Geometria Analítica e Álgebra Linear

Antônio Fabiano Paiva FACULDADE ÚNICA DE IPATINGA GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 2 Antônio Fabiano Paiva Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa 1997 especiali zação em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa 2001 e mestrado profissionalizante em ProfMat pela Universidade Federal de Viçosa 2015 Atualmente é Professor da Secretaria Estadual de Educação de Minas Gerais Professor da Faculdade Única de Ipatinga do Colégio Tiradentes de Ipatinga e Docente em conteúdos de cursos EAD da Faculdade Única de Ipatinga 1ª edição Ipatinga MG 2020 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 3 Menu de Ícones Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo aplicado ao longo do livro didático você irá encontrar ícones ao lado dos textos Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo cada um com uma função específica mostradas a seguir São sugestões de links para vídeos documentos científi co artigos monografias dissertações e teses sites ou links das Bibliotecas Virtuais Minha Biblioteca e Bibliote ca Pearson relacionados com o conteúdo abordado Tratase dos conceitos definições ou afirmações impor tantes nas quais você deve ter um maior grau de aten ção São exercícios de fixação do conteúdo abordado em cada unidade do livro São para o esclarecimento do significado de determi nados termospalavras mostradas ao longo do livro Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões citadas em cada unidade associandoo a suas ações seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano 4 SUMÁRIO VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 7 11 INTRODUÇÃO 7 12 VETORES NO PLANO 7 13 NORMA DE UM VETOR NO PLANO 8 14 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES NO PLANO 9 141 Multiplicação de um vetor por um escalar 9 142 Adição de vetores 9 15 VETORES NO ESPAÇO ℝ𝟑 12 16 VETORES NO ℝ𝐧 13 FIXANDO OCONTEÚDO 13 COMBINAÇÃO LINEAR 18 21 INTRODUÇÃO 18 22 DISTÂNCIA ENTRE DOIS VETORES 18 23 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 19 24 PRODUTO VETORIAL 21 FIXANDO O CONTEÚDO 22 SISTEMAS LINEARES 28 31 EQUAÇÕES LINEARES 28 32 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR 28 33 SISTEMA LINEAR 29 34 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 30 FIXANDO O CONTEÚDO 34 ESPAÇO VETORIAL 39 41 DEFINIÇÃO 39 42 PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL 40 43 SUBESPAÇOS VETORIAIS 41 44 COMBINAÇÃO LINEAR 42 45 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 42 46 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 44 FIXANDO O CONTEÚDO 47 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 52 51 DEFINIÇÃO 52 52 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES 53 53 AUTOVALORES E AUTOVETORES 55 FIXANDO O CONTEÚDO 56 GEOMETRIA ANALÍTICA 61 61 PLANO CARTESIANO E PONTOS 61 611 Ponto no plano cartesiano 61 62 NOÇÕES DA RETA NO PLANO 67 63 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 70 64 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 71 65 ESTUDO DAS CÔNICAS ELIPSE 73 66 ESTUDO DAS CÔNICAS HIPÉRBOLE 75 67 ESTUDO DAS CÔNICAS PARÁBOLA 79 68 PLANOS NO ESPAÇO E QUÁDRICAS NO ℝ𝟑 82 FIXANDO O CONTEÚDO 86 UNIDADE 02 UNIDADE 03 UNIDADE 04 UNIDADE 01 UNIDADE 05 UNIDADE 06 5 RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO 92 REFERÊNCIAS 93 APÊNDICES 94 APÊNDICE A ESTUDO DAS MATRIZES E DETERMINANTES 94 APÊNDICE B NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ 95 APÊNDICE C CONSTRUÇÃO DE UMA MATRIZ 96 APÊNDICE D MATRIZES ESPECIAIS 98 APÊNDICE E OPERAÇÕES COM MATRIZES 101 6 CONFIRA NO LIVRO Na primeira unidade conceituaremos os vetores e representare mos os vetores de plano e no espaço Na segunda unidade definiremos a Combinação Linear bem co mo o seu uso em exemplos com vetores no plano e no espaço Apresentaremos o cálculo da distância entre dois vetores e infor maremos a respeito do ângulo entre dois vetores Na terceira unidade iremos apresentar os conceitos básicos e procedimentos necessários para o reconhecimento de uma equação e um sistema linear assim como definiremos e apresentaremos um sistema linear bem como métodos resolutivos para os mesmos Na quarta unidade abordaremos sobre os conceitos propriedades e aplicações importantes do espaço vetorial Definiremos o espaço vetorial apresentando exemplos de espaços assim como os su bespaços vetoriais com sua definição e propriedades a serem obedecidas por um subespaço Por fim falaremos dos vetores line armente dependentes ou independente como base de um espa ço vetorial Na quinta unidade discutiremos sobre as transformações lineares suas definições propriedades das transformações lineares aplica ções e exemplos importantes autovalores e autovetores Na última unidade falaremos sobre a Geometria analítica que é o ramo da geometria que estuda as formas geométricas através de suas equações e estruturas algébricas e não necessariamente através do desenho ou seja das figuras SC 11 INTRODUCAO Estudaremos nessa unidade conceitos bdsicos a respeito de vetores bem como a aplicado desses em varios ramos da ciéncia além de trabalharmos as re presentacoes dos mesmos no plano no espaco 12 VETORES NO PLANO Definimos como vetores no plano a segmentos orientados de reta que tem origem e extremidade como no exemplo mostrado a seguir Figura 1 Segmento de Reta AB 6 5 B 4 v 3 A 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 Fonte Elaborado pelo Autor 2020 Na figura AB representa o vetor v com origem em A e extremidade em B GLOSSARIO Vetor uma palavra que vem de um radical latino e que significa carregar Portanto um vetor formado quando um determinado ponto deslocado ou carregado a uma certa distancia e em uma certa diregdo De uma maneira mais usual o vetor carrega trés informacodes Mdodulo valor absoluto direcdo e sentido eer w FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC FIQUE ATENTO Um vetor um seamento de reta ORIENTADO ou seia uma semirreta Para efeito de estudo trabalharemos como vetores os quais a sua origem coincidira com a origem do sistema de coordenadas cartesianas ou seja o ponto O 0 0 e sua extremidade sera um ponto P x y Isto acarretarad que ao representar mos um vetor analiticamente apresentaremos apenas a sua extremidade Exemplo Sendo dado um vetor Vv 2 4 dizemos que sua componente serd o par ordenado 2 4 Veja na Figura abaixo a representacdo Figura 2 Representacdo do Vetor Vv ie seiese eles glees sien feet Fonte Elaborado pelo Autor 2020 13 NORMA DE UM VETOR NO PLANO Definimos como norma de um vetor também chamada de mdédulo do vetor ao seu comprimento e que sera calculado através da equacdao 1 Iv x3 yé 1 Graficamente poderemos visualizar a aplicacdo da férmula de um vetor es pecifico eer we FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Figura 3 Vetor u 5 4 ee ale f f 1 3 1 f uf 1 2 1 1 1 f 1 1 Ve 1 Y 1 1 1 0 1 2 3 4 5 1 Fonte Elaborado pelo Autor 2020 Na Figura 3 observamos um vetor u de componentes 3 4 e cuja norxma se ra igual a 5 Aplicandose a equagao 1 ti V32 42 V9416 V255 14 OPERACOES BASICAS COM VETORES NO PLANO Apresentaremos a seguir as principais operagdes envolvendo vetores 141 Multiplicaao de um vetor por um escalar Sendo dado um vetor v com componentes xz yg um escalar real k defi nimos o produto k v 2 da seguinte maneira k Vkxysk yy 2 Exemplo Sendo dado o vetor Vv com componentes 2 3 pbodemos entdo dizer que 4v 8 12 142 Adido de vetores Considerando dois vetores u e v no plano cartesiano podemos definir a adido de u comv da seguinte forma Sendo os vetores U xy yg V xy yg entado a soma algébrica dos ve eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC toresu vé UV xy xu3 Ye ta 3 Graficamente podemos dizer qual a soma de dois vetores u e V pode ser apresentada de duas formas e Regra da adiao Sendo dados dois vetores u e Vv verificamos a soma w Vv como sendo aquele vetor que liga a origem do vetor U com a extremidade do vetor v de acordo com o desenho a seguir Figura 4 Representacdo grdfica da soma vetorial dos vetores e Vv Vv u vetor soma u v Fonte Elaborado pelo Autor 2020 e Regra do paralelogramo Consideramos o vetor soma como sendo a diagonal de um paralelogramo Observacdo importante Os vetores serado considerados na posido padrdo ou seja com origem ponto 00 e extremidade em um ponto qualquer do plano cartesiano Veja a seguir Figura 5 Vetor soma de ui e v eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC 8 o 7 mn 2 6 re 5 ra vetor soma u Vv 2 4 3 u a Vv 3 2 1 oO 1 2 3 4 Fonte Elaborado pelo Autor 2020 Exemplo Considerando os vetores u e v de componentes 3 1 e 5 2 respectiva mente podemos dizer que o vetor soma u V serd representado algebricamente e graficamente da seguinte forma u v23 4 Pa uty 1 u A 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 e Produto escalar O produto escalar aquele realizado entre dois vetores e 6 representado por um numero real nado um outro vetor eer w FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC UV xq Xe Ya Ve 4 O produto escalar tem como objetivo obter a medida do Gngulo entre dois vetores assunto que estudaremos ainda Exemplo Sendo dados os vetores tu e Vv tais que seus Componentes serdo 2 2 e 5 7 respectivamente Veremos entdo que o produto interno uv sera calculado da seguinte forma u 25 27 1014 4 FIQUE ATENTO Podemos apresentar as componentes de um vetor de duas menairas diferentes oop a X V xy yy OU V 2 Dependendo da situacdo usaremos uma ou outra notaao 15 VETORES NO ESPACO R No espaco podemos transferir todas as operacdes e definicdes estudadas para vetoresno plano Convém dizer que no R temos trés dimensdes espaco e portanto um vetor v serd representado por uma terna ordenada Vv xy yy zy OU xy v e graficamente teriamos a seguinte representacdo Zy Figura 6 Representacdo de um vetor qualquer no espaco R3 eer BS FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC 5 Zz 4 3 2 5 3 5 4 4 4 3 Py 2 fl 1 2 3 3 f 4 5 6 5 6 2 y x Fonte Elaborado pelo Autor 2020 O vetor apresentado acima tem componentes 1 1 2 16 VETORES NO R Podemos generalizar o estudo de vetores além do espaco trabalhando assim com vetores no R NGo é possivel apresentar a representacdo grdfica de vetores no R porém podemos apresentdlos na forma algébrica Um vetor v no R pode ser descrito por suas Componentes assim V4 V V45 V2 V3je03 Vn OU V Vn Q BUSQUE POR MAIS Para se aprofundar mais nos conceitos introdutdérios acerca de vetores sdo sugeridas duas obras e NICHOLSON W K Algebra Linear Traducdo de Célia Mendes Carvalho Lopes Leila Maria Vasconcellos Figueiredo Martha Salerno Monteiro 2 ed Porto Alegre AMGH 2014 Disponivel em hitpsbitly3pfFKLI Acesso em 06 abr 2020 e WINTERLE P Vetores e Geometria Analitica 2 ed SGo Paulo Pearson 2014 Disponi vel em hitpsbitly3lmnqye Acesso em 06 abr 2020 FIXANDO O CONTEUDO eer BE FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA 14 1 A grandeza força é considerada como vetorial ou seja para ficar bem definida necessitamos do seu módulo valor absoluto direção e sentido Suponha que queiramos representar a grandeza força no plano O vetor u que representa uma força aplicada em um determinado objeto está mostrado a seguir A alternativa que contém as componentes corretas de u é a u 25 5 b u 0 2 5 c u 25 5 d u 5 2 5 e u 5 25 2 Dois animais estão com cordas fixadas em um mesmo ponto e os vetores represen tam as forças de tensão estão apresentados a baixo As componentes do vetor soma u v que é aquele no qual representamos a força resultante nessas cordas seria SC a 3 8 b 3 6 c 2 8 d 2 4 e 0 7 3 Considere as afimacdes a seguir a respeito dos vetores no plano no espaco Uma grandeza escalar aquela que pode exclusivamente ser representada por um vetor ll As Componentes de um vetor no plano IR podem ser expressas através de um par ordenado lll S6 podemos somar algebricamente dois ou mais vetores que tenham com ponentes com mesmo sinal ou seja Nao podemos somar Componentes com sinais diferentes IV No espaco os vetores podem ser representados por ternas ordenadas como xy v e Cujas Componentes podem ser numeros reais Zy Podemos afirmar que a as afirmativas e Ill estao corretas e as demais falsas b somente Il e IV estado corretas c apenas II sdo falsas d apenas IV é falsa e Il sao corretas e Ill e lV sdo falsas 4 Considerando dois vetores u e Vv do plano vamos supor que eles representam du as grandezas vetoriais Para determinarmos a resultante da soma desses vetores temos a forma algébrica somando as componentes e a forma grdfica apresentando o vetor que seria a soma no plano Se u e v sao dados inicialmen te por pares de pontos que caracterizam origem e extremidade de cada um Como teria que proceder um estudante que desejasse apresentar o vetor soma usando o método do paralelogramo no plano de coordenadas cartesianas eer FACULDADE FACULDADE Prominas WUNICA SC a Nao seria possivel apresentar o vetor soma pelo método do paralelogramo b O estudante teria que efetuar apenas algebricamente a soma c Ele deveria transladar os vetores para o primeiro quandrante onde as componen tes seriam todas positivas e assim unir origem de u com extremidade de v d O estudante deveria transladar u e v de modo que a origem de ambos fosse a origem do sistema de coordenadas cartesianas e assim tragarmos o vetor soma como a diagonal de um paralelogramo e O estudante poderia realizar a soma apenas pelo método da adido unir a ori gem de um com a extremidade de outro 5 Assinale a alternativa que apresenta o produto escalar entre os vetores abaixo a 8 b 10 c 12 d 26 e 5 6 Sendo dados dois vetores do espaco R t e V Considere entdo as seguintes afirmativas a respeito do produto interno dos mesmos 1 afirmativa O produto interno no R é definido como sendo a soma dos produtos das componentes das ternas ordenadas 1 3 2 afirmativa Se u ev 2 entdo o produto escalar u v serd negativo 2 1 pelo fato de termos 4 componentes negativas e apenas duas positivas Cis FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA SS Assim em relagdo as afirmativas dadas podemos garantir que a Ambas estdo corretas b Ambas sao falsas c A 1 afirmacdo é falsa e a 2 é correta d A 1 afirmacdo é verdadeira e a 2 é falsa e A primeira afirmacdo estdé correta e a segunda estdé parcialmente correta 7 Considerando o vetor u 340 do R vamos supor que ele represente uma grandeza verificada em um fendmeno fisico O médulo desse vetor ou norma re presenta na prdatica o seu tamanho Assinale a alternativa que apresenta a norma de u lull a 12 b 14 c 18 d 10 e 5 8 Se os vetores U 37 eV 25 pertencem ao R a alternativa que contém o valor correto da norma de u Vv sera a 2 b V29 c V5 d v2 e V19 eee me FACULDADE FACULDADE Prominas WUNICA SC 21 INTRODUGAO Sendo dados os vetores U Uz Us U se existirem nUMeros reais ry rz Fz r tal que v também um vetor e V ryU7 r2Uz r3U3 ryUy dizemos que v é combinacao linear de ty Uz U3 Uy Importante Temos entdo que se um determinado vetor for combinacao linear de outros quer dizer que esse vetor poderd ser obtido por outros através da opera do de multiplicagGo por um escalar e pela soma algébrica de vetores Exemplo 2 1 2 5 O vetor 2 uma combinacao linear dos vetores 0 J e pois 1 1 1 0 temos a seguinte igualdade verificada 1 2 5 2 3 023 co 2 1 1 0 1 Como conseguir os nUMeros reais que formam a igualdade serd o objetivo do proximo capitulo a ser estudado 22 DISTANCIA ENTRE DOIS VETORES Sendo dados dois vetores te V do plano R pbodemos considerar a distancia entre eles como sendo a distGncia entre dois pontos do plano pois as suas extremi dades serdo as componentes do vetor sendo assim temos a seguinte apresentacdo para o cdlculo da distancia entre dois vetores eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Figura 7 Representacdo grdfica da distGncia entre dois vetores distintos 3 2 1 0 1 2 3 4 1 Fonte Elaborado pelo Autor 2020 A distancia entre u e v serd representada por duv e sera calculada por meio da equagado 5 du Vv lu v 5 Observacgado importante essa expressdo também é vdlida para qualquer par de ve tores uev do R V2 0 Exemplo Determine a distancia entre os vetores U 1 Je v 2 1 2 V2 Primeiramente calcularemos uWV 4 1 E logo a seguir calculamos a distancia usando a equagao 5 Assim temos 2 dt jw v2 1212 V42 23 ANGULO ENTRE DOIS VETORES Considerando u V como dois vetores do plano vamos deduzir a expressdo para encontrarmos a medida do Gngulo entre eles como mostra a Figura 8 a seguir Figura 8 Angulo entre dois vetores eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC uV Vv u Fonte Elaborado pelo Autor 2020 Assim entdo teremos a equacdo 6 que nada mais que a Lei dos cossenos aplicada ao tridngulo i vl full Ivil 2 lull lvl cose 6 Desenvolvendo a igualdade no primeiro membro teremos llull 2 Cav Iv full Ivil 2 lull vil cos onde uV 0 produto interno E assim simplificando temse a equagdo 7 7 cosa llull Ilvil Exemplo Determine o Gngulo entre os vetores U 21 2 ev111 Solucdo Primeiramente iremos encontrar o produto escalar uV 21411421 1emseguida iremos encontrar as normas de U e V u 22 12 2 3 Iv 12 12 12 v3 Logo eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC 1 cosa a 33 Eassim a 789 VAMOS PENSAR O Gngulo entre dois vetores necessita exclusivamente do produto interno entre esses ve tores e esta relacionado ao cosseno de tal Gngulo 24 PRODUTO VETORIAL O produto vetorial diferentemente do produto escalar aquele no qual ope ramos dois vetores e como resultado encontraremos um terceiro vetor O produto vetorial consideraremos como vdlido apenas para vetores do R Representaremos o produto vetorial entre os vetores u e v da seguinte maneira ux v 8 Xi xy Definimos o produto vetorial entre u vs ev como sendo o vetor Zu Zi Yu 2y Za Yv u x v talque U xX V 2a X 7 Xa 2 Xa Ye Ya Xv 0 3 Exemplo Sendo dados os vetores U 1 v 1 vamos determinar o vetor 1 2 u Xx Vz Soluao 121 1 3 u xX V 1302 0113 3 FIQUE ATENTO O produto vetorial s6 sera trabalhado como vetores do espaco R eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA 22 FIXANDO O CONTEÚDO SC 1 Revendo o conceito de combinacao linear e sabendo que alguns vetores podem ser obtidos através de algumas operacédes envolvendo outrosvetores considere u10 e v01 do plano cartesiano e entdo determine os valores das constantes a e B que fazem com que a combinacado linear abaixo realmente exista au B 23 aja1ep2 ba2ep2 ca1lep2 dja2ep3 ea1ep3 2 Sendo dados os vetores do R t 3 ev o vetor w que é resultante da combinacao linear abaixo WwW 2 u V w 22 a w wai5 b w 5 w2 c w G wai2 d w w 283 e w 3 Dois vetores representam graficamente no plano cartesiano com suas extremidades os deslocamentos de dois corpos deslocamento na unidade km feitos a partir de um ponto em comum origem do sistema de coordenadas cartesianas Veja eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC 5 4 3 u 2 Vv 1 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 iv 8 9 4 Podemos entdo afirmar que a distancia entre esses dois corpos apdés o deslocamento serd de a 13 km b 2V13 km Cc 2V26 km d 15V3 km e 15 km 4 Um grupo de vetores em Rpode ser apresentado sem necessariamente ter a origem coincidindo com a origem do plano de coordenadas cartesianas 0 que pode acontecer quando por exemplo estivermos representado vetores que sdo na prdtica um grupo de grandezas estudadas em certas situagdes Considere o diagrama vetorial abaixo onde temos relaconadas trés grandezas coplanares u Vv Ww A Unica igualdade correta a seu respeito sera auvw buvw eer w FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC cuwWwVv d uvw ewVu 5 Dois animais estado amarrados a cordas distintas e irdo realizar um trabalho onde vago aparecer tensdes em tais cordas Estas tensdes estado sendo representadas no plano cartesiano abaixo 7 6 5 4 3 Vv 2 u 1 a 8 7 6 5 4 3 2 0 1 2 3 4 Determine qual entGdo a medida do Gnguloa que na verdade o Gngulo existente entre os vetores que estdo representando as tensdes nas cordas a 928 b 1001 c 852 d 127 e 1063 6 Considere as afirmacdes a seguir que sdo a respeito do Gngluo formado entre dois vetores e logo a seguir julgueas em verdadeiras ou falsas Quando apresentamos dois vetores no R as suas Componentes sdo tais que esses vetores estado exatamante sobre os eixos coordenados Podemos afirmar que eles sao necessariamente perpendiculares ll Dois vetores do R sGo perpenciculares o que acarreta de a norma de cada eer we FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC um deles ser nula Ill Ao calcularmossegundo a férmula apresentada o valor do cosseno do Angulo formado entre dois vetores do R se encontrarmos um valor negativo resulta em termos um Gngulo também negativo Podemos entdo concluir que a as afirmativas Il Ill estado corretas b as afirmativas e Il estado corretas c todas as afirmativas estdo incorretas d somente as afirmativas Il e Ill estao corretas e somente a afirmativa esta incorreta 7 Sabemos que o produto vetorial 6 aqule em que tomados dois vetores do R iremos obter um outro vetor também do R Importante afirmar que essa opercdo 6 exclusiva do espaco R Sendo dessa operacdo dada e lembrando que a obtendo do vetor resultante dado por Yu 29 Za Yv XU xy u xX V 2ax0x0 once a vs v v7 xa Yu Ya Xv 2a 2y Determine o produto vetoriali x Vv quando U 121 ev yu 2 30 a 32 1 b 32 1 c 02 1 d 31 0 e 30 1 8 Considere dois vetores i e Vpertencentes ao espaco R Podemos encontrar a norma de cada um deles usando um raciocinio andlogo ao usado para encontrar no R ou seja se U xy Yu Zy POdemos entdo determinar a sua norma ou médulo usando a seguinte formula lt xy2 yy zy2 Da mesma forma podemos proceder para o encontro do produto escalar De posse dessas afirmagdes encontre aproxinadamente entao o Gngulo formado emtre os eer FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA eee vetores do espaco que tém as seguintes Componentes u 21 2 e v 0 3 1 a 368 b 582 c 249 d 692 e 1083 ee FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC 31 EQUACOES LINEARES Definimos uma equagao linear 9 como sendo a seguinte igualdade Aan Xn tan1 Xn1 An2 Xp2 te ay X1 D 9 Onde ay an1 An2 a b SAO OS Coeficientes da equado que estd defini da com varidveis xy Xn1Xn20 X1 Exemplo de equacoes lineares 2x 5y 8z 10w 0 Ix 2y4z 1 Mas que poderiamos apresentar as varidveis também assim 4X 2X2 10x3 0 As primeiras notagdes sGo mais comuns de serem usadas 32 SOLUCAO DE UMA EQUACAO LINEAR Sendo dada uma equacado linear axX ap1 Xp1 An2 Xn2 He Ay x b afirmamos que nupla ordenada ay Ay1 Ap2 A Quando ao substituir mos na ordem cada um dos termos e a igualdade for estabelecida Exemplo Considerando a equagao linear 2x 4y z 0 poderiamos afirmar que a tripla ordenada 1 1 6 seria uma soludo para a equagcdo porém a tripla 2 1 8 também seria uma soluGo para a equagao linear dada eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC VAMOS PENSAR Toda equacao linear possui uma infinidade de nuplas ordenadas que serdo possiveis solucdes da mesma 33 SISTEMA LINEAR A definido tedérica de um sistema linear seria O sistema linear 6 um conjunto formado por equacées lineares De forma genérica poderiamos apresentar essa definido da seguinte forma a4 Xy a12 X2 ain Xp b az Xy1 az X2 aan Xp b ami X1 ame X92 Amn Xn bm Uma solucgdo do sistema apresentado seria nula de numeros reais Q4 M2 A3 A que satisfaca simultaneamente todas as m equacoes Observacao importante Podemos escrever um sistema linear usando a forma matri cial Teremos trés matrizes que multiplicadas resultardo na forma convencional apre sentada inicialmente ayy Arg An PX by 421 422 Aan X2 b ami 4m2 Amn Xn bn O produto apresentado acima pode ser generalizado assim A X Bonde A é amatriz dos coeficientes das varidveis do sistema também chamada de matriz ampliada do sistema B a matriz das varidveis e B a matriz dos termos independentes eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA 30 34 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Iremos apresentar a solução de um sistema através do método do escalona mento que também é conhecido como método de GaussJordan Esse método con siste em aplicar operações elementares sucessivamente a fim de escrevermos o sis tema na forma escada Operações elementares São operações que poderemos realizar com as equações de um sistema dado a fim de conseguirmos um outro equivalente ao inici al Principais operações elementares Podemos apresentar um sistema apenas pelas suas matrizes ampliadas em que cada linha seria uma forma abreviada da equação correspondente do sistema A ordem de um sistema é o respectivamente o número de equações e quantas variáveis estão presentes em cada equação Exemplo Um sistema de ordem 2 x 2 tem duas equações e em cada uma dessas equa ções teremos duas variáveis Um sistema na forma escada é aquele que em que o número de variáveis nulas antes na primeira variável não nula aumenta progressivamente de uma equação para a outra Sistemas equivalentes São aqueles que têm a mesma solução porém com equações não idênticas SC e Quaisquer equacées de um sistema podem ser trocadas de posicdo e Podemos multiplicar qualquer equacdo de um sistema por um numero real e Podemos trocar qualquer equacdo de um sistema pela soma dela mesma com outra e Podemos entdo trocar também qualquer equacdo de um sistema pela soma de uma equacdo multipla dessa com outra A aplicagdo dessas operagdes ndo necessariamente todas e nessa ordem em um determinado sistema fara com que consigamos escrevélo na forma escalo nada e assim sendo podemos resolvélo Vamos tomar um sistema de ordem 3 x 3 para podermos exemplificar esse mé todo de resolucdo 2x 2y3z2 Exemplo Considerando o sistema linear 3x y6z4 Vamos usar o méto do do 8x 4y 3z8 escalonamento para determinar a sua soludo 2 2 3 2 31 64 Essa a matriz estendida do sistema apresentado 8 4 3 18 Vamos agora multiplicar a primeira linha equivalente d primeira equacado 1 por Teremos entdo 11 31 4 3 1 6 g 4 318 Agora vamos substituir a segunda linha pela soma dela mesma com a primeira linha multiplicada por 3 com o objetivo de zerar o primeiro termo dessa segunda linha Assim fazendo teremos 3 11 5h 211 04 y 8 8 4 3 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC A seguir substituiremos a terceira equagdo pela soma dela mesma com a primeira multiplicada por 8 com o objetivo de zerar o primeiro elemento dessa linha 3 11 5h 211 04 y 0 0 4 9 Logo a seguir vamos substituir a terceira equagdo por ela mesma adicionada a segunda multiplicada por 1 E assim entdo teremos 1 1 3 1 0 4 a 1 3 1 0 O 5 Finalmente podemos entao encontrar a soludo do sistema e escrever oO sis tema na forma escalonada multiplicamos a segunda linha por 2 e a terceira linha 2 por assim obteremos o seguinte 3 1 11 54 21 4 0 1 ez 2 0 0 1 3 Fazendo com que apés mais algumas operacdes elementares consigamos o seguinte sistema 1 10 0 A 0 1 0 7 0 0 1 2 3 E assim entdo a tripla ou terna ordenada que representa a soludo do sistema sera 3 22 3 eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC FIQUE ATENTO Um sistema linear pode ter as seguintes classificagdes conforme a soludGo do mesmo e Sistema Possivel e Determinado SPD O sistema possui uma Unica soluGo que atende ds equacdes do mesmo e Sistema Possivel e Indeterminado SPI O sistema possui infinitas soludes que atendem ds equacdes do mesmo e Sistema Impossivel SI O sistema ndo possui nenhuma solugdo que atende as equacoes Uma observacao importante a ser feita a respeito dos sistemas de equacao li near a respeito da sua ordem Nem todos os sistemas serdo considerados sistemas quadrados Somente nomeamos de quadrados aqueles os quais o nUmMero de equacoes é igual ao numero de varidveis em cada equagdo Passemos entdo a observar um sistema nao quadrado ou seja aquele em que o nUmero de equacées e varidveis em cada equacdo sdo diferentes Todo sis tema com essa classificado tera alguma particularidade por exemplo sistemas que tém mais varidveis que equacdes ndo poderdo ter um numero finito de solucdes ou seja jamais serdo sistemas SPD poderdo ser SPI oi SI Agora sistemas que tém mais equacées que varidveis poderdo ter solucdo finita deobendendo do sistema Exemplo Considere o sistema linear a seguir e verifiquemos a sua soludo através do método do escalonamento x3y2z1 2x5yz0 Vamos encontrar a sud soludo xX3y2z1 Oxy5z2 Isolando na 2 equagado a varidvel y teremos y5z2 Substituindo esse valor na primeira equacdo teremos eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA 34 x 13z 5 Observamos então que os valores de x e de y estão dependentes do valor de z logo z será considerada então a variável livre e a solução escrita de uma ma neira formal seria S 13z 5 5z 2 z com z ℝ FIXANDO O CONTEÚDO 1 A resolução de um sistema de equações lineares consiste em encontrar soluções simultâneas para todas as equações que compõem o mesmo Sendo assim usando o método do escalonamento determine o conjunto solução do sistema linear apresentado a seguir SS x2y3z0 2x y3z0 3x2yz0 a S1 23 bS 101 c000 d S021 e S 023 2 Sabese que na compra de uma caixa de lencos dois bonés e trés camisetas gastase um total de R12700 Se trés caixas de lencos quatro bonés e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros custam juntos R24100 a quantia a ser desembolsada na compra de um boné uma camiseta e uma caixa de leno é a R7200 1b R6500 c R6000 d R5700 e R4900 3 Fuvest 2020 Uma agéncia de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos Lisboa Paris e Roma Sabese que o nUMero de passagens vendidas para Paris foi o dobro do numero de passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente Sabese também que para Roma foram vendidas duas passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa Qual foi o total de passagens vendidas conjuntamente para Paris e Roma a 26 b 38 c 48 d 62 e 68 eee FACULDADE FACULDADE Prominas WUNICA 36 4 Cp2 2019 Jorge Marcos e Paulo são três irmãos que adoram colecionar figurinhas e também adoram charadas Como eles têm uma prima Lavínia que também adora decifrar enigmas propuseram a ela o seguinte problema Jorge e Marcos têm juntos 110 figurinhas Jorge e Paulo têm juntos 73figurinhas Marcos e Paulo têm juntos 65 figurinhas Quem tem mais figurinhas e quantas são elas Se Lavínia conseguir decifrar o enigma sua resposta será a Paulo com 14 figurinhas b Marcos com 56 figurinhas c Jorge com 59 figurinhas d Jorge e Marcos ambos com 55 figurinhas e Marcos com 90 figurinhas 5 Em relação às soluções de um sistema de equações lineares lineares considere as seguintes afirmações apresentadas a seguir e logo após classifiqueas em verdadeiras ou falsas I Todo sistema linear quadrado possui um número finito de soluções II Um sistema linear não quadrado obrigatoriamente terá infinitas soluções III Em um sistema linear quadrado o nuúmero de equações será sempre igual ao número de variáveis em cada equação IV Em um sistema qualquer sempre teremos uma solução que seja comum a todas às equações a Todas as afirmativas são verdadeiras b Todas as afirmativas são falsas c Somente a afirmativa I é verdadeira d Somente a afirmativa I é falsa e Somente a afirmativa III é verdadeira 37 6 Espm 2019 Modificada Usando os conceitos a respeito de equações e sistemas lineares monte e resolva o sistema que dê a solução da seguinte situação apresentada Um menino possui 29 moedas de 10 centavos e 15 moedas de 25 centavosnúmero de maneiras diferentes que ele tem para formar 5 reais é igual a a 2 b 3 c 4 d 5 e 6 7 Espm 2019 Daqui a 3 anos a idade de um pai será a soma das idades que terão sua esposa e seu filho Quando a esposa nasceu a idade do pai era a igual à idade atual do seu filho b o dobro da idade atual do seu filho c menor que a idade atual do seu filho d 3 anos a menos que a idade atual do seu filho e igual à idade que terá seu filho daqui a 3 anos 8 Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m variáveis aquele sistema qual os termos independentes são todos nulos iguais a zero Um sistema homo gêneo admite pelo menos uma solução Essa solução é chamada de solução tri vial de um sistema homogêneo De acordo com todas as informações apresenta das anteriormente determine o valor de k no sistema abaixo de forma que ele te nha solução distinta da solução trivial x 0 y 0 e z 0 ee 2x 5y 2z0 xtyz0 2x Oy kz 0 ak1 bk2 ck2 djk1 ek3 Cis FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC 41 DEFINICAO Um espaco vetorial um conjunto V ndo vazio que esta definido com duas operacces Soma Sendo u e v sdo dois elementos pertencentes a V a soma de u com v ser denotada poru v Multiplicado por escalar Sendo c um numero real qualquer e u um elemento de V a multiplicado de u com c denotada por c u O importante é salientarmos que usaremos a apalavra vetor para representar um elemento do espaco V Exemplo 1 O conjunto formado por todas as matrizes de ordem 2x2 V Mx sera um espaco vetorial pois ele fechado para as operacdes de soma e produto por escalar veja Sendo u y ev i Entao teremos y 8 Lo fatéd B utv hone oto fa B fca cB couse y al oy my E assim verificamos o fechamento do conjunto para a soma e o produto por escalar Exemplo 2 O conjunto V Px formado por todos os polinémios de grau 2 tam bém um espaco vetorial pois fechado para a soma e para a multiplicacdo por escalar Sendo u ax bx t e v dx ex f entdo teremos utv atdx bex t f eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC cu cax cbxct E assim verificamos o fechamento do conjunto para a soma e para o produto por escalar Exemplo 3 Considere V 0 conjunto dos vetores do espaco R Sendo assim V R x1xX3X3 com cadax R Podemos observar facilmente que V um espaco vetorial e portanto serd fechado para operacées de soma e produto por escalar 42 PROPRIEDADES DE UM ESPACO VETORIAL Além das condicées de existéncia para o conjunto V ser um espaco vetorial vamos verificar também as seguintes propriedades nesse Conjunto Em um espaco amostral V considere verdadeira as propriedades a seguir pa ra todo u v e w pertencentes a V e para todos os escalares ce d pertencentes ao conjunto dos numeros reais Propriedade comutativa utvvtu Il Propriedade associativa da adido utvwutvtw Ill Elemento neutro Existe um elemento 0 em V denominado vetor nulo tal que u 0 u IV Elemento oposto eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC Para cada elemento u pertencente a V existe um elemento u também pertencen te a V de modo de queu u u tu 0 V Distributividade da multiplicado em relacdo 4 adicdo cuttvcutcyv oU utvccutcv VI Propriedade associativa da multiplicado por escalar cdv cdv VIl Elemento neutro da multiplicaao Chamamos de elemento neutro da multiplicacdo ao numero 1 talque1u u 43 SUBESPACOS VETORIAIS Seja V um espaco vetorial e W um subconjunto ndo vazio de V EntGo W um subespaco de V se e somente se as seguintes Condicées se verificam Se uevestdo em W entdo u vtambém a multiplicacdo por um escalar Esta em W Sevestd em Wecéumescalar entdo c vtambém estad em W Ou seja W é fechado para a soma e para a multiplicado por um escalar e é importante frisarmos que se W é um espaco vetorial também e ndo precisariamos de verificar a veracidade de todas as propriedades para W visto que elas sdo vdlidas para V que contém Ww Exemplo Considere V ReW x0 x3 com cada x pertencente a R Podemos entdo observar que W é um conjunto de vetores de R cuja segun da componente é nula Vamos entdo observar o fechamento em relacdo as opera des de soma e produto por um escalar para W Consideremos dois vetores U u0 uz V v1 0 v3 pertencentes a W eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Entdo UV u 4 0 ug v3 Que também pertence a W pois tem a se gunda componente nula e as outras resultam da soma de dois numeros reais 0 que resulta em um outro numero real Considerando o vetor uu0 uz pertencente a W e t um numero real qualquer t U tu0 tu3 que também ird pertencer a W Portanto W 6 um subespaco de R 44 COMBINAGAO LINEAR O conjunto U formado por todos os vetores v que sdo combinagcao linear de Uy Uz Uz Uy Genominado subespaco vetorial gerado por Uy Uz Us Uy Sera denotado por U vEU VryUy rpUg r3UgtryU comr ReondeOd in Exemplo Os vetores u 100U 010 e UW 001 sdo do RP e além disso podemos verificar que se considerarmos V R observaremos que V Uy Uz U3 OU seja V gerado por uj Uz U3 FIQUE ATENTO Vamos relembrar a definigdo de um vetor como combinagaGo linear de outros Sendo dados os vetores Uy Uz U3 U se existirem NUMeros reais r rz rz ty tal que v também um vetor e V ryUy rzUg r3U3 ryUg dizemos que Vv é combinacdo linear de U Us Us Ha Observe que V serd gerado pelos trés vetores da seguinte maneira Consideremos um vetor qual quer Vv xyz Com x ey reais pertencente a Vlogo podemos verificar que xy x 100 y 010 z 001 V x tyU 2ZUs v combinacao linear de uy U2 U3 45 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAR eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Vamos chamar um conjunto de vetores t Uz U3 U de um espaco vetori al V como linearmente independente LI quando a seguinte igualdade QU a Uy U 0 For verificada para valores de Q4Q2 iIguais a zero Ou seja A A 0 Caso a igualdade seja verificada para algum valor de ay az diferente de zero Oo conjunto de vetores t Uz Us Uy sera Classificado como linearmente de pendente LD 4 GLOSSARIO Um teorema 6 uma informacdo propriedade ou dado que necessita ser provado para assim ser usado como referéncia na soludo de problemas SPAT Vesa a kV Apresentamos um teorema O conjunto de vetores ti U Us U sera classificado de LD linearmente dependente se e somente se um desse vetores for combinagao linear dos outros Demonstracdo do teorema Sejam o conjunto de vetores t Uz U3 U LD Podemos entdo considerar que existem a a a tais que Q Uy a2 U2 U 0 0 Tais que existe algum a 0 com1in E assim entdo poderiamos tomar um termo ay Uy Qualquer e assim trabalhar com seu isolamento procedendo da seguinte for ma 1 Un 3 oy Uy 2 Uz o Oyy Uy1 n E assim portanto verificamos um dos vetores sendo combinaao linear dos eer m FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC demais Agora se tivermos um vetor como combinagao linear dos demais temos que provar que o grupo todo é linearmente dependente Vejamos entdo Oy Uy Q2 Uy U Vv E assim podemos usar um artificio algébrico e reescrever a igualdade da se guinte forma QU A Up U 1v 0 E assim verificamos que tal igualdade ocorre quando um dos coeficientes dos vetores diferentes de zero ou seja existe UM dos a4 dy NAO nulo E assim provamos entdo teorema Exemplo Considere o espaco amostral V R e os vetores 10 e v2 01 pertencentes a V Verificaremos que o conjunto formado por vv V2 sdo LI pois 0V a2 Vv 0 a 10 a01 00 a a 00 logo Oy 0 E az 0 46 BASE DE UM ESPACO VETORIAL Definido Sendo dado um espaco vetorial V um subconjunto W formado pe los vetores WW Ww sera Cchamado de base do espaco V se W1 W23 Wa for LI WW Wa gerar V ou sejaV WW Wal O que quer dizer que qualquer vetor de V pode ser escrito como combinacdo linear de W 1 Wo 3 Wp Exemplo O subconjunto do R formado pelo vetores Ww 11 e W 01 uma base de R Vejamos a verificado eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Qy wit QX2 We 0 0 a11 Ay 0 1 0 0 De onde podemos verificar que a a 0e assim entdo o subconjunto é LI Podemos ainda observar que 0 os dois vetores geram o R Considerando um vetor genérico vxy comxey pertencente ao conjunto dos numeros reais IR temos que xy x11 yx01 Oo que comprova serem geradores Definiao importante Considere B uma base de um espaco vetorial V de tal maneira que B V1V2V3Vn V V UM vetor tal que v ay Vy Oy V2 O3 V3 Oy VyVAMOS chamar estes coeficientes NUMErICOS a4 Az 03 4 Ae coordenadas de v em rela dao a base Podemos denotar da seguinte maneira Oy 2 Ivg On Exemplo Sendo dado o espaco vetorial V R Considere entdo a base Bg 1 0 0 1 como uma base de V O vetor 43 410 301 e assim entado pode 4 riamos dizer que 43 3 FIQUE ATENTO DimensGo de um espaco vetorial V o nUmero de elementos vetores da base que gera esse espaco eer wz FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA 46 BOULOS P Pré Cálculo 2 ed São Paulo Perason 2011 118 p Disponível em httpsbitly2Uj9MQh SC FIXANDO O CONTEUDO 1 Vamos nos lembrar que para efetivamente um conjunto ser considerado como espaco vetorial algumas operagdes devem ser observadas em seu fechamento um conjunto fechado para uma operagado quando dois elementos quaisquer resultam em um outro elemento que também pertence obrigatoriamente a esse conjunto Considere entado o conjunto W formado por todas as matrizes de ordem 3 Sobre tal conjunto pbodemos afirmar corretamente que a NGo pode ser considerado um espaco vetorial pois existem matrizes de ordem 3 que quando somadas resultam em uma matriz de ordem 2 que por sua vez nado pertencem a W b NGo pode ser considerado um espaco vetorial pois a propriedade do elemento neutro nado pode ser verificada uma vez que se somarmos duas matrizes opostas vamos obter um numero real e nado uma outra matriz de ordem trés c O conjunto W admite como um subespao o conjunto formado por todas as ma x O y trizes de ordem 3 do tipo 0 com xy wtv ez sendo numeros reais v 0 z d O conjunto W ndo admite nenhum subespaco e O conjunto W ndo pode ser considerado um espaco vetorial pois a propriedade do elemento oposto ndo pode ser verificada 2 Em relacdo ao conjunto V formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 M22 POdemos verificar que afirmado correta em relacdo e esse Conjunto se ra a O conjunto V ndo sera um espaco vetorial pois ndo sera fechado para a ope racdo usual de adicdo b O elemento neutro da operacdo de adido serd a matriz identidade de ordem 2 71 O OU seja lo i 1 0770 1 c O conjunto V gerado por Io Ls F olf OU seja esse subconjunto apresentado é uma base de V 1 070 170 070 On d O conjunto Io ol lo ol F ol lo il uma base de V eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC e O conjunto V nado um espaco vetorial pois nado obedece a4 propriedade do elemento oposto ou seja Ndo existe uma matriz que somada a um original resulta em uma matriz nula 3 Considere as afirmacdes a seguir Afirmagao 1 O vetor 2 3 2 2 pertencente ao R é tambem pertencente ao subespaco ge rado por v 1100 v2 0011v3 2211 ev 1000 Afirmaao 2 O subespaco gerado por vj V2 V3 6 V4 OU seja v V2 V3 V4 R Em relacdo as afirmacdes acima podemos dizer que a Ambas estado corretas b Ambas estdo incorretas c Somente a primeira afirmacdo é correta d Somente a segunda afirmacdo correta e nado podemos afirmar nada no R 4 Com base na definicdo de vetores ou grupo de vetores LI linearmente indepen dentes e LD vetores linearmente dependentes considere o seguinte Conjunto de vetores do espaco R 1 0 1 1 3 5 Podemos afirmar corretamente que a O conjunto formado é LI e gera R b O conjunto 6 LI e nado 6 uma base de R c O conjunto 6 LD portanto 6 uma base de R d O conjunto 6 LD e ndo pode portanto ser uma base de R e O conjunto de vetores apresentado ndo pode ser LI ou LD 5 Ao verificar o conjunto de vetores pertencentes ao espaco vetorial V M22 1 O7 71 17 2 1 que o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 0 lo ol ly 0 de termine o valor de k para que o conjunto seja LD linearmente dependente eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC akK0 b K 1 cK3 dK3 eK2 6 Um conjunto de vetores LI ou LD pode ser visualizado graficamente por exemplo se o espaco vetorial a ser considerado for o plano R Observe a seguir dois con juntos de vetores do R apresentados graficamente Conjunto 3 Conjunto formado pelos vetores u 1 a 1ev12 Vv 1 Uu 1 0 1 2 Conjunto formado pelos vetores u 1 1v12ew1 1 4 Vv 1 oO 1 Conjunto Il Em relacdo aos conjuntos de vetores apresentados a seguir podemos afirmar que a O conjunto 6 LI e o conjunto Il é LD b Ambos os conjuntos de vetores sdo LI c Ambos os conjuntos de vetores sao LD eer w FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC d O conjunto é LD e o conjunto Il é LI e Ndo podemos classificar em LI e LD dois vetores do plano R 7 A base de um espaco vetorial formada por um conjunto de vetores aos quais todos os outros vetores desse esoaco podem ser obtidos por uma combinacao li near desses Definimos como coordenadas de um vetor em relacgdo a uma de terminada base aos nUmeros reais que sdo os coeficientes da combinacado linear que gera um determinado vetor do espaco vetorial Baseandose nas informa oes dadas determine entGo ao coordenadas do vetor v 100 em relacdo a base B 1 1 11 1 01 0 1 1 Z 3 4 1 5 a 73 d Zz 1 2 3 3 1 1 6 3 7 1 b3 e 5 2 1 3 3 2 5 1 Cc 3 4 3 8 Em relacdo a classificacdo dos vetores como LI ou como LD sGo apresentadas as afirmativas a seguir Faca a andlise de cada uma delas e logo a seguir assinale a alternativa correta conjunto de vetores do R v7 100 vz 2 30 v3 51 1 6 LI pois a resolvermos a igualdade 000 avj bVzcv3 encontraremos so mente e exclusivamente a 0 b 0 e c 0 ll trio de vetores do R apresentado por Vv 2 3 5 e v3 1 D6 LD pois se resolvermos a igualdade 000 av bV2cV3 vamos en contrar infinitos valores para a b e c que a satisfazem lll Os vetoresv 1 1 2V 211 e Vz 103 pertencentes ao R formam um grupo LI IV Quando no R tivermos um conjunto unitdrio de vetores onde o vetor presen eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA 51 te for diferente do vetor nulo ele será obrigatoriamente LI Em relação às afirmativas acima podemos dizer que a São todas falsas b Somente I e III são falsas c Todas são verdadeiras d Somente I II e IV são verdadeiras e Somente III é verdadeira SC 51 DEFINICAO Sendo dados dois espacos vetoriais V e W definimos uma transformacao line ar de V e W representada por TV W como sendo uma aplicado Tv que asso cia a cada vetor v pertencente ao espaco V um Unico vetor w pertencente ao es paco W Além disso uma transformagdGo linear preserva as seguintes propriedades AdiGo T v w Tv Tw Multiplicagdo por um escalar T kvV k T Exemplo Consideremos os espaco vetoriais V R2 e W R Vamos apresentar a aplicado TV W tal que Tx y xxy0 e verificar que se trata de uma trans formacdao linear Verificado Considere dois vetores de R WxX1 yi Vx2 y2 vamos verificar que T Vv TTV observemos que UV x Xo 1 2 Logo T V TCX X23 V1 2 CX1 X2 Xr X2 1 20 x1 X2 X1 Yi t Xp yo300 xy Xx 130 x23 Xp 250 TUH TV Ta U a X43 Hy CO Xy AX tAa0 a x Xy y10 aTU E assim entdo verificamos a aplicacdo como uma transformacao linear SAT Vesa a kV Uma transformacao linear sempre levard vetores de um espaco a vetores de um outro espaco Vetores de um certo espaco vetorial gerando vetores de um outro espaco eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC 52 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAGOES LINEARES Considerando T como uma transformacao linear de V em W sendo V e W dois espacos vetoriais TV W podemos estabelecer as seguintes propriedades e T00 e Tv T para qualquerv EV e TU vTWTW Exemplo de aplicacdo das propriedades apresentadas e da definido de transformacao linear Considere a seguinte transformacGo linear TV W onde V ReW Phe que T11 2 3x xeT23 1 x vamos entdo determinar T 2 1 Resolugao Os vetores 1 1 e 2 3 sao base para R logo todos os outros vetores do R podem ser escritos como uma combinacao linear deles a11 B23 21 e assim encontraremos a 8 eB 3 Ee assim 811 323 21 T21 T811 3 23 T811T323 8T13T23 823x x31 x T21 11x 24x 13 Importante Em algumas situagdes temos alguns valores das aplicagdes de vetores es pecificos em uma transformacdo linear mas nado temos a equacdo a lei de for eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC macdo dessa transformacado linear Para realizar o encontro dessa lei teremos que realizar alguns procedimentos e algumas operagdes com os vetores e valores apre sentados Primeiramente temos que verificar se os vetores os quais calculamos os valores da transformacado para eles sdo linearmente independentes LI Assim sendo todos os outros vetores desse Conjunto podem ser escritos Como combinagao linear daque les dados Assim entdo podemos através dessa informacdo deduzir que se temos um ve tor genérico do R chamado de v a lei da transformacdao linear T R R Tv co nhecidas algumas imagens de alguns vetores vj V2 V Conhecidos sera Tv a Tv agTV2 a3Tv3 anTvy Exemplo de aplicaado Considere T uma transformacdo linear tal que T R R e que T11 321 e que T01 110 Vamos encontrar entdo a lei de formado da trans formacdo ou seja Tv sendo v um vetor genérico do R ou seja v xy Resolucdo Considerando que os vetores 1 1 01 sdo linearmente independentes podemos entdo escrever que o vetor genérico v xy pode ser excrito como uma combinacao linear dos mesmos ou seja va11b01 Gy a11 b01 Desenvolvendo podemos chegar G conclusdo que ax e que bxye portanto Tv a T11 b T01 e assim teremos que TW x 3321 y 45150 Logo a lei de formagado da transformacao linear sera eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Tis y 2xyxyx FIQUE ATENTO Propriedade importante Se TU V e SV W sdo tranformacoes lineares com U Ve W sendo espacos vetoriais pPodemos entdo afirmar que TU W também é uma transfor magao linear 53 AUTOVALORES E AUTOVETORES Definiao Considere um espaco vetorial V e uma transformacao linear tal que TV V Quando tivermos um vetor v pertencente ao espaco V com v ndo sendo o vetor nulo e de tal forma que TV AVv definiremos que A um autovalor da transformacdo v um autovetor que estd associado a A Exemplo Sendo dada a transformacdao linear T R R com T 2v podemos verificar que considerando V x1 y1 teremos entdo Tv 2x 2y 2ve assim 2 éum autovalor de Te v 6 um autovetor associado a 2 FIQUE ATENTO Propriedade importante Sendo dada uma transformacdao linear TV V e um autovetor V associado a um autovalor A pbodemos dizer que qualquer outro vetor W também per tencente ao espaco vetorial V e tal que W av também serd um autovetor da trans formagdo T associado ao autovalor A Q BUSQUE POR MAIS Leia mais em e DANESI M M SILVA A R R D PEREIRA JR S A A Algebra linear Porto Alegre SAGAH 2019 Dispdnivel em hitpsbitly2IsHsIN Acesso em 15 abr 2020 e FERNANDES DB Algebra Linear SGo Paulo Person 2014 146 p Disponivel em hitpsbitly2GPIQVd Acesso em 15 abr 2020 eer m FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC FIXANDO O CONTEUDO 1 Lembrandose que uma transformacado linear uma aplicacdo que leva elemen tos de um espaco vetorial a outro espaco vetorial considere a seguinte transfor macao linear T R R tal que Tx yz 2xyy z Considere as seguintes consideraoes a respeito de tal transformagdado linear Ao tomarmos o vetor w 100 pertencente ao R3 a transformacdado linear dada o aplicard a 2 0 ou seja T 1 0 0 2 0 ll vetor v pertencente ao espaco vetorial R tal que T3 2 da seguinte forma x 3 2x1 2x Ill Podemos verificar através da transformacao linear dada que T00 1 11 Fazendo a andlise das afirmativas dadas podemos concluir que a Todas sdo falsas b Todas sao verdadeiras c Somente e Ill sao veradeiras d Somente Ill sao falsas e Somente Il é falsa 2 Determine a transformacdo linear TRR tal que T141 202e TO 2 2 2 0 a Tx y 4x 2x b Tx yx y 2x Cc Tx y 4x x d Tx y 2x 2x e T 2x y x x 3 As transformacées lineares podem ser muito Uteis em vdrios campos do conheci mento inclusive na Fisica envolvendo deslocamento de vetores no plano cartesi ano Vamos tomar uma situado a respeito desse deslovcamento veja eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC deslocamento de um vetor do Rsegundo um Gngulo a pode ser observado graficamente da seguinte forma 4 3 2 1 a 0 1 2 3 4 5 A transformacao linear que realiza essa rotacdo 6 dada por T R R tal que a sua lei de formacdo sera Tx y x cosa y sena y cosat x sena Baseandose nessa informado ao rotacionarmos o vetor 1 3 por um Gngulo de 90 encontr riamos quais Componentes do vetor rotacionado a 1 3 b 2 0 c 3 1 d 0 3 e 1 3 4 Considerando a transformacGo linear T R R tal que Tv 2v vamos fazer as seguintes consideraodes a respeito da mesma A tranformacao linear realiza apenas uma rotagdo de 180 com o vetor v ll A transformagao linear realiza apenas uma duplicado do vetor v lll A transformacdao linear realiza uma rotagdo de 180 com a sua duplicado IV A transformacdao linear realiza uma rotacdo de 270 com o vetor oposto ao vetor v V Tomando um vetor com componentes positivas de uma maneira genérica podemos representar a aplicado da transformado da seguinte maneira eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC 4 3 2 x y 4 3 2 1 1 2 3 1 2 3 2x2y mi Em relacdo as afirmativas apresentadas acima podemos dizer que a Apenas e Ill estado corretas b Todas estdo corretas c Todas estdo incorretas d Apenas V estd correta e Apenas Ill e V estdo corretas 5 Observando a transformacdao linear dada abaixo xX Y xty 0 TMox2 Mox2 talqueT caw Onde M2x2 representa o Conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 duas linhas e duas colunas 2 3 Podemos dizer que T 1 acarretard na seguinte matriz a3 0 2 0 0 af2 3 ofS elle 7 3 2 3 0 3 af alk 0 2 0 2 3 3 6 Consideremos uma transformacdGo linear T R R de tal forma que T10 1 2 1 eer w FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA 59 T0 1 3 0 4 Determine então o vetor resultante de T 2 5 a 1 0 0 b 15 0 12 c 17 0 2 d 9 3 7 e 17 4 18 7 Uma transformação linear do tipo 𝐓 ℝ𝟐 ℝ𝟐 tem como característica tomar um vetor do plano ℝ𝟐 e transformalo rotacionando aumentandoo diminuindoo ou fazendo simultameatente as informações anteriores além de também poder levá lo a um outro qualquer De acordo com as informações apresentadas verificamos a importância de uma transformação linear em vários campos de estudo como por exemplo na Física onde se pode aplicar esse estudo em movimentos de bra ços de forma linear Observando o esquema gráfico a seguir determine qual den tre as transformações apresentadas poderia representálo a T x y x y c T x y x y e Tx y y x b T x y x y d T x y x y SC 8 Considere a seguinte transformaao linear T R P tal que que Txy x x Onde P representa o con junto de todos os polinédmios de ordem 2 Determine entdo o polinémio resultante de T79 a Px 3 5x 6x2 b Px 5 14x 8x2 c Px 2 4x 9x2 d Px 7 15x 7x2 e Px 1 13x 18x2 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA 61 GEOMETRIA ANALÍTICA 61 PLANO CARTESIANO E PONTOS Iremos apresentar alguns elementos geométricos através de suas equações equaçãos e estruturas algébricas Começaremos pela origem de toda a geometria o ponto 611 Ponto no plano cartesiano No plano cartesiano o ponto é representado por um par ordenado Essa é a forma analítica de apresentarmos um ponto no ℝ𝟐 De uma maneira geral temos Figura 9 Ponto P no plano cartesiano Fonte Elaborado pelo Autor 2020 Estamos definindo a ideia de ponto no plano cartesiano ℝ𝟐 eassim é que iremos traba lhar durante todo o capítulo motivo pelo qual o ponto é apresentado por um par or dendo No espaço o ponto será representado algebricamente por um terno ou terna ordenada UNIDADE SC FIQUE ATENTO O ponto representado por um par ordenado tem suas caracteristicas que devem ser observadas P X Y L Ordenada Abscissa Em relacdo ao plano cartesiano vale apresentar as suas posides em relacdo aos quadrantes Primeiro quadrante x0 e y0O Segundo quadrantex0 e y0O Terceiro quadrantex0 e y0O Quarto quadrantex0 e y0O Devemos ainda apresentar as seguintes caracteristicas de pontos que estado em cada um dos quadrantes Figura 10 Quadrantes 4 Segundo Quadrante 8 Primeiro Quadrante 2 1 4 3 2 1 0 A 2 3 4 5 1 Terceiro Quadrante 2 Quarto Quadrante 3 Fonte Elaborado pelo Autor 2020 Calculo da distancia entre dois pontos Dados dois pontos A xa ya B xp Vg POdemos encontrar uma expressdo matematica que nos permita determinar eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC a distancia entre Ae B Usaremos o teorema de Pitagoras no tridngulo apresentado a seguir 5 4 PB Distancia entte Ae B 2 A 1 oO 1 2 3 4 5 6 1 dap Xp Xa pYa V Xp Xa Vp Ya Teorema de Pitagoras aplicado ao triangulo retangulo obtido no plano cartesiano GLOSSARIO Pontos equidistantes sao aqueles que estado a uma mesma distancia O prefixo e que nos diz respeito a igualdade Exemplo Sendo dados os pontos A x 3B 1 4 eC 5 2 obtenha o valor de x de modo que o ponto A seja equidistante de Be C Resoludo dag dac Vx 1 34 VK5 GB 2 Vx 2x141 Vx 10x 2541 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC Vx 2x2 x10x 26 Elevando os dois membros ao quadrado teremos x 2x2 x10x 26 E assim simplificando teremos 8x 24 x3 e Coordenadas do ponto médio de um segmento Considere um segmento com extremidades nos pontos de coordenadas A xasva B xg yg Vamos encontrar entao as coordenadas do ponto M Xmiym Que Oo ponto médio de tal segmento ponto que divide o segmento em duas partes iguais Figura 11 Esquematizacdo do ponto médio M do segmento de reta AB B Yt s M Yui Ya A i Xp Xu Xp Fonte Saber Matematica 2017 online Usando semelhana de tridngulos podemos determinar a equagdo para o encontro das coordenadas de M em fundo das coordenadas de Ae de B eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC FIQUE ATENTO Mediana de um triangulo E uma das cevianas que parte de um vértice até o ponto mé dio do lado oposto a esse vértice a GLOSSARIO Ceviana E um segmento que liga um vértice de um triangulo a um lado oposto a esse vértice Exemplo Determine o tamanho da mediana relativa ao vértice A de um tridngulo que tem todos os seus vértices com as seguintes coordenadas A 2 6B3 2 eC 3 4 Resoluao Primeiramente iremos encontrar o ponto médio M do lado BC que é o lado m oposto a o vértice A 343 24 m O Cym 3 M 03 A seguir iremos determinar a distancia de M ao ponto A dam 22 9 V85 que 0 tamanho da mediana e Condiao de alinhamento de trés pontos no plano Quaisquer pares de pontos no plano sempre estdo alinhados porém quando nos deparamos com um trio de pontos no plano verificamos que eles nado estardo necessariamente alinhados Se um trio de pontos corresponder a trés pontos nado alinhados podemos afir mar que eles serdo vértices de um tridngulo no plano FIQUE ATENTO Ao observarmos trés pontos ndo alinhados no espago estaremos observando entdo a formagdo de um plano eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC A condido para observarmos trés pontos alinhados no plano Sendo A X ya B Xp Vg C Kc yc afirmamos que eles sao colinea res OU que estdo alinhados se a igualdade for estabelecida xp Xa Cc YB Xc Xp CYB Ya Uma outra forma de apresentarmos a condicdo de alinhamento de trés pon tos igualando a zero a expressdo dada acima xp Xa Cc YB Xc XB Cys Ya 0 E assim desenvolvendo e simplificando teremos Xa YB Yo Ya Xp Xc XB Yc Xc YB 0 O que equivale a igualdade Xa Ya 1 Xp yp 10 Xc Yc 1 Exemplo Determine o valor da varidvel x de modo que os pontos A x 2 B 2 5 eC 3 1 sejam colineares Resolucdo Verificando a condido de alinnhamento de trés pontos teremos x 2 1 2 5 1 0 3 1 1 Usando a regra de Sarrus teremos 5x 6215x 4 0 4x 27 0 eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC 27 x 4 62 NOCOES DA RETA NO PLANO Uma reta é formada por um conjunto de infinitos pontos alinhados De acordo com a definido formal de uma reta como foi apresentada acima podemos entgdo obter a equacado geral de uma reta usando também a condicdo de alinhamento Se uma reta 6 formada por infinitos pontos tomemos um desses pontos como sendo um genérico o qual chamaremos de P x y Todos os pontos trés a trés esta rao alinhados portanto se conhecermos dois especificos poderemos construir uma expressao geral para a reta Portanto conhecendo os pontos A xa ya B Xp yg pertencentes a uma reta r vamos considerar um ponto genérico P xy e assim constrir a equa do geral de r usando o fato de que os trés pontos estado alinhados logo Xa Ya 1 Xp yp 10 x y 1 Desenvolvendo segundo Sarrus teremos Ya YB X XB Xa Y Xa YB XBYa 0 Chamando ya yp de a Xp Xa de Bb xXyygpXpya de Cc teremos a equacdo geral da reta assim apresentada ax by c 0 Exemplo importante Vamos obter a equacdo geral de uma reta r a qual passa pelos pontos A1 2eB3 1 Resolucdo Organizando o determinante teremos 1 2 1 x y 1 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA 68 Desenvolvendo o determinante pela regra de Sarrus vamos ter 1 2x 3y x y 6 0 2x 3y 1 x y 6 0 3x 4y 5 0 EQUAÇÃO GERAL DA RETA QUE PASSA PELOS PONTOS A E B Temos alguns casos especiais de algumas retas no plano Reta paralela ao eixo x Uma reta r 𝐚x 𝐛y 𝐜 0 paralela ao eixo x terá seu coeficiente a neces sariamente igual a zero 𝐚 0 Exemplo y 2 0 ou isolando a variável y teremos y 2 Verificamos na representação gráfica que a reta y 2 não toca o eixo x e as sim sendo será paralela ao mesmo o que indica que para qualquer valor de x y será sempre igual a 2 Reta paralela ao eixo y Uma reta s 𝐚x 𝐛y 𝐜 0 paralela ao eixo y terá seu coeficiente b neces sariamente igual a zero 𝐛 0 69 Exemplo x 3 0 ou isolando a variável x teremos x 3 Observando a representação gráfica da reta x 3 verificamos que não existe intersecção com o eixo y e assim paralela ao mesmo Para 𝑥 3 y pode assumir qualquer valor real Bissetriz dos quadrantes ímpares e bissetriz dos quadrantes pares Toda reta da forma x y 0 é denominada bissetriz dos quandrantes ímpa res x y e toda reta da forma x y 0 é denominada bissetriz dos quadrantes pares x y Veja a representação no plano cartesiano da figura abaixo SC Bissetriz dos quadrantes pares 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 6 7 8 9 1 2 3 4 Bissetriz dos quadrantes impares 63 DISTANCIA ENTRE PONTO E RETA Sendo dada uma reta r de equacao geral ax by c 0 uM ponto P Xp yp do plano cartesiano A menor distancia entre P er 6 dado por a Xp b Yp Cc dp pate 10 va2b2 Exemplo Considere a reta r de equacdo geral 3x 4y 1 0 0 ponto A de coor denadas 1 3 Vamos entGo encontrar a menor distancia entre A e a retar Resolucdo d 31431 eee 8 ar 32 42 5 5 7 5 Portanto a menor distGncia sera unidades de comprimento eer w FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC 64 ESTUDO DA CIRCUNFERENCIA Definido Considere um ponto O x9 Yo do plano Definimos como circunfe réncia ao conjunto dos infinitos pontos P também do plano que estado a uma distdn cia constante r de O Em termos de estrutura algébrica temos Considerando P x y um ponto genérico que vale por todos os pontos da cir cunferéncia dpo r Usando a equacado de distancia entre dois pontos vamos verificar que dpg VX Xo Yo 1T Elevando os dois membros ao quadrado teremos a equacdo reduzida de uma circunferéncia x Xo yyo r 11 Centro no ponto OX9 Yo raio medindo r unidades de comprimento Podemos escrever essa equacdo na forma geral o que seria obtido apdés o desenvolvimento dos produtos notdveis que estado aparecendo na forma reduzida x 2x9X XQ y 2yoy t Yo r Isolando o primeiro membro vamos obter x 2xox x2 y 2yoy ye r 0 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC Organizando a igualdade e chamando 2x de A 2yp de Be xt y2 r de C teremos a equacao geral da circunferéncia descrita assim x 4 Ax yBy C0 Organizando melhor x yAxBy C0 Lembrando sempre que A 2x9B 2yp eC xityer Exemplo Considere uma circunferéncia com equacdo geral x y 6x 10y 30 0 Determine entdao a As coordenadas do centro O b A medida do raio r Resolucdo a 2X9 6 Xp 3 2y 10 Yo 5 Portanto as coordenadas do centro sdo 0 3 5 b x2yé r 30 942517 30 34 r 30 r 30 34 r 64 r 8 Vale lembrar que a soludo algébrica da equado apresentada acima seria composta por dois valores r 2 our 2 porém desconsideramos o valor negati eer we FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC vo por se tratar de uma medida de raio e que ndo pode ser considerada como ne gativa medida de comprimento 65 ESTUDO DAS CONICAS ELIPSE Definido Considerando dois pontos distintos do plano F e F 2c a distancia entre eles dgr 2c Definiremos como elipse ao Conjunto dos infinitos pontos do plano cuja soma das distdncias a F F igual a uma constante 2a com 2a 2c Portanto A elipse P planodpp dpr 2a Apresentamos a seguir os principais elementos de uma elipse Tomemos como referéncia inicialmente uma elipse com centro na origem e eixo sobre o eixo das abscissas B e Fe F sco os focos da elipse e Céocentro da elipse e AA eixo maior da elipse A A ope 5 e BBeixo menor da elipse e 2céa distancia focal da elipse e 2aéa medida do eixo maior iB e 2b 6a medida do eixo menor Relaao notavel em uma elipse a2 b2 c Vamos agora comprovar que o eixo maior AAz mede 2a Ay Fy AF A2F2 AoF AA2 Ay Fy FF A2F2 Como AF A2F teremos AA2 AF Ai Fy eer G FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC Que obedece 4 definicdo da elipse e portanto igual a 2a e Equacao reduzida de uma elipse Considere um ponto P qualquer do plano que tenha coordenadas Px y Se esse ponto pertence d elipse entao podemos afirmar que dpr dp2 2a E assim usando a equacgdo de distancia e alguns algebrismos chegaremos a equacgdo de uma elipse com centro na origem x y wtp Onde a esta relacionado ao eixo maior e b ao eixo menor Exemplo Vamos verificar a representacdo no plano cartesiano da seguinte elipse 9x 25y 225 Vamos inicialmente reescrever a elipse na sua forma reduzida Dividindo ambos os membros por 225 teremos 9x 25y 225 225 Simplificando x y 421 25 9 E entdo graficamente eer we FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC 4 KY 4 66 ESTUDO DAS CONICAS HIPERBOLE Definido Dados dois pontos distintos Fi Fz pertencentes a um plano seja 2c a distGncia entre eles Chamamos de hipérbole ao conjunto de pontos do plano cuja diferenca em mddulo das distancias a Fi Fo constante e igual a 2a sendo res peitada a seguinte desigualdade 0 2a 2c Em resumo uma hipérbole serd assim apresentada Hipérbole P a 2a dpr 2 Apresentamos a seguir os elementos de uma hipérbole e FeF sdo os focos da hipérbole e Céocentro da hipérbole b C e AA eixo real da hipérbole A one Fa eer e BB eixo imagindrio e 2céadistdncia focal da hipérbole e 2aéamedida do eixo real Be e 2béamedida do eixo imaginario RelacGo notavel da hipérbole c a2 b Equacdo reduzida de uma hipérbole 12 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC dpr dp 2a 12 Aplicando a definido da distancia entre pontos e alguns algebrismos va mos encontrar a equacdo reduzida da hipérbole com centro C na origem do siste ma de coordenadas cartesianas 2 2 Xx 51 az b Onde o termo positivo esta associado ao eixo real e o termo negativo ao eixo imaginario Exemplo Vamos verificar entGdo a representacdo no plano cartesiano de uma hipér x2 y bole com centro na origem e eixo real sobre o eixo ial 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 0 A 2 4 5 6 i 8 i a 3 4 5 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC FIQUE ATENTO Observaremos que uma elipse e uma hipérbole podem ser apresentadas com centro fora da origem As equacédes reduzidas serdo diferentes daquelas com o centro na origem Elipse com centro no ponto O Xo Yo Hipérbole com centro no ponto O Xo yo xx9 yYo 4 xx9 yYo 4 a2 b2 a2 be Hipérbole com eixo real Elipse com eixo maior horizontal sendo horizontal Exemplo 1 A elipse apresentada a seguir tem centro no ponto O 2 1 eixo maior vertical com tamanho igual a 10 unidades de comprimento e eixo menor horizontal com 8 unidades de comprimento x 2 1 x2 G 16 25 Podemos representar essa elipse de uma outra maneira denominada forma geral Para isso iremos simplesmente desenvolver os quadrados da equacdo reduzida e assim simplificar e agrupar termos semelhantes quando necessario x4x4 y42y41 16 25 25x 100x 100 16y 32y 16 1 400 25x 16y 100x 32y 116 1 400 25x 16y 100x 32y 284 0 Graficamente eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC 6 7 Exemplo 2 Apresentaremos a seguir uma hipérbole com centro fora da origem e logo em seguida iremos obter a sua equagdo na forma reduzida e também na forma geral além de apresentdla graficamente no plano cartesiano y 2 1 9 4 Equacdo reduzida da hipérbole com centro no ponto 1 2 eixo real y e ei xo imagindrio x Desenvolvendo os quadrados e realizando algumas operacdes esimplificacdes vamos entdo obter a equaao geral yAy 4 xit2xt1 9 4 4y 1l6y 16 9x 18x 9 1 36 Ay 16y 16 9x 18x 9 36 Ay 9x 18x 16y 25 36 4y 9x 18x 16y110 eer we FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC 10 8 6 4 2 6 4 2 4 6 2 4 67 ESTUDO DAS CONICAS PARABOLA Definido sendo dado um ponto F do plano cartesiano uma reta d do pla no com F de seja também dgg a distancia entre a reta d e o ponto F Definimos como uma parabola o conjunto de pontos do plano cartesiano que estado d mesma distancia de F e d ou seja Pardbola P plano cartesiano dpp dpg Apresentamos entdo os principais elementos de uma pardbola Eixo de simetria e Féo0 foco da pardbola F e déareta diretriz da pardbola SA aS eee e péopardmetro p2 a p e Véovértice da pardbola V e Areta que passa pelos pontos e FeVéoeixo de simetria Diretriz Te Teke Teel oR UM ioll Lolo col oO RTT tuto deeds eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC Inicialmente apresentaremos uma pardbola com eixo de simetria localizado sobre um dos eixos coordenados vértice na origem e diretriz paralela a outro eixo posteriormente poderemos observar e apresentar pardbolas com eixos de simetria fora dos eixos vértice fora da origem porém com diretriz ainda paralela a um dos eixos Equacdo reduzida de uma pardbola com eixo de simetria localizado exata mente sobre o eixo das abscissas Considere um ponto F é 0 e uma reta d com equacdo geral x f 0 Sendo um ponto Px y qualquer na pardbola podemos pela definido es crever que dpp dpa Usando a definicdo de distancia entre pontos a distancia entre ponto e reta e alguns algebrismos podemos chegar na equagdo da pardbola da seguinte manei ra y 2px Exemplo Uma pardbola com equacdo y 4x tem pardmetro p 2 e vérti cena origem do plano cartesiano Veja a sua representaao no plano cartesiano l 5 Diretriz 4 I 3 I 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 q 8 9 1 1 2 3 4 1 5 I eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC VAMOS PENSAR Uma pardbola pode ter eixo de simetria vertical horizontal ou eixo obliquo nado sendo assim nem horizontal e nem vertical Para trabalhar com uma pardbola com eixo obli quo necessitariamos de uma mudanca de eixos a qual ndo trabalnaremos nesse mate rial e Pardbolas com vértice fora da origem Consideremos entado uma pardbola com vértice em um ponto qualquer dife rente da origem do sistema de coordenadas cartesianas ou seja V xy yy COM xy yy NGo nulos Vamos agora considerar uma pardbola com diretriz horizontal do tipo y kcomksendo um numero real A equagdo reduzida dessa pardbola seria entdo do tipo Yv 2pKx 13 Exemplo de uma pardbola com vértice fora da origem Figura 12 Pardbola fora da origem Fonte Elaborado pelao Autor 2020 Considere a parabola apresentada no plano cartesiano a seguir eer G FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC Vamos observar que p 4 e consequentemente 2 Portanto as coordena das do vértice serdo 7 5 e assim a equagdo reduzida da pardbola sera x 7 8y5 Podemos também escrever uma pardbola na forma geral basta desenvolver os quadrados na igualdade x 14x 49 By 40 x 14x 49 40 By 1 7 Mee gy 4st ete y Ou da forma mais usual x 7x 49 4s ye 4 8 Que assimilado ao estudo de fundo fazemos a verificagGdo de uma funao quadratica FIQUE ATENTO Nem toda a pardbola pode ser a representacdo grdfica de uma fundo Somente aque las em que a diretriz 6 paralela ao eixo das abscissas 6 que podem ser a representacdo de uma funcdo quadratica 68 PLANOS NO ESPACO E QUADRICAS NO R Vamos inicialmente apresentar a definicado de um plano DefinicGo No espa Co R o plano um conjunto de pontos que satisfaz a seguinte estrutura algébrica 14 Ax By CzD0 14 eer BS FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC A equacdo 14 denominada equacao geral de um plano Exemplo A equacdo 2x 3y z 3 06a equacdo de um plano no R Veja abaixo a representado de um plano no espaco 1 4 I I a O plano apresentado tem equado com as seguintes caracteristicas 66x 6y 44z 132 0 equacdo geral do plano Definicdo Considerando o espaco R vamos definir como uma quddrica ao conjunto de pontos que satisfazem a seguinte equadao Ax By Cx Dxy Eyz Fxz Gx Hy 1zJ 0 Com AB C D E F ndo nulos Apresentaremos a seguir alguns exemplos de quddricas com sus respectivas estruturas algébricas eer w FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC e Elipsdde Um elips6de com centro na origem pode apresentar a seguinte estrutura al gébrica 15 x y 72 a tpta 15 Graficamente podemos apresentar um elipsoide da seguinte maneira ae ieee ib gs e Hiperboldide de uma folha Um hiperbolédide de uma folha com centro na origem apresenta a seguinte es trutura algébrica 16 x y 72 atp 16 2 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC e Hiperboldide de duas folhas A equacdo reduzida representacdo algébrica de um hiperboldide de duas folnas a seguinte 17 2 2 2 x Z a ob Cc z Pe ob x Q BUSQUE POR MAIS Livros importantes para enriquecimento e BORIN JR A MS Geometria Analitica SGo Paulo Person 2014 Disponivel em hitpsbitly360M377 Acesso em 18 abr 2020 e FERNANDES L F D Geometria Analitica Curitiba InterSaberes 2016 Disoonivel em hitpsbitly38y2Ua8 Acesso em 18 abr 2020 e WINTERLE P Vetores e Geometria Analitica 2 ed SGo Paulo Pearson 2014 Disponi vel em hitpsbitly3lmngye Acesso em 06 abr 2020 eer G FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC FIXANDO O CONTEUDO 1 A observarmos uma pardbola que representa um determinado fenémeno fisico verificamos que sua equacado geral representada da seguinte maneira 2x 4x 3y40 Podemos entdo afirmar que as coordenadas do vértice as quais indicam o ponto maximo desse fenédmeno serdo a 0 3 1b 0 0 c 1 2 d 3 0 e 2 1 2 O estudo da geometria analitica possibilita a andlise de estruturas geometricas através de equacdées e normas algébricas ndo excluindo totalmente a visualiza do de tais estruturas geométricas pela sua forma Com base nessas informacdes e observando a figura abaixo julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras ou fal sas 4 c Centro 1 17 2 3 4 5 6 Raio 2 eer mw FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC Acircunferéncia apresentada tem centro no ponto C 2 1 ll A equacdo geral da circunféncia é dada por x y 2x y 3 0 lll A distGncia do centro da circunferéncia apresentada até a origem do sistema de coordenadas cartesianas é igual a V5 IV Ao tragarmos uma reta que passa pelo centro da circunferéncia e pelo ponto A 1 3 a sua equagado geral sera dada por 2x 3y 7 0 Em relacdo as afirmativas apresentadas acima podemos dizer que a Todas sdo incorretas b Todas estdo corretas c Somente e lV estado incorretas d Somente as afirmativas Ill e IV estado corretas e Somente IV estd correta 3 Sendo dada uma retar do plano de coordenadas cartesianas podemos escrevé la da forma geral usando por exemplo a condido de alinhamento de trés pon tos com o determinante de ordem 3 porém podemos apresentar uma reta na forma reduzida que seria de uma forma bem rdpida obtida ao isolarmos a varid vel y na forma geral axbyc0 by axcy x Assim entdo podemos verificar que o Coeficiente de x e nessa forma reduzida sera denominado de coeficiente angular e estard relacionado com a inclinagdo da re ta que ele representa 0 coeficiente angular também sera cahamado de declivi dade Observando as retas r e s apresentadas no plano cartesiano a seguir determine entdo os valores dos coeficientes angulares de cada uma delas m m eer FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA SSSSCC 5 retar yJS tetas 4 F J H 3 7 6 5 4 3 2 1 0 4 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 am2em 3 1 4 b m 5 em 3 2 Cc m ze ms 3 d m 5 mg 3 4 e m2em 4 Considere uma elipse com a seguinte e equagdo reduzida x1 1 x1 y 4 16 E grafico apresentado a seguir Cis FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC As afirmacdes abaixo sedo relativa a4 cdénica julgueas em verdadeiras ou falsas e logo apés assinale a alternativa correta Aelipse apresentada tem centro fora da origem e as suas coordenadas sao C1 1 ll A elipse apresentada tem eixo menor horizontal e mede 2 unidades de comprimento lll As coordenadas dos focos da elipse sdo 0 23 e 2Vv30 IV Oeixo maior da elipse é vertical e mede 8 unidades de comprimento V Aelipse apresentada tem distancia focal igual a 4V3 unidades de compri mento Podemos afirmar que a Todas as afirmativas estdo incorretas b Somente lV e V estado corretas c Todas as afirmativas estado corretas d Somente e Il estGo corretas e Somente e Ill estao corretas 5 O cdlculo do determinante de uma matriz possui grande utilidade nado s6 na Ma temdtica mas também em diversas Greas do conhecimento como a Fisica QuGn tica e a Engenharia Uma de suas aplicagdes em Engenharia para descobrir se trs pontos sdGo colineares isto se trés pontos estado alinhados pertencem a mesma reta algo importante por exemplo em um projeto de um automével para saber se o eixo estd corretamente alinnado com as rodas Provase que a condido para que trés pontos xi yi x2 y2 x3 y3 sejam colineares que o X yy 1 determinante xz y2 1 seja nulo x3 y3 1 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Considerando o exemplo do automével em um projeto o alinnhamento lateral do carro é feito comparando a posido das rodas dianteira e traseira de um mesmo lado com um ponto lateral do chassi O carro esta alinhado se os pontos que re presentam cada uma dessas partes forem colineares Sabese que nesse projeto a roida dianteira representada pelo ponto A 1 2 0 ponto que representa o chassi B0 3 a roda traseira C 1 k Dessa forma para que o carro esteja ali nhado o valor de k deve ser igual a a b 3 c 4 d 5 e 9 6 Uma hipérbole como a apresentada na figura abaixo tem como equacado geral a seguinte expressdo algébrica 6 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 sa a 9x 25y 225 0 b 25x 9y 225 0 C 9x 25y 225 0 d x 25y 25 0 e 9x 25y 225 0 eer ew FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SS 7 A condicdo de alinhamento a respeito de trés pontos nos informa que se o de terminante que envolve as coordendas dos pontos for igual a zero podemos ga rantir que os pontos apresentados sdo colineares Podemos entdo concluir que se os pontos ndo estiverem alinhados obrigatoriamente eles serdo vértices de um tri Gngulo qualquer do plano cartesiano Analisando os pontos A3k2 1 B2 3 e C 1 4 encontre a condido para que eles sejam vétices de um tridngulo ABC a k bk0 ck3 djk4 ek 2 8 Uma circunferéncia tem didmetro que um segmento com estremidades nos pontos A1 4 e B2 5 Sado feitas algumas afirmativas em relagdo a essa forma geométrica A circunferéncia dada tem centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas e raio igual a 2 unidades de comprimento ll diametro da circunferéncia apresenta pelos pontos tem medida igual a 20 unidades de comprimento Ill Oraio dessa circunferéncia tem medida igual a 10 unidades de comprimento IV Aequacdo reduzida dessa circunferéncia é x 1 y 2 7 Podemos afirmar entdo que a Somente a afirmativa Il correta b Somente as afirmativas e Il estado corretas c Somente a afirmativa IV estd correta d Todas as afirmativas estado corretas e Todas as afirmativas estdo incorretas eee FACULDADE FACULDADE Prominas WUNICA 92 RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO UNIDADE 01 UNIDADE 02 QUESTÃO 1 E QUESTÃO 1 D QUESTÃO 2 C QUESTÃO 2 E QUESTÃO 3 B QUESTÃO 3 C QUESTÃO 4 D QUESTÃO 4 A QUESTÃO 5 B QUESTÃO 5 E QUESTÃO 6 D QUESTÃO 6 C QUESTÃO 7 E QUESTÃO 7 A QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 B UNIDADE 03 UNIDADE 04 QUESTÃO 1 C QUESTÃO 1 C QUESTÃO 2 D QUESTÃO 2 D QUESTÃO 3 D QUESTÃO 3 D QUESTÃO 4 C QUESTÃO 4 D QUESTÃO 5 E QUESTÃO 5 D QUESTÃO 6 B QUESTÃO 6 A QUESTÃO 7 E QUESTÃO 7 A QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 C UNIDADE 05 UNIDADE 06 QUESTÃO 1 B QUESTÃO 1 C QUESTÃO 2 B QUESTÃO 2 D QUESTÃO 3 C QUESTÃO 3 B QUESTÃO 4 E QUESTÃO 4 B QUESTÃO 5 B QUESTÃO 5 C QUESTÃO 6 E QUESTÃO 6 A QUESTÃO 7 D QUESTÃO 7 D QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 93 REFERÊNCIAS AYRES F Teoria e problemas de matemática para ensino superior Tradução de Claus Ivo Doering 3 ed Porto Alegre Bookman 2006 BOLDRINI J L Álgebra linear 3 ed São Paulo Harper Row do Brasil 1980 BORIN JR A M S Geometria Analítica São Paulo Person 2014 BOULOS P Pré Cálculo 2 ed São Paulo Perason 2011 118 p DANESI M M SILVA A R R D PEREIRA JR S A A Álgebra linear Porto Alegre SAGAH 2019 FERNANDES D B Álgebra Linear São Paulo Person 2014 146 p FERNANDES L F D Geometria Analítica Curitiba InterSaberes 2016 IEZZI G Fundamentos de matemática elementar 7 geometria analítica 5 ed São Paulo Atual 2005 NICHOLSON W K Álgebra Linear Tradução de Célia Mendes Carvalho Lopes Leila Maria Vasconcellos Figueiredo Martha Salerno Monteiro 2 ed Porto Alegre AMGH 2014 POOLE D Álgebra linear Tradução de Martha Salermo Monteiro São Paulo Thomson Learning 2006 SABER MATEMÁTICA Ponto médio de um segmento 2017 Disponível em httpsbitly32Dh1Y6 Acesso em 19 abr 2020 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 94 APÊNDICES APÊNDICE A ESTUDO DAS MATRIZES E DETERMINANTES Vamos abordar nesse complemento o estudo das matrizes e dos determinan tes visto que eles têm uma importância no trabalho com sistemas e também dentro da geometria analítica Por não fazer parte explícita da ementa da disciplina esta remos então abordando de uma maneira complementar Definição Uma matriz é um conjunto de elementos organizados através de m linhas e n colunas Toda matriz pode ser nomeada com uma letra maiúscula do alfabeto como por exemplo A matriz tabela que representada as notas de três disciplinas obtidas por 4 alunos e que pode ser nomeada pela letra A Apresentamos a seguir um conjunto de dados que é também matematicamente uma matriz Aluno X Aluno Y Aluno Z Aluno W Cálculo 12 15 17 10 Geometria 14 16 17 12 Física I 14 16 19 20 Este conjunto de dados apresentada 3 linhas e 4 colunas O número de linhas e de colunas de uma matriz é denominado de ordem Como nomeamos a tabela matriz de A podemos afirmar que a sua ordem é 3 x 4 três linhas por quatro colu nas Importante Para obtermos a quantidade de elementos de uma matriz basta multiplicarmos o número de linhas pelo número de colunas Exemplo A matriz dada na situação anterior terá então 12 elementos SC APENDICE B NOTAGAO E REPRESENTAGAO DE UMA MATRIZ Como dito podemos nomear uma matriz com uma letra maiUscula do alfabe to Vamos apresentar agora as maneiras as quais pPodemos representar uma matriz Com sua respectiva ordem Toda matriz M com m linhas e n colunas pode ser apresentada como Mm xn Sdo representados esses m x n elementos através de um par de parénteses ou um par de colchetes Considere a seguinte tabela que apresenta a altura em cm e a massa em quilogramas de trés individuos Pessoa X Pessoa Y Pessoa Z Altura 160 175 155 Massa 65 70 72 Tal tabela pode ser escrita na forma matricial da seguinte maneira 7160 175 155 B 65 70 72 Nomeamos a matriz dada de B Podemos também escrever B2x3 Cada elemento da matriz Amxn sera Chamado de elemento ai onde i e j repre sentam respectivamente a linha e a coluna na qual o elemento se encontra e lem brando também que 0isme0jn 21 1 Na matriz 12 4 vamos localizar os seguintes elementos ai2 A22 asi 9 0 Qi21dQ24 ea3i 9 Li Elemento que se encontra na 1 linha e na segunda coluna Fa zemos a leitura do mesmo da seguinte maneira elemento a um dois Importante salientarmos que os elementos de uma matriz podem ser quaisquer numeros reais eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC APENDICE C CONSTRUGAO DE UMA MATRIZ Para construirmos uma matriz necessitamos de e Conhecer a sua ordem e Conhecer a lei de formacdo de cada elemento A lei de formacdo dos elementos dependerd exclusivamente da posicdo des se elemento ou seja dei e de j Exemplo Considere uma matriz Asx3 tal que cada elemento aj dessa matriz se ij seij ra dado pela seguinte lei de formado ai toi 3 sei j Vamos entdo construir essa matriz Primeiramente iremos apresentar a forma genérica da matriz A 441 9123 421 422 423 431 432 433 Agora vamos encontrar 0 valor de cada um dos 9 elementos da matriz usan do a lei de formacao au 1212 a2437 asi639 qai2268 a2426 a326612 ai32911 a23 49 13 a33 9 312 E assim a matriz A sera apresentada abaixo 2 8 11 A7 6 13 9 12 12 FIQUE ATENTO O estudo de matrizes pode ser usado em varios campos do conhecimento na drea de computacdo no estudo de sistemas como vimos na unidade 3 no encontro de Greas na aplicacdo com vetores na geometria analitica como vimos na unidade 6 J nas ci éncias humanas na administragGco dentre outras eer ew FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA 97 Assista os videos disponíveis nos links a seguir para melhorar sua compreensão acerca da construção de uma matriz httpsbitly3eR5jhe Acesso em 26 abr 2020 httpsbitly3knG2fC Acesso em 26 abr 2020 SC APENDICE D MATRIZES ESPECIAIS e Matriz nula é a matriz de ordem m x n que tem dos os elementos nulos iguais a zero Exemplo Vamos tomar como exemplo uma matriz C3x2 que vamos considerdla como uma matriz nula 0 0 C10 0O 0 0 e Matriz coluna é a matriz que possui abenas uma coluna e mlinhas m 1 Exemplo Veja a matriz Axi 2 3 8 e Matriz linha 6 a matriz que possui apenas Uma linha e n colunas n 1 Exemplo Considere a matriz Dixs D 3 1 6 e Matriz quadrada 6 a matriz que tem o numero de linhas igual ao numero de colu nas Podemos expressar a ordem de uma matriz quadrada apenas citando o nu mero de linhas e de colunas Por exemplo a matriz A2x2 pode ser apresentada como a matriz A quadrada de ordem 2 Exemplos Vamos apresentar algumas matrizes quadradas Az2x2 Bsx3 Cax4 2 2 2 4 10 15 33 A 3 b 19 C2 6 18 5 9 7 3 8 Em toda matriz quadrada identificaremos duas diagonais Diagonal principal cujos elementos aj tm como caracteristica i j Diagonal secundaria cujos elementos ai tm como caracteristica i j n eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC 1onden aordem da matriz a Aj Ajz eee a Aq a2 493 Am A 43 ay S453 ag anf ay Ay t diagonal principal j j secundaria ijn1 FIQUE ATENTO As matrizes quadradas serdo de fundamental importancia para estudo de algumas situ acées especificas obtencdo de determinantes os quais apresentaremos posteriormen te uso de matrizes associadas a sistemas para obter uma soludo do mesmo dentre outras informacées e Matrizes diagonais sGo as matrizes quadradas que tém todos os elementos fo ra da diagonal principal iguais a zero Exemplo Apresentaremos duas matrizes diagonais A2x2 Bax3 5 0 0 a é p o 1 d 0 0 7 e Matriz identidade uma matriz denominada de matriz identidade quando ela for uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 Exemplo de uma matriz identidade de ordem 3 1 0 0 Aj0 1 0 0 0 1 Veja que todos os elementos da Diagonal principal sao iguais a 1 e o restante iguais a zero eer FACULDADE FACULDADE Prominas UgUNICA SC e Matriz simétrica 6 uma matriz quadrada em que ai gj Exemplo vamos tomar a matriz Asx3 em que os elementos equidistantes da diago nal principal serdo iguais 2 3 9 A 1 5 9 5 4 FIQUE ATENTO Na unidade 3 apresentamos os sistemas lineares e um dos métodos de resoludo dos mesmos 0 método do escalonamento em que construimos MATRIZES associadas aos coeficientes das varidveis do sistema e assim realizamos operacdes elementares com as linhas dessa matriz para conseguir uma soludo ou uma conclusdo a respeito de tal sis tema eer FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA SC APENDICE E OPERAGOES COM MATRIZES e Soma e subtragdo de matrizes Para somarmos duas ou mais matrizes temos que obedecer a algumas regras bdsicas dessa operacdo s6 podemos somar ou subtrair matrizes que tenham a mesma ordem verificada a condicdo anterior a soma é feita adicionando algebricamen te os termos correspondentes FIQUE ATENTO Termos correspondentes em uma matriz sao aqueles que estao em mesmas posicdes Ou seja linha e coluna Exemplo Nas matrizes abaixo podemos verificar que os elementos que se encontram na 2 linha na 3 coluna sdo correspondentes e iguais 71 10 0 3 0 4 45 6 sl Lio 3 sl Importante a subtracdo de duas matrizes equivale a somar Com o inverso OU seja AB AB E lembrando que uma matriz oposta aquela em tomamos a original e tro camos os sinais de todos os seus elementos Exemplo sendo dadas as matrizes abaixo vamos determinar o que se pede em ca da um dos itens que se seguem a AB b AB c BA 1 2 3 7 A3 10 B2 4 0 4 9 2 2 5 a AB5 6 9 6 eer ew FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC 4 9 b AB 1 11 9 2 4 9 c BA 1 9 2 As operacdes de adicdo e subtracdo de matrizes sdo Uteis quando queremos obter resultados consecutivos ou ndo de tabelas de valores e Produto por um escalar Sendo dada uma matriz A de ordem m x n e um numero real t ao multipli carmos tA estamos multiplicando cada elemento aj da matriz A pelo escalar t numero real t Exemplo considere a matriz A e o numero real 6 A matriz resultante de 6 sera 12 54 6A a5 yp Multiplicamos assim cada elemento de A por 6 Importante ressaltar que essa operacdo ndo o produto de matrizes e sim o produto de uma matriz por um numero real e Propriedades da adido subtracdo e produto por um escalar Sendo dadas as matrizes A B e C de mesma ordem é os nuUmeros reais a b Cc podemos verificar as seguintes propriedades e aAtBaAtaB e atbA aAtaB e abA abA e ABBA propriedade comutativa e ABCABC propriedade associativa eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC e Transposta de uma matriz Sendo dada uma matriz A de ordem m x n definimos como transposta de A a matriz At de tal forma que cada elemento dessa matriz igual a aj da matriz A Na prdtica para obter a transposta de uma matriz dada basta trocar linha por coluna Exemplo 1 3 0 Tl Considerando a matriz A L ol podemos entdo dizer que A F 0 9 O que era primeira linha passou a ser primeira coluna 0 que era segun da linha passou a ser segunda coluna e assim por diante e Multiplicagao de matrizes Primeiramente vamos estabelecer as condicdes de existéncia do produto en tre duas matrizes Para que duas matrizes A e B possam ser multiplicadas devemos ter que o numero de colunas do primeiro fator deverd ser igual ao numero de linhas do segun do fator ou seja Am xp Byxn Cnxn Além dessa condicdo imposta para a existéncia do produto verificamos que a matriz resultante tera o numero de linhas do primeiro fato e o nUMmero de colunas no segundo Procedimento para a realizado do produto entre duas matrizes cada ele mento cj da matriz o produto serd resultante da soma dos produtos dos elementos que estado na linha i da primeira matriz com os respectivos em posido vertical da coluna da segunda matriz Para melhor visualizagdo usaremos um exemplo com matrizes especificas 1 2 3 i 3 Exemplo sejam dadas as matrizes A G 9 e B 0 2 vamos obter se 1 1 possivel a matriz C que serd resultante do produto A B eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Resolugao Primeiramente podemos verificar que o produto existira pois o nuU mero de colunas de A 3 colunas igual ao numero de linhas de B 3 linhas e por isso entado concluiremos C sera uma matriz quadrada de ordem 2 ou seja C sera Cy C uma matriz do tipo C co c e assim o que nos falta sGo os valores dos elemen tos de C O elemento ci por exemplo sera resultante do produto da soma dos elemen tos da primeira linha com a primeira coluna primeiro da horizontal multiplicado com primeiro da vertical segundo da horizontal multiplicado com segundo da vertical e assim por diante Assim entdo so para termos uma ideia do cdlculo a ser feito Cy 1120431 140432 Cy2 13422431 3444310 Co 11 20401 14001 Cop 13422401 14001 E finalmente a matriz resultante C 2 O importante a respeito do produto de matrizes é ressaltar que ele ndo co mutativo ou seja dadas duas matrizes A e B nao podemos garantir que AB BA e Determinantes Determinantes sGo nUmeros associados a uma matriz quadrada obtido quan do envolvemos todos os elementos da matriz com as operacdes de multiplicado e adicdo FIQUE ATENTO O estudo do determinante é de fundamental importdncia para as ciéncias extas Através da definido podemos usar os determinantes para verificar o alinhamento entre trés pontos podemos calcular a area de um tridngulo conhecendo as coordenadas dos seus vertices além de também pode resolver um sistema linear pela regra de Cramer dentre outras aplicabilidades eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Importante salientarmos a respeito da notacdo e da representacdo de um de terminante associado a uma matriz QUADRADA Sendo dada uma matriz quadrada A nomearemos o determinante dessa matriz de A A representacdo desse determi nante é feita de maneira que vamos escrever os elementos da matriz entre duas bar ras 0 1 3 Exemplo considerando a matriz A 1 2 0 pPodemos apresentar o seu determi 4 5 6 nante assim 0 1 3 detA 1 2 0 4 5 6 e Cadlculo do determinante de ordem 2 determinante associado a uma ma triz de ordem 2 Para calcularmos o valor do determinante de ordem 2 procedemos da se guinte maneira O valor do determinante e a subtracGo do produtos dos elementos da dia gonal principal pelo produto dos elementos da diagonal secundaria a a De uma maneira geral se tivermos uma matriz de ordem 2 A a a O seu determinante sera detA a1az2 az a42 Exemplo Considere a matriz A 2 wD Podemos entdo calcular o determi nante da seguinte maneira detA 242184210 Exemplo complementar Considere a seguinte igualdade apresentada a seguir 3k1 1 4 3 2 Determine o valor de k para que a igualdade seja verdadeira Resolucdo 33k1412 9k3420 9k90 3k1 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC e Cdlculo do determinante de ordem 3 determinante associado a uma ma triz de ordem 3 Para calcularmos um determinante de ordem 3 usaremos a regra de Sarrus que consiste em transpor as duas primeiras colunas da matriz e realizar uma soma de produtos dos elementos da diagonal principal as suas paralelas subtraindo de uma soma de produtos dos elementos da diagonal secundaria e suas paralelas S v aw a hy Qyo 43 G41 Ajo detA 2 2 Gay Ay G22 Ay4Qo00g3 Az902303 043021039 G3 49933 g gg 431822413 AgoMa311 33021412 na if na 21 3 Exemplo Considere a matriz A 2 1 0 Vamos usar a regra de Sarrus e encon 3 2 1 trar o valor do determinate de A detA Resoluao 2 1 32 1 2 1 2 120129023 3 2 113 2 Portanto detA 3 Exemplo complementar Observando a igualdade a seguir vamos determinar o valor de x aplicando regra de Sarrus no determinante de ordem 3 1 2x3 3 1 3 2 5 1 1 Resolvendo a igualdade aplicando a regra de Sarrus teremos 1 2x3 31 2x3 fs 3 i 3 2 20x304042x2 5 1 115 1 20x 2x30402 3518x72 x4 Importante dizer que o determinante de ordem trés tem fundamental impor eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC tdncia na resoludo de problemas relacionados a sistemas lineares a resolucdo de problemas na geometria analitica e também na geometria plana A area de um tridngulo pode ser calculada usando o estudo de determinan tes de ordem 3 Precisamos construir um determinante usando as coordenadas dos pontos que serdo vértices da figura Formula para o cdlculo da area de um tridngulo conhecendo os seus vertices 1 ka Ya 1 A 3 XB Ys 1 Xc Yc 1 Exemplo Considere o tridngulo de vértices nos pontos A 1 1 B 0 3 e C 30 Vamos determinar entGo a medida da area desse tridngulo Resoluao Vamos visualizar 0 tridngulo no plano de coordenadas cartesianas 4 3 1 0 1 2 3 4 i Vamos agora encontrar a medida da Grea usando determinante 1 1 111 0 3 110 33430900 9 3 O 113 0 E assim a area sera eer w FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC A 9 45 Unidades de Grea Observacgao importante usaremos sempre o mdédulo do determinante das coorde nadas dos vértices do tridngulo e Cadlculo do determinante de ordem 4determinante associado a uma matriz de ordem 4 Para calcular o determinante de matrizes de ordem 4 em diante podemos usar o teorema de Laplace Conceitos iniciais e Menor complementar de um elemento aij Di o determinante resultante apdos a eliminacdo da iésima linha e da jésima coluna e Cofator de um elemento aj Aj calculamos o cofator de um elemento ai usando a seguinte equagdo Ay 1 Diy Exemplo considerando a matriz abaixo vamos encontrar o cofator do elemento ai2 2 0 1 0 72 2 2 2 A 1 0 4 7 0 1 Vamos encontrar entago Ay 1 Dig Vamos calcular o valor de Diz menor complementar do elemento diz elimi nando a 1 linha e a 2 coluna 22 2 2 2 22 2 Di2 1 0 8J1 O 81 0046400402 62 4 01 4 0 1140 Logo o cofator sera eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA SC Ay 1 62 62 Enunciado do teorema de Laplace O determinante de ordem 1 6 calcula do efetuando a soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos seus respectivos cofatores Quando trabalhamos com uma matriz ao considerarmos uma fila pDodemos estar interessados tanto em linha quanto coluna Exemplo vamos calcular o determinante da matriz de ordem 4 a segur 102 5 0 0 2 2 A 1 0 13 1 7 Resolugao Podemos escolher qualquer fila para ser a refer6éncia no cdlculo do determi nante da matriz dada Vamos tomar sempre a fila que possui Mais zeros Assim entdo tomaremos como referéncia a segunda coluna det A aj2Ay2 ag2 Azz azz A32 agz Age Vamos precisar calcular apenas os cofatores dos elementos que ndo sdo nu los Azz 1 Dg2 Agz 1 Dag Calcularemos os menores complementares de cada um dos cofatores 1 2 51 2 Dao 10 2 20 214444010420 18126 11 711 1 1 2 51 2 Daza 10 2 20 2012403000 1230 18 3 0 O13 0 E os cofatores A32 1 6 6 Ag2 118 18 eer FACULDADE FACULDADE Prominas UsUNICA SC Logo o determinante serd detA 0A0Az 16 318 654 60 Importante Todas as matrizes de ordem maior que 1 podem ter os seus determinan tes encontrados pelo teorema de Lapalace porém é mais conveniente usdlo ape nas para calculo de determinantes de ordem maior que 3 e nado sendo ele a Unica forma de efetuar tal cdlculo eer FACULDADE FACULDADE Prominas USUNICA 111 1 Uma situação muito comum no meio empresarial é a informação a respeito da dos por tabelas São necessários alguns raciocínios para a aplicação do estudo de matrizes na prática científica e empresarial Considere uma tabela que repre senta o total de vendas de certos produtos ao longo de trimestres Se tivermos que apresentar um resultado dessas vendas após um semestre vamos ter que efetuar a soma de duas matrizes São apresentadas abaixo as duas matrizes que envolvem a venda ao longo de dois trimestres de um certo ano Tabela I Produtos Janeiro Fevereiro Março Produto A 1260 1230 1290 Produtos B 1060 2300 1500 Tabela II Produtos Abril Maio Junho Produto A 1200 2400 3000 Produtos B 1000 2810 Podemos dizer que o total vendido do produto A ao longo do primeiro semestre desse ano é a 2500 b 2460 c 1200 d 2460 e 2200 2 O iogurte é um alimento derivado do leite tendo assumido várias cores nas pra teleiras dos supermercados dependendo do elemento a ele incorporado A ofer ta de marcas cores sabores e consistência é grande Os iogurtes fornecem pro teínas vitaminas A D e E cálcio e fósforo Alguns recebem ferro e fibras e o mais importante é que dificilmente ultrapassam 5 de gordura fator muito observado pelos usuários principalmente os que cultuam as formas de um corpo ideal ba 112 seado nas proporções divulgadas pela mídia e também os que seguem prescri ção médica Os teores de magnésio e sódio presentes em 100 m l de iogurte fei to com leite integral ou com leite desnatado estão representados pelas variáveis x y z t na matriz Determine a quantidade de magnésio encontrada em 100 ml de leite desnatado e a quantidade de sódio em 100 ml de leite integral a 13 mg e 50 mg b 14 mg e 35 mg c 10 mg e 50 mg d 13 mg e 45 mg e 12 mg e 25 mg 3 Um engenheiro localiza três pontos que representam três cidades de uma região onde se tem uma certa epidemia de um vírus A equipe de saúde da região pre cisa mapear os locais e para isso se faz necessário demarcar a área a ser traba lhada pelos agentes de saúde no combate à doença Um matemático recolhe os pontos e apresenta para a equipe o seguinte esquema de mapeamento e demarcação Para a equipe se organizar melhor deverá encontrar área a ser trabalhada na unidade quilômetros Fazendo isso encontrará a 12 km b 165 km c 195 km d 218 km e 48 2 km GABARITO APÊNDICE X QUESTÃO 1 B QUESTÃO 2 A QUESTÃO 3 C