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SUMÁRIO CAPÍTULO 3 Interpolação e Aproximações Introdução a Interpolação Polinomial Interpolação Linear Interpolação Quadrática Polinômio de Lagrange Polinômio de Newton Estudo de erro na Interpolação Polinomial Introdução a Interpolação Polinomial Introdução a Interpolação Polinomial A aproximação de funções por polinômios é uma das ideias mais antigas da análise numérica e ainda uma das mais usadas A prática da engenharia constantemente necessita de dados encontrados em tabelas os quais são usados como fonte de informação Uma tabela contém sempre um número limitado de valores Admitindose que estes valores tenham sido obtidos com elevada precisão resta o problema de obter valores da função correspondente a valores de x que não constem na tabela Introdução a Interpolação Polinomial Tais valores claramente não poderão ser obtidos exatamente pois o comportamento da função entre os xs dados é totalmente desconhecido Assim são necessários métodos de obtenção de boas estimativas destes valores Para contornar esse pequeno problema existe a TÉCNICA DE INTERPOLAÇÃO a qual consiste em exigir que a aproximação coincida com a função fx que gerou a tabela Introdução a Interpolação Polinomial INTERPOLAR uma função fx consiste em aproximar essa função por uma outra função gx que é escolhida entre uma classe de funções definida a priori polinômios funções trigonométricas funções racionais entre outros e que satisfaçam algumas propriedades A função gx é então usada em substituição à função fx Assim o problema da interpolação consiste na obtenção de funções que descrevam de forma exata um conjunto de dados Introdução a Interpolação Polinomial Concretamente dada uma tabela de valores de uma determinada função f da forma O problema consiste em determinar uma função de determinada família de tal modo que Introdução a Interpolação Polinomial Introdução a Interpolação Polinomial Em que situações se deve interpolar Quando são conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado Ou quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e integração são difíceis de serem realizadas Introdução a Interpolação Polinomial Primeiramente é garantido que 1 sempre é possível aproximar uma função contínua por um polinômio Além disso 2 polinômios têm derivadas e integrais muito fáceis de serem calculadas A aproximação de funções por polinômios é chamada de Interpolação Polinomial Esta situação é chamada de condição de interpolação e o polinômio que a satisfaz é chamado Polinômio Interpolador Introdução a Interpolação Polinomial Exemplo 1 Considere que temos uma tabela com anos e a taxa de fecundidade de um país em cada um destes anos Podemos estar interessados em estimar qual será essa taxa em um ano futuro usando como base os dados da tabela Este processo é chamado de INTERPOLAÇÃO Introdução a Interpolação Polinomial Exemplo 1 Introdução a Interpolação Polinomial Exemplo 2 Considere que o calor específico c da água varia com a temperatura T em c graus celsius conforme Para obter o calor específico da água a 29C uma interpolação colocação entre duas coisas ajuda a resolver este problema já que essa informação desejada não se encontra disponível na tabela Introdução a Interpolação Polinomial Entre os MÉTODOS existentes os mais usados são A Interpolação Linear que consiste em se passar segmentos de retas polinômios do 1 grau através de cada par de pontos da tabela Em outros termos encontrase o valor intermediário por meio de uma simples regra de três entre estes pontos Neste caso encontrase um polinômio de interpolação da função entre os pontos e Introdução a Interpolação Polinomial Entre os MÉTODOS existentes os mais usados são A Interpolação Quadrática a qual consiste em se passar polinômios do 2 grau através do conjunto de três pontos A Interpolação do 3 Grau a qual usa quatro pontos para se obter uma equação do 3 grau como uma aproximação da função da tabela Interpolação Linear É uma estratégia de cálculo que permite determinar por aproximação um valor desconhecido que se encontra entre dois valores dados Temos dois pontos Então n 1 2 Neste caso o polinômio interpolador terá grau n 1 Teorema Dados os pontos a Interpolante Linear é a linha entre os dois pontos Para um valor x no intervalo o valor y é a linha entre os pontos Estabelecendo a seguinte relação Interpolação Linear Teorema Utilizaremos a Interpolação Linear sobre uma tabela com pressão megapascal Mpa e temperatura celsius Qual a temperatura a 118 Mpa Interpolação Linear Exemplo Exemplo 1 Verificar a inserção da informação na Tabela Interpolação Linear y0 y y1 x0 x x1 Exemplo 2 Estruturar a equação Interpolação Linear Exemplo 3 Resolver a equação Interpolação Linear Interpolação Linear Resposta 10862 X Y 45 100 74 150 Seja a função y fx definida pelos pontos da tabela a seguir determine o valor de f50 Considere duas casas decimais para o resultado Vamos Praticar Interpolação Quadrática Essa interpolação utiliza os dados de uma tabela pré definida e os transformam em uma fórmula caso queira descobrir dados que não estão na tabela utilizando três pontos Então n 1 3 Neste caso o polinômio interpolador terá grau n 2 Se conhecermos três pontos distintos de uma função então o polinômio interpolador será P2 x a2x2 a1x a0 ou P2 x a0 a1x a2x2 Nesse conjunto de pontos o polinômio de segundo grau é formado pelo termo independente mais os termos de primeiro e segundo grau Teorema Interpolação Quadrática O polinômio P2x é conhecido como função quadrática cuja imagem geométrica é uma parábola Portanto a função fx é aproximada por uma parábola que passa pelos três pontos conhecidos x0 y0 x1 y1 e x2 y2 Para determinar os valores de a0 a1 e a2 é necessário resolver o sistema a2x0 2 a1x0 a0 y0 a2x1 2 a1x1 a0 y1 a2x2 2 a1x2 a0 y2 ou Em que a1 a0 e a2 são as incógnitas e os pontos x0 y0 x1 y1 e x2 y2 tem os valores conhecidos a0 a1x0 a2x0 2 y0 a0 a1x1 a2x1 2 y1 a0 a1x2 a2x2 2 y2 Teorema Interpolação Quadrática Matriz de Vandermonde Teorema Interpolação Quadrática Dada a tabela a seguir calcule o valor de Interpolação Quadrática P2 x e P2 1 X Y 1 0 2 4 1 1 Exemplo Interpolação Quadrática X Y 1 0 1 2 4 1 1 x0 x1 x2 y0 y1 y2 a P2 x b P2 1 P2 x a0 a1x a2x2 a0 a1x0 a2x0 2 y0 a0 a1x1 a2x1 2 y1 a0 a1x2 a2x2 2 y2 Exemplo Interpolação Quadrática Exemplo 1º 2º 3º 4º 5º 6º Interpolação Quadrática X Y 1 0 2 4 1 1 067 Exemplo Interpolação Quadrática Resposta P21 067 P2x 1 5x 4x2 3 3 Dada a tabela a seguir calcule o valor de Interpolação Quadrática P2 x e P2 1 X Y 1 0 2 4 1 3 Vamos Praticar Polinômio de Lagrange Percebese que a resolução de um problema de interpolação também pode ser entendido como a busca da solução de um sistema matricial de álgebra linear Além disso a utilização do polinômio em base canônica conforme às regras leva a uma Matriz de Vandermonde mal condicionada Para resolver este problema o matemático JosephLouis de Lagrange escolheu uma outra base que melhorasse o condicionamento da matriz A ideia foi diagonalizála obtendo uma matriz identidade cuja resolução do sistema linear é simples e direta Polinômio de Lagrange Sejam xi yi i 0 1 2 n n1 pontos distintos isto é xi xj para i j Existe um único polinômio Px de grau menor ou igual a n tal que Pxi yi para todo i O polinômio Px pode ser escrito na forma Teorema Polinômio de Lagrange Sejam x0 x1 x2 xn n 1 pontos distintos e yi fxi i 0 1 n Seja Pnx o polinômio de grau n que interpola f em x0 xn Podemos representar Pnx na forma Teorema onde os polinômios Lkx são de grau n Polinômio de Lagrange Para cada i queremos que a condição Pnx yi seja satisfeita ou seja A forma mais simples de se satisfazer esta condição é impor Teorema Polinômio de Lagrange E para isso definimos Lkx por Como o numerador de Lkx é um produto de n fatores da forma x xi i 0 1 2 n i k então Lkx é um polinômio de grau n e assim Pnx é um polinômio de grau menor ou igual a n Teorema Polinômio de Lagrange Além disso para x xi i 0 n temos Então a interpolação de Lagrange para o polinômio interpolador é Teorema Polinômio de Lagrange O polinômio de Lagrange tem grau 3 Teorema Polinômio de Lagrange Para ilustrar e facilitar a compressão do método considere a seguinte tabela Os polinômios Li são dados por Teorema Polinômio de Lagrange Obter P2 x e P2 1 através dos pontos da tabela a seguir X Y 1 0 1 2 4 1 1 a P2 x b P2 1 P2 x y0L0x y1L1x y2L2x P2 x 4 L0 x 1 L1 x 1 L2 x Exemplo Agora vamos encontrar L0 L1 e L2 Polinômio de Lagrange L0 x x x1 x x2 x0 x1 x0 x2 Exemplo x 0 x 2 1 0 1 2 L1 x x x0 x x2 x1 x0 x1 x2 x 1 x 2 0 1 0 2 L2 x x x0 x x1 x2 x0 x2 x1 x 1 x 0 2 1 2 0 x2 2x 3 x2 x 2 1 2 x2 x 6 Polinômio de Lagrange P2x 4 x2 2x x2 x 2 x2 x 3 2 6 P2x 4x2 8x x2 x 2 x2 x 3 2 6 P2x 8x2 16x 3x2 3x 6 x2 x 6 P2x 4x2 14x 6 6 2 x2 7 x 1 3 3 Exemplo Polinômio de Lagrange P21 067 233 1 067 Exemplo 2 x2 7 x 1 3 3 2 12 7 1 1 3 3 Resposta P2 1 2625 P2 x 2 13 x 11x2 12 24 Obter P2 x e P2 1 com a técnica de Lagrange considerando os pontos da tabela a seguir X Y 2 0 4 2 2 1 Polinômio de Lagrange Vamos Praticar Polinômio de Newton Tratase de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinômio interpolador baseada numa construção sucessiva a partir dos polinômios de graus inferiores Para estabelecer essa fórmula convém introduzir a noção de diferença dividida As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas desde que se utilizem pontos suficientemente próximos Polinômio de Newton Podemos utilizar os nós de interpolação que podem estar bastante afastados Para as funções regulares é possível estabelecer uma relação entre o valor de uma diferença dividida e a derivada num certo ponto Polinômio de Newton Onde ai 0 i n é operador diferença dividida de ordem i Teorema Polinômio de Newton Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem n Seja fx função tabelada em n 1 pontos distintos x0 x1 x2 xn Definese o operador diferenças divididas por y0 fx0 y1 fx1 y2 fx2 Teorema Polinômio de Newton Utilizar apenas o primeiro valor de cada ordem conforme o Teorema apresentado x x0 x1 x2 𝓸0 𝓸1 𝓸2 a0 a1 a2 Teorema Polinômio de Newton Encontrar o polinômio que interpola os pontos da tabela a seguir a P2 x b P2 1 X Y 1 0 2 4 1 1 Exemplo Polinômio de Newton x0 x1 x2 y0 y1 y2 P2 x a0 a1 x 1 a2 x 1 x 0 P2 x a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 x x0 x1 x2 𝓸0 𝓸1 𝓸2 4 1 4 3 1 3 2 0 1 2 1 3 1 1 1 1 2 0 1 a0 a1 a2 X Y 1 0 2 4 1 1 Exemplo Polinômio de Newton P2 x 4 3 x 1 2 x1 x 3 P2 x 4 3x 3 2 x2 2 x 3 3 P2 x 2 x2 7 x 1 3 3 Exemplo Polinômio de Newton P2 x 4 3 x 1 2 x1 x 3 P2 1 4 3 1 1 2 1 1 1 3 P2 1 067 Exemplo Polinômio de Newton Vamos Praticar Determine o Polinômio Interpolador de Newton do segundo grau 3 pontos da função definida pela tabela a seguir Resposta P2x 2x2 x 1 Estudo de erro na Interpolação Polinomial Estudo de erro na Interpolação Polinomial Inicialmente vamos verificar o conceito de Interpolador Estudo de erro na Interpolação Polinomial Repare que foram inseridos alguns pontos x0 x1 x2 x3 x4 Traçado a função fx e o interpolador gx que é exatamente a representação do conceito No cálculo de uma estimativa de um ponto que não seja igual a esses pontos comentemos um erro Estudo de erro na Interpolação Polinomial A seguir veremos a aplicação do erro Ex fx px Exemplo Estudo de erro na Interpolação Polinomial Agora queremos estimar um valor para um ponto que pertença a esse intervalo que seja diferente desses pontos já existentes Exemplo
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SUMÁRIO CAPÍTULO 3 Interpolação e Aproximações Introdução a Interpolação Polinomial Interpolação Linear Interpolação Quadrática Polinômio de Lagrange Polinômio de Newton Estudo de erro na Interpolação Polinomial Introdução a Interpolação Polinomial Introdução a Interpolação Polinomial A aproximação de funções por polinômios é uma das ideias mais antigas da análise numérica e ainda uma das mais usadas A prática da engenharia constantemente necessita de dados encontrados em tabelas os quais são usados como fonte de informação Uma tabela contém sempre um número limitado de valores Admitindose que estes valores tenham sido obtidos com elevada precisão resta o problema de obter valores da função correspondente a valores de x que não constem na tabela Introdução a Interpolação Polinomial Tais valores claramente não poderão ser obtidos exatamente pois o comportamento da função entre os xs dados é totalmente desconhecido Assim são necessários métodos de obtenção de boas estimativas destes valores Para contornar esse pequeno problema existe a TÉCNICA DE INTERPOLAÇÃO a qual consiste em exigir que a aproximação coincida com a função fx que gerou a tabela Introdução a Interpolação Polinomial INTERPOLAR uma função fx consiste em aproximar essa função por uma outra função gx que é escolhida entre uma classe de funções definida a priori polinômios funções trigonométricas funções racionais entre outros e que satisfaçam algumas propriedades A função gx é então usada em substituição à função fx Assim o problema da interpolação consiste na obtenção de funções que descrevam de forma exata um conjunto de dados Introdução a Interpolação Polinomial Concretamente dada uma tabela de valores de uma determinada função f da forma O problema consiste em determinar uma função de determinada família de tal modo que Introdução a Interpolação Polinomial Introdução a Interpolação Polinomial Em que situações se deve interpolar Quando são conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado Ou quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e integração são difíceis de serem realizadas Introdução a Interpolação Polinomial Primeiramente é garantido que 1 sempre é possível aproximar uma função contínua por um polinômio Além disso 2 polinômios têm derivadas e integrais muito fáceis de serem calculadas A aproximação de funções por polinômios é chamada de Interpolação Polinomial Esta situação é chamada de condição de interpolação e o polinômio que a satisfaz é chamado Polinômio Interpolador Introdução a Interpolação Polinomial Exemplo 1 Considere que temos uma tabela com anos e a taxa de fecundidade de um país em cada um destes anos Podemos estar interessados em estimar qual será essa taxa em um ano futuro usando como base os dados da tabela Este processo é chamado de INTERPOLAÇÃO Introdução a Interpolação Polinomial Exemplo 1 Introdução a Interpolação Polinomial Exemplo 2 Considere que o calor específico c da água varia com a temperatura T em c graus celsius conforme Para obter o calor específico da água a 29C uma interpolação colocação entre duas coisas ajuda a resolver este problema já que essa informação desejada não se encontra disponível na tabela Introdução a Interpolação Polinomial Entre os MÉTODOS existentes os mais usados são A Interpolação Linear que consiste em se passar segmentos de retas polinômios do 1 grau através de cada par de pontos da tabela Em outros termos encontrase o valor intermediário por meio de uma simples regra de três entre estes pontos Neste caso encontrase um polinômio de interpolação da função entre os pontos e Introdução a Interpolação Polinomial Entre os MÉTODOS existentes os mais usados são A Interpolação Quadrática a qual consiste em se passar polinômios do 2 grau através do conjunto de três pontos A Interpolação do 3 Grau a qual usa quatro pontos para se obter uma equação do 3 grau como uma aproximação da função da tabela Interpolação Linear É uma estratégia de cálculo que permite determinar por aproximação um valor desconhecido que se encontra entre dois valores dados Temos dois pontos Então n 1 2 Neste caso o polinômio interpolador terá grau n 1 Teorema Dados os pontos a Interpolante Linear é a linha entre os dois pontos Para um valor x no intervalo o valor y é a linha entre os pontos Estabelecendo a seguinte relação Interpolação Linear Teorema Utilizaremos a Interpolação Linear sobre uma tabela com pressão megapascal Mpa e temperatura celsius Qual a temperatura a 118 Mpa Interpolação Linear Exemplo Exemplo 1 Verificar a inserção da informação na Tabela Interpolação Linear y0 y y1 x0 x x1 Exemplo 2 Estruturar a equação Interpolação Linear Exemplo 3 Resolver a equação Interpolação Linear Interpolação Linear Resposta 10862 X Y 45 100 74 150 Seja a função y fx definida pelos pontos da tabela a seguir determine o valor de f50 Considere duas casas decimais para o resultado Vamos Praticar Interpolação Quadrática Essa interpolação utiliza os dados de uma tabela pré definida e os transformam em uma fórmula caso queira descobrir dados que não estão na tabela utilizando três pontos Então n 1 3 Neste caso o polinômio interpolador terá grau n 2 Se conhecermos três pontos distintos de uma função então o polinômio interpolador será P2 x a2x2 a1x a0 ou P2 x a0 a1x a2x2 Nesse conjunto de pontos o polinômio de segundo grau é formado pelo termo independente mais os termos de primeiro e segundo grau Teorema Interpolação Quadrática O polinômio P2x é conhecido como função quadrática cuja imagem geométrica é uma parábola Portanto a função fx é aproximada por uma parábola que passa pelos três pontos conhecidos x0 y0 x1 y1 e x2 y2 Para determinar os valores de a0 a1 e a2 é necessário resolver o sistema a2x0 2 a1x0 a0 y0 a2x1 2 a1x1 a0 y1 a2x2 2 a1x2 a0 y2 ou Em que a1 a0 e a2 são as incógnitas e os pontos x0 y0 x1 y1 e x2 y2 tem os valores conhecidos a0 a1x0 a2x0 2 y0 a0 a1x1 a2x1 2 y1 a0 a1x2 a2x2 2 y2 Teorema Interpolação Quadrática Matriz de Vandermonde Teorema Interpolação Quadrática Dada a tabela a seguir calcule o valor de Interpolação Quadrática P2 x e P2 1 X Y 1 0 2 4 1 1 Exemplo Interpolação Quadrática X Y 1 0 1 2 4 1 1 x0 x1 x2 y0 y1 y2 a P2 x b P2 1 P2 x a0 a1x a2x2 a0 a1x0 a2x0 2 y0 a0 a1x1 a2x1 2 y1 a0 a1x2 a2x2 2 y2 Exemplo Interpolação Quadrática Exemplo 1º 2º 3º 4º 5º 6º Interpolação Quadrática X Y 1 0 2 4 1 1 067 Exemplo Interpolação Quadrática Resposta P21 067 P2x 1 5x 4x2 3 3 Dada a tabela a seguir calcule o valor de Interpolação Quadrática P2 x e P2 1 X Y 1 0 2 4 1 3 Vamos Praticar Polinômio de Lagrange Percebese que a resolução de um problema de interpolação também pode ser entendido como a busca da solução de um sistema matricial de álgebra linear Além disso a utilização do polinômio em base canônica conforme às regras leva a uma Matriz de Vandermonde mal condicionada Para resolver este problema o matemático JosephLouis de Lagrange escolheu uma outra base que melhorasse o condicionamento da matriz A ideia foi diagonalizála obtendo uma matriz identidade cuja resolução do sistema linear é simples e direta Polinômio de Lagrange Sejam xi yi i 0 1 2 n n1 pontos distintos isto é xi xj para i j Existe um único polinômio Px de grau menor ou igual a n tal que Pxi yi para todo i O polinômio Px pode ser escrito na forma Teorema Polinômio de Lagrange Sejam x0 x1 x2 xn n 1 pontos distintos e yi fxi i 0 1 n Seja Pnx o polinômio de grau n que interpola f em x0 xn Podemos representar Pnx na forma Teorema onde os polinômios Lkx são de grau n Polinômio de Lagrange Para cada i queremos que a condição Pnx yi seja satisfeita ou seja A forma mais simples de se satisfazer esta condição é impor Teorema Polinômio de Lagrange E para isso definimos Lkx por Como o numerador de Lkx é um produto de n fatores da forma x xi i 0 1 2 n i k então Lkx é um polinômio de grau n e assim Pnx é um polinômio de grau menor ou igual a n Teorema Polinômio de Lagrange Além disso para x xi i 0 n temos Então a interpolação de Lagrange para o polinômio interpolador é Teorema Polinômio de Lagrange O polinômio de Lagrange tem grau 3 Teorema Polinômio de Lagrange Para ilustrar e facilitar a compressão do método considere a seguinte tabela Os polinômios Li são dados por Teorema Polinômio de Lagrange Obter P2 x e P2 1 através dos pontos da tabela a seguir X Y 1 0 1 2 4 1 1 a P2 x b P2 1 P2 x y0L0x y1L1x y2L2x P2 x 4 L0 x 1 L1 x 1 L2 x Exemplo Agora vamos encontrar L0 L1 e L2 Polinômio de Lagrange L0 x x x1 x x2 x0 x1 x0 x2 Exemplo x 0 x 2 1 0 1 2 L1 x x x0 x x2 x1 x0 x1 x2 x 1 x 2 0 1 0 2 L2 x x x0 x x1 x2 x0 x2 x1 x 1 x 0 2 1 2 0 x2 2x 3 x2 x 2 1 2 x2 x 6 Polinômio de Lagrange P2x 4 x2 2x x2 x 2 x2 x 3 2 6 P2x 4x2 8x x2 x 2 x2 x 3 2 6 P2x 8x2 16x 3x2 3x 6 x2 x 6 P2x 4x2 14x 6 6 2 x2 7 x 1 3 3 Exemplo Polinômio de Lagrange P21 067 233 1 067 Exemplo 2 x2 7 x 1 3 3 2 12 7 1 1 3 3 Resposta P2 1 2625 P2 x 2 13 x 11x2 12 24 Obter P2 x e P2 1 com a técnica de Lagrange considerando os pontos da tabela a seguir X Y 2 0 4 2 2 1 Polinômio de Lagrange Vamos Praticar Polinômio de Newton Tratase de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinômio interpolador baseada numa construção sucessiva a partir dos polinômios de graus inferiores Para estabelecer essa fórmula convém introduzir a noção de diferença dividida As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas desde que se utilizem pontos suficientemente próximos Polinômio de Newton Podemos utilizar os nós de interpolação que podem estar bastante afastados Para as funções regulares é possível estabelecer uma relação entre o valor de uma diferença dividida e a derivada num certo ponto Polinômio de Newton Onde ai 0 i n é operador diferença dividida de ordem i Teorema Polinômio de Newton Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem n Seja fx função tabelada em n 1 pontos distintos x0 x1 x2 xn Definese o operador diferenças divididas por y0 fx0 y1 fx1 y2 fx2 Teorema Polinômio de Newton Utilizar apenas o primeiro valor de cada ordem conforme o Teorema apresentado x x0 x1 x2 𝓸0 𝓸1 𝓸2 a0 a1 a2 Teorema Polinômio de Newton Encontrar o polinômio que interpola os pontos da tabela a seguir a P2 x b P2 1 X Y 1 0 2 4 1 1 Exemplo Polinômio de Newton x0 x1 x2 y0 y1 y2 P2 x a0 a1 x 1 a2 x 1 x 0 P2 x a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 x x0 x1 x2 𝓸0 𝓸1 𝓸2 4 1 4 3 1 3 2 0 1 2 1 3 1 1 1 1 2 0 1 a0 a1 a2 X Y 1 0 2 4 1 1 Exemplo Polinômio de Newton P2 x 4 3 x 1 2 x1 x 3 P2 x 4 3x 3 2 x2 2 x 3 3 P2 x 2 x2 7 x 1 3 3 Exemplo Polinômio de Newton P2 x 4 3 x 1 2 x1 x 3 P2 1 4 3 1 1 2 1 1 1 3 P2 1 067 Exemplo Polinômio de Newton Vamos Praticar Determine o Polinômio Interpolador de Newton do segundo grau 3 pontos da função definida pela tabela a seguir Resposta P2x 2x2 x 1 Estudo de erro na Interpolação Polinomial Estudo de erro na Interpolação Polinomial Inicialmente vamos verificar o conceito de Interpolador Estudo de erro na Interpolação Polinomial Repare que foram inseridos alguns pontos x0 x1 x2 x3 x4 Traçado a função fx e o interpolador gx que é exatamente a representação do conceito No cálculo de uma estimativa de um ponto que não seja igual a esses pontos comentemos um erro Estudo de erro na Interpolação Polinomial A seguir veremos a aplicação do erro Ex fx px Exemplo Estudo de erro na Interpolação Polinomial Agora queremos estimar um valor para um ponto que pertença a esse intervalo que seja diferente desses pontos já existentes Exemplo