Transferência de Calor: Um Guia para a Resolução de Problemas Práticos

TRANSFERÊNCIA DE CALOR UM GUIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PRÁTICOS ARMANDO CARLOS F COELHO OLIVEIRA TRANSFERÊNCIA DE CALOR UM GUIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PRÁTICOS 1ª edição Publicado pelo autor Copyright 2022 Qualquer parte desta publicação só pode ser reproduzida ou distribuída por qualquer meio com o consentimento do autor e referência da fonte Este livro é publicado eletronicamente ISBN 9789893326749 Quem gosta da prática sem teoria assemelhase ao marinheiro que navega sem leme nem bússola nunca sabendo aonde irá parar Leonardo Da Vinci Prefácio Este livro resulta da experiência letiva e pedagógica do seu autor como docente da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto ao longo de mais de 40 anos nas áreas da Transferência de Calor fundamental e aplicada Dessa experiência constatou o autor que com muita frequência os estudantes são levados a procurar a equação ou conjunto de equações para o mais rapidamente possível chegarem ao resultado solução sem discutirem as hipóteses subjacentes e muitas vezes sem criticarem os resultados obtidos e o seu nível de aproximação à realidade física O que na gíria académica se designa por aplicação da receita para obter a solução Este livro debruçase na resolução de problemas práticos No entanto mais do que fornecer as ditas receitas tem como objetivo a discussão das hipóteses e métodos a aplicar e a definição de uma metodologia para a obtenção da solução discutindo também a aproximação a resultados reais Não é o intuito deste livro substituir os muitos manuais teóricos de Transferência de Calor existentes muitos em língua inglesa e outros em língua portuguesa que se dedicam a apresentar os principais conceitos e ferramentas teóricas para resolução de problemas Muitos desses manuais contêm também exercícios resolvidos no entanto em vários casos sem as preocupações expressas no parágrafo anterior No presente texto a metodologia geral para a resolução de problemas práticos assenta na compreensão dos fenómenos físicos e definição de hipóteses simplificativas que levam à construção de um modelo de cálculo recorrendo às ferramentas conhecidas dos manuais teóricos Fomentase a tomada de consciência de que por vezes não existe uma solução única sendo que cada solução tem um dado nível de aproximação e depende das hipóteses consideradas Este livro cobre os tópicos tradicionalmente abordados num curso de Transferência de Calor básico com a duração de 1 semestre Assim são abordados tópicos de condução em regime permanente e instacionário com aproximações 1D e 2D convecção forçada e natural nas geometrias e fluidos mais simples condensação em filme ebulição em reservatório e radiação térmica envolvendo 1 2 ou mais superfícies separadas por um meio não participante Em cada tópicocapítulo são inicialmente apresentados os principais conceitos e soluções teóricas conhecidas a que se segue a resolução e discussão de variados problemas práticos Um último capítulo trata em mais detalhe exemplos da combinação dos vários modos de transferência de calor Os 90 problemas apresentados e discutidos constituem casos de estudo representativos de situações típicas da prática da engenharia térmica que permitem a consolidação dos conhecimentos Porto Janeiro de 2022 Armando C F C Oliveira Conteúdos 1 Condução 1 11 Condução em regime permanente 2 111 Condução monodimensional em placa plana sem e com fontes internas de calor 2 112 Condução radial cilíndrica sem e com fontes internas de calor 5 113 Condução radial esférica sem e com fontes internas de calor 7 114 Condução monodimensional com convecção superficial como em alhetas 8 115 Condução bidimensional em placa e cilindro métodos numéricos 11 116 Problemas práticos resolvidos P11 a P113 14 12 Condução em regime instacionário 45 121 Sistema global 45 122 Condução monodimensional em placa cilindro e esfera 46 123 Condução multidimensional instacionária métodos numéricos 49 124 Problemas práticos resolvidos P114 a P122 50 2 Convecção 67 21 Escoamentos camadas limite e coeficiente de convecção 67 22 Escoamentos forçados externos placa plana cilindro e esfera 69 23 Escoamentos forçados internos 73 24 Escoamentos por diferença de temperatura convecção natural 78 25 Aplicação de métodos numéricos 81 26 Problemas práticos resolvidos P21 a P220 82 3 Condensação em filme 133 31 Condensação em filme e em gotas 133 32 Modelo simplificado de Nusselt 134 33 Correlações para placas cilindros e esferas 135 34 Problemas práticos resolvidos P31 a P37 138 4 Ebulição em reservatório 153 41 Ebulição saturada e subarrefecida 153 42 Regimes de ebulição e correlações respetivas 154 43 Problemas práticos resolvidos P41 a P46 157 5 Radiação térmica 173 51 Radiação eletromagnética e térmica 173 52 Corpo negro e suas propriedades 174 53 Propriedades radiativas dos corpos reais 177 54 Radiosidade irradiação e fator de visão 179 55 Trocas de radiação entre superfícies cinzentas e difusas em meio não participante 183 551 Trocas entre N superfícies formando um volume fechado 183 552 Trocas entre 2 superfícies formando um volume fechado 185 56 Problemas práticos resolvidos P51 a P518 187 6 Transferência de calor combinada 215 61 Considerações gerais 215 62 Problemas práticos resolvidos P61 a P617 216 Referências 275 Lista de Símbolos Os símbolos são fundamentais para a escrita de equações sendo também a imagem simplificada de grandezas físicas conhecidas Neste texto foi adotado um conjunto de símbolos semelhante ao encontrado na literatura da especialidade existente No entanto relativamente ao encontrado na maioria da literatura de origem angloamericana há algumas diferenças as principais dizem respeito ao fluxo de calor e à potência calorífica para os quais se usa respectivamente q e ḱ denotando o ponto o calor por unidade de tempo e a grandezas associadas aos fenômenos de radiação como o poder emissivo ou a radiosidade Para estas últimas que são fluxos de calor usase o mesmo símbolo geral desses fluxos q distinguindose umas das outras pelo índice usado Símbolos em letras romanas Símbolo Designação Unidade A Área m² Bi Número de Biot cₚ Calor específico a pressão constante JkgK ou JkgºC D Diâmetro m e Espessura m F Fração de energia emitida ou Fator de visãoforma F₀ Número de Fourier g Aceleração da gravidade ms² ṡ Potência gerada por unidade de volume Wm³ H Altura m h ḧ Coeficiente de convecção ou de transferência de calor Wm²K ou Wm²ºC ou Entalpia Jkg Coeficiente médio numa dada superfície Wm²K ou Wm²ºC i Intensidade de radiação Wm²sr k Condutibilidade térmica WmK ou WmºC L Comprimento m ou Dimensão de referência m l Largura m M Massa kg m Parâmetro usado em condução com convecção e alhetas m¹ ṁ Caudal mássico kgs NuₜNuₘ Número de Nusselt Nu médio P Perímetro m ou Parâmetro adimensional de condensação p Pressão Nm² ou Pa Pr Número de Prandtl Q Calor J ḱ Potência calorífica W q Fluxo calorífico Wm² R Resistência térmica KW ou ºCW r Resistência térmica por unidade de área m²KW ou m²ºCW ou Coordenada espacial radial m Ra Número de Rayleigh Re Número de Reynolds S s Passo ou espaçamento m T ḷ Temperatura Temperatura média K ou ºC t Tempo s U Coeficiente global de transferência de calor Wm²K ou Wm²ºC V Volume m³ v Velocidade ms v Velocidade média ou de caudal ms x Coordenada espacial cartesiana m y Coordenada espacial cartesiana m z Coordenada espacial cartesiana m tot total trans relativo a transmissão de radiação v vapor x na direção x y na direção y longe da superfície parede sólida estes são os índices gerais usados nalguns problemas práticos são usados índices específicos não listados aqui Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos Capítulo 1 Condução Estas equações podem ser utilizadas com boa aproximação quando uma placa com espessura segundo x muito menor que a sua seção perpendicular à espessura está sujeita a diferentes condições nas suas faces externas tal equivale a considerar que a seção da placa seção de passagem do calor é infinita Mas também podem aplicarse se as superfícies nos limites da seção direções y e z estiverem perfeitamente isoladas termicamente não havendo nelas transferência de calor como por exemplo num cilindro isolado na superfícieraio exterior com variação da temperatura ao longo do seu eixo não havendo variação radial nem circunferencial da temperatura Pode também considerarse condução unidimensional em placas ou outras geometrias em que a seção no plano yz tenha dimensões muito pequenas seção embora neste caso seja necessária a consideração do que acontece na superfície exterior da seção nomeadamente se existe convecção Da comparação de 17 e 18 concluise que a resistência é proporcional à espessura e inversamente proporcional à condutibilidade e à área ou seja Rcond e kAs É muitas vezes usada a resistência para uma área unitária igual à espessura a dividir pela condutibilidade τcond ek A noção de resistência térmica facilita o cálculo da transferência de calor quando esta se dá através de um conjunto de materiais diferentes Por exemplo para duas placas 1 e 2 colocadas em série pode calcularse o fluxo global somando as resistências individuais de cada placa Rsérie e1 k1As1 e2 k2As2 112 Condução radial cilíndrica sem e com fontes internas de calor Em muitos casos práticos intervêm a geometria cilíndrica para a qual se devem usar as coordenadas cilíndricas equação 13 Uma simplificação frequente consiste em admitir que a temperatura só varia ao longo do raio pelo que o calor tem a direção radial desprezando assim a variação circunferencial θ e ao longo do eixo z Tratandose de regime permanente e intervindo apenas a coordenada radial a equação 13 reduzse a 1r ddrr dTdr φ k 0 e no caso de não existirem fontes de calor internas a ddrr dTdr 0 com o objetivo de reduzir a potência calorífica transferida para o exterior como em tubagens de água quente ou vapor No entanto como veremos em certas condições podemos obter um efeito indesejado Para tal consideremos então um tubo rodeado por outro com contacto perfeito entre ambos No interior do tubo mais pequeno existe um fluido a temperatura mais elevada que a temperatura exterior ao tubo maior conhecendose os coeficientes de convecção interior e exterior Pode escreverse então a seguinte resistência global Também tem interesse analisar o caso de um cilindro cheio não oco quando percorrido por corrente elétrica caso por exemplo de um cabo elétrico revestido por um isolante Nesta situação é a potência calorífica dissipada que é imposta igual à gerada no interior e não à temperatura interior Nesse caso só fazem sentido as duas últimas parcelas de 118 ao calcular a resistência global o que conduz ao mesmo resultado para o raio crítico uma vez que sendo constantes as primeiras 2 parcelas de 118 o mínimo da resistência global é 0 mesmo Só que neste caso sendo a potência total constante igual à gerada no interior do cilindrocabo esse mínimo corresponde a uma diferença de temperatura mínima entre a superfície T1 com raio r1 e o exterior Text Qualquer outro raio rext conduzirá a temperaturas interiores mais elevadas Salientese que no caso de um cabo elétrico já é típico haver um raio mais pequeno que num tubo pelo que a espessura do isolante poderá ser calculada de modo a minimizar a temperatura do cabo Tal como no cilindro sendo a potência calorífica constante como a seção de condução de calor aumenta com o raio o fluxo vai diminuindo do interior para o exterior Também de forma semelhante ao cilindro é possível calcular um raio crítico de isolamento correspondente à colocação de um isolante no exterior de um cilindro ou casca esférica e sendo conhecido o coeficiente de convecção exterior constante Ele vem dado por A distribuição de temperatura na condução 1D ao longo de x quando há convecção superficial e quando a secção de condução é constante como numa aleta retangular de secção constante pode obterse considerando o balanço térmico de um elemento de volume infinitesimal como representado na Figura 16 dQconv h dAconvT T Em regime permanente a potência que entra no elemento é igual à que sai por condução para o elemento à direita e por convecção à superfície Como os fluxos de condução dependem do gradiente de temperatura o balanço resulta em k ddx As dTdx h dAconvT T 126 Sendo a secção constante e a área de convecção elementar igual ao perímetro da secção P vezes o comprimento do elemento dx vem d²Tdx² hPkAs T T 0 127a ou d²θdx² m²θ 0 com θ T T e m hPkAs Esta equação pode ser resolvida analiticamente dependendo o resultado das condições nas fronteiras x0 e xL É usual considerar uma condição de temperatura em x0 secção que no caso de uma aleta é designada por base da aleta Quanto à extremidade xL secção designada por topo numa aleta diferentes condições se podem considerar aleta com convecção no topo aleta sem convecção no topo ou topo isolado aleta com temperatura imposta no topo e aleta muito longa ou infinita atingindo no topo a temperatura exterior A solução mais simples corresponde à aleta muito longa ou corpo muito longo para a qual θ θb ex Q θbVhPkAs 128 sendo θb a diferença entre a temperatura da base e a exterior e Q a potência dissipada A aleta sem convecção no topo é uma hipótese que também é razoável quando existir convecção uma vez que a área de transferência do topo é normalmente desprezável face à área de convecção área superficial devido a reduzida espessura típica Para este caso a solução corresponde a θ θb coshmLxcoshmL 130 Q θbVhPkAs tanhmL 131 sendo θb a diferença entre a temperatura da base e a exterior e Q a potência dissipada Para a aleta com transferência no topo sendo o coeficiente de transferência o mesmo a temperatura e potência podem obterse com θ θb coshmLxhmk sinhmLxcoshmLhmk sinhmL 132 Q θbVhPkAs sinhmLhmk coshmLcoshmLhmk sinhmL 133 Numa aleta é conveniente definir uma grandeza designada por rendimento da aleta Este rendimento traduz a maior ou menor aproximação à situação definida como ideal que consiste em toda a aleta se encontrar à temperatura da base Ou seja ηaIth QhAconvθb 134 Para a aleta retangular de secção constante sem trocas no topo vem ηaIth θbVhPkAs tanhmLθbhPL tanhmLmL 135 Nas aletas de secção variável as soluções analíticas são mais complexas exigindo o recurso a funções de Bessel 1 2 Nas aletas circulares mesmo com espessura constante à direita de condição seção aumenta ao aumentar o raio Assim o método mais expedito para calcular a potência que atravessa a aleta consiste em utilizar informação do rendimento da aleta Essa informação está disponível na forma gráfica 1 2 e foi obtida a partir das soluções analíticas A Figura 17 apresenta o rendimento para aletas circulares de espessura constante Notese que ela contabiliza também o calor trocado no topo da aleta através da correção feita ao seu comprimento Lc Quando se utilizam aletas é usual colocar várias com uma grande prioridade entre si de modo a conseguir um incremento significativo da área de transferência Ao contabilizar a potência total transferida é necessário entrar em conta com a área superficial das aletas e com a área superficial que não contém aletas não alheatada Admitindo que a base das aletas e a superfície exterior não alheatada do corpo se encontram à mesma temperatura podemos considerar que há 2 resistências em paralelo uma na área não alheatada e outra nas aletas A resistência das aletas pode expressarse com o rendimento como Ralth θbηaIthAconvθb 1ηaIthAalth 136 Quanto à potência total transferida zona com e sem aletas pode escreverse Q Qalth QAsaIth ηalthhAalth hAsaIthθb nslpAtaIthθb 137 admitindo o mesmo coeficiente de convecção nas 2 zonas e introduzindo uma eficiência das 2 zonas nslp área total Esta eficiência superficial é uma média pesada entre ηalth áreas das aletas e 1 eficiência da área não alheatada sendo os pesos proporcionais às respectivas áreas Assim é sempre superior à eficiência das aletas Capítulo 1 Condução encurvados porções de setores circulares A Figura 18 representa os elementos a usar em cada caso situados em torno de um ponto genérico do material P Figura 19 Situações especiais no método dos volumes finitos a elemento fronteira canto b elemento contendo materiais diferentes Capítulo 1 Condução 14 116 Problemas práticos resolvidos P11 a P113 Na resolução de problemas de transferência de calor é fundamental identificar as hipóteses físicas subjacentes ao modelo de cálculo que se vai construir É também importante fazer uma representação esquemática do problema a resolver constituída por um desenho da geometria dos fluxos de calor ou das resistências térmicas envolvidas Esta representação é um auxiliar de memória das condições impostas no problema e permite resumir os dados e grandezas conhecidas e desconhecidas Aplicase esta metodologia nos problemas seguintes P11 A figura acima representa em corte num plano horizontal uma parede exterior de um edifício cujo espaço interior é mantido a 20ºC estando o ar exterior à temperatura constante de 0ºC O coeficiente de convecção interior é de 5 Wm2ºC e o coeficiente de transferência de calor na face exterior da parede é de 20 Wm2ºC A parede é composta por painéis de madeira exterior e interior com k016 WmºC separados por placas de suporte também em madeira mesmo k016 WmºC e preenchidos por material isolante térmico fibra de vidro com k0038 WmºC Sendo a largura da parede de 6 m com 10 placas de suporte igualmente espaçadas e a sua altura na direção perpendicular ao plano da figura de 25 m calcule a potência calorífica que a atravessa Resolução e discussão Tratase de um problema em que as temperaturas se mantêm constantes no tempo regime permanente Admitindo que não há variação de temperatura na vertical pela uniformidade da geometria e dos materiais nessa direção as temperaturas no conjunto parede variam nas direções x e y condução bidimensional permanente No entanto é possível obter soluções aproximadas com base na formulação monodimensional e nomeadamente recorrendo à noção de resistências térmicas Assim consideremos o seguinte esquema de resistências entre o interior e o exterior para um elemento típico da parede em toda a largura existem 10 elementos semelhantes painel de madeira isolante suporte painel de madeira 40 mm 130 mm 10 mm 10 mm x y 300 mm 300 mm 40 mm 130 mm 10 mm 10 mm O esquema de resistências representado admite que a temperatura dos painéis de madeira não varia ao longo da largura da parede é igual no mesmo valor de x para qualquer coordenada y Rpmint1 Rpmext1 εpm kpmAsup 001 01600425 0625 ºCW Rpmint2 Rpmext1 εpm kpmAisol 001 01605625 00446 ºCW Para este esquema alternativo a resistência equivalente do paralelo é igual a 1994 ºCW e a resistência global é de 2160 ºCW Esta conduz a uma potência por elemento de 926 W e uma potência total de 926 W Salientese a pequena diferença nos resultados inferior a 2 Essa diferença tenderá a aumentar em casos em que a diferença de condutibilidades térmicas dos elementos em paralelo se acentue Pode ainda considerarse um esquema de resistências alternativo admitindo que nas faces exteriores dos painéis de madeira lado interior e lado exterior da parede a temperatura também pode variar com y podendo assumir 2 valores Tal corresponde a dividir cada uma das resistências de convecção Rconvint e Rconvext em 2 resistências em paralelo como feito anteriormente para Rpmint e Rpmext divididas em 1 e 2 Com essa abordagem a resistência global do elemento vem igual a 2191 ºCW e a potência total a 913 W Este valor é também menos de 2 inferior ao anterior Vamos agora aplicar um método de resolução que contabilize de forma mais adequada a variação bidimensional da temperatura no conjunto com x e y Para tal foi aplicado um modelo numérico com o método dos elementos finitos começando por simplificar a geometria em causa através da consideração dos vários eixos de simetria identificáveis A geometria simulada está representada na figura seguinte Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 17 passa nesse ponto Verificase que os fluxos se dão praticamente só na direção x no material isolante tendo componentes x e y junto ao suporte sobretudo nas extremidades deste como resulta da distribuição de temperaturas Da soma dos fluxos na fronteira do domínio fronteira superior ou inferior e considerando a existência de 20 elementos semelhantes em toda a largura da parede obtémse uma potência total transferida de 920 W O valor que mais se aproxima deste com a aproximação monodimensional foi o calculado com base no segundo esquema de resistências considerado 926 no entanto também o terceiro esquema apresenta uma diferença semelhante neste caso com um valor inferior igual a 913 Também se reveste de interesse verificar o que acontece quando o material usado nos painéis externos e suportes se altera bem como a sua condutibilidade térmica Usando aço inox em vez de madeira com uma condutibilidade térmica de 15 WmºC que é cerca de 100 vezes superior à considerada para a madeira e cerca de 400 vezes superior à do material isolante obtêmse as isotérmicas e fluxos da figura seguinte Capítulo 1 Condução 18 Notese que nos painéis de aço os fluxos são praticamente na direção y o calor passa quase totalmente pelo aço concretizando o efeito de ponte térmica A potência total transferida na parede com 20 elementos como os da figura será agora de 5245 W 57 vezes maior Usando as resistências térmicas e o segundo esquema visto antes obterseiam 7612 W pelo que o erro desse método se agrava com o aumento da condutibilidade e da diferença de condutibilidades O valor real ou o mais próximo usando a aproximação 2D é bastante menor que o calculado com as resistências 1D uma vez que como se vê na figura anterior o calor que passa no aço tem um percurso bastante mais longo tendo de atravessar a largura dos painéis e o comprimento do separador Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 19 P12 Uma parede é composta por uma camada de 10 cm de espessura de cimento colocada entre 2 placas de aço com 10 mm cada As placas são unidas ao cimento através de rebites cujo diâmetro é de 10 mm existindo 9 rebitesm2 de parede Desprezando o efeitoexistência das cabeças dos rebites calcule o coeficiente global de transferência de calor desta parede Resolução e discussão Tratase de um problema em que a temperatura varia nas 3 direções do espaço x y e z No entanto é possível fazer um cálculo de um valor aproximado admitindo condução do calor apenas na direção x Tal hipótese é razoável apesar da diferença de condutibilidades entre o aço e o cimento 125 vezes maior para o aço No entanto e por referência ao problema P11 em que se analisou o efeito de diferentes condutibilidades de materiaisresistências transferindo calor em paralelo estamos bastante longe da situação vista para o caso açoisolante em que uma diferença de cerca de 400 vezes criava uma ponte térmica que fazia com que o calor não passasse predominantemente ao longo da espessura das placas Neste caso para além da muito menor diferença de condutibilidades os rebites de aço não ocupam toda a altura da parede como acontecia com os suportes em P11 ocupando apenas o espaço que corresponde ao seu diâmetro e densidade de rebites Assim sendo é razoável considerar que os fluxos de calor ocorrem unicamente na direção x Podem usarse resistências monodimensionais como as vistas no esquema 2 do problema 11 excluindo as resistências de convecção A resistência global virá igual a 00841 m2ºCW e o correspondente coeficiente global de transferência de calor será igual a 119 Wm2ºC Notese que ao desprezar a existência dos rebites se obteria um coeficiente global de 118 Wm2ºC muito semelhante ao anterior pois eles têm uma resistência térmica muito inferior à do betão O tratamento térmico da placa A da figura exige que uma das suas superfícies seja mantida a temperatura de 150ºC Para tal a placa é aquecida por contato com uma placa metálica B que é atravessada por uma corrente elétrica que gera uma potência calorífica uniforme por unidade de volume O conjunto tem um comprimento de 2 m e uma largura de 2 m A face superior da placa A que não é percorrida por eletricidade é arrefecida por ar a 30ºC com um coeficiente de convecção igual a 15 Wm²ºC A face inferior da placa B está perfeitamente isolada Desprezando a resistência de contato entre as placas calcule a potência a fornecer à placa B Calcule também a temperatura da face superior da placa A e da face inferior da placa B Sabese que kA100 WmºC e kB15 WmºC A figura representa a potência calorífica que atravessa a placa A constante ao longo de x e a que passa para o óleo por convecção assim como as respectivas resistências térmicas Quanto à placa B não se pode definir uma resistência uma vez que a potência varia ao longo de x devido à geração de calor Mas podemos integrar a equação 15 d2TB dx2 ȳ kB 0 dTB dx ȳ kB x C1 TB ȳ 2kB x² C1x C2 A constante de integração C1 é igual a 0 a partir da condição de fluxo zero ou dTBdx 0 em x0 superfície inferior de B isolada Também podemos calcular o fluxo de calor que sai de B através da diferença de temperatura 15030 e da associação em série das resistências de A e convecção por unidade de área vendo ȧA 15030 ȱA kA hconv 120 005 100 T 15 1787 Wm² que por sua vez é igual ao produto da condutibilidade de B pelo gradiente de temperatura na interface da lei de Fourier em x005 ou seja ȧA ȳBx005 kB dTB dx x005 kB ȳ kB 005 C1 ȳ 005 0 Da igualdade das 2 equações anteriores pode calcularse ȳ 3574 104 Wm³ A potência total a fornecer a B será então multiplicando pelo volume de 7148 W A temperatura em x005 m é conhecida e igual a 150ºC Dessa condição e da equação de TB com C10 vem 150 ȳ 30 0052 C2 que permite calcular C2 1530ºC que é igual à temperatura em x0 TBx0 Quanto a Tsup usando o fluxo ȧA e qualquer das resistências de convecção ou condução vem igual a 1491ºC Notese que se a mesma potência total fosse fornecida à placa B por contato na sua face inferior para a mesma condição na placa A a temperatura máxima de B seria de 156ºC sendo a variação de temperatura em B linear P14 P14 P15 RconvextA 1hconvextTtext 125x100 0127 mºCW O primeiro gráfico representa a distribuição de temperaturas com 10 intervalos de temperatura e respectivos códigos de cores O segundo gráfico sobrepõe ao anterior os vetores de fluxo de calor Notese que os fluxos se dão praticamente na direção radial pelo que a aproximação de condução 1D radial é bastante boa A exceção verificase numa pequena zona muito próxima da interface AB em que há uma componente circunferencial dos fluxos As temperaturas superficiais em A e B calculadas anteriormente modelo 1D estão dentro dos intervalos da representação 2D As potências obtidas com o modelo 2D são de qA 560 Wm e qB 178 Wm sendo o total de 738 W O valor de qA é um pouco inferior 4 no cálculo 2D e o valor de qB um pouco superior 9 O menor valor da potência em A devese a que parte do calor que passaria na hipótese 1D radialmente junto à junção AB é na realidade desviado para B devido à menor temperatura em B ver figura indo então aumentar a potência que passa em B No entanto os valores totais são muito próximos 745 versus 738 W com uma diferença inferior a 1 Notese que apesar da melhor aproximação à realidade do método numérico 2D este não é exato estando também sujeito a erros A figura acima representa uma peça cilíndrica em aço k25 WmºC com as dimensões assinaladas A peça é aquecida por uma manga de resistências elétricas que lhe fornece uma potência superficial de 250 Wm² Os topos da peça transferem calor para o exterior a 25ºC a uma taxa de 20 Wm²K Calcule as temperaturas máxima e mínima na peça em regime permanente A sua integração conduz a T 24supkD x² C1x C2 Numa rede de distribuição de água quente a 80C esta circula num tubo de aço com as dimensões da figura O tubo é revestido por uma manga de isolante térmico com a espessura de 20 mm O coeficiente de transferência de calor para o exterior é de 5 Wm²C Tsupext Ttext Q Rcondis 7993 182 2594 3272 C Um cabo elétrico é constituído por um cilindro em cobre k250 WmK com 50 mm de diâmetro revestido por um isolante elétrico de plástico k015 WmK com espessura de 2 mm Ao passar corrente elétrica gerase a potência uniforme no cobre de 39000 Wm3 O conjunto está rodeado por ar calmo à temperatura de 20ºC com um coeficiente de transferência para o exterior de 5 Wm²K Calcule a temperatura na superfície exterior plástico e na interface cobreplástico e ainda a temperatura máxima no cobre Alterando a espessura do revestimento do cabo conseguiria uma menor temperatura interior T cobre frac dotq r24 kcobre C1 lnr C2 podendo calcularse C1 e C2 a partir das condições nas fronteiras do cilindro de cobre Estas são na interface T cobre T1 e em r0 dT cobre dr 0 porque no eixo existe simetria e fluxo zero dá resultado que C1 0 Quanto a C2 virá T cobre r1 frac dotq r24 kcobre 0 imes lnr C2 11657 Um depósito esférico de aço k15 WmK contém reagentes químicos que liberam calor para o exterior O depósito tem um diâmetro interior de 1 m e um diâmetro exterior de 11 m Com uma temperatura exterior de 25ºC medese uma temperatura de 50ºC na superfície exterior do depósito que se mantém constante no tempo Neste condições estimase um coeficiente de transferência de calor exterior de 40 Wm²K Calcule a potência transferida para o exterior e a temperatura em 2 seções do depósito parede interior e espessura intermediária da parede Calculamse assim C1 2016 e C2 1255 A equação para a temperatura da parede em função do raio vem Tp 2016r 1255 Substituindo r por rint 05 e r por rint rext2 0525 obtémse Tpint 529C e Tpmeio 510C A temperatura varia mais maior gradiente no interior que no exterior da parede pela menor área da seção no interior P110 Considere uma aleta retangular de seção constante com 17 mm de comprimento L 2 mm de espessura e e 10 cm de largura l em liga de alumínio k200 WmK A temperatura na base é de 100C a temperatura exterior de 20C e o coeficiente de transferência exterior é de 50 Wm²K Obtenha a distribuição de temperatura e a potência calorífica transferida na aleta Compare os resultados obtidos ao desprezar ou considerar perdas no topo Para calcular a temperatura em qualquer ponto da seção da aleta com área constante admite nuladesprezável a transferência de calor no topo xL θ θb coshmLxcoshmL 10020 coshmLxcoshmL com m hPkAs 502010200022000100002 1597 m¹ Em particular para o topo vem θx0017 10020 cosh0cosh15970017 771C Tx0017 971C Quanto à potência transferida usando a equação 131 também válida para trocas desprezíveis no topo Q θbV hPkAs tanhmL 805050 0204 200 00002 tanh1597 0017 135 W Usando a solução com perdas no topo equação 132 vamos obter θx0017 80 cosh0senh0cosh15970017501597200senh15970017 768C Tx0017 968C e de 133 Q θbV hPkAs senhmLhmk coshmL coshmLhmk senhmL 805050 0204 200 00002 senh15970017 501597200cosh15970017 cosh15970017501597200senh15970017 143 W Notese que considerando as perdas no topo a temperatura no topo é um pouco inferior menos 03C porque o topo perde mais calor e a potência dissipada é um pouco superior cerca de 5 Vamos ainda comparar com um cálculo mais realista considerando a existência de condução 2D na aleta também ao longo da espessura Aplicando um modelo numérico de elementos finitos com 288 nodos a toda a espessura e comprimento da aleta no caso da imposição de fluxo zero no topo obtiveramse as seguintes isotérmicas e representação de fluxos No caso de existirem trocas no topo obtevese a figura Notese que os vetores fluxo de calor são quase horizontais sobretudo quando maiores o que mostra a aproximação à 1D As exceções verificamse junto ao topo e superfícies mas com pouco peso As temperaturas no topo são quase iguais diferença menor que 01C Quanto às potências são ligeiramente superiores na solução 1D mas há que considerar que as soluções 2D não consideram as trocas nas superfícies laterais correspondentes à largura de 01 m da aleta por exemplo com o modelo 1D a potência sem trocas no topo e superfícies laterais será de 133 W muito próxima dos 131 W da solução 2D Para aproveitar o calor de uma tubagem de vapor vão ser colocadas alhetas circulares com 60 mm de diâmetro e espessura de 1 mm em tubos de 50 mm de diâmetro As alhetas são em liga de alumínio k186 WmK e a superfície exterior dos tubos pode considerarse à temperatura do vapor de 180ºC O ambiente exterior está a 25ºC e o coeficiente de transferência exterior é de 40 Wm²K Relativamente à não utilização de alhetas há um aumento muito significativo da potência calorífica transmitida que é de 2639 Wm aumento para 37 vezes Pode também calcularse o rendimento superficial referido na equação 137 que será um pouco superior ao rendimento das alhetas Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 39 P112 A figura representa um pequeno forno para tratamentos térmicos O seu aquecimento é feito através de resistências elétricas colocadas em contacto com placas laterais em aço k15 WmK e com 3 mm de espessura As 10 resistências estão igualmente espaçadas fornecendo uma potência total de 15 kW As paredes do forno estão bem isoladas Com as resistências ligadas no interior do forno atingese o regime permanente com uma temperatura do ar interior de 600ºC sendo o coeficiente de convecção de 30 Wm2K Calcule a temperatura máxima e a temperatura mínima nas placas Se se pretender limitar a temperatura máxima nas placas a 700ºC com a mesma potência do forno o que se deverá fazer Resolução e discussão Vamos admitir condução monodimensional permanente nas placas laterais tendo em conta a sua reduzida espessura e boa condutibilidade a condução dáse na direção vertical As placas transferem calor simultaneamente por convecção para o ar interior pelo que podemos aplicar soluções vistas em 114 como as das alhetas Atendendo à simetria vertical podemos analisar uma zona situada entre uma resistência e o plano médio entre resistências Esse plano médio a meia distância entre resistências não transfere calor devido à simetria equivale a um plano isolado O que se passa nessa zona repetese diversas vezes ao longo da vertical A figura seguinte resume a situação e condições do problema Então podemos usar as equações 130 e 131 válidas para 0x na base plano da resistência e fluxo zero para xL plano a meia distância entre resistências Cada resistência com uma potência igual a 150 W fornecerá 75 W para cada lado O parâmetro m contabilizará um perímetro de convecção igual à profundidade da placa que só transfere calor na face interior e uma secção igual à espessura vezes a profundidade Assim temos uma variação de 86ºC em 625 mm Para limitar a temperatura máxima na placa e ao mesmo tempo reduzir a variação de temperatura podem usarse mais resistências de menor potência mais próximas umas das outras Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 41 P113 Para eliminar a condensação no vidro traseiro de um automóvel são usados fios elétricos de espessura desprezável ligados à superfície interior do vidro Os fios estão espaçados 4 cm e geram uma potência calorífica de 10 Wm por metro de largura do vidro quando atravessados pela corrente elétrica Devido à reduzida espessura do vidro pode considerarse que a sua temperatura não varia ao longo da espessura e que a potência fornecida pelos fios é também uniforme na sua espessura O vidro pode considerarse como uma placa plana tem uma condutibilidade térmica k084 WmºC e uma difusibilidade térmica α kρcp 039x106 m2s Os coeficientes de transferência de calor na superfície interior e exterior do vidro são de 6 e 20 Wm2ºC respetivamente Sendo a temperatura interior e exterior de 5ºC calcule a temperatura máxima e mínima no vidro no espaço entre fios em regime permanente Resolução e discussão Vamos admitir condução 1D permanente no vidro entre fios tendo em conta a sua reduzida espessura O vidro transfere calor nas 2 superfícies interior e exterior sendo os coeficientes diferentes nos 2 lados Como no problema P112 podemos analisar uma zona situada entre um fio elétrico e o plano médio entre fios que se repete simetricamente ao longo de todo o vidro Podemos adaptar as soluções vistas em 114 para contabilizar os diferentes coeficientes de transferência para fora do vidro A figura seguinte resume a situação e condições do problema Podemos novamente usar as equações 130 e 131 válidas para θb na base plano do fio elétrico e fluxo zero para xL plano a meia distância entre fios elétricos Cada fio com uma potência igual a 10 Wm fornecerá 5 Wm para cada lado Quanto à largura será considerada uma dimensão unitária 1 m O parâmetro m deverá contabilizar toda a transferência de calor para fora do vidro pelo que se deverá somar o que acontece no interior e exterior hP hintPint hextPext 6 x 1 20 x 1 26 Wm1K1 m hPk₄ 26084x00041 8797 m1 Da equação 131 pode obterse a temperatura máxima a partir da potência θx0 q hPk₄ tanhmL 5 26x084x0004x1 tanh8797x0020 180 C Tmax Tx0 230 C Da equação 130 vamos obter a temperatura mínima θxL0020 θb cosh0 coshmL 180 cosh8797x0020 60 C Tmin Tx002 110 C A hipótese considerada de condução 1D é menos realista que no problema P112 Isto porque apesar da reduzida espessura a condutibilidade térmica do vidro é relativamente baixa Com o objetivo de fazer essa avaliação construiuse um modelo numérico 2D elementos finitos O domínio espacial considerado foi exatamente o que corresponde ao espaço entre um fio elétrico e meia distância entre fios Foi usada uma malha com 5697 nodos As condições de fronteira impostas foram potência nula a meia distância entre fios elétricos simetria transferência nas superfícies laterais para o interior e o exterior do vidro fornecendo a temperatura e respectivos coeficientes de transferência e 2 condições na fronteira horizontal junto ao fio elétrico x0 nesta fronteira numa area muito pequena é gerada a potência de 5 Wm quase pontualmente e na restante zona fronteira há condições de simetria Os resultados apresentados em forma de intervalos de temperatura com diferentes cores e vetores fluxo de calor encontramse na figura seguinte Notese que a transferência de calor ao longo da espessura e portanto a diferença para a situação 1D é mais significativa junto à fronteira aquecida pelo fio elétrico e respectivo canto Mais para baixo as isométricas são menos inclinadas No entanto a diferença entre os coeficientes à esquerda interior e à direita exterior faz com que as isométricas nunca sejam horizontais No modelo 2D a temperatura média da fronteira junto ao fio x0 é próxima da calculada no modelo 1D 23C as temperaturas a meia distância xL são muito próximas 108C em 2D versus 110C com 1D Numa outra figura apresentamse resultados para o caso em que a temperatura à esquerda interior é mais alta que à direita exterior 15C e 5C Nesta situação não é aplicável o modelo 1D e as equações apresentadas em 114 porque estas exigem uma temperatura constante fora do corpo O modelo 2D mostra este caso se acentua o comportamento 2D ou seja a condução na direção da espessura do vidro Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 43 Capítulo 1 Condução 44 12 Condução em regime instacionário Os sistemas térmicos reais funcionam em regime instacionário ou dinâmico variando as temperaturas e fluxos de calor ao longo do tempo Mesmo os sistemas concebidos para funcionar em condições quase permanentes enfrentam alterações no tempo quando há modificação de alguma condição operativa ou nas fases de arranque e paragem A instacionariedade torna a resolução de problemas mais complicada em particular quando a temperatura também varia em mais do que uma direção espacial Sob certas condições que veremos de seguida pode desprezarse a variação de temperatura no interior do corpo espacial situação designada por sistema global No caso geral teremos de considerar a variação temporal e espacial da temperatura o que analisaremos em 122 e 123 121 Sistema global Dizse que um corpo transfere calor ao longo do tempo como um sistema global quando a sua temperatura se considera uniforme em toda a sua extensão espacial Tal não deixa de ser um paradoxo porque sendo a temperatura uniforme não há condução do calor o gradiente é nulo Tratase no entanto de uma simplificação cuja validade vamos analisar Considerese o caso mais simples de um corpo com volume V e qualquer forma que se encontra inicialmente à temperatura Ti transferindo calor por convecção na sua superfície em contacto com o fluido à T Um balanço de energia expressa que a variação temporal da energia contida no corpo deverá igualar a potência calorífica trocada com o fluido Ou seja ρVCpdTdt hAconvT T 141 Esta equação é facilmente integrada sujeita à condição Tt0 Ti resultando em T T Ti T exphAconvρVCpt 142 Notese que a equação 142 é válida se o coeficiente h for constante que o corpo receba quer perder calor e mostra que a temperatura do corpo tende para T equilíbrio térmico que matematicamente só atinge ao fim de um tempo infinito exponencial igual a 0 O quociente ρVCphAconv expressa a velocidade de variação da temperatura resposta térmica e é usualmente designado por constante de tempo do corpo um maior valor significa que a temperatura varia mais lentamente Para analisar a variação de temperatura dentro do corpo consideremos que durante um instante a transferência de calor se dá em regime permanente Podemos então associar 2 resistências térmicas uma de convecção à superfície do corpo que troca calor com o fluido e outra de condução no interior do corpo Para esta consideremos uma espessura média igual a Lc v Aconv 143 A razão entre a resistência de condução e a de convecção que permite comparar a variação de temperatura no interior do corpo com a variação exterior será rcond 1 h Lc k hLc k Bi 144 razão adimensional conhecida por número de Biot Para um valor elevado ou seja rcond elevado face a rconv ΔTcond ΔTconv para um valor muito baixo ΔTcond ΔTconv Verificase que se Bi for menor que 01 a variação de temperatura no interior do corpo ΔTcond é desprezável ou seja podemos considerar o corpo como um sistema global Tal é uma boa aproximação quando h é baixo por exemplo para convecção natural em gases quando a espessura é reduzida ou quando a condutibilidade térmica do corpo é elevada como nos metais Outros casos de sistema global podem ocorrer como no caso de um corpo que recebe e perde calor simultaneamente em zonasáreas diferentes Nesses casos o balanço de energia expressa que a variação temporal da energia contida no corpo deverá igualar a potência calorífica recebida menos a perdida Por exemplo se o corpo receber uma potência dotQent do exterior zona 1 e perdertrocar calor por convecção zona 2 terseá ρVCpdTdt dotQent hAconvT T 145 que tem a seguinte solução analítica T T dotQenthAconv Ti T dotQenthAconv exphAconvρVCpt 146 Pode ainda incluirse em 145 e 146 a geração de calor no interior do corpo bastando para isso somar gV à dotQent Outras situações podem ser consideradas como as trocas de calor por convecção natural e radiação com o meio exterior ao corpo O balanço energético do corpo é semelhante ao visto acima mas os coeficientes de transferência dessas trocas são função da temperatura o que complica o cálculo Serão apresentados exemplos destas situações em problemas nos capítulos 2 e 6 122 Condução monodimensional em placa cilindro e esfera Quando não se pode desprezar a variação interna da temperatura no corpo a situação mais simples é aquela em que se pode admitir uma variação espacial unicamente numa direção A variação em 2 ou 3 direções só pode ser tratada no caso geral com métodos numéricos aproximados ou que será referido em 123 Para a variação 1D referemse seguida as geometrias e condições mais simples Referese ainda a possibilidade de utilizar soluções 1D para tratar alguns casos de 2D e até 3D Os casos 1D a considerar são a condução ao longo da espessura de uma placa x e ao longo do raio de um cilindro ou de uma esfera r Regressando à forma respectiva da equação geral da condução equações 12 a 14 teremos nestes casos monodimensionais e instacionários e sem fontes de calor internas ²Tx² 1α Tt 147 1α r Tr 1α Tt 148 1r² r² Tr 1α Tt 149 Pode obterse uma solução analítica nestes 3 casos desde que a condição inicial seja de temperatura uniforme no corpo e desde que haja apenas trocas por convecção na superfície com um coeficiente e temperatura exterior iguais em toda a extensão superficial e constantes no tempo Todos os restantes casos só podem ser resolvidos com métodos numéricos A Figura 111 ilustra as geometrias e condições a considerar Capítulo 1 Condução 48 Tabela 11 Constantes M e 1M e função de Bessel J0 para utilização em soluções 1D instacionárias Usando o princípio da sobreposição de soluções 1D podem obterse soluções para casos 2D e até 3D Uma barra infinita de secção retangular com condução nas 2 direções da secção 2D pode ser descrita como a interseção de 2 placas planas de área infinita ver Figura 112a E um cilindro de comprimento finito pode ser descrito como a interseção de um cilindro de comprimento infinito com uma placa plana infinita ver Figura 112b Para o método ser aplicável exige que o coeficiente e temperatura exteriores sejam iguais em todas as superfícies do corpo a b Figura 112 Sobreposição de geometrias 1D a barra infinita b cilindro finito Adaptado de 2 Para a barra infinita a solução 2D pode obterse com É usual dizerse que o pepino é frio cucumber is cool Avalie a veracidade dessa afirmação comparando o aquecimento de um pepino e de uma banana com as mesmas dimensões quando retirados do frigorífico a 5ºC e colocados num ambiente a 20ºC com um coeficiente de transferência exterior de 5 Wm²K Analisemos agora o que se passa na banana quanto à variação espacial da temperatura supondoa como um cilindro infinito topos isolados com condução radial Para tal vamos calcular a temperatura no centro r0 e na superfície rrext ao fim de 1 hora Nessa altura Fo1305 cumprindo a validade da equação 151 da qual obtemos T020520C1expλ12Fo10698exp0739629145010736000022T0121C tendo C1 e λ1 sido calculados da Tabela 11 por interpolação com Birtextk0294 Quanto à temperatura na superfície da equação 153 temos T rext20 520θJ0λ1rtextrext052390867904547T0132C A temperatura difere cerca de 1C entre o interior e o exterior Recordese que com o método do sistema global a temperatura seria de 130C ao fim de 1 hora o que constituiu uma boa aproximação apesar do número de Biot ser um pouco maior que 01 Uma esfera sólida de aço ρ7800 kgm3 cp560 JkgK k45 WmK com 300 mm de diâmetro é revestida com um material dielétrico isolante elétrico com k004 WmK e 2 mm de espessura Quando o processo de resfriamento termina o conjunto encontrase a uma temperatura de 500C A esfera revestida é depois colocada num banho de arrefecimento de óleo a uma temperatura de 100C com um coeficiente de convecção de 300 Wm²K Calcule o tempo necessário a refrigerar e a esfera atinja 150C Calcule também o tempo necessário se o arrefecimento fosse feito com uma corrente de ar a 20C com um coeficiente de transferência de 100 Wm²K Calcule ainda o tempo que a esfera demoraria a atingir os 150C se não fosse revestida Resolução e discussão Durante o processo de arrefecimento existe variação temporal das temperaturas no aço e no revestimento No entanto o revestimento tem uma capacidade térmica espessura massa e calor específico muito baixa e consequentemente uma constante de tempo muito baixa Desta forma pode considerarse que o revestimento se comporta em regime permanente em cada instante variando continuamente de instante a instante Pode então tratarse a transferência de calor através do revestimento e da convecção exterior com a já conhecida associação de resistências A figura seguinte resume a análise O gráfico seguinte representa a evolução de temperatura na esfera aço e na superfície exterior revestimento ao longo do tempo Para a temperatura do aço usouse a equação de anterior obtendose Tsup a partir da igualdade de Q nas 2 resistências em cada instante regime permanente ou quaseestacionário A superfície exterior do revestimento rapidamente tende para a Text Se o arrefecimento fosse feito com uma corrente de ar a 20C com um coeficiente de transferência de 100 Wm²K o coeficiente seria 3 vezes menor mas sem grande influência devido à resistência do revestimento já vista Já a menor temperatura do fluido 20 em vez de 100C facilitaria o arrefecimento Repetindo os cálculos anteriores para este caso obtémse a evolução de temperatura do gráfico seguinte que está comparada com a do arrefecimento em óleo Com o ar a 20C o número de Biot é de 00185 o coeficiente U é ligeiramente mais baixo e são necessários 17117 s 48 horas para atingir os 150C Quanto à energia perdida pela esfera até atingir os 150C calculase muito facilmente a partir da variação da energia nela contida desde o instante inicial ou seja QρVcPΔT780043π0153560500150216 MJ Poderia obterse o mesmo resultado a partir da soma das potências caloríficas dissipadas ao longo do tempo o que no entanto seria mais complicado Se a esfera não fosse revestida o número de Biot durante o arrefecimento com óleo seria igual a 0333 maior que 01 o que indica uma variação radial não desprezável da sua temperatura Vamos calcular o tempo necessário a que toda a esfera atinja os 150C o seja o tempo necessário a que o seu centro r0 fique a 150C Usando a equação 151 e a Tabela 11 com Biac h rackac 1 150100500100 C₁ expλ²₁ Fo 12732 exp157082 103010⁵t t 2055 s tempo muito inferior ao da esfera quando revestida 34 min em vez de 672 horas Com a equação 154 podemos calcular a temperatura na superfície da esfera não revestida quando o centro está a 150C Trac0100500100 θ0 1λ₁r senλ₁r 0125 1 157081 sen15708 Trac0 1318 C existindo agora uma diferença de cerca de 18C entre o centro e a superfície da esfera O gráfico seguinte mostra a evolução de temperatura do centro da esfera não revestida comparada com o que aconteceria se o arrefecimento fosse feito com ar a 20C Bi 0333 O arrefecimento é muito mais rápido quer com óleo que com ar e não havendo revestimento o arrefecimento até 150C a óleo é mais rápido que a ar ao contrário do que acontece com a esfera revestida A partir dos 70 minutos as 2 curvas cruzamse porque devido à menor temperatura do ar 20C em vez de 100C existe um maior potencial para a transferência de calor Uma esfera de aço ρ7800 kgm³ cp560 JkgK k45 WmK com 12 mm de diâmetro é mergulhada num banho de água à temperatura de 25C Através de medições sabese que ao fim de 30 s da colocação em água a temperatura da esfera é de 282C e ao fim de 60 s a temperatura é de 251C Calcule a temperatura inicial da esfera e o coeficiente de convecção Resolução e discussão Tendo em conta as propriedades e dimensões da esfera vamos admitir que pode ser tratada como um sistema global o que será depois verificado Poderemos então usar a equação 142 para cada um dos instantes em que foi medida a temperatura 28225Ti25 exph rtext3 ρcp t₁ exph rtext3 7800560 30 25125Ti25 exph rtext3 ρcp t₂ exph rtext3 7800560 60 Da resolução deste sistema de 2 equações obtêmse Ti e h vendo Ti 1274 C h 1009 Wm²C Salientese que se supôs o coeficiente de convecção para a água h constante no tempo o que é razoável no caso da convecção forçada Se h variar como no caso da convecção natural a equação 142 não é válida Podemos agora verificar a validade do sistema global calculando Bi h VA k 100900063 45 0045 01 A câmara de arrefecimento da figura é usada para arrefecer esferas de rolamentos com um diâmetro de 2 cm a uma temperatura de entrada de 100C O ar da câmara é mantido a 15C por um sistema de refrigeração e as esferas atravessam a câmara com um comprimento de 10 m pousadas numa correia transportadora devendo sair à temperatura de 50C Sabendo que o coeficiente de transferência de calor das esferas está relacionado com a velocidade destas de acordo com a expressão h 350v06 com v em ms e h em Wm²K calcule a velocidade que deve ter a correia v Propriedades das esferas ρ5500 kgm³ cp450 JkgK k50 WmK Resolução e discussões Vamos admitir que as esferas podem ser consideradas à temperatura uniforme em cada instante sistema global tendo em conta suas propriedades e dimensões Isso poderá ser verificado após cálculo de v e de h que não são conhecidos As esferas entram a 100C temperatura inicial devendo sair a 50C temperatura ao fim do tempo de permanência na câmara a 15C O tempo de permanência depende da velocidade e do comprimento da câmara Aplicando a equação 142 501510015exphtext3ρcp texp350v060023550045010v Obtémse da equação uma velocidade v 0084 ms O coeficiente de transferência vem igual a 79 Wm²C Uma placa de aço inox ρ8055 kgm³ cp480 JkgK k15 WmC com uma espessura de 1 cm está inicialmente à temperatura de 100ºC e será arrefecida pelas 2 faces De um lado existe ar exterior a 20ºC com um coeficiente de transferência de 5 Wm²ºC e do outro lado o ar também a 20ºC circula com maior velocidade sendo o coeficiente de 20 Wm²ºC Analise a evolução da temperatura da placa Um tubo de aço inox ρ8055 kgm³ cp480 JkgK k15 WmC está inicialmente à temperatura do ar exterior de 20ºC A partir desse instante passa a circular água no seu interior à temperatura de 80ºC Sabese que o coeficiente de convecção interior água é igual a 1000 Wm²ºC e no exterior o coeficiente é de 10 Wm²ºC Analise a evolução da temperatura do tubo até atingir o regime permanente O gráfico seguinte representa a evolução da temperatura do tubo ao longo do tempo Notese a rápida subida de temperatura que ao fim de 30 s já é de 78ºC Em regime permanente a temperatura é de 794ºC Notese que a água perde calor para o exterior 43 Wm em regime permanente pelo que a sua temperatura irá baixar ligeiramente ao longo do comprimento do tubo o que não foi considerado veremos no capítulo 2 como contabilizar esse facto A base de um ferro de engomar é uma placa com uma espessura de 7 mm e uma área de 0040 m² feita em liga de alumínio ρ2800 kgm³ cp900 JkgK k180 WmK Tem uma resistência elétrica ligada à superfície interior da base que lhe fornece uma potência de 500 W A superfície exterior da base está em contacto com ar exterior a 25ºC transferindo calor com um coeficiente de 18 Wm²ºC Calcule o tempo necessário a que após ligado o ferro atinja a temperatura de 135ºC Uma barra longa de aço inox ρ8055 kgm³ cp480 JkgK k15 WmC com uma secção rectangular de 1 m x 05 m inicialmente à temperatura uniforme de 200ºC passa a transferir calor para o exterior a 20ºC com coeficiente superficial de 10 Wm²ºC igual em todas as faces Calcule a temperatura máxima e mínima na secção ao fim de 4 horas com o método de sobreposição de soluções 1D e avalie o esforço necessário ao cálculo da potência dissipada para o exterior nesse instante Após o instante inicial em cada instante a temperatura máxima verificarseá no centro da secção origem dos eixos x e y e a mínima nos 4 cantos Vamos começar por calcular a temperatura no centro Considerandoas 2 placas placa x e placa y podemos escrever a relação já apresentada na equação 155 A partir dos resultados calculase uma potência dissipada ao fim de 4 horas de 4081 W por metro de profundidade da barra Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 63 Um cilindro de bronze de 10 cm de diâmetro e 12 cm de altura está inicialmente a 120ºC e depois transfere calor para a 25ºC com um coeficiente de transferência igual a 60 Wm²C em todas as faces As suas propriedades são k110 WmºC α33910⁶ m²s Usando o método de sobreposição de soluções 1D calcule a temperatura no centro do cilindro e no centro da superfície superior ao fim de 15 minutos Quanto à temperatura no centro da superfície superior ver figura anterior temos θL0t θL0E e T0060tTTiT θplacax 06 t θplacax 06 t cosλ1xx 0769 cos01776 1 0757 Há uma pequena variação da temperatura dentro do cilindro o que era de prever face aos valores dos números de Biot já calculados A temperatura TLrext 15 min será um pouco inferior A transferência de calor por convecção é o modo de transferência quando há fluidos em movimento O movimento torna a transferência mais intensa por comparação com a condução no fluido O calor transferese entre uma superfíciecorpo e o fluido em causa devido a uma diferença de temperaturas De uma forma prática a relação entre a potência calorífica transferida e a diferença de temperaturas é expressa através do coeficiente de convecção conforme visto já no capítulo anterior O balanço energético traduzse na chamada equação da energia para um escoamento Considerando um escoamento 2D em regime laminar e um fluido incompressível com massa específica constante a equação pode escreverse em coordenadas cartesianas como As limitações na obtenção de uma solução exataanalítica para a equação da energia que se juntam às dificuldades já conhecidas da Mecânica de Fluidos para a obtenção de uma solução exata para o campo de velocidades equação da quantidade de movimento levaram a que se tratasse de forma semiempírica o cálculo do coeficiente de convecção Esse método não permite obter a distribuição de temperatura no fluido mas sim quantificar valores de h consequentemente calcular a potência calorífica trocada entre a superfície sólida e o fluido em movimento Quando a condição na superfície é de fluxo constante a relação é Nulx 0453 Re12k Pr13 ou seja o coeficiente é 36 superior ao do caso Tsup constante Quanto ao valor para cálculo do coeficiente de convecção médio entre 0 e L obtémse a partir dos valores locais Nul 0664 Re12L Pr13 para Tsup constante Nul 0680 Re12L Pr13 para qsup constante que traduzem uma pequena diferença 2 entre as 2 condições ao contrário do que acontece para os valores locais Quando o número de Re atinge 5 x 105 aparece turbulência na camada limite o que intensifica a transferência de quantidade de movimento e de calor Nessas condições não existe solução analítica mas valores experimentais permitiram obter para os valores locais Nulx 00296 Re45k Pr13 para Tsup constante e Pr06 Nulx 00308 Re45k Pr13 para qsup constante e Pr06 também com uma pequena diferença 4 entre as 2 condições Salientese que na prática muitas vezes não existe nenhuma dessas condições nem a temperatura nem o fluxo são constantes a pequena diferença torna menos importante a escolha da relação a usar Quanto ao valor médio do coeficiente é possível agrupar as 2 zonasregimes laminar e turbulenta numa única expressão vindo para Pr06 e 5x105 Re 107 Nul 0037 Re45L 871 Pr13 aproximadamente igual portanto para as 2 condições fronteira Como representa a Figura 22 dentro do mesmo regime laminar ou turbulento há uma diminuição do coeficiente de convecção local com o comprimento Ao passar do regimecamada laminar para o turbulento há um aumento Essa transição é na realidade gradual havendo uma zona de transição que por facilidade de cálculo se assume ocorrer bruscamente O coeficiente médio representa a média para toda a superfície É portanto uma simplificação a consideração de um coeficiente constante numa superfície como feito na seção 1 Salientese que ao aplicar as correlações de convecção vistas todas as propriedades físicas dos fluidos que intervêm nos 3 números adimensionais Nu Re e Pr devem ser avaliadas a uma temperatura média aritmética entre a temperatura da superfície e a do fluido longe da parede Algumas das correlações da literatura assim como algumas a apresentar mais à frente usam propriedades a temperatura média ou a Tfluido e um fator de correção para a variação de propriedades com a temperatura propriedades a Tfluido e propriedades a Tsup Outra geometria que ocorre frequentemente na prática é a de escoamentos no exterior de cilindros longos ou outros prismas sendo o escoamento perpendicular ao eixo do cilindroprisma Nestes casos o escoamento é complexo nomeadamente na zona de trás do objeto devido à formação de vórtices e possibilidade de descolamento da parede Uma correlação experimental genérica válida para Pr07 é Nudp C Rem Pr13 sendo C e m coeficientes dados na Tabela 21 para várias geometrias e intervalos de Re Uma correlação experimental genérica válida para Pr 07 é Nudp C1 C2 Rem Dmax Pr036 Pr Tsup14 sendo C1 C2 e m coeficientes dados na Tabela 22 para várias configurações e intervalos de Re C2 é igual a 1 para um número de filas maior que 16 Nesta correlação devem usarse propriedades à temperatura média entre a superfície dos tubos e o fluido longe dela com exceção de Prsup à temperatura Tsup Um último caso de escoamento externo a referir é o do escoamento em torno de uma esfera Uma correlação experimental válida para Pr 07 35 ReD 76 x 104 é NuD 2 04 ReD12 006 ReD23Pr04 μμsup14 214 sendo todas as propriedades avaliadas a T e μsup a Tsup 23 Escoamentos forçados internos Nos escoamentos internos o fluido está confinado numa conduta que pode ter uma secção qualquer e variável Como se viu em 21 e 22 a tendência geral num dado regime de escoamento é haver um aumento da espessura da camada limite ao longo do escoamento que leva a uma diminuição do coeficiente de convecção No caso de um escoamento confinado existe um limite para o desenvolvimento da espessura da camada limite devido à interação das várias superfícies da conduta A Figura 24 representa a evolução da camada limite dinâmica e da camada limite térmica ao longo de um tubo a partir de uma velocidade e temperatura constantes à entrada As camadas crescem até se encontrarem no eixo da conduta A partir daí o perfil de velocidades é constante em regime permanente ou desenvolvido na zona de escoamento desenvolvido a velocidade só tem componente paralela ao eixo da conduta vx O perfil de temperaturas pode variar pois o fluido pode trocar calor com o exterior através da parede no entanto na zona desenvolvida é constante a diferença de temperatura adimensional entre a superfície da parede e o fluido Tsup TTsup Tm sendo Tm a temperatura média do fluido na secção a definir à frente Os comprimentos de entrada até à zona desenvolvida não são no geral iguais para a camada limite dinâmica e para a térmica apenas são iguais quando Pr1 nesse caso o fluido tem a mesma aptidão para transferir quantidade de movimento e calor Figura 24 Escoamento num tubo circular a a evolução da camada limite dinâmica e perfis de velocidade b evolução da camada limite térmica e perfis de temperatura diferentes condições na parede Tsup ou dTsup constante considerada mais quente que o fluido Adaptado de 1 73 Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 75 Tabela 23 Número de Nusselt em regime laminar na zona desenvolvida para diferentes secções de condutas Adaptado de 2 Na zona de entrada o coeficiente tem valores maiores e dependentes de Re e Pr A Figura 25 apresenta os valores dos coeficientes adimensionais NuD locais e médios para um tubo circular Consideramse 2 hipóteses camada limite dinâmica já desenvolvida à entrada ou ainda não desenvolvida em ambos os casos a camada limite térmica não está desenvolvida a b Figura 25 Número de Nusselt em regime laminar na zona desenvolvida para um tubo circular a valores locais b valores médios na conduta de comprimento L com Tsup constante Adaptado de 1 Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 79 Tabela 24 Correlações empíricas para cálculo do número de Nusselt médio na convecção natural sobre superfícies mais quentes ou mais frias que o fluido a b c Figura 28 Cavidades retangulares e dimensões relevantes a horizontal b inclinada c vertical Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 83 Só se verificará regime laminar em toda a placa teto para uma velocidade muito reduzida igual ou inferior a 0993 ms 36 kmh Para essa velocidade o coeficiente de convecção é significativamente menor obtendose um valor de 14 Wm2ºC Notese também que no caso de regime laminar em toda a placa o efeito do aumento da velocidade é menor proveniente do expoente 05 da equação 27 nessas condições um aumento da velocidade para o dobro traduzse num aumento de 141 vezes do coeficiente de convecção Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 89 Capítulo 2 Convecção 94 Capítulo 2 Convecção 100 A figura seguinte apresenta os resultados obtidos para a distribuição de temperaturas usando una cor diferente para cada intervalo de 10ºC Como se pode observar a temperatura em mais de metade da secção mantémse próxima de 20ºC até à saída sendo a zona de gradiente mais acentuado camada limite de menor dimensão que vai crescendo até à saída A temperatura junto à parede aquecida atinge 160ºC à saída As altas temperaturas da parede a par das baixas velocidades provocarão efeitos de convecção natural que aqui são desprezados O coeficiente de convecção pode ser obtido para cada valor de z ou j dividindo o fluxo na parede pela diferença entre a temperatura desta e a temperatura média nessa secção temperatura média ou de mistura que pode calcularse a partir das temperaturas nesse j para todos os valores de i usando a equação 220 com o integral calculado numericamente A partir dos valores locais pode então calcularse a média para todo o comprimento de escoamento Obtevese um coeficiente de convecção médio de 12 Wm2K muito próximo do obtido com o cálculo teórico aproximado Prolongando o comprimento do tubo até aos 15 m também é possível obter um coeficiente na zona desenvolvida de 0566 Wm2K também muito próximo do estimado antes A figura seguinte representa a evolução do coeficiente de convecção ao longo do escoamento no tubo bem como a evolução da temperatura média e da temperatura máxima Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 109 Aplicouse em seguida um modelo numérico idêntico ao do problema P28 usando o método dos volumes finitos e com uma malha com 41 elementosnodos segundo o raio r e 81 elementos segundo o comprimento z perfazendo um total de 3321 temperaturas a calcular Notese que esse modelo despreza a turbulência na equação da energia difusibilidade turbulenta A figura seguinte apresenta os resultados obtidos para a distribuição de temperaturas usando una cor diferente para cada intervalo de 2ºC Como se pode observar a temperatura em grande parte da secção mantémse próxima de 20ºC até à saída sendo a zona de gradiente mais acentuado a que corresponde à subcamada laminar do escoamento A temperatura junto à parede aquecida atinge 41ºC à saída A partir dos valores locais do coeficiente de convecção representados na figura seguinte foi calculado o valor médio para todo o comprimento de escoamento obtendose um coeficiente médio de 64 Wm2ºC bastante inferior ao calculado com a correlação de DittusBoelter A turbulência e a difusibilidade turbulenta têm assim um papel importante o que exige a aplicação de um modelo numérico de turbulência Capítulo 2 Convecção 110 P214 Propriedade Gás quente Ar frio p atm 4 05 ρ kgm3 2163 0582 cp JkgK 1072 1055 k WmK 00341 00280 µ Pas 275 x 105 238 x 105 A figura acima representa um permutador de calor de placas alhetadas alhetas retangulares usado no sistema de ar condicionado de um avião O permutador aquece ar mais frio que entra a 56ºC com um caudal de 054 kgs através de uma corrente de gases de combustão quentes que entram a 355ºC com um caudal de 057 kgs O permutador é constituído por 20 canais de 152 mm de comprimento para o fluido quente e 20 canais de 216 mm de comprimento para o fluido frio a figura representa um total de apenas 6 canais sendo 3 para cada corrente As placas em aço inox têm uma condutibilidade térmica de 15 WmK uma espessura de 015 mm e estão espaçadas de 65 mm As alhetas do mesmo material têm uma espessura de 015 mm e estão espaçadas de 16 mm entre eixos Pretendese calcular o coeficiente global de transferência de calor no permutador entre as duas correntes Resolução e discussão Este tipo de permutador é composto por várias placas sobrepostas espaçadas de 65 mm neste caso formando canais onde alternadamente e em direções cruzadas circulam os 2 fluidos No interior do espaço entre placas são colocadas alhetas retangulares pela inserção de chapas dobradas com secção retangular As figuras seguintes ilustram 2 canais genéricos 1 de fluido quente e 1 de fluido frio e o espaço entre placas com as respetivas dimensões Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 115 laminar os coeficientes de convecção na zona desenvolvida não são afetados pela redução da velocidade são constantes Há uma pequena variação devida ao peso da zona de entrada por exemplo para o fluido frio o coeficiente de convecção passa de 70 para 62 Wm2K Assim o aumento da potência será bastante significativo e pode mesmo duplicar com um pequeno aumento dos caudais Capítulo 2 Convecção 118 Capítulo 2 Convecção 120 No cilindro vertical a camada limite junto à superfície cresce ao longo de um comprimento maior L o que faz reduzir o coeficiente de convecção local de baixo para cima e também reduzir o coeficiente médio para toda a superfície As figuras seguintes ilustram a evolução da camada limite nos 2 casos O coeficiente de convecção médio varia até 38 Wm2K para um T de 20ºC no cilindro vertical e até 44 Wm2K para um T de 20ºC no cilindro horizontal Tal como no caso das placas vertical e horizontal o aumento de h com T não é proporcional variando com T elevado a um expoente menor que 1 enquanto o fluxo de calor e a potência aumenta mais que proporcionalmente a T Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 121 Assim para um cilindro arrefecer mais rapidamente quando em contacto com um fluido mais frio a partir de uma dada temperatura inicial deve ser colocado na horizontal aumentando a transferência de calor Capítulo 2 Convecção 128 Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 131 Capítulo 2 Convecção 132 Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 133 3 Condensação em filme A condensação tal como a convecção ocorre num fluido em movimento O que a distingue da convecção é a ocorrência de mudança de fase um vapor a temperatura igual ou superior à de saturação à pressão a que se encontra passa total ou parcialmente ao estado líquido Para que tal aconteça o fluido entra em contacto com uma superfície a temperatura inferior à de saturação formandose uma zona de líquido junto à superfície fria Veremos como quantificar o coeficiente de transferência de calor quando toda a superfície fria é coberta por uma película de líquido condensação em filme que é a situação mais corrente na prática As geometrias a considerar para a superfície são placa plana cilindro e feixes de tubos e esferas 31 Condensação em filme e em gotas Na maior parte das superfícies a película de líquido que se forma junto a elas estendese a toda a sua área O líquido escorre na vertical de cima para baixo por ação da gravidade uma vez que é mais pesado que o vapor que o rodeia Nas superfícies com muito pequena rugosidade como vidros espelhos ou metais muito polidos formamse gotas de líquido junto à superfície fria que escorrem nesta também de cima para baixo não se formando uma película contínua líquida Neste caso as gotas cobrem a maior parte da área da superfície fria A Figura 31 ilustra as duas situações a b Figura 31 Tipos de condensação a em filme b em gotas Ao condensar o fluido liberta o seu calor latente de vaporização diferença entre a entalpia do vapor saturado e a do líquido saturado o que devido ao seu elevado valor gera taxas de transferência de calor elevadas Esse calor transferese da temperatura mais alta Tsat para a mais baixa Tsup mas para atingir a superfície tem de atravessar o líquido que oferece uma resistência térmica a essa transferência Assim quanto maior a quantidade de líquido presente menor será o coeficiente de transferência Por esse motivo na condensação por gotas conseguemse coeficientes bastante mais elevados No entanto para além de Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 143 O aumento do caudal de 025 kgs para 15 kgs praticamente duplica a potência transferida A temperatura da superfície diminui com o aumento do caudal de água reduzindo cerca de 5ºC para um caudal de 15 kgs A partir deste valor de caudal 28 ms as variações são menos acentuadas diminui o impacto do aumento do caudal de água Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 147 Outras configurações possíveis mantendo os mesmos 100 tubos são 20 x 5 tubos alinhados 20 x 5 tubos desalinhados Notese que ter 20 x 5 tubos alinhados ou 10 x 10 tubos desalinhados conduz aos mesmos resultados já que existem nos 2 casos 5 tubos na mesma linha vertical Com 20 x 5 tubos desalinhados o número médio de tubos na vertical a usar na equação é de 25 Pode ainda reduzirse mais o número de tubos na mesma linha vertical usando 50 x 2 tubos 2 na vertical de preferência desalinhados equivalendo a 100 x 1 No entanto a dimensão horizontal aumenta proporcionalmente ao número de tubos na horizontal o que pode levantar problemas de espaço O gráfico seguinte representa os resultados potência calorífica dos vários arranjos Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 153 4 Ebulição em reservatório Tal como na condensação na ebulição existe mudança de fase Neste caso a mudança inversa ou seja a passagem de líquido a vapor junto a uma interface sólidolíquido Estando envolvido o calor latente de vaporização os coeficientes de transferência são também usualmente elevados quando comparados com os de convecção forçada Trataremos apenas a ebulição em reservatório que ocorre quando o fluido se encontra contido num recipiente em repouso Nesse caso os movimentos do fluido são provocados pela diferença de densidades das fases em presença como acontece na convecção natural nesse caso apenas com uma fase A ebulição em escoamento que encontra o seu paralelo na convecção forçada esta sem mudança de fase não será abordada neste texto 41 Ebulição saturada e subarrefecida Para ocorrer ebulição o fluido tem de estar em contacto com uma superfície a uma temperatura superior à temperatura de saturação ou ebulição para a pressão a que se encontra Se o fluido estiver a uma temperatura inferior à de saturação dizemos que se trata de ebulição subarrefecida ou local Se estiver a uma temperatura igual à de saturação temos ebulição saturada ou global A Figura 41 ilustra os dois casos Durante a ebulição saturada a temperatura do fluido mantémse inalterada transferindose calor latente de vaporização E a diferença de densidades entre as 2 fases gera uma força de impulsão adicional em relação à convecção natural Figura 41 Ilustração da ebulição em reservatório subarrefecida e saturada para a água à pressão atmosférica Iremos tratar sobretudo a ebulição saturada Depois veremos como estimar a transferência de calor no caso da ebulição subarrefecida É de assinalar que a quantificação da transferência de calor quando há ebulição se faz por correlações empíricas e não utilizando a metodologia adimensional vista na convecção Assim as correlações existentes baseadas na experimentação em vez de expressarem o número de Nusselt expressam diretamente o fluxo de calor ou o coeficiente de transferência de calor Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 155 Tabela 41 Valores de Uä para várias combinações sólidofluido Tabela 42 Tensão superficial 5 na interface sólidolíquido para a água Os valores da Tabela 41 podem usarse para qualquer geometria pois verificouse que o fluxo de calor na ebulição nucleada é independente da geometria e orientação da superfície quente A Tabela 42 apresenta valores da tensão superficial na interface vaporlíquido para a água A correlação de Rohsenow 41 expressa uma forte variação do fluxo de ebulição com variando com o cubo da diferença de temperatura O coeficiente de ebulição pode obterse dividindo o fluxo por e portanto varia com o quadrado desta diferença Para a água à pressão atmosférica o fluxo chega a 1 MWm2 tendo o coeficiente valores entre 10000 e 30000 Wm2ºC Tabela 43 Coeficiente dP para utilização na equação 42 Capítulo 4 Ebulição em reservatório 164 A figura seguinte representa a potência transferida num dos 5 tubos e o caudal total vaporizado para as diferentes pressões A potência diminui com o aumento da pressão porque a diferença de temperatura para a transferência de calor diminui com o aumento da temperatura de saturação da água Quanto ao caudal de vapor também diminui mas não tão acentuadamente isso devese a que o calor latente de vaporização também diminui quando a pressãotemperatura aumenta Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 167 correlação para o coeficiente de convecção natural para temperaturas abaixo desta o arrefecimento a partir desse ponto seria mais rápido maiores coeficientes de transferência Capítulo 4 Ebulição em reservatório 168 P45 Um tubo de calor ou termosifão consiste num tubo ou recipiente fechado que recebe calor na zona de ebulição de uma fonte quente e rejeita calor na zona de condensação para uma fonte fria Considere um tubo de aço inox polido de espessura reduzida com um diâmetro D igual a 20 mm O calor fornecido faz entrar em ebulição a água saturada à pressão atmosférica na zona de ebulição de comprimento Lze20 mm O calor é rejeitado quando o vapor condensa em filme na parede interior da zona de condensação de comprimento Lzc40 mm regressando o líquido à zona de ebulição O comprimento da zona intermédia sem transferência de calor é Lzi40 mm Considerando a face superior da zona de condensação isolada calcule a temperatura superficial da zona de ebulição Tsupze quando o fluxo de calor de ebulição é igual a 30 do fluxo crítico e calcule o caudal condensado e a temperatura superficial da zona de condensação Tsupzc Compare a potência calorífica transferida com a transferida por uma barra cilíndrica de cobre k400 WmK com o mesmo diâmetro e comprimento Lzi isolada na superfície lateral e para as mesmas temperaturas extremas Resolução e discussão A figura seguinte ilustra a transferência de calor no tubotermosifão Em regime permanente a potência recebida provoca a ebulição da água que depois condensa na zona superior libertando a mesma potência recebida Pretendemos calcular essa potência e as temperaturas superficiais de ebulição e condensação Para as propriedades da água saturada a 100ºC vamos considerar 2r0282x103 kgms ℎro2257 kJkg ρl9579 kgm3 ρv06 kgm3 500589 Nm cpl 4217 JkgK Prl175 kl0683 Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 173 5 Radiação térmica A radiação térmica é o modo de transferência de calor que não exige a presença de matéria para o transporte do calor que é transportado por ondas eletromagnéticas No entanto é a matéria que está na sua origem e no seu destino Neste texto resumemse os princípios ligados à radiação térmica e ao comportamento dos corpos reais quanto à radiação que emitem e que recebem São definidas as propriedades radiativas como a emissividade e os coeficientes de absorção reflexão e transmissão São quantificadas as trocas de radiação térmica em regime permanente entre várias superfícies consideradas como cinzentas e difusas e separadas por um meio não participante na radiação No final do capítulo apresentamse diversos problemas práticos em que se comenta a aplicação dos conceitos e métodos de cálculo vistos 51 Radiação eletromagnética e térmica Todos os corpos emitem radiação eletromagnética sob a forma de ondas eletromagnéticas com diferentes comprimentos de onda A radiação que os corpos emitem em consequência do seu nível interno de energia temperatura é chamada radiação térmica No entanto a maior parte dessa radiação é invisível aos nossos olhos A Figura 51 representa o espetro de radiações eletromagnéticas assinalando a zona de comprimentos de onda que corresponde à radiação térmica e dentro desta a zona visível Chamamos luz à porção visível do espetro contida num pequeno intervalo entre cerca de 04 e 07 µm Figura 51 Espetro de radiações eletromagnéticas de acordo com o seu comprimento de onda λ A radiação térmica emitida pelos corpos propagase através do vazio caso da radiação solar no espaço e da maioria dos gases Muitos gases como o ar seco não interferem nas ondas que os atravessam designandose por meios não participantes Outros como o vapor de água e o dióxido de carbono interferem absorvendo e refletindo parte das ondas designandose por meios participantes Capítulo 5 Radiação térmica 178 Quanto à variação da emissividade com o ângulo 0 ela depende da natureza do materialrevestimento Na maioria dos casos é razoável considerar a emissividade hemisférica igual à emissividade na normal à superfície 0 0º em especial nos materiais não condutores Em relação à radiação térmica que um corpo recebe há que distinguir os corpos opacos e os semitransparentes ou translúcidos como os vidros e alguns plásticos Um corpo opaco pode absorver ou refletir a radiação que nele incide A fração da radiação incidente que é absorvida é designada por coeficiente de absorção e a fração refletida é designada por coeficiente de reflexão 4 A soma das duas frações é igual a 1 igual ao total de radiação incidente Os coeficientes de absorção e reflexão também podem variar com o comprimento de onda da radiação incidente e com a sua direção Tal como a emissividade dependem do estadorevestimento superficial mais do que do material em si Quando a superfície é seletiva o coeficiente de absorção varia sendo maior em certos comprimentos de onda Por exemplo existem revestimentos seletivos para coletores solares como o dióxido de titânio que têm um elevado coeficiente de absorção quase igual a 1 para os comprimentos de onda mais energéticos da radiação solar e muito baixo para a radiação de comprimentos de onda longos Num corpo semitransparente além da absorção e da reflexão da radiação incidente uma parte desta atravessa o corpo sendo a fração correspondente chamada coeficiente de transmissão Nesses casos 4 6 1 511 Esta relação pode aplicarse para os valores totais e espetrais para um dado comprimento de onda uma vez que a reflexão e a transmissão não alteram os comprimentos de onda da radiação incidente Os corpos semitransparentes têm um comportamento seletivo típico Como mostra a Figura 55 um vidro claro normal deixa passar 80 a 90 da radiação solar incidente quase toda situada nos comprimentos de onda entre 035 e 3 µm mas é opaco para os comprimentos de onda mais longos Tal implica que a radiação emitida por corpos à temperatura ambiente não atravessa os vidros o que dá origem ao chamado efeito de estufa Figura 55 Coeficiente de transmissão espetral para vidros Sob certas condições podemos relacionar a emissividade com o coeficiente de absorção Se considerarmos 2 corpos em equilíbrio térmico um muito pequeno no interior de outro muito grande separados pelo vácuo e portanto trocando calor apenas por radiação podemos concluir que para estarem à mesma temperatura o coeficiente de absorção do corpo pequeno tem de ser igual à sua emissividade o que traduz a chamada lei de Kirchoff Assim a emissividade total e hemisférica de um corpo a uma dada temperatura é igual ao seu coeficiente de absorção total e hemisférico para a radiação incidente proveniente da mesma temperatura No entanto se a radiação incidente vier de um corpo a temperatura diferente e a Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 181 Figura 58 Fatores de visão para várias superfícies cilíndricas de comprimento infinito Figura 59 Fator de visão para planos paralelos alinhados Capítulo 5 Radiação térmica 182 Figura 510 Fator de visão para planos perpendiculares com uma aresta comum Figura 511 Fator de visão para discos paralelos coaxiais Capítulo 5 Radiação térmica 186 Um dos casos típicos em que se consideram 2 superfícies é o de um corpo trocando radiação com comprimentos de onda longos apenas com a atmosfera Para esse efeito a atmosfera pode considerarse como uma superfície de área muito maior do que a do corpo podendo utilizarse a equação 528 A temperatura a considerar para a atmosfera depende da humidade do ar e da nebulosidade Há 2 equações simplificadas para calcular a temperatura da atmosfera relacionada com a temperatura do ar ambiente uma em condições de céu muito nublado yO yP B 6 529 e outra em condições de céu limpo yO 00552 yP M com T em K 530 Verificase que no caso de céu limpo a temperatura da atmosfera pode ser bastante inferior à do ar ambiente O problema P63 mostra o efeito desta temperatura nas trocas de calor de uma superfície Os corpos expostos ao ambiente exterior também recebem no período diurno radiação de comprimentos de onda mais baixos a radiação solar Para tratar a radiação solar recebida recorrese normalmente a valores medidos em Wm2 para uma dada direção dos raios solares incidentes na superfície Na secção seguinte tratamse alguns casos em que intervém a radiação solar incidente Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 211 Para as mesmas temperaturas a utilização de um revestimento de dióxido de titânio ε005 reduz cerca de 7 vezes a potência perdida em relação à utilização de uma tinta preta corrente ε095 A quase linearidade da curva verificase na hipótese de as temperaturas dos 2 tubos se manterem iguais Na realidade uma maior potência perdida fará com que a temperatura de equilíbrio do tubo de alumínio baixe reduzindo em consequência a potência útil transferida para a água que circula no interior do tubo Capítulo 5 Radiação térmica 214 Capítulo 6 Transferência de calor combinada 222 P64 As placas condutoras elétricas da figura têm uma altura L de 40 mm e uma largura muito maior e estão encastradas numa base cerâmica isolada Têm um espaçamento entre si de 10 mm S A passagem da corrente elétrica mantém a sua temperatura M a 500 K podendo considerarse uniforme As placas estão situadas numa sala cujas superfícies se encontram a 300 K Quer as placas quer a base são cinzentas e difusas com M 08 e T 06 As placas estão sujeitas a uma corrente de ar a 300 K que provoca um coeficiente de convecção em todas as superfícies de 25 Wm2K Calcule a potência que se dissipa em cada placa por metro de largura e calcule a temperatura T Resolução e discussão Temos transferência de calor das placas e da base por radiação térmica entre si e com o exterior e por convecção com o ar A espessura das placas é desprezável Vamos considerar o espaço entre placas intermédias e para contabilizar adequadamente as trocas de radiação vamos considerar uma superfície virtual 3 que fecha o volume entre placas A figura a seguir representa as 3 superfícies as potências caloríficas de radiação balanço de cada superfície e convecção e as resistências de radiação associadas A superfície 3 que corresponde às superfícies exteriores devido à área muito superior destas relativamente a 1 e a 2 tem um comportamento de corpo negro Notese que havendo simetria dos 2 lados de cada placa as potências transferidas numa placa são iguais às transferidas nas 2 superfícies consideradas como superfície 1 Notese também que estando a superfície 2 base isolada as potências de convecção e radiação têm de ter sinal contrário de forma a traduzir o seu equilíbrio térmico Podemos escrever o balanço da base 2 Capítulo 6 Transferência de calor combinada 224 exterior e para a base é bastante baixa o fator de visão das placas para o exterior igual ao das placas para a base é apenas igual a cerca de 011 ou de outra forma o fator de visão das placas para si próprias é igual a cerca de 078 A base superfície 2 não tendo fontes de calor transfere a mesma potência por convecção e por radiação equação de equilíbrio vista mas em consequência fica a uma temperatura de equilíbrio bastante mais próxima da do ar No caso da utilização de alhetas retangulares geometricamente semelhantes às placas vistas neste problema ou circulares que estão normalmente muito próximas entre si as trocas por radiação têm também um peso pequeno por comparação com a convecção Capítulo 6 Transferência de calor combinada 226 Como se esperava ambos os coeficientes aumentam ao aumentar a diferença de temperatura entre a base e o exterior O coeficiente de radiação curva a azul é superior ao de convecção curva a preto e cresce mais rapidamente O coeficiente global atinge 15 Wm2K ao fim de 170 s 283 minutos Este valor é inferior aos 18 Wm2K do problema P120 o que valida a hipótese sistema global A figura seguinte mostra a evolução da temperatura da base do ferro e a sua comparação com a evolução nas condições do problema P120 com um coeficiente global constante de 18 Wm2K curva a traço interrompido A base do ferro atinge os 135ºC ao fim de 165 s No problema P120 atingiamse os 135ºC ao fim de 169 s valor que também se verifica ao aplicar o mesmo método numérico à integração da equação que dá a variação de temperatura no tempo Em ambos os casos as evoluções são muito próximas com a temperatura ligeiramente mais baixa quando o coeficiente é constante por ser mais elevado que os coeficientes variáveis há mais perdas para o exterior A pequena diferença devese a que o peso das perdas é bastante mais baixo que o da potência fornecida de 500 W A perda máxima quando o coeficiente global de transferência é já de cerca de 15 Wm2K nos instantes finais é de cerca de 65 W muito inferior aos 500 W fornecidos Por isso as curvas estão próximas e têm uma evolução que não se afasta muito da linear a que aconteceria se não houvesse perdas para o exterior Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 229 Os valores da temperatura do teto são muito semelhantes aos anteriores A troca radiativa dominante é a devida ao gelo a 5ºC pelo que a emissividade das paredes tem uma pequena influência na temperatura do teto Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 233 No entanto os termómetros existentes têm emissividades típicas de 095 tentando reproduzir a emissividade da pele humana Neste exemplo a temperatura de todas as superfícies da sala foi considerada igual Numa situação real diferentes superfícies têm temperaturas diferentes Por isso este termómetro tem uma forma esférica de modo a receber radiação de todas as direções do espaço todas as superfícies A temperatura das várias superfícies que o termómetro de bolbo negro contabiliza é a chamada temperatura média radiante Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 241 Notese a variação quase linear de ambas as temperaturas interior e dos envidraçados com a variação da irradiação solar até cerca de 400 Wm2 a partir desse valor há um menor aumento sobretudo para a temperatura interior Claro que um aumento da temperatura exterior aqui não quantificado também contribui para o aumento da temperatura interior por reduzir as perdas de calor do habitáculo Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 255 As variações das temperaturas quando varia a intensidade da radiação solar são praticamente lineares e o rendimento térmico mantémse praticamente constante nos 75 Notese que no entanto e como se disse anteriormente se assumiu que a radiação solar incide sempre perpendicularmente ao plano da condutacoletor Como tal não se verifica na maior parte do tempo a não ser que a condutacoletor siga o sol há uma perda de área útil de captação pelo que a sua performance irá diminuir Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 259 P615 Pretendese avaliar o conjunto da figura para aquecimento de uma superfície parabólica usando um aquecedor de infravermelhos cilíndrico com 1 cm de diâmetro cuja superfície é mantida a 1300 K A emissividade do aquecedor é de 09 e a da superfície parabólica de 05 ambas cinzentas e difusas O refletor cilíndrico está perfeitamente isolado na face superior O conjunto está colocado numa sala com superfícies envolventes a 300 K que se comportam como corpos negros face ao conjunto área muito superior Calcule a potência de aquecimento e a temperatura conseguida na superfície a tratar considerando as superfícies muito longas para cálculo dos fatores de visão infinitas no plano perpendicular ao do desenho e considerando a existência de convecção com o ar calmo na sala a 300 K Atendendo à sua forma a convecção na face inferior do refletor cilíndrico pode ser desprezada Quanto à superfície parabólica considerea como uma placa plana com 15 m x 10 m para efeitos de convecção não transferindo calor na face inferior isolada Resolução e discussão Este problema assemelhase ao problema P511 sendo o aquecedor plano substituído por um aquecedor cilíndrico que dispõe de um refletor isolado posteriormente para orientar a radiação para a superfície a tratar parabólica Mas as condições de temperatura são diferentes bem como a existência de convecção Temos um volume fechado composto por 4 superfícies que trocam radiação o aquecedor 1 a superfície a tratar 2 o refletor cilíndrico isolado 3 e as superfícies exteriores 4 O conjunto é muito longo leiase infinito na direção perpendicular ao plano do desenho A figura seguinte esquematiza as superfícies a considerar Sendo neste caso o esquema de resistências de radiação complicado sem possibilidade de calcular uma resistência equivalente vamos usar as equações de radiosidades e balanços de modo a calcular a potência de aquecimento de 1 e as temperaturas desconhecidas de 2 e 3 Conhecemos as temperaturas M e desconhecendo T e O refletor 3 está em equilíbrio apenas com as trocas radiativas uma vez que a convecção na sua superfície se Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 273 Capítulo 6 Transferência de calor combinada 274 Transferência de Calor um guia para a resolução de problemas práticos 275 Referências 1 Theodore Bergman Adrienne Lavine Frank Incropera David Dewitt 2011 Fundamentals of Heat and Mass Transfer 7th edition Ed John Wiley Sons 2 Yunus Çengel Afshin Ghajar 2015 Heat and Mass Transfer Fundamentals Applications 5th edition Ed McGrawHill 3 Suhas Patankar 1980 Numerical Heat Transfer and Fluid Flow Ed CRC Press 4 JeanMichel Bergheau Roland Fortunier 2008 Finite Element Simulation of Heat Transfer Ed Wiley 5 John Howell 1982 A Catalog of Radiation Configuration Factors Ed McGrawHill TRANSFERÊNCIA DE CALOR Um Guia para a Resolução de Problemas Práticos ARMANDO CARLOS F COELHO OLIVEIRA Professor Catedrático da Universidade do Porto Este livro revê conceitos e soluções para diversos problemas de Transferência de Calor com o intuito de constituir um guia sistemático para a sua análise e resolução Fomentase a compreensão dos fenómenos físicos e discutemse hipóteses de cálculo criticando sempre os resultados obtidos