Produto Escalar Vetorial e Misto - Calculo de Volume e Aplicações

ATIVIDADE AVALIATIVA 3 VÍDEO Esta atividade consiste em gravar um vídeo que aborde de forma criativa prática e profunda o temaproblema da matéria indicado pelo professor O aluno deve aparecer na gravação explicando os temas Elaborar um vídeo de 2 a 3 minutos explicando os produtos entre vetores produto escalar produto vetorial e produto misto Explique também como utilizar o produto misto para cálculo de volume No vídeo deve conter uma apresentação de slides e o discente deve aparecer na gravação Anexar como resposta um arquivo em pdf contendo os slides apresentados com o link do vídeo para acesso e correção Atenção Não é possível anexar diretamente o vídeo a plataforma não suporta extensão de vídeos PRODUTO ESCALAR DEFINIÇÃO O produto escalar é a multiplicação entre dois vetores que tem como resultado uma grandeza escalar Ele associa a dois vetores um número real Tomando os vetores ū e Ẇ O produto escalar entre os dois vetores pode ser interpretado como o produto da projeção de ū em Ẇ e o módulo de Ẇ Logo o produto escalar entre ū e Ẇ é definido da seguinte maneira ū Ẇ ū Ẇ cosθ Onde θ é o ângulo entre os dois vetores Podemos também separar as componentes e reescrever a equação acima da seguinte forma ū Ẇ ucosθwuwcosθ Na figura temos que ū x2y2 e Ẇ x1y1 O produto escalar entre os dois vetores nesse caso pode ser escrito como ū Ẇ x1x2y1y2 PRODUTO VETORIAL DEFINIÇÃO O produto vetorial entre dois vetores é um terceiro vetor Seja e o produto vetorial de é PRODUTO MISTO DEFINIÇÃO O produto misto envolve um produto vetorial seguido de um produto escalar nessa ordem A sua definição é dado três vetores Ā 𝐁 e 𝑪 quaisquer o produto misto é um número definido por 𝑪 Ā 𝐁 Note que temos de executar primeiro o produto vetorial Ā 𝐁 o qual resultará em um vetor para depois calcularmos o produto escalar com 𝑪 resultando em um número Ā 𝐁 𝑪 Ā î ĵ k Āx Āy Āz Bx By Bz Bx By Bz Cx Cy Cz Cx Cy Cz PRODUTO MISTO VOLUME DEFINIÇÃO Geometricamente o módulo do resultado do produto misto é equivalente ao volume de um paralelepípedo cujas arestas são formadas pelos três vetores envolvidos neste produto misto conforme figura abaixo PRODUTO MISTO VOLUME DEFINIÇÃO Na figura a área do paralelepípedo formada pelos vetores 𝑣 e Ẇ é determinada pela norma do produto vetorial Temos também na figura que o ângulo ɵ é formado pelos vetores 𝑢𝑒 𝑣 e este forma um ângulo de 90 com a base do paralelepípedo Desta forma a altura h é igual ao produto entre o comprimento do vetor ū e o módulo do cosseno do ângulo ɵ Desta forma o volume V do paralelepípedo é igual à área da base vezes a sua altura assim Desta maneira o volume V será