Funções Vetoriais e Parametrização de Curvas - Cálculo III

Cálculo III Funções vetoriais parte II Profa Camila Bim Curvas Dada uma função vetorial contínua റ𝑓 t റ𝑓1𝑡റ𝑖 റ𝑓2𝑡റ𝑗 റ𝑓3𝑡𝑘 a curva será o lugar geométrico dos pontos P do espaço que têm vetor posição റ𝑓 t sendo t pertencente a I Exemplo 1 Descrever a trajetória L de um ponto móvel P cujo deslocamento é expresso por റ𝑓 t 𝑡റ𝑖 𝑡റ𝑗 3𝑘 Representação paramétrica de curvas As equações abaixo são chamadas de equações paramétricas de uma curva e t é chamado de parâmetro x xt y yt z zt Dadas as equações paramétricas de uma curva podemos obter uma equação vetorial para ela basta considerar o vetor posição റ𝑟 t de cada ponto da curva e as componentes de റ𝑟 t serão as coordenadas do ponto റ𝑟 t x𝑡റ𝑖 y𝑡റ𝑗 z𝑡𝑘 Exemplo 2 Escreva as equações paramétricas da seguinte equação vetorial റ𝑟 t 𝑡റ𝑖 𝑡റ𝑗 𝑡𝑘 Exemplo 3 Dada as equações paramétricas represente a equação vetorial correspondente x 2 cost y 2sent z 3t Tipos de curvas Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço exemplo 2 Uma curva que não é plana chamase curva reversa exemplo 3 uma curva parametrizada rt t E ab é dita fechada se ra rb se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t exceto quando ta e tb dizemos que a curva é simples Curvas fechadas simples Curvas que não são simples Parametrização de uma reta A equação vetorial de uma reta qualquer pode ser dada por 𝑃 𝑃0 Vt Assim as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x0 y0 z0 e tem direção aറ𝑖 bറ𝑗 c𝑘 são x x0 at y y0 bt z z0 ct Exemplo 4 Determine as equações paramétricas e a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 2 1 1 na direção do vetor 2റ𝑖 3റ𝑗 𝑘 Exemplo 5 Parametrize a reta que passa pelos pontos P1 0 4 e Q3 2 1 Parametrização de uma circunferência Equação vetorial da circunferência de raio a com centro na origem no plano xy റ𝑟t xt yt a cost റ𝑖 a sent റ𝑗 sendo xt acost yt asent Se o centro não for na origem for em x0 e y0 റ𝑟t x0 a cost റ𝑖 y0 a sent റ𝑗 Exemplo 6 Descreva a curva vetorial rt 3cost 3sent Exemplo 7 Obtenha as equações paramétricas da circunferência x2 y2 4x 6y 9 0 no plano z5 Parametrização de uma elipse Equação vetorial para um elipse com centro na origem no plano xy റ𝑟t xt yt a cost റ𝑖 b sent റ𝑗 sendo xt acost yt bsent Se o centro não for na origem for em x0 e y0 റ𝑟t x0 a cost റ𝑖 y0 b sent റ𝑗 Exemplo 8 Escreva uma equação vetorial da elipse 9x2 4y2 36 no plano xy Exemplo 9 Escreva uma equação vetorial da elipse 𝑥2 2 9 𝑦1 2 4 1 no plano z2 Parametrização de uma hélice circular റ𝑟t xt yt zt Circunferência de raio a com centro na origem റ𝑟t a cost റ𝑖 a sent റ𝑗 Analisando o z z attgθ atm റ𝑟t a cost റ𝑖 a sent റ𝑗 a t m 𝑘 𝑚 0 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 m 0 rotacional para baixo Exemplo 10 Representar graficamente a hélice circular റ𝑟t 2cost 2sent t Questões 01 Encontre uma parametrização da reta que passa por 3 1 4 de vetor diretor 2 1 7 02 Descreva a curva vetorial റ𝑟 t 2cos𝑡റ𝑖 2sentറ𝑗 4𝑘 03 Escrever uma equação vetorial da elipse no plano xy 4x2 25y2 100