Sistema Massa-Mola-Amortecedor Superamortecido: Solução via Transformada de Laplace

Considerando um sistema massamolaamortecedor com frequência natural de 6 rads que é deslocado 007 metros da sua posição inicial e solto Sendo 2𝛾𝜔 24 𝑟𝑎𝑑 𝑠 obtenha utilizando uma tabela de transformada de Laplace a solução xt para o caso superamortecido Desenho de um sistema massa mola amortecedor sem forças externas agindo Deslocando da posição de equilíbrio surgem forças da mola e amortecedora Equação de movimento m x F m xb xk x m xb xk x0 Dividindo por M x b m x k m x0 Os parâmetros do sistema massa mola amortecedor são γ b 2mwn fator de amortecimento wn k m frequencianatural Substituindo os parâmetros na equação x b m x k m x0 x2γ wn xwn 2 x0 Usando os valores numéricos x24 x6 2x0 x24 x36 x0 As condições iniciais do problema são x 0007m posiçãoinicialdamassa x 00m svelocidade inicial Usando a transformada de Laplace na equação x24 x36 x0 L x 24 L x 36 L x0 Consultando uma tabela de transformada de Laplace A transformada a ser usada é a que envolve derivadas L x 24 L x 36 L x0 s 2 Xs x 0 x024 s Xx036 L X0 Substituindo as condições iniciais s 2 Xs007024 s X007 36 X0 s 2 Xs00724s X16836 X0 s 2 X24s X36 Xs0 071680 s 2 X24s X36 Xs0 07168 X s 224 s36s007168 X s007168 s 224s36 Fatorando o denominador s 224s360 s24 24 2436 2 s24 432 2 s24 207846 2 s124207846 2 223923 s124207846 2 16077 Logo X s007168 s223923s16077 Usando frações parciais X A s223923 B s16077 X A s16077 B s223923 s223923 s16077 A s16077 B s223923 s223923s16077 s007168 s223923 s16077 A s16077B s223923s007168 Usando s 223923 A 22392316077B 2239232239232239230 07168 A 207846B 0223923 007168 A 20784615675168 A 01125 207846 A0005413 Usando s 16077 A 1607716077 B 1607722392316077007168 A 0B20784616077 007168 B20784601125168 B 15675 207846 B007542 Logo X 0005413 s223923 007542 s16077 X0005413 1 s223923 007542 1 s16077 Usando a transformada inversa de Laplace L 1 X 0005413 L 1 1 s223923 007542L 1 1 s16077 Consultando uma tabela de transformada de Laplace Portanto L 1 X 0005413 L 1 1 s223923 007542L 1 1 s16077 xt0005413 e 223923t 007542e 16077 t x t 0005413e 223923t 007542e 16077t metros Desenho de um sistema massa mola amortecedor sem forças externas agindo Deslocando da posição de equilíbrio surgem forças da mola e amortecedora Equação de movimento 𝑚 𝑥 𝐹 𝑚 𝑥 𝑏 𝑥 𝑘 𝑥 𝑚 𝑥 𝑏 𝑥 𝑘 𝑥 0 Dividindo por M 𝑥 𝑏 𝑚 𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 0 Os parâmetros do sistema massa mola amortecedor são 𝛾 𝑏 2 𝑚 𝑤𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑤𝑛 𝑘 𝑚 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 Substituindo os parâmetros na equação 𝑥 𝑏 𝑚 𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 0 𝑥 2 𝛾 𝑤𝑛 𝑥 𝑤𝑛2 𝑥 0 Usando os valores numéricos 𝑥 24 𝑥 62 𝑥 0 𝑥 24 𝑥 36 𝑥 0 As condições iniciais do problema são 𝑥0 007 𝑚 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑥0 0 𝑚𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Usando a transformada de Laplace na equação 𝑥 24 𝑥 36 𝑥 0 ℒ𝑥 24 ℒ𝑥 36 ℒ𝑥 0 Consultando uma tabela de transformada de Laplace A transformada a ser usada é a que envolve derivadas ℒ𝑥 24 ℒ𝑥 36 ℒ𝑥 0 𝑠2 𝑋 𝑠 𝑥0 𝑥0 24 𝑠 𝑋 𝑥0 36 ℒ𝑋 0 Substituindo as condições iniciais 𝑠2 𝑋 𝑠 007 0 24 𝑠 𝑋 007 36 𝑋 0 𝑠2 𝑋 𝑠 007 24 𝑠 𝑋 168 36 𝑋 0 𝑠2 𝑋 24 𝑠 𝑋 36 𝑋 𝑠 007 168 0 𝑠2 𝑋 24 𝑠 𝑋 36 𝑋 𝑠 007 168 𝑋 𝑠2 24 𝑠 36 𝑠 007 168 𝑋 𝑠 007 168 𝑠2 24 𝑠 36 Fatorando o denominador 𝑠2 24 𝑠 36 0 𝑠 24 242 436 2 𝑠 24 432 2 𝑠 24 207846 2 𝑠1 24 207846 2 223923 𝑠1 24 207846 2 16077 Logo 𝑋 𝑠 007 168 𝑠 223923 𝑠 16077 Usando frações parciais 𝑋 𝐴 𝑠 223923 𝐵 𝑠 16077 𝑋 𝐴 𝑠 16077 𝐵 𝑠 223923 𝑠 223923 𝑠 16077 𝐴 𝑠 16077 𝐵 𝑠 223923 𝑠 223923 𝑠 16077 𝑠 007 168 𝑠 223923 𝑠 16077 𝐴 𝑠 16077 𝐵 𝑠 223923 𝑠 007 168 Usando s 223923 𝐴 223923 16077 𝐵 223923 223923 223923 007 168 𝐴 207846 𝐵 0 223923 007 168 𝐴 207846 15675 168 𝐴 01125 207846 𝐴 0005413 Usando s 16077 𝐴 16077 16077 𝐵 16077 223923 16077 007 168 𝐴 0 𝐵 207846 16077 007 168 𝐵 207846 01125 168 𝐵 15675 207846 𝐵 007542 Logo 𝑋 0005413 𝑠 223923 007542 𝑠 16077 𝑋 0005413 1 𝑠 223923 007542 1 𝑠 16077 Usando a transformada inversa de Laplace ℒ1𝑋 0005413 ℒ1 1 𝑠 223923 007542 ℒ1 1 𝑠 16077 Consultando uma tabela de transformada de Laplace Portanto ℒ1𝑋 0005413 ℒ1 1 𝑠 223923 007542 ℒ1 1 𝑠 16077 𝑥𝑡 0005413 𝑒223923𝑡 007542 𝑒16077𝑡 𝒙𝒕 𝟎 𝟎𝟎𝟓𝟒𝟏𝟑 𝒆𝟐𝟐𝟑𝟗𝟐𝟑𝒕 𝟎 𝟎𝟕𝟓𝟒𝟐 𝒆𝟏𝟔𝟎𝟕𝟕𝒕 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔