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Faculdade de Petrolina FACAPE Disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa Vânia Lasalvia Aluno 3ª AVALIAÇÃO 1 Encontre A¹ sendo A 1 0 1 1 1 0 0 2 1 2 Encontre a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto P 2 1 4 perpendicular aos planos paralelos 2x 3y z 1 e 4x 6y 2z 4 3 Determine a posição relativa das retas fundamentando conceitualmente sua resposta a rX 1 2 3 λ 0 1 3 s X 1 3 6 μ 0 2 6 b r X 1 2 3 λ 0 1 3 s X 0 1 0 λ 1 1 1 4 Encontre a equação paramétrica da reta w perpendicular simultaneamente às retas reversas r X 2 0 1 λ 1 1 1 e s X 0 2 0 μ 1 1 0 ① A 1 0 1 1 1 0 0 2 1 A¹ é tal que AA¹ I 1 0 1 1 1 0 0 2 1 x y z a b c α β γ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x α 1 x a 0 2a α 0 y β 0 y b 1 2b β 0 z γ 0 z c 0 2c γ 1 α 2a x a x α 3a 1 a ¹₃ x ¹₃ α ²₃ y β β 2b y 2b 3b 1 b ¹₃ β 2₃ y 2₃ c γ 3c 1 c ¹₃ γ ¹₃ γ ¹₃ ¹₃ ²₃ ¹₃ ¹₃ ¹₃ ¹₃ ²₃ 2₃ ¹₃ A¹ ¹₃ ²₃ ¹₃ ¹₃ ¹₃ ²₃ ²₃ 2₃ ¹₃ ② Vetor normal ao plano 2x 3y z 1 n₁ 2 3 1 Vetor normal ao plano 4x 6y 2z 4 n₂ 4 6 2 Logo como n₂ 2n₁ e estes são perpendiculares aos planos n₁ pode ser o vetor diretor da reta pedida r 2 1 4 t2 3 1 3 a Vamos super r 0 123 λ 013 136 μ 026 λ 2μ013 013 λ 2μ 1013 0 λ 2μ 1 0 Logo as retas são paralelos se λ 2μ 1 e são coincidentes se λ 2μ 1 b Vamos super r 5 123 λ 013 010 λ 111 113 λ 102 Logo as retas tem intercessão vazia para não existe λ que satisfaça essa equação Como os vetores diretores não são múltiplos um do outra os retas não são paralelas Logo os retas são reversos 4 w p tQ Se Q é otogonal a r e s então deve ser normal ao plano gerado pelos vetores direitos de res Nesse case Q 111 x 110 Q y k i k Q i j 2k 112 Vamos agora escrever o plano de intercessão entre s e w para isso vamos encontrar seu vetor normal n Q x 110 112 x 110 n 2j 2i 2 Logo como o plano contém D ele passa pelo ponto 020 Logo a equação de plano é 2x0 2y2 2z0 0 x0 y2 z0 0 x y z 2 É o plano que contém w e D a interseção desse plano com r é o ponto onde w corta r r 2 l l 1 l tomanda x y z 2 2x x x 1 1 3x 1 x 13 Logo o ponto de intercessão é 2 13 13 13 1 73 13 23 Logo w 73 13 23 t1 1 2
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Faculdade de Petrolina FACAPE Disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa Vânia Lasalvia Aluno 3ª AVALIAÇÃO 1 Encontre A¹ sendo A 1 0 1 1 1 0 0 2 1 2 Encontre a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto P 2 1 4 perpendicular aos planos paralelos 2x 3y z 1 e 4x 6y 2z 4 3 Determine a posição relativa das retas fundamentando conceitualmente sua resposta a rX 1 2 3 λ 0 1 3 s X 1 3 6 μ 0 2 6 b r X 1 2 3 λ 0 1 3 s X 0 1 0 λ 1 1 1 4 Encontre a equação paramétrica da reta w perpendicular simultaneamente às retas reversas r X 2 0 1 λ 1 1 1 e s X 0 2 0 μ 1 1 0 ① A 1 0 1 1 1 0 0 2 1 A¹ é tal que AA¹ I 1 0 1 1 1 0 0 2 1 x y z a b c α β γ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x α 1 x a 0 2a α 0 y β 0 y b 1 2b β 0 z γ 0 z c 0 2c γ 1 α 2a x a x α 3a 1 a ¹₃ x ¹₃ α ²₃ y β β 2b y 2b 3b 1 b ¹₃ β 2₃ y 2₃ c γ 3c 1 c ¹₃ γ ¹₃ γ ¹₃ ¹₃ ²₃ ¹₃ ¹₃ ¹₃ ¹₃ ²₃ 2₃ ¹₃ A¹ ¹₃ ²₃ ¹₃ ¹₃ ¹₃ ²₃ ²₃ 2₃ ¹₃ ② Vetor normal ao plano 2x 3y z 1 n₁ 2 3 1 Vetor normal ao plano 4x 6y 2z 4 n₂ 4 6 2 Logo como n₂ 2n₁ e estes são perpendiculares aos planos n₁ pode ser o vetor diretor da reta pedida r 2 1 4 t2 3 1 3 a Vamos super r 0 123 λ 013 136 μ 026 λ 2μ013 013 λ 2μ 1013 0 λ 2μ 1 0 Logo as retas são paralelos se λ 2μ 1 e são coincidentes se λ 2μ 1 b Vamos super r 5 123 λ 013 010 λ 111 113 λ 102 Logo as retas tem intercessão vazia para não existe λ que satisfaça essa equação Como os vetores diretores não são múltiplos um do outra os retas não são paralelas Logo os retas são reversos 4 w p tQ Se Q é otogonal a r e s então deve ser normal ao plano gerado pelos vetores direitos de res Nesse case Q 111 x 110 Q y k i k Q i j 2k 112 Vamos agora escrever o plano de intercessão entre s e w para isso vamos encontrar seu vetor normal n Q x 110 112 x 110 n 2j 2i 2 Logo como o plano contém D ele passa pelo ponto 020 Logo a equação de plano é 2x0 2y2 2z0 0 x0 y2 z0 0 x y z 2 É o plano que contém w e D a interseção desse plano com r é o ponto onde w corta r r 2 l l 1 l tomanda x y z 2 2x x x 1 1 3x 1 x 13 Logo o ponto de intercessão é 2 13 13 13 1 73 13 23 Logo w 73 13 23 t1 1 2