 4 t Estudo das vigas isostáticas 69 b Calculemos a área do diagrama de esforços cortantes que 6 o valor do momento fletor atuante no engaste funcionando sob este aspecto como se fosse uma cargamomento aplicada numa viga biapoiada AB com reaçóes verticais VA O e VB 16 t c Se tivéssemos a mesma viga com o mesmo carregamento mas com o engaste à esquerda conforme indica a Fig 1118 o diagramade momentos fletores sena o mesmo bastando girar o da Fig 1117 de 180 mas o diagrama de esforços cortantes teria seu sinal trocado pois as convenções de sinal para esforço cortante são opostas conforme sejam usadas as forças à esquerda ou à direita da seção d E fácil ver que no caso das vigas engastadas e livres podemos traçar seus diagramas solicitantes sem necessidade de determinar as Ieações de apoio 4 VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS Seja a viga biapoiada com balanços da Fig 1119 I I vc Fig 1119 70 Curso de analise emutural A obtençáo dos diagramas solicitantes nos balanços AB e CD 6 imediata a partir do que vimos em 3 pois podemos obter os esforços no trecho AB entrando com as forças da esquerda e no trecho CD entrando com as forças da direita e eles se comportam então como se fossem vigas engastadas e livres AB e CD confome indica a Fig 1119 Passemos então 2 análise do trecho BC rompendo a viga em B e q e CdU e aplicando os esforços simples atuantes nestas seções nada ter6 se alterado sob o ponto de vista estático Teremos então uma viga biapoiada BC submetida ao carregamento que lhe está diretamente aplicado a cargas momento MB em i3 e MC em C iguais aos momentos fletores atuantes nestas seções devidos aos balanços e a cargas verticais P P2 em B e P4 P em C iguais às resultantes das cargas atuantes em cada balanço e que estando diretmente aplicadas sobre os apoios serão imediatamente absorvidas por eles não influenciando no cálculo dos esforços simples em BC Recaúnos então para o trecho BC no estudo de uma viga biapoiada já feito sob sua forma mais geral em 25 Podemos então afirmar que para traçar o diagrama de momentos Uetores numa viga biapoiada com balanços tratamos os balanços como vigas engas tadas e livres Ligamos os momentos atuantes nos apoios por uma linha reta e a partir dela penduramos o diagrama de viga biapoiada devido As cargas atuantes no trecho entre os apoios Como nos casos anteriores a obtenção do diagrama de esforços cortantes imediata a partir do carregamento e das reações de apoio Os exemplos a seguir esclarecerão Ex ii4 Obter os diagramas solicitantes para a estrutura da Fig ii20 Calculemos as reações de apoio empregando o princípio de superposição de efeitos devido às cargas distniuídas temos por simetria devido à carga concentrada de 2 t temos Por Z M g O 4 V c 2 X 6 V c 3 t Por Z Y O VB 1 t de cima para baixo portanto As reações finais serzo então VB 5 t e Vc 9 t Os momentos fletores necessários i obtenção da linha de fechamento do diagrama são os momentos atuantes nos apoios que tracionam as fibras superiores e valem Estudo das vigas isostáticas 71 5 Pig U20 A partir da linha de fechamento penduramos as parábolas de cada um s trechos conforme indica a Fig 1120 72 Curso de andlise estrutural O diagrama de esforços cortantes não apresenta novidades em relação a casos anteriores Observaçóes a O diagrama de momentos fletores tem tangente horizontal em A pois Qa O o mesmo não acontecendo em D devido à presença da carga concentrada QD 2 t b Nos apoios o diagrama de momentos fletores apresenta pontos angulosos no sentido das reaçóes de apoio e o diagrama de esforços cortantes apresenta descontinuidades iguais a estas reaçóes de apoio c O momento fletor miximo tracionando as fibras inferiores da viga não ocorre no meio do a o mas sim na seção de cortante nulo que 8 aquela a 3s m de A Seu valor pode ser obtido diretamente isto 8 calculandose o momento fletor atuante na seçao a partir do carregamento e das reaçóes de apoio ou através da expressão 111 Usemos este Último processo Teremos M r Qdx 12 X 2 X 2 t 112 X 3 X l5 025 mt d O diagrama de esforços cortantes passa em suas descontinuidades devidas às reaçóes de apoio pelo valor zero o que indica que nos dois apoios temos m h o s não analíticos sem tangente horizontal no diagrama de momentos fletores o que se constata facilmente na Fig 1120 e A área total do diagrama de esforços cortantes é igual a zero indicando a inexistência de cargasmomento aplicadas Ex IL5 Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig ii21 Sendo o carregamento atuante equivalente a um momento total de 3 4 t 3 10 mt as reaçóes verticais deverão formar um momento de igual valor e sentido oposto e a o portanto iguais a 1014 25 t nos sentidos indicados na figura Os diagramas soiicitantes estão traçados na Fig 112 1 Observação A área do diagrama de esforços cortantes é lOmtdor este indicando que existem cargasmomento aplicadas nija resultante nos dá um momento de 1Omt no sentido horifi0 Estudo das vigas irostáticas 73 5 VIGAS GERBER I I I I I I I I I I I I I c3 Seja a estrutura representada na Fig ii221 estando o detaihe da secão C ampliado em iI222 O lem t 25 25 pig 1121 74 Curso de análise estrutural Suponhamos carregado o trecho CD este trecho não tem evidentemente estabilidade própria pois as cargas para serem equilibradas necessitarão de reações de apoio em C e em D Este último ponto é um apoio do I gênero e pode absorver uma força vertical caberia então ao ponto Cabsorver uma força vertcal e uma horizontal o que ele não é capaz de fazer mas é capaz entretanto de transmitir estas forças ao trecho ABC Fica entào a estabilidade do trecho CD condicionada à estabilidade do trecho ABC que em se tratando de uma viga biapoiada com balanço é estável o sendo entao o conlunto ABCD Se tivermos carregado o trecho ABC a carga solicitará apenas este trecho pois em se tratando de um trecho com estabilidade própria nele mesmo encontrara o carregamento suas reaçóes equilibrantes O ponto C 6 então um ponto de transmissão de forças não transmitindo momento algum pois não impede nenhuma rotação A estmtura e é repre sentado pois por uma rótula ficando o esquema estático da estrutura representado conforme indica a Fig 11231 Estudo das vigas irostáticas 75 O trecho ABC será resolvido a seguir com as cargas que lhe estão dueta mente aplicadas acrescidas das forças Vc e Hc transmitidas pela rótula C Recaímos então na resolução de uma viga biapoiada CD e de uma viga biapoiada com balanço ABC problemas estes já resolvidos nos tópicos anteriores Consta então uma viga Gerber de uma associação de vigas com estabili dade própria com outras apoiadas sobre as primeiras que dão a estabilidade ao conjunto Para resolvêla basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade própria e após as dotadas de estabilidade própria para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas acrescidas para estas Últimas das forças transmitidas pelas rótulas Observações a Em se tratando de vigas Gerber isostáticas as vigas que as constituem ão vigas biapoiadas vigas biapoiadas com balanços ou vigas engastadas livres As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem eskniturd e de ordem constmtiva conforme esclarecerá o exemplo da Fig 1124 11241 Fig 1124 U232 Suponhamos seja nossa funçgo constniir uma ponte de concreto que Fie U23 i deverá se apoiar sobre pilares A B C D escolhendo uma das duas solupões dicadas na Fig 1124 Para resolver a viga ABCD para a qual indicamos um carregamento atuante na Fig 1123 basta resolvermos inicialmente o trecho CD trechosem esta Suponhamos adotada a soluçXo indicada na Fig 11241 bilidade própria transmitindo para o trecho ABC trecho com estabilidade própria as forças HC e VC necessárias ao equilíbrio do trecho CD Para a execução da superestnitura da ponte seríamos obrigados a escorar unultaneamente todo o volume compreendido sob o tabuleiro da ponte 76 Cursa de análise estrutural escoramento este que dependendo da velocidade do rio e de sua profundi dade pode tomarse extremamente dificil caro e at6 mesmo arriscado no trecho BC Suponhamos agora adotada a soluçZo em viga Gerber indicada na Fig 11242 Esta solução permite a execução em separado dos trechos ABE EF FCD com o que poderíamos escorar inicialmente o trecho ABE e concretá10 a seguir transferiríamos o escoramento para o trecho FCD que seria poste riormente concretado e finalmente usando os próprios trechos ABE e FCD já executados como apoios concretaríamos a vigota EF encerrando a execução da estmtura poderíamos tambkn pdfabricar a viga EF lan çandoa através de uma treliça Não resta a menor dúvida que sob o ponto de vista constmtivo a segunda solução será mais adequada no caso pois não envolverá risco algum no vão BC durante a constmção alkn de reduzir o volume de material para escora mento a quase 113 do necessário para a primeira solução A solução da Fig 11242 trará ainda sob o ponto de vista estmtural a vantagem de reduzir as forças horizontais nos pilares devidas a variações de temperatura e à retração do concreto a este respeito não teceremos maiores considerações por ora pois este tema é objeto de estudo nas cadeiras de Pontes As vigas Gerber têm lugar de grande Importância na Engenharia Estrutural e a tendência desta importância é aumentar tendo em vista o desenvolvi mento das têcnicas de prÇabricaçZo e montagem de estmturas c Diversos autores adotam um metodo puramente algébrico para análise e resolução de vigas Gerber que apresentamos a seguir Seja a viga Gerber da Fig 1125 Fig n2s Para determinar as quatro reações de apoio dispomos das trds equações da EstBtica no plano ZX 0 ZY O e ZM O e devido à existência da rótula em C o que significa no haver transmissão de momento em C Estudo das vigas isostáticas n temos uma quarta equação dizendo que o momento fletor em C 6 nulo íc O Resolvendose este sistema de 4 equações a 4 incógnitas teremos as reaç6es HA VA Vg VC e a partir delas os diagramas solicitantes na viga Gerber Tal método náo nos parece interessante pois aumenta em muito a difi culdade algebrica de obtenção das reaçoes de apoio dificuldade esta que pode se tornar muito grande para vigas Gerber com maior número de apoios e rótulas e portanto não receberá ênfase maior neste Curso 52 Exemplos de decomposição Conforme Wnos em 51 para resolver uma viga Gerber basta decompóla nas vigas que a constituem Para tal devemos destacar as vigas que já possuem estabilidade própria apoiando sobre elas as demais através das rótulas que indicam a transmissão de carga das vigas que não possuem estabilidade própria para as que a possuem Desta forma obtemos as decomposições das vigas Gerber indicadas nos exemplos da Fi U26 Os números indicam a sequência de resoluçZo e as setas a transmissão de cargas Queremos chamar a atenção para o fato de que um dos apoios da viga Gerbei deve ser capaz de absorver forças horizontais que irão diretamente ara ele através das rótulas provocando esforços normais na viga ao longo 78 Curso de análise estrutural Estudo das vigas isostátícas 79 de sua trajetória As cargas verticaissomente serão as responsáveis pelos momentos fletores e esforços cortantes atuantes na viga Gerber e 6 para obté10s que necessitamos fazer a sua decomposição 2 por esta razão que nesta decomposição não nos preocupamos se o apoio 6 do I ou 20 gènero pois para as cargas verticais todos funcionarão como se fossem do l gênero Observação Notar que a viga Cerber da Fig 11263 devido ao fato de ter a rótula sobre o apoio internediário o que significa que os trechos AB e BC têm momento fletor nulo em B funciona como se fossem duas vigas biapoiadas AB e BC independentes que têm como única particularidade o fato das reaçóes em B se somarem no apoio único existente Ex Ii6 Obter os diagramas solicifantespara aviga Gerber da Fig 1127 Obtida a decomposição indicada na figura o problema não apresenta maio res novidades e obtemos imediatamente os diagramas solicitantes indicados na Fig 1127 Observaçóes a e m o s i Qdx O pois não existe cargamomento aplicada b e m o g Qdx lE Qdx Qdx O o que 6 evidente pois A A E E e F são rótulas e nelas devemos ter M 0 6 VIGAS INCLINADAS 61 Seja a viga da Fig 1128 submetida ao carregamento distribuído vertical indicado Sendo as reações de apoio as indicadas na Fig iI28 passemos ao estudo de seus diagramas solicitantes O momento fletor atuante numa seção gen6rica S será dado por Comparando esta expressão com 113 vemos que para fins de momen tos fletores a viga se comporta como se fosse uma viga horizontal perpendi cular ao carregamento de vão a e o diagrama 6 o indicado na figura notar que as ordenadas do diagrama são sempre marcadas perpendicularmente ao eixo da barra Os demais esforços atuantes nesta seção são dados por qa Qs qx cos cr e 2 Ns qa qx sen a 2 Fig ii27 express6es estas que definem linhas retas a partir das quais obtemos seus diagramas representados na Fig 1125 Curso de analise estrutural Estudo das vigas isosthticas 81 62 Seja agora a viga da Fig 1129 submetida ao carregamento distri buído horizontal qb2 rena za Fig 1129 Obtenhamos suas reaçóes de apoio Por ZXO HA qb b 4bZ Por EMB O qb X VA X a VA 2 qb2 2a POrZYO VB VA 2a O momento fletor amante numa seção genbrica será dado por xz 42 qb2 a qb qx2 qb2 b2 Ms qbx c 2 2a b X X 2 2 2 82 Curso de análise estrutural Comparando esta expressão com n3 vemos que para fins de momentos fletores a viga se comporta como se fosse uma viga vertical perpendicular ao carregamento atuante de vão b e O diagrama 6 o indicado na figura Os I demais esforços atuantes em S são dados por I 4b1 Qs cos 0 t qb qxsen ru Za N qb qx cos a e sen a 2n expressões estas que nos permitem o traçado dos diagramas feito na Fig 1129 63 Seja finalmente a viga da Fig 1130 submetida ao carregamento distribuído perpendicular a seu eixo Fig 1130 Conforme indica a Fig 1130 é fácil ver que este caso nada mais é que uma superposição dos casos 61 e 62 e os diagramas solicitantes para ele serão então iguais à soma dos diagramas indicados nas Figs 1128 e 1129 Em particular o diagrama de momentos fletores seri uma parábola do 2P graii de valor máximo igual a qa2 18 qb2 18 q A 7 18 comportandose entZo a alga como perpendicular ao carregamento atuante com vão AB Dos exemplos apresentados em 61 62 e 63 podemos concluir então que uma viga biipoiada inclinada AB se comporta para fms de diagrama de momentos fletores como se fosse uma viga biapoiada de vão igual i projeção de seu comprimento sobre uma reta perpendicular ao carregamento atuante sendo o diagrama de momentos fletores marcado sempre perpendicularmente ao eixo da viga Os diagramas de esforços cortantes e esforços normais são obtidos imedie tamente em qualquer caso a partir do carregamento e das reações de apoio Estudo das vigas iwstdticar 83 Ex ii7 1131 Obter os diagramas solicitantes para a viga inclinada da Fig 84 Curso de análise estrutural I As reaç6es de apoio são I A linha de fechamento do diagrama de momentos fletores é defmida pelo valor 6 mt tracionando as fibras superiores em A e pelo valor 2 mt tra cionando as fibras inferiores em E A partb dela penduramos o diagrama devido i carga distribuída existente indicado na Fig 1131 Sendo retilineos os diagramas de esforços cortantes e esforços normais eles serão definidos por suas ordenadas em A e B que valem QA 5 c o s a 4 t QB 3 c o s a 2 4 t N A 5 s e n a 3 t NB 3 sen a 18 t ObservaZoao A área do diagrama de esforços cortantes é igual a 8 mt valor da resultante das cargasmomento aplicadas 7 PROBLEMAS RESOLVIDOS I 71 A equação dos esforços cortantes atuantes numa viga biapoiada de 6 m de vão 8 Qx 8 2x x2 16 sendo x a distância do apoio esquerdo à seção genbrica que descreve a viga Sabendose que se houver cargamomento atuante ela estará aplicada no apoio direito pedese a reconstituir o carregamento atuante b obter o momento fletor máximo atuante lupo a A partir de ii1 temos que Para o apoio esquerdo q0 2 tlm I Para o apoio direito q6 4 tm Estudo das vigas isortáticas 85 6 x2 X 6 Qdx 8 k dx Ex xz 1 O 18 0 o que indica não existir cargamomento atuante O carregamento atuante 8 pois o indicado na Fig 1132 4 t h 1 6 m 1 Fig U32 b A seçáo de momento fletor máximo é aquela em que Qx 8 2r 6 O ou seja x 316 m A outra raiz da equação é negativa e des vida portanto de significado físico O momento fletor máximo será dado por 31Cí3 i l J 6 d x 8 X 3l6 316 18 135 mt tracionando as fi bras inferiores 72 Obter os esforços solicitantes da viga AB da Fig ii33 submetida ao carregamento distribuído segundo uma lei parabólica do 2P grau come çando com tangente horizontal e terminando com um valor máximo igual a P Verifiquemos se existe cargamomento aplicada em i 86 Cursa de analise emutural soiuçno A equação do carregamento será da forma qx ax2 Impondo a condição q1 p obtemos P x 2 a com o que qx p i2 i i Estudo dar vigas isastáticas 87 dac Para obter as reaç6es de apoio precisamos conhecer a posição da resultante ia vor 1 1 O valor da resultante é dado por R qxdx p I e as reações de i0 valem portanto Os esforços atuantes numa seção gen6ricaS são dados conforme aFig1135 1 É fácil ver que o momento máximo atuari na seção que tem Qx O ou seja na seção I x 063 i e vale 88 Curso de análise esírutural 73 O diagrama de esforços cortantes de uma viga biapoiada A F é o representado na Fig 1136 Sabendose que caso exista cargamomento ela está aplicada em D reconstituir o carregamento atuante e traçar o diagrama de momentos fletores A B C D E F A A partir de II2 podemos afirmar que a o carregamento atuante no trecho AB 6 uniforme de cima para baixo diagrama de esforços cortantes decrescente e de taxa igual a 2 tlm b em B existe uma carga concentrada aplicada de cima para baixo e igual a 4 t valor da descontinuidade no diagrama Q c no trecho BC o carregamento 6 distribuído uniforme de cima para baixo de taxa igual a 412 2 tlm d o trecho CE não possui cargas distribuídas ou concentradas aplicadas e em E existe uma carga concentrada de 2 t para baixo descontinuidade em Q Calculemos a área do diagrama de esforços cortantes S p 6 X 2 2 x 2 3 x 4 6 X I l O m t indicando a existência de uma carga momento em D atuante no sentido h rário O carregamento atuante 6 pois o indicado na Fig II37 e a partir dele obtemos imediatamente o diagrama de momentos fletores indicado na mesma figura 1 Emdo das vigas isostáticin 89 74 A viga biapoiada da Fig 1138 possui um carregamento talque seu diagrama de momentos fletores é o indicado na figura Pedese reconstituir este carregamento I OBS Existe concordância em i3 entre a parábola do 2P grau e a reta Par 2O grau Fie U38 90 Curso de anlise estrutural Solução A partir da configuração do diagrama M podemos afirmar que o aspecto do carregamento atuante é o da Fig 1139 Passemos i determinação dosvaiores numéricos das cargas atuantes Temos a Pelas forças da direita b Pelas forças da direita ME 2mt 1 X 4 2 P 2 P 3 t Pelas forças da esquerda M B 2 m t 2 q 2 2 2 q 2 q 3tm O carregamento é pois constituído por iima carga uniformemente distri buída de 3 tm no trecho AB e por uma carga concentrada de 3 t em C nos sentidos indicados na Fig 1139 75 Uma estaca de seção constante e comprimento L repousa num pla no horizontal Desejase levantála por um ponto girandoa em tomo de uma das suas extremidades durante o levantamento Determinar este ponto de modo que ela fique submetida aos menores momentos fletores possíveis durante a operação Seja S a seção de suspensão No instante do levantamento ela funcionará estaticamente segundo o esquema indicado na Fig 1140 e para que fique submetida aos menores momentos fletores possíveis devemos ter que os módulos dos máximos momentos fletores positivo e negativo sejam iguais Impondo as equaçóes da Estática obtemos qL2 ZMA O VB 2x qLZ Z Y O VqL 2x Estudo das vigas isostáticas 91 I A seç de cortante nulo posição do momento máximo sendo a iudicada na Fig 1140 temos que 1 L M fTqLZl l área do diagrama de cortantes 2w O momento máximo negativo atua evidentemente na seçáo B e seu mbdu 10 é dado por IMih 1 q L 2 Igualando vem 1 L 2 1 TqL21 qL xZ 2 Simplificando obtemos 92 Curso de andlise estrutural Estudo das vigas isostáticas 93 L I 2 72 1 A cuja dnica solução provida de significado físico 6 1 x 0707 L 2 76 Obter as equaçbes dos esforços simples atuantes no trecho CD da viga da Fig 1141 I I I 2 r n r n 4 m d m Fig U41 As reaçbes de apoio calculadas por superposição de efeitos sáo 1 2 V 2 t 10 X 2 6 16t 2 3 Para determinar as equaçbes dos esforços simples atuantes no trecho CD basta escolher uma seção gen6rica do trecho referila por uma coordenada independente e obtemos imediatamente Observação Cada um dos trechos AB BC CD DE possui diferentes equa çbes paraM e Q de imediata determinação conforme mostrou este problema 77 Calcular o valor al para que a viga da Fig 1142 tenha os menores momentos fletores possíveis a 1 d a 4 Fig 1142 Sendo o aspecto do diagrama de momentos fletores o indicado na Fig I143 e sabendo que para a viga ter os menores momentos fletores possivets os módulos dos máxunos momentos fletores positivo e negativo devem se igualar obtemos Daí vem 78 Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Fig 1144 Bmt I 4t k l m l m 1 5 m l m 3 m m m m Fig 1144 Sendo a decomposição e as forças de transmissão as mdicadas na Fig 1145 obtemos os diagramas a seguir 94 Cursa de análise estrutural Observações a Para a obtenção do diagrama de momentos fletores no trecho FI tanto poderiamos conhecendo os valores dos momentos fletores em F G H I traçar sua linha de fechamento e a partir dela pendurar as par6bolas corres Estudo das vigas isosiáticas 85 pondentes a cada um dos trechos FG GH Hi como fazer diretamente o que se fez na Fig n45 conhecidos os valores dos momentos em F e I desenha mos a linha de fechamento e a partir dela penduramos o diagrama de viga biapoiada para o carregamento do trecho FI parábola cujo valor na seção mBdia 12s mt Esta parábola deve evidentemente passar por valores nulos em G e H r6tulas o que B um bom teste para os momentos ex iremos obtidos no trecho b Notar que no trecho entre a carga de 4 t e a r6tula E o diagrama de momentos fletores B uma mesma reta pois VC 0 c Notar que os valores dos momentos fletores atuantes à esquerda e à direita da rótula E são iguais aos valores das cargasmomento aplicadas à esquerda e à direita de E Tal fato pode nos simplificar muito o trabalho em outros casos conforme poderemos ver no problema 79 d A área do diagrama de esforços cortantes vale SQ 8 6 6 16 8 mt valor da resultante das cargasmomento apli cadas e da reaçãomomento no engaste e Suponhamos que além do carregamento indicado existisse uma carga horizontal H da esquerda para a direita aplicada em C Tal carga seria absor vida pelo engaste I e a ele chegaria atravBs das rbtulas notar que a rótula E a transfere para o trecho EFG onde a rótula G a transfere para o trecho GH indo daí para o trecho HI em que 6 absorvida A iníiuhcia desta carga horizontal seria então a de adicionar à viga um d i a m a de esforços normais no trecho CI de compressão igual a H 79 Obter sem calcular as reações de apoio os diagramas de momentos fletores para as vigas da Fig n46 A partir da observação c feita no problema anterior obtemos os diagra mas desejados desenhados na Fig 1147 96 Curso de anzílire estrutural Esiudo dar vigas isoJtiiticna 97 710 A Fig 1148 representa o diagrama de esforços cortantes numa viga Gerber que possui uma rópla a ser determinada Pedese determinar a posição desta rótula reconstituir o carregamento e traçar o diagrama de momentos fletores OBS A viga não tem cargamomento aplicada A partir do diagrama de esforços cortantes dado obtemos imediatamenfe o carregamento atuante e reaçóes de apoio indicados na Fig 1149 O valor da reaçãomomento no engaste 6 dado pela área do diagrama de esforços cortantes que vale 1 SQ 2 X 2 t 2 X 4 X 2 X 2 4 X 2 2 m t osentido6poisho rário As posiçóes possfveis para r6tula são aquelas em que a irea do diagrama de esforços cortantes se anula e são dadas por x 2 m ou x 759 m indicamos uma posição em linha cheia e a outra em tracejado O diagrama de momentos fletores esta traçado na Fig 1149 71 1 Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Fig 1150 1 1 I I 1 I I I Ç 1 r n 3 r n 2 5 l m 1 5 m f 15ml5m Pig 1150 Tratase evidentemente de uma viga Gerber hipostática sem estabilidade pôis o trecho EFG é instável viga biapoiada com rótula e não há o que calcular então OBS O objetivo deste problema foi chamar a atenção do leitor sobre o seguinte fato suponhamos fosse feita uma anáIise da estaticidade da viga por via algdbrica A quantidade de incógnitas a determinar d seis três apoios do 1P gênero e um engaste A quantidade de equaçbes disponiveis B seis três equaçbes universais da Estática mais três equaç6es de momentos fletores nulos nas rótulas A conclusão seria então que a viga é isostática o que sabemos ser falso por ser seu trecho EFG hipostático A interpretação do resultado algébrico é que a superposição do trecho uma vez hiperestático AE com o trecho isostático GH e com o trecho hipos tático EFG acarretou uma isosticidade aparente para o conjunto e poresta razão que não apresentamos neste Curso fórmulas destinadas2 verificaçao da estaticidade de estruturas compostas pois elas sáo falíveis sb sendo seus resultados confirmados quando fuermos a decomposição correta da estrutura que dará a última palavra e que é o que fazemos para todos os casos 8 PROBLEMAS PROPOSTOS Par grau 81 Obter as equaçóes doses forços simples atuantes na viga da Fig 1151 Estudo das vigas iaartáticas 99 82 Obter as equações dos esforços simples atuantes na viga da Fig I 1152 Sugerese tentar fazer o carregamento recair numa superposição de I carga uniforme com carga triangular 83 Idem para a viga da Fig ii53 ph par 2 grau 84 Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig 1154 1 tlm 85 Determinar o valor da carga P que deve ser aplicada 2 viga da Fig 1155 para que ela fique submetida aos menores momentos fletores rsíveis 1 W Cuno de anhlise estrutural I 1 1 1 Fig li55 86 Idem para a viga da Fig 1156 87 Obter os diagramas soiicitantes para a viga da Pig 1157 88 Idem para a viga da FLg II58 A 125mt f n I I I I 5 m 3 m 3 r r 1 5 m Pig li58 w d o das vigas isostáticas 101 I 89 Idem para a viga da Fig 1159 810 Idem para a viga da Fig 1160 811 Traçar os diagramas solicitantes para a barra homogênea ABC de 130 kg de peso total indicada na Fig LI61 1 812 Calcula o menor valor de a para que a viga da Fig 1162 possua iomentos fletores tracionando em todas as seções as fibras superiores 102 Curso de análise estrutural 813 Traçar os diagramas solicitantes para a viga da Fig 1163 f t t t l m A a A 3 6 4 m m t 4 m 2 m 4 m Fig ná3 814 Idem para a viga da Fig 1164 3rn1 m4mlm Pig 1164 815 Sem cálculo pr6vio das reações de apoio obter o diagrama de mo mentos fletores para a viga da Fig 1165 a b c 4 d f e 2 m 1 Pig 1163 816 Para a viga da Fig U66 obter os diagramas solicitantes Estudo das vigas isostáticas 103 817 Obter o diagrama de momentos fletores para a viga da Fig 1167 818 Calcularx para a viga da Fig 1168 de modo que ela fique subme tida aos momentos fletores menores possíveis 819 Para a viga da Fig 1164 obter as equações dos momentos fle tores atuantes em seus diversos trechos 820 A Fig U69 representa o DMF numa viga Gerber de simples apoios em A E C um dos quais é do 2P gênero Pedese a reconstituir o carregamento e as reações de apoio b traçar o diagrama de esforços cortantes c calcular as posiçóes possíveis para a rótula 104 Curso de análise estrutural 9 souçAo üOS PROBLEMAS PROPOSTOS Pp pl 1 6 4 e 81 M E3 E4 Qx 3 3 85 P 2q12 4 produzindo MmáuI 0086 q12 86 P ql a1 produzindo IMrnáx 0086 qlz citudo das vigas isostáticas 105 106 Curso de andlise estrutural istudo dar vigas isostáticas 107 Curso de análise estrutural 818 x 3 2 produzindo IMmáxl 0086 qlz Estudo das vigas isostáticas rj19 Mx 3 x 1 para x E O 41 3 6 Ix2 para x E 481 x 108 2 l x x 2 para x e i8 91 CAPITULO III ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS 1 QUADROS SIMPLES Existem quatro tipos fundamentais de quadros isost8ticos planos aos quais cliarnamos quadros simples quando ocorrem isoladamente e que associados entre si da mesma forma com que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber formam os assim chamados quadros compostos que estudaremos no tópico n 3 deste capítulo Sao os seguintes os tipos estáticos de quadros simples isost3ticos 11 Quadro biapoiado Seja o quadro da Fig 1111 Para obtermos as reações de apoio HA LIA e ID dispomos das trEs equações uni i versais da Estática no plano Tratase pois de estrutura isostática Conheci das as reações de apoio passetnos à obtençáo dos diagramas solicitaiiies Fig 1111 Emido dos quadros irostáticos planos 111 Estamos diante de um problema novo que faremos recair em problema já conhecido resoluçXo de vigas biapoiadas da maneira seguinte p2 s h P7 VI 11121 11122 Fig lil2 Rompendo a quadro em seus nós intermediários B e C podemos destacar umas das outras as barras que o constituem desde que apliquemos nesses nós em cada uma das barras os esforços sunples neles atuantes que manterão o equilibrio de d a barra AB BC e CD conforme indica a Fig 11121 Analisemos agora cada uma dessas barras Seja por exemplo a barra BC indicada na Fig 11121 submetida ao carregamento em equilibrio constituído por HB VB ME Pl P3 Hc VC MC Como estas cargas estáo em equilibrio podemos encarar por exemplo Hg VB e VC como sendo as forças que equilibram as demais cargas atuantes e a barra BC pode então ser considerada como uma viga biapoiada submetida ao carregamento que lhe está diretamente apiicado acrescido de cargasmonento em suas extre midades iguais aos momentos fletores atuantes nestas seções e de uma carga horizontal no apoio do i gênero igual ao esforço normal ztiiante nesta seção A igual conclusão chegaríamos para as demais barras e o estudo do quadro recai então no estudo das três vigas biapoiadas AB BC e CD com os carregamentos indicados na Fig 11122 As conclusiies tiradas para este caso podem ser extrapoladas para lodos os demais e podemos então afirmar que para se traçar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro basta marcar os momentos fletores atuantes em seus nós iigMos por uma linha reta tracejada a partir da qual penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada uma das barras que constituem o quadro 112 Curso de análise estrutural Os diagramas são marcados como no caso das vigas perpendicularmente ao eixo de cada barra A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços normais d imediata a partir do conhecimento das reações de apoio O exemplo 1111 esclarece Ex 1111 Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig 1113 Fig iil3 Substituindo o carregamento distiibuído por sua resultante indicada em pontilhado na Fig 1113 passemos à obtenção das reaçóes de apoio Por C Y 0 temos V 20 t Por CMsO temos 2 0 X 5 t 2 X 2 2 0 X 8 t 1 6 t 4 f A 0 HA IOt Por ZX 0 temos Hg 12t Conhecidas as reações de apoio estamos em condições de traçar os diagramas solicitantesque começaremos pelo diagrama de momentos fletores Os momentos fletores atuantes nos nós intermediários valem a Nó D Para a barra AD M B A D 10 X 8 4X 4 96 mt tra cionando as fibras da esquerda Para a barra CD MP 2 X z2 12 4 mt tracionando as fibras superiores Para a barra DE Estudo dos quadros isostáticos planos 113 Para a barra DE podemos obter o momento fletor atuanteem D a partir de sua defmição isto 6 entrando com as forças atuantes num dos lados da sepão por exemplo entrando com as forças atuantes à esquerda obtemos tracionando as fibras superiores ou podemos o que é muito mais prático no caso obter seu valor a partir do equilibrio do nó D conforme se segue mc est da cio Rompendo todas as barras que concorrem no nó D e aplicando os imentos fletores nelas atuantes eles têm que estar em equilibrio pois a mtura o está Temos então o esquema da Fig 1114 a partir do qual temos hfDbDE 100 mt tracionando as fibras ãuperiores Nó E Para a barra EF M P E F 16 mt tracionando as fibras direita Para a barra BE 12 X 4 2 X 2 52 mt tra nando as fibras da direita Para a barra DE temos a partir do equilibrio do nó E Vforme indica a Fig 1115 M F D E 36 mt tracionando as fibras superiores 114 Curso de anailise estratural Marcando os valores obtidos para os nós temos definidas 2s linhas de fechamento a partir das quais penduramos os diagramas de viga biapoiada obtendo então o diagrama final indicado na Fig 11161 100 Fig 1116 A obtenqáo dos diagramas de esforços cortantes e de esforços normais 6 imediata a partir do carregamento e das reações de apoio indicadas na Fig1113 chegandose aos valores indicados nas Figi 11162 e 11163 respectivamente Estudo dos quadros isost6ticos planos 115 Observuçóes a OS diagramas de momentos fletores nas barras verticais poderiam também I ser obtidos calculando seus valores nas seções de aplicação das cargas concentradas 4t para a barra AD e 2 t para a barra BE ligandoos a zero nos apoios e aos valores obtidos nos nós 96 mt para o nó D e 52 mt para o nó E b Para o traçado do diagrama de esforços cortantes obedecemosis mesmas convenções de sinais adotadas no caso das vigas c A área do diagrama de esforços cortantes vale S Q l 0 X 4 1 4 X 4 4 1 6 X 4 1 4 X 2 1 2 X 2 1 6 m t v a l o r da cargamomento aplicada sentido antihorário d No traçado do diagrama de esforços normais é indiferente o iado para o qual marcamos os valores interessando apenas o sinal positivo se o esforço é de tração e negativo no caso de compressão e A fim de evitar confusão com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares usadas para o traçado dos diagramas podeae hachurar se julgado Útil para maior clareza a área compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro f Notar no diagrama de momentos fletores os pontos angulosos nos pontos de aplicação e nos sentidos das cargas concentradas aplicadas iclusive as reaçóes de apoio 12 Quadro engastado e Livre Seja o quadro da Fi 1117 Suas três reaçóes de apoio HA VA MA são ùnediatamente obtidas empregan dose as três equações universais da Es tática e a partir dai chegamos sem maiores problemas a seus diagramas solieitantes conforme ilustra o exem plo 1112 4 ri i DrE 116 Curso de análise estrutural E 1112 Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig 1118 eaçóes de apoio valem X X U H i t Por ZY O VA 8 t Por ZMO M 3 X t l X 2 1 X 1 4 X 2 MA l m t Os diagramas solicitantes são os indicados na Fíg 1119 I Fi 1119 Observaç5es a Não indicamos cálculo auxiliar algum pois todos os valores necessários ao traçado dos diagramas podem ser obtidos de cabeça no caso 6 A área do diagrama de esforços cortantes vale no caso 1 mt valor da reaçãomomento no engaste sentido antihorário Estudo dos quadros ilat8tixs Mana 317 I 13 Quadro triarticulado seja o quadro triarticulado articulações em A G e g da ig 1i110 Para determinar suas 4 reaçbes de apoio HA V HB e VB dispomos das três equaçOes universais da Estática no plano e por haver uma rótula em G o que indica que em G 6 há transmissão de forças não havendo ransmissão de momentos temos uma quarta equaçao indicando que o momento fletor em G deve ser nulo Obtidas as reações de apoio o problema está resolvido levandose em conta o que jd estudamos nos itens anteriores ObsewaçrM Caso os dois apoios do 20 gênero e a rótula intermediária estejam aliiados a estrutura será hipostatica seMo vejamos Seja o quadro da Fig 11111 Para que tenhamos satisfeita a condição do momento fletor ser nulo em G as reações de apoio HA e VA em A e HB e VB em R devem ter suas resultantes R e RB segundo a direçso da reta AR conforme esquematizado na figura 118 Curso de análise estrutural Calculemos a soma das projeções de todas as forças na direçáo perpendi cular ê reta AB ela valerá X Y P coso e náo zero como deveria valer caso houvesse o equilibrio Coilcluhos entào que nestas circunstãncias o equilhrio 6 impossivel e estamos por conseguinte diante de uma estrutura hipostática Podemos afirmar pois que um quadro tnarticulado é uma estmtura isost4tica desde que suas 3 rótulas não estejam alinhadas Ex 1113 Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig 11112 I i i Fig 11112 As reações de apoio são dadas por ZMBO 8VA X 6 8 X l X 4 4 X 2 X 2 V 6 t X Y O V 2 2 4 S X i VA IOt Mc 0 pelas forças da esquerda 6 X 4 6 6 H A 2 X 2 4 X I X 2 0 HA 3 t ZX O H g 3 t Passemos obtenção d a diagrama de momentos fletores Os momentos fletores atuantes nos nós do quadro valem nó C Mc 3 X 3 9mt tracionando as fibras externas nó G MEYi M 6 mt valor das cargasmomento aplicadas tracio nando as fibras externas observação Em C temos evidentemente MC 0 o diagrama sofre descontinuidades de 6 mt à esquerda e à direita da rótula Estudo dos quadros isostáticos plana 119 I nó F M 2 X 2 4 mt tracionando as fibras externas 1 M 3 X 6 4 X 2 10mt tracionando as fibrasexternas M F 14 mt tracionando as fibras externas obtido a partir dos valores anteriores por equilibrio do nó E conforme mostra a F1g 11113 I nó E MiarraDE 8 mt tracionando as fibras superiores ME 3 X 3 9 nit tracionando as fibras externas b I mt tracionando as fibras externas obtido a oartir dos valores anteriores por equilibrio do nó E conforme mostra a Fig 11114 I Marcando os valores obtidos para os nós temos definidas as linhas de fechamento a partir das quais penduramos os diagramas de viga biapoiada obtendo então o diagrama indicado na Fig 111151 As cotas bdsicas para o traçado dos diagramas de esforços cortantes e de esforços nomais podem ser obtidas de cabeça a não ser no trecho inciinado CG onde valem 120 Curso de analise emutural 6 c o s a 3 s e n a 6 X 0 8 3 X 0 6 3 i N 6 sen u 3 cos u 6 t QJP 4cosu 3sena 14t eJd 14 2 cosa 02 t NJ 4 sen a 3 cosa 4s t N 48 2 sen a 36 t 3senu 1St Qc N 3cosu 24t Os diagramas estão desenhados a partir desses valores nas Figs 111152 e 111153 do dos quadros isostáticos planos 121 Observaq5es a Notar como a escolha adequada das equações de equilibrio bem como de sua ordem de emprego facilitou o trabalho algébrico de obtenção das reações de apolo Em qualquer outrò caso o leitor deve guardar esta iddia em mente pois esta escolha adequada tornará a resolução da estrutura muito menos trabalhosa e consequentemente muito menos passível de erros numéricos b O diagrama de momentos fletores de viga biapoiada a ser superposto i linha de fechamento na barra CG em vista às conclusões tiradas no item do Cap 11 tem seu valor em J igual a q12 18 Pabl I 1 X 418 2 X 2 X 214 4 mt Este valor será marcado evidentemente na perpendi ilar à barra CG a partir da linha de fechamento 14 Quadro biapoiado com articulaio e t i i t e ou escora Seja o quadro da Fig UI161 biapoiado em A e E com uma r6tula em G e com uma barra CD descarregada roiulada em suas extremidades Se a barra CD 6 descarregada e rotulada nas extremidades ela tem em todas as suas seções M Q 0 podendo estar submetida apenas a um esforço normal constante no caso de ser de traçáo a barra será denominada tirante e no caso de ser de compressão será dita uma escora Nada se alterará entZo sob o ponto de vista estático se rompermos a barra CD substituindoa por um par de esforços normais N de sentidos opostos e aplicados no quadro ACDB em cada uma das extremidades C e D da barra CD conforme indica a Fig 111162 122 Curso de análise estrutural Para resolver a estrutura precisaremos por conseguinte conhecer os valores das reações de apoio VA HA e VB e do par de forças N num total de quatro incógnitas Sendo igual o numero de equações de que dispomos três equações universais da Estática e mais a equação de momento fletor nulo na rótula tratase de uma estrutura isostática Obtidas as reações de apoio e o valor de N o traçado dos diagramas solicitantes será unediato a partir do que estudamos nos tópicos anteriores deste capitulo O exemplo 1114 esclarecerá Obseri3apio Dependendo da posição relativa dos vínculos o quadro biapoiado com articulação e tirante pode se tomar hipostático conforme é o caso da estrutura da Fig 11117 incapaz de absorver forças horizontais atuantes no trecho GB bois acarretariam o aparecimento de momentos fletores na rótula o que é impossível Devese fazer pois neste sentido uma análise de cada caso Fig 11117 W Ex 1114 Obter os diagramas soticitantes para o quadro da Fig UI18 Fig 11118 Fig 11119 Estudo dos quadros isonáticos planos 123 Temos para obtençáo das reaçdes de apoio e do esforço normal atuante na barra CD o esquema da Fig 11119 a partir do qual obtemos Por ZX O HA O Por M B O 4v4 2 X 4 X 2 v A 4 t Por Z Y O V g 8 v A 4 t Por Mc 0 pelas forças da direita 2 N 4 O N 2 t Conhecidos estes valores obtemos sem maiores problemas os diagramas solicitantes traçados na Fig 11120 Fig 11120 2 QUADROS COM BARRAS CURVAS Os tipos de quadros simples estudados no tópico anterior podem aparecer evidentemente com barras curvas ao invés de barras retas conforme o caso por exemplo da Fig UI21 Nenhuma alteraçao quanto à forma de tratamento sofrerá entretanto o problema conforme esclarecem os exemplos a seguir I Fig iii22 Ex In5 Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig 11122 Por simetria as reações verticais em A e B são iguais aP2 e temos então numa seção genérica S definida pelo ângulo 8 os seguintes esforços simples P J Qs Va sen e sen O E I2 gy n j ie studo dos quadros isost6tim planos 195 Y8 Estas equações são válidas apenas para seções no trecho AC pois em C surge uma carga concentrada que modificaria estadexpressões para O n12 Devido à simetria existente não precisamos entretanto instituir as equações para o trecho CB obtendo então os diagramas indicados na Fig 11123 todos eles marcados perpendicularmente ao eixo da barra estes diagramas são traçados evidentemente por pontos Observação importante notar que para este exemplo em que temos uma estrutura plana simétrica com carregamento simétrico pois HA 01 os diagramas de momentos fletores e esforços normais são sim6tncos e o 2 2 de esforços cortantes é antisimétrico duas seç6es simétricas em relação a0 eixo dc simetria da estrutura têm cortantes de mesmo módulo com sinais Fig 11123 postos Esta é uma conclusâo dlida para qualquer estrutura plana simétrica com arregamento simétrico Ex 1116 Para a estrutura da Fig 11122 desenhar o diagrama de momentos tletores a partir de uma reta horizontal 126 Curro de análise estrutural Marcando os valores dosmomentos fletores a partir de uma reta horizontal o diagrama seri retilíneo conforme indica a Fig 11124 pois os momentos fletores crescem linearmente segundo o valor de AM R 1 cos 0 Daí a idéia no caso de desenhar o diagrama a partir de uma reta horizontal e não a partir do eixo curvo da barra Tal idéia 6 válida pois existe uma correspondência biunívoca entre sepo da barra e cota do diagrama de momentos fletores marcado a partir de uma reta horizontal Pig 11124 No caso das barras curvas podemos entáo traçar diagramas a partir de uma Linha reta auxiliar e 15 interessante fazlo quando tal procedimento simplificar o seu traçado Os próximos exemplos completaráo o esclarecimento do assunto Ex 1117 Desenhar o diagrama de momentos fletores para a estmtura da Fig 11125 Fig 11125 Estudo dos quadros isostátiws planos 127 Desenhando o diagrama a partir da reta horizontal AB levandose em conta que o momento atuante numa seção gentrica vale 1 X y y tracio nando as fibras superiores ele seri delimitado pelo próprio eixo da barra conforme indica a Fig 11126 Notar que como os momentos fletores tracionam as fibras superiores seus valores sáo marcados para cima da reta AB Fig 11126 Ex Iii8 Trapr o diagrama de momentos fletores para a estrutura da Fig 11127 As reaçóes de apoio valem Por ZX O HA 2 t Por XMg O V 4 t Por XY O V 8 t conforme indica a Fig 11127 128 Cuno de análise estrutural A obtenção dos diagramas nasbarras ACe BD 6 imediata concentremonos na barra CD para a qual desenharemos o diagrama a partir da reta horizontal CD pelas razoes que transpareceráo a seguir Para estudar a bana CD isoladamente rompamos a estrutura em C e em D aplicando nestas seções seus esforços simples a frn de preservar seu equilibrio Isto equivale a transferir para C as cargas aplicadas no trecho AC e para D as cargas aplicadas no trecho BD Temos entao o esquema da Fig 111281 que pode ser decomposto na superposiçáo dos casos indicados na Fig 111282 só cargas verticais e momentos e na Fig 111283 só cargas horizontais Para o caso indicado na Fi 111282 correspondente à influência apenas das cargas verticais e momentos a barra curva se comporta como se fosse uma viga reta CD pois para se obter os momentos atuantes numa seçáo gen6rica S s6 interessam as distâncias horizontais Marcando então 0s momentos a partir da reta CD o diagrama para o caso esta indicado na Fig 111291 Estudo dor quadros ironbtiuis planos 129 Para o caso indicado na Fig 111283 correspondente à influencia apenas cargas horizontais o momento íietor atuante numa qçáo gengrica vale ifoqne indica esta figura Sy tracionando as fibras supeiores desenhando iiagrama a partir da reta CD ele será então da mesma lei matemática o eixo da barra pois o momento é proporcional a y sendo pois a dbola do 2 grau indicada na Fig 111292 L O diagrama fmal para a barra curva CD desenhado a partir da reta CD é então o indicado na Fig 111293 e o diagrama de momentos fietores no quadro 6 o da Fig 11130 130 Curso de an6lise estrutural 1 Aconselhamos seja sempre usadn para as barras curvas o mdtodo de análise empregado neste último exemplo por ser a forma mais simples de resolvêlas 2 Resumindo o que vimos neste exemplo para o traçado do diagrama de momentos fletores na barra curva CD a partir da reta horizontal CD marcamos sua linha de fechamento e a partir dela penduramos a soma do diagrama de viga biapoiada com o diagrama devido apenas às forças horizontais conforme indica a Fig IIMO Estudo dor quadros iwsthticw planos 131 E fhcil ver então que o quadro composto está para o quadro simples da mesma fonna que a viga Cerber est4 para as vigas simples A resoluçíio de um quadro composto não apresenta então mistério algum I bastando resolver inicialmente os quadros sem estabilidade própria no caso o triarticulado DEFGH para as cargas que atum sobre eles e a seguir os quadros dotados de estabilidade própria e que por isto dão a estabilidade ao conjunto para as cargas que atum diretamente sobre eles acrescidas das forças transmitidas pelas rótulas Pata o caso da Fig 11131 teríamos que resolver então os trs quadros imples indicados na Fig IIM2 para os carregamentos indicados 3 QUADROS COMPOSTOS 31 Introdução Seja o quadro da Fig 1113 1 Analisemos o trecho DEFGH tratase de um triarticulado sem estabilidade própria pois as rótulas D e H são capazes apenas de transmitir forças às estmturas que as suportam Sua estabilidade fica entao condicionada à capacidade ou não que tenham os quadros ACDB e JHIK de absonier estas forças p3 p4 Sendo estes dois últimos quadros estruturas isostáticas quadros biapoi ados dotados de estabilidade própria eles sáo capazes de absorver as forças transmitidas pelas rótulas D e H acrescidas das forças que atum diretamente sobre eles sendo o corjunto então uma estrutura isostitica composta por dois quadros biapoiados dotados de estabilidade própria que suportam um triarticulado dando a ele pois estabilidade A este conjunto formado pela associação de quadros simples chamamos quadro composto Para resolver um quadro composto devemos enfio decomplo nos 1 quadros simples que o constituem resolvendo inicialmente aqueles sem I estabilidade própria e após os dotados de estabilidade própria para o carregamento diretamente atuante sobre eles acrescido pata estes últimos das forps transmitidas pelas rótulas O problema recai pois na resolução de quadros simples jáestudada em tópico anterior A única novidade será então a decomposição do quadro I composto nos quadros simples que o constituem de que trataremos a seguir I 32 Exemplos de decomposição Para decompor um quadro composto devemos procurar iniciaimente os quadros simples dotados de estabilidade própria que o constituem e sobre 132 Cuno de análise estmtuial eles atravds das rótulas apoiamos a seguir os quadros simples seni estabili dade própria Os exemplos a seguir esclarecerão a c F G Fig 11133 Os quadros dotados de estabilidade própria são o quadro engastado e livre AB e o quadro triarticulado EFGH A partir dai temos a decomposiçáo indicada na Fig 11134 Os números indicam a ordem de resolução e as setas em pontdhado a transmissão de carga t E Fig 11135 Estudo dm quadros iwstátims planos 133 Sendo AGFE um quadro biapoiado dotado de estabilidade própiia o esquema de decomposição 6 o da Fig 11136 B A izjF I I Fig 11136 ObservaçZo inicial Seja o quadro da Fig 111381 nl381 111382 Fig 11135 Para ele identificamos unediatamente os quadros engastados e livres AB e FI e o quadro triarticulado GDH dotados de estabilidade própria e sua decomposição é então a indicada na Fig 111382 Nào C usual entretanto representar para o quadro da Fig 111381 O nó D da forma pela qual foi representado preferese para este fun indicálo como na Fig 11137 o que 134 Curso de anhlise estrutural é lícito fazer sem qu haja nenhuma mudança em seu funcionamento pois tanto num caso com0 no outro não há transmissão de momentos fletores de uma barra para a outra bem como nos dois casos as diversas banas concorrendo no nó podem girar independentemente uma da outra O quadro da Fig 11137 é então i4Entico ao da Fig 111381 e aprimeira forma de representação será sempre a adotada Sua demposiçáo 6 a da Fig 111382 E fácilpoís notar que quando temos conforme foi o caso do exemplo quatro barras rotuladas num nó a estrutura se comporta como tendo neste nó três rótulas distintas duas barras cada uma delzs rotulada em relação às duas outras rotuladas estas entre si e indivisiveis por fazerem parte de um quadro simples que constituem o quadro composto Generalizando quando temos n barras rotuladas num nó a estrutura se comporta como tendo neste nó n 1 rótulas distintas Ex Di9 Decompor os quadros das Figs 111391 fn401 e 11141 l numeiando a ordem de resolução dos quadros componentese indicando com setas as transmissões de cargas A partir dos comentdrios anteriores temos imediatamente as dewmpo siçaes indicadas nas Figs 111392 111402 e 111412 1 Estudo d w quadros isostátims planos 135 Pig 141 33 Exemplos de solução I Ex IILIO Traçar os diagramas solicitantes para o quadro da Fig 11142 m c Fig I1142 A decomposição a ordem de resoluçZo ss forps de transmissão e as reações de apoio são as indicadas na Fig 11143 Fig 11143 136 Curso de analise estrutural Observaçüu As reações de apoio e as forças de transmissão para o quadro 1 foram obtidas por superposição de efeitos carga distribuída e carga concentrada conforme indicado na Fig 111431 Para o quadro 2 é mais prático obter as reaçõos de apoio empregando diretamente as equaçoes de equilibrio devido à maior qdaiitidade de carregamentos atuantes C temos Por ZMc O R V D X S X Z X X I X 4 0 VD 65 t Por Z Y O Vc 3 2 5 t Z X X 1 6 s 6 7 5 t Poi M c 0 calculadci pelas forças da esquerda HD O Por C X O Hc 3 t Podemos passar então imediatamente ao traçado dos diagramas solici tantes feito na Fig 11144 I i i Fig 11144 Estudo dos quadros isost8ticos planos 137 Ex 11111 Traçar os diagramas de momentos fletors e de csforços normais para o quadro da Fig 11145 2 r n 7 J L 2 r n A r n 4 Fig 11145 A decomposição a ordem de resolução as forras de transmisso e as reações de apoio S o as indicadas na Fig 11146 vn2 t v21 Fig 11146 1 Observaãu As Rações de apoio e forças de transmissão no caso deste exemplo podem ser todas elas obtidas de cabeça mediante o emprego em ordem adequada das equações de equilibrio para cada um dos quadros simples componentes Foi o que fizemos sugermdo ao leitor fazer o mesmo A partir da Fig 11146 temos imediatamente os diagramas pedidos traçados na Fig 11147 138 Curso de analise estrutural Esíudo dos quadros irostáticos planos 139 I iam I Fig 11147 Ex Iii12 Desenhar o diagrama de momentos fletores para a estrutura da Fig 11148 sendo que para os trechos curvos que são parábolas do 20 grau fazêlo a partir das retas horizontais de substituição 4 m i 4 d Fig 11148 A decomposiqão a ordem de resolução as forças de transmissão e as reações de apoio obtidas de cabeça mediante o emprego da superposição de efeitos são as indicadas na Fig 11149 A partir destes valores e das conclusões tiradas para barras curvas no emplo 1118 temos o diagrama de momentos fletores traçado na Fig 11150 Fig 11150 Ex 11113 Obter os diagramas de momentos fletores para os qiuadrol das Figs 111511 111512 e 111513 submetidos aos carregamentos auto equilibrados indicados Estando todas as estruturas isostáticas dadas submetidas a carregamentos autoequilibrados não são necessárias outras forças para equilibrar o canega mento atuante não há pois reaçi5es de apoio e podemos passar imzdiata mente ao traçado dos diagramas solicitantes Obs Por serem nulas as reações de apoio estes apoios não foram sequer indicados para as estruturas da Fig 11151 Onde quer que estivessem não teriam influência alguma para os carregamentos autoequilibrados indicados Os diagramas de momentos fletores estão traçados nas Figs 111521 111522 e 111523 140 Curso de análise estrutural Estudo dos quadros isostáticos planos 141 Fig 11152 4 ESTUDO DOS ARCOS TRIARTICULAWS O estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical pode ser feito recair inteiramente no estudo de uma viga biapoiada conforme veremos a seguir O estudo dos arcos triarticulados para carregamentos atuantes ern todas as direçóes não possui tal simplificação e se fará obedecendo aos priiicipios gerais de Esiática já estudados sendo seus diagramas solicitantes obtidos por pontos 41 Estudo dos arcos hiarticulados para carregamento vertical em fun çán da viga de substituição Seja o triarticulaio da Fig 111531 submetido ao carregamento vertical indicado para o qual desejamos determinar as reações de apoio e os esforços simples atuantes Sendo A e i7 apoios do 2P gênero existirão neles reaçóes R e R8 que podemos decompor em duas direçóes quaisquer para fins de facilitar o seu cálculo usualmente decompomos nas direçóes horizontal e vertical mas no caso preferimos a direção vertical e a direção AB pelas razões que ficarão claras no decorrrr do desenvolvimento conforme indica a Fig 111532 142 Curso de análise estrutural Calculemos estas componentes Por I X 0 temos que as reações em A e B na direção AB devem ser iguais coiiforme iiidica a Fig 111531 Por ZMq 0 obtemos V4 igualando seu momento em relação a B à soma dos momentos em relação a B de todas as cargas verticais aplicadas no triarticulado C fácil ver que esta 5 a mesma equação que nos dá a reação vertical V da viga biapoiada ab da Fig 111532 de mesmo váo que o triar ticulado e submetida ao mesmo carregamento à qual cliamamos de viga de substituição Podemos escrever cntão que VA V reação vertical iio triar ticulado é igual à reação vertical na viga de substituição Aiialogamente empregando a equação ZMA O ou também C Y O tenios que VB Vb As reações H na direçáo AB são obtidas da condição de momento fletor iiulo na rótula G que nos fornece empregando as forças da esquerda por exemplo 1 VA I C P i l i x i H Y c o s a O I I O ternio VA I I Z Pi I xi pode ser imediatamente identificado como o momento fletor Mg que atua na viga de substituiçáoab da Fig 111532 na seção g projeção da rbtula G do triarticulado e temos então que O cálculo das reações de apoio do triarticulado AGB recaiu pois no cál culo da viga de substituição ab e elas são fornecidas pelas expressões a seguir VA V 111 I l v b 1112 Ms H f cos a Nestas expressões os índices minúsculos referemse sempre à viga de substituição e os maiúsculos ao triarticulado Conhecidas as reaqões de apoio passemos ao cálculo dos esforços simples atuantes no triarticulado Escolliendo uma seção genérica S definida pela abscissa horizontal x medi da a partir do apoio da esquerda e por uma abscissa vertical y medida a partir da lui1m de fichainento AB temos Estudo dos quadros isostáticos planos i MS VAx 2 Px xi H cos a I i Qs Va C Pi cos q Hsen q a i l i N s VA 7 Pi sen p Hcos ip a i I Sendo os termos identificáveis coino respectivamente o momento fletor M e o esforço cor tante Q atuantes na seçáo s da viga de substituição o cálculo dos esforqos simples atuantes numa seção S de uin triarticulado AGE recai no cálculo de sua viga de substituição ab e eles são dados pelas expressões seguintes M s M H cos a Q s Q cos q Hsen ip a N s Qs sei1 ip H cos q a As expressões IILI a 1116 resolvem então o problema fazendoo recair no cálculo de uma viga biapoiada de substituição Observação As expressões instituídas permanecem todas válidas se ocorrerem também cargas verticais distribuídas 42 Definição e determinaçáo da linha de pressões Suponhamos O segutnte problema seja determinar qual a forma de um triarticulado AGB tal que para um dado carregamento todas as suas seões tenham momento fletor nulo isto é adotandose a notação empregada em 41 obter y para cada seção S a fim de que nela tenhamos MS 0 seiido da dos l 11 f a Igualando a expressão 1114 a zero vem imediatamente Ms Hcos a 1117 expressão que resolve o problema 144 Curso de anAlise estrutural Cdleulenios os demais esforços solicitantes para esta configuração do triarticulado definida por 1117 Derivando a expressão 1117 em relação a x temos que se transforma levandose em conta que y Y y conforme indica a Fig 11154 em Introduzindo este valor em 1115 obtemos Qs Hcos atg 9 tg a cos p Hsen p a O isto é se temos MS O teremos xambém Qs O O únco esforço atuante então será o esforço normal Ns igual levandose em conta que QS 0 à resultante de todas as forças atuantes de um dos lados da seção sendo portanto igual à composição vetorial da soma das projeçiies verticais de todas as forças atuantes de um dos lados da seção com a soma das projeçóes hori7ontais das mesinas forças Valendo estas somas respectivamente QS Hsen a e Hcosrr confor me indica a Fig 11155 temos I N i JQ t ffsen a c o s a 1118 A natureza do esforço normal 6 obtida também da Fig 11155 sendo no caso de compressüo Emdo dos quadros isostátims planos Fig 11155 Ainda da Fig 11155 obtemos a inclinação da tangente ao eixo do tnarticulado na seção S dada por Qs Hsen a t8 v Hcos Quando um triarticulado AGB para um dado carregamento esta submeti do apenas a esforços normais dizemos que sua forma d a da linha de pressóes deste carregamento que 6 definida conforme já vimos por I Q t Hsen a I tg 9 Hcos a I ME sendo H f cos a I Os esforços normais atuantes valem em cada seção i Ns i JQ Hsen a Hcos a2 111 8 Observações a No caso da reta AB que une as rbtulas extremas ser horizontal isto é a O as expressões anteriores se simplificam para Curso de análise estrutural Estudo dos quadros irostátiws planos b Para os triarticulados com a coiicavidade voltada para baixo em que a rótula G está acima da reta AB e o carregamento 6 de cima para baixo caso usual os esforços norniais são sempre de conipressão c Os esforços normais será0 de tração quando a estrutura se deseiivolver para baixo da reta AB coin carregamento de cima para baixo kste é o caso dos cabos que serão estudados com detalhes no Vol 111 deste Curso d A linha de pressões é evidentemente a forina ideal para um triarticula do pois que correspoiide H sua forma mais econômica de trabailio estmtural e A liiiha de pressões para carregamento uniforme é segundo 1111 1 uma parábola do 2P grau f Não podemos deixar de fazer menqão à notável intuição estática dos construtores da Antiguidade Clássica que venceram os grandes vão com arcos e abóbadas de alvenarias de pedra evitando desta forma os momentos fletores que originariam tensões de tração impossíveis de serem resistidas por aquelas alvenarias tudo isto desconliecendo os principias básicos da Estática g Muito embora os arcos triarticulados ocorram frequentemente na prá tica mais utilizados ainda são os arcos biengastados hiperestáticos para os quais também constitui poiito de partida a determinação da linha de pressões do carregamento atuante Ex ii114 Desejase construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do carregamento indicado na Fig 11156 Pedese a esboçar esta Iiiilia de pressões b calcular os esforços normais miximo e minimo atuantes c calcular a inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de absçissa x 2s m Sendo a viga de substituiçáo e seus diagramas solicitantes os indicados iia Fig 11157 temos a linha de pressões e conforme a expressão 11111 obtemos Ms M enpressão esta que define a linha de pressões esboçada na Y H 15 Fig 11158 cujos trechos AG e GB coiicordantes em G são respectivainente parábolas do 2P e do 3P grzus par 2O grau Fig iií58 b sendo os esforços normais dados pela expressão INS I d w II113 eles serão máximos quando l Q l for máximo e mínimos quando IQ I for mínimo já que H é 2onstante com isto temos que N 25 t de compressão ocorrendo em A Nh H 15 t de compressão ocorrendo na seção comx 10 conforme indica a Fig 11157 c a inclinação da tangente B dada conforme a expressão III12 por Ex iü15 Para o triarticulado AGB da Fig IU59 que deve trabalhar seguindo a linha de pressões para o carregamento indicado e de tal sorte que o esforço normal máximo valha 20 t compressão calcular o valor de f Para esse valor calculado de f pedese também a aspecto dalinha de pressões b equações da linha de pressões em todos os trechos referidas aos eixos x e y Estudo dos quadros isostitias planos 149 c esforço normal em G d inclinação da linha de pressões no trecho AG e esforço normal mínimo CmI2rn2m2mL Fig 11159 Sendo a viga de substituição e seus diagramas solicitantes os indicados na Fig 11160 temos 12 121 Fig Iii60 150 Curta de analise estrutural a Determiiiação da linha de press5es Como sabemos que IN I cemh t H temos 20 4 H 16 t Com isto vem Ms A linha de pressões ser6 dada por y e estk esboçada na Fig 11161 16 Seu aspecto é evidentemente o do diagrama de momentos iietores na viga de substituição devidamente invertido e dividido por 16 t valor de H Fig 1114 1 b As equaç6es cartesianas de y são obtidas imediatamente a partir de Ms y 16 esão para o trecho AC 1 15x2 1 Y âx 8x 075r2 para x E O 41 16 2 16 para o trecho CD 1 1 v 8x 6x 2 x 6 para x c 4 61 16 8 para o trecho DB 1 Y X 128 x para x c 16 81 16 c O esforço normal em G B dado por NG H 168 t de compressão d A inclinação da linha de pressóes no trecho AG C dada por t g v Qag 8 15x H 16 expressão esta tamb6m válida para o trecho GC Estudo dos quadros isott5ticos planos 151 e O esforço normal mínimo correspondendo ao esforço cortante mínimo na viga de substituição ocorrerá no trecho CD e 6 dado por N 16l t de compressão I I 5 SISTEMASCUINDASTE As estruturas representadas nas Figs 111621 a 111623 receberam de diversos autores norteamericanos a denominação de sistemasgutndaste que vamos manter neste Curso Tratamse de estruturas formadas pela associação de barras através de pinos capazes de transmitir forças horizontais e verticais de uma para a outra Fig 11142 152 Curso de análise estrutural Para sua resolução desmembraremos o sistemaguindaste nas diversas barras que o compõem e estudaremos o equilibrio de cada uma delas subme tidas ao seu próprio carregamento e evidentemente as forças transmitidas pelos prnos conforme ilustra o caso da Fig 111631 nI631 111432 Fi 11143 Desmembrando o sistemaguindaste nas três barras e que O compem temos para sua resolução o esquema estático indicado na Fig 111632 em que HB VB HC VC HD e VD são as forças incbgnitas transmitidas pelos pinos B C D e VA HA e MA as três reações de apoio do conjunt num total de nove incbgnitas a detemunar Como a análise do equilíbrio de cada barra nos fornece três equações da Estitica teremos para as três barras um total de 9 equaçaes que determinarão as 9 uicógnitas resolvendo então a estrutura f4cil constatarse agora que os sistemasguindaste das Figs 111622 e 111623 são isostátiws senão vejamos Para o primeiro temos oito forças de transmissão para seus quatro pinos e quatro reaçóes de apoio para seus dois apoios do 20 gênero num total de doze incógnitas que serão obtidas pelas doze equações de equilíbrio existentes trêd equaçóes da Estática para cada uma das quatro barras que compõem a estmtura para o segundo temos seis incógnitas um pino e dois apoios do 2P gênero que serão obtidas a partir das seis equações de equilíbrio exis tentes análise do equilíbrio de suas duas barras O exemplo a seguir esclarecer4 Ex Iii16 Obter os diagramas solicitantes para o sistemaguindaste da Fig Iii64 Emido dor quadroa isutáticor planos 153 Decompondo o sistemaguindaste nas barras que o constituem temas o esquema da Fig 11165 1 va Fi l u 4 5 Começando pela análise do equilibrio da barra BCD temos Por EMC O HD 2 t P o r Z X O Hc O PorZY O V c VD VB Analisando agora o equilíbrio da bana DE obtemos H E 2 t VD 816 HD 813 t VE VD 813 t 154 Cursa de análise esirutural A barra ACEF nos fornece então Por XX O H A 2 t Por XMA O 4 X 1 X 1283X 1 0 4 V c 0 Vc 1613 PorXY O VA V C V E 4 4 t Retornando então à condiçáo X Y O para a barra verticalBCD obtemos VB 8 t Conhecendo todas as incógnitas da Fig 11165 a estrutura está resolvida e seus diagramas solicitantes obtidos a partir do esquema da Fig 11166 estão indicados na Fig 11167 n I a Te I Fig n166 Estudo d a quadms isastáticor planos lOlh Observações a No a importância da análise pr6via da ordem em que d feito o estudo I equilíbrio de cada uma das barras que constituem o sistemaguindaste No caso deste exemplo obtivemos todas as incógnitas com exceção de 3 por equaç6es independentes devido à sequência adotada facilitandonos enormemente o trabalho algébrico Devese agir de maneira análoga nos outms casos b A verikcação da correção dos cálculos pode ser feita calculandose as três reaç6es de apoio HA VA e VB a partir das equaçses da btiitica aplicadas ao conjunto Temos PorZXO HA 2 t Por EMA O 4 X l X 1 2 8 x 2 4 V B 0 VB 8t PorXY O v 4 t valores estes que repmduzem os obtidos c o n f i n d o sua correção 156 Curso de análise estrutural Estudo dos quadros idtims planos Inversamente poderíamos ter iniciado o exemplo pelo cálculo das reaç8es de apoio que no decorrer de sua solução seriam verificadas pela análise do equilíbrio das diversas barras que constituem o sistemaguindaste 6 PROBLEMAS PROPOSTOS Traçar os diagramas solicitantes indicados para os quadros simples das figu ras 11168 a 11177 158 1 Curso de análise estrutural Estudo dos quadros isoatátiai pbnm 159 I 611 Calcular o valor das cargasmomento M simétricas que devemos aplicar em A e B para que o quadro autoequilibrado da Fig 11178 fique submetido aos menores momentos fletores possíveis 67 M 612 Para a estrutura da Fig 11179 determinar o valor de M para que a barra W fique submetida apenas a esforços normais indicando também o vaior desses esforços normais 613 Dewmpor os quadros wmpostos da Fig iiI80 nog quadros sun pies que os wnstituem I I I I 4 m A 4 m 4 m 1 Pie ül74 1mt 1 ll4t L 114 lmt 160 Curso de análise estrutural Estudo dos quadros imstáticos planos 161 A Fig 11180 Traçar os diagramas solicitantes indicados para os quadros compostos das Figs 11181 a 11195 614 M m7 Fig 11181 Pig 11182 617 M Irnt Fig 11184 Fig 11185 619 h4N I Fig 11186 L I I i I czcCanC I 162 Curso de analise estrutural Estudo dos quadros isostdticos planos 163 Fig IU87 1 I I I I Pi 11189 6mt 6mf T I I I I I I I I I I I T I lmlL3m3mlmi Pi 11191 Fig 11193 I 184 Cuno de an8lise estrutural Pig 11194 I I I I I Fig 11195 u29 Traçar osDMF a partir da reta AB para as estruturas da Fig 11196 Estudo dos quadros isost8ticos planos 165 630 Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura autoerlui librada da Fig 11197 a partir de seu diâmetro vertical Traçar os diagramas de momentos fletores para os quadros das Figs 11198 a 111101 sendo que para as barras curvas a partir de retas horizontats de substituiqão pi 20arr 1f 1m I I I R 11196 Pig 111100 166 Curso de análise estrutural 2 Para a estrutura da Fig 111101 pedemse atraFar os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes b determinar a equação dos esforços cortaiites lia barra curva 636 Desejase construir um sistema triarticulado AB que coincida com a linha de pressões do carregamento indicado na Fig 111103 Pedemse a equaçóes da linlia dc pressões b esforço normal mdximo atuante studo dos quadros isostátiws planos 167 637 Para o triartieulado AGB da Fig 111104 que deve trabalhar se gundo a linha de pressões para o carregamento indicado de tal forma que o esforço normal mínimo seja 10 t compressáo pedemse a equação das inclinações da linha de pressões b abscissa da seção que terá este esforvo iiormal mínimo smsm Fig 111104 638 Desejase coiistriiir uiii triarticulado AGE que trabalha segundo a linha de pressões para o carregarneiito indicado lia Fig 111105 e de tal forma que o esforço iiornial iiiásinin atiiarite seja de 25 t compressão Pedese a valor de 11 b equação da liiilia de pressões c abscissa da sevão que tcni esforço nornial minjmo d equação das iiicliiaões da linlia de pressões Curso de analise estrutural I A I 01 1 1 x 1 0 m 1 0 m L Fii 111105 639 Reconstituir o carregamento tal que o triarticulado da Fig 111106 esteja na sua linha de pressões Sabese que oesforço n o d mínimo atuante é de 4 t de compressãó Fig til106 I 640 Demonstrar que a semicircunferência de círculo AGE 6 a linha de pressões para o carregamento indicado na Fig 111107 de taxa constante e igual a p e atuante sempre segundo a normal ao arco m d o dor quadros inistátims planos 169 Obter os diagranas solicitantes para os sinemasguindaste das Figs 111108 e 111109 170 Curso de anilise estrutural 61 23 imtl Estudo dos quadros isostáticos planos 6 3 172 Curso de análise emutural studo dos quadros isostiticos planos 173 611 M 025 qa2 tracionando fibras inferiores 612 M 7 m t NcD8t 174 Curso de análise estrutural imdo dos quadros iwstáticos planos 175 176 Curso de análise estrutural studo dos quadros ioostáticos planos 177 iC CUM de análise estrutural Estudo dos quadros irostátiws planos studo dos quadros isosttiws planos 632 Cuno de análise esirutural Estudo dos quadros isosáticos planos 183 636 a y 1286 x 00686 xa x E l0151 y 15428 07714 x e 15201 b Compressão de 1188t 184 Curso de análise estrutural I INTRODUÇÃO Seja a estrutura da Fig IV1 submetida a carregamento apenas nos nós A 5 C Como as barras 0 e que a constituem sáo barras retas e egidas portanto pelas equações diferenciais 111 e 112 instituídas no ap 11 levandose em conta que q O e que suas extremidades são rotuladas Ias n8o terão momentos fletores nem esforçoscormtes existindo apenas esrysyoyais A t Fig IVl iezas a determinar para sua resolução são então as reaçóes de apoio H V VB e os esforços normais atuantes nas banas 0 0 que podem ser obtidos no caso pela analise sucessiva do equilíbrio dos 6 C B e A o equilhrio de cada um deles nos fornecendo duas equaqaes num número total de seis sendo o problema entáo isostático igual número s e de incógnitas a determinar 186 Cursa de análise esirutual Por outro lado desprezandose as pequenas deformações elásticas estas deformações elásticas serão objeto de estudo detalhado no Vol I1 deste Curso que terâo as barras 0 e 0 devidas aos esforços normais nelas atuantes podemos dizer que o sistema estrutural da Fig IV1 constitui uma cadeia rígida isto 6 indeformável pois sendo o trecho AB indeformável or se tratar isoladamente de uma viga biapoiada se lhe acrescentamos as duas barras 0 e concorrentes em C conforme indica a Fig iV1 este último ponto C fica também indeslocável por estar preso a dois pontos indeslocáveis A e E e com isto todo o conjunto ABC 6 indefonnável Seja agora o sistema reticulado da Fig IV2 siibmetido ao carregamento nodal indicado Fig IV2 As grandezas a determinar para sua resoluçáo sáo os esforços normais nas suas quatro barras componentes e as três reações de apoio num número total de sete O número de equações de equilíbrio correspondendo ao equilibrio de cada um dos nós sendo igual ao dobro do número de nós é igual a oito no caso e portanto superior ao niimero de incógnitas o que caracteriza a hipostaticidade da estrutura Por outro lado é fácil verse que o reticulado dado constitui uma cadeia deformável pois os pontos C e D não estão ligados cada um deles a dois pontos indeslocáveis do reticulado no caso apenas A e B A forma de deformaçáo da cadeia esta indicada na Fig N2 e prosseguirá até a queda da estrutura As conclusaes deste último caso podem ser extrapoladas e podemos entáo afirmar que todo sistema retiniiado defonnável é instável hipostático Como corolário podemos afirmar que todo sistema eticulado indeformável 6 estavel podendo ser isostitico ou hiperesiático conforme veremos no próximo tópico deste capítulo Estudo das treliças isost6ticar 187 Os sistemas reticulados indeformáveis isostáticos serão estudados cuidado samente neste capítulo ficando o estudo dos sistemas hiperestáticos para o Vol I1 deste Curso Chamaremos treliça ideal ao 9stema reticulado nijas banas têm todas as extipmidides rotuladase Í b r g a i é S f ã o aplicadas ápeiãs em seus nbs Observações a Os casos das treliças isosiáticas com cargas fora dos nóspor náo atenderem às condições da definição anterior náo podem ser classificadas como treliças ideais mas serão também estudadas no item 7 deste capítulo b É fácil concluirse por generalização dos dois exemplos jâ abordados que qualquer sistema retinilado constituído por um polígono fechado rotulado em seus vkrtices é deformável e poctanto hipostático exce tuandose o caso do triângulo c As treliças surgiram como um sistema estrutural mais económico que as vigas para vencer vãos maiores ou suportar cargas mais pesadas E claro que a palavra economia engloba comparação entre materiais mãodeobra eqnipa I mentos de execução etc usados nos dois casos podendo assumir por esta razão facetas diversas de região para regiáo e de época para Lpoca d Devemos desde já fazer uma crítica no sentido de alertar o leitor para o caráter aproximado se bem que de aproximação excelente da teoria que vamos desenvolver a seguir para as treliças I Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades isto é sendo livre sua rotação relativa nos nósporpinos sem atritownforme indica a Fig N3 Fig V3 Náo 6 frequente no entanto a união desta forma e mesmo quando adotada 6 difícil garantir a condição de atrito nulo no pino sendo mais comum Ligar as barras nos n6s atrads de chapas auxiliares nas rebitamos soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes Conforme indica a Fig iV4 Estas ligações criará0 sempre pequenas restriçaes i livre rotaçáo relativa das barras nos n6s com o aparecimento entáo de pequenos momentos nas barras de reduzido significado entretanto de acordo com os estudos e cálculos rigorosos feitos levando em conta sua influência Estes estudos demonstraram que desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem num Único ponto em cada nó os resultados reais pouquíssimo diferem dos resultados obtidos pela teoria que vamos desenvolver sendo ela portanto válida sob o ponto de vista prático e 8 d e parecer ao leitor a princípiomuito restritiva a condiçgo de definição de treliça ideal do carregamento atuar somente nos nós no entanto é o que ocorre comumente na prática pois as cargas chegam às treliças através de outras peças estmturais que nelas se apóiam nos nós para que só provoquem esforços normais conforme ilustram os exemplos das Figs IV5 e N6 A primeira representa uma ponte ferroviária com duas treliças extremas que recebem nos nós as cargas atrav6s das vigas trankversais T por isto chamadas transversinas que a elas chegaram atravbs das vigas longitudinais L sobre as quais caminha o trem A segunda representa uma cobertura constituída por diversas treliças paralelas que recebem nos nós a carga das telhas vindas através das terças T E s d o das treliw isostáticas 189 Fig IV6 Em todos os casos reais existirão entretanto pequerias flexóes nas barras devidas a seu peso próprio cujo cálculo será estudado no item 7 deste capítulo Estas flexóes devidas a peso próprio costumam ter nos casos usuais diminuta influência no dimensionamento das peças prevalecendo como dimensionantes seus esforgos normais f Conforme verificamos a partir do exemplo da Fig N1 uma treliça biapoiada constituída por três barras formando um triângulo 6 isostátia Se a partir desta configuraçâo básica fcrmamos novas treliças acrescentando à existente duas a duas novas barras concorrentes cada duas delas num novo nó a nova treliça será também isostática pois a cada duas novas incógnitas esforços normais nas duas novas barras correspondem duas novas equaçnes de equilibrio equilfirio do novc nó Os exemplos das Figs N7 e IV8 ilustram esta lei de formação de treliças isostáticas Fig IV7 140 Curso de andlise w u t u r a l E Pig IV8 Nestes exemplos partindo da treliça biapotada ABC chegamos ao nó D pelas barras e O ao nó E pelas barras e ao nó F pelas barras e e finalmente ao nó Ç pelas barras e Os apoios não precisam é claro estar no triângulo a partir do qual iniciamos a lei de formação pois onde quer que estejam fornecem as mesmas três incógnitas Falando sob o ponto de vista de cadeia ngida uma treliça que tem esta lei de formação das barras é internamente rígida e tendo apoios externos que impeçam todos os movimentos possíveis para o caso de treliça plana duas translaçóes e uma rotação será também externamente rígida sendo pois rígida em conjunto Por esta razão são tambkn isostáticas as treliças das Figs N9 e N10 Estudo das treliças isostáticas 191 Dizemos que estas treliças são internamente isostiticas por terem a lei de formação que acabamos de definir e que são tambkn externamente isostá ticas por terem apoios no número estritamente necessário para impedir todos os movimentos no plano sendo o conjunto pois isostático O exemplo da Fig IV10 serve para lembrar que uma estrutura plana apoiada sobre três apoios do l gênero 6 estável desde que as reaçOes destes apoios não sejam paralelas entre si nem concorrentes todas elas no mesmo ponto Outro tipo de freliça isostática d a treliça triarticulada da Fig N11 para a qual temos seis incógnitas quatro reações de apoio e esforços normais em duas barras e seis equaçóes de equilibrio equilibrio dos nós A E C Partindo desta nova configuração básica podemos também formar treliças isostáticas da mesma foima com que as formamos a partir da configuração da Fig N1 Chamamos treliças simples às treliça isostiticas obtidas a partir das onfigurações fundamentais das Figs N1 e N11 pela adição de duas a duas barras partindo de nós já existentes para novos nós um novo nó para cada duas novas barras Seus métodos de resolução serão tratados nos itens 3 e 4 deste caítulo g As treliças por terem esforços normais de tração e de ompressáùsão eintdmmãdeira ou de aço por serem matqtpoam bem m c t a m b é m embora com menT6in quência treliças de concreto porque como sabemos o concreto não trabalha bem à tração al6m de sermos obrigados a executálas de uma só vez ao passo que as demais podem ser montadas peça a peça h Queremos chamar a atenção do leitor para o fato de que ao contrário do caso dos quadros que ocorrem em sua grande maioria hiperestáticos Jendo o estudo dos quadros isostáticos base para o estudo daqueles conforme veremos no Vol ll deste Curso a grande maioria das treliças da prática é lSOiátla 492 Cursa de análise estrutual As treliças hiperestáticas serão tratadas no Vol I1 deste Curso i As treliças isostáticas possuem dois grandes mdtodos de resolução um analítico que é o m6todo de Ritter e outro gráfico que 6 o método de Cremona Existem ainda outros métodos de resolução dt menor importância e que não serão portanto abordados neste Curso j As treliças comportam ainda um processo espontâneo de resolução que consiste no estudoum aum do equilibrio de seusnós iniciado e prosseguido pelos nós que só possuam duas incógnitas a determinar at6 termos abrangido todos os nós da treliça No caso de treliças com geometria bem simples este processo pode se tomar at6 aconselhável 2 CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS 21 Quanto à estaticidade Quanto à estaticidade uma treliça assim como qualquer outra estrutura pode ser hipostática isostática w t i c a As incógnitas do problema são em número de r h sendo r o número de reações de apoio a determinar e h o númeocaras e portanto o ó v r m i n a r e o l u e q i i i l i b r i o eni número igual a 212 sendo n o número total de nós incluindo osnós de I L apxoaxaois cada nó nos dá duas eqnaçõesda Estática corres pondentes ao equilibrio de um ponto material Três casos podem ocorrer l r b 2n ou seja o número de incógnitas é inferior ao de equações poderemos afirmar então que a treliça é histática 20 L r b 2ngpsuge tratarse de uma tliçaEsta simples igualdade não nos permite eetanto afirmar que treliça seja isostática pois podemos ter a associaçáo internamente de trechos hiperestáticos com trechos hipostáticosconduzindo a uma isostaticidade interna aparente bem como pode ocorrer a associação de hiperestaticidade interna com Iiipostatici de externa ou viceversa conduzindo também a unia isostaticidade aparente para o conjunto O diagnóstico final só poderá ser dado aps a análise dos apoios externos e da lei de formaqão interna da treliça em questào Emido das treliças iaostáticas 193 para o conjunto Analogamente ao caso anterior o diagnóstico fmal só poderá ser dado após a análise de cada caso Se a treliça for de fato hiperestática seu grau hipeiestático ser8 igual evidentemente a r b 2n Em resumo podemos a f i a r que a r b n é condição uma treliça seja S h i p q b yt b 2n e r b 2n são condiçóapeapeasasnessirias mas não sufici seja isostática ou hipetática respectiva te A palavra final será dada apóio exáme específico decada caso Os exemplos seguintes esclarecerão Ex N1 Tratase de uma treliça externamente isostática e tendo a lei de formação de uma treliça simples sendoportanto internamente isostitica então isostática o que é confirmado pela relaçáo r b 3 15 18 2n Ex N2 A treliça tem a mesma quantidade de nós barras e apoios ue a da Fig N12 sendo portanto satisfeita a relação r b 2n A treliça é também externamente isostática biapoiada mas como seu eciio DEF 6 dcformável ver observação do tópico anterior ela e ipostáfica iiternainente sendo o conjunto portanto hipostático 30 q u e s r t r a t a n e de uma liga hiperestática maior I irii1ir número de incógnitas que de equações Não podemos eritrctanto I que a treliça seja hiperestática pois a associaçáo de um trecho hiperestdtico com outro hipostático sendo o grau hiperestático de m trecho superior ao grau hipostático do outropcde coiiduzir a uma hiperestaticidade aparente 194 Curso de análise esirutural Ex N3 A treliça tem r b 4 14 18 e tem 2 n 16 o que sugere que ela seja duas vezes hiperestática o que de fato 6 pois não há no caso hipostaticidade interna nem externa Poderíamos chegar também a esta conclulusão da forma seguinte Externamente a treliça é uma vez hiperestática quatro incógnitas reaçáo de apoio contra três equações universais da Estática internamente partindo do triângulo hachurado nós percorremos todos os nós da treliça e todas as suas barras exeeto uma quando propagamos a lei de formação de treliça sunples o que indica existir uma incógnita u m barra além das que podem ser determinadas pelas equações de equilibrio de nós caracterizando o grau hiperestático interno da treliça igual a um Seu grau hiperestático total será portanto igual a bois há um apoio a mais e uma barra a mais em relação à quantidade que tomaria isostática a treliça Observação C conceito utilizado neste Último exemplo de igualar o grau hiperestático de uma treliça a soma de seus graus hiperestáticor externos e internos é perfeitamente lícito pois o grau hiperestático externo indica a quantidade de apoios superabundantes e o grau hiperestático intemo a quantidade de barras superabundanies cuja soma nos fornece o número de incógnitas r b 212 que não podemos determinar com o auxilio das equações de equilibrio estático igual por definição ao grau hiperestático da treliça Ex N4 A treliçatem r b 4 19 23 e 2 n 20 o que sugere que seja três vezes hiperestática No entanto uma análise sua nos mostra que se trata de uma treliça hipostática pois tanto externamente todos os apoios do l gênero paralelos com o que não está impedido o movimento na direçáo horizontal como internamente painel ABCD d deformável a treliça é hipostática Estudo das treliças isostáticas 195 22 Quanto à lei de formaç8o Quanto à sua lei de formação as treliças são classificadas em simples compostas e comqlexas A lei de formaçáo das treliqas simples já foi estudada no tópico anterior deste capítulo a das treliças compostas e complexas será estudada nos tópicos 5 e 6 do mesmo 31 As bms do método Seja a treliça isostática da Fig N16submetida ao carregamento indicado para o qual as reaçóes de apoio calmladas com o emprego das equações universais da Estitica 50 as inditadas na Fig N16 196 Curso de análise estrutural Suponhamos querer determinarpor exemplo os esforços normais atuantes nas barras 0 e Rompendo a treliça nestas barras atrav6s da seção SS indicada na Fig N17 nada se alterará sob o ponto de vista estático se substituirmos as barras rompidas pelos esforços normais nelas atuantes que serão deter minados como sendo as forças tais que promovam o equilibrio do trecho assim secionado da treliça já que ele deve estar em equilíbrio por pertencer a uma peça em equilíbrio E evidentemente indiferente analisarse o equilibtio da parte da esquerda indicada na Fig N17 ou da parte da direita indicada na Fig TV18 1 r t u d o das treliças isostáticas 197 Escolheremos de preferência aquela que acarretar menor trabalho numé rico na obtenção dos esforços normais desejados Como observação de caráter conceitual queremos frisar que na Fig N17 as forças N NI3 e N7 representam as ações da parte da direita da treliça sobre a parte da esquerda na Fig N18 representam as ações da parte da esquerda sobre a parte da direita Podemos eiitão passar à determinação de N3 NIJ e N7 que será feita a partir da equações universais da Estática no plano devendo ser escolhidas e usadas numa ordem tal que permita a determinaçâo direta de cada uma das incógnitas a fun de simplificar o trabalho algébrico do problema No caso usandose o esquema da Fig N17 ou N18 a partir de II O obtemos N3 por X 0 obtenios N e finalmente por Y O obtenios Ni3 As forças obtidas cmn sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados nas Figs IV17 e IV18 e serão de tração portanto no caso invertendoos caso contrário sendo eiitão no caso de compressáo I Este método emhora obedecendo apenas às ideias gerais da Estática levou o nome de Ritter por ter sido ele o seu lançador As seções SS usadas para a obtenção dos esfqrços normats desejados levam também o seu nome sendo denominadas seçóes de Ritter a Deveinos escollier srções de Ritter que interceptem três barras não paralelas nem concorrentes no mesmo ponto a fim de que possamos determinar seus esforços noimais pelas equaçóes universais da Estática Podem entretanto ocorrer seções de Ritter que interceptem mais de très barras e a partir das quais consigainos determinar os esforços normais em alguma s das bairas coiifonne ilustra o exemplo IV7 b As seções de Ritter podem ter formasquaisquer não precisando scr retas h desde que sejam contínuaspois sua única obrigação é atravessar toda a treliça C Quando após dada a seção de Ritter f o h o s arbitrar os sentidos dos esforços normais iiic0gnitos no caso de nossa sensibilidade estática não nos fazer antever seu sentido corrcto aconselhamos sejam todos colocados no sentido de tração pois assim os sinais obtidos já serão os sinais dos esforços atuantes O sinal positivo confirmando o sentido arbitrado indicará tração e o negativo negandoo indicará a compressão d No caso de barras próximas As extremidades da treliça por xemplo as barras e no exemplo da Fig N16 pode ocorrer que a seção de ktter imaginada para atravesálas só intercepte duas barras isto quererá liler apenas que seus esforços normais podem ser obtidos ditetamente Por análise do equilibrio dos nós extremos no caso do nó A para a barra a e do nó 8 para a barra 0 Neste caso o método de Ritter terá degene rado na análise do equiliirio de um nó da treliça e O método de Ritter se presta admiravelmente ao cdlculo das treliças de altura constante fazendo recair até no cálculo de uma viga de substituição conforme veremos em 33 quando o carregamento é vertical fi tainbkm o método adotado quando só desejamos conhecer os esforços normais em algumas das barras da treliça Por esta razão será fundamental no inicio do estudo das treliças compostas confoime veremos no item 5 deste capítulo Para treliças de geometria mais complicada será preferível o método gráfico de Cremona que estudaremos 110 item 4 deste capitulo 32 Exemplos de aplicação Obter para as treliças isostáticas seguintes os esforços iiormais nas harras indicadas Estudo das treliças isostaticas 199 Pela seção SiSi podemos obter os esforços normais em O V e também na barra inferior CD que nao 6 pedido neste exemplo a partir do esquema da Fig N20 obtendo For XMDO 206X25X4001L6tcompressão Por X Y O V t 6 5 0 V 1 t compressão Caso desejássemos o valor de U poderíamos obtêlo ou a partir de ZMJ O ou de ZX 0 chegando ao valor U2 16 t A partir da seçáo SS obteremos U3 que 6 dado conforme o esquema da Fig IV2 1 por ZMj O 6 X 2 5 X 6 6 X 2 2 U3 O LI t 15 t tração Ex IV5 Sendo as reaçóes de apoio as indicadas iia Fig 1V19 passemos à obtenção dos esforços normais pedidos 61 Fig IV22 A partir da seção 3S3 obtemos D4 dado conforme o esquema da Fig IV22 por Para a obtenção do esforço nomal na barra V3 não conseguimos nenhuma 200 Curso de analise estrutural seção de Ritter que juntamente com V atravesse tr6s ornas não con correiites no mesmo ponto É fácil ver no caso que a forma mais simples de obtenção de V é a partir do equilibrio do nó E da treliça obtendose conforme o esquema da Fig Pf23 o valor V 4t por ZY 0 Analogamente por consideração do equilibrio do nó E obtemos por ZY o 1ig IV24 Fig 1V23 Ex N6 A partir da sego SISI indicada na Fig IV76 temos Por CMr O 4 X 6 4 X 3 4 N O N 9 i compresão Por ZMD O 4 X 3 4N6 0 N6 3 t traqao 4 Por CX O Ns X5 8 O N8 t10t traçao Estudo das treliças isonfaticas 201 A partir da seçzo S2S2 indicada na Fig Pf27 obtemos por CX 0 v5 8 t compressão Observação No caso deste exemplo Mo foi necessario calcular as reaç8es de apoio pois ficaram no lado da treliça não utilizado para os cálculos Ex N7 a A partir da sevão SISI temos conforme o esquema da Fig IV29 i A C I I I I I 7 n m s m 4 Fig IV28 202 Curso de anhlise estrutural Por ZMF O 4 X 2 3N9 O N9 267 t tração Por ZY O NI 267 t compressão Por èsta seçáo SISI iião podemos obter os esforços normais N e Ng eles s6 serão obtidos a partir de outras seçõts adeqiiadas h A partir da seção S2S2 ternos conforme o esquema da Fig IV30 levandose em conta que as barras e têm esforços normais de mesmo módulo e de naturezas opostas por força da condição Z Y 0 2 X O 2N10 X 315 8 O Nio Nl 667 t o que quer dizer conforme a Fig N30 que a barra possui uma tração de 667t e a barra uma compressão de mesmo valor 33 ResoluçSo das treliças de altura constante em fungo da viga de substituição 331 Treliça com uma diagonal por painel Seja a treliça da Fig N31de altura constante h submetida ao carrega mento vertical superior indicado nesta figura Fig N31 1 studo das treliças isostáticas Detenniiiemos os esforços atuantes nas barras O 3 D e U simbolizando elas as barras superior inferior e diagonal genéricas da treliça Fig 1V32 A partir da seçáo verticalSISI temos conforme indica a Fig IV33 que Fig IV33 a O valor de 1 será obtido por ZMG O Notando que as forças que nos dão momento em relação a G a o além de U as forças verticais VA P P P e que o momento destas Últunas em relação a G se coiifunde com o momento fletor atuante na seção g da viga de substituição da Fig N32 de mesmo vão e submetida ao mesmo carregamento que a treliça tem s Mg U3 X h O Li Mph s h O valor de O 3 ser5 obtido por 2 M p O Por analogia com o caso anterior teremos O3 X h Mf O O 3 Mfh sendo Mf o momento fletor em f na viga de substituição c O valor de D 3 será obtido por 2Y O Notando que as forças que contribuem para esta condiçáo são alem da componente vertical de D 3 as forças verticais V PI PI P3 temos VA Pi P P 3 D 3 s e n q 0 204 Curso de análise ezirutural O termo I 1 P3 pode ser imediatamchte identificado como sendo o esforfo cortaiie na viga de substituição no trecliotg interceptado pela seção rle Iittcr e temos então que 1 o3 C seiq Coiivém notar que bastaria a diagonal D ter sua inclinação contraria isto é bastaria que ela fosse paralela a LI2 para o sinal da úlfima relação ser trocado Para termos então uma expressão que resolva o caso de qualquer diagonal escreveremos que IQ no trecho interceptadol IDI sei1 C Concluímos então que Os esforços normais atuantes nas barras horizontais superior e iiiferinr MO iguais afetados do fator I h aos momentos fleiores na vigade substituição no ponto onde as 2 outras barras interceptadas pela seçào de Ritter se encontram Os sinais dos esforços normais em barras inferiores acompanham as sinais desses momentos fletores já as barras superiores têm seus esforços normais com sinais opostos aos deles No caso de treliças biapoiadas com carga de cima para baixo as barras superiores estarão sempre comprimidas e as inferiores tracionadas ocor rendo o inverso para as treliças em balanço Os esforços normais nas diagonais são em módulo iguais afetados do fator Isen iaos esforços cortantes na viga de substituição no trecho interceptado pela seçào de Ritter Seus sinais obtidos por análise do equilíbrio do trecho interceptado pela seção de Ritter deverão ser estudados em cada caso Obseivaçüo Os esforços normais nas barras horizontais e nas diagonais Mo os mesmos quer seja o carregamento superior quer seja inferior o que pode ser constatado a partir da análise da Fig IV33 Passemos agora A análise das barras verticais Elas são resolvidas em geral por seçóes de Ritter como aS2S indicada na Fig N31 seções inclinadas interceptando a barra vertical e mais duas horizontais No caso obtemos a partir do esquema da Fig N34 por Z Y O VA PI P2 P3 Pq V3 O Sendo VA P P P3 P4 igual ao esforço cortante na viga de substituição no trecho gh temos Estudo das treliças isostáticas 205 Convém notar que bastariam as diagoiiais dos painéis adjacentes terem sua incliiaSo coiitrária a inclinação do caso abordado seria por exemplo o caso da barra V para que o sinal da Última relaçáo se invertesse Escreveremos então I VI i Q no trecho interceptadol para as barras verticais que podem ser interceptadas por seções de Ritter do tipo das2S2 Quando não for possível se conseguir tal seção para uma barra verttcal caso de interceptar mais ou menos de trgs barras o caso será ainda mais sunples e o problema se resolverá por meio de um sunples equilibrio de nós conforme veremos a seguir É o caso para a treliça da Fig N31 das barras V V V V O esforço normal em V a partir do equilibrio do nó A será de com piessão e igual a V o esforço normal em I a partir do equilibrio do nó F será de compressão e igual a P3 para a barra V ocorrerá compressão e igual a VB por análise do n6 B e finalrtiente em V7 será de compressáo e igual a Ps por análise do nó K conforme indica a Fig N35 Fig IV35 Para simplificação do trabaiho algébrico escolheremos sempre nestes Últimos casos de barras verticais casos da Fig N35 para análise de seu quilibrio os nós com menor número de barras neles concorrentes 206 Curm de análise srtruniral Concluúnos então que Para barras verticais tais que ihes possamos dar uma seção de Ritter que as atravese e a mais duas barras horizontais somente seus esforços normais são iguais em módiilo aos esforços cortantes na viga de substituição no trecho onde o carregameiito esta definido interceptado pela seeu de Ritter Seus sinais obtidos por analise do equilíbrio do trecho interceptado pela seção de Ritter deverão ser estudados em cada caso Para as barras verticais não abrangidas anteriormente os esforços noimais são obtidos por simples considerao de equilíbrio de nó Obsrrvaáo Os esforços normais nas barras verticais variam conforme o carregamento seja superior ou iiiferior o que pode ser constatado a partir da análise da Fig IV34 Notar que se o carregamento fosse inferior só estariam aplicadas no trecho interceptado as forças V P P e P3 e o cortante seria então o do trecho fg ao inv6s do trecho gh Os exemplos seguiiitts esclarecerão Ex IV8 Obter os esforços normais nas barras da treliça da Fig IV36 carregada superiormente Estudo dar treliças iiortátias 207 ssikn teremos barras O barras U Sendo a viga de substituição e seus diagramas os indicados na Fig N37 passemos à determinação dos esforços normais a Barras O U D Serão resolvidas por seçúes de Ritter verticais uma em cada painel barras D Sabemos que os módulos de seus esforços normais são os dos esforços ortantes atuantes na viga de substituição em seus respectivos painéis iultiplicados por llsen p Z no caso Para obtenção de seus sinais bastara analisar uma das diagonais Sqa por exemplo a diagonal D l cujo esforço normal B obtido da seçáo e Ritter SS indicada na Fig IV38 Como o esforço cortante atuante no recho cd 6 voltado para cima fposittvo o esforço normal em D deve star voltado para baixo a fm de que possa haver equilibrio sendo 208 Curto de anhlirs esirutuml portanto de compressão Para a diago na1 D2 a situação é a mesma que a de D1 pois ela é paralela a primeira e o sinal do esforço cortante no trecho de ainda é positivo ela está pois compri mida Para as diagonais D e D4 in vertese o sinal do esforço cortante A mas como também se inverteu a sua inclinação elas estarão comprimidas 5t Os esforços normais atuantes nas dia gonais são pois t Dl 3 J T t D2 J2t D3 JTt Da 3 A t b Barras V Os esforços normais nas barras Vi e V são obtidos a partir das seçdes de Ritter SISI e S2 indicadas e valem conforme os esquemas das Figs N39 e 1V40 a partir da condição ão Y 0 Fig IV39 Os esforços normais nas banas V V2 V4 são obtidos a partir do equilibrio dos nós C E e C e valem V V2t e V O Os esforços normais encontrados estão resumidos na Fig Iv41 e são evidentemente simétricos por se tratar de uma treliça simétrica submetida a um carregamento simétrico Estudo das treliças isostáticas 209 Ex N9 ter os esforços normats para as barras da treliçamarquise da Fig IV42 210 Curso de análise estrutural Sendo a a de substituição e seus diagramas solicitantes os indicados na Fig IV43 obtemos a partir deles Os esforços rormais nas barras D todas paralelas entre si e com cortantes em todos os trechos de mesmo sinal serao sempre de tração conforme obtemos a partir da seção SiSI detalhada na Fig N44 e valem 1 5 D QBb j Qab 5 1 sen io Os esforços normais nas barras V V3 e Vq obtidos a partir de seç6es de Ritter do tipo SaS2 são de compresao conforme mdica o esquema da Fig IV45 e valem crrudo das treliças isostáticas 21 1 Para a halia I a partir da análise do equilibrio do nó A obtenios O Os esloiços iioriiiais eiicontrados estão resumidos na Fig N46 est a tod Ex lV10 A Fig TV47 representa uma treliça de altura constante iiido faltatido as diagonais uma em cada painel Pedemse dispor estas diagonais para que com o carregamento indicado trabalhem as i tração calcular a menor altura i de modo que o maior esforço normal atuante barras horizontais náo ultrapasse em módulo o valor de 8 t para este valor de h achar os esforços normais nas barras i n 2 m L z m z m 7 C Z m 2 2 m 4 Fig IV47 A viga dc substituição e seus diagramas solicitantes são os indicados na Fig IV48 212 Curso de analise esirutural Pig IV48 a Coloquemos as diagonais de modo que estejam todas tracionadas Começando pela pruneira diagonal analisemos as duas possibilidades indi cadas nas Figs N491 e N492 Fig IV49 A posiçáo wrreta será a da Fig IV491 Desta maneira instituímos a posiçZo wrreta de diagonal tracionada para atuaçáo de cortante negativo Bastará mantêla em todos os trechos de cortante negativo e invertêla 110s trechos de cortante positivo chegandose para a treliça às diagonais tracio nadas indicadas na Fig IV50 Estudo das treliças itostAticas 213 Fig W50 b Sendo os m6dulos dos esfor os normais atuantes nas barras horizontais dados por I 8 daubstitulof os esforços normais máximos atuantes nas barras horizontais em módulo ocorrerio em U2 e U3 conforme indica a Fig N50 pois serão função do momento máximo em módulo na viga de substituiçáo que C Me e teremos então 8 12h h 1s m c Os esforços normais atuantes em cada uma das barras obtidos de maneira inteiramente análoga à dos exemplos anteriores valem Sendo lsen 9 513 temos Observação Este exemplo trata de um problema técnico bastante real que é O da preocupação em se colocar as diagonais tracionadas para este tipo de treliças pois sendo elas as peças de maior comprimento não seria de boa 214 Cuno de análise estrutural tdcnica estarem comprimidas pois seria mais grave para elas a possibilidade de sofrerem o fenômeno de flambagem só contornado colocandose peças mais pesadas que as necessárias tendo eni vista apenas o valor do esforço atuante e portanto mais caras conforme verá o leitor quando estudar este asunto E por isto desejável que as diagonais para este tipo de treliça com uma diagonal por painel estejam tracionadas sobrando a compressão para as barras verticais de menor comprimento e menos sujeitas ao perigo de flambagem que será evidentemente analisado para elas também 332 Treliças com duas diagonais por painel Vigas Hassler Seja a treliça da Fig N51 cuja viga de substituição correspondente é a da Fig iY52 rv Pig 152 a A partir da seçzo SISI obtemos conforme indica a Fig N53 Por ZME O e por XME 0 U3 Mh e O Mh sendo M o momento fletor em e na viga de substituição Estas expressaes são inteiramente anáiogas As instituídas em 331 mos trando que os esforços normais atuantes nas barrashorizontak de uma treliça b l e r são iguais a menos do fator 1l1 e do sinal adequado positivo para Estudo das treliças isostátieas 215 as barra iiiferiores e negativo para as superiores aos valores algkbicos dos momentos fletores atuantes na viga de subslituiçao no ponto em que a seção de Ritter adequada seção esta que atravessa as duas barras horizontais e duas barras verticais corta as duas barras verticais da treliça I A Fig 1V53 b Os eshrços normais nas diagonais Ds e D simbolizando duas diagonais genéricas da treliça sáo obtidos a partir da seção S2S2 indicada na Fig IV54 Fazendo Z Y 0 temos que as somas das componentes verticais de Ds D deve equilibrar o esforço cortante atuante no trecho ef trecho inter b ptado por SS da viga de substituição igual no caso a V Pl P P3 216 Cuno de adlire estmiual Por outro lado por consideração da condição ZX O de equilíbrio verificamos que os esforqos normais nas barras Di e D devem ter mesmo módulo e sinais opostos Isto posto temos então que os móddos dos esforços normais atuantes nas barras Ds e D são iguais a I D l ID l Qefl sen v sendo estes esforços normais de naturezas opostas e tais que eqiiilibrem o esforço cortante atuante no trecho ef Concluimos pois que os esforços normais atuantes nas diagonais de um painel de treliça Hkler l m seus módulos iguais ao do esforço cortante atuante neste trecho na viga de substituição afetado do fator 112 seno sendo de naturezas opostas e tais que equilibrem o esforço cortante atuante no ttecho em questão da viga de substituição c Os esforços normais atuantes nas barras verticais superiores e inferiores podem ser obtidos da maneira seguinte Sejam por exemplo as barras verticais 1 e Ir simbolizando duas barras verticais gen6ricas da treliça A partir da análise da condição Z Y O de equilíbrio do nó Econíorme indica o esquema da Fig N55obteremos que I I lQtrelho dei Seu sinal será evidentemente oposto ao de D sendo poisde obtenção imediata Conhecido VI e impondose a condiçao Ç Y O ao esquema da Fig IV53 temos que a soma V c deve equilibrar o esforço cortante atuante no trecho ef da viga de substituição ficando então definido V em módulo e sinal Andoganiente agiríamos para qualquer outro caso Observações a No w o do carregamento ser inferior calcularíamos inicialmente V por equiliório do nó E obtendo a seguir o d o r de V a partir da condição Ç Y O imposta ao esquema da Fig N53 Estudo das treliças isostáticas 21 7 b Aiialisemos o caso d a barrã I Supondo na viga de substituição o cortante positivo nos trechos ef e fg o que em nada prejudica a generalidade da nossa dedução teremos a partir da condição X Y O de equilíbrio do nó F indicado na Fig IV56 I V3 I P42 sendo de compressão no caso O esforço normal lia barra V3 tem então módulo igual metade da carga aplicada sobre ela sendo de compressão no caso de carregamento superior e de tração no caso de carregamento inferior p que seria imediato demonstrar Ex IV11 Obter os esforços normais nas barras da treliça Hassler da Fig IV57 carregada inferiormente 218 Curso de análise estrutural Esíudo das treliças isostáticas 219 Sendo a viga de substituição e seus diagramas solicitantes os indicados lia Fig IV58 temos 11 0 Moh O U 0 Ml 15 t Li3 O3 Mdh 40 t Sendo simétricos a treliqa e o carregamento os esforços só precisam ser calculados para sua pruneira metade sendo simétricos para a outra 5 Fig V58 Para obtençáo dos sinais dos esforços normais nas diagonais analisemos por exemplo o equilhrio da FiglV59 Para termos Z Y 0 D deve ser de compreaão e D de tração pois o trecho oc tem cortante positivo O mesmo ocorrerá para as diagonais D2 e D 3 pois são paralelas às primeiras e os cortantes em seus respectivos trechos na viga de substituição são todos positivos Temos então Fig IV59 Os esforços normais nas barras verti cais Vi Vi V são obtidos a partir do equilíbrio dos nós A E e C conforme indica a Fig 1V60 valendo então v o V 25t v I st Os esforços normais nas barras V V e V são obtidos a partir da ndiçáo Z Y O de equilhrio para os esquemas da Fig N61 valendo 5 t V 05 t V 05 t 220 Curso de analise estrutural O esforço normal na barra VJ será de tração valendo 1 t conforme a observaçáo b anterior a este exemplo Resumindo e levando em conta a simetria existente os esforços normais na treliça em foneladas estão indicados na Fig N62 Fig IV62 Observção T6das as aplicaçóes feitas neste tópico foram para treliças simples O método serve t m b h para as treliças compostas conforme veremos no item 5 deste capítulo Seja a treliça simples isostática da Fig N63 cujos esforços normais desejamos determinar I Os autores amdcanos costumam chamar este método com muita jiistiqa de M4fodo dos iguros reciprocas de Maxwell por ter sido apresentado por J C Maxwcll no Philadelphia Magazine iie 1864 enquanto L Cremona só o apresentou por escrito em 1872 no trabalho Lè figure reciproche nelln Sfotico Grofieo No entanto como a maioria dos demais autores habituouse a dar a este método o nome de Cremona denominaão esta já muita difundida nos meias técnicos de nosso pais preferimos adotar o mema caminho Estudo das treliças isostticas 221 Em se tratando de uma treliça em equilibrio todos os seus n6s também o estão o que sugere para a determinação dos esforços normais atuantes em suas barras seja feita sucessivamente a análise do equilíbrio de cada um de seus nós que conforme sabemos constitui a analise de um sistema de forças aplicadas num ponto material sendo estas forças as cargas externas e os esforços normais nas barras concorrentes no n6 em questao Fazendose esta analise por via gráfica sabemos que as forças e esforços normais atuantes sobre o nó devem formar um poligono fechado condiçao de resultante nula com o que obtemos os esquemas de equilkio dos diversos nos indicados na Fig Br64 A análise deve ser evidentemente iniciada por um n6 no qual 86 tenhamos duas incógnitas a f i de poder determinálas sendo sucessivamente esten dida aos demais numa ordem tal que tenhamos sempre duas incógnitas a determinar em cada n6 Observações a No caso poderíamos começar a análise de equilibrio pelo nó A ou pelo n6 D preferimos o n6 A cujo equilíbrio conforme o esquema da Fig 1V64 nos forneceu os valores dos esforços normais atuantes nas barras e de compressão no caso b Para o traçado do polígono fechado de equilibrio marcamos inicialmente as forças e ou esforços normais já conhecidos e a seguir pelas extremidades do poligono aberto assim defiido tiramos paralelas às direçóes dos esforços 222 Curso de análise estruiural normais incógnitos cuja interseção determmará o polígono fechado de equilibrio a partir do qual obtemos os módulos e sinais dos esforços normais desejados Os sinais dos esforços normais desejados podem ser obtidos sem que seja necessário fazer o croqui do n6 verificandose simplesmente se o esforço normal aponta para o n6 analisado indicando compressão ou foge dele indicando tração Isto pode ser facilmente verificado para todos oscasos da Fig IV64 c No traçado do polígono de equilibrio dependendo do sentido em que percorremw o nó ele pode assumir duas configurações diferentes condu zindo é claro ao mesmo resultado Por exemplo para o nó A se ele for percorrido no sentido horário o polígono de equilibrio será 6 da Fig IV64 e se o sentido for o antihorátio ele será o da Fig N65 seguinte sendo idênticos evidentemente os resultados obtidos por um ou por outro Apenas para evitar este grau de liberdade no traçado dos polígonos de equilibrio adotaremos sempre o percurso do n6 no sentido horário Isto será particularmente importante para o mdtodo de Cremona que exporemos no tópico seguinte deste item d No exemplo dado obtivemos duas a duas incógnitas na análise do equilibrio dos nós A E B F quando analisamos o equilibrio do n6 D apenas o esforço normal na barra era incógnito temos nele portanto duas equaçóes e uma só incógnita e com isto ficaram determinados os esforços normais em todas as barras náo tendo sido necessário analisar o equilibrio do n6 C para o qual temos então 2 equaçoes e nenhuma incógnita Sobraram então três equações de equilibtio o que já era de se esperar pois elas form empregadas no cálculo das reações de apoio Com isto a análise do equilibrio dos nós C e D nos permite verificar a precisáo do traçado gráfico bem como a correção das reapes de apoio calculadas constituindose então num excelente teste dos resultados obtidos Estudo das treliças irostáticas 223 r Analisatidose os polígonos de equilibrio da Fig IV64 vemos que cada esforço normal aparece duas vezes pois seu valor 6 calculado num polígono sendo depots na qualidade de valor á conhecido usado na construção do polígono de equilibrio de outro n6 Cada esforço normal 6 portanto traçado duas vezes A partir desse fato surgiu a iddia de se desenharem todos os polígonos de equilibrio numa mesma figura evitandose a necessidade de transpor esforços normais de um polígono para outro Esta id6ia 6 a essência do método de Cremona que exporemos a seguir 42 Apresentação do método 421 Notação das cargas e dos esforços normais Adotaremos para designar as forças externas cargas aplicadas e reaçóes de apoio e as forças internas esforços normais a notação de Bow Marcamos com letras minúsculas conforme indica a Fig N66 todos os espaços compreendidos entre as forças quer exteriores quer interiores que seráo designadas pelas duas letras a elas adjacentes Assim a reação vertical em A serd denominada nb a carga horizontal em F será cd o esforço iiormal na barra BC será ha ou ah o da barra BF será gh ou hg e assim sucessivamente 422 Roteiro do método A partir da introdução feita em 41 onde expusemos os fundamentos do método que coiisistirá no traçado de uma figura únicaenglobando todos Os poligonos de equilibrio de forças e à qual chamaremos cremona temos 0 seguinte roteiro para seu emprego a iniciamos o traçado do cremona analisando o equilibrik de um nó que coiitenha apenas duas barras com esforços normais conhecidos 224 Cuno de análise estrutural b no traçado do cremona começaremos pelas forças e ou esforços normais já conhecidos deixando as duas incógnitas como duas forças fmais c todos os dós serão percorridos no mesmo sentido quando da análise do seu equilíbrio Adotaremos este sentido sempre como o sentido horário2 isto para não deixar em aberto um grau de liberdade a ter que ser discutido em cada problemacom a adoção deste sentido de percurso ou de seu inverso d prosseguiremos o traçado dos cremonas sempre por nós onde só haja duas incógnitas a determinar atc esgotálos encerrandose então a resoluçáo da treliça Como primeira aplicação do moodo de Cremona refaremos o cálculo da treliça da Fig IV63 cujo cremona traçado na Fig N672 vem detalha damente comentado a seguir Escala do cremona podese evidentemente sdotar o sentido inverso i Estudo das trelips iirostáticas 225 a Iiiiciaiido pelo nó A marcamos no cremona ab 2 P e a seguir b 3P por r tiramos uma paralela à barra AE e por a uma paralela a AB definindo j O poligoiio fechado ahda representa o equilibrio do nó A os módulos dos esforços normais nas barras AE e AB são lidos no cremona e iguais a cf e fu sendo ambos de compressão os vetores cf e fa convergem para o nó A I b A seguir passamos à análise do nó E para o qual já conhecemos o esforço I normal na barra AE Percorrendo o nó no sentido horário o que faremos sempre temos já desenhado no cremona0 vetor fc por c tiramos Irna i paralela a EF e por f uma paralela a EB cuja interseção define g Os esforços iiormais nas barras EF e EB são entào dados por cg compressão I e gftração respectivvente C Na análise do nó B os esforços normais em A 5 e BE já são conhecidos e são representados no cremona por af e fg Tirandose respectivamente por g e por a paralelas a BF e BC determinamos h os esforços normais nestas duas barras são então dados por gh compressão e ho traçáo d Na análise do nó F os esforços normais em BF EF e a carga horizontal 3P atuante em F estão representados por hgcd no cremona no caso os pontos b e d do cremona foram coincidentes Tirandose respectivamente por d e por h paralelas a FD e FC determinamos i os esforços normais stas 7 barras são então dados por di compressão e ih traçáo Analisando o nó D observamos que temos neste nó elementos de rificação pois a Única incógnita é o esforço normal na barra DC Seu lígono de equilibrio de imediata obtenção 6 idei sendo o esforço normal i barra DC dado por ei tração A horizontalidade do segmento ei no emona é a verificação a que nos referunos O cquilfirio do nó C cujas forças internas e externas já são todas nliecidas pode ser verificado no memona onde está indicado pelo 1 ligono fechado ahiea I Observações I a Durante o traçado do cremona não precisamos nos preocupar se o esforço normal obtido é de traeo ou de compressão Faremos esta análise I quando 0 cremona jd estiver pronto análise esta imediata conforme esclarece o exemplo seguinte I Seja obter a natureza do esforço normal atuante na barra BF Analisando o equilibrio do nó F por exemplo o esforço na barra será I dado por hg 110 sempre percorrido no sentido horário que converge para o nó sendo portailto de compressão O mesmo esforço podena ser obtido pela análise do nó B sendo dado por gh que converge para o nó sendo 6 evidente de compressão b Os módulos idos esforços normais são lidos em escala no cremona c O mitodo de Cremona devido à sua enorme simplicidade 6 o universal mente adotado na resolução das treliças superado pelo de Ritter apenas para treliças de altura constante para as quais este mbtodo permite uma soluço muito rápida e elegante em Função da viga de substituiçãopara os casos de carregamento vertical 43 Exemplos Ex N12 Resolver a treliça da Fig IV68 Fig IV68 Adotandose a notação indicada na Fig IV69 teremos o cremona da Fig IV70 iniciado pelo nó A que fornece em toneladas os esforços normais assinalados na Fig N71 xsnido das treliças isostáticas Escala do Crernona Fig IV70 Fig IV71 a Poderíamos ter traçado o cremona para meia treliça apenas pois sabemos que os esforços normais será0 simétricos Preferimos entretanto traçálo completo a fm de melhor exercitar o leitor b O esforço normal nulo na barra GD poderia ser obtido a priori por simples análise da condição C Y O de equilíbrio do nó D Ex N13 Resolver a treliça da Fig IV72 Sendo as reaçbes de apoio as indicadas na Fig IV72 e a notação adotada a da Fig IV73 teremos o cremona da Fig V74 cujo traçado é iniciado pelo nó G Os esforços obtidos encontramse indicados em toneladas na Fig IV75 228 Curm de análise estrutural Estudo das treliças isostáticas 229 I Na treliça deste exemplo poderíamos ter obtido as reações de apoio pelo cremona preferimos no entanto calculálas previamente a fun de ficarmos em condições de fazer as verificações de equilibrio no cremona traçado Fig IV75 Ex IV14 Resolver a treliça da Fig IV76 pelo mbtodo de cremona eliminando previamente as barras que têm esforço normal nulo Escalalcm l t Fig IV74 I Pela análise sucessiva do equilibrio dos n6s D K L E F I N H M verificamos que são nulos os esforços normais nas barras DK KE EL 230 Curso de analise estrutural EA AF IN NH HM e GM podendo a treliça ser representada sob a forma mais simples da Fig V77 tudo diw treliças isost6ticas 231 Escala de cremona lcm 4t Observações a Notar a conveniência de se fazer uma análise pr6via da treliça eliminando as barras com esforço normal nulo no caso a quantidade de barras foi reduzida de 25 para 7 antes do traçado do cremona Aconseihamos ao leitor fazer sempre esta análise prévia b k comum existir numa treliça uma certa quantidade de barras com esforço normal nulo pois tratase de um recurso ewnômico adotado para limitar o comprimento de flambagem de barras comprimidas No caso elas dividiram por 3 este comprimento de flambagem que seria d m m para as barras AC e BJ 5 TRELIÇAS COMPOSTAS Fig IV77 Sendo as reapes de apoio as indicadas na Fig IV77 e o cremona o da Fig IV78 iniciado pelo nó J obtemos os esforços normais nas barras da treliça indicados em toneladas na Fig IV77 Já vimos i10 item 1 deste capítulo qual é a lei de formação interna de uma treliça simples que é uma treliça isostática oiiliamos agora a aglutinação de duas treliças simples por um sistema de ligação isostático conforme iiidicam as Figs 1V79 e IV80 Fig IV79 Fig 1V80 Na Fig 1V79 temos a ligapo de dois sistemas indeformáveis isostáticos as duas treliças simples hachuradas por trés barras não paralelas nem coiicorrentes no mesmo ponto barras a e ligação esta pois indeformável e isostática pois restringe e estritamente os três graus de liberdade que cada uma das treliças simples teria em relação à outra Tratase então de uma treliça isostáticaà qual chamaremos treliça composta obtida pela ligaçào de duas treliças simples por três barras náo paralelas nem concorrentes no mesmo ponto Fazendo o teste da isostaticidade temos r h 3 29 32 211 pois o numero de nós é igual a 16 Na Fig V80 temos a ligação das mesmas duas treliças simples hachuradas Por uma róiula C e por uma barra 0 não concorrente com a rótula ligaçáo esta tambem indeformável e isostática pois restringe e estritamente 0s três graus de liberdade de uma treliça simples em relação à outra Tratase pois de uma treliça isostática à qual chamaremos também treliça composta obtida pela ligação de duas treliqas simples por m a rótula e por uma barra não concorrente com esta rótula Fazendo o teste da isostatici dade temos r b 3 77 30 2 n pois o número de nós 6 igual a 15 Observaçüo É claro que poderíamos ligar as treliças simples por maior número de barras do aue o indicado nos exemulos das Fies IV79 e IV80 Estaríamos entáo obtendo treliças compostas hiperestáticas ao invés de isostáticas 232 Curso de an8lise estrutural Definiremos então treliças compostas isostáticas como sendo aquelas obtidas pela Iigação detreliças simples por a três barras não paralelas nem coiicorrentcs no mesmo ponto b um nó e uma barra não concorrente com este nó Damos a seguir na Fig lV81 diversos exemplos de treliças compostas obtidas pela ligação de treliças simples pelas três barras 0 e indicadas Fig IV8 I Em muitos casos conforme indicam as Ftgs IV82 e IV83 podem ser imaginadas duas diferentes leis de formação para a mesma treliça composta ou por ligação das treliças simples por três barras 0 0 a ou por ligaçao através de um nó C e de uma barra 0 sendo indiferente para a sua resolução imaginar uma ou outra o trabalho de resolução será equiva lente Fig IV82 I Emido das treliças isost8ticar 233 52 Método de resolução A resoluçào das treliças compostas pode ser feita recair na das treliças simples que a constituem mediante o cálculo prévio dos esforços nos elementos de interligação das treliças simples o que permitirá isolálas uma da outra para fins de cákulo estático Os exemplos seguintes esclarecem IV841 IV842 Fig IV84 Dandose a seção de Ritter SS na treliça da Fig IV841 acharemos a partir dela os esforços normais nas barras 0 e da ligação e a partir daí sua resolução recair8 na das treligas simples independentes indicadas na Fig IV842 b I C Fig IV85 Kompendose a treliça da Fig IV851 na rótula C e na barra DE ficamos com o esquema indicado na Fig IV852 Estudando o equilíbrio de uma das partes em que a treliça ficou dividida obtemos os valores das forças de ligação Vc C e N a partir das quais podemos resolver isoladamente as duas treliças simples da Fig IV852 234 Curm de análise estrutural Emdo dar treliças ismt4ticar 235 a Supondo que iiiadvertjdamente tivéssemos iniciado diretamente a reso lução de uma treliça composta pelo método de Cremona não conseguiríamos chegar ao fim do cremoiia pois esbanariamos logo a seguir com nós com três incógnitas a determinar tendo que interrompêlo então b Pelo método de resolução exposto notar a importância da análise prévia da lei de formação da treliça composta pois é esta análise que nos indicará quais as Forças de ligação a determinar a fim de ser possível a decomposição da treliça composta nas treliças simples que a constituem Feita a decomposição cada uma das treliças simples componentes é resolvida geralmente pelo método de Cremona nada unpedindo entretanto o emprego do método de Ritter especialmente indicado apenas se a treliça for de altura constante c As seções de Ritter necessárias à obtenção dos esforços normais nas barras de ligação em treliças compostas podem assumir em alguns casos formas curiosas conforme é o caso das treliças da Fig IV81 cujas seções de Ritter estão indicadas nas Figs IV86 a IV88 IV861 IV862 Fig IV86 d pa inc ba rel Notar que em todos estes casos as seções de Ritter atravessam além das rras 0 e de ligaw também outras barras da treliça mas mo estas outras barras são atravessadas 2 vezes seus esforços normais se toequilibram nno se constituindo em incógnitas adicionais a determinar partir da seçáo de Ritter dada A obtenção dos esforços N N1 e N ligação é feita a partir da análise do equilíbrio das forçts indicadas nas 5s N862 a N882 Embora não seguindo especificamente a lei de formação definida em 51 ra as treliças compostas classificaremos também como tal as treliças iicadas nas Figs IV891 e N901 que resultaram da substituição das rias superiores por treliças secundárias Elas serão resolvidas nomiahente como se as barras superiores fossem as sendo nelas obtidos os esforços normais N i e N2 atuantes conforme indicam as Figs N892 e N902 sendo após corrigidos apenas os valores encontrados para as barras de substituiçáo das treliças secundárias segundo os esquemas das Figs N893 e N903 236 Cuno de análise estrutural e Podemos ter também a ocorrênciade vigas Gerber treliçadas que serao classificadas como treliças compostas e resolvidas a partir da viga Gerber de substituiçáo segundo os prmcípios estudados no t6pico 33 deste capítulo Por exemplo a treliça da Fig IV911 será resolvida normalmente a partir da viga Gerber de substituçáo da Fig IV912 Fig IV91 53 Aplicações Ex N15 Obter os esforços normais atuantes na treliça da Fig IV92 Sendo a treliça composta formada pela associação através das barras DE CJ e HI das treliças sunples ACDI e EFBJ a seçso de Ritter 3S da Fig IV93 nos fornecerá os esforços normais nestas barras de Iigaçáo que valem Por E Y O N N P o r z M o 1 0 X I O N l O r N I 2 0 t Estudo das treliças isostátim Fig 192 Fig N93 0 sinal positivo confirma o sentido arbitrado sendo o esforço pois de compressáo Para obtenção dos esforços normais atuantes nas barras da treliça bastará resolver a sua metade pois ela é simétrica e o carregamento atuante também o é A partir do cremona da Fig IV94 obtemos os esforços normais atuantes indicados na Fig IV95 em toneladas 238 Curso de análise estrutural Estudo das treliças isostáticas 239 Ex N16 Obter os esforços normais atuantes na treliça da Fig N96 10t Fig IV Sendo a treliça formada pela associação de duas treliças simples atraves da tula C e da barra 0 calculamos a partir do esquema da Fig IV97 as forças Ni Vc e Hc de ligação que valem 20 20 20 Por 2 Y O VC O Notar que como em C existe uma carga concentrada aplicadai podemos dividila em dois quinhões arbitrários um para cada uma das treliças simples servindo o vor de Vc para corrigir estes quinhks arbitrados P o r Z M c 0 3 X 6 2 x 3 4 N l 0 N l 3t Por 2 X O HC 3t Para obtenção dos esforços normais atuantes nas barras da treliça bastará resolver a sua metade pois a treliça e o carregamento nela atuante são simé Fig IV95 tricos 240 Curso de analisa pmitursl A partir do cremona da Fig IV98 obtemos 0s esforços normais atuantes indicados na Fig IV99 em toneladas Estudo das treliças isonáticas 241 6 TRELIÇAS COMPLEXAS Seja a treliça da Fig 1V100 Tratase de uma treliça que tem r b 3 11 14 e 2n 2 X 7 14 satisfazendo portanto a condição r b 2n condição necessária de isostaticidade Por outro lado não identificamos nela as leis de formação de treliça simples ou composta Tratase pois de uma treliça provavelmente isostáti ca que não é simples nem composta que classificaremos como treliça com plexa P ig Ni00 A classificação de uma treliça como complexa 6 então feita porexclusáo Não podemos afirmar de imediato que ela seja isostática porque a relação r b ui é condição apenas necessária mas não suficiente para garantir a isostaticidade podendo a forma da treliça ser instável caso em que será chamada de forma crítica O reconhecimento de uma frma critica será imediato a partir do método de Henneberg que é o método geral de resolu ção das treliças complexas que desenvolveremos a seguir 62 Mktodo geral de resolnção das treliças complexas Método de Henneberg Seja a treliça complexa da Fig IV1011 Se ao inv6s das barras AH e FB tivéssemos as barras CF e DH conforme indica a Fig IV1012 ela seria um treliça simples cuja resolução sabemos fazer Esta foi exatamente a idéii de Henneberg que formulou o problema de resoluçáo da treliça complexa dada na Fig IV1011 como sendo o problema da obtenção dos valores das forças Xl a aplicar nos nós A e H com sentidos opostos e direção AH e Xz nos nósB e F com sentidos opostos e direçáo BF e tais que os esforços normais nas barras CF e DH que não existem na treliça dada sejam nulos conforme indica o esquema da Fig IV1021 É fácil ver que se as forças Xl e X que agem estaticamente como se fossem os esforços normais atuantes nas barras AH e BF forem tais que os esforços normais nas barras CF e DH que criamos no lugar das barras AH e BF sejam nulos na treliça de substituição o esquema pstático da Fig N1021 reproduzirá fielmente o da treliça complexa dada na Fig IV 1011 resolvendoa então Para obter estes valores de X1 e XZ é mais ficil procederse por super posição de efeitos conforme indica a Fig IV102 Obtemos sucessivamente os esf0rços normais No N e Nz atuantes nas barras da treliça de substituiçãg devidos respectivamente ao carregament3 externo aplicado a Xi 1 e a Xz 1 Figs IV1022 IV1023 e IV 1024 Como os esforços normais finais devem ser nulos nas banas CF e DH r ter Nx t dFxZ O esforço final em CF é nulo l N N H x NfHxZ O esforço final em DH d nulo A resolução deste sistema de equaçaes nos fornece os valores de X1 e Xz desejados que representam os esforços normais verdadeiros atuantes nas barras AH e BF sendo os esforços nas demais barras dados a partir do esquema da Fig N102 por N No NIXi NzXZ Emido dar treliçar isoatátieas 243 1 Sendo A o determinante das incógnitas do sistema anterior a treliça complexa será de fato isostática se ele for diferente de zero Se o determinante for nulo isto indicará que a treliça complexa é uma forma crítica instável Generalizando podemos enunciar o seguinte roteiro para resolução de treliças complexas pelo método de Henneberg I rompemos barras o menor número possivel na treliça complexa dada substituindeas por igual número de barras de tal modo a obter uma treliça simples de substituição 20 obtemos os esforços normais na treliça simples de substituiçáo devidos a ao carregamento externo aplicado No b a pares de cargas unitárias de sentidos opostos colocadas nos nós extre mos e na direção de cada uma das barras rompidas na treliça complexa dada N I N Z N 30 caiculemos os valores das forças X tais que façam com que os esforços normais na treliça de substituição nas barras cnadas no lugar das rompidas sejam nulos a partir de um sistema de equações da forma Esforço normal final é nulo na barra de substituiçáo Esforço normal final é nulo na barra de substituição O L A t xi N x O Esforço normal final 6 nulo na barra de substituição 40 os esforços normais corretos atuantes na treliça complexa são dados em cada barra por I N No N X NiX NnXn sendo No Ni Ni N I 0s esforços definidos na 2a fase do método I Obsemções a Quando forem estudadas as estaturas hiperestáticas no Vol I1 deste CUBO o leitor notará a grande semelhança de concepo existente entre o 244 Curso de análise estrutural método geral de resolução das estmturas hiperestáticas método das forças e o método geral de resoluqão das treliças complexas método de Henneberg A única diferença é que no caso do método das forças as equações são de compatibilidade elistica e no método de Henneberg de compatibilidade estática b A resolução das treliças complexas é evidentemente muito mais traba lhosa que a das demais treliças isostáticas daí o seu nome c A condição de forma crítica treliça instável para uma treliça complexa é que o determinante das incbgnitas X do sistema de equações seja nulo d Na grande maioria dos casos comuns de treliças complexas basta se fazer a substituição de uma de suas barras para transformála numa treliça simples Servem como exemplos as treliças complexas das Figs IV1031 a N1071 cujas treliças simples de substituição estão indicadas nas Figs IV 1032 a IV1072 As barras de substituição para melhor identificação estão indicadas em tracelado Estudo das treliças iroabticsr 246 e Em alguns casos de simetria da treliça complexa e do carregamento atuante podemos resolvêla sem ter que empregar o método de Henneberg conforme ilustra o caso da treliça simétrica da Fig IV108 submetida ao carregamento indicado Esta treliça duma treliça ciássica denominada treliça Wichert muito usada em pontes 246 Curso de análise estrutural Devido à simetria existente podemos afirmar que as reações em A e B são iguais sendo as reaçóes de apoio entáo as indicadas na Fig 1V108 A partir da seçáo de Ritter S temos conforme indica a Fig IV109 Por CME O Vlli I t v2a P I 2 O 2 cos r O valor do esforço normal na bana FD foi obtido pela análise do equilibrio do nó D A condição de equilíbrio C Y 0das forças da Fig IV108 nos permite escrever 2 V i v 2 P o O Fig IV109 As equações e formam um sistema qde resolvido nos fornece os valores das reaçks de apoio a partir dos quais podemos traçar o cremona para a treliça desta forma resolvendoa 63 Aplicações Ex IV17 Resolver a treliça complexa da Fig 1V110 I Estudo das treliças isostáticas 247 Adotandose a mesma numeração adotada na exposição teórica temos I Treliça de substituição Substituindose na treliça dada a barra A F pela barra EC obtemos a treliça de substituiçáo indicada na Fig IVI 11 20 Esforços normais na treliça de substituiçáo a Para o carregamento externo No Estando as barras com esforço nulo indicadas em pontilhado temos a partir do cremona da Fig IV1122 os esforços normais indicados em tonela das na Fig IV1121 I I Escala do cremona lcmlt TVII2l IV1122 248 Curso de análise emutural b Para XI I 1 NI Temos a partir do cremona da Fig IV1132 Os sforços normais indicados em toneladas na Fig V1 131 Fig V1 131 Escala do cremona lcm L 04 Fig IV113 Observação No traçado do cremona supusemos a existência de uma rótula no cruzamento das barras CG e RE a fim de não haver ambiguidade na notação de Bow Isto não altera a estaticidade da treliça pois equivale à introdução de um novo nó e de duaz novas barras Estudo das treliças isústáticas 249 Resumindo temos 30 Cálculo de X Impondo a condição de ser nulo o esforço normal na barra CE temos yOE1xI O 0906X1 O Xi 1s 40 Esforços finais Os esforços finais nas barras valerão então V No 15N 250 Cuno de andlise emumia1 Seu cálculo está feito na tabela artenor e os resultados indicados em toneladas na Fig 1V114 I Ex N18 Mostrar que a treliça complexa da Fig IV115 é uma forma 1 crítica d o das treliças ismtáticas 251 7 TRELIÇAS COM CARGAS FORA DOS NÓS 71 Método de resoluçáo Seja a treliça da Fig IV117 submetida ao carregamento indicado Fig IVI15 Bastará mostrar que o determinante das incógnitas no método de Henneberg é nulo Sendo a treliça de substituição a da Fig IV116 obtida pela substituição da barra EF pela barra FI temos fazendo X l N P O Fig IV1 16 Sendo este valor no caso o determinante da incógnita Única X con cluímos que a treliça dada é uma forma crítica sendo então instável Fig N117 A barra FG tem carregamento diretamente nela aplicado carregamento este mdicado em separado na Fig IV1181 e que pode ser encarado como a superposição dos carregamentos das Figs IV1182 e IV1183em que as forças F e F2 na Fig IV1182 são duas forças tais que equilibrem o carregamento atuante na barra Fig IV 11 8 Notar que uma das forças pode ter direção inteiramente arbitrária sendo a da outra determinada de tal forma que as suas direções se interceptem com a da resultante das cargas atuantes sobre a barra num mesmo ponto A partir da Fig IV118 podemos dizer imediatamente que a resoluçãõ da treliça dada é a soma dos dois casos indicados nas Figs IV1192 e IV1193 252 Cursa de analise estrutural Fig IV119 A resolução do caso da Fig IV1192 não apresenta dificuldades pois tratase de uma treliça com cargas nos nós problema este mja solução já foi estudada no itzm anterior mais simples ainda é o caso da Fig IV1193 pois como o carregamento aplicado é autoequilibrado não existirão reaçáes de apoio nein esforços normais nas outras barras da treliça que não FG trabalhando para ele apenas esta última segundo o esquema da Fig IV 1182 Em resumo os esforços normais definitivos em todas as barras descarre gadas serão os obtidos pela resoluçáo da treliça para o carregamento indicado na Fig IV1192 a barra carregada FC deverá ser estudada para a superposi ção dos dois casos da Fig IV119 o primeiro fornecendo um esforço normal N e o segundo dado pela Fig IV1182 tendo então o esquema de cargas indicado na Fig IV120 a partir do qual podemos traçar seus diagramas soli citantes Partido das conclusões deste exemplo podemos estabelecer o seguinte roteiro para a resoluç20 de treliças com cargas fora dos nós 1 substituímos as cargas atuantes diretamente nas barras por duas forças agindo nos 116s que limitam estas b m forças estas que devem ter a mesma tudo das treliças isastáticas 253 sultante que a das cargas agindo sobre as barras as cargas já atuantes nos nos são evidentemente mantidas 2 resolvemos a treliça para o carregamento assim obtido 3 os esforços normais finais atuantes nas barras primitivamente descarre das são os obtidos em 2 4 as barras primitivamente carregadas ficarão submetidas a diagramas licitaiites obtidos destacandoas da treliça e aplicandolhes o carregamento sobre elas existente acrescido das duas forças mencionadas em 1 aplicadas com sentido inverso e de duas forças axiais opostas aplicadas em suas extremidades e iguais aos esforços normais obtidos em 2 para estas banas Observação Quando todas as forças aplicadas na treliça sáo paralelas é muito mais cõmodo se utilizarem as forças substitutas a que se refere o iteni 1 do roteiro de resolução indicado paralelas à direção do carregamento atuante 72 Aplicações Ex IV19 Traçar os diagramas solicitantes para a treliça da Fig IV121 Fig IV121 As reaçáes de apoio valem POrCMAO V B l X 3 1 X 7 6 X 4 4 X 1 5 X S VB 16t Por 2 Y O VA 2 t estando seus sentidos indicados na Fig IV 121 Temos duas barras com carregamento diretamente aplicado sobre elas DE e DC 254 Cursa de analise emutaiml Estudo das treliças isostáticas 255 As forças de substituição Fc FD FE estão indicadas nas Figs IV122 e IV123 aplicandoas na treliça em sentido inverso aliadas as forças já existentes nos nós obtemos o esquema da Fig IV124 cujos esforços normais estão indicados em toneladas na própria figura Fig 1V122 Fii iV123 Para as barras AE EC e AC barras primitivamente descarregadas estes esforços normaisjá serão finaisas barras DE e DC primitivamente carregadas ficarão submetidas a diagramas solicitantes determinados a partir dos esque mas de forças indicados nas Figs IV125 e IV126 representando a super posição dos esquemas das Figs IV122 e IV123 com os esforços normais obtidos na Fig IV124 Os diagramas solicitantes finais são então os indicados na Fig IV127 258 Cuno de snhlise estrutural Obseiwo Notar que para a barra CD barra com carregamento per pendicular a ela o diagrama de esforços normais é dado diretarnente a par tir do esquema da Fig IV124 e os diagramas de esforços cortantes e de momentos íietores são obtidos a partir do esquema da Fig IV123 esquema de viga biapoiada Ex N20 Obter os esforços normais atuantes nas barras a da treliça da Fig IV128 t v t 3 m a 4 1 3 m 2 Fig N128 Conforme a obseivação d contida no tópico 52 deste capítulo a treliça dada resulta da substituição das banas EF FC e CH da treliça da Fig IV129 pelas treliças secundárias indicadas na Fig IV128 t d o das ireiiças isostáticas m Resolvendo a treliça da Fig N129 temos devido às cargas de 2 t atuan tes no meio das barras EF FC e GH forças de substituição de 1 t atuantes nos seus extremos conforme indica a Fig 1V130 conduzindo ao esquema de resolução para a treliça dado na Fig N131 Fig IV130 Fig IV131 A partir do esquema da Fig IV131 obtemos na barra FG o esforço nonnal Os esforços normais nas barras a são então obtidos partindo do quema da Fig IV1321 e seus valores obtidos do cremona da Fig f1322 são Q i i N129 h Nk 608 t e NO N O 258 Cuno de análise estrutural Escala do cremona lcrnlt Vi N132 d o das treligas isostáticas 259 as num número total de 12 Sendo 4 o número de nós o número de para determinação dessas incógnitas é também 3 X 4 12 tratando pois de uma treliça isostática e indeformável A partir deste exemplo dizer também que um ponto fica fixo no espaço se estiver ligado através de três barras nãocoplaoares todas as três a três outros pontos fxos Seja agora a treliça da Fig IV134 constituída internamente por um tetraedro ABCD e sendo apoiada externamente sobre seis barrasapoios do 1 0 gênero apoios externos esses que são isostáticos possuímos as seis equa ções universais da Estática no espaço para determinar estas 6 reaçaes de apoio desde que seus eixos não possam ser interceptados todos por uma mesma reta ou desde que não sejam todos eles paralelos entre si Temos en tão no caso 12 incógnitas esforços normais nas 6 barras do tetraedro e 6 reações de apoio e 12 equações de equilíbrio nSs A B C D sendo ela então isostática 8 INTRODUÇO AO ESTUW DAS TRELIÇAS ESPACIAIS a Seja a treliça da Fig N133 cujas barras AD BD e CD não são todas as trêscoplanares b A pai Ias treliças L I Em se tratando pois de uma estmtura no espaço a análise do equilibno de cada nó será regida pelas três equações 2 X 0 2 Y O e Z Z 0 i que regem o equilíbrio de um ponto material no espaço O número de incógnitas do problema é igual a 3 X 3 reações de apoio 3 esforços flor lares ten reliças sim asso a f r Fig lV134 tir destes simples na I i r a i i u u uas duas configurações fundamentais de treliças isostáticas no espaço dadas pelas Figs IV133 e IV134 obtivemos novas treliças obtidas pela adição a partir da treliça já existente de três a três novas barras cada tr2s delas concorrentes num novo nó e não sendo todas as três copla I rmadas novg treliças isostáticas quais chamaremos t exemplos das Figs IV135 e IV136 representam passo a 1 das treliças simples indicadas nas Figs IV1353 e mos foi ples Os armação dois exemplos podemos estabelecer a lei de fomação I espaço que é então a seguinte 260 Curso de analise estrutural Observação Para o exemplo da Fig IV136 não representamos os seis apoios do 19 gênero para não carregar a figura Os esforços normais numa treliça simples no espaço serão determinados pela analise sucessiva do equilibrio de cada um de seus nós que deve ser iniciada evidentemente pelos nós em que só tenhamos três esforços normais a determinar prosseguindose desta maneira até o fim Estes esforços normais podem ser determinados analiticamente escrevendose as equações 2 X 0 ZY O e XZ O em relação a 3 eixos triortogonais ou graficamente utilizandose a Geometria Descritiva c Sendo n o número de nós da treliça b o seu número de barras e r o número de reações de apoio a determinar as condições necessárias para que esta treliça seja hipostática isostática ou hiperestática são respectivamente b r 3 n b r 3 n b r 3 n Por motivos inteiramente análogos aos apontados para as treliças planas no item 2 deste capitulo as condiçóes b r 3n e b r 3n são apenas necessárias para que a treliça seja respectivamente isostática ou hiperestática apenas a condição b r 3n é necessária e suficiente para que a treliça seja hipostática Estudo das treliças isostáticas 261 d Analogamente também ao caso das treliças planas as treliças isostáticas no espaço podem ser classificadas quanto à sua lei de formação em simples compostas e complexas Observação A lei de formação das treliças simples já foi estudada no tópi co a deste item e As treliças compostas resultarão como no caso das treliças planas da associação de treliças simples por uma interligação isostática que no caso de treliça espacial é dada através de seis barras não concorrentes todas elas no mesmo eixo nem paralelas todas elas entre s i O exemplo da Fig IV137 esclarece esta lei de formação No caso temos as duas treliças simples tracejadas unidas pelas barras a ficando então constituído um todo internamente rígido apoia do sobre os seis apoios do 19 gênero indicados que dão rigidez externa ao conjunto Para resolver esta treliça composta agimos como no caso das treliças planas cortando as barras de ligação por uma seção de Ritter e obtendo seus esforços normais a partir da análise do equilíbrio de um dos trechos em que a treliça ficou dividida por esta seçáo Conhecidos os esforços normais nas barras de ligação recai o estudo de treliça composta no das duas treliças simples que a constituem f As treliças complexas são classificadas por exclusáo como sendo as treliças isostáticas que não são simples nem compostas Seu método geral de resolução é ainda o método de substituição de barras de Henneberg obedecen 0 ao roteiro indicado no item 5 deste capitulo Como exemplo de treliça 262 Curso de analisa emutural complexa apresentamos a treliça autoequilibrada da Fig N1381 cuja análise deverá ser feita a partir da treliça simples de substiniição da Fig IV1382 onde indicamos a barra de substituição em tracejado No caso das treliças complexas deverá ser feita sempre a verificação de que ela não se trata de uma forma critica verificação esta feita a partir da condição do determinante das incógnitas do método de Henneberg ser diferente de zero a Em muitos casos que náo trataremos nesta Intmdução ao estudo dar treliças no espaço o estudo da treliça espacial pode ser muito simpluicado a partir de considerações de simetria ou a partir da divisão da treliça espacial dada em função do carregamento atuante em treliças planas que a consti tuam b Recomendamos ao leitor que desejar se aprofundar um pouco mais no estudo das treliças espaciais a leitura do capítulo correspondente no livro Theov of Smctures de S Timoshenko e DH Young m d o das treliças irortáticas 263 9 PROBLEMAS PROPOSTOS 91 Classificar quanto estaticidade as treliças da Fig IV139 I TV1391 IV1394 TV 1392 N 1395 IV1393 N1396 Fig IV139 lasificar quanto a lei de formação as treliças isostáticas da Fig 264 Curso de análise esirutural 93 Obter os esforços normais atuantes na treliça da Fig IV141 Pig IV141 94 Idem para a treliça da Fig IV142 t aaaa4 P i i 1V142 95 Idem para a treliça da Fig íV143 Pig N143 snido dar treliças iratáticas 96 Idem para a treliça da Fig 1V144 97 Faltani seis diagonais uma para cada painel retangular para a treli ça da Fig IV145 Pedese a dispor estas diagonais de modo que trabalhem h traGZo para o carrega nietito iiidicado b calcular os esforços normais em todas as barras para o carregamento in dicado 178 IV145 98 Determinar os esforços normais atuantes na treliça da Fig V146 266 CUM de analise estrutural stpdo das treliças isostáticas 267 99 Idem para a treliça da Fig IV147 910 Idem para a treliçada Fig IV 148 91 1 Idem para a treliça da Fig IV149 912 Idem para a treliça da Fig IV150 Sugerese verificar previamente que barras têm esforço normal nulo Fig IV150 913 Idem para a treliça da Fig IV151 a j a s barras AB BC Ca uE EF e FG constituem um semioctógono regular 914 Idem para a treliça da Fig IV152 aaaaaa Fig W152 915 Idem para a treliça da Fig N153 haak Fig 1V153 i 916 Idem para a treliça da Fig IV154 917 Demonstrar que as treliças complexas da Fig IV155 sáo formas criticas s 918 Obter os diagramas solicitantes para o reticulado da Fig IV156 Emido das treliças ioortdticas 269 919 Idem para o reticulado da Fig TV157 920 Deteminar os esforços normais atuantes nas barras da treliça da Fig TV158 Sugerw levar em conta a simetria existente 270 Cursa de andlise estrutural Estudo das treliças isortaticas 271 10 SOLUÇÃO DOS PROBLEMASPROPOSTOS 3 91 a 2 vezes hiperestática b isostática c hipostática d isostitica e isostática f 3 vezes hiperestitica 92 a simples b simples c complexa d simples e complexa O composia 93 AS barras de treliça desenhadas em pontilhado nas respostas têm esfoqo normal nulonáo trabalham para o carregamento indicado 272 Curso de analise estrutural Emdo das treliças isonáticas 273 274 Curto de anáiire anutural 918 Além dos esforços normais da figura seguinte a barra horizontal supe dor possui os diagramas suplementares indicados à parte 919 O reticulado trabalha exclusivamente ao esforço normal à exceção da bana AB com a carga de 4t submetida aos diagramas suplementares indica dos à parte P 920 As 8 barras inclinadas têm N 7 e as 4 situadas no plano hori P mntal têm N A CAPITULO V STUDO DAS ESTRUTURAS OSTÁTICAS NO E S P A coo DAS GRELHAS ISOATICAS Ja sabemos que um sistema de forças no espap referidas a um sistema d y z 6 regido pelas seis equaçoes universais da Estática r Z Y O X Z O Z M x O Z M y O Z M z O s três primeiras que a resultante das forças 6 nula e as trés seu momento resultante também 6 nulo cando a mas que Seja agora o caso particular de um sistema de forças no espap todas elas paralelas entre si conforme indica a Fig V1 Sendo todas as forças paralelas ao eixo O verificamos que as equaç6es da Estátii Z X O ZY O e Z M z O se transformam em meras identidades pois se todas as forças sao paralelas ao eixo 02 elas nao terãõ componentes nas direçóes dos eixos Ox e Oy nem P i i v1 fornecerão momentos em relaçgo ao eixo Oz por lhe serem paralelas Per manecerao didas como equaçóes ape Is restantes isto é ZZ O EMx O e EMy 0 ias as tr4 276 Curso de anáiisa emuhiral Podemos afirmar então que um sistema de f o r p paralelas no espap é regido por três equações da Estitica sendo duas de momentos nulos em relação a dois eixos situados num plano perpendicular ao das forps e a terceira da soma das projeçôes de todas as forps igual a zero segundo um o que lhe seja paralelo Definiremos como uma grelha a uma estrutura plana submetida a carrega mento perpendicular a seu plano Tendo em vista esta definiçso e a introdugo dada no item anterior supondo que o plano da grelha seja o plano xy ela ser4 regida pelas três equaçóes da Estática ZZ O CM O e ZMy 0 Confome vimos no Cap I deste volume poderiam ser empregadar também três squaçães de somathio de momentos nulo em relação a très eixos situados no planoV e não concorrentes os 1x89 num mesno ponto ver Cap I item 312 uma grelha será então isostática quando tivemos apenas três inc6gnitas a determinar Os tipos mais comuns de grelhas isostdticas sBo os indicados nas Figs V21 e V22 NO p h e i r o caso temos uma grelha engastada e livre cujas reações de apoio TD MD e VD no engaste são obtidas respectivamente pelas equaçóes O EMY O e ZZ O No segundo caso temos uma grelha triapoiada cujas reações de apoio podem ser determinadas por equaçóes independentes uma da outra obede tendose à sequência a seguir Tomando inicialmente ZMretaBC 0 obtemos VD já que VB e VC interceptam a reta BC a seguir a condição C M O nos fornece VB e finalmente por C Z 0 calculamos Vc ficando de posse de todas as reações de apoio Conhecendo as reaçóes de apoio passemos à determinação dos esforços licitantes atuantes numa seçáo genérica S de uma grelha Reduzindo as forças atuantes num dos lados desta seção genérica S ao u centro de gravidade obtemos a força Q perpendicular ao plano P da gelha e o momento situado no plano P da grelha pois o momento resultante de um sistema de forças paralelas em relação a um ponto qual 4 i num plano perpendicular a is indicados na Fig V3 m i momento pode ser decom posto numa componente T tendo a direção do eixo da barra que é con fome vimos no Cap I o momento torço1 atuante na seção e numa com Ponente M2 situada no plano da grelha i g v3 e Perpendicular ao eixo da barra em questão que 6 o momento fletor atuante na seção e que produzirá uma flexão da barra no plano perpendicular ao da greha Podemos afirmar então que numa sego genérica de uma grelha podem atuar três esforços simples yn esforp cortante Q perpendicular ao plano da grelha um momento fletor M produzindo flexão num plano perpendi cular da grelha e um momento torçor T Isto Posto a obtençxo dos diagramas solicitantes numa grelha será conforme esclarecerão os exemplos do item seguinte uer se situa das força n 278 Curro de análise estrutural Observações a No caso de uma grelha triapoiada estes apoios nzo devem estar situados sobre uma mesma reta caso isto ocorra ela será evidentemente hipostática b Ainda sobre o caso de uma grelha triapoiada ela deve ter al8m dos três apoios perpendiculares a seu plano que garantem sua estabilidade como grelha isto 6 para carregamentos perpendiculares ao plano da estrutura pelo menos mais três apoios no próprio plano que garantam sua estabilidade para carregamentos nele atuantes É o que indica a Fig V4 na qual os apoios do 19 genero B C e E normais ao plano P funcionaráo para carregamentos perpendiculares ao plano P e os apoios A e D perten centes a P seráo solicitados apenas para carregamentos atuantes no próprio plano i Fig V 4 Como estes últimos apoios náo funcionarão para carregamento perpendi cular ao plano caso que estamos estudando nós náo os desenharemos em geral para as grelhas triapoiadas a fim de simplificar sua representação Foi o que fuemos por exemplo no caso da Fig V22 c A resolução de uma estrutura plana submetida a um carregamento o mais geral possível isto é oblíquo a seu plano se fará da seguinte maneira decompondo o carregamento oblíquo em componentes perpendiculares ao plano e em componentes pertencentes ao plano o estudo das primeiras será o de uma grelha estrutura plana carregada perpendicularmente a seu plano e o das últimas será o de uma estrutura plana com carregamento atuante no próprio plano estudo este já feito para os diversos tipos estruturais isostá ticos nos capítulos anteriores Supondo xy o plano da estrutura para uma seção S de uma barra paralela i direção y por exemplo o primeiro caso grelha nos fornecerá um esforço cortante Q um momento torçor T e um momento fletor M o segundo caso estrutura plana propriamente dita nos forneceri um esforço nomalN um esforço cortante Q e um momento fletor M conforme indicam as Figs V51 e V52 do das estruturas imstáticas no arpaço 1 V52 Estnituia plana Ng v5 Todos estes esforps Q T M M N e Q sáo finais pois não M esforças de mesmas naturezas e mesmas direçoes nos casos das Figs V51 e V52 Desta forma para se obter diagramas solicitantes numa estrutura plana submetida a um carregamento qualquer resolvemos separadamente os dois casos em que este carregamento se decompoe grelha e estrutura plana propriamente dita e os diagramas solicitantes de cada um destes dois casos de carregamento são os finais 13 Aplicações Ex V1 Obter os diagramas solicitantes para a grelha da Fig V6 cujas barras formam em todos os nós ângulos de 90 se tratando de uma grelha engastada e livre não é necessário fazermos 0 cálculo prbvio das reações de apoio pois os diagramas solicitantes podem ser obtidos entrandose com as forps do lado do balanço Faremos sempre a análise das grelhas barra por barra iniciando no caso pela barra AB que funcionará como uma viga engastada em B e livre A análise pode ser feita para a estmtura em conjunto isto é calculandose os esfOros simples numa segão entrando diretamente com as forças atuantes num dos preferimos entretanto a análise barra s barra porque nela estaremos sempre lidando Com vigas retas planas cuja analise é muito mais simples e menos passível de erros 280 C u m de analise emutural e A segundo o esquema da Fig V72 A seguir podemos estudar a barra BC eliminando a bana AB da estmtura desde que reduzamos o carrega mento desta para o nó E o que está feito na Fig V73 Ela funcionará entxo como uma viga engastada em C e livre em i tendo os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes dados pelo carregamento vertical e o de momentos torçores constante dado pela carga momento de 3 mt aplicada em E Finalmente reduzindo este carregamento BC para o nó C podemos eiiminar a barra BC e restarnosá para a viga CD o esquema da Fig V74 em que a carga momento de 3 mt tracionando as fibras superiores conforme indica a regra da máo direita e a carga vertical de 7 t são responsáveis pelos diagramas de momentos fletores e esforços cor tantes e a carga de 12 mt nos dá o diagrama constante e negativo de momentos torçores na barra CD Pela análise do equilibrio desta última barra são obtidas as reações de apoio da grelha em D indicadas na Fig V74 A partir dos esquemas das Figs V72 a V74 podemos obter imediata mente os diagramas solicitantes para a grelha que estão representados na Fig V8 da das esiruturas irostáticar no espaço 281 aimTi3 Fig V 4 3 Para traçado do diagrama Q adotouie a mesma convenção de sinais que aquela das estmturas planas o que sempre se fará As barras conforme o caso foram olhadasde frente Ou da dùeita para a esquerda I importante furarmos a priori de quelado olha lemos as barras Pois dependendo do lado escolhido o sinal poderá ser um ou outro forma 0 sinal do diagrama é fungo do sentido mbitdno com que olhamos ca i barra 282 Cursa de andlite estrutural Ex V2 Obter os diagramas solicitantes para a g r e h triapoiada da Fíg V9 cujas banas formam em todos os 1167 ângulos de 90 As reações de apoio valem Por Z M B O 4 V E l X 4 3 X 4 4 X 2 V 6 t Por Z M E t a O 2 V s 3 X 2 4 X 2 1 X 2 V g 2 t Por ZZ 0 Vc O Por meio de raciochio inteiramente análogo ao do exemplo anterior estudaremos barra a barra isoladamente com os carregamentos indicados na FigV10 a partir da qual obtemos os diagramas solicitantes represen tados na Fig V1 1 No caso o estudo das barras foi feito na ordem DE FE EC CB AB Estudo das estruturas ixistáticas no espaço 283 8m Fig Vl l Observações a Para estudo da barra AB seria evidentemente mais simples entrarse pelo nó A tratandoa como uma viga engastada em B e livre em A Preferimos entretanto manter o mesmo sentido adotado no estudo das demais a fm de podermos pela analise de seu equilrio verificar a correçáo dos cálculos feitos inclusive o das reaçóes de apoio b Para os exemplos Vl e V2 a reduqTo dos carregamentos atuantes para os diversos nós já nos forneceu dietamente os momentos fletor e torçor atuantes nestes nós pois as barras formaram ângulos de 90 nos nós Caso tal náo suceda devemos decompor os momentos resultantes desta redução ao nó nas direções tangencial axial e normal ao eixo da barra que se desqa estudar obtendo respectivamente os momentos torçor e fletor no nó da barra em estudo O exemplo V3 ilustra esta obseação Ex V3 Obter os diagramas solicitantes para a grelha da Fig V12 em que a carga de 2 t B perpendicular ao plano ABC Fig V12 ma para estudo de cada barra se encontra na Fig V13 notar que o momento m 8 f i m t resultante da redução da carga de 2 t de C Para B forma um ângulo de 135 com a barra AB no piano da grelha 4 s barras foram olhadas conforme o oso e frente ou da direita para a esquerda Fig VI0 284 Curso de an6lisa ernuiural e foi então decomposto nas componentes M e T normal e tangencial à barra AB respectivamente Fig V1 3 A partir do esquema da Fig V13 obtemos os diagramas solicitantes representados na Fig V14 Iõm A Fig V14 As reações de apoio no engaste A estão representadas na Fig V13 Ex V4 Obter os diagramas de momentos fletores para a grelha da Fig V15 a j a s barras formam em dos os nós ângulos de 90 As barras BCD e ADF estão submetidas a um carregamento vertical de 1 tm de cima para baixo e as demais estão descarregadas As incógnitas do problema são em número de oito quais sejam as quatro reações verticais de apoio em A B G H e as quatro forças verticais transmitidas pelas rótulas em C D E e F Como a grelha pode ser decom posta em quatro vigas independentes BCD ADF CEH e EFG cada uma delas regida por duas equações de equiliorio sistema de forças paralelas no plano temos um total de oito equações de equilibrio através das quais determinaremos as oito incógnitas do problema que é portanto isostático e cuja solução se fará a partir do esquema da Fig V16 As banas foram oihadas mnforme o caso de frente ou da direita para a esquerda tudo dar a t u m irmtáticas no mpaqo 285 hSmfim Fii v1s Fig V16 Para a barra 1 por ZMB 0 Para a barra 2 por ZAfA 0 Para a barra 3 por ZMH 0 Para a barra 4 por ZMG 0 Para a barra 1 por Z Z 0 Para a barra 2 por Z Z 0 Para a barra 3 por Z Z 0 Para a barra 4 por Z Z 0 286 Curso de análise esirutural Resolvendo inicialmente o sistema formado pelas quatro primeiras equaçries obtemos VC 2t Vu 6t VE 4 t e VF 8 t Introduzindo estes valores nas quatro Ultimas equações do sistema obtemos as reaçoes de apoio que valem O problema esti entgo resolvido e o diagrama de momentos fletores obtido a partir do esquema da FigV16 está representado na Fig V17 Estudo das esttuturas i d t i c a s no espaço 287 obtençzo dos diagramas solicitantes que serão determinados por equaçzles no caso de curvas matematicamente definidas ou por pontos em caso contrário As grelhas constituídas por barras curvas são denominadas vigas balcão Estudaremos nos exemplos seguintes as vigasbalcão circulares para os osos mais usuais de carregamento Ex V5 Obter os diagramas solicitantes para a vigabala0 semicircular da Fig V18 P Fig V18 A Nos exemplos estudados até aqui lidamos sempre com grelhas constituídas por barras retas Se ao inv6s de termos barras retas tivermos barras m m s toda a teoria continua 6 claro vilida sendo apenas mais trabalhosa a Os esforços h p l e s atuantes numa sego genérica S definida pelo ângulo a conforme indica a Fig V191 são obtidos reduzindose a força P à sepão S o que é mais simples fazer reduzindoa inicialmente ao ponto C definido na Fig V192 que representa a vigabalcáo em verdadeira grandeza em planta aparecendo então o momento fletor M situado na normal à sego S e após do ponto C para o ponto S aparecendo aí o momento torcor T No caso o momento fletor M traciona as fibras superiores e o momento torçor é positivo V191 V192 Fig V19 A partir da Fig V192 temos Ma i X E PR sen a tracionando as fibras superiores Ta P x C S P R cosa a P Os diagramas solidtantes estão então representados na Fig V20 Ex V6 Resolver a vigabalcão semidrcular da FigV21 submetida a um carregamento uniformemente distribuído q Os esforços simples atuantes numa seçZo S ser80 obtidos a partir do esquema da Fig V22 que representa a vigabala0 em planta em verdadeira grandeza sendo M o ponto de aplicação da resultante do carregamento distribuído atuante no arco AS que 6 evidentemente o centro de gravidade da linha AS dado a partir do esquema da Fig V23 por Dai temos Q a qR rr a IMal lQal X E qRu X 0 sen a 2 2 qRZ sen2 tracionando as fibras superiores 2 a Ta lQal X E q R u R ÕjMcos2 2 2 u qR a 1 sen a cos qR2 a sen a a 2 2 Emdo das estruturas iwstáticas no espaço 289 A partir destas expressões obtemos os diagramas solicitantes mpresen tados na Fig V24 bs quadros espaciais isostáticos que ocorrem na prática com freqiiéncia bastante inferior à das estruturas planas e A das grelhas têm seu equilibrio regido evidentemente pelas seis equaçcks universais da Estática x O ZY O ZZ O EM O ZMy O EM O o então isostáticos o quadro engastado e livre da FigV251 e o uadro hexaapoiado mjos apoios impedem todas as translações p o i v e i do conjunto e também todas as rotações por nZo serem todos eles concorrentes num mesmo eixo da FigV252 Para cada um deles ternos as seis reações de apoio indicadas nasfiguras a determinar o que se fará a partir das seis equaçoes universais da Estática 290 Curso de andilise estruiural Emido das estruiurat irortdtioas no espaço 291 Calculadas as reaçPies de apoio 6 imediata a obtenção dos diagramas solicitantes partindose dos conceitos apresentados nos capítulos anteriores O exemplo a seguir esclarecerá Ex V7 Obter os diagramas solicitantes para o quadro espacial engas tado e livre da Fig V26 cujas barras formam todas elas entre si ângulos de 90 medindo todas elas 4 m Analogamente ao caso das greihas o estudo da estmtura será feito barra por barra a partir do esquema da Fig V27 As reaç6es de apoio no engaste E obtidas pela adiise do equilíbrio da barra DE estão indicadas na FigV27 e os diagramas solicitantes esta0 representados na Fig V28 onde dividimos a estmtuni nas barras ABC FG e CDE a fun de facilitar a leitura dos mesmos i Fig V28 Observnções a Os diagramas de momentos fletores estão desenhados do lado das fibras tracionadas e os sinais dos diagramas de momentos torçores esforços normais e esforços cortantes6 obedecem tis convenções apresentadas no Cap I b Não apresentaremos exemplificação mais extensa sobre quadros espa ciais isostáticos devido à baixa frequência com que ocorrem na prática 3 PROBLEMAS PROPOSTOS Obter os diagramas solicitantes para as grelhas e vigasbalcão das Figs V29 a V32 As barras foram olhadas conforme o caso de frente ou da direita para a esquerda d o das e s í i u r a s imltdlticas no espaço 293 Fig V31 294 Cursa de anllise esirutural 35 Obter as equações dos diagramas solicitantes para a vigabalcão se micircular tnapoiada da Fig V33 submetida a um carregamento uniforme mente distribuído q de cima para baixo Fig V33 4 SOLUCÃO DOS PROBLEMAS PROPOSTOS Estudo das estruturas irostáticas no espaço 295 Noto pm 0 traçado de Q as banas foram olhadas de frente ou da direita para a esquer da O Caso Igual procedimento será adotado nos próximos problemas Estudo das astruturas i d t i c a s no asp 297 qR lemos v2qR VTn2 r As equações são vadas para O á a á para a outra metade da vigabalcão 2 concluise aue M é simétrico e que Te Q são antisim8tricos 11 Classificao das cargs que atuam nas estruturas As caigas que solicitam uma estrutura podem ser classificadas em dois grandes grupos o de cargas permanentes e o de catgas acidentais As cargas ditas permanentes são aquelas que atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e sào devidas ao seu peso próprio e aos revestimentos e matenais de enchunento que ela suporta O estudo dos esforços provocados por elas não apresenta maiores dificuldades pois tratamse de cargas cuja posição e valor são conhecidos e invariáveis tendo já sido portanto estudadas lios capitulas anteriores As cargasditas acidentais conforme a própria denominação são aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos empuxos de terra ou água impactos laterais forças ceiitrífugas frenagens ou acelerações de veículos sobrecargas cargas de utilização em edifícios peso de materiais que váopreencher a estrutura caso de reservatórios digua silos etc efeitos de terremoto de importância fundamental para os projetos em regióes sujeitas a abalos sísmicos peso de neve acumulada em regibes frias e finalmente pelas assim denominadas cargas móveis que são aquelas devidas a veículos que percorram a estrutura caso de pontes rodoviárias ou ferroviárias viadutos pontes rolantes industriais Para fins de análise estática as cargas acidentais com exceção das cargas móveis são cargas que têm posição e valor conhecidos na estrutura podendo ou nZo atuar ao longo do tempo Seus esfoiços são calculados pois da mesma forma que os devidos a cargas permanentes tratase então de problema já resolvido studo das carga5 móveis em etruturar isostáticaa 299 O mesmo não acontece para as cargas móveis pois quando de sua ocorrência embora tenham valores conhecidos as posiçóes que ocupam na estrutura variam à medida que os veículos por elas representados a atravessem Se fôssemos estudálas pelo processo at6 aqui empregado teríamos que calcular esforços para cada uma das infinitas posiçóes que elas podem ter enquanto percorrem a estrutura Tal forma de tratamento é evidentemente inadequada e impraticável Procuraremos portanto outra forma para resolver o problema das cargas móveis 12 DefdçHo das cargas móveis Trenstipo Feita a conceituação do que seja uma carga móvel esbarramos na complexidade do problema de sua definição nos diversos casos práticos Suponhamos seja nossa missão projetar um viaduto Que veículos cargas móveis colocaremos sobre ele Em que ordem Vemos logo que infinitas combinaçóes de veículos nos podem ocorrer qual será a certa isto 6 qual será a combinapão dentre todas as possíveis que se pode adotar como representativa das diversas situaçóes reais de cargas móveis que podem ocorrer durante a vida da estrutura A esta pergunta diversos pesquisadores em diversos países responderam com a criação de veículos ideais denominados trenstipo por influencia das pontes ferroviárias definidos pelas normas de projeto de cada país e que variam dependendo da natureza e da forma de utilização da estrutura Uma coisa têm entretanto os trenstipo em comum são constituídos por cargas concentradas e ou uniformemente distribuídas de valores conhecidos e guardando uma distancia conhecida constante entre si Desta forma conhecida a posição de uma das cargas do tremtipo conhecemos imediatamente a posição de todas as demais Um exemplo representativo de tremtipo nos é dado pela configuração da Fig V11 notese que q q2 P P2 Ps a f são grandezas conhecidas e de valor c6nstante Fig VILI 300 Cursa de análise estruninf Devido à possibilidade de tráfego nos dois sentidos suporemos em geral que o tremtipo possa percorrer a estrutura nos dois sentidos no exemplo anterior estudaríamos as hipóteses das cargas percorrerem a estrutura no sentido ql Pl q e no sentido q P q Os trenstipo mais usuais são aqueles de pontes rodoviárias e de pontes ferroviárias Para obras no Brasil a o definidos pela NB6 e pela NB7 da ABNT e esquemticamente são dados pelas Figs VI2 e V I 3 para pontes rodovigrias e ferroviárias respectivamente Fig VI3 13 O problema a resolver Forma de resolução O problema que devemos resolver é o da determinação dos esforços máximos e mínimos provocados nas estruturas pelas cargas móveis pois de posse destes valores e conhecendo os esforços devidos as cargas de tipo permanente permanentes propriamente ditas e acidentais nãomóveis sabe remos entre que valores extremos variarão os esforços em cada seção da estrutura tendo portanto definida a sua faixa de trabaliio Por exemplo suponhamos que numa seção de uma viga atue um momento fletor de 20 mt devido As cargas tipo permanente e que os momentos máximo e mínimo devidos à carga mUvel valliam 60 mt e 40 mt Esta seção trabalhará portanto entre os momentos 20 mt e 80 mt isto é se for estável para estes dois valores também o será para os demais intermediários E por esta razão que nosso interesse se concentrará principalmente sobre os efeitos máximos e mínimos provocados pelas cargas móveis A forma de resolução do problema será através do processo das linhas de influência que será definido no item a seguir Este processo terá sempre duas fases suporse inicialmente que o tremtipo seja constituído por uma única carga concentrada unitária caso mais simples possível para estudo Estudo dar cargas móveis em estruturas isastáticar 301 e após serão feitos os necessários cálculos para se obter os resultados levando em conta o tremtipo real cálculos estes de enorme simplicidade coiiforme se verá Linha de influència de um efeito elástico E em uma dada sego S B a representação gráfica ou analítica do valor deste efeito naquela seção S produzido por uma carga concentrada unitária de cima para baixo que percorre a estrutura Por exemplo suponhamos conhecida a linha de influência de momentos fletores na seção S da viga da FigVI4 Baseandonos na definição anterior podemos escrever que fi a para P I em A y h para P I em E assim sucessivamente Conformese vè a seção e o efeito estudados são fwos variando apenas a PosiÇãO da carga Uma linha de influencia não pode pois ser confundida um diagrama solicitante visto que uma ordenada de linha de influencia Ponto se refere de modo geral excetuandose a ossibilidade da carga Obre a própria seção de estudo ao efeito em outra seção 302 Curso de análise earuiural Podemos escrever ainda que E E2 e a partir da definição dada estudaremos para os diversos tipos estruturais com que trabalhamos usual mente estas funções linhas de influência E a fim de com seu audio conforme veremos a seguir resolver o problema das cargas móveis atuantes em estruturas Observaçáo E pode ser um esforço reação ou deformação em suma um efeito elástico qualquer deve ser um efeito elástico para que seja válido o principio de superposição de efeitos que será empregado na solução do problema conforme veremos 22 Fases de resolução do problema A resolução baseandose no conceito de linhas de influencia englobará duas fases distintas la fase dada a estrutura o efeito 6 e a seção S obter sua linha de influência 2a fase conhecidos o tremtipo e a linha de influência Ia fase obter os efeitos devidos a esse tremtipo Devido d sua grande simplicidade resolveremos inicialmente o problema da 2a fase 23 Obtenção dos efeitos conhecidos o tremtipo e a Linha de influência a Seja um tremtipo constituído pelas cargas eoncentradasp P e seja a linha de ilifluência da Fig VI5 L i Fig V I S O valor do efeito produzido por uma das cargas concentradas P a partir da definição de linha de ilifluência 6 P qj Pelo principio de superposição deefeitos quando atuarem todas as cargas teremos Es XPjqi Estudo d a cargas mbveis em estruiurar irostdticas 303 b Seja agora o caso de um tremtipo composto por uma carga uniforme mente distribuída q conforme indica a Fig VI6 Teremos ES Lb qdz vi ou seja sendo C2 a área na i i i a de influência sob a região ocupada pela carga a esta Irea chamamos área de influencia c O caso geral será uma superposição dos casos o e b tremtipo composto de cargas concentradas e distribuídas Podemos escrever empregando o princípio de superposição de efeitos Para se obter ettio o efeito produzido por um tremtipo ocupando uma dada posição sobre a l i a de influência conhecida basta multiplicar cada carga concentrada do tremtipo pela ordenada da linha de influ8ncia sob ela e cada carga distribuída pela respectiva área de influência somandose 0s resultados Observações a Os princípios estudados ai6 aqui são válidos para estru turas isostáticas e hiperestáticas Daqui para frente estudaremos as estmtwas isostáticas b A partir da expressão VI1 6 fácil ver que as unidades das linhas de Influência de momeiitos fletores são unidades de comprimento e que as Iinhas de influência de esforços cortantes normais e reações de apoio são adensionais 304 Curso de an8lise estnitural Estuda das cargas móveis em emuniras isostáticas 3Mi 24 Obtençáo das linhas de influencia para as estmturas isostáticas 241 Viga engastada e livre H Seja a viga da Fig VI7 Estuda remos todos os efeitos estáticos quais sejam reações de apoio e esforços simples Partindo da definiçáo supomos uma carga unitária percorrendo a estrutura definida pela abscissa z Busquemos as diversas linhas de influência ou I seja as diversas funções Ez Temos a reações de apoio Va 1 arbitraremos o sinal para a reação vertical que for de baixo para cima MA z módulo r tracionando as fibras superiores b esforços simples em S Temos QS 0 para z x 1 para z x M s 0 para z Q x z x para r x A representação gráfica das liihas de influ6ncia a partir de suas equações E2 encontrase na Fig VI7 Fig VI7 Ex V11 Obter as reações de apoio máximas para uma viga engastada e livre de 10 m de comprimento provocadas pelo tremtipo da Fig VI8 Observaçáo A carga distribuída interrompida no principio e no fun do tremtipo indicada na Fig VI8 pode ser iniciada e terminada arbitrana mente ela corresponde à carga de multidão do tremtipo Devemos dispôla de modo que ela contribua ao máximo para os efeitos extremos pesquisados I De acordo com a FigVI9 temos 7 ltlm 1 M T 20 X 10 10 X 7 a 1 X Z X 10 X 10 320 mt tracionando as r r r r r r t t r r f Fig VIE fibras superiores I Lt Viga biapoiada 1 I De forma análoga ao caso 241 obtemos as equações Ez a seguir y cuja representação gráfica se encontra I va t I th na Fig VI10 i 1 4 L l V 1 1 a Reaçóes de apoio I 1 2 VA z V B 1 I b Esforços simples I x para z x VB para z x VA para z x 306 Curso de analise estrutural Observaçdes a Conforme vimos nos casos 241 e 242 no estudo das linhas de influência de esforços simples devemos examinar sempre separada mente as possibilidades da carga unitária estar A esquerda ou à direita da sego em estudo b A linha de influência de esforço wrtante numa seçXo apresenta sempre uma descontiiuidade igual a 1 nesta seção conforme podemos concluir a partir dos casos já estudados Ex Vi2 Para a estrutura da Fig VII I obter as envoltórias de mo mento fletor e esforço cortante cotandoas nas seçóes indicadas São dados I a Carga permanente g 2 tlm 20t 1 I10t ltlrn b Carga móvel 5 4 4 4 5 t 3 m c Estrutura A B I 0 Observação inicial entendese por envoltória o lugar geomdtriw dos esforços máximos de ambos os sinais atuantes em cada sego da estmtura a A carga permanente atuante provoca os diagramas solicitantes indicados nas Figs VI121 e VI122 Estudo das carw móveis em estruturas i d t i c a s 307 b Os efeitos máximos da carga móvel nas seçaes indicadas são b1 Seção A A partir da Fig YI13 temos 1 QAm 20 X 1 10 X 075 X 12 X 1 335 t 2 0 Sendo a seção A o apoio de uma viga biapoiada temos MA O b2 Seção 1 Temos a partir das Figs VI14 e VI15 I H I Izm p I I Pra 01 I 1 I I I 1 A I I i Fig VI14 p2w o30 L14 I 1A075 I 308 Cuno de anllire estrutural m i d 0 das cargas mbveis em estruturas irostáticas 309 C 1 Mim 20 X 225 10 X 15 X 12 X 225 73s nii 2 b3 Seção 2 I L bn Fig VII6 Como as áreas positiva e negativa da linha de influência da Fig VI161 são iguais temos para esforços cortantes Para momentos fletores temos conforme a FigVl161 i M 2 m a x 1 0 X 3 1 0 X 1 5 i X 1 2 X 0 3 n l t b4 Para seçses simbtricas em relação h seção 2 podemos verificar facil lente que as linhas de influência de momentos fletores são sim6tricas e i de esforço cortante sáo antisimitricas mesmosmódulos e sinais opostos e modo que podemos escrever imediatamente 735 mt Qlmax c 54t Qi 234t I 1 9 O Q B 335 t max Quadro de valores e envoltórias Para momentos fletores temos a partir do quadro de valores a seguir a involt6ria da Fig VI17 A 1 2 1 B de momentos fletores Para esfi as eni Seção Carga 27 Valores em mt Drços cortantes temos a partir do quadro de valores a seguir as indicadas na Fig VI18 Curso de an8lire esirutural studo das wrgas móveis em estruturas ioostáticas Carga Móvel Envoltória Carga Seção Permanente o O 1 t 6 234 54 294 06 2 O 14 L4 14 14 1 6 54 234 06 94 B 12 O 335 12 455 Valores em t Fig VI1 8 ObservaçZes a A faixa de trabalho da estrutura é a delimitada pelas envoltórias dos dois sinais ou no caso da existência de esforços de um único sinal Fig VI17 é a delimitada entre o diagrama devido As cargas permanentes e a envoltória obtida b Até o presente instante lidamos com trenstipo bastante simples nos exemplos feitos tendo sido portanto fácil chegarse à posição que acarreta os efeitosmáximos Caso entretanto os trenstipo se tornem mais complexos necessitaremos do auxílio de alguns teoremas que estudaremos a seguir para nos indicar a posição que conduz aos efeitos mais desfavoráveis 2421 Pesquisa dos valores máxiinos 24211 Teorema geral Ocorrerá um efeito máximo quando m a das cargas concentradas do tremtipo estiver sobre wn dos pontos angulosos da Linha de influência em questáo az dr dz dz c W A partir do esquema da FigVI19 usando o procedimentb clássico do Cálculo Infinitesimal damos um acréscimo dz à variável independente a variável dependente E sofrerá um acréscimo dE e de valor unponao a condição de máximo sabemos que antes do máximo ZPi tgai O após o máximo ZPi tg a O Como os valores P são constantes deve haver uma mudança em ai que tisfaça às desigualdades anteriores Logo o máximo ocorrerá quando uma das cargas concentradas estiver sobre um dos pontos angulosos da linha de influência Observação este teorema 6 inteiramente geral valendo também para as estmturas hiperestáticas 24212 Obtenção daposigo do ttrmtipo capaz de produzir momento máximo na seçáo S dada de uma viga biapoiada supondo o tremtipo nStituídO Por cargas concentradas 312 Cuno de analise estrutural Seja o tremtipo composto pelas cargas concentradas Pl P P indicado na Fig VI20 I J I Fii VI20 Chamandose R e Rd às resultantes das cargas do tremtipo à esquerda e à direita da seção dada S respectivamente temos Ms ti Rdíldl por semelhança de triângulos temos l z t e z dx íId Podemos substituir as cargas atuantes num mesmo trecho retilineo de uma linha de influência por sua resultante proposifZo esta de imediita demonstração conforme pode veriiicar o leitor e que foi aplicada neste caso Emido d a cargas móveis em estruturas iswtáticar 313 Derivando em relaçáo a a vem sendo R a resultante de todas as cargas wncentradas do tremtipo suponhamos seja Pk a carga concentrada que colocada sobre o ponto anguloso nos forneça Ms a esta carga chamaremos eixo crítico Temos entáo d f i ki antes do máximo R Z Pi O dz 1 1 x k R Z O após o máximo dz 1 1 As duas desigualdades que definem o eixo crítico Pk podem ser engla badas da forma a seguir Obsevoçães a A expressão VI2 foi deduzida para um sentido de tremtipo Podendo o tremtipo se deslocar nos dois sentidos o que 6 o usual deverão estes dois sentidos ser tratados como dois trenstipo dife rentes prevalecendo o valor máximo dos dois obtidos b Todo o raciocínio que fizemos só 6 Mlido na hipótese de não saírem cargas do conjunto P P da viga quando Pk estiver sobre S Caso contrário deveremos proceder por tentativas respeitando o teorema geral estudado em 2421 l igualdade vale também se al6m das cargas concentradas o tr ssuir uma carga distiibuída infinita i n aestgualdade vale para qualquer l i a de infiuência da forma da Fig VI21 314 Curso de anAlise estrutural tudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 315 e A desigualdade que defme o eixo crítico garante apenas que caso o máximo ocorra w m todas as cargas P P na yiga ele se dará com o eixo crítico sobre a sego NZo garante entetantoue nao possa ocorrer máximo com alguma ou algumas cargas do tremtipo fora da vjga ver exercício VI5 As aplicaç8es seguintes esclarecem Ex V13 Para a sego S da viga da Fig VI22 percorrida pelo tremtipo indicado que pode se deslocar nos dois sentidos obter Ms Devemos estudar as possibilidades do tremtip se deslocar nos dois sentidos Temos A r 1 87 a l sentido st lot lztll 1st 8t O momento máximo valerá a partir do esquema da Fig VI23 hl 2 sentido 8t 15t 12t 10t 5t 8 2 0 8 1 5 15tdoeixocrítico O momento máximo valerá a partir do esquema da Fig VI24 Ms CPqi 1948 mt max 8 L Fig VI24 Prevalece enrao o segundo sentido e temos então 1948 mt Ex V14 Mesmo exercício anterior supondo o tremtipo da Fig V125 5t 10t 12t 15t 8t i l J J j itm Fig Vi25 lm2m2m2m iemos escrever a partir da íig VI24 X 48 X 20 2428 rnt 15 Obter MSm para o tremtipo e a viga indicados na Fig VI26 316 Curso de análise estrutural Rx Temos 30 4 3 X 10 X 12 32t 1 24 Como 30 32 30 4 temes que o eixo crítico é dado pela carga de 4t A partir da linha de influéncia da Fig VI27 obtemos 6m Fig 1 i 7 b 20 sentido 1 M 10t 1ot 4t 30t 1 1 1 1 1 Temos 10 10 10 32 10 10 10 4 sendo a carga de 4t novamente o eixo critico Devido à simetria da linha de influência náo é necessário refazemos os cálculos e para esta posiqão teremos também Msmáx 204 nit Com isto temos garantido que caso o máximo ocorra com todas as cargas sobre a viga nenhuma fora dela ele valerá 204 mt Nada nos garante entretanto que não possa existiruma posição em que apenas alguma ou algumas cargas do tremtipo saiam fora da viga e que este fato acarrete o aparecimento de um momento superior a 204 mt É o caso deste exercício no qual testando a carga de 30t sobre a seção S obtemos conforme Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 317 indica a Fig VI28 Ms TPqi 216 mt prevalecendo então sobre o outro valor Logo Ms 216 mt 24213 Teorema de Barré obtenção da sego onde ocorre o momento fletor mixùno absoluto numa viga biapoiada provocado por um tremtipo constituído por cargas concentradas Seja S a seçao onde ocorre o Mmabs cuja abscissa x queremos determinar Chamandose R à resultante geral das cargas do tremtipo d à distância do eixo crítico Pk à resultante geral R Re à resultante das cargas à esquerda da seção S e à distância de R a Pk obtemos M m R i x d x e p o i s V R X 4 I i Eo a x obtemos 318 Curso de análise estrutural Impondo a condição de máximo vem I d 1 2x d O ou seja x 2 Concluímos então que Pk e R devem ser simétricos em relapão ao meio da viga e podemos então enunciar o teorema de Barrd O momento fletor máximo absoluto numa viga biapoiada ocorre numa seção tal e para uma posição do tremtipo tal que o meio da viga coincida com o meio da distância d que vai do eixo crítico Pk at6 a resultante geral das cargas do tremtipo Evidentemente o teorema de Barrd náo nos fornece o eixo crítico que será obtido por tentativas conforme ilustra o exemplo V16 ObseaçUes sobre a validade do teorema de Barrd a Nenhuma carga do conjunto Pi P pode sair da viga b Não pode existir carga distribuída mfinita no tremtipo c E negssário imas não suficiente para que a seção critica seja a do 1 meioe uma das cargas do tremtipo dZida m sua resultante Ex V16 Obter o momento fletor máximo absoluto para uma viga de 10 m de vao percomda pelo tremtipo da FigVI30 Pig VI30 A posição da resultante defácil obtençao fi a 2 m das cargas extremas conforme indica a Fig V13 1 Pig VI31 Para resolver o problema verificaremos uma a uma as diversas cargas constatando se podem ou riso ser eixo critico LTsando as notações da Fig VI29 vem Estudo das cargas móveis em esiruturas isostáticas 319 a la carga de 8 t 34 4136t Teamosd2moqueacarretariax51 4meR 1 10 o g o ela não pode ser eixo crítico b 2s carga de 8 t x Teríamos d I m o que amrretariax 5 0s 45 m e R 34 X 4s 1 1 o 153 t Como 8 l53 8 8 esta carga pode ser eixo crítico e teremos neste caso a partir do esquema da Fig VI32 1 2481 L Fig VI32 c Carga de 12 t x 34X55 Tenamosd I m o que acarretariax 5 e 0s 5s m eR 1 187t Como 8 8 i87 8 8 12 esta carga pode ser eixo crítico A partir da Fig VI33 temos 55rnp x 55m Pig VI33 d Carga de 6 t 34X6zo4t Teríamosd 2m o que acarretariax 5 1 6m e R F Logo ela não pode ser eixo crítico 1 320 Cursa de analise estrutural O momento m á m o absoluto será então de 631 mt para a seção a 5s m do apoio esquerdo quando o tremtipo estiver no sentido indicadona Fig V1730 e devido à simetria de uma viga biapoiada para a seção a 4s m quando o tremtipo correr no sentido contrário Em suma M 63l mt para x 45 m e x 5s m 243 Viga biapoiada com balanços Conforme fizemos em 241 temos as seguintes expressões para as linhas de influência no caso da viga biapoiada com balanços da Fig VI34 Yll A Fig VI34 1 2 VA 1 para qualquer z positivo ou negativo z V para qualquer 2 1 Para uma seção genérica S pertencente ao vão AB temos os seguintes esforços simples para z 9 x positivo ou negativo para z 7 x VB para z x positivo ou negativo VA para z x Comparando as expressões anteriores válidas para z positivo ou negativo carga à direita ou à esquerda esectivarnénte de S com as expressaes tnstituídas para o caso da viga biapoiada em 242 vemos que são idEnticas e daí tiramos as seguintes conclusões a Para se traçarem linhas de influência de reações de apoio ou de esforços simples em uma seção interior aos apoios de uma viga biapoiada coni balanços Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 321 traçamos inicialmente as l i a s de influência como se a viga fosse biapoiada prolongandoas a seguir para os balanços b Para seçaes situadas nos balanços o caso 6 ainda mais simples pois as liiihas de influência só existirão entre a extremidade do balanço e a seçao em questão que se comportará como se fosse o engaste de uma viga engastada e livre entre a seçgo e a extremidade do balanço O exemplo da Fig VI35 esclarece ilotar qu forme se 1 e devido às convenções de sinais opostos para esforço cortante con iam empregadas as forças da direita ou da esquerda as linhas de influencia de esforço cortante em S2 e S têm sinais opostos 322 Curso de an6lise estrutural Observação Caso de mrregamento indireto As estnituras podem receber as cargas que devem suportar continuamente Mo ao longo de todo o seu comprimento ou através de pontosdiscretizados chamados pontos de transmissão de cargas conforme o esquema da Fig VI36 Tais formas de carregamento sáo denominadas respectivamente carregamento direto e carregamento indireto uinpminm dimm cansglmanm indimto VI361 VI362 Fig VI36 Em todo o nosso estudo de linhas de influência feito até o instante foi sempre suposto o carregamento direto Vejamos que modificações deveremos introduzir para levar em conta o fato de termos um carregamento indireto quando este ocorrer Suponhamos traçada a l i a de influência de determinado efeito 6 supondo que o carregamento seja direto sobre a estmtura Caso o carrega mento seja indireto estando a carga unitária na posiçáo indicada na Fig VI37 ela chegará à estrutura através dos pontos Ee D segundo as parcelas em E e em D u O efeito E provocado pela carga unitiria valerá então Nossa metodologia de trabaiho com linhas de iiifluência até então caso de carregamento direto era para a obtenqão do efeito de uma carga concentrada multiplicar o valor desta carga pela ordenada da linha de mfluência sob ela Tentemos manter a mesma forma de trabalho ou sela Estudo das cargas móveis em Wuturas isostiíticas 323 tentemos descobrir por que valor fictício q deveríamos multiplicar P 1 para obter o efeito correto E qe qd isto é vejamos qual seria a linha de influência já levando em wnta o fato do carregamento ser indireto e para a qual possamos trabalhar como se estivéssemos diante do carregamento direto Sendo q a ordenada genérica da linha de influência levando em conta o carregamento indireto ela será defmida por a e e 1 X q a V 7 Rd que representa a equapo de uma linha reta funpo linear de e Calculemos pontos de passagem para definir esta reta Para e O temos q qe Para e a temos q qd Podemos então concluir imediatamente que para traçarmos a linha de ifluênm de um efeito elástico E levando já em conta o fato do carrega lento ser indireto traçamos inicialmente a linha de influência supondo o aegamento d i t o e ligando suas ordenadas nos pontos de transmissão e cargas por segmentos de reta obtemos a linha de UifluZncia desejada SUPUS estrutur uída por emos que a estrutura que recebe a carga inicialmente transmitindoa a principal através dos pontos de transmissão de cargas seja consti vigas biapoiadas conforme indica o esquema da Fig VI37 Para este caso é válido o traçado que acabamos de instituir plos seguintes esclarecem Acl a linhas de influência indicadas para as estruturas das Figs VI38 a Vi 324 Curso de análise estrutural Ex M8 1 Fig VI39 Ex M9 I I I I I 7 I I I 1 I i I I I I I I I I p I i L I V L 1 Fig VI40 Observações a Nos exemplos VI7 a VI9 indicamos em pontilhado a linha de influência supondo o carregamento direto e em traço cheio alinha de influência já levando em conta o fato do carregamento ser indireto b Notar para o exempio da Fig VI40 que quando a estrutura que recebe a carga inicialmente é uma viga biapoiada com balanços a correção da linha de influencia é feita ligandose os valores sob os pontos de transmissáo de carga por uma linha reta prolongada nestes balanços já que vimos que as leis de variação válidas para reação de apoio em vigas biapoiadas se estendem as vigas biapoiadas com balanços c O carregamento indireto ocorre com muita frequência em Engenharia nos casos de treliças e de arcosconforme se verá nos tópicos correspondentes d A forma mais conveniente de se estudar estruturas com carregamento indireto submetidas a cargas permanentes ou do tipo permanentes acidentais nãomóveis consiste em calcular inicialmente as forças transmitidas pelos pontos de transmissão de cargas e resolver a seguir a estrutura principal para estas cargas concentradas situadas nos pontos de transmissão de cargas obtendose imediatamente seus diagramas solicitantes Existem traçados gráficos para obtenção destes diagramas sem ser necessário calcular as forças de transmissáo mas julgamos a forma de soluçZo apresentada a mais rápida e sobretudo espontânea de modo que não nos deteremos nestes traçados gráficos em nosso Curso m d o dar cargar móveis em esmiiuras isostáticas 325 744 Vigas Gerber O estudo das linhas de influência em vigas Gerber recairá no estudo do lndireto senZo vejamos Seja estudar a linha de influéncia da reaqío de apoio em A na viga Gerber da Fig VI41 Fig VI41 Esta viga Gerber conforme sabemos nada mais 6 que uma viga biapoiada com balaiiços DABE que em D e E pontos de transmissão de cargas recebe as reaçaes de apoio das vigas CD e EF respectivamente Sendo assim poderíamos representar a viga sob a forma da Fig VI42 a partir da qual o traçado da linha de influência se torna imediato obtendose a linha de influência indicada na Fig VI422 Ue maneira inteiramente análoga raciocinaremos em todos 0s Outros 0 s exemplos a seguir esclareceráo o assunto Traçar aslinhas de influência indicadas para as vigas Gerber das Figs VI43 e V144 cups decomposiçoes estão iildicadas nestas mesmas figuras Curso de análise estrutural Fig VI43 Obscnação O roteiro para traçado de qualquer uma das linhas de influência em viga Gerber pode ser ilustrado por exemplo para o caso da LIVE a Verificamos inicialmente em que trechos da viga Gerber a atuago da caa unitána não dará influência para a seção em questão ficando definido assim um trecho nulo ou mais de um da linha de influência desejada no caso será o trecho HI b A seguir analisamos o trecho em queestá situada a seçio tratandose no caso de um apoio de uma viga biapoiada com balanços DEFG cujalinha de influência podemos então traçar neste trecho por tratarse de problema já resolvido por n6s em tópicos anteriores Estudo dm cargas móveis em estruturas irostbticas 327 c Finalmente levandose em conta os trechos que constituem carrega mento indireto para o trecho que contim a seção em estudo fazemos a complementaçáo da linha de influência ligando os seus valores sob os pontos de transmissHo de cargas por l i a s retas prolongadas para os balanços caso existam No caso estes pontos são A B C D G H sendo C e D G e H pontos de transmissáo dos carregamentos indiretos BCD e GH e A e B do carregamento indireto AB A complementiçSo no nosso caso está indicada na Fig VI43 Ex VI11 328 Cursa de análise estrutural do das cargas mbveis em estruturas isastáticas 329 Observação As linhas de influencia foram traçadas neste exemplo m pontilhado supondo o carregamento direto sendo apbs corrigidas em traço cheio levando em conta o carregamento indireto indicado x245 Sistemas triartiniiados A partir do estudo feito no item 41 do Cap 111 do qual o caso da Fig VI45 é caso particular pois existe apenas uma carga concentrada vertical unitária sabemos que Pig VI45 va v VB i H 1 f ços a 17 M H y cos u Q cosqHsen9a Q sen q Hços 9 a Podemos então escrever iniediatamente que I IH f cos a LIM L IMs LIM y cos a L1X L lQ3 cos LIQ sen p aLISI L I N s sen p LlQs coc 9 a IIH Partindo destas últimas expressões obtivemos os traçados gráficos que se encontram na Fig VI45 OSservações a A linha de influência de momento fletor na seçáo S foi obtida a partir da soma das duas linhas de influgncia indicadas na Fig VI46 que são suas parcelas coiistituintes conforme indica a expressão anteriormciite deduzida Fig VI46 b A respeito da LIMLy demonstrase com simplicidade a partir de consi derações geométncas que para os arcos tendo a concavidade voltada para bavo caso usual da pratica x 1 yj é sempre negativo para seções entre A e G 9 Caso desejemos traçar linha de influência de momento fletor numa iça0 situada entre G e 8 basta inverter a figura ou seja x passará a ser a lstãncia da seçáo até B I será substituído por I e as otdenadasbase para tratado da linha de influência serão marcadas a partir de B ao invés de A 330 Curso de an6lise estrutural d Como as linhas de influéncia de esforço normal e de esforço cortante podem assumir diferentes configurações geométricas em função de valores particulares de p e a e de posições particulares da seção preferimos não traçálas ficando seu traçado para ser feito em cada caso por soma das duas linhas de influência que são suas parcelas conforme as expressões deduzidas neste item e Chamamos ponto de inversão de cargas ao ponto em que a aplicação da carga unitária não acarreta o aparecimento do esforço estudado na seção em questão A obtenção gráfica do ponto de inversão de cargas na LIMs está indicada na Fig VI45 Estudo dar m p móveis em esimiurar irolt6ticas 331 O traçado das linhas de influência dos momentos nucleares superior e inferior indicado na Fig VI48 será análogo ao de momento fletor atuante na seção pois a diferença entre eles é que o momento fletor atuante na seção é o momento das forças existentes de um de seus lados em relação ao ponto x y enquanto que os momentos nucleares são os momentos das mes mas forças em relação aos pontos xKs yKs e xKi yKi 2451 Tensões nos bordos das seções Sabemos da Resistência dos Matetia que as tensões normais atuantes nos bordos superior s e inferior 13 de uma seção em uma peça trabalhando à flexão composta são dadas por em que MKs e M K são os momentos da resultante das forças externas atuantes de um dos lados da seção em reação aos pontos KS e Ki denonuna dos respectivamente pontos nucleares superior e inferior e cuja posição se encontra indicada na Fig VI47 v e W são os módulos de resistência superior e inferior da seção o e o são as tensões atuantes nos bordos superior e inferior da seção respectivamente positivas se de tração Como WS e W são constantes só dependem da geometria da são o estudo das tensões máxima e mínima atuantes na seção recair5 no estudo de seus momentos nucleares superior e inferior máximos e mínimos 332 Curso de análise estrutural m d o das cargaa m6veis em estniturar irost5ticas 333 ObservaçBes a Os pontos de inversão de cargas para as linhas de influên cia de momentos nucleares podem ser obtidos graficamente de maneira anfloga ao caso do momento fletor b Para os arcos não muito altos caso da prática cometerseá um erro muito pequeno seao invés dos pontos nucleares KS e K verdadeiros traba lharmos com os pontos kb e kl obtidos conforme indica a Fig VI49 em que temos e K1 teoricamente corretos o x I kb e ki aceitáveis na prática Pig VI49 2452 Tensóes nos bordos dos encontros Sabemos que as tensões normais atuantes nos bordos esquerdo e direito de um encontro são dadas por em que as notações e convenções são as mesmas adotadas em 2451 Para determinar estas tensóes temos portanto que estudar as linhas de influència de momentos nucleares nos encontros obtidas a partir do esquema da Fig VI50 conforme se ségue Sendo H e V as reações de apoio em A ver 2451 seja obter o momento nuclear em Kd Temos Para a carga unitária situada entre G e E esta expressão assume a forma Para a carga unitária entre A e G ficamos com A partir destas duas expressões podemos traçar a LIMKd e com raciocf nio inteiramente análogo chegaremos i LIMKe Tais Linhas de influência estão representadas na Fig VI50 Notar que os pontos de inversão de cargas podem ser obtidos grafica mente conforme indica a Fig VI50 Fig VI50 334 C u w de análise enrutural Observação Todas as linhas de influência que estudamos até agora neste item 245 foram traçadas supondo o carregamento direto sobre o triarticula do Nos casos de carregamento indireto sofrerão evidentemente as correções já definidas anteriormente para este caso Ex V112 A Fig VI51 representa um dos dois arcos iguais de concreto de uma ponte Admitese com pequeno erro que a carga permanente seja uniformemente distribuída de 8 tm atuando diretamente sobre o eixo de cada arco que coincide com a linha de press6es da carga permanente O peso de cada bloco incluindo a superesttutura sobre ele é de 300 t na posição indicada na figura A carga móvel para cada arco é dada pelo tremti po a seguir Pedese estudar as tensões máximas a na seção S que é um retãngulo de 30 cm de largura por 120 m de altura para cada arco b na base do encontro Tremtipo para cada arco 1111111 Fig VI5 1 Temos para a seçáo reta S bh2 0 3 X 12 0072 3 WS W 6 6 Estudo das cargas móveis em esiruiuar i d t i c a s 335 Os pontos nucleares kS e ki obtidos a partir do esquema da Fig VI52 são dados por Ponto V x 12 m y 922 m Onto k x 12 m y 878 m Para a base dos encontros temos S 6 X 6 36mZ 6 X 62 w e wd 36 m3 6 a Estudo da seção S ara 1 arco 19 Carga permanente Fii VI52 izmCi2rn24mX Fii VI53 A partir do esquema estático da Fig VI53 temos z Valor obtido a partir da derivada da equação do eixo do arco ou a p a x da lago 112 deduzida para linha de pressas no Cap 111 336 Cursa de análise estrutural Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 337 Ng d192 192 96 2144 t conforme 11113 e então 20 Carga móvel Para obtermos as tensões máximas produzidas pela carga móvel precisamos traçar as linhas de influência de momentos nucleares o que se acha feito nas Figs VI54 e VI55 a partir das quais obtemos Fig VI54 Mks 1 292 X 322 X 1 2 47 mt max 188 X 439 X 1 413 mt ksm 2 Dai obtemos imediatamente 1 28s X 278 X 1 397 mt Mk m a 2 1995 X 461 X 1 45 mt k max 2 Dai vem Resumo de tensões valores cm kgcm2 Observaçüo Não chegam a ocorrer tensões normais de tração na seçáo O Je é desejável por se tratar de um arco de concreto b Base do encontro 1 base para os 2 arcos I Carga permanente A partir do esquema da Fig VI56 temos M 384 X 3 300 x 05 384 X 3 150 mt N 684t Tensão Total N M Dai temos o conduzindo no caso a s W Carga permanente 588 588 36 1 Carga móvel 1 1212 124O I 552 t 574 1 624 652 338 Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas Cuno de anuise estrutural 20 Carga móvel Sendo as linhas de influência de momentos nucleares na base do encontro as indicadas nas Figs VI57 e Vi58 obtemos 3 6 X Z t 4 X 4 8 8 m t M K mau MKdLiU 14 X 2 28 mt Daí vem 88 24 tm2 28 08 tm2 mau 36 M K mau Daí vem 32 8 09 tm2 mau 36 Resumo das tensões valores em kglcm2 Observaçõ nforme vemos não chegam a ocorrer como aliás não deveriam terlbues ae tração na base do encontro b Notar que nas linhas de influência traçadas nas Figs VI54 VI55 VI57 e VI58 foi feita a começão devida ao carregamento indireto No Caso apenas por coincidência elas foram idênticas às traçadas inicialmente supon do 0 carregamento direto Ex V113 Traçar as M a s de influência indicadas para O pórtico triarticulado da Fig VI59 Tensão ae ud Total Carga permanente 148 232 I 190 723 Carga móvel 1 l72 258 t 008 009 C 024 026 340 Curso de análise estrutural Emido dw cargm mbveis 8m astnhiras isonáticns 341 Observação O pórtico triarticulado é tratado como se fosse um arco triarticulado AGE comum da maneira seguinte Traçamos as linhas de influência como se se tratasse de um arco AQB aproveitandoas no trecho CD e prolongandoas para os balanços conforme indica a Fig VI59 Um caso interessante ocorre para as linhas de infiuência de momentos fletores nas seções SI e S vizinhas ao nó C senão vejamos Para a seção SI infuiitamente próxima ao nó C pertencendo a barra CD a l i a de influência de momento fletor no trecho CD é evidentemente igual i linha de inffuência de momento fletor em C no triarticulado ACGDB para o trecho EC ela será a indicada na figura devido i igualdade estática em termos de momento fletor em Si dos dois esquemas dados nas figuras VI601 e VI602 para estes dois esquemas este momento fletor será dado ias forças sendo portanto iguais seus valores das mesn Analogamente para a seção Sz infinitamente próxima ao nó C pertencen do a barra AC a linha de influência de momento fletor no trecho CD 6 igual à linha de influência de momento fletor em C no triarticulado ACGDB para o trecho EC ela será conforme indica o esquema da Fig VI61 igual diferença entre as linhas de influência de momentos fletores em SI e 8 3 isto 6 LIsz LIMs LIMS neste trecho chegandose ao traçado indica do na Fig VI59 notar que o trecho EC será o prolongamento do trecho CG s caro 342 Curso de análise estrutural Iniciaremos nosso estudo pelas treliças de altura variável particularizan doo após para o caso mais frequente que é o das treliças de altura constan te Conforme se verá no desenvolvimento do estudo devmos fazer distinção entre os casos de carregamento superior e inferior a Carregamento inferior Fig V142 Seja a treliça da Fig Vi62 carregada inferiormente sendo os nós os pontos de transmissão de carga para a qual desejamos estudar as linhas de influência de esforços normais em O1 Dm e Um representando os três tipos genéricos de barras da treliça Passando uma seção de Ritter cortando estas três banas obtemos a partir do esquema da Fig VI63 Fig V143 3 Em todas os exemplos deste tópico suporemos o carregamento indueto sobre a estrutura definido por vigotas biapoiadas sobre os pontos de transmissão de cargas Por XM 0 O h cos al t M 0 sendo M o momento fletor na viga biapoiada de substituição em m Daf vem 1 Por XM 0 Umhl cos a t M 0 sendo MI I o momento fletor na viga biapoiada de substituiçáo em m 1 Dai obtemos I 1 LLum hl cos r LIM Passemos ao estudo da diagonal D Supondo P 1 h direita de m temos tomando momentos nulos em relação a O a VAa Dmdm LID j LlVa P 1 entre m e B m I Supondo P 1 A esquerda de m 2 temos trabalhando com a parte da treliça A direita da seção de Ritter e tomando momentos nulos em relaçáo aO VB a t I Dmd a t l LID LIVe P 1 entre A e m 2 dm Para a carga P 1 entre m 2 e m em se tratando de carregamento in direto e conhecendose os pontos extremos da linha de iníiuência neste trecho basta ligálos por um segmento de reta completandose então a LIDm As diversas linhas de influência estudadas estão desenhadas na Fig VI66 Observação As linhas de influência de esforços normais nas barras verti C V e V fogem ao critkrio usado para as três barras genéricas anteriomen te estudadas mas são facilmente obtidas a partir da consideração doequilibrio dos nós A e N conforme indicam as Figs VI44 e VI65 Para carga i direita de m 2 temos V sendo o esforço de compressão Para carga entre A e m 2 tratase de carregamento indiieto sendo os dois valores extremos conhecidos chegaddese ao traçado dado na Fig VI66 344 Curso de análise estrutural Emdo dar cursas móveis em estruturas irostáticas 345 b Carregamento superior Temoa imediatamente V 0 A partir das expressões anteriores temos usando as notaçóes empregadas na Fig VI62 Com raciocínio inteiramente anáiogo ao usado no caso do carregamento inferior obtemos as linhas de influência da Fig VI67 346 Curso de análise estrutural 2461 Caso particular treliças de altura constante As linhas de influência dos esforços normaii atuantes em treliças de altura constante são imediatamente obtidas em função da viga de substituiçãoa partir das conclusões a que chegamos no Cap IV conclusões estas assinaladas em grifo Os exemplos seguintes em que as explicações sobre o traçado de cada linha de influência se encontram entre parêntesis a seu lado escla recerão Ex M14 Obter as linhas de influencia indicadas para a treliça da Fig vI68 carregada superiormente Estudo das brgas móveis em estruturas imstáticas 347 Ex VI15 Traçar as mesmas linhas de influência para a treliça do exemplo anterior agora suposta carregada inferiormente Conforme jfi vimos no item 331 do Cap IV deste volume as iinhas de influência de esforços normais nas barras superiores inferiores e diagonais de treliças de altura constante formadas por painéis retangulares náo sofrem alterações se o carregamento superior passa a ser inferior Por esta razão não as desenharemos novamente fazendoo apenas para as barras verticais que se modificarão conforme indica a Fig VI69 L i i v Aqao do ponta da 10 nanrmisssu de carga sob I I a barra VQ liar aqui I I Iib0 do O inizl 1 1 zero I L zera porquilibrio dom O a Linha de influência com laciocinio inteiramente análogo ao empregado Para a Obtenção da L1 v para a treliça da Fig VI62 348 Cursa de analise estnitural Ex W16 Obter as linhas de influència indicadas para a treliça da Fig VI70 carregada superiormente Ex W17 Traçar as linhas de influência indicadas para a treliça da Fig VI71 Estudo das cargas móveis em estruturas irostáticar 349 L I I 1 ll I L L Fig VI71 Ex V118 Supondo que a carga permanente atuante na treliça do exem plo VI16 seja de 4 tlm e que o tremtipo que a percorre seja b obter entre que valores extremos variam os esforços normais em V S I I I I I I I I I I I I I I I I I J t l 350 Curso de análise estrutural Estudo dar cargas mbveis em estruturas isostáticas 351 Carregando a linha de influência de V4 com cada um dos três esquemas de carregamento indicados na Fig VI72 obtemos 0 4 X 8 04X 10 04X 1 0 64t C4 2 2 2 Os esforços normais em V4 variam portanto entre os valores extremos 96 t e 256 t Ex VL19 Traçar as linhas de influência indicadas para a viga Hassler simétrica carregada inferiormente da Fig VI73 I I I 1 1 1 LL II L h I I I Llri oni L I zmvm1f 1 kí deviiarioaona e I l I l l I I I LIif L I i li LI 1 1 n6 Al I I 1 1 I Fig VI73 As explicações sobre o traqado das diversas linhas de influência se encon tram entre parêntesis ao lado de cada uma delas Merece mençáo à parte o caso da bana V cuja linha de in I fluência obtida a partir do equilibrio q 4 do nó m conforme indica a Fig VI 74 é dada por 1 L L V L I Q R m sendoR a carga transmitida pelo ponto de transmissão de carga sobre m Esta Pig VI74 expressão define o traçado da linha de influência feito na Fig VI73 31 Os efeitos da carga permanente podem ser desprezados em presen ça da carga móvel definida pelo tremtipo pua a viga da Fi VI75 Pedemse i momento Uetor máximo positivo b momento fletor m k i i o negativo h i 7 r Ir c módulos dos esforços cortantes 0s 32 A viga da Fig VI76 é percorrida elo carrinho indicado na figura que pode se deslocar nos dois sentidos Sendo desprezível a carga permanente ahante esboçar as envoltórias de momentos fletores cotandoas para as ções nos quartos de vão 362 Curto da aná1ie e u t u r a l 33 Para a viga Gerber da Fig Vi77 traçar as linhas de influência dos seguintes efeitos estáticos MS Q D q Q c q VD Ms Qs 34 Traçar as tinhas de influência de VG Q QF Qcd Mc e MK para a viga Gerber da Fig VI78 35 Traçar as linhas de influência de VD QE QcW ME e QH para a viga Gerber da Fig Vi79 36 Traçar para a viga Gerber da Fig Vi80 carregada indiretamente as linhas de influência de MF VE QEq ME VC Esiudo das carga móveis em estruturas isostáticas 353 37 Para a viga Gerber da Fig Vi81 obter entre que valores extremos irá variar a reação de apoio vertical em E São dados a carga permanente g 2 tm A B C D E F A 4 m 4 m n 8 m Fig VI81 38 Traçar para o quadro composto da Fig VI82 as linhas de influên a de Ms VA QF VJ M e s q A B C D E F G H I Fig VI82 39 Traçar as linhas de rnfluência de MBdi MGdir Q e q M s i Q D e N b a r r a G para o quadro da Fig VI83 310 Para 0 quadro da i VI84 as linhas de influência de SI Qs M S MsZi V c HD Qs M Q 354 Curso de análise estrutural Fig VI84 311 Para o pórtico triarticulado da Fig VI85 que é percorrido pelo tremtipo h m j 2 um pedemse os valores dos seguintes efeitos máximos e mínimos provocados por esse tremtipo a momento fletor esforço cortante e esforço normal em S b tensão no bordo e do encontro da esquerda c momento fletor em SI I i4 Pig VI85 312 Para o arco semicircular da Fig VI86 desenhar as linhas de influência dos esforços simples atuantes na seção S indicada Fig VI86 I Estudo dai cargas móveis em estruturas irodticas 355 I 313 Traçar para a treliça Warren da Fig VI87 carregada inferior mente as linhas de influência de esforços normais nas barras indicadas Fig VI87 314 Idem para a treliça Pratt da Fig VI88 carregada superiormente 315 Idem nas barras indicadas na treliça da Fig VI89 carregada inferiormente 316 Idem nas barras da trelia da Fig VI90 carregada inferiormente Cuno de análise estrutural aigar móveis em enruturas ironaticas 357 mdo dar c a r LU desenhar as linhas de influencia das reaçóes de apoio e dos esf ples atuantes na seção S da grelha isostática da Fig VI94 Idem nas barras indicadas da treliça da fig Vi91 carregada inferionnen te I Fig VI91 318 Idem nas barras indicadas na treliça da fig VI92 carregada inferiormente em todas os nós Fig VI94 Desenhar as linhas de influência dos esforços simples no engaste da grelha da fig Vi93 358 Cuno de analise eutural Emdo das cargas m6veis em esirumnu irostáticas 359 tudo das cargas móveis em estruturas isosiáticas 361 Máximos 1 Máximo Máximo 133mt 067t 033t Mínimos 24mt 12t12t itm2 tração mínimo i6 tmz compressão 9 4mt mínimo 12mt 3 v 362 Curso de a d i r a ermiainl Estudo dar cargas móveis em estruiura isost4ticas 363 I 1 1 1 1 7 I LID 315 I 1 I L I LI r 1 j 1 I I I I I i LI LI I O 5 w 1 LIVI 364 Cursa de análire artmniral m d o das cargas móveis em estruturas isostáticas 365 366 Curso de análise estrutural 320 LIV A 05 LIV B 025 05 075 1 LIV C 1 1 05 15 075 3 s 15 LIMs 05 LITs 025 05 05 05 LIQs Este livro foi impxesso pela EDIPE Artes Grúíias Rua Domingos Paiva 60 São Paulo para a Editora Globo SA EDIÇÃO 2573A Para pedidos telegráficos deste livro basta indicar o número 2573A antepondo a esse número a quantidade desejada Par exemplo para pedir 5 exemplares é suficiente telegrafar assim Dicionário Porto Alelge 52573A Desejandose enco mendar 10 ou mais exemplares não é necessário transmitir a letra A O CURSO DE ANÁLISE ESTRUTURAL do Prof Eng José Carlos Süskind dividese em três volumes assim constituídos 1º Volume Estruturas Isostáticas Conceitos Fundamentais Estudo das Vigas Isostáticas Estudo dos Quadros Isostáticos Planos Estudo das Treliças Isostáticas Estudo das Estruturas Isostáticas no Espaço Estudo das Cargas Móveis em Estruturas Isostáticas 2º Volume Deformações em Estruturas Método das Forças Cálculo de Deformações em Estruturas Isostáticas Hiperestática O Método das Forças Estruturas Sobre Apoios Elásticos 3º Volume Método das Deformações Processo de Cross Método das Deformações Processo de Cross Introdução ao Estudo dos Cabos