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Profª ALICE TORRES DISCIPLINAS DE CÁLCULO PROPRIEDADES LIMITES Supondo k uma constante n um inteiro positivo e os limites lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 existam então 1 Se lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 e lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑀 então L M Unicidade do limite 2 Se 𝑓𝑥 𝑘 para todo x real então lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑘 Limite de funções constantes 3 lim 𝑥𝑎 𝑥 𝑎 4 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 5 lim 𝑥𝑎𝑘𝑓𝑥 𝑘 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 6 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 7 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑠𝑒 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 0 8 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥𝑛 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥𝑛 9 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑛 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑛 10 lim 𝑥𝑎 𝑘𝑓𝑥 𝑘lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 11 lim 𝑥𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 12 lim 𝑥𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑓𝑥 𝑐𝑜𝑠 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 13 lim 𝑥𝑎log𝑏 𝑓𝑥 log𝑏lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 para lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 0 14 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑓𝑎 Substituição direta para função polinomial ou racional 15 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 𝑠𝑒 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 Limite bilateral LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 16 lim 𝑥 𝑓𝑥 lim 𝑥 𝑃𝑥 𝑄𝑥 lim 𝑥 𝑎0𝑥𝑛 𝑏0𝑥𝑚 Limite no infinito para função racional 17 lim 𝑥0 1 𝑥𝑛 18 lim 𝑥0 1 𝑥𝑛 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 19 lim 𝑥 𝑐 𝑥𝑛 0 20 lim 𝑥 𝑐 𝑥 1 c 0 21 lim 𝑥 𝑐𝑥 𝑥 0 22 lim 𝑥 𝑥 𝑥 1 23 lim 𝑥 𝑐𝑥 𝑠𝑒 𝑐 1 0 𝑠𝑒 0 𝑐 1 TABELA COM LIMITES INFINITOS FUNÇÃO DO 2º GRAU FATORADA 𝑥1 𝑒 𝑥2 raízes da função 𝑓𝑥 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑥 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 PRODUTOS NOTÁVEIS MAIS COMUNS Fator comum ax bx x a b Produto de uma soma e de uma diferença a ba b a² b² Diferença de dois quadrados Quadrado de uma soma de dois termos a b² a² 2ab b² Trinômios quadrados perfeitos Quadrado de uma diferença de dois termos a b² a² 2ab b² PROPRIEDADES DERIVADAS 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒉𝟎 𝒇𝒙𝒉𝒇𝒙 𝒉 cálculo da derivada pela definição DERIVADA DA FUNÇÃO EM UM PONTO 𝒇𝒙𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝒙𝟎 𝒇𝒙𝒇𝒙𝟎 𝒙𝒙𝟎 DERIVADA DA FUNÇÃO AFIM 𝒇𝒙 𝒚 𝒎 𝒙 𝒏 𝒇𝒙 𝒚 𝒎 DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE 𝒇𝒙 𝒚 𝒏 𝒇𝒙 𝒚 𝟎 SIMBOLOGIAS 𝒇𝒙 𝒇 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒇𝒙 𝑫𝒇𝒙 𝑫𝒙𝒇𝒙 REGRAS DE DERIVAÇÃO Sejam 𝑓 𝑒 𝑔 duas funções definidas no mesmo intervalo 𝐼 e deriváveis em 𝑥 𝐼 Considere k e n constantes reais quaisquer a 𝑐 𝑓𝑥 𝑐 𝑓𝑥 b 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Regra da soma c 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 Regra do produto d 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑔𝑥2 Regra do quociente e 𝑓𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑥 𝑔𝑥 Regra da cadeia DERIVADAS DE FUNÇÕES GERAIS 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑘 0 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑘𝑥 𝑘 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑘𝑓𝑥 𝑘 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥 Por constante 5 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛1 Regra da potência 6 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 7 𝑑 𝑑𝑥 log𝑎 𝑥 1 𝑥 𝑙𝑛𝑎 8 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑥 1 𝑥 9 𝑑 𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS 10 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 11 𝑑 𝑑𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 12 𝑑 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑐²𝑥 13 𝑑 𝑑𝑥 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 sec 𝑥 14 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²𝑥 15 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 PROPRIEDADES INTEGRAIS 1 𝐷𝑥𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝐶 Integral da derivada 2 𝐷𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 Derivada da integral 3 𝑐𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑐 𝑓𝑥𝑑𝑥 Multiplicação por constante 4 𝑓𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 Integral de adição ou subtração 5 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑢 𝑑𝑢 Integral por substituição de variáveis 6 𝑢𝑥𝑣𝑥𝑑𝑥 𝑢𝑥𝑣𝑥 𝑣𝑥𝑢𝑥 𝑑𝑥 Integral por partes PRINCIPAIS INTEGRAIS 1 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 2 𝑥𝑟𝑑𝑥 𝑥𝑟1 𝑟1 𝐶 𝑟 1 3 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝐶 4 1 𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 𝐶 5 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 6 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐶 7 𝑠𝑒𝑐²𝑥 𝑑𝑥 tg 𝑥 𝐶 8 𝑐𝑠𝑐² 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝐶 9 sec𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝐶
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Profª ALICE TORRES DISCIPLINAS DE CÁLCULO PROPRIEDADES LIMITES Supondo k uma constante n um inteiro positivo e os limites lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 existam então 1 Se lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 e lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑀 então L M Unicidade do limite 2 Se 𝑓𝑥 𝑘 para todo x real então lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑘 Limite de funções constantes 3 lim 𝑥𝑎 𝑥 𝑎 4 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 5 lim 𝑥𝑎𝑘𝑓𝑥 𝑘 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 6 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 7 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑠𝑒 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 0 8 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥𝑛 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥𝑛 9 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑛 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑛 10 lim 𝑥𝑎 𝑘𝑓𝑥 𝑘lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 11 lim 𝑥𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 12 lim 𝑥𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑓𝑥 𝑐𝑜𝑠 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 13 lim 𝑥𝑎log𝑏 𝑓𝑥 log𝑏lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 para lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 0 14 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑓𝑎 Substituição direta para função polinomial ou racional 15 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 𝑠𝑒 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 Limite bilateral LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 16 lim 𝑥 𝑓𝑥 lim 𝑥 𝑃𝑥 𝑄𝑥 lim 𝑥 𝑎0𝑥𝑛 𝑏0𝑥𝑚 Limite no infinito para função racional 17 lim 𝑥0 1 𝑥𝑛 18 lim 𝑥0 1 𝑥𝑛 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 19 lim 𝑥 𝑐 𝑥𝑛 0 20 lim 𝑥 𝑐 𝑥 1 c 0 21 lim 𝑥 𝑐𝑥 𝑥 0 22 lim 𝑥 𝑥 𝑥 1 23 lim 𝑥 𝑐𝑥 𝑠𝑒 𝑐 1 0 𝑠𝑒 0 𝑐 1 TABELA COM LIMITES INFINITOS FUNÇÃO DO 2º GRAU FATORADA 𝑥1 𝑒 𝑥2 raízes da função 𝑓𝑥 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑥 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 PRODUTOS NOTÁVEIS MAIS COMUNS Fator comum ax bx x a b Produto de uma soma e de uma diferença a ba b a² b² Diferença de dois quadrados Quadrado de uma soma de dois termos a b² a² 2ab b² Trinômios quadrados perfeitos Quadrado de uma diferença de dois termos a b² a² 2ab b² PROPRIEDADES DERIVADAS 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒉𝟎 𝒇𝒙𝒉𝒇𝒙 𝒉 cálculo da derivada pela definição DERIVADA DA FUNÇÃO EM UM PONTO 𝒇𝒙𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝒙𝟎 𝒇𝒙𝒇𝒙𝟎 𝒙𝒙𝟎 DERIVADA DA FUNÇÃO AFIM 𝒇𝒙 𝒚 𝒎 𝒙 𝒏 𝒇𝒙 𝒚 𝒎 DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE 𝒇𝒙 𝒚 𝒏 𝒇𝒙 𝒚 𝟎 SIMBOLOGIAS 𝒇𝒙 𝒇 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒇𝒙 𝑫𝒇𝒙 𝑫𝒙𝒇𝒙 REGRAS DE DERIVAÇÃO Sejam 𝑓 𝑒 𝑔 duas funções definidas no mesmo intervalo 𝐼 e deriváveis em 𝑥 𝐼 Considere k e n constantes reais quaisquer a 𝑐 𝑓𝑥 𝑐 𝑓𝑥 b 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Regra da soma c 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 Regra do produto d 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑔𝑥2 Regra do quociente e 𝑓𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑥 𝑔𝑥 Regra da cadeia DERIVADAS DE FUNÇÕES GERAIS 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑘 0 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑘𝑥 𝑘 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑘𝑓𝑥 𝑘 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥 Por constante 5 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛1 Regra da potência 6 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 7 𝑑 𝑑𝑥 log𝑎 𝑥 1 𝑥 𝑙𝑛𝑎 8 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑥 1 𝑥 9 𝑑 𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS 10 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 11 𝑑 𝑑𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 12 𝑑 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑐²𝑥 13 𝑑 𝑑𝑥 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 sec 𝑥 14 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²𝑥 15 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 PROPRIEDADES INTEGRAIS 1 𝐷𝑥𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝐶 Integral da derivada 2 𝐷𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 Derivada da integral 3 𝑐𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑐 𝑓𝑥𝑑𝑥 Multiplicação por constante 4 𝑓𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 Integral de adição ou subtração 5 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑢 𝑑𝑢 Integral por substituição de variáveis 6 𝑢𝑥𝑣𝑥𝑑𝑥 𝑢𝑥𝑣𝑥 𝑣𝑥𝑢𝑥 𝑑𝑥 Integral por partes PRINCIPAIS INTEGRAIS 1 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 2 𝑥𝑟𝑑𝑥 𝑥𝑟1 𝑟1 𝐶 𝑟 1 3 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝐶 4 1 𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 𝐶 5 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 6 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐶 7 𝑠𝑒𝑐²𝑥 𝑑𝑥 tg 𝑥 𝐶 8 𝑐𝑠𝑐² 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝐶 9 sec𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝐶