Teoria das Estruturas - Caderno de Estudos UNIP

Autor Prof Marcel Pereira dos Reis Colaboradores Prof Ricardo Scalão Tinoco Prof José Carlos Morilla Teoria das Estruturas Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Professor conteudista Marcel Pereira dos Reis Graduado em Engenharia Civil pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Unesp Ilha Solteira 1998 Especialista em Engenharia de Segurança pela Universidade Paulista UNIP 2016 Ministra aulas em cursos de Engenharia na UNIP desde 2016 tais como Estruturas Hiperestáticas Teoria das Estruturas Estruturas de Concreto Armado e Pontes e Grandes Estruturas Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma eou quaisquer meios eletrônico incluindo fotocópia e gravação ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP R375t Reis Marcel Pereira dos Teoria das Estruturas Marcel Pereira dos Reis São Paulo Editora Sol 2019 148 p il Nota este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP Série Didática ano XXV n 206519 ISSN 15179230 1 Teoremas energéticos 2 Princípio do trabalho virtual 3 Métodos I Título CDU 62401 W50063 19 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Prof Dr João Carlos Di Genio Reitor Prof Fábio Romeu de Carvalho ViceReitor de Planejamento Administração e Finanças Profa Melânia Dalla Torre ViceReitora de Unidades Universitárias Prof Dr Yugo Okida ViceReitor de PósGraduação e Pesquisa Profa Dra Marília AnconaLopez ViceReitora de Graduação Unip Interativa EaD Profa Elisabete Brihy Prof Marcelo Souza Prof Dr Luiz Felipe Scabar Prof Ivan Daliberto Frugoli Material Didático EaD Comissão editorial Dra Angélica L Carlini UNIP Dra Divane Alves da Silva UNIP Dr Ivan Dias da Motta CESUMAR Dra Kátia Mosorov Alonso UFMT Dra Valéria de Carvalho UNIP Apoio Profa Cláudia Regina Baptista EaD Profa Betisa Malaman Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico Prof Alexandre Ponzetto Revisão Fabrícia Carpinelli Rose Castilho Date February 8th 2017 February 9th 2017 Venue The Research Board 529 Fifth Avenue 15th Floor New York NY 10017 USA In Partnership With digitalsummitcom Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Sumário Teoria das Estruturas APRESENTAÇÃO 7 INTRODUÇÃO 7 Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 9 11 Princípio da superposição de efeitos 9 12 Fundamentos dos métodos energéticos 10 121 Trabalho externo ou trabalho das forças externas Wext 10 122 Trabalho interno ou trabalho das forças internas Wint 12 2 TEOREMAS ENERGÉTICOS 18 21 Teorema de Betti 18 22 Teorema de Maxwell 19 23 Teoremas de Castigliano 21 24 Teorema de Menabrea 28 3 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL PTV 35 31 Método da carga unitária MCU 38 311 Abordagem algébrica do MCU 38 312 Utilização do MCU com o auxílio de tabelas de integrais 52 4 MCU APLICADO AO CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE GRAU 1 DE HIPERESTATICIDADE 56 Unidade II 5 MÉTODO DOS ESFORÇOS 71 6 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 98 7 MÉTODO DOS TRÊS MOMENTOS 117 8 MÉTODO DE CROSS 126 Program Agenda Wednesday February 8th 2017 800am 900am Registration Breakfast 900am 910am Welcome Opening Remarks Neil Thorns CEO Advertising Week New York Ilana Rabinowitz CEO The Research Board 910am 940am Keynote Address Neil Thorns CEO Advertising Week New York 940am 1000am Morning Coffee Break 1000am 1045am Panel Session Creating a Future DTC Ecosystem Moderated by Paul Woolmington Head of Customer Strategy The Research Board Panelists Matt Williamson Senior Director Data Audience Insights Warner Bros Kelly Ulman Group Vice President Content Media Discover Financial Services Mark Thompson Vice President Ecosystem Strategy Merkle Jenny Luker EVP Managing Partner KBSTalent 1045am 1130am Panel Session Using Measurement to Build Prove Value Moderated by Dana Anderson Senior Partner The Boston Consulting Group Panelists Jeff Hastings CEO CoFounder Netflix Jana Reiss President Video Listener Insights Nielsen Kristen McCormick Vice President Data Strategy Analytics Viacom Malachi Duffy Group Director Business Intelligence Analytics Innovation Merck 1130am 1215pm Case Study How Disney Builds Brand Drives Sales Through Digital Mediums Elizabeth Hernandez Executive Director Digital Marketing ECommerce Disney Consumer Products Interactive Media 1215pm 115pm Lunch 115pm 200pm Presentation Leveraging Decision Science to Deliver CustomerCentric Experiences Scott Menter Managing Partner Analytics Decision Science Accenture Interactive 200pm 245pm Panel Session The Role of Data in the New Marketing Landscape Moderated by Andre Alikhan Director Data Strategy Analytics The Research Board Panelists Michael Bayle Global Vice President Analytics Insights Hasbro Michelle Rich Senior Vice President Chief Data Officer Target David Robinson Chief Marketing Officer FICO Stephanie McMahon Senior Director Digital Strategy Dell 245pm 300pm Afternoon Coffee Break 300pm 345pm Panel Session Marketing Technology Integration Moderated by Rishi Dave Chief Marketing Officer Dun Bradstreet Panelists Scott Personette Vice President Global Marketing Technology IBM Watson Kristie Wells Chief Marketing Officer Citrix Krista Smith Vice President Digital Experience Management Adobe Roland Fintel Vice President Digital Strategy CVS Health 345pm 430pm Presentation Innovation in Digital Advertising The Role of AI and Automation in Media Planning and Buying Lisa Utzschneider CEO Tremor Video DSP 430pm 500pm Closing Remarks Networking Reception 7 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 APRESENTAÇÃO O objetivo central da disciplina de Teoria das Estruturas é capacitar o aluno a resolver estruturas hiperestáticas tais como vigas contínuas pórticos e treliças que não podem ser solucionadas mediante a utilização das ferramentas fornecidas pela Estática Assim ao integralizar os créditos do presente curso o aluno deverá estar apto a determinar com precisão e interpretar os diagramas de momentos fletores esforços cortantes normais e momentos torçores das mais complexas configurações estruturais O ferramental teórico que capacitará o estudante para tal consiste no seguinte conteúdo Teorema de Betti Teorema de Maxwell Teorema de Menabrea Teoremas de Castigliano Princípio do trabalho virtual Método das forças Método dos deslocamentos Método dos três momentos Método de Cross INTRODUÇÃO Olá caro aluno É um prazer conhecêlo e uma honra fazer parte de sua formação acadêmica Suponho que você acaba de abrir este livrotexto e esteja ansioso por saber a respeito de seu conteúdo e como ele o ajudará a chegar mais perto do seu objetivo a honrosa graduação em Engenharia Civil Vou ajudálo a compreender Com as ferramentas que aprenderá neste curso você será capaz de resolver as estruturas mais complexas hiperestáticas Obstáculos como vigas contínuas com vários apoios ou treliças internamente hiperestáticas deixarão de representar um empecilho para o seu trabalho de determinação das reações oferecidas pelas estruturas às solicitações que sofrem E você já sabe que determinar essas reações é condição essencial para que você possa dimensionar suas estruturas Afinal serão as reações de apoio que determinarão o número de barras de aço numa coluna de concreto armado serão os momentos fletores que orientarão a escolha do perfil em uma viga metálica serão os esforços normais que estabelecerão parâmetros para o cálculo da área mínima da seção dos elementos das treliças E assim por diante Leia com a máxima atenção o conteúdo deste livrotexto e resolva as aplicações e exercícios apresentados Certifiquese de ter compreendido os conceitos e aprofunde seus conhecimentos buscando outras fontes como videoaulas fóruns 8 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 livros textos etc Atente para as sugestões indicadas nas seções Saiba Mais ao longo do texto Elas o remeterão a complementações valiosas ao seu aprendizado Busque saber mais Sempre mais E você se destacará acadêmica e profissionalmente 9 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 11 Princípio da superposição de efeitos Quando uma estrutura é solicitada ou seja quando sobre ela se aplicam cargas como o peso de uma parede laje ou telhado ela se deforma Como se sabe as deformações podem ser elásticas quando um corpo após a retirada da solicitação retorna ao seu tamanho original ou elastoplásticas quando um corpo mantém deformações residuais após ser descarregado A adoção de fatores de segurança de majoração das solicitações e minoração da resistência dos materiais faz com que a maioria das estruturas trabalhe no regime elástico o que facilita muito o trabalho de modelagem do seu comportamento já que as deformações serão proporcionais à variação de tensão obedecendo à Lei de Hooke Assim bastanos elaborar adequados sistemas lineares de equações para descrever seu comportamento Por outro lado se a estrutura trabalhasse num regime elastoplástico o trabalho de modelagem seria extremamente dificultoso Também precisaremos garantir que nossa estrutura tenha um comportamento linear Para isso além da necessidade de trabalhar em regime elástico é preciso que ela também seja geometricamente linear Então é fundamental que nela ocorram apenas pequenas deformações Admitiremos aqui que esse seja o caso de nossas estruturas ou seja trabalharemos apenas com estruturas elásticas e lineares Isso garantirá a possibilidade de aplicação do Princípio da Superposição de Efeitos Imagine que sobre uma viga biapoiada com um balanço atuem duas cargas concentradas e uma distribuída conforme a figura a seguir Figura 1 Deformações decorrentes de solicitações Quando a carga q atua sobre a viga ela causa um deslocamento medido no ponto C igual a δ1 Essa deformação do eixo longitudinal da viga ocorrida no trecho BD causará uma deflexão do trecho AB em balanço para cima no sentido horário fazendoo girar num ângulo igual a β1 Da mesma forma os efeitos das cargas concentradas P1 e P2 causarão os deslocamentos δ2 e δ3 e os giros em relação a B correspondentes a β2 e β3 respectivamente A superposição dos efeitos δ1 δ2 e δ3 gerará 10 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I uma deformação δtotal e a superposição dos efeitos β1 β2 e β3 causará uma deflexão giro igual a βtotal Ou seja δtotal δ1 δ2 δ3 eq 11A βtotal β1 β2 β3 eq 11B Esse é o princípio da superposição de efeitos e será válido para toda estrutura geometricamente linear e que seja constituída por material que obedeça à Lei de Hooke Note que os parâmetros de reações decorrentes de solicitações às estruturas não se restringem às deformações e giros Na figura anterior por exemplo a reação vertical de apoio em B será a soma das parcelas de reação em B devidas às cargas q P1 e P2 O mesmo raciocínio se aplica ao apoio D Para analisarmos o que ocorre em relação aos momentos fletores observemos a seguinte figura Figura 2 Momento decorrente de solicitações concentradas Aqui o momento total Mtot ocorrido no engastamento apoio A será a soma das parcelas de momentos devidos à ação das cargas P1 e P2 Observação Além dos carregamentos mais comuns como cargas distribuídas e concentradas as ações também podem ser oriundas de causas como a aplicação direta de momentos recalques ou variações térmicas sofridas pela estrutura 12 Fundamentos dos métodos energéticos Os métodos energéticos são processos de cálculo de reações e deformações em estruturas baseados na energia de deformação produzida pela ação de carregamentos Antes de introduzilos é recomendável abordarmos alguns conceitos fundamentais como os trabalhos externo e interno 121 Trabalho externo ou trabalho das forças externas Wext Considere a seguinte figura que mostra uma mola sendo tensionada por uma força P 11 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Figura 3 Deformação de mola Inicialmente em repouso a mola apresenta comprimento δ Após a aplicação da força ela se distende e passa a ter um comprimento δ dδ Note que o carregamento deve ser lento e gradual a fim de garantir que o valor da energia cinética possa ser desprezado A deformação da mola ocorre mediante a realização de trabalho pela força P Esse trabalho gerará energia potencial que será armazenada no interior da mola e será liberada quando a força F deixar de atuar Marcando as variações de P e δ num gráfico obtemos Figura 4 Proporcionalidade P x δ Observe que P e δ mantêm relação de variação linear A expressão que descreve o comportamento de δ em função de P é δ fP k P eq 12 O trabalho externo realizado por P para distender a mola será obtido pela expressão P P 2 i i i ext 0 0 kP W fPd kPd 2 δ δ eq 13 Mas δi k Pi Então o trabalho externo realizado por uma força P valerá 2 2 i i i ext ext i i i kP P 1 W W P 2 P 2 2 δ δ eq 14 12 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Se quisermos saber qual será o trabalho externo realizado por um conjunto de forças basta aplicarmos o princípio da superposição de efeitos Assim sobre um corpo elástico e linear o trabalho externo total realizado por n forças P1 P2 Pn será n ext i i i 1 1 W P 2 δ eq 15 A esse resultado dáse o nome de Teorema de Clapeyron PaulÉmile Clapeyron um engenheiro francês que viveu no século XIX teorizou que quando uma estrutura elástica e linear for solicitada por diversas forças externas a energia total de deformação do sistema será igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo deslocamento de seu ponto de aplicação medido na direção e sentido do esforço considerado SUSSEKIND 1990 p 19 Note que sendo o sistema conservativo igualamse a energia total de deformação e o trabalho externo Observação Consideramos aqui que não se produziu energia cinética no processo que o corpo é perfeitamente elástico e que não houve dissipação de energia por atrito 122 Trabalho interno ou trabalho das forças internas Wint Sabemos que quando uma estrutura é solicitada por forças externas surgem esforços internos em reação àquelas forças Vejamos os principais e suas respectivas deformações a Momentos fletores Observe a figura a seguir Figura 5 Giro elementar decorrente de ação de momento 13 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Nela se representa uma barra viga constituída por material homogêneo engastada em A e livre em B Aplicandose um momento M na viga conforme indicado observase a ocorrência de uma deflexão Deformada essa barra apresenta tração nas fibras de sua porção superior e compressão nas fibras de sua parte inferior Ocorre portanto um alongamento na parte de cima e um encurtamento na parte de baixo A combinação dessas deformações determina um giro correspondente ao ângulo ϕ indicado na figura entre o eixo vertical em preto e o eixo oblíquo em vermelho Nesse caso o deslocamento elementar dϕ será dado por M d ϕ EI dx eq 16 Em que E módulo de elasticidade do material I momento de inércia da seção A energia de deformação será calculada por L 2 M 0 1 M U dx 2 EI eq 17 Em que L comprimento da viga Atenção esse resultado só é rigorosamente correto se considerarmos que as seções verticais planas da barra antes da deformação permanecem planas após a deformação b Esforços cortantes Observemos agora a seguinte figura Figura 6 Deslocamento elementar decorrente de ação de cortante 14 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Tratase da mesma barra viga do tópico anterior Agora fazemos incidir sobre ela uma força vertical V que causará uma deformação Δ Nesse caso o deslocamento elementar dΔ será calculado por kV d Δ GA dx eq 18 Em que G o módulo de elasticidade transversal do material A a área da seção k coeficiente de forma que depende da seção e vale 65 para seções retangulares e 109 para seções circulares A energia de deformação será calculada por L 2 V 0 1 kV U dx 2 GA eq 19 c Esforços normais Consideremos a figura a seguir Figura 7 Deformação elementar decorrente de ação de normal Na mesma viga fazemos agora atuar uma carga normal N conforme indicado O comprimento inicial antes de aplicarmos o carregamento que lembremos deve ser lento é L e após a aplicação de N sofre acréscimo ΔL Aqui a deformação elementar dL será dada por N dL EA dx eq 110 15 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Por seu turno a energia de deformação será obtida pela expressão L 2 N 0 1 N U 2 EAdx eq 111 d Momentos torçores Finalmente evocando novamente nossa vigapadrão Figura 8 Giro elementar decorrente de ação de torçor Observamos que ao aplicarmos sobre ela um momento torçor Mt conforme indicado ocorrerá uma deformação giro no mesmo sentido do momento antihorário nesse caso que deslocará o eixo z em preto em um ângulo θ abertura entre os eixos z e z idêntico à abertura entre os eixos y e y Nessas condições a deformação elementar dθ será dada por Mt d θ GJ dx eq 112 Em que G módulo de elasticidade transversal do material J o momento polar de inércia Por seu turno a energia de deformação será obtida pela expressão L 2 t Mt 0 1 M U dx 2 GJ eq 113 Então caso os quatro principais esforços M V N e Mt atuem sobre uma viga barra a expressão de sua energia total de deformação será 16 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I L L L L 2 2 2 2 t tot 0 0 0 0 M 1 M 1 kV 1 N 1 U dx dx dx dx 2 EI 2 GA 2 EA 2 GJ eq 114 Quando por exemplo atuarem apenas M e V igualaremos a zero as parcelas devidas a N e Mt e a equação ficará L L 2 2 tot 0 0 1 M 1 kV U dx dx 2 EI 2 GA eq 115 Observação Normalmente para vigas e pórticos nos quais não atuarem momentos torçores utilizase apenas a expressão referente ao momento fletor já que N e V são desprezíveis em relação a M e em treliças utilizase apenas a parcela referente à carga normal N pois nesses casos M e V são nulos Já em arcos desconsiderase a componente de cortante v mas não se pode desprezar a parcela devida à normal Saiba mais Para saber mais sobre a energia de deformação elástica consulte o capítulo 13 da obra a seguir no qual se apresenta minuciosa abordagem a respeito do tema POPOV E P Introdução à mecânica dos sólidos São Paulo Blucher 2013 O aluno também encontrará interessante referência sobre o trabalho realizado por forças externas e energia de deformação no primeiro capítulo da obra na sequência de Humberto Soriano e Silvio Lima SORIANO H L LIMA S S Análise de estruturas método das forças e método dos deslocamentos 3 ed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2013 Exemplo de aplicação Obtenha o deslocamento do ponto A quando a viga a seguir é submetida a uma carga concentrada P desprezando os efeitos do esforço cortante 17 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Figura 9 Viga engastada isostática Solução Você se lembra que dissemos que o trabalho interno é igual em módulo ao trabalho externo e que chamamos o trabalho interno de energia de deformação Além disso acabamos de definir as parcelas de energia de deformação para os principais tipos de solicitação Pois bem para resolvermos esse problema basta combinarmos esses conceitos Primeiro porém deveremos obter a expressão dos momentos já que seus valores variam crescem em função de x orientado conforme a figura Assim Mx P x Uma vez que na viga atua apenas a carga P e os efeitos da cortante serão desprezados o trabalho interno que será dado pela expressão da energia de deformação valerá 3 3 l L 2 2 2 2 2 M 0 0 1 M 1 1 P L P L U dx P x dx 2 EI 2EI 2EI 3 6EI Note que nessa expressão todos os valores são conhecidos Já o trabalho externo será obtido pela metade do produto da força pela deformação deslocamento ocorrida na viga já que trabalhamos no regime elástico e a aplicação da força é paulatina e crescente Então ext P W 2 δ Repare que nessa expressão surge a nossa incógnita δ Uma vez que o trabalho externo é igual ao trabalho interno e esse corresponde à energia de deformação basta igualarmos as duas expressões anteriores 3 2 M ext P P L U W 2 6EI δ 18 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Isolando δ obtemos PL3 3EI δ 2 TEOREMAS ENERGÉTICOS 21 Teorema de Betti Formulado no ano de 1872 pelo matemático italiano Enrico Betti esse teorema também conhecido como Teorema de MaxwellBetti ou Teorema da Reciprocidade estabelece que se dois conjuntos de forças Pi i 1 2 m e Qj j 1 2 n atuarem sobre um corpo ou estrutura elástica o trabalho realizado pelo conjunto P em relação aos deslocamentos produzidos pelo conjunto Q é igual ao trabalho realizado pelo conjunto Q em relação aos deslocamentos produzidos pelo conjunto P Para compreendermos esse teorema faremos inicialmente algumas simplificações Substituiremos os dois conjuntos de forças por apenas duas forças Isso não alterará o resultado e facilitará a demonstração Em seguida trocaremos o corpo elástico por uma viga elástica biapoiada Assim imaginemos a seguinte situação Figura 10 Sequência de aplicação de cargas Primeiramente façamos incidir uma força P1 sobre o ponto A da viga Isso causará a formação de uma linha deformada como a indicada no esquema à esquerda primeiro instante O ponto A deslocarseá até A na direção da força P1 A esse deslocamento chamaremos ΔA1 quer dizer deformação no ponto A devido à carga P1 Como a aplicação da carga é gradual o trabalho W1 realizado por P1 valerá metade do produto de P1 por ΔA1 Note que o ponto B também se desloca até B mas aqui não podemos falar em trabalho já que ainda não há força aplicada em B Em seguida no instante seguinte aplicamos uma força P2 no ponto B na direção de B A linha de deformação alterarseá deslocandose ainda mais para baixo como mostra a figura Agora o ponto B irá se deslocar até B A esse deslocamento chamaremos ΔB2 quer dizer deformação na direção de B devido à carga P2 O trabalho W2 realizado por P2 para deslocar o ponto de B até B será a metade do produto de P2 por ΔB2 Agora note que o ponto A também se deslocou de A para A e a esse deslocamento também corresponderá um trabalho W3 dado pelo produto de P1 19 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS por ΔA2 deslocamento de A devido à forma P2 Observe que aqui o trabalho não será dividido por 2 já que a força P1 já estava aplicada não houve aplicação gradual Assim o trabalho total realizado foi situação 1 1 1 2 2 1 2 1 1 W P A P B P A 2 2 Δ Δ Δ eq 21 Agora invertamos a ordem de aplicação das cargas O esquema gráfico é apresentado a seguir Figura 11 Sequência inversa de aplicação de cargas O mesmo raciocínio realizado para a situação 1 aplicase aqui e o resultado da soma dos trabalhos W4 W5 e W6 é situação 2 2 2 1 1 2 1 1 1 W P B P A P B 2 2 Δ Δ Δ eq 22 Então igualandose as equações e cancelandose os termos idênticos em ambas obtemos P1 ΔA2 P1 ΔB1 eq 23 Ou seja o trabalho realizado por P1 em relação aos deslocamentos causados por P2 é igual ao trabalho realizado por P2 sobre os deslocamentos causados pela ação de P1 que é um resultado particular do teorema de Betti Aliás esse resultado particular já nos direciona para o próximo teorema 22 Teorema de Maxwell O físico escocês James Clerk Maxwell que se notabilizou no século XIX por seus trabalhos em eletromagnetismo elaborou um teorema que se trata de um caso particular do teorema de Betti Porém ele o fez antes do italiano que generalizou o conceito do escocês daí o nome MaxwellBetti dado ao teorema estudado anteriormente Segundo Maxwell numa estrutura elástica e linear a deformação em um ponto A devido à aplicação de uma carga em um ponto B será igual à deformação em B quando a mesma carga for aplicada em A Graficamente 20 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Figura 12 Sequência de deformações Aplicandose o teorema de Betti obtemos P1 ΔA2 P1 ΔB1 eq 24 Agora fazendo P1 P2 P obtemos ΔA2 ΔB1 eq 25 Ou seja o deslocamento no ponto A devido à carga P aplicada no ponto B é igual ao deslocamento no ponto B devido à carga P aplicada no ponto A Agora observe a seguinte figura Figura 13 Correlação de deformações Da mesma forma desde que P e M sejam solicitações unitárias será válida a relação θAP ΔBM eq 26 21 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Ou seja o giro em A causado pela aplicação de P será equivalente ao deslocamento em B devido ao momento aplicado em A 23 Teoremas de Castigliano Em 1873 o engenheiro italiano Carlo Alberto Castigliano apresentou uma dissertação sobre sistemas elásticos na qual demonstrava que a derivada parcial da função da energia de deformação decorrente da aplicação de forças em uma estrutura elástica linear em relação a uma dessas forças é igual ao deslocamento elástico ocorrido no ponto de aplicação da referida carga Para compreendermos isso devemos primeiramente lembrarmonos de que o trabalho externo é função de diversas cargas externas ou seja Wext fP1 P2 Pn Além disso o trabalho externo é igual à energia total de deformação ou seja Wext Utot Agora imagine que uma das solicitações externas digamos uma força Pi que já atuam sobre a estrutura uma viga por exemplo sofra um pequeno acréscimo em sua magnitude chamemos dPi Esse aumento da carga solicitante causará um correspondente aumento na deformação da viga e por conseguinte fará aumentar ligeiramente a energia total de deformação da estrutura Assim em termos da energia de deformação teremos i i i i i U U dU U P eq 27 Lembrete Tenha sempre em mente que o trabalho externo é função de diversas cargas externas ou seja Wext fP1 P2 Pn Além disso o trabalho externo é igual à energia total de deformação ou seja Wext Utot Note que a abordagem é feita em termos de derivada parcial porque a expressão da energia total de deformação é função de várias variáveis e comumente a variação ocorrida em uma delas não afeta as demais Agora precisamos demonstrar que a derivada parcial i i U P em relação à força Pi é igual ao deslocamento elástico δ ocorrido no ponto em que Pi foi aplicada Ora se Wext Utot então n 2 ext i i i i i i i i 1 W U 1 2 kP kP kP P P P 2 2 eq 28 22 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Mas sabemos pela equação 12 que δ k Pi Portanto i i i U P δ eq 29 De maneira análoga demonstrase o segundo teorema de Castigliano que diz que a derivada parcial da função da energia de deformação decorrente da aplicação de forças em uma estrutura elástica linear em relação à deformação elástica que ocorre segundo a direção de uma daquelas forças é igual ao valor da referida carga Ou seja i i i U P δ eq 210 Teremos então 2 2 2 ext i i i i i i i i i i i W U 1 1 kP k P 2 2 k 2k k δ δ δ δ δ δ δ δ eq 211 Para momentos teremos portanto 2 L i i 0 i i U M dx P P 2EI δ eq 212 Já para esforços normais a expressão fica 2 L i i 0 i i U N dx P P 2EA δ eq 213 Ocorre que por vezes resulta ser mais fácil aplicar a derivada parcial antes de resolver a integral definida Fazendo isso a equação que envolve os momentos fica L i 0 i 1 M M dx EI P δ eq 214 E por seu turno a expressão relativa aos esforços normais resulta L i 0 i 1 N N dx EA P δ eq 215 23 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Observação Para o cálculo de deformações em treliças utilizase a forma n i i i i i 1 1 N N L EA P δ eq 216 Saiba mais Uma interessante referência a respeito da aplicação do Teorema de Castigliano na resolução de vigas e treliças pode ser encontrada no capítulo 14 da obra na sequência HIBBELER R C Resistência dos materiais 7 ed São Paulo Pearson 2010 No mesmo capítulo o estudante poderá aprofundar seus conhecimentos sobre métodos energéticos Exemplo de aplicação 1 Vamos recalcular a aplicação anterior utilizando o Teorema de Castigliano Então desprezando os efeitos da cortante obtenhamos o deslocamento em A Figura 14 Viga engastada isostática Solução O início da solução é idêntico Primeiro obtemos a função do momento Mx P x De acordo com o primeiro teorema de Castigliano i i i U P δ 24 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Como desprezaremos a componente da cortante 3 3 l L 2 2 2 2 2 i 0 0 1 M 1 1 P L P L U dx P x dx 2 EI 2EI 2EI 3 6EI Então basta derivarmos essa expressão em relação a Pi 2 3 3 3 i P L 2PL PL P 6EI 6EI 3EI δ A resolução fica ainda mais fácil se aplicarmos diretamente a equação 215 L i 0 i 1 M M dx EI P δ 3 L i 0 1 PL Pxxdx EI 3EI δ 2 Obtenha o deslocamento vertical no centro do vão da seguinte viga Figura 15 Viga isostática submetida a carga concentrada Solução As reações RVA e RVB serão iguais e valerão P2 já que a carga P está aplicada exatamente no meio do vão A equação de momentos será obtida analisandose o trecho à esquerda da seção s fazendose o somatório de momentos em torno do ponto β Figura 16 Seção da viga para obtenção de equação de momentos 25 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS P Mx 2x 0 x L2 A derivada parcial de Mx em relação a P será Mx x P 2 Agora vamos calcular a deformação δ aplicando o teorema de Castigliano resolvendo a derivada parcial antes da integração L 0 U 1 Mx Mx dx P EI P δ Como as condições da estrutura são de perfeita simetria podemos integrar somente até a metade de seu vão e multiplicar esse resultado por dois L2 0 U 2 Mx Mx dx P EI P δ Substituindo os dados teremos L2 0 2 P x x dx EI 2 2 δ L2 2 0 2 P x dx EI 4 δ L2 3 0 2 Px EI 12 δ 3 2 PL EI 128 δ PL3 δ 48EI 26 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I 3 Utilize o teorema de Castigliano para obter o deslocamento vertical do ponto B na treliça a seguir Figura 17 Treliça isostática Solução Primeiramente determinemos as reações e apoio Uma vez que o sistema é simétrico e P atua verticalmente a reação horizontal em A vale zero e as reações verticais em A e C valerão P2 Em seguida obtemos os esforços normais nas barras Utilizandonos do método dos nós teremos Nó A Figura 18 Somatório de forças no nó A AB AB 2 P 2 FV 0 F 0 F P 2 2 2 compressão AD AB AD 2 1 FH 0 F F 0 F P 2 2 tração Por simetria teremos AB BC 2 F F 2 P compressão AD CD 1 F F 2P tração 27 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Nó B Figura 19 Somatório de forças no nó A BD BD 2 2 FV 0 2 P F P 0 F 0 2 2 A figura na sequência relaciona os esforços em cada barra indicados em vermelho O sinal negativo indica que o esforço é de compressão Figura 20 Distribuição das cargas na treliça Por tratarse de uma treliça utilizaremos a equação 216 n i i i i i 1 1 N N L EA P δ Para facilitar nosso trabalho arranjaremos os resultados na tabela a seguir Tabela 1 Barra Ni Li NPi NiLi NPi AB 22P a2 22 22aP BC 22P a2 22 22aP CD P2 a 12 aP4 DA P2 a 12 aP4 DB O a O O 212aP 28 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Então substituindo o valor do somatório na expressão anterior obtemos 1 Pa 2 2 EA δ 24 Teorema de Menabrea O teorema de Luigi Menabrea um matemático e engenheiro italiano que viveu no século XIX é considerado um corolário do teorema de Castigliano e mostrase muito útil para a resolução de estruturas hiperestáticas Também chamado de método do trabalho mínimo esse teorema estabelece que a derivada parcial da função de energia de deformação em relação a uma reação de apoio é igual a zero Ou seja U 0 R eq 217 De fato tomemos o exemplo de uma viga contínua hiperestática como a mostrada na figura a seguir Figura 21 Solicitações concentradas em vigas contínuas Se substituirmos os apoios B e C por suas respectivas forças verticais de reação teremos o seguinte esquema Figura 22 Reações às solicitações concentradas Dessa forma as forças X1 e X2 passam a integrar equação da energia de deformação da viga ou seja U UP X eq 218 Ocorre que por trataremse de apoios a deformação deslocamento neles será zero Então aplicandose o teorema de Castigliano teremos ext 1 1 1 W U X 0 X X δ eq 219 ext 2 2 2 W U X 0 X X δ eq 220 29 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Exemplo de aplicação 1 Obtenha o valor do momento no apoio B utilizando o teorema de Menabrea Figura 23 Viga hiperestática submetida a carregamento uniforme Solução Primeiramente devemos transformar o sistema hiperestático em isostático substituindo o engastamento em B por um apoio fixo e aplicando um momento MB como indicado na figura a seguir Figura 24 Sistema isostático equivalente Agora calculemos RVA RVB e obtenhamos a equação de momentos As reações de apoio em A e em B serão iguais e valerão a metade do produto da carga distribuída q pelo comprimento do trecho em que ela atua nesse caso L Para obtermos a equação de momentos faremos uma seção através de um ponto genérico β na viga e indicaremos apenas os esforços atuantes no trecho à esquerda da seção Figura 25 Seção da viga para obtenção de equação de momentos A equação de momentos utilizandose como convenção a regra da mão direita será obtida fazendose o somatório de momentos em torno de β e valerá 2 B qL qx x Mx x M 2 2 L 30 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I A derivada parcial de Mx em relação a MB será então B Mx x x 0 0 M L L Aplicaremos agora o teorema de Menabrea Observe que estamos calculando o momento fletor no apoio B Portanto a deformação que aparecerá na equação corresponderá ao giro ϕ que valerá zero pois o apoio é um engastamento L 2 x ext B B B 0 M W U 1 dx 0 M M M 2 EI ϕ A fim de simplificar os cálculos utilizaremos a forma em que a derivada parcial precede a integração L x x B B 0 M M U dx 0 M EI M ϕ L 2 B 0 1 qL qx M x x x dx 0 EI 2 2 L L ϕ L 2 3 2 B 2 0 1 qLx qx M x dx 0 EI 2L 2L L ϕ L 2 3 2 B 2 0 1 qLx qx M x dx 0 EI 2L 2L L ϕ Antes de integrarmos a expressão agrupemos os termos que tenham x2 L 3 2 B 2 0 1 q M qx x dx 0 EI 2 2L L ϕ Integrando em relação a x e substituindo x por L obtemos 3 4 B 2 1 q M L q L 0 EI 2 3 2L 4 L 31 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS 3 3 B 1 qL M L qL 0 EI 6 3 8 3 3 B 1 4qL 3qL M L 0 EI 24 3 3 B 1 qL M L 0 EI 24 3 3 B qL M L 0 24 3 Finalmente isolando MB obtemos 2 B qL M 8 2 Para a mesma viga do exemplo anterior calcule a reação vertical em A Figura 26 Viga hiperestática submetida a carga distribuída Solução Para transformar o sistema hiperestático em isostático substituiremos o apoio A por uma força equivalente a RVA Figura 27 Sistema isostático equivalente 32 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Agora obtenhamos a equação dos momentos em relação a um ponto β genérico definido por uma seção na viga Analisando a porção à esquerda dessa seção teremos Figura 28 Seção da viga para obtenção de equação de momentos A equação de momentos calculados em torno de β será 2 A qx Mx RV x 2 A derivada parcial de Mx em relação a RVA será então A Mx x 0 x RV Aplicaremos agora o teorema de Menabrea Como estamos interessados na reação de apoio a variável não será mais o giro ϕ como na aplicação anterior mas o deslocamento δ que valerá zero já que se trata de um apoio portanto não há deslocamento L x x A A 0 M M U dx 0 RV EI RV δ L 2 A 0 1 qx RV x xdx 0 EI 2 δ L 3 2 A 0 1 qx RV x dx 0 EI 2 δ 33 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Integrando em relação a x temos L 3 4 A 0 1 RV x qx 0 EI 3 8 3 4 A 1 RV L qL 0 EI 3 8 3 4 A RV L qL 0 3 8 Finalmente isolando RVA obtemos A 3qL RV 8 3 Calcule os momentos nos apoios da viga a seguir utilizando o Teorema de Menabrea Figura 29 Viga biengastada sujeita a carga concentrada Solução O sistema tornarseá isostático se substituirmos o engastamento em A por MA e RVA Figura 30 Sistema isostático equivalente RVA e RVB serão iguais e valerão P2 o somatório das forças verticais vale zero Além disso por simetria MA e MB também terão o mesmo valor Analisemos então os esforços atuantes na porção da viga à esquerda da seção s indicada na figura anterior 34 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Figura 31 Seção para obtenção da equação de momento A equação de momentos calculados em relação a β será A P Mx x M 2 0 x L2 Observação A carga concentrada P determina dois trechos de análise de 0 até L2 e de L2 até L Portanto a equação de momentos definida para o primeiro trecho será válida para x variando de 0 até L2 A derivada parcial de Mx em relação a MA ficará A Mx 0 1 1 M Em seguida aplicaremos o teorema de Menabrea observando que a deformação com que trabalharemos será o giro ϕ já que estamos interessados no momento Lembrete Momentos causam giros cortantes causam deslocamentos cargas axiais causam alongamento ou encurtamento e momentos torçores provocam giros em torno do eixo longitudinal das barras Haverá porém uma diferença aqui já que o sistema é simétrico aproveitaremos os resultados da integração de Mx para toda a viga ou seja integraremos essa função de 0 até L2 e multiplicaremos o resultado por 2 Então por Menabrea teremos L2 A A 0 U Mx Mx 2 dx 0 M EI M ϕ 35 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS L2 A 0 2 Px M 1dx 0 EI 2 L2 2 A 0 2 Px M x 0 EI 4 2 A 2 PL L M 0 EI 16 2 2 A A PL L PL M 0 M 16 2 8 3 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL PTV O princípio do trabalho virtual PTV é atribuído a John Bernoulli Inicialmente relacionavase apenas a corpos rígidos mas acabou estendido aos corpos flexíveis Basicamente esse princípio afirma que se aplicarmos um sistema de deslocamentos virtuais compatíveis com as condições de vinculações externas de um corpo deformável o trabalho virtual interno será igual ao trabalho virtual externo Para compreendermos essa relação precisamos entender os conceitos de força virtual e deslocamento virtual Para isso imagine a seguinte situação Figura 32 Incidência de cargas sobre corpo rígido A um corpo rígido em equilíbrio sujeito inicialmente à ação de duas forças P1 e P2 posição I aplicase um deslocamento virtual ou seja na prática esse deslocamento não existe É imaginário A esse deslocamento virtual chamaremos d seta em negro Após a aplicação desse deslocamento o corpo ocuparia a posição II e os pontos A e B também se moveriam ocupando as posições indicadas Portanto 36 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I o deslocamento virtual d causaria os deslocamentos dos pontos A e B e na direção das forças P1 e P2 os deslocamentos correspondentes seriam respectivamente d1 e d2 Ora uma vez que nesse caso imaginário houve um deslocamento d1 sob a linha de ação de P1 real então essa força realizou um trabalho virtual W1 P1d1 Da mesma forma a força P2 real realizou um trabalho virtual W2 P2d2 Por tratarse de um corpo rígido os pontos internos ao corpo não podem se movimentar Portanto só teremos o trabalho virtual externo que será nesse caso Wv ext P1 d1 P2 d2 eq 31 E generalizando a expressão para n forças teremos Wv ext Pi di eq 32 Por outro lado se repetirmos o procedimento para um corpo elástico teríamos Figura 33 Incidência de cargas sobre corpo elástico Na situação I temos duas forças aplicadas previamente sob as quais já estão estabelecidos os deslocamentos Δ1 e Δ2 Em seguida impõese à viga uma deformação virtual imputando a ela as deformações virtuais dΔ1 e dΔ2 sob as cargas P1 e P2 respectivamente Essa situação determinará a realização de um trabalho virtual externo igual a Wv ext P1 dΔ1 P2 dΔ2 eq 33 E generalizando a expressão para n forças teremos n v ext i i i 1 W Pd Δ eq 34 Ocorre que por tratarse de um corpo deformável seus pontos internos podem deslocarse uns em relação aos outros ou seja aqui teremos a realização de trabalho interno virtual A expressão geral para esse trabalho igualarseá à expressão da energia total de deformação e valerá L L L L v v v v v v int totint t 0 0 0 0 1 W U Md Vd Nd x 2 M d ϕ Δ θ eq 35 37 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Em que M V N e Mt referemse aos esforços reais dvϕ dvΔ dvx e dvθ são deformações virtuais e L é comprimento da barra E pelo princípio da conservação de energia o trabalho virtual interno será igual ao trabalho virtual externo o que corresponde ao princípio do trabalho virtual Wv int Wv ext eq 36 Note que até agora lidamos apenas com deslocamentos virtuais Mas é possível realizar o mesmo raciocínio utilizando as forças virtuais De fato o trabalho virtual interno será igual ao trabalho virtual externo se aplicarmos forças virtuais sobre corpo elástico e depois incidirmos cargas reais sobre ele causandolhe deformações reais Nesse caso as forças virtuais realizarão trabalho virtual quando sob elas ocorrerem deslocamentos reais conforme indica a figura a seguir Figura 34 Sequência de aplicação de cargas virtuais e real Assim realizandose o mesmo raciocínio empregado anteriormente o trabalho externo total será n v v ext i i i 1 W P Δ eq 37 Já o trabalho interno será igual à energia total deformação e valerá L L L L v v v v v v int totint t 0 0 0 0 W U M d V d N dx M d ϕ Δ θ eq 38 Em que Mv Vv Nv e Mv t são solicitações devidas à carga virtual dϕ dΔ dx e dθ são deformações reais por conta da ação de cargas reais e L é o comprimento da barra O próximo método que estudaremos deriva da particularização do PTV no que diz respeito à aplicação de cargas virtuais 38 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I 31 Método da carga unitária MCU Ao aplicarmos uma carga virtual unitária num sistema estrutural sujeito a cargas reais podemos determinar suas deformações reais em estruturas elásticas isostáticas A esse processo dáse o nome de método da carga unitária que envolve a conjugação de duas situações de carregamento uma real e uma virtual a fim de determinarse o deslocamento em ponto predefinido na estrutura 311 Abordagem algébrica do MCU Imaginemos por exemplo uma viga elástica isostática submetida a diversos carregamentos reais como a da figura a seguir da qual pretendese obter o valor do deslocamento vertical Δ Figura 35 Deslocamento em decorrência de solicitações verticais A primeira providência é criar um sistema auxiliar no qual sobre a mesma viga sem os carregamentos reais aplicase uma carga virtual unitária no ponto em que se deseja descobrir o deslocamento devido às cargas reais Figura 36 Aplicação de carga virtual unitária Sabemos pelo PTV que a soma dos trabalhos virtuais internos é igual à soma dos trabalhos virtuais externos Aqui o trabalho externo devido à carga virtual unitária será 1 v ext V i 1 W P 1 Δ Δ Δ eq 39 Já o trabalho virtual interno será L L L L v v v v v int t 0 0 0 0 W M d V d N dx M d ϕ Δ θ eq 310 39 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Em que Mv Vv Nv e Mv t são solicitações devidas à carga virtual e dϕ dΔ dx e dθ são deformações reais devidas à ação de cargas reais Como o trabalho virtual interno é igual ao externo temos L L L L v v v v t 0 0 0 0 M d V d N dx M d Δ ϕ Δ θ eq 311 Além disso como vimos anteriormente as deformações reais devidas aos esforços reais de momento cortante normal e torçor valem respectivamente M d ϕ EI dx eq 16 kV d Δ GA dx eq 18 N dL EA dx eq 110 Mt d θ GJ dx eq 112 Então substituindo essas equações na equação 311 teremos L L L L v v v v t t 0 0 0 0 M M kV N M dx V dx N dx M dx EI GA EA GJ Δ eq 312 Essa é a expressão geral para a determinação de deformações reais devidas às cargas reais pelo MCU Atente para o fato de que Mv referese à expressão de momento virtual Vv referese ao cortante virtual Nv à normal virtual e Mv t ao momento torçor virtual Saiba mais Além da ação de cargas externas o método da carga unitária permite calcular os efeitos de variação de temperatura de deslocamentos prescritos e de apoios elásticos nas estruturas Para saber mais consulte o capítulo 1 do livro SORIANO H L LIMA S S Análise de estruturas método das forças e método dos deslocamentos 3 ed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2013 Exemplo de aplicação 1 Determine o deslocamento vertical no centro da seguinte viga utilizando o MCU e considerando EI constante 40 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Figura 37 Viga isostática submetida a carga uniformemente distribuída Solução Uma vez que a carga distribuída é a única solicitação atuante e incide sobre toda a viga o sistema é simétrico e portanto as reações de apoio serão RHA0 RVA RVB qL2 A equação dos momentos será obtida analisandose o trecho à esquerda da seção s conforme mostra a figura a seguir Figura 38 Seção da viga para obtenção da equação de momentos Fazendo o somatório de momentos em torno de β obteremos a equação 2 qL qx Mx 2 x 2 0 x L Em seguida montamos o sistema virtual aplicando uma carga virtual unitária no ponto em que se deseja obter o respectivo deslocamento ou seja o ponto central do vão Após isso obtemos a equação de momentos devidos à carga virtual repetindo o processo realizado anteriormente Figura 39 Seção da viga submetida a carga unitária para obtenção da equação de momentos 41 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS O somatório de momentos em torno de β resultará v x M x 2 0 x L2 A equação de Mv momentos devidos à ação da carga virtual obtida anteriormente é válida apenas para o trecho que vai do apoio A x 0 até o centro da viga x L2 Precisaríamos portanto obter a expressão dos momentos que ocorrem à direita do ponto central do vão Isso no entanto não é necessário em casos como o presente em que o sistema é simétrico bastando que se resolva a integral definida da expressão geral do MCU com os limites de integração de 0 até L2 e multipliquese o resultado por 2 O deslocamento vertical no ponto central do vão será calculado utilizando a expressão geral do MCU L L L L v v v v t t 0 0 0 0 M M kV N M dx V dx N dx M dx EI GA EA GJ Δ Porém aqui não ocorrem momento torçor nem cargas normais axiais Além disso podemos desprezar os efeitos dos esforços cortantes Então a expressão geral tornase L v 0 M M EI dx Δ Substituindo as expressões limites de integração e lembrando que EI constante teremos L2 2 0 2 qLx qx x dx EI 2 2 2 Δ L2 2 3 0 2 qLx qx dx EI 4 4 Δ L2 3 4 0 2 qLx qx EI 12 16 Δ 4 4 2 qL qL EI 96 16 Δ 5qL4 Δ 384EI 42 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I 2 Utilize o MCU para obter o giro ocorrido sobre o apoio A quando a seguinte viga é submetida a uma carga P aplicada no ponto médio do seu vão Considere EI constante Figura 40 Viga isostática submetida a carga concentrada Solução Atentemos primeiramente para o fato de que agora desejamos encontrar o valor do giro e não o deslocamento como nas aplicações anteriores que ocorre no apoio A quando a viga se deforma para baixo sob a ação de P Para isso precisamos aplicar um momento virtual unitário naquele apoio Mas antes determinemos as reações de apoio e equações de momentos para a carga real Pelo fato de a carga ser vertical e centrada as reações de apoio serão RHA 0 RVA RV B P2 Figura 41 Seções de análise da viga Obtenhamos agora as equações dos momentos reais Figura 42 Esquema para obtenção das equações de momentos Para o trecho 1 a equação será 1 P M x 2x 0 x L2 43 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS E o trecho 2 terá a seguinte expressão de momentos 2 P L P L M x x Px x Px P 2 2 2 2 2 Px PL M x 2 2 L2 x L Em seguida aplicaremos o momento virtual unitário sobre o apoio A e obteremos as reações de apoio e a expressão dos momentos virtuais Figura 43 Aplicação do momento virtual unitário Observe que quando aplicamos um momento unitário na extremidade A surge uma tendência de giro no sentido horário na viga Assim a reação que surge em B é para cima e a reação em A será para baixo Para obtermos seus valores aplicaremos as três equações da Estática Uma vez que não atuam cargas horizontais ou oblíquas RHB será zero Quanto ao somatório de forças verticais teremos FV 0 RVA RVB 0 RVA RVB I Agora façamos um somatório de momentos em torno do ponto A A B B 1 M 0 1 RV L 0 RV L II Substituindo II em I A 1 RV L Em seguida obtemos a expressão dos momentos virtuais que valerão para toda a extensão da viga já que no caso virtual o momento unitário é a única solicitação que atua sobre ela Figura 44 Seção para obtenção da equação de momentos 44 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I V 1 1 M x x 1 L 0 x L Finalmente calculemos o giro θ L2 L 0 L2 1 x Px x Px PL 1 dx 1 dx EI L 2 L 2 2 θ L2 L 2 2 0 L2 1 Px Px Px PLx Px PL dx dx EI 2L 2 2L 2L 2 2 θ L2 L 3 2 3 2 0 L2 1 Px Px Px Px PLx EI 6L 4 6L 2 2 θ 2 2 2 2 2 1 PL PL PL PL PL EI 24 16 6 8 4 θ PL2 2 3 8 6 12 EI 48 θ PL2 θ 16EI radianos 3 Obtenha o deslocamento horizontal do ponto B indicado na treliça a seguir Adote E 2107tfm2 e A 000225 m2 Figura 45 Treliça isostática 45 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Solução Por tratarse de uma treliça as solicitações efetivas são as cargas normais em suas barras Portanto a equação para obtenção dos deslocamentos utilizando o MCU será L V 0 1 NN dx Δ EA Porém como N e NV são constante ao longo cada uma das barras a expressão anterior fica n V i i i i 1 1 N N L EA Δ Portanto devemos obter os esforços normais em cada uma das barras da treliça nas duas situações a real e a virtual na qual aplicaremos uma carga unitária horizontal no ponto B porque desejamos determinar o deslocamento horizontal desse ponto Observação A carga unitária virtual será aplicada sempre no ponto em que se deseja descobrir o deslocamento Se queremos determinar o deslocamento vertical aplicamos a carga unitária verticalmente Se pretendemos obter o deslocamento horizontal aplicamos a carga virtual horizontalmente Comecemos pelo carregamento real Figura 46 Aplicação da carga real 46 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I As reações de apoio serão FH 0 40 RHA 0 RHA 20 tf FV 0 RVA RVD MA 0 203 RVD 4 0 RVD 15 tf RVA 15 tf Com esses valores obtemos as forças nas barras Figura 47 Somatório de forças no nó A FH 0 20 FAD 0 FAD 20 tf FV 0 FAB 15 0 FAB 15 tf Figura 48 Somatório de forças no nó B 06 BD BD FV 0 F cos 15 0 F 25tf β 08 25 BC BD BC FH 0 20 F F sen 0 F 0 β Observe que as forças FAB e FAD são de tração e FBD é de compressão e portanto terá sinal negativo no somatório que faremos adiante 47 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Agora façamos o mesmo processo para a solicitação virtual unitária Figura 49 Aplicação da carga unitária As reações de apoio serão FH 0 1 RHA 0 RHA 1 FV 0 RVA RVD MA 0 13 RVD 4 0 RVD 075 tf RVA 075 tf E as forças nas barras serão Figura 50 Somatório de forças no nó A FH 0 1 FAD 0 FAD 1 FV 0 FAB 075 0 FAB 075 48 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Figura 51 Somatório de forças no nó B 06 BD BD FV 0 075 F cos 0 F 125 β 125 08 BC BD BC FH 0 F 1 F sen 0 F 0 β Assim como no caso do carregamento real aqui FAB e FAD são de tração e FBD é de compressão Agora podemos calcular o deslocamento horizontal em B Para isso resumiremos os dados já calculados na figura a seguir Figura 52 Resumo das cargas reais e virtuais Tabela 2 Barra N Nv L N Nv i L AB 15 075 3 3375 BC O O 4 O CD O O 3 O BD 25 125 5 15625 AD 20 1 4 80 270 49 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Finalmente o valor de Δ será 7 270 0006m 210 000225 Δ 4 Calcule o deslocamento vertical no ponto C do pórtico a seguir Adote E2108KNm2 e I675104m4 Figura 53 Pórtico isostático Solução Trabalhemos primeiramente com o caso real Figura 54 Esquema de análise para o caso real As reações de apoio serão FH 0 40 RHA 0 RHA 40 kN FV 0 RVA RVD 50 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I MA 0 402 RVD 8 0 RVD 10 kN RVA 10 kN Com esses valores obtemos as equações de momentos reais Figura 55 Trechos de análise para obtenção das equações de momentos Para o trecho 1 a equação será M1x 40x 5x2 0 x 4 O trecho 2 terá a seguinte expressão de momentos M2x 10x 40 2 40 4 M2x 10x 80 0 x 8 Finalmente o trecho 3 conforme se infere da figura anterior terá momento igual a zero Agora obtenhamos as reações de apoio na estrutura submetida a uma carga virtual unitária aplicada no ponto em que se deseja calcular o deslocamento Figura 56 Esquema de análise para o caso virtual 51 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS FH 0 RHA 1 FV 0 RHA RVD MA 0 14 RVD 8 0 RVD 12 RVA 12 Com as reações de apoio podemos determinar as equações de momentos virtuais Figura 57 Trechos de análise para obtenção das equações de momentos No trecho 1 a equação será MV 1x x 0 x 4 No trecho 2 a expressão de momentos será V 2 x M x 4 2 0 x 8 E no trecho 3 o momento será constante igual a zero Agora podemos calcular o deslocamento vertical no ponto C 4 8 2 0 0 1 40x 5x x dx 10x 80 4x 2 dx EI Δ 4 8 2 3 2 0 0 1 40x 5x dx 5x 80x 320 dx EI Δ 4 8 3 4 3 2 0 0 1 40x 5x 5x 40x 320x EI 3 4 3 Δ 52 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I 1 85333 320 85333 2560 2560 Δ EI 4 8 138667 001027m 67510 210 Δ Δ 312 Utilização do MCU com o auxílio de tabelas de integrais Anteriormente vimos como determinar de forma analítica deformações em estruturas elásticas utilizando o método da carga unitária Agora faremos o mesmo porém servindonos de tabelas de integrais de produtos de duas funções também chamadas de tabelas de Kurt Beyer O emprego desse método reduz bastante o trabalho de resolução de problemas utilizando o MCU contudo tal artifício só pode ser utilizado quando algumas grandezas físicas dos elementos constituintes da estrutura forem constantes De fato a equação geral do MCU é a seguinte l l l l v v v v t t 0 0 0 0 M M kV N M dx V dx N dx M dx EI GA EA GJ Δ eq 313 Observe porém que se não variarem a área o módulo de elasticidade o módulo transversal o momento de inércia e o momento polar a equação pode ser reescrita da seguinte forma l l l l v v v v t t 0 0 0 0 1 1 1 1 M Mdx V kVdx N Ndx M M dx EI GA EA GJ Δ eq 314 As tabelas de Kurt Beyer informam os valores dessas integrais genéricas o que facilita a aplicação imediata por substituição das variáveis do problema que se deseja resolver Exemplo de aplicação 1 Recalcule o deslocamento vertical no ponto C do pórtico da aplicação anterior utilizando a tabela de Kurt Beyer quadro 1 Anexo Dados E2108KNm2 e I675104m4 constantes Solução Aproveitaremos os resultados já obtidos para as equações de momentos reais e virtuais 53 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Figura 58 Resultados dos momentos reais e virtuais O valor do deslocamento será obtido a partir da seguinte expressão L L V V 1 1 2 2 0 0 1 M xM xdx M xM xdx EI Δ Repare que o gráfico de M1x corresponde à metade de uma parábola e o gráfico de M2x assemelhase a um triângulo assim como os de M1 vx e M2 vx Então a equação anterior pode ser expressa da seguinte forma Figura 59 Expressão de Δ Substituindose as combinações de figuras na equação anterior por suas respectivas expressões veja o quadro 1 Anexo teremos 54 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I 1 5Lky 12 Lky 3 Δ EI Aplicandose os respectivos valores numéricos resulta 8 4 1 54 4 80 12 8 4 80 3 210 67510 Δ Δ 001027 m 2 Utilize o MCU e a tabela de Kurt Beyer para calcular o deslocamento vertical no meio do vão da seguinte viga devido à combinação dos efeitos de momentos e esforços cortantes e compare a magnitude das duas contribuições Dados E 2108 KNm2 G 108 KNm2 A 008 m2 e I 000427 m4 constantes Adote k 65 Figura 60 Viga isostática submetida a carga concentrada Solução Resolveremos esse problema utilizando o MCU e a tabela de Kurt Beyer Iniciamos fazendo o estudo do caso real e do virtual Figura 61 Momentos e cortantes reais e virtuais 55 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS O valor do deslocamento nesse exemplo será a soma das parcelas devidas aos efeitos do momento fletor e do esforço cortante L L v v 0 0 1 1 MM dx kVV dx EI GA Δ Note que por causa da simetria do sistema podemos integrar de 0 a 4 ao invés de 0 a 8 e multiplicar o resultado por dois Assim a expressão anterior combinada com a tabela de Kurt Beyer fica Figura 62 Expressão de Δ Substituindose os dados da tabela teremos 2 2 6 Lky 3 Lky EI GA 5 Δ Então 8 8 2 2 6 4 200 2 3 4 50 05 5 210 000427 10 008 Δ Δ 000128 m Esse é o deslocamento vertical devido às parcelas decorrentes da ação do momento e do cortante Se desmembrarmos as duas componentes teremos ΔM 000125 m e Δv 000003 m Dividindose o deslocamento devido à cortante pelo devido ao momento temos 000003 0024 24 00125 O resultado obtido indica que o deslocamento vertical devido à cortante corresponde a apenas 24 do deslocamento devido ao momento Esse é o motivo pelo qual normalmente desprezamse os efeitos da cortante no cálculo dos deslocamentos 56 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I 4 MCU APLICADO AO CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE GRAU 1 DE HIPERESTATICIDADE O método da carga unitária também pode ser utilizado para resolver estruturas hiperestáticas Observe a seguinte situação em que sobre uma viga contínua com grau 1 de hiperestaticidade atua uma carga distribuída q Figura 63 Viga hiperestática de grau 1 Por não haverem cargas horizontais atuando RHA será zero Teremos então como incógnitas as reações verticais em A B e C Se eliminarmos o apoio B a estrutura tornase isostática e podemos calculála utilizando as equações da Estática Para isso substituímos o apoio B por uma força vertical correspondente à reação de apoio B que ainda não conhecemos O sistema então tornase Figura 64 Substituição do apoio central Nesse caso a carga q tende a causar uma deformação vertical para baixo no ponto B e a força F RVB tende a deformar a viga para cima deslocando o ponto B nesse sentido Ocorre que pelo princípio da superposição de efeitos os deslocamentos em B para cima e para baixo deverão se somar e como na verdade o ponto B é um apoio ele não se move na vertical Portanto a soma dos deslocamentos para cima devido a F e para baixo devido a q resultará zero Então basta calcularmos o deslocamento vertical resultante da ação de q aplicando uma carga unitária para baixo em B o deslocamento vertical decorrente da atuação de F aplicando uma carga unitária para cima em B e igualarmos a zero a soma dos dois deslocamentos Graficamente Figura 65 Deslocamentos devidos a carga real e virtual 57 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Exemplo de aplicação 1 Calcule a reação de apoio em B na viga contínua a seguir e obtenha o diagrama de momentos fletores EIconstante Figura 66 Viga hiperestática submetida a carga uniformemente distribuída Solução Comecemos calculando Δ1 devido à carga distribuída retirando temporariamente o apoio B Para o carregamento real teremos Figura 67 Esquema para obtenção da equação de momentos reais Para o carregamento virtual temos Figura 68 Esquema para obtenção da equação de momentos virtuais 58 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Determinadas as equações dos momentos podemos calcular Δ1 Observemos que para o carregamento virtual são necessárias duas equações para descrever o comportamento dos momentos Porém já que o sistema é simétrico basta que calculemos as integrais no intervalo de 0 a 3 m e as multipliquemos por dois Assim 3 2 1 0 2 6x x x 2 dx EI Δ 3 3 2 1 0 2 x 3x dx EI 2 Δ 3 4 3 1 1 0 2 x 3375 EI x 8 EI Δ Δ Agora calculemos Δ2 Primeiramente apliquemos a força RVB Figura 69 Esquema para obtenção da equação de momentos devidos à RVB Agora façamos incidir uma carga virtual unitária sobre B para aplicarmos o MCU Figura 70 Esquema para obtenção da equação de momentos devidos à carga unitária 59 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Novamente por tratarse de um sistema simétrico Δ2 será calculado integrandose as equações de momentos de 0 a 3 m e multiplicandose os resultados por 2 3 B 2 0 2 RV x x dx EI 2 2 Δ 3 2 B 2 0 2 RV x dx EI 4 Δ 3 3 B B 2 2 0 2 RV x 45RV EI 12 EI Δ Δ Agora somamos os deslocamentos e igualamos a soma a zero já que na realidade tratase de um apoio e portanto ali não ocorre deslocamento vertical Δ1 Δ2 0 O sinal negativo decorre do fato de os deslocamentos terem sentidos opostos B 3375 45RV 0 EI EI B B 3375 45RV RV 75tf EI EI Determinada a reação de apoio em B podemos obter RVA e RVC Figura 71 Combinação das ações e reações FV 0 RVA RVC 75 12 0 RVA RVC 45 tf I MA 0 RVC 6 75 3 12 3 0 RVC 225 tf II Substituindo I em II encontramos RVA 225 tf 60 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Com esse valor obtemos a equação de momentos válida para o trecho entre o apoio A e B Como o sistema é simétrico o diagrama será espelhado sobre o apoio B Sua configuração final será Figura 72 Diagrama de momentos fletores 2 Utilize o MCU para calcular a componente horizontal da reação de apoio em D no pórtico a seguir e obtenha seu diagrama de momentos fletores EIconstante Figura 73 Pórtico hiperestático de grau 1 Solução A forma de solução é a mesma que a da aplicação anterior A estrutura tem quatro vinculações incógnitas RHA RVA RHD e RVD Porém dispomos de apenas três equações para resolvêla ΣFH 0 ΣFV 0 e ΣM 0 Devemos eliminar uma delas descobrindo seu valor O enunciado já indica qual RHD Para encontrarmos esse valor primeiramente transformaremos o pórtico em isostático substituindo o apoio B fixo por um apoio móvel Em seguida criaremos duas situações Na primeira calcularemos o deslocamento horizontal do ponto D Δ1 devido à carga de 10 tf aplicando uma carga unitária virtual em D atuando no mesmo sentido da carga de 10 tf Em seguida calcularemos o deslocamento horizontal do ponto D Δ2 devido à atuação da força RHD que é o valor que buscamos aplicando uma carga virtual unitária horizontal nesse ponto Como na verdade o apoio D não se move Δ1 Δ20 61 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Figura 74 Combinação dos deslocamentos Comecemos pela situação 1 Para calcularmos Δ1 precisamos obter as expressões de momentos fletores para a ação real e a virtual Para a carga real temos Figura 75 Cálculo das reações de apoio na situação 1 62 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I As equações de momentos serão Figura 76 Esquema para obtenção dos momentos na situação 1 M1x 10 x M2x 40 133333 x M3x 0 0 x 4 m 0 x 3 m 0 x 2 m Obtenhamos agora as expressões de momentos para a situação 1 submetida à carga virtual unitária Por tratarse de processo básico e repetitivo suprimimos o cálculo das reações de apoio que valerão RHA 1 para a esquerda RVA 06667 para baixo RVD 06667 para cima As expressões de momentos serão Figura 77 Esquema para obtenção dos momentos devidos à carga unitária na situação 1 M1 Vx x M2 Vx 4 06667 x M3 Vx x 2 0 x 4m 0 x 3m 0 x 2m 63 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Agora podemos calcular Δ1 4 3 2 V V V 1 1 1 2 2 3 3 0 0 0 1 M xM xdx M xM xdx M xM xdx EI Δ 4 3 2 1 0 0 0 1 10x xdx 40 133333x 4 06667xdx 0x 2dx EI Δ 4 3 2 2 1 0 0 1 10x dx 88888x 80x 160dx EI Δ 3 3 2 4 3 1 0 0 1 10x 88888x 80x 160x EI 3 3 2 Δ 1 1 1 4133333 2133333 80 360 480 EI EI Δ Δ Passemos agora para a situação 2 Primeiramente obtenhamos as expressões de momentos fletores para a carga real RHD e para a carga unitária virtual Iniciemos pelo caso real Figura 78 Esquema para obtenção das reações de apoio na situação 2 As equações de momentos reais serão M1x RHD x M2x 4 RHD 06667 RHD x M3x 2 RHD RHD x 0 x 4m 0 x 3m 0 x 2m 64 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Já para a solicitação virtual os momentos valerão Figura 79 Esquema para obtenção das equações de momentos para o caso 2 M1 Vx x M2 Vx 4 06667 x M3 Vx 2 x 0 x 4m 0 x 3m 0 x 2m Agora vamos calcular Δ2 4 3 2 V V V 2 1 1 2 2 3 3 0 0 0 1 M xM xdx M xM xdx M xM xdx EI Δ 4 3 2 D D D 0 0 1 RH xxdx 06667RH x 4RH 06667x 4dx EI Δ 2 D D 0 1 2RH RH x2 xdx EI 4 3 2 2 2 D D D D 0 0 1 RH x dx 04444RH x 53333RH x 16RH dx EI Δ 2 2 D D D 0 1 RH x 4RH x 4RH dx EI 65 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS 3 3 2 4 3 D D D 2 D 0 0 1 RH x 04444RH x 53333RH x 16RH x EI 3 3 2 Δ 3 2 2 D D D 0 1 RH x 4RH x 4RH x EI 3 2 2 D D D D D D D 1 2133333RH 4RH 24RH 48RH 26667RH 8RH 8RH Δ EI D 2 52RH EI Δ Finalmente calculamos o valor de RHD somando os dois deslocamentos e igualando essa soma a zero pois de fato não ocorre deslocamento no apoio fixo O sinal negativo de Δ2 é porque ele ocorre virtualmente em sentido oposto a Δ1 D 1 2 4133333 52RH 0 0 EI EI Δ Δ D D 4133333 52RH RH 795tf EI EI Com esse valor calculamos as demais reações de apoio e com elas utilizando as três equações da Estática obtemos o diagrama de momentos fletores O resumo dos resultados está expresso a seguir Figura 80 Reações de apoio e diagrama de momentos fletores 66 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Resumo Foram abordados os conceitos fundamentais que respaldaram os métodos e teoremas subsequentes Vimos que o princípio da superposição de efeitos válido para o regime elástico aplicado a estruturas geometricamente lineares possibilitanos somar os efeitos das solicitações calculados separadamente Descobrimos que a associação desse conceito com os conceitos de trabalho externo e interno que se igualam segundo o princípio da conservação de energia servem de base para os teoremas de Betti Maxwell e Castigliano que nos fornecem fundamentação para o cálculo de deformações pontuais em vigas pórticos e treliças isostáticas bem como fundamentam o teorema de Menabrea que combinando os conceitos formulados por Castigliano fornecenos ferramentas para obtermos as reações de apoios e momentos fletores em estruturas hiperestáticas simples A conjugação desses conceitos e teoremas nos possibilitou compreender o princípio dos trabalhos virtuais de Bernoulli o qual relaciona as solicitações fictícias realizadas por forças virtuais com as deformações devidas às cargas reais cuja aplicação particular é chamada método das cargas unitárias que aproveitandose da propriedade de elemento neutro da multiplicação a unidade fornecenos o valor fictício do deslocamento em determinado ponto a partir do qual podemos obter os valores de reações como momentos fletores e esforços cortantes em estruturas hiperestáticas um pouco mais complexas Aprendemos duas abordagens distintas para a aplicação do MCU o tratamento algébrico e a utilização de tabelas de integrais de produtos de funções ou tabelas de KurtBeyer E será a partir da generalização desse último método que nos possibilitará resolvermos estruturas hiperestáticas muito mais complexas conforme veremos posteriormente Exercícios Questão 1 As pontes treliçadas como a da figura a seguir são muito usadas para vencer vãos das mais variadas magnitudes 67 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Figura 81 Ponte treliçada Em uma determinada situação para vencer um vão de 12 m foi usada uma treliça construída com tubos de aço E 206 GPa com 20 mm de diâmetro externo e 10 mm de diâmetro interno que é a apresentada na figura na sequência com as duas cargas de prova Figura 82 Treliça com as cargas de prova Ficou estabelecido que a treliça seria aprovada desde que o deslocamento vertical do nó B abaixo de sua posição inicial não fosse maior que 10 mm Assinale a alternativa correta A A treliça deve ser reprovada pois o deslocamento do nó B é próximo a 8 mm B A treliça deve ser aprovada pois o deslocamento do nó B é próximo a 8 mm C A treliça deve ser aprovada pois o deslocamento do nó B é próximo a 4 mm D A treliça deve ser reprovada pois o deslocamento do nó B é próximo a 4 mm E A treliça deve ser reprovada pois o deslocamento do nó B é próximo a 12 mm Observação use o PTV Resposta correta alternativa B 68 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Análise da questão A determinação das forças normais em cada barra fornece Tabela 3 Barra N kN 1 282 2 200 3 282 4 00 5 00 6 00 7 200 8 200 9 200 A determinação da força virtual é feita retirandose as cargas da estrutura e carregandoa com uma carga unitária no nó B como mostra a figura a seguir Figura 83 Treliça com a carga unitária As forças virtuais nas barras ficam Tabela 4 Barra 1 094 2 067 3 047 4 067 5 082 6 000 7 067 8 033 9 033 69 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 TEORIA DAS ESTRUTURAS Com estes resultados é possível determinar o deslocamento vertical do nó B usando a equação isto é Tabela 5 Barra N N li mm Ei MPa Ai mm2 Nv N l Nv E A mm 1 282000 5640 200000 236 094 32 2 200000 4000 200000 236 067 11 3 282000 5640 200000 236 047 16 4 00 4000 200000 236 067 00 5 00 5640 200000 236 082 00 6 00 4000 200000 236 000 00 7 200000 4000 200000 236 067 11 8 200000 4000 200000 236 033 06 9 200000 4000 200000 236 033 06 dj mm 81 Análise das alternativas A Alternativa incorreta Justificativa se o deslocamento é menor que 10 mm a treliça deve ser aprovada B Alternativa correta Justificativa veja a solução C Alternativa incorreta Justificativa se o deslocamento é menor que 4 mm a treliça deve ser aprovada Ocorre que o deslocamento é próximo a 8 mm D Alternativa incorreta Justificativa se o deslocamento é menor que 10 mm a treliça deve ser aprovada E Alternativa incorreta Justificativa se o deslocamento é maior que 10 mm a treliça deve ser reprovada Ocorre que o deslocamento é próximo a 8 mm 70 Revisão Fabrícia Diagramação Jefferson 071118 Unidade I Questão 2 Observe a barra a seguir que representa a viga de um mezanino com um trecho em balanço Figura 84 Viga com um trecho em balanço Para a determinação do ângulo de deflexão na seção do meio do vão entre os apoios seção C usando o princípio dos trabalhos virtuais e considerando a aplicação da carga unitária os diagramas de momentos fletores a serem considerados são Resolução desta questão na plataforma