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CÁLCULO NUMÉRICO Rejane Izabel Lima Corrêa Sistemas lineares eliminação de Gauss Um sistema linear é um conjunto de m equações lineares Considere o sistema linear composto de quatro variáveis x1 x2 x3 x4 e quatro equações De acordo com o sistema definimos as matrizes A B e X Solução de um sistema linear Resolver um sistema linear consiste em determinar todos os valores das va riáveis x1 x2 x3 xn caso exista que satisfazem simultaneamente as m equações do sistema Considere o sistema linear 3 Sistemas lineares eliminação de Gauss Método da eliminação de Gauss O sistema tem três equações e três variáveis e possui as matrizes A B e X dadas por A solução do sistema é x 2 y 3 e z 1 Para verificar a veracidade da solução basta substituir os valores dados das variáveis x y e z nas três equações do sistema linear e garantir que satisfaçam a igualdade 2 23 1 2 6 1 7 42 23 31 8 6 3 1 52 2 3 1 10 6 1 15 Considere o sistema linear De duas equações e duas incógnitas temos as matrizes A B e X dadas por A solução do sistema é Verifique Sistemas lineares eliminação de Gauss 4 Um sistema linear pode ser classificado de acordo com a sua solução Nem sempre é possível determinar uma solução para um sistema e ainda um mesmo sistema pode admitir infinitas soluções Dizemos que o sistema é possível e determinado quando admite uma única solução Nesse caso cada variável é unicamente determinada assume um único valor O sistema é dito possível e indeterminado no caso em que admite infinitas soluções E o sistema é dito impossível ou inconsistente no caso em que não admite solução Nesse caso não existem valores para as variáveis que satisfazem a todas as equações do sistema Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro equivalente que tenha a mesma solução mas que seja mais fácil de resolver Tal sistema é obtido aplicando as operações elementares sobre as linhas da matriz de coeficientes do sistema conhecida como matriz aumentada do sistema e dada por AB Para o sistema linear a matriz aumentada do sistema AB é dada por 5 Sistemas lineares eliminação de Gauss No final do processo da eliminação de Gauss o objetivo é obter uma matriz como triangular superior a11 a12 a13 a14 a1n a1n1 0 a22 a23 a24 a2n a2n1 0 0 a33 a34 a3n a3n1 0 0 0 a44 a4n a4n1 0 0 0 0 ann ann1 A cada passo do processo do método de Eliminação de Gauss escolhemos o pivô de cada uma das colunas da matriz e zeramos todos os elementos abaixo dele Definimos o pivô de cada coluna k como sendo o elemento da coluna que pertence a diagonal principal Ou seja o pivô de cada coluna k é dado por akk Observe que em cada passo determinamos o pivô de uma coluna passo 1 pivô da coluna 1 elemento a11 passo 2 pivô da coluna 2 elemento a22 passo k pivô da coluna k elemento akk Apresentamos a seguir as etapas para o método de Eliminação de Gauss 1 Escrever uma matriz aumentada do sistema 2 A cada passo k escolher o pivô da coluna k akk 3 Zerar todos os elementos aik que estão abaixo de akk Para toda linha i abaixo da linha que contém o elemento akk Encontrar o multiplicador mik aikakk Atualizar a linha i Li Li mikLk 4 Fazer o processo iterativamente para todas as colunas até obter a matriz na forma triangular superior Exemplo Resolve o sistema linear x 2y z 7 4x 2y 3z 1 5x 2y z 15 pelo método da eliminação de Gauss Inicialmente montamos a matriz aumentada do sistema 1 2 1 7 4 2 3 1 5 2 1 15 Construção da matriz triangular superior Passo 1 pivô da primeira coluna a11 1 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e procedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô m21 41 L2 L2 m21L1 m31 51 L3 L3 m31L1 1 2 1 7 0 10 1 29 0 8 4 20 Passo 2 pivô da segunda coluna a22 2 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e procedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô m32 810 L3 L3 m32L2 1 2 1 7 0 10 1 29 0 0 32 32 Calculamos a solução do sistema por retro substituição L3 32z 32 z 1 L2 10y z 29 10y 1 29 y 3 L1 x 2y z 7 x 23 1 7 x 2 Sistemas lineares eliminação de Gauss Exemplo Uma indústria produz três produtos X Y e Z utilizando dois tipos de insumo A e B Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B para cada kg de Y 1 grama do insumo A e 1 grama do insumo B e para cada kg de Z 1 grama do insumo A e 4 gramas do insumo B O preço de venda do quilo de cada um dos produtos X Y e Z é R 200 R 300 e R 500 respectivamente Com a venda de toda a produção de X Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B essa indústria arrecadou R 250000 Vamos determinar quantos quilogramas de cada um dos produtos X Y e Z foram vendidos SANTOS 2017 Inicialmente devemos modelar o problema por equações para determinarmos o sistema e aplicar o método da eliminação de Gauss Temos que X Y e Z são as variáveis do problema e as equações são dadas por Quantidade de insumo A 1 grama por kg de X 1 grama por kg de Y 1 grama por kg de Z 1 kg 1000 g Quantidade de insumo B 2 gramas por kg de X 1 grama por kg de Y 4 gramas por kg de Z 2 kg 2000 g Valor obtido com as vendas R 200 por kg de X R 300 por kg de Y R 500 por kg de Z R 250000 Obtemos o sistema linear com três equações e três incógnitas x y z 1000 2x y 4z 2000 2x 3y 5z 25000 E matriz aumentada dada por 1 1 1 1000 2 1 4 2000 2 3 5 2500 Aplicando o método da decomposição de Gauss Passo 1 pivô da primeira coluna a11 1 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e procedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô m21 2 1 2 L2 L2 m21L1 m31 2 1 2 L3 L3 m31L1 Passo 2 pivô da segunda coluna a22 1 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e pro cedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô Calculamos a solução do sistema por retro substituição L3 5z 500 z 100 L2 y 3z 0 y 200 0 y 200 L1 x y z 1000 x 200 100 1000 x 700 Portanto foram vendidos 700 kg do produto X 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z Armadilha no método da eliminação de Gauss Conforme deve ter notado em todos os exemplos trabalhados anteriormente foram tomados pivôs diferentes de zero para que fosse possível efetuar o cálculo dos multiplicadores Sistemas lineares eliminação de Gauss 12 Caso algum pivô seja nulo não é possível determinálos No caso em que algum pivô seja nulo devemos efetuar a troca de linhas conveniente para escolher um novo pivô não nulo a fim de podermos prosseguir com o método da eliminação de Gauss Exemplo Resolve o sistema linear x 2y z 3 2x 4y 3z 1 3x 2y z 4 pelo método da eliminação de Gauss Inicialmente montamos a matriz aumentada do sistema 1 2 1 3 2 4 3 1 3 2 1 4 Construção da matriz triangular superior Passo 1 pivô da primeira coluna a11 1 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e procedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô m21 2 1 2 L2 L2 m21L1 m31 3 1 3 L3 L3 m31L1 1 2 1 3 0 1 7 0 4 2 5 Passo 2 pivô da segunda coluna a22 0 Como o pivô da segunda coluna é nulo não é possível determinar o multiplicador nesse caso Devemos efetuar a troca de linhas L2 L3 Assim obtemos a matriz equivalente 1 2 1 3 0 4 2 5 0 0 1 7 Continuando o processo o pivô da segunda coluna é d22 4 Nesse caso já alcançamos o objetivo pois encontramos a matriz na forma triangular superior Calcular a solução do sistema por retro substituição Lz z 7 z 7 L2 4y 2z 5 4y 27 5 y 475 L1 x 2y z 3 x 2475 7 3 x 05 SANTOS R J Um curso de geometria analítica e álgebra linear Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMG 2017 Leituras recomendadas ANTON H HORRES C Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 ARENALES S DAREZZO A Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software São Paulo Thomson Learning 2008 BARROSO L C et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Editora Harbra 1987 CHAPRA S C Métodos numéricos aplicados com MATLAB para engenheiros e cientistas 3 ed Porto Alegre AMGH 2013 CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo numérico Porto Alegre Bookman 2016 LIPSCHUTZ S LIPSON M Álgebra linear Porto Alegre Bookman 2011 Série Schaum WILKSON J H Rounding errors in algebraic process Englewood Cliffs Prentice Hall 1963 Referência 15 Sistemas lineares eliminação de Gauss Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra no text
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CÁLCULO NUMÉRICO Rejane Izabel Lima Corrêa Sistemas lineares eliminação de Gauss Um sistema linear é um conjunto de m equações lineares Considere o sistema linear composto de quatro variáveis x1 x2 x3 x4 e quatro equações De acordo com o sistema definimos as matrizes A B e X Solução de um sistema linear Resolver um sistema linear consiste em determinar todos os valores das va riáveis x1 x2 x3 xn caso exista que satisfazem simultaneamente as m equações do sistema Considere o sistema linear 3 Sistemas lineares eliminação de Gauss Método da eliminação de Gauss O sistema tem três equações e três variáveis e possui as matrizes A B e X dadas por A solução do sistema é x 2 y 3 e z 1 Para verificar a veracidade da solução basta substituir os valores dados das variáveis x y e z nas três equações do sistema linear e garantir que satisfaçam a igualdade 2 23 1 2 6 1 7 42 23 31 8 6 3 1 52 2 3 1 10 6 1 15 Considere o sistema linear De duas equações e duas incógnitas temos as matrizes A B e X dadas por A solução do sistema é Verifique Sistemas lineares eliminação de Gauss 4 Um sistema linear pode ser classificado de acordo com a sua solução Nem sempre é possível determinar uma solução para um sistema e ainda um mesmo sistema pode admitir infinitas soluções Dizemos que o sistema é possível e determinado quando admite uma única solução Nesse caso cada variável é unicamente determinada assume um único valor O sistema é dito possível e indeterminado no caso em que admite infinitas soluções E o sistema é dito impossível ou inconsistente no caso em que não admite solução Nesse caso não existem valores para as variáveis que satisfazem a todas as equações do sistema Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro equivalente que tenha a mesma solução mas que seja mais fácil de resolver Tal sistema é obtido aplicando as operações elementares sobre as linhas da matriz de coeficientes do sistema conhecida como matriz aumentada do sistema e dada por AB Para o sistema linear a matriz aumentada do sistema AB é dada por 5 Sistemas lineares eliminação de Gauss No final do processo da eliminação de Gauss o objetivo é obter uma matriz como triangular superior a11 a12 a13 a14 a1n a1n1 0 a22 a23 a24 a2n a2n1 0 0 a33 a34 a3n a3n1 0 0 0 a44 a4n a4n1 0 0 0 0 ann ann1 A cada passo do processo do método de Eliminação de Gauss escolhemos o pivô de cada uma das colunas da matriz e zeramos todos os elementos abaixo dele Definimos o pivô de cada coluna k como sendo o elemento da coluna que pertence a diagonal principal Ou seja o pivô de cada coluna k é dado por akk Observe que em cada passo determinamos o pivô de uma coluna passo 1 pivô da coluna 1 elemento a11 passo 2 pivô da coluna 2 elemento a22 passo k pivô da coluna k elemento akk Apresentamos a seguir as etapas para o método de Eliminação de Gauss 1 Escrever uma matriz aumentada do sistema 2 A cada passo k escolher o pivô da coluna k akk 3 Zerar todos os elementos aik que estão abaixo de akk Para toda linha i abaixo da linha que contém o elemento akk Encontrar o multiplicador mik aikakk Atualizar a linha i Li Li mikLk 4 Fazer o processo iterativamente para todas as colunas até obter a matriz na forma triangular superior Exemplo Resolve o sistema linear x 2y z 7 4x 2y 3z 1 5x 2y z 15 pelo método da eliminação de Gauss Inicialmente montamos a matriz aumentada do sistema 1 2 1 7 4 2 3 1 5 2 1 15 Construção da matriz triangular superior Passo 1 pivô da primeira coluna a11 1 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e procedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô m21 41 L2 L2 m21L1 m31 51 L3 L3 m31L1 1 2 1 7 0 10 1 29 0 8 4 20 Passo 2 pivô da segunda coluna a22 2 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e procedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô m32 810 L3 L3 m32L2 1 2 1 7 0 10 1 29 0 0 32 32 Calculamos a solução do sistema por retro substituição L3 32z 32 z 1 L2 10y z 29 10y 1 29 y 3 L1 x 2y z 7 x 23 1 7 x 2 Sistemas lineares eliminação de Gauss Exemplo Uma indústria produz três produtos X Y e Z utilizando dois tipos de insumo A e B Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B para cada kg de Y 1 grama do insumo A e 1 grama do insumo B e para cada kg de Z 1 grama do insumo A e 4 gramas do insumo B O preço de venda do quilo de cada um dos produtos X Y e Z é R 200 R 300 e R 500 respectivamente Com a venda de toda a produção de X Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B essa indústria arrecadou R 250000 Vamos determinar quantos quilogramas de cada um dos produtos X Y e Z foram vendidos SANTOS 2017 Inicialmente devemos modelar o problema por equações para determinarmos o sistema e aplicar o método da eliminação de Gauss Temos que X Y e Z são as variáveis do problema e as equações são dadas por Quantidade de insumo A 1 grama por kg de X 1 grama por kg de Y 1 grama por kg de Z 1 kg 1000 g Quantidade de insumo B 2 gramas por kg de X 1 grama por kg de Y 4 gramas por kg de Z 2 kg 2000 g Valor obtido com as vendas R 200 por kg de X R 300 por kg de Y R 500 por kg de Z R 250000 Obtemos o sistema linear com três equações e três incógnitas x y z 1000 2x y 4z 2000 2x 3y 5z 25000 E matriz aumentada dada por 1 1 1 1000 2 1 4 2000 2 3 5 2500 Aplicando o método da decomposição de Gauss Passo 1 pivô da primeira coluna a11 1 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e procedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô m21 2 1 2 L2 L2 m21L1 m31 2 1 2 L3 L3 m31L1 Passo 2 pivô da segunda coluna a22 1 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e pro cedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô Calculamos a solução do sistema por retro substituição L3 5z 500 z 100 L2 y 3z 0 y 200 0 y 200 L1 x y z 1000 x 200 100 1000 x 700 Portanto foram vendidos 700 kg do produto X 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z Armadilha no método da eliminação de Gauss Conforme deve ter notado em todos os exemplos trabalhados anteriormente foram tomados pivôs diferentes de zero para que fosse possível efetuar o cálculo dos multiplicadores Sistemas lineares eliminação de Gauss 12 Caso algum pivô seja nulo não é possível determinálos No caso em que algum pivô seja nulo devemos efetuar a troca de linhas conveniente para escolher um novo pivô não nulo a fim de podermos prosseguir com o método da eliminação de Gauss Exemplo Resolve o sistema linear x 2y z 3 2x 4y 3z 1 3x 2y z 4 pelo método da eliminação de Gauss Inicialmente montamos a matriz aumentada do sistema 1 2 1 3 2 4 3 1 3 2 1 4 Construção da matriz triangular superior Passo 1 pivô da primeira coluna a11 1 Em seguida determinamos os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô e procedemos com o método para zerar os elementos abaixo do pivô m21 2 1 2 L2 L2 m21L1 m31 3 1 3 L3 L3 m31L1 1 2 1 3 0 1 7 0 4 2 5 Passo 2 pivô da segunda coluna a22 0 Como o pivô da segunda coluna é nulo não é possível determinar o multiplicador nesse caso Devemos efetuar a troca de linhas L2 L3 Assim obtemos a matriz equivalente 1 2 1 3 0 4 2 5 0 0 1 7 Continuando o processo o pivô da segunda coluna é d22 4 Nesse caso já alcançamos o objetivo pois encontramos a matriz na forma triangular superior Calcular a solução do sistema por retro substituição Lz z 7 z 7 L2 4y 2z 5 4y 27 5 y 475 L1 x 2y z 3 x 2475 7 3 x 05 SANTOS R J Um curso de geometria analítica e álgebra linear Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMG 2017 Leituras recomendadas ANTON H HORRES C Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 ARENALES S DAREZZO A Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software São Paulo Thomson Learning 2008 BARROSO L C et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Editora Harbra 1987 CHAPRA S C Métodos numéricos aplicados com MATLAB para engenheiros e cientistas 3 ed Porto Alegre AMGH 2013 CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo numérico Porto Alegre Bookman 2016 LIPSCHUTZ S LIPSON M Álgebra linear Porto Alegre Bookman 2011 Série Schaum WILKSON J H Rounding errors in algebraic process Englewood Cliffs Prentice Hall 1963 Referência 15 Sistemas lineares eliminação de Gauss Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra no text