Caderno de Estudos e Pesquisa em Arquitetura Naval

Elaboração Samuel José Casarin Produção Equipe Técnica de Avaliação Revisão Linguística e Editoração SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 4 ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA 5 INTRODUÇÃO 7 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL 9 CAPÍTULO 1 ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS DE EMBARCAÇÕES 9 CAPÍTULO 2 ELEMENTOS DE REFORÇO DA ESTRUTURA 17 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 23 CAPÍTULO 1 TIPOS DE CRREGAMENTO 23 CAPÍTULO 2 ANÁLISE DE TENSÕES ESTRUTURAIS 32 UNIDADE III TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO 40 CAPÍTULO 1 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 40 CAPÍTULO 2 TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 48 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS 53 CAPÍTULO 1 DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 53 CAPÍTULO 2 FLAMBAGEM DE COLUNAS 61 REFERÊNCIAS 78 4 APRESENTAÇÃO Caro aluno A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade Caracterizase pela atualidade dinâmica e pertinência de seu conteúdo bem como pela interatividade e modernidade de sua estrutura formal adequadas à metodologia da Educação a Distância EaD Pretendese com este material leválo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos conhecimentos a serem oferecidos possibilitandolhe ampliar conceitos específicos da área e atuar de forma competente e conscienciosa como convém ao profissional que busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científico tecnológica impõe ao mundo contemporâneo Elaborouse a presente publicação com a intenção de tornála subsídio valioso de modo a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na profissional Utilizea como instrumento para seu sucesso na carreira Conselho Editorial 5 ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA Para facilitar seu estudo os conteúdos são organizados em unidades subdivididas em capítulos de forma didática objetiva e coerente Eles serão abordados por meio de textos básicos com questões para reflexão entre outros recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável Ao final serão indicadas também fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares A seguir apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de Estudos e Pesquisa Provocação Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor conteudista Para refletir Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio É importante que ele verifique seus conhecimentos suas experiências e seus sentimentos As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões Sugestão de estudo complementar Sugestões de leituras adicionais filmes e sites para aprofundamento do estudo discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso Atenção Chamadas para alertar detalhestópicos importantes que contribuam para a sínteseconclusão do assunto abordado 6 ORGANIzAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA Saiba mais Informações complementares para elucidar a construção das sínteses conclusões sobre o assunto abordado Sintetizando Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo facilitando o entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos Para não finalizar Texto integrador ao final do módulo que motiva o aluno a continuar a aprendizagem ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado 7 INTRODUÇÃO A área de projeto de estrutura naval é uma das mais importantes e desafiadoras dentro do segmento de construção naval O projeto completo de um navio submarino ou mesmo de uma embarcação mais simples de pequeno ou médio porte envolve conhecimentos das mais variadas áreas desde materiais de construção mecânica a desenho técnicoindustrial passando por mecânica matemática física e outras disciplinas inerentes à área da engenharia Em Mecânica das Estruturas Navais você irá ampliar e aplicar conhecimentos de resistência dos materiais ou mecânica dos sólidos mecânica geral conceitos relacionados a estruturas metálicas e elementos de máquinas entre outros Entre os tópicos que serão aqui abordados destacamos arquitetura naval elementos estruturais básicos de embarcações elementos de reforço de estrutura resistência dos materiais tipos de carregamento análise de tensões estruturais análise de tensão e de deformação vigas eixos e colunas A complexidade da estrutura naval exige esses conhecimentos A Figura 1 ilustra no que o autor chama de casco singelo a complexidade de uma estrutura de fundo de um navio tanque Figura 1 Estrutura de fundo de um navio tanque de casco singelo ESCOA ANTEPARA LONGITUDINAL ANTEPARA LONGITUDINAL ANTEPARA TRANSVERSAL ANTEPARA TRANSVERSAL QUILHA Fonte Augusto 2004 apud Martins 2014 p 2 A Figura 2 por sua vez dá uma noção de alguns tipos de esforços que são aplicados em um casco de navio 8 INTRODUÇÃO Figura 2 Esforços solicitantes em um casco de navio Peso Estrutural Peso de Cargas Peso de Máquinas Pressão Hidrostática Flutuação Fonte Lewis 1988 p 209 apud Muller 2016 p 19 Saber interpretar esses esforços e saber dimensionar via memorial de cálculo todas as forças tensões de ação e reação atuantes em uma embarcação é de fundamental importância para a atuação profissional do engenheiro que trabalha em projetos de construção naval Bons estudos Objetivos Absorver conceitos fundamentais de arquitetura naval envolvendo elementos estruturais básicos de embarcações Conhecer e entenda o dimensionamento de elementos de reforço da estrutura de uma embarcação Aprofundar seus conhecimentos em temas relacionados à resistência dos materiais ou em mecânica dos sólidos Compreender os princípios de cálculodimensionamento de esforços de tensão e deformação Calcular e entender dimensionamento de vigas eixos e colunas aplicada à estrutura naval Adquirir bons conhecimentos de todas as variáveis que são exigidas em mecânica das estruturas navais 9 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL CAPÍTULO 1 Elementos estruturais básicos de embarcações Quando usamos o termo Arquitetura Naval segundo Santos 2016 referimonos ao projeto e construção dos cascos e estruturas de uma embarcação a organização do seu espaço interior bem como com o seu comportamento hidrodinâmico e hidroestático Nessa primeira unidade trabalharemos com elementos estruturais básicos de embarcações ossada e chapeamento vigas e chapas longitudinais vigas e chapas transversais cavernas vaus hastilhas cambotas etc além de elementos de reforço da estrutura roda de proa travessas cadastes pés de carneiro borboletas ou esquadros tapajuntas vaus intermediários e secos calços colar latas prumos buçardas cantoneiras de contorno e golas Portanto aqui trataremos a Arquitetura Naval como o estudo dos elementos básicos que compõem uma embarcação marítima Uma embarcação marítima tradicional navio barco lancha veleiro etc é construída segundo uma estrutura complexa de chapas vigas eixos longarinas cantoneiras e muitos outros elementos cujo dimensionamento exigiria um curso à parte Neste capítulo vamos nos concentrar incialmente não em dimensionamento mas sim em conhecer com os maiores detalhes possíveis os principais elementos que compõem da arquitetura final de uma embarcação Assim veremos ossada e chapeamento vigas e chapas longitudinais vigas e chapas transversais cavernas vaus 10 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL hastilhas cambotas Os elementos relacionados acima compõem a estrutura metálica dos cascos de navios Ossada e chapeamento Tratamse basicamente do esqueleto do navio ossada e do revestimento ou forramento exterior construído a base de chapas chapeamento A ossada é formada por dois tipos de vigas vigas longitudinais e vigas transversais e por reforços locais A Figura 3 mostra um exemplo de ossada de navio com seus principais elementos Figura 3 Ossada esqueleto e chapeamento de navio e seus elementos Grinalda Cambotas Alhetas Borboleta Vaus de 1ª Coberta Vaus de secos Vaus de convés Cantoneiras do tricaniz do convés Bosso do eixo Longarinas Antepara de colisão a ré Quilha Cavernas altas Suporte do tubo do eixo Quilha vertical Cadaste exterior Suporte do tubo telescópico do eixo Cadaste interior Cavernas Orifício da Tubulação do Leme Almeida Painel de popa Fonte httpsreader021docslidenetreader021html52017082955cf9df2550346d033affa7dbg3png Vigas e chapas longitudinais As vigas e chapas longitudinais podem ser subdivididas nas seguintes categorias ou tipos quilha 11 ARQUITETURA NAVAL UNIDADE I sobrequilha longarina ou longitudinais tricaniz e sicordas Ressaltase que as vigas e as chapas longitudinais são as responsáveis juntamente com o chapeamento exterior do casco e do convés por impor resistência aos esforços longitudinais exercidos no meio do navio pelo cavado ou pela crista de uma onda Figura 4 Figura 4 Ação longitudinal da crista e do cavado de uma onda no meio de uma embarcação Crista Cavado Fonte httptermofurgbrArteNavalApresArtNav01bpdf Quilha A quilha é com certeza em termos de elementos estruturais a parte mais importante do navio podese dizer que ela é a espinha dorsal da embarcação Ela é disposta ao longo de todo o comprimento do casco e na parte mais baixa do navio A quilha é a parte da estrutura do navio que mais suporta esforços tanto nas docagens como em encalhes Sobre a quilha se assentam as demais estruturas do navio A quilha designase saliente ou maciça quando é formada por uma peça única de ferro ou aço Dizse chapa ou chapaquilha se for constituída por chapas de ferro ou aço verticais e cravadas umas para as outras Denominase chata quando é formada por uma chapa de maior espessura que a do costado SALVADOR NÁUTICO sd Nos navios de madeira a quilha a parte inferior axial do casco é constituída por várias peças talões unidas por meio de escarvas A quilha de madeira compõese de três partes distintas quilha propriamente dita tábua das hastilhas e sobressano A quilha fecha interiormente a ossada e é continuada a vante pela roda de proa e a ré pelo cadaste SALVADOR NÁUTICO sd A Figura 5 ilustra um modelo de quilha 12 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL Figura 5 Quilha de navio Convés 1ª Coberta 2ª Coberta Longarina Chapa longarina Quilha vertical Robalete Chapa de quilha Fonte https4bpblogspotcomQN3Q7vJ5bOsWNbVWWIMVEIAAAAAAAAEZAkrzL6AMdvACrAObh2WpWXhQyyrDRxxPQCEws400 QUILHA2estruturara036png Sobrequilha É um elemento que vai da proa à popa do navio e serve para fortalecer as cavernas conforme mostra a Figura 6 Figura 6 Sobrequilha Sobrequilha Quilha Caverna Fonte httpwwwrbnaorgbrarquivos2016MadeiraTitulo11ParteIITitulo11Secao2002018pdf Longarinas ou longitudinais Ficam localizadas na parte interna das cavernas fazendo a ligação entre elas e são colocadas de tal forma que vão de proa à popa A Figura 7 mostra um conjunto de longarinas dispostas na estrutura de um barco 13 ARQUITETURA NAVAL UNIDADE I Figura 7 Longarinas na estrutura de um barco Fiada do trincaniz Fiada da cinta Caverna 9 Antepara Longarina Trincaniz Roda de proa Quilha Caverna Hastilha Vau Sobrequilha Skeg Fonte https3dwarehousesketchupcommodelbd549f1aee445b64fb3712e95e10cc98Compontentesestruturaisdeuma embarcaC3A7C3A3osimplificadohlpl Trincaniz Tratase de um conjunto de chapas também conhecido como fiada de chapas localizadas próximas aos costados e em cada convés de espessura geralmente maior que as demais que serve para ligar os vaus entre si e as cavernas Figura 8 É uma peça estrutural no sentido longitudinal da embarcação ligando o convés à borda PORTAL NAVAL sd Figura 8 Localização da trincaniz Trincaniz Fonte httptermofurgbrArteNavalApresArtNav01bpdf 14 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL Sicordas Ligam os vaus entre si e são peças colocadas de proa à popa em um convés ou em uma coberta Termo FURG sd p 8 Vigas e chapas transversais As vigas e chapas transversais são responsáveis por dar forma exterior ao casco do navio e outras embarcações Devido aos esforços transversais que ocorrem sobre a estrutura do navio que tendem a deformálo esses elementos atuam na resistência a esses esforços auxiliados pelas anteparas estruturais Dentre os tipos de vigas e chapas transversais temos cavernas vaus hastilhas e cambotas Vamos ver cada uma delas Cavernas Há as simples cavernas e as cavernas altas As primeiras são peças curvas que se fixam na quilha perpendicularmente a elas dando forma ao casco e sustentando o chapeamento externo as segundas por sua vez são aquelas em que as hastilhas são mais altas similares às anteparas e são usadas para reforçar a proa e a popa do navio Além dos dois tipos principais de cavernas há ainda as cavernas gigantes que são um tipo reforçado e a caverna mestra situada na seção mestra do navio Vaus Existem vários tipos de vaus simples de escotilha gigante intermediário real reforçado e seco De acordo com o Portal Naval Glossário vau beam em inglês de acordo com a definição da ABNT é uma viga estrutural colocada no sentido transversal da embarcação ligando os dois ramos de baliza O seu conjunto serve para sustentar o forro dos conveses Os vaus servem também para atracar entre si as balizas dos conveses Os vaus tomam o nome do pavimento que sustentam vaus do convés vau da primeira coberta vau da segunda coberta etc A Figura 9 ilustra dois tipos de vaus o usado em cargueiros e o usado em petroleiros 15 ARQUITETURA NAVAL UNIDADE I Figura 9 Vaus em cargueiros e petroleiros Vaus Cargueiro Petroleiro Vaus reforçados Fonte httptermofurgbrArteNavalApresArtNav01bpdf Hastilha De acordo com o Portal Naval hastilha é um reforço transversal que vai de um bordo a outro no fundo do navio fechando o anel estrutural com as cavernas e o vau correspondente É uma chapa colocada verticalmente no fundo do navio em cada caverna aumentando a altura desta na parte que vai da quilha ao bojo Há vários tipos de hastilhas abertas open floor altas deep floor estanque waterlight floor e sólidas de chapa e completa Cambotas São cavernas que armam a popa do navio Das fontes referências que foram citadas até aqui há duas em especial que complementam de forma mais intensa as nomenclaturas das principais partes da estrutura de uma embarcação São elas QUIzLET Arte Naval Capítulo 1 traz 191 cards virtuais que ao serem clicados mostram as definições do elemento correspondente Por exemplo amurada parte interna do costado Mais comumente usada para indicar a parte interna do costadoborda falsa Disponível em httpsquizletcombr413369322arte navalcapitulo1flashcards Acesso em 19 jan 2021 PORTAL NAVAL Glossário que traz muitas definições de a a z de elementos de um navio Disponível em httpswwwportalnavalcombrglossario3 AtextFiada20de20chapas20que20constitueQuilha Acesso em 19 jan 2021 Boa pesquisa 16 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL A Figura 10 a seguir mostra um esquema geral com a localização dos principais elementos da estrutura metálica de um casco Figura 10 Elementos da estrutura de um casco Bico de proa Anteparo de colisão Castelo Sicorda Braçola da escotilha Chapeamento do convés Cavernas Vau Pé de galinha Longarina Teto do duplofundo Borboleta Boeiro Longarinas Rebordos Quilha Hastilha Bojo Longarinas Cavernas Forro exterior Bochecha de BB Trincaniz Fonte httpscnavblogfileswordpresscom201608mecc3a2nicadonavioestc3a1ticaintroduc3a7c3a3opdf 17 CAPÍTULO 2 Elementos de reforço da estrutura No capítulo anterior foram apresentadas as peças da estrutura maior das embarcações Aqui neste segundo capítulo serão apresentados os elementos que reforçam as do primeiro capítulo garantindo à estrutura estabilidade e segurança Eles completam a estrutura como um todo realizando a ligação entre as demais partes ou ainda servem de reforço a uma parte dos cascos Há diversos elementos de reforço da estrutura de uma embarcação dentre os quais podemos destacar roda de proa travessas cadastes pés de carneiro borboletas ou esquadros tapajuntas vaus intermediários e secos calços colar latas prumos buçardas cantoneiras de contorno e golas Vamos conhecer alguns deles Roda de proa É uma peça de grande dimensão manufaturada em aço que é montada na extremidade de avanço da quilha fechando a ossada do navio na parte frontal vante A roda de proa é um prolongamento da quilha Segundo o site Seagirl existem oito tipos de roda de proa Tabela 1 Tabela 1 Tipos de rodas de proa Tipo de Roda de Proa Característica Esquema Proa Invertida Base mais larga e parte superior mais curta Proa de Esporão É mais saliente na parte inferior onde apresenta um esporão Proa de Beque Tem a parte superior mais avançada Proa Direita É o tipo mais antigo e mais simples 18 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL Tipo de Roda de Proa Característica Esquema Proa Redonda Apresenta um perfil circular arredondado Proa Arqueada Similar a redonda mas com a parte inferior mais inclinada menos curvada Proa Lançada De formato diagonal inclinada Possui uma ponta não muito avançada Proa de Bolbo Forma uma espécie de barriga bolbo com grande parte dela imersa Fonte adaptado de Seagirl 2017 Dos oito tipos de roda de proa apresentadas na Tabela 1 uma delas a proa de bolbo é muito comum em navios de grande porte cargueiros graneleiros e transatlânticos A proa de bolbo modifica a forma como a onda passa pelo casco rompendo a tensão da água e diminuindo a resistência que esta oferece à passagem do navio aumenta também a velocidade e consequentemente a sua eficiência SEAGIRL 2017 Para se aprofundar ainda mais acesse Proa de Bolbo Disponível em https seagirlptnaviosproadebolbo Acesso em 20 jan 2021 Bons estudos Cadaste O cadaste é uma peça montada no extremo posterior da quilha fechando a ossada do navio na parte traseira à ré É semelhante à roda de proa só que é localizado na parte de trás da embarcação Existem dois tipos de cadaste interno e externo Nos navios de uma só hélice pode haver cadaste externo e cadaste interno PORTAL NAVAL sd 19 ARQUITETURA NAVAL UNIDADE I A Figura 11 ilustra o cadaste de um navio Figura 11 Estrutura da popa com destaque para o cadaste Cadaste interior Clara do eixo Clara do hélice Cadaste exterior Pé do cadaste Fêmeas do leme Fonte httptermofurgbrArteNavalApresArtNav06bpdf Há ainda o contracadaste que é uma peça do navio que reforça internamente o cadaste MEU DICIONÁRIO sd Na inexistência de um cadaste a popa recebe um leme compensado suspenso Pés de carneiro São colunas que suportam os vaus para aumentar a rigidez da estrutura quando o espaço entre as anteparas estruturais é grande ou para distribuir um esforço local por uma extensão maior do casco Os pés de carneiro tomam o nome da coberta em que assentam CNAV Blog sd p 4 Vaus secundários Além dos vaus principais dos navios há dois tipos para fins de reforço dos primeiros vaus intermediários e vaus secos Os intermediários são menores que os principais e são posicionados entre eles para ajudar a sustentar o pavimento quando o espaçamento entre os vaus é maior que o usado normalmente Já os secos ou vaus de porão são mais espaçados e não recebem assoalho Sua função exclusiva é a de atracar as cavernas nos casos em que haja porão de grande dimensão 20 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL Quando os vaus não são contínuos usamse latas colocadas entre os vaus principais Essas latas servem para ligar os chaços das escotilhas e as cavernas Buçardas São peças horizontais colocadas na ponta da proa ou da popa contornandoas por dentro elevando a resistência dessas áreas do navio Essas peças do tipo borboleta são as que fazem a união dos longitudinais do costado na roda de proa Prumos e travessas Os prumos são elementos de reforço fabricados em ferro perfilado colocados verticalmente nas anteparas As travessas fazem o mesmo papel mas são colocadas em posição horizontal às anteparas Borboletas Como mostra a Figura 12 borboletas ou esquadros são pedaços de chapa no formato de esquadro usados para a união entre dois perfis duas peças quaisquer ou duas superfícies em ângulo entre si com o objetivo de manter esse ângulo constante fixo Figura 12 Borboletas Vau Borboleta Caverna Fonte httptermofurgbrArteNavalApresArtNav01bpdf 21 ARQUITETURA NAVAL UNIDADE I Anteparas São estruturas verticais que subdividem uma embarcação em compartimentos ou em regiões estanques Existem diversos tipos de anteparas PORTAL NAVAL sd da bucha de choque de colisão de colisão de ré de colisão de vante de porão diafragma diametral encouraçada estanque à água estanque estrutural extrema lateral longitudinal não estanque parcial principal protegida resistente e transversal As anteparas servem também para manter a forma e aumentar a resistência do casco Chapeamento São chapas que formam o revestimento ou fazem subdivisões do casco do navio Têm se os seguintes tipos de chapeamento chapeamento exterior do casco chapeamento do convés e da coberta chapeamento interior do fundo e anteparas já visto O chapeamento exterior do casco tem como função revestir externamente e promover uma impermeabilização à água do mar Para tanto existem a chapa de cinta chapa do interior do trincado duplo camisa e chapa exterior do trincado duplo saia Os chapeamentos do convés e das cobertas são usados para dividir o interior do casco em pavimentos Auxiliam na resistência da estrutura do navio longitudinalmente O chapeamento do interior do fundo é um tipo de revestimento estanque que forma o teto do duplofundo e auxilia na resistência longitudinal do navio Nesta primeira unidade do Caderno de Estudos focouse muito na terminologia dos elementos estruturais metálicos de um navio Embora haja outros elementos que poderiam ser citados não é intenção destes capítulos ser um glossário de termos estruturais caso seja de interesse foi indicado um glossário nesta unidade Vale ressaltar que foi apresentada em linhas gerais a Arquitetura Naval básica para podermos entender os esforços a que são submetidos os elementos básicos e como interpretálos em projetos de construção naval 22 UNIDADE I ARQUITETURA NAVAL A complexa estrutura de chapas vigas elementos de apoio e de união que compõem a estrutura de uma embarcação precisa ser entendida sob o ponto de vista de projeto dimensionamento e segurança geral 23 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Se relembrarmos as solicitações indicadas na Figura 2 que recaem sobre uma embarcação dentre elas seu peso estrutural o peso das cargas o peso das máquinas e a pressão hidrostática externa podemos constatar que todos os elementos estruturais que foram apresentados na Unidade I estão sujeitos a algum tipo de esforço carregamento É justamente nesta segunda unidade do Caderno de Estudos que veremos os principais tipos de carregamento e como analisálos CAPÍTULO 1 Tipos de crregamento O estudo da disciplina clássica Resistência dos Materiais algumas vezes tratada também como Mecânica dos Sólidos nos mostra que um elemento estrutural está sujeito a uma ou mais combinações dos seguintes possíveis tipos de solicitação tração compressão flexão torção cisalhamento Essas solicitações ou carregamentos como dito anteriormente podem estar atuando de maneira única ou combinada flexotorção por exemplo ou mesmo uma ação combinada de traçãocompressão Portanto é importante identificar a qual tipo de carregamento cada elemento poderá estar sujeito e saber calcular dimensionar quais as cargas que são suportadas cargas limites Vamos ao estudo de cada uma das possibilidades Tração O esforço de tração é uma carga aplicada axialmente a um elemento estrutural barra eixo placa etc que tende a se alongar em seu comprimento devido à carga aplicada 24 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 13 A força de tração provoca o surgimento de uma tensão de tração σT que correlaciona a força F e a área da seção transversal A do elemento estrutural ou seja T F A σ sendo que F força N ou kgf A área m2 e σT tensão Nm2 ou kgfm2 Lembrando que 10 Nm2 1 Pascal Pa Figura 13 Esforço de tração axial em uma barra de área de seção A Fonte elaborada pelo autor 2021 Na Figura 13 considere uma barra de seção transversal circular de diâmetro d m e comprimento L m O esforço de tração não se apresenta somente em eixos e barras mas é muito comum também em tirantes cabos de aço cordas e correntes por exemplo Observe o elevado número de tirantes que sustentam alguns elementos estruturais de um veleiro de recreação Figura 14 Figura 14 Veleiro e seus tirantes Fonte httpspanfleteriasfo2digitaloceanspacescomuploadsofertasimg03DescontoemPasseiodeVeleironaAssociacaodeVeleiros deFortaleza3jpg 25 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIDADE II Compressão A compressão é um esforço similar ao de tração mas em sentido inverso atuando de forma a provocar uma diminuição no comprimento do elemento estrutural Figura 15 Tirantes não são sujeitos a compressão Figura 15 Compressão Fonte elaborada pelo próprio autor 2021 A área sobre a qual atua a força de compressão FC fica sujeita a uma tensão de compressão σc tal que C C F A σ Colunas são elementos estruturais que em geral são solicitados por compressão Note por exemplo na Figura 16 que um pé de carneiro responsável por sustentar a estrutura interna no casco está sujeito a carga de compressão tal qual uma coluna de uma edificação Figura 16 Pé de carneiro sob compressão Pé de carneiro Fonte httptermofurgbrArteNavalApresArtNav01bpdf Flexão O fenômeno da flexão pode ser observado como sendo a resposta de um elemento de estrutura a um carregamento perpendicular a ele Por exemplo uma viga ou eixo 26 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS biapoiada com uma carga P aplicada entre os apoios Figura 17 que por sua vez irá provocar a ocorrência de um momento fletor Mf Figura 17 Viga biapoiada carregada verticalmente em ensaio de deflexão Fonte httpswwwguiadaengenhariacomwpcontentuploads201712ensaiodeflexao1jpg Um carregamento similar mas com uma carga P central aplicada em uma viga de comprimento L pode ser esquematizado como indicado na Figura 18 Figura 18 Modelagem de uma viga biapoiada com carregamento P no centro Fonte elaborada pelo autor 2021 As reações ao carregamento P podem ser assim calculadas no equilíbrio de forças forças verticais 0 P P2 P2 O momento fletor Mf é assim obtido ç â 2 f L M for a dist ncia P Lembrando que unidade de momento fletor Mf no Sistema Internacional SI é o produto da unidade de força N pela unidade de comprimento m ou seja Nm Fizemos os cálculos para a carga pontual mas na prática as cargas sobre um elemento estrutural podem ser de três tipos pontual distribuída de forma uniforme ou não e mista pontual distribuída Veja exemplos na Figura 19 27 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIDADE II Figura 19 Tipos de distribuição de carga a pontual b distribuída c mista a b c Fonte httpwwwprofwilliancommateriaislinhaelasticapdf Todos os tipos de carregamentos exemplificados nas Figuras 19 de a a c sofrem flexão Em estruturas de navios estudos por softwares indicam as flambagens que podem ocorrer nos elementos estruturais da embarcação Figura 20 Figura 20 Análise de flambagem via MEF método dos elementos finitos em elementos estruturais a flambagem induzida pela placa b flambagem induzida pelo enrijecedor c flambagem da placa d flambagem lateral torcional Fonte httpobjdigufrjbr60tesescoppemMiguelRenatoMancoRiverapdf Há ainda a se considerar que na flexão de uma viga ou chapa dobrada ou calandrada observase o seguinte fenômeno Figura 21 Figura 21 Fenômeno de tracionamento e compressão em dobramento de chapa ou viga Punção Prendechapas Matriz de dobramento Tensões de tração Tensões de compressão Fonte https2bpblogspotcomoSjK1DrCwU2Tm4X76rWIAAAAAAAAIqEXrmYt1R5yEks16001PNG 28 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A Figura 21 mostra que ao sofrer uma deformação de dobra curvatura o material apresenta tensões de tração na parte superior da curva e tensões de compressão na parte inferior da curva Note na Figura 21b que existe uma linha central pontilhada que é a chamada linha neutra onde as tensões são nulas Torção A torção é um tipo de solicitação que envolve a aplicação de um torque T geralmente em um eixo tal que ocorra um momento torçor Mt como mostra a Figura 22 Figura 22 Torção em eixo cilíndrico Eixo de torção Centro de torção Fonte httpwwwcartograficaufprbrportalwpcontentuploads201509AULA04TORC387C383Opdf Note que a torção T ocorre pela aplicação de uma força F na verdade um binário na extremidade de uma alavanca de comprimento L e ponto médio na linha de centro de torção Desse modo o torque T é assim obtido 2 L T F Onde T torque Nm F força N L comprimento m Ao analisarmos um eixo engastado a aplicação de um torque T faz com que o eixo sofra um giro rotação formando um ângulo ɸ que é o ângulo de torção Figura 23 Sabese que ɸ é dentro de certos limites proporcional ao torque T e ao comprimento L do eixo 29 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIDADE II Figura 23 Eixo engastado sujeito a torção e o ângulo de torção ɸ Fonte httpwwwcartograficaufprbrportalwpcontentuploads201509AULA04TORC387C383Opdf O torque aplicado no eixo gera uma tensão chamada de tensão de cisalhamento Ƭ na face perpendicular ao eixo área de seção transversal Há um outro ângulo ângulo de deformação por cisalhamento γ que é obtido pela relação L γ ρ Onde γ ângulo de deformação por cisalhamento radiano ρ raio do eixo ɸ ângulo de torção radiano L comprimento do eixo Note que o valor máximo de γ ocorre justamente na superfície do eixo local onde coincidem os valores de ρ e r que é o raio do eixo Para valores menores que r pontos internos o valor de γ tende a diminuir até zerar no centro do eixo Assim como nos esforços de tração e compressão é possível definir na região de deformação elástica o valor do Módulo de Young ou Módulo de Resistência E dado por E σε onde ε é a deformação linear adimensional a unidade de E é dada por um múltiplo de Nm2 que é o MPa 106 Nm2 ou GPa 109 Nm2 no cisalhamento temos o Módulo de Resistência ao Cisalhamento ou Módulo de Resistência à Torção G tal que G G τ τ γ γ A tensão máxima de torção Ƭmax que um eixo pode suportar é calculada pela seguinte relação 30 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS max T r J τ Onde J momento de inércia polar de um eixo de raio r tal que 4 2 r J π A dimensão de J é m4 No caso de um eixo de seção circular vazada com raio interno r1 e raio externo r2 4 4 2 1 2 r r J π Na área naval o conceito de torque pode ser aplicado principalmente em sistemas mecânicos como por exemplo uma turbina e um gerador unidos por um eixo comum Figura 24 Figura 24 Torque em eixo de união de turbina com gerador Gerador Rotação Turbina Fonte httpwwwcartograficaufprbrportalwpcontentuploads201509AULA04TORC387C383Opdf Aqui você viu a torção em eixos cilíndricos Entretanto eixos de seção transversal não cilíndrica podem também sofrer torque Aprenda um pouco mais sobre torção em 31 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIDADE II NADAL Carlos A Torção Universidade Federal do Paraná UFPR 2015 disponível em httpwwwcartograficaufprbrportalwpcontentuploads201509AULA 04TORC387C383Opdf Acesso em 22 jan 2021 Consulte as páginas 25 a 29 Boa pesquisa 32 CAPÍTULO 2 Análise de tensões estruturais Uma estrutura de um navio tem um elevado grau de complexidade e devido aos diversos tipos de carregamentos para que a embarcação é solicitada uma acurada análise de tensões deve ser realizada a fim de verificar a segurança geral da estrutura como pode ser visto na Figura 25 em uma aplicação computacional Figura 25 Análise computacional de estrutura metálica de um navio Fonte httpsthumbbibliocadcomimagescontent0000000090009117webp Vamos conhecer alguns métodos de análise de estrutura metálica geral mas que podem ser aplicados em qualquer tipo de construção estrutural navios e outras embarcações inclusas Embora existam diversas metodologias de análise de estruturas metálicas vamos nos concentrar basicamente em duas 1 método dos nós e 2 método das seções Antes de abarcarmos estes dois modelos vamos conhecer primeiramente uma estrutura básica simples a treliça Segundo Hibbeler 2011 p 195 treliça é uma estrutura de membros esbeltos conectados entre si em suas extremidades Em construções civis e mesmo na construção naval esses membros podem ser de madeira ou metal A Figura 26 ilustra uma treliça típica 33 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIDADE II Figura 26 Treliça Fonte httpswwwabcemorgbrconstrumetal2010downloadscontribuicoestecnicas27estudodetrelicasmetalicasparacoberturas emduasaguasatravesdeotimizacaotopolgicapdf Conhecida a estrutura da treliça vamos ao primeiro método Método dos nós Para analisar uma treliça é necessário determinar a força em cada um dos seus membros O método dos nós se baseia na premissa que a treliça inteira está em equilíbrio isto é forças 0 então cada um de seus nós também está em equilíbrio A partir do diagrama de corpo livre que veremos na sequência de cada nó as forças de equilíbrio podem ser obtidas para cada nó Em uma análise mais simplificada como os membros de uma treliça plana são membros retos de duas forças situadas no mesmo plano cada nó está sujeito a sistemas de forças que são coplanares e concorrentes Assim basta aplicar as seguintes condições de equilíbrio Fx 0 e Fy 0 Veja esquema a seguir Figura 27 Figura 27 Treliça simples com carga F no nó C e aplicação do método dos nós Fonte elaborada pelo autor 2021 No nó C isolado temos o seguinte equilíbrio de forças Fx 0 F FBCcosα 0 F FBCcosα I 34 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Fy 0 FCA FBCsenα 0 FCA FBCsenα II Note que se o ângulo α não for conhecido pode ser facilmente calculado desde que se saibam os valores dos comprimentos LAB e LCA Um diagrama de corpo livre pode ser notado na parte em que o ponto C da Figura 27 foi isolado e realizada a análise de forças por decomposição Essa análise de forças permite verificar se cada elemento da treliça está sob tração ou sob compressão No ponto C atuam as seguintes forças F está tracionando o nó C FCA está tracionando o nó C e FBC está comprimindo o nó C Através dos cálculos caso as forças que atuem no nó C se confirmem não tenham seus sentidos alterados podemos fazer a seguinte análise de forças nos elementos da treliça Figura 28 Figura 28 Análise de forças nos elementos da treliça TRAÇÃO Fonte elaborada pelo autor 2021 Nota nas Figuras 27 e 28 o apoio A é fixo e o apoio B é móvel Da Figura 28 concluímos que o elemento estrutural AC uma barra por exemplo está sob tração e o elemento BC está sob compressão É possível também determinar se o elemento AB está sob tração ou compressão Para tanto é só dar continuidade aos cálculos impondo equilíbrio de forças nos pontos A e B 35 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIDADE II Ao usar o método dos nós escolha aquele que tem pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças incógnitas Fazendo assim as equações de equilíbrio I e II geram duas equações algébricas que podem ser resolvidas para as duas incógnitas Ao aplicar essas equações o sentido correto do membro incógnito pode ser determinado usando um dos dois métodos possíveis segundo Hibbler 2011 p 198 I O sentido correto da direção de uma força do membro incógnito pode ser assumido da seguinte maneira após aplicar as equações de equilíbrio o sentido assumido pode ser verificado pelos resultados numéricos Um resultado positivo F 0 indica que o sentido está correto um resultado negativo F 0 indica que o sentido adotado no diagrama de corpo livre precisa ser invertido II Sempre considere que as forças do membro incógnito que atuam no diagrama de corpo livre do nó estão sob tração ou seja as forças puxam o nó saem dele Dessa maneira a solução numérica das equações de equilíbrio resultará em valores positivos para os membros sob tração e negativos para os que estão sob compressão Uma vez que a força do membro incógnito é encontrada use sua intensidade e sentido correto tração ou compressão no diagrama de corpo livre do nó subsequente caso exista Procedimento básico para realizar a análise pelo método dos nós HIBBELER 2011 p 198 Desenhe o diagrama de corpo livre de um nó tendo pelo menos uma força conhecida e no máximo duas incógnitas Se esse nó estiver em um dos apoios poderá ser necessário calcular primeiro as reações externas de apoio Use um dos métodos i ou ii para estabelecer o sentido de uma força incógnita Oriente os eixos x e y de modo que as forças no diagrama de corpo livre possam ser facilmente decompostas em suas componentes Fx e Fy para depois aplicar as equações de equilíbrio Fx 0 e Fy 0 Resolva o sistema de equações e com os resultados numéricos verifique o sentido correto de cada força Fazendo uso dos resultados calculados continue a calcular cada um dos nós subsequentes 36 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A melhor forma de entender toda essa teoria é fazendo um estudo de caso que sintetizará todo o procedimento Vejamos um Suponha que você está dimensionando as forças de reação em uma treliça simples carregada Figura 29 com uma força horizontal de 600 N aplicada no nó indicado na Figura 29a Figura 29 Treliça carregada com carga de 600 N Fonte elaborada pelo autor 2021 Vamos calcular inicialmente o valor do ângulo α embora seu valor seja intuitivo 3 1 1 45 3 o tg arctg α α Fazemos o equilíbrio de forças no diagrama de corpo livre da Figura 29b onde conhecemos a força de 600 N e temos duas forças incógnitas 600 0 600 45 0 600 0707 8486 0707 o x BC BC BC F F cos F F N 0 45 0 84860707 600 o y BC ca CA F F sen F F N Como os valores numéricos de FBC e FCA deram positivo significa que a direção dessas forças indicadas na Figura 29b estão corretas Fazendo o equilíbrio de forças no apoio móvel B ou nó B na Figura 29c 0 45 0 84860707 600 o x BA BC BA F F F cos F N 0 45 0 84860707 600 o y BC By By F F sen F F N Como os valores numéricos de FBA e FBy deram positivo significa que a direção dessas forças indicadas na Figura 29c estão corretas 37 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIDADE II Note que na Figura 29d o equilíbrio de forças é pleno ou seja FAx FBA 600 N FAy FCA 600 N Note que em todos os cálculos os valores numéricos de todas as forças deram positivo ou seja todas as direções indicadas nas Figuras 29 a até d estão corretas e podemos chegar às seguintes conclusões a respeito de cada membro ou elemento da treliça analisada Nó C comprimido pela força FBC veja Fig 29 b logo o membro BC barra BC está comprimido também Nó B tracionado pela força FBA veja Fig 29 c logo o membro AB barra AB está tracionado também Nó A tracionado pela força FCA veja Fig 29 d logo o membro AC barra AC está tracionado também Importante para finalizar é que a análise deve ser realizada avaliando a força que atua entre o nó avaliado e a barra a ele ligada Método das seções Este método é indicado quando se deseja calcular as forças em apenas alguns elementos da treliça e não na treliça toda Este método se baseia no princípio de que se uma treliça está em equilíbrio então qualquer segmento dela também estará Ao aplicar este método cortamos a treliça em uma seção conveniente daí o nome método das seções e utilizase uma das partes dessa treliça como diagrama de corpo livre Aplicamse as equações de equilíbrio em uma das seções porém acrescentadas de mais uma equação além das equações I e II já vistas e aqui reproduzidas novamente Fx 0 I Fy 0 II Mo 0 III onde Mo é a soma dos momentos fletores em relação a um ponto o escolhido convenientemente na seção cortada da treliça E lembrando que M Fd ou força x distância É desejável que se escolha uma seção que em geral passe por não mais que três elementos da treliça em que as forças são incógnitas Vejamos como toda essa análise fica em uma treliça na Figura 30 38 UNIDADE II RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 30 Aplicação do método da seção em uma treliça Fonte elaborada pelo autor 2021 A análise da treliça da Figura 30 sujeita a um carregamento P no ponto nó A pode ser então realizada fazendo um corte imaginário aa separando a estrutura em duas seções Figura 31 Figura 31 Treliça dividida em duas seções com a representação das cargas internas Fonte elaborada pelo autor 2021 Fazendo os cálculos das forças internas usando a seção A da Figura 31 Fx 0 FBC FGF FGCcosα 0 I Fy 0 P FGCsenα 0 II MG 0 PL1 FBCL4 0 III Considerando que P é uma carga conhecida da relação II obtemos P FGC senα FGC Psenα 39 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIDADE II Da relação III podemos obter FBC PL1 FBCL4 FBC PL1L4 Assim substituindo FGC e FBC na relação I obtemos FGF 1 4 0 GF L P P F cos L sen α α 1 4 GF L cos F P P L sen α α 1 4 1 GF L F P L tgα Observe que o sinal no cálculo de FGF indica que o sentido desta força na Figura 31 seção A é contrária ao que está indicado na imagem Tente fazer a mesma análise de forças internas na estrutura da treliça tendo como base para os cálculos a seção B da Figura 31 Para tanto indique as reações nos apoios E apoio móvel e D apoio fixo O apoio E irá gerar uma reação vertical e uma horizontal o apoio D irá gerar apenas uma reação horizontal Bom trabalho Você chegou ao final desta Unidade II na qual concentramos conceitos e aplicações das análises de tensões da Resistência dos Materiais Foram apresentados os quatro principais tipos de carregamentos tração compressão flexão e torção juntamente com os equacionamentos que os definem e como são aplicados em estruturas gerais estendidas às navais A análise das tensões estruturais é realizada por softwares específicos mas de nada adianta aplicálos sem entender os aspectos fundamentais desse tipo de análise Embora existam vários métodos para se realizar a análise de tensões em uma estrutura focamos nos métodos dos nós e das seções Independentemente do método que for utilizado a imposição da condição de equilíbrio de forças e momentos fletores da estrutura é um fator fundamental para os cálculos 40 UNIDADE III TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO A análise de tensões vista na unidade anterior foi realizada através de forças e tensões aplicadas em um plano x y com orientações conhecidas Quando se pretende analisar as tensões em um plano inclinado x y é necessária a realização de transformação de tensão Visto que as tensões aplicadas podem gerar deformações no elemento analisado deformações elásticas e plásticas fazse necessário avaliar as deformações resultantes provocadas pelas tensões no plano x y daí a necessidade da transformação da deformação CAPÍTULO 1 Transformação de tensão Transformação de tensão no plano Nesta primeira etapa será mostrado como transformar as componentes de tensões ligadas a um determinado sistema de coordenadas x y em componentes associadas a um outro sistema com orientações x y diferentes A transformação de tensão analisada no sistema plano é importante porque é muito comum na prática da engenharia Quando pensamos em um sistema de tensão em um corpo temos que imaginar um estado de tensão tridimensional Figura 32a Entretanto essa análise é de extrema complexidade Sendo assim é comum na Engenharia buscar simplificações que permitam obter resultados com aproximações tais que se assemelham em muito com o modelo real Para tanto em vez de se fazer uma análise tridimensional optase por uma bidimensional Figura 32b que configura um estado plano de tensões que por sua vez é simplificado para o que mostra a Figura 32c Figura 32 Estados de tensão em um corpo a b c Fonte Hibbeler 2010 p 321 41 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO UNIDADE III O estado geral de tensões em um ponto do plano Figura 32a é caracterizado por seis componentes independentes σx σy σz Ƭxy Ƭxz e Ƭyz onde σi são tensões normais e Ƭij são tensões de cisalhamento que agem nas faces Mas como já dito neste início de estudo o sistema da Figura 32a é complexo e a análise simplificada em um único plano x y é o mais usual Sendo assim o estado geral de tensão no plano é representado simplificadamente por uma combinação de duas tensões normais σx e σy e uma componente da tensão de cisalhamento Ƭxy que atua nas quatro faces do elemento analisado Figura 32c O processo de transformação de tensão segue representado na Figura 33 Figura 33 Processo de transformação de tensão em um elemento Fonte Hibbeler 2010 p 322 Assim se um estado de tensão plano for definido pelas três componentes mostradas na Figura 33a σx σy e Ƭxy no sistema plano x y então um elemento que tenha orientação diferente x y mostrado na Figura 33b estará sujeito a três componentes diferentes de tensão σx σy e Ƭxy De acordo com Hibbeler 2010 pp 3201 o estado plano de tensão em um ponto é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica nesse ponto Vale ressaltar que a transformação de componentes de tensão é mais complexa que a de componentes de forças pois no caso da tensão a transformação deve levar em 42 UNIDADE III TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO conta o valor e a direção de cada componente da tensão e a orientação da área sobre a qual cada componente atua No caso da força a transformação leva em conta somente o valor e a direção da sua componente A seguir vamos ver um procedimento de análise que irá facilitar os cálculos envolvidos Para isso nos basearemos nas tensões indicadas na Figura 34 Figura 34 Transformações de tensões em um plano com base em área de atuação da tensão c d Fonte adaptado de Hibbeler 2010 p 322 Suponha que o estado de tensões da Figura 34a seja conhecido então o novo estado de tensão da Figura 34b pode ser determinado conforme descrito a seguir Para determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento que atuam na face x do elemento Figura 34b seccione o elemento da Figura 34a conforme indicado nas Figuras 34c e 34d Considerando que a área seccionada é dada por A as áreas adjacentes do segmento podem ser obtidas pelas relações Asen𝛉 Acos𝛉 A seguir faça o diagrama de corpo livre do segmento mostrando as forças que atuam no elemento Para isso multiplique as componentes de tensão em cada face pela área sobre a qual elas atuam Assim 43 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO UNIDADE III Fx Aσx e Fy Aσy e Fxy AƬxy Aplique as equações de equilíbrio de forças nas direções x e y para obter as componentes σx e Ƭxy O estado de tensão na superfície de um casco de navio é representado na Figura 35 a seguir Calcule o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação a posição mostrada Figura 35 Representação do estado de tensão no casco do navio Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 323 Vamos para a solução Calculando inicialmente as tensões no plano sob a reta aa Fig 35a O segmento abaixo da linha aa é retirado e consideraremos que a área do plano inclinado sob a linha aa é dada por A os planos horizontal e vertical têm áreas mostradas na Figura 36a e o diagrama de corpo livre é mostrado na Figura 36b Figura 36 Diagrama de corpo livre extraído da Figura 35a a b Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 323 44 UNIDADE III TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO Aplicando as equações de equilíbrio nas direções x e y temos Fx 0 σxA 50Acos30ocos30o 25Acos30osen30o 80Asen30osen30o 25Asen30ocos30o 0 Daí temos σx 415 MPa Fy 0 ƬxyA 50Acos30osen30o 25Acos30ocos30o 80Asen30ocos30o 25Asen30osen30o 0 Obtemos Ƭxy 688 MPa Observe que σx deu um valor negativo logo sua direção é oposta à indicada Figura 36b e mostrada na Figura 37 a seguir Figura 37 Indicações das tensões atuantes calculadas do elemento Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 323 Observe que na Figura 37 está indicada a tensão de 258 MPa que ainda não calculamos Vamos calculála então Para isso vamos analisar a seção cortada pela linha bb tal qual mostra a Figura 38 Figura 38 Corte da seção na linha bb Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 323 45 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO UNIDADE III Aplicando o equilíbrio de forças na seção da linha bb Fx 0 σxA 25Acos30osen30o 80Acos30ocos30o 25Asen30ocos30o 50Asen30osen30o 0 que resulta em σx 258 MPa o sinal negativo indica que essa tensão tem sentido contrário ao indicado na Figura 38 Veja essa tensão no sentido correto na Figura 37 Fy 0 Ƭxy 25Acos30ocos30o 80Acos30osen30o 25Asen30osen30o 50Asen30ocos30o 0 que resulta em Ƭxy 688 MPa Equações gerais de transformação de tensão no plano Neste tópico será mostrado como através de equações é possível transformar ou converter as componentes de tensão normal σ e de cisalhamento Ƭ referentes a um sistema plano de eixos x y para o novo sistema x y inclinado de um determinado ângulo 𝛉 como mostra a Figura 39 Figura 39 Transformação de tensões do sistema x y para o x y Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 325 Para se chegar às equações gerais inicialmente é feito um corte com ângulo 𝛉 mostrado na Figura 40 isolando uma parte do elemento e com as indicações das tensões planas existentes 46 UNIDADE III TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO Figura 40 Corte com ângulo 𝛉 no plano de tensões Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 325 Aplicandose ao diagrama de corpo livre Figura 40b as condições de equilíbrio em x e em y chegase às seguintes equações finais 2 2 2 2 x y x y x xy cos sen σ σ σ σ σ θ τ θ I 2 2 2 x y xy xy sen cos σ σ τ θ τ θ II Se o cálculo da tensão normal σy na direção do eixo y for necessário basta fazer a substituição de 𝛉 para 𝛉 90º na equação I acima o que resulta em 2 2 2 2 x y x y y xy cos sen σ σ σ σ σ θ τ θ III A distribuição dessas tensões no diagrama de corpo livre pode ser observada na Figura 41 Figura 41 Tensões referentes ao sistema x y no diagrama de corpo livre a b Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 325 47 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO UNIDADE III Aprofunde seus estudos sobre transformação de tensões no sistema plano aprendendo um pouco mais sobre Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano em httpprofessorpucgoiasedubrSiteDocenteadmin arquivosUpload17430materialPUC2020REMA20I2020062020 TransformaC3A7C3A3o20de20tensC3A3o20no20planopdf Acesso em 8 fev 2021 Tratase de um tópico de uma aula de Resistência dos Materiais baseada no Cap 9 do Livro do Hibbeler Resistência dos Materiais Ver slides 20 a 26 Vale a pena conferir 48 CAPÍTULO 2 Transformação da deformação No capítulo anterior você estudou a transformação da tensão Essa mesma tensão tem a capacidade de gerar um determinado grau de deformação em um elemento sujeito a um sistema de plano de tensões O mesmo princípio aplicado para a tensão que atua em um plano x y e que pode ser calculada transformada no plano x y será utilizado no cálculo da deformação Vamos ver como é isso Deformação plana Vimos que em um sistema tridimensional podemos verificar a existência de seis tipos de tensões tensões normais σx σy e σz e tensões de cisalhamento Ƭxy Ƭxz e Ƭyz Essas seis tensões são capazes de provocar deformações normais ε por cisalhamento γ nas correspondentes direções de atuação ou seja εx εy εz γxy γxz e γyz Entretanto como estamos estudando as tensões e as deformações no sistema plano x y resta por simplificação analisar apenas três tensões σx σy Ƭxy e suas correspondentes deformações εx εy γxy As componentes de uma deformação em um ponto são determinadas em geral pelo uso de um extensômetro que é um medidor de deformação que consegue medir as deformações em direções específicas No entanto para fins de análise de dados e elaboração de projeto os engenheiros precisam transformar esses dados para obter as componentes de deformação em outras direções Para isso vamos nos ater à análise de deformação plana Figura 42 Figura 42 Deformação plana e suas componentes Estado geral de deformação no espaço 3D Estado geral de deformação no plano 2D Fonte httpprofessorpucgoiasedubrSiteDocenteadminarquivosUpload17430materialPUC2020REMA20I2020082020 TransformaC3A7C3A3o20de20deformaC3A7C3A3o20no20planopdf 49 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO UNIDADE III Desse modo o estado plano de deformação pode ser assim esquematizado Figura 43 Figura 43 Estado plano de deformação a Deformação normal εx b Deformação normal εy c Deformação por cisalhamento γxy Fonte adaptado de Hibbeler 2010 p 361 Importante esclarecer que o estado plano de tensão não deve ser confundido com o estado plano de deformação são diferentes A explicação para isso é que embora a tensão plana e a deformação plana tenham três componentes que se encontram no mesmo plano a tensão plana não causa necessariamente deformação plana pode causar deformação nas três direções x y z Isso fica claro na Figura 44 que ilustra que as tensões normais σx e σy provocam deformação segundo as três direções Figura 44 Deformação em três direções provocadas por duas tensões normais Fonte adaptada de Ribbeler 2010 p 362 Segundo Hibbeler 2010 a influência do coeficiente de Poisson ϑ é um fator determinante na deformação nas três direções Caso ϑ 0 zero isso impedirá a ocorrência simultânea de deformação plana e tensão plana Além disso a tensão de cisalhamento e a deformação por cisalhamento não são afetadas pelo coeficiente de Poisson assim a condição Ƭxz Ƭyz 0 exige que as deformações γxz γyz 0 50 UNIDADE III TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO O coeficiente de Poisson simbolizado pela letra grega ϑ é um parâmetro de deformação muito utilizado na análise de deformação de materiais sujeitos a tensões Sendo assim podemos definilo da seguinte maneira chamase Coeficiente de Poisson ϑ à relação entre a deformação transversal relativa e a deformação longitudinal relativa É uma grandeza sem dimensões CAETANO sd o o e L e L ϑ onde ϑ coeficiente de Poisson e variação da dimensão transversal eo dimensão transversal inicial L variação da dimensão longitudinal Lo dimensão longitudinal inicial Equações gerais de transformação no plano de deformação Na análise do estado plano de deformação é importante estabelecer equações de transformação que possam ser usadas para determinar as componentes x e y da deformação normal e daquela por cisalhamento em um ponto desde que as componentes x e y da deformação sejam conhecidas Antes de estabelecermos as equações gerais vamos nos ater a uma pequena convenção de sinais as deformações normais εx e εy serão positivas se provocarem alongamento ao longo dos eixos x e y respectivamente As deformações provocadas por cisalhamento γxy serão positivas se o ângulo interno AOB veja Figura 45 ficar menor que 90º Figura 45 Convenção de sinais para deformações planas Fonte adaptada de Ribbeler 2010 p 362 51 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO UNIDADE III Assim as equações gerais de transformação da deformação no plano são as seguintes 2 2 2 2 2 x y x y xy x cos sen I ε ε ε ε γ ε θ θ 2 2 2 2 2 x y x y xy y cos sen II ε ε ε ε γ ε θ θ 2 2 2 y x xy xy sen cos III ε ε γ θ γ θ A Figura 46 mostra claramente dois tipos de deformações a deformação normal εx positiva e a deformação por cisalhamento γxy positiva Observe que está totalmente de acordo com a convenção de sinais aqui estabelecida Figura 46 Ilustração de dois tipos de deformação positiva Deformação normal positiva εx Deformação por cisalhamento positiva γxy Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 364 Da Figura 46 temos que dx dxcos𝛉 dy dxsen𝛉 Tal qual se observa nas tensões a orientação de um elemento em um ponto pode ser determinada de tal modo que a deformação do elemento seja representada por deformações normais sem que ocorra nenhuma por cisalhamento Quando isso ocorre as deformações normais ε são denominadas de deformações principais e se o material for isotrópico os eixos ao longo dos quais essas deformações ocorrem coincidirão com os eixos que definem o plano da tensão principal Assim as expressões para cálculo das deformações principais ε1 e ε2 estabelecidas por Hibbeler 2010 são as seguintes 52 UNIDADE III TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO 2 xy x y tg γ θ ε ε 2 2 12 2 2 2 x y x y xy ε ε ε ε γ ε Podemos ainda calcular as deformações por cisalhamento máxima no plano e média 2 y x xy tg ε ε θ γ 2 2 2 2 2 x y xy max ε ε γ γ 2 x y med ε ε ε Encerrase aqui a Unidade III deste caderno de estudos na qual foram focados dois tópicos importantíssimos relacionados à mecânica das estruturas navais a transformação de tensão no plano e a transformação da deformação no plano Vimos que o estado de tensão em um ponto de um corpo é de natureza tridimensional mas a engenharia trabalha com o modelo plano bidimensional o que permite uma análise mais simplificada e com resultados que permitem aplicála em projetos Você viu que os tipos principais de tensões são as normais perpendiculares ao plano analisado e as de cisalhamento paralelas às faces do plano analisado Igualmente importante é considerar para fins de análise que o sistema está sempre em equilíbrio de forças ou seja F 0 Toda tensão tende a gerar deformações Assim tão importante quanto analisar as tensões é analisar as transformações das deformações que na prática ocorrem segundo as três dimensões mas sobre as quais a exemplo das tensões a análise bidimensional permite obter bons resultados para fins de projeto As tensões normais provocam as deformações planas na direção dos eixos x e y εx e εy e as tensões de cisalhamento provocam as deformações por cisalhamento γxy Há modelos de equações para o cálculo dessas deformações 53 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Você chegou na última unidade deste Caderno de Estudos na qual serão estudados três elementos chaves da mecânica das estruturas vigas eixos e colunas Na primeira parte será estudado o fenômeno da deflexão em vigas e eixos realizando um apanhado geral sobre a linha elástica e a deflexão sofrida por eixos carregados ao longo do seu comprimento Na segunda e última etapa veremos o fenômeno da flambagem em colunas devido a aplicação de cargas axiais CAPÍTULO 1 Deflexão em vigas e eixos Quando uma viga ou um eixo está sujeito a um carregamento ambos tendem a apresentar uma deflexão curvatura Figura 47 que na linguagem da Engenharia chamamos de linha elástica Figura 47 Linha elástica de uma viga carregada Fonte httpwwwestruturasufprbrwpcontentuploads201502EquaC3A7C3A3odaLinhaElC3A1stica1pdf Segundo Hibbeler 2010 p 421 o diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga é denominado linha elástica 54 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Não confunda linha elástica que é uma curva com o deslocamento vertical em um ponto da viga representado pela letra ν na Figura 47 Caso a linha elástica de uma viga seja difícil de ser traçada sugerese primeiramente traçar os diagramas de momento fletor da viga utilizando a convenção de sinal indicada na Figura 48 onde a momento interno positivo M e concavidade para cima e b momento interno negativo M e concavidade para baixo Figura 48 Convenção de sinal para momento fletor a b Fonte elaborada pelo próprio autor 2021 Vejamos como se aplicam esses conceitos até agora vistos Suponha a seguinte situação de carregamento e design de viga seja uma viga apoiada em um apoio fixo no ponto D sustentada em um pequeno rolete no ponto B sujeita a duas cargas P1 e P2 conforme indicado na Figura 49 Figura 49 Estudo da linha elástica Diagrama de Momento Fletor Ponto de inflexão da linha elástica Linha elástica Fonte Hibbeler 2010 p 422 55 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV Observe que o diagrama de momento fletor logo abaixo do esquema da viga carregada com as cargas P1 e P2 é um forte orientador do perfil da linha elástica desta mesma viga indicada no esquema inferior da Figura 49 Destacamse os pontos C e E nos quais ocorrem respectivamente a inflexão da linha elástica mudança de curvatura ponto de inflexão e deslocamento máximo E entre os apoios nos pontos B e D Note ainda que na extremidade livre da viga há um deslocamento A O que determina se E é maior ou menor que A são os valores relativos de P1 e P2 e a localização do apoio B Os métodos analíticos para determinar os pontos críticos de deflexão de vigas e eixos são diversos dentre os quais podemos destacar método da integração método das funções de descontinuidade método de superposição método dos momentos de áreas Neste nosso caderno vamos aprender o método da integração Os demais métodos ficam para estudos extras Antes porém de focarmos método vamos ver uma importante relação entre o momento fletor M interno da viga ou do eixo e o raio de curvatura ρ da linha elástica em um ponto Usaremos três coordenadas para estabelecer a relação entre M e ρ O eixo x estendese na direção positiva para a direita ao longo do eixo longitudinal inicialmente reto da viga ou eixo nele localizaremos o elemento diferencial dx não deformado O eixo v estendese na direção positiva para cima em relação ao eixo x e mede o deslocamento do centroide na área da seção transversal do elemento Temse ainda a coordenada y que é necessária para especificar a posição de uma fibra no elemento da viga e é positiva para cima em relação ao eixo neutro da viga A dedução da relação entre o momento fletor M interno da viga ou do eixo e o raio de curvatura ρ da linha elástica em um ponto pode ser visualizada com o auxílio da Figura 50 56 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Figura 50 Determinação da relação entre M e ρ Antes da deformação Após a deformação Raio de curvatura ρ Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 422 A partir da Figura 50 podemos obter as seguintes relações matemáticas ds ds ds ε onde ε é a deformação do arco ds localizada em uma posição y em relação ao eixo neutro ds dx d ρ θ ds y d ρ θ Logo temos 1 y d d y d y ρ θ ρ θ ε ε ρ θ ρ ρ Pela Lei de Hooke deformação elástica σ Eε Para viga em flexão M y I σ Assim concluímos que 1 M ρ E I 57 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV Lembrando que EI rigidez à flexão ρ raio de curvatura M momento fletor E módulo de elasticidade módulo de Young I momento de inércia calculado em torno do eixo neutro ε deformação elástica Método da integração Para entender o método da integração é necessário conhecer um pouco a matemática avançada No entanto observe ao longo do desenvolvimento do equacionamento que simplificações permitem uma análise com menor dificuldade Segundo Ribbeler 2010 p 423 fazendo uso de matemática superior podemos escrever 2 2 32 2 1 1 d v M dx EI dv dx ρ A equação acima é uma equação diferencial não linear de segunda ordem cuja solução fornece a forma da linha elástica Assim buscando uma simplificação para esta equação podemos reduzila para 2 2 M d v EI dx Todos os parâmetros que envolvem as variáveis das equações acima estão representados na Figura 51 a seguir que ilustra um carregamento hipotético para uma viga Figura 51 Viga biapoiada carregada e sua linha elástica Carga distribuída positiva a b Fonte adaptado de Hibbeler 2010 p 422 e 424 58 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Seja V a força cortante no segmento dx da Figura 51a de tal forma que dM V x dx Para entender um pouco mais a relação acima observe o corte dx na Figura 52 Figura 52 Representação da força cortante V no corte do segmento dx Fonte httpwwwestruturasufprbrwpcontentuploads201502EquaC3A7C3A3odaLinhaElC3A1stica1pdf Diferenciando a equação teremos 2 2 3 2 2 3 d M d d v dM d d v d v EI EI V x dx EI dx dx dx dx dx dx Sabendo que dV w dx e fazendo a diferenciação da equação de Vx temos 2 2 2 2 d d v dV EI w x dx dx dx Assim resumindo a carga distribuída w a força cortante V e o momento fletor M variam em função do eixo x segundo as seguintes relações 4 4 EI d v dx w x 3 3 EI d v dx V x 2 2 EI d v dx M x dv rad dx θ Antes de encerrarmos o método da integração fique atento às seguintes observações 59 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV I A solução de qualquer dessas equações requer integrações sucessivas para obter a deflexão v da linha elástica II Para cada integração é necessário introduzir uma constante de integração e então resolver para todas as constantes de modo a obter uma solução única para um problema particular III A escolha da equação pela qual começar depende do tipo de problema Geralmente é mais fácil determinar o momento interno M em função de x integrar duas vezes e avaliar somente duas constantes de integração IV Observe sempre a convenção de sinais veja Figura 52 V Finalmente para resolver as equações o estabelecimento das condições de contorno para os apoios permite uma solução mais rápida Tais condições de contorno podem ser vistas na Figura 53 a seguir Figura 53 Condições de contorno para variados tipos de apoio para a solução das equações da linha elástica Primeiro gênero Segundo gênero Terceiro gênero Fonte httpwwwestruturasufprbrwpcontentuploads201502EquaC3A7C3A3odaLinhaElC3A1stica1pdf Nos estudos de casos ao final deste caderno você encontrará exemplos de cálculos aplicados aos casos estudados até aqui Para reforçar com exemplo prático da aplicação das condições de contorno considere as duas situações a seguir Situação I viga engastada com uma carga P na extremidade livre Figura 54 60 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Figura 54 Viga engastada com carga P na extremidade livre Fonte httpwwwestruturasufprbrwpcontentuploads201502EquaC3A7C3A3odaLinhaElC3A1stica1pdf Para a Figura 54 tomando a origem do eixo x a partir da parede ou seja x 0 no engaste e x L na extremidade livre temos as seguintes condições de contorno p x 0 vx 0 0 p x L vx L v p x 0 𝛉x 0 0 Situação II viga biapoiada com carga distribuída q Figura 55 Figura 55 Viga biapoiada com carga distribuída q Fonte httpwwwestruturasufprbrwpcontentuploads201502EquaC3A7C3A3odaLinha ElC3A1stica1pdf Para a situação II as condições de contorno são as seguintes p x 0 Vx 0 0 p x L Vx L 0 p x 0 𝛉x 0 𝛉A p x L 𝛉x L 𝛉B 61 CAPÍTULO 2 Flambagem de colunas Quando temos uma viga biapoiada sujeita a uma carga P entre os apoios se a intensidade dessa carga for tal que supere a resistência da viga esta irá apresentar uma curva entre os dois apoios que é conhecida como flambagem Por sua vez quando tratamos de colunas sujeitas a uma carga de compressão P que supera um limite crítico de resistência Pcr da coluna esta sofre uma deflexão curva que também é chamada de flambagem Figura 56 Figura 56 Fenômeno da flambagem em coluna Fonte Ribbeler 2010 p 477 Para cargas de compressão P Pcr a coluna permanece na posição a Para cargas de compressão P Pcr a coluna sofre a flambagem indicada em b A carga Pcr é a chamada carga crítica que pode ser definida como a carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está na iminência de sofrer flambagem Embora estejamos tratando de coluna sob carga de pressão os mesmos princípios aqui aplicados valem também para um eixo sob carga de compressão Existe um conceito teórico de coluna ideal segundo o qual uma coluna ideal é perfeitamente reta antes da aplicação da carga no centroide da seção transversal 62 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Ainda referente ao conceito de coluna ideal ela sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal que tiver o menor momento de inércia ou seja o eixo mais resistente A toda carga crítica Pcr haverá uma correspondente tensão crítica σcr associada tal que podemos definilas da seguinte maneira 2 2 cr E I P L π 2 2 cr E Lr π σ onde Pcr carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes do início da flambagem E módulo de elasticidade do material I menor momento de inércia para a área da seção transversal da coluna L comprimento da coluna sem apoio cujas extremidades estejam presas por pinos σcr tensão crítica que é a tensão média na coluna imediatamente antes do início da flambagem essa é uma tensão elástica portanto menor que a tensão de escoamento do material r menor raio de giração da coluna obtido pela relação I r A e A área da seção transversal da coluna A relação Lr é conhecida como índice de esbeltez ou seja é o índice que avalia o quanto uma barra comprimida é mais ou menos vulnerável ao efeito da flambagem O índice de esbeltez é uma medida mecânica utilizada para estimar com que facilidade um pilar irá encurvar O índice de esbeltez é dado pela letra λ ou seja λ Lr Leia mais em ECivil Disponível em httpswwwecivilnetcomdicionariooque eindicedeesbeltezhtml Acesso em 10 fev 2021 A fim de consolidar esses conceitos veja o Sintetizando a seguir 63 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV Considere o elemento estrutural mostrado na Figura 57 feito de aço que será usado como uma coluna acoplada a pinos Qual a maior carga axial suportável antes de sofrer flambagem e antes de escoar São fornecidos os seguintes parâmetros A 5890 mm2 Ixx 455x106 mm4 Iyy 153x106 mm4 Eaço 200x106 kNm2 σescaço 250 Nmm2 Figura 57 Elemento estrutural de aço acoplado a pinos Fonte Ribbeler 2010 p 482 Vejamos a solução O momento de inércia de menor valor é o Iyy que será o escolhido para resolvermos esse problema A flambagem irá ocorrer em torno do eixo yy Logo 2 6 2 6 4 4 2 2 2 1 20010 15310 1000 4 cr m kN m mm EI mm P L m π π 18876 cr P kN Obs Note que a área e os momentos de inércia estão em mm enquanto que o Eaço está em kNm2 logo há a necessidade de padronizar as medidas No caso convertemos todas as medidas de metro para milímetro daí a inclusão do termo 1m1000mm4 na expressão de Pcr A tensão crítica média σcr é dada por 2 2 1000 18876 3205 5890 cr cr N kN P kN N mm A mm σ 64 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Obs A exemplo do que foi explicado no cálculo anterior aqui para calcularmos σcr a carga estava em kN e a convertemos para N através do fator de multiplicação 1000NkN colocado na expressão de σcr Comparando os valores de σescaço com o valor de σcr calculado vemos que σcr 3205 Nmm2 σescaço 250 Nmm2 Logo o novo valor de P será 2 2 250 14725 5890 P N P kN mm mm Assim a maior carga axial suportada pela coluna sem flambar é 14725 kN O estudo sobre flambagem em colunas até agora desenvolvido baseouse em colunas apoiadas em pinos No entanto além de pinos há uma série de outros tipos de apoio que podem sustentar uma coluna carregada com carga P Vamos ver os procedimentos a serem seguidos Colunas com vários tipos de apoios Além da coluna apoiada por pinos uma composição comum é a de uma coluna engastada na base e livre no topo A determinação da carga de flambagem segue o mesmo procedimento aplicado no caso da coluna apoiada em pinos mas com uma pequena diferença 2 2 4 cr EI P L π Por comparação com a expressão usada na coluna com pinos vemos que no caso da coluna engastada na base e livre no topo a carga crítica reduz para ¼ daquela com pino Outros tipos de apoio para colunas são analisados de maneira semelhante ao caso da base engastada e topo livre mas seu estudo não faz parte do escopo deste material No entanto definiremos uma expressão geral chamada fórmula de Euler aplicável a várias situações de apoios Antes de colocarmos a expressão geral vejamos um conceito importante que está incorporado na fórmula de Euler geral Tratase do fator de comprimento efetivo K que é definido a partir do comprimento efetivo Le Vejamos o valor de L usado nas expressões anteriores representa a distância sem apoio entre os pontos de momento M nulo Se a coluna for apoiada por outros elementos diferente de pinos utilizase o comprimento efetivo Le O valor de Le está associado ao valor de L pelo fator de comprimento efetivo K tal que 65 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV eL K L As fórmulas de Euler geral para a carga crítica Pcr e para a tensão crítica σcr são as seguintes 2 2 cr EI P KL π 2 2 cr E KL r π σ O termo KLr é chamado de índice de esbeltez efetivo A Figura 58 mostra os valores de K para diversos tipos de apoio em colunas Figura 58 Valores de K para colunas com diversos tipos de apoio Extremidades presas por pinos Uma extremidade engastada e a outra livre Extremidades engastadas Extremidades engastadas e presas por pinos Fonte Ribbeler 2010 p 484 A fim de consolidar esses conceitos veja o Sintetizando a seguir Considere o elemento estrutural coluna mostrado na Figura 59 feito de alumínio e preso na base fixa e que seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir que o topo se movimente ao longo do eixo x Calcule a maior carga admissível P que pode ser aplicada São fornecidos os seguintes parâmetros 66 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS fator de segurança FS 30 EAl 70 GPa σescAl 215 MPa A 75x103 m2 Ixx 613x106 mm4 Iyy 232x106 mm4 Figura 59 Coluna de alumínio fixa na base e presa na extremidade Fonte Ribbeler 2010 p 486 Solução a flambagem em torno dos eixos x e y pode ser visualizada nas Figuras 60a e 60b Figura 60 Flambagem em torno dos eixos x e y para o carregamento P Flambagem no eixo xx Flambagem no eixo yy a b Fonte adaptado de Ribbeler 2010 p 486 67 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV Com base na Figura 58b para a flambagem no eixo xx deduzse que K 2 Na Figura 58d para flambagem no eixo yy temse K 07 Sendo assim Flambagem no eixo xx KL 2x5 10 m Flambagem no eixo yy KL 07x5 35 m Calculando a carga crítica Pcr para cada eixo 2 2 9 2 6 4 2 2 7010 61310 424 10 cr xx x E Ixx N m m P kN KL m π π 2 2 9 2 6 4 2 2 7010 23210 1310 35 cr yy y E Iyy N m m P kN KL m π π Logo a carga crítica é a menor pois ela faz com que o eixo xx sofra flambagem e o eixo yy não Assim a carga admissível será dada por 424 141 3 cr xx cr P kN P kN FS A tensão crítica σcr será 2 3 2 424 565 565 215 7310 cr xx cr esc Al P kN kN MPa MPa m A m σ σ Aqui finalizamos o conteúdo teórico da Unidade IV no qual você estudou vigas eixos e colunas sujeitos a carregamentos externos que resultam em deflexões flambagem e na determinação da linha elástica que caracteriza essa curva de deformação No caso de vigas e eixos as análises são semelhantes e dos vários métodos possíveis de serem aplicados nos concentramos no método da integração desenvolvendo todo o seu equacionamento matemático Nesse método há de se atentar para a convenção de sinais e para as condições de contorno considerando os diversos tipos de apoio para as vigas e eixos No caso de colunas carregadas sob carga de compressão o fenômeno da flambagem também foi estudado avaliandose a carga crítica Pcr e a tensão crítica σcr suportadas Estudaramse colunas apoiadas por pinos e por outros tipos de apoio levando em conta parâmetros como o índice de esbeltez efetivo que varia de acordo com o tipo de apoio e a forma de deflexão Seguindo nesta Unidade IV você verá alguns conceitos complementares da teoria das estruturas aplicáveis em diversos tipos de projetos de engenharia 68 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Conceitos complementares da teoria das estruturas Quando falamos de estrutura temos que entender que se trata de um sistema complexo de vários elementos interligados cuja principal função é fornecer um caminho seguro para as cargas da superfície para a infraestrutura Figura 61 Uma simples teia de aranha que na verdade de simples não tem nada é um caso exemplar de estrutura natural Respeitadas as proporcionalidades uma teia de aranha pode apresentar um nível de resistência mecânica à tração superior à observada em um aço Figura 61 Esforços e sua distribuição em uma estrutura hipotética Esforços Vento Fonte notas de aula do autor 2018 O primeiro fator a ser considerado quando da execução de um projeto estrutural são os carregamentos atuantes Definese como carregamento qualquer influência que causa forças ou deformações em uma estrutura A Figura 62 ilustra os tipos de esforços possíveis em uma estrutura Figura 62 Tipos de esforços CARGAS EXTERNAS ATIVAS Cargas permanentes Cargas acidentais ou temporárias Peso próprio da estrutura peso das paredes pesos dos revestimentos Peso das pessoas peso dos automóveis peso do mobiliário peso das máquinas em geral Fonte elaborada pelo próprio autor 2018 69 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV As cargas podem ser puntuais concentradas uniformes e variáveis As cargas uniformes têm a mesma intensidade ao longo do elemento estrutural As cargas variáveis têm intensidade variável ao longo do elemento estrutural e finalmente a carga puntual ou concentrada é localizada e concentrase em um ponto específico da estrutura ou do elemento da estrutura A carga distribuída pode estar variando ao longo de um comprimento ou ao longo de uma área No primeiro caso a unidade de carga é dada em Nm e no segundo caso é dada em Nm2 A carga puntual localizada é dada simplesmente em N A Figura 63 dá um resumo das possíveis distribuições de cargas em uma estrutura Figura 63 Resumo de tipos de cargas em estruturas AÇÔES EXTERNAS EXTERNAS ATIVAS CARGAS REATIVAS REAÇÕES DE APOIO SOLICITANTES RESISTENTES Forças normais tração e compressão Forças cortantes Momentos fletores Momentos torçores Forças normais tração e compressão Tensões de cisalhamento Fonte elaborada pelo próprio 2018 Forças reativas externas ou reações de apoio Esforços externos reativos só existem quando a estrutura está sob carregamento ativo A função dos apoios é restringir o grau de liberdade das estruturas despertando com isso reações nas direções dos movimentos impedidos Para ver os diversos tipos de apoio vide figuras a seguir Figura 64 Apoio de primeiro gênero ou móvel 1 reação de apoio reação vertical R 1 incógnita 1 reação de apoio reação vertical R 1 incógnita 70 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS 1 reação de apoio reação vertical R 1 incógnita 1 reação de apoio reação vertical R 1 incógnita Fonte notas de aulas do autor 2018 O sistema possui dois graus de liberdade rotação e translação paralela à superfície de apoio possuindo apenas uma reação Figura 65 Formas de representação dos apoios móveis Exemplos Representação esquemática Pino Rolo Fonte notas de aulas do autor 2018 Figura 66 Apoio de segundo gênero ou fixo 2 reações de apoio reação horizontal H reação vertical R 2 incógnitas 2 reações de apoio reação horizontal H reação vertical R 2 incógnitas Fonte notas de aulas do autor 2018 O apoio fixo difere do apoio móvel apenas por não permitir a translação O sistema possui somente um grau de liberdade a rotação Sua reação é de direção desconhecida podendo ser decomposta em duas uma perpendicular e outra paralela à superfície do apoio veja Figura 67 71 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV Figura 67 Reações em apoio fixo Exemplos Representação esquemática Pino Fonte notas de aulas do autor 2018 Figura 68 Apoio de terceiro gênero ou engaste 3 reações de apoio reação momento M reação horizontal H reação vertical R 3 incógnitas 3 reações de apoio reação momento M reação horizontal H reação vertical R 3 incógnitas Fonte notas de aulas do autor 2018 O engastamento fixo é um tipo de apoio que não possui grau de liberdade Sua reação é definida através de três parâmetros reação perpendicular reação paralela ao eixo longitudinal e momento de engastamento Segue um pequeno roteiro para cálculo de reações de apoio a Substituir os apoios por suas reações utilizandoas como incógnitas o sentido das reações é adotado arbitrariamente b Aplicar as três equações de equilíbrio e resolver o sistema de equações resultantes obtendo as reações de apoio ou seja Forças em x 0 72 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Forças em y 0 e momento em relação a um ponto 0 c Fornecer a solução em desenho invertendo o sentido das reações que resultarem negativas na solução do sistema Trabalhamos predominantemente com momentos fletores Entretanto em alguns casos fazse necessário trabalhar com momentos torçores Mt que seguem a seguinte regra de sinais Figura 69 Figura 69 Regra de sinais para momento torçor Mt Momento torçor ositivo Momento torçor negativo Momento torçor negativo Momento torçor positivo Convenção de sinais Momento Torçor Fonte notas de aulas do autor 2018 As estruturas podem ainda ser classificadas em relação às reações de carregamentos nos seguintes tipos hipostática isostática e hiperestática Na estrutura hipostática o número de reações é menor que o número de equações Estruturas desse tipo tendem a sofre ruína pois são instáveis Figura 70 Figura 70 Estrutura hipostática Fonte elaborada pelo próprio autor 2018 73 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV Neste carregamento Fx 0 P1x 0 Fy 0 P1y P2 VA VB 0 VA VB P1y P2 MA 0 P1yA1 P2A2 VBAB 0 P1yA1 P2A2 VBAB Número de reações duas VA e VB Número de equações três Onde A1 distância do ponto de aplicação da carga P1 ao apoio A A2 distância do ponto de aplicação da carga P2 ao apoio A AB distância entre os apoios A e B Em uma estrutura isostática o número de reações é igual ao número de apoios Trata se de uma estrutura estável em equilíbrio Figura 71 Figura 71 Estrutura isostática Fonte elaborada pelo autor 2018 Neste carregamento Fx 0 HA 0 Fy 0 P1 P2 VA VB 0 VA VB P1 P2 MA 0 P1A1 P2A2 VBAB 0 P1A1 P2A2 VBAB Número de reações três HA VA e VB 74 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Número de equações três Onde A1 distância do ponto de aplicação da carga P1 ao apoio A A2 distância do ponto de aplicação da carga P2 ao apoio A AB distância entre os apoios A e B Em estruturas hiperestáticas o número de reações é maior que o número de equações Figura 72 Esta é o tipo de estrutura ideal Figura 72 Estrutura hiperestática Fonte elaborada pelo próprio autor 2018 Neste carregamento Fx 0 HA HB 0 HA HB Fy 0 P1 P2 VA VB 0 VA VB P1 P2 MA 0 P1A1 P2A2 VBAB 0 P1A1 P2A2 VBAB Número de reações quatro HA HB VA e VB Número de equações três Onde A1 distância do ponto de aplicação da carga P1 ao apoio A A2 distância do ponto de aplicação da carga P2 ao apoio A AB distância entre os apoios A e B 75 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV Quando a estrutura é hiperestática pelo fato de haver mais reações do que equações para solução uma opção é remover restrições suficientes da estrutura indeterminada para tornála estaticamente determinada Esse método é conhecido como método das forças ou método das deformações compatíveis que veremos a seguir Considere o carregamento a seguir Figura 73 Figura 73 Viga engastada e apoiada carregada Fonte elaborada pelo autor 2018 Temos em A um engastamento fixo e em C um apoio do tipo móvel Existem quatro reações MA Ax Ay e Cy E três equações Fx 0 Ax 0 I Fy 0 Ay Cy P 0 Ay Cy P II MA 0 MA PL2 CyL 0 III Tendo apenas três equações e quatro incógnitas Ay Cy MA e Ax precisaremos de uma quarta equação que vamos encontrar através da condição de compatibilidade equação de compatibilidade Devemos lembrar que a viga é feita de um material geralmente aço que possui um módulo de elasticidade E e um momento de inércia I sendo que E característica do material GPa e I parâmetro geométrico mm4 76 UNIDADE IV VIGAS EIXOS E COLUNAS Considerando que no apoio em C não há nenhum deslocamento vertical C isto é C 0 podemos imaginar a seguinte configuração de deslocamento para o carregamento da Figura 73 veja Figura 74 Figura 74 Deslocamento idealizado compatibilidade Fonte elaborada pelo autor 2018 Observe que para conseguirmos a quarta equação removemos o apoio C de forma imaginária de tal forma que sem esse apoio ocorreria um deslocamento virtual vertical Co que será compensado com a inserção no ponto C de uma carga unitária 1 apontada para cima que provocará o deslocamento virtual C1 Assim ΔC 0 ΔC ΔC0 ΔC1 0 ΔC1 fccCy ΔC0 fccCy 0 Cy ΔC0 fcc Onde fcc coeficiente de flexibilidade fcc comprimentoforca mN 77 VIGAS EIXOS E COLUNAS UNIDADE IV 3 0 5 48 P L C E I 3 3 cc L f E I Assim é possível calcular Cy substituindo as duas relações acima na equação de modo que obtemos ΔC0 fccCy 0 3 3 5 5 0 48 3 16 y y P L L C C P E I E I Nota O sinal negativo para C0 se deve ao fato de esse deslocamento ser abaixo da linha neutra da viga Logo tendo o valor numérico da reação Cy substituindo esse valor nas relações de equilíbrio II e III tornase possível calcular as demais incógnitas Com base nos tipos de estrutura que acabamos de estudar tente resolver a seguinte carregamento determinando as reações de apoio Figura 75 Viga carregada Fonte elaborada pelo autor 2020 Dica aplique o método das forças 78 REFERÊNCIAS 3D Warehouse Disponível em https3dwarehousesketchupcommodelbd549f1aee445b64fb371 2e95e10cc98CompontentesestruturaisdeumaembarcaC3A7C3A3osimplificadohlpl Acesso em 19 jan 2021 ARTE Naval Disponível em httpsreader021docslidenetreader021html52017082955cf9df2 550346d033affa7dbg3png Acesso em 19 jan 2021 BIBLIOCAD Disponível em httpsthumbbibliocadcomimagescontent0000000090009117 webp Acesso em 28 jan 2021 BITTENCOURT D M A Capítulo 6 Transformação de tensão no plano PUCGoiás sd Disponível em httpprofessorpucgoiasedubrSiteDocenteadminarquivosUpload17430 materialPUC2020REMA20I2020062020TransformaC3A7C3A3o20de20 tensC3A3o20no20planopdf Acesso em 8 fev 2021 BITTENCOURT D M A Capítulo 7 Transformação de deformação no plano PUCGoiás sd Disponível em httpprofessorpucgoiasedubrSiteDocenteadminarquivosUpload17430 materialPUC2020REMA20I2020082020TransformaC3A7C3A3o20de20 deformaC3A7C3A3o20no20planopdf Acesso em 9 fev 2021 CAETANO M J L Coeficiente de Poisson In Portal CTB Borrachas Disponível em httpswww ctborrachacomborrachasintesehistoricapropriedadesdasborrachasvulcanizadaspropriedades fisicaspropriedadesmecanicascoeficientedepoissontextChama2Dse20Coeficiente20 de20PoissonC38920uma20grandeza20sem20dimensC3B5es Acesso em 09 fev 2021 CALDNAZZA 2013 Disponível em https2bpblogspotcomoSjK1DrCwU2Tm4X76rWI AAAAAAAAIqEXrmYt1R5yEks16001PNG Acesso em 22 Jan 2021 CNAV Blog Mecânica do navio parte I sd Disponível em httpscnavblogfileswordpress com201608mecc3a2nicadonavioestc3a1ticaintroduc3a7c3a3opdf Acesso em 20 jan 2021 ECivil Índice de esbeltez In Portal ECivil c20002021 Disponível em httpswwwecivilnet comdicionariooqueeindicedeesbeltezhtml Acesso em 10 fev 2021 HIBBELER RC Estática mecânica para engenharia 12ª Ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 HIBBELER RC Resistência dos materiais 7ª Ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 JAREK A Equação da Linha Elástica Método da Integração Direta 2015 Disponível em httpwwwestruturasufprbrwpcontentuploads201502EquaC3A7C3A3odaLinha ElC3A1stica1pdf Acesso em 9 fev 2021 LAGES Andressa E Cálculo de flecha em viga pelo método da linha elástica In Guia da Engenharia 2017 Disponível em httpswwwguiadaengenhariacomwpcontentuploads201712ensaio deflexao1jpg Acesso em 21 jan 2021 MARTINS R S M Desenvolvimento de uma ferramenta para suporte na análise de tensões longitudinais em estruturas de embarcações convencionais de grande porte 2014 TCC graduação em Engenharia Naval Universidade Federal de Santa Catarina JoinvilleSC 2014 Disponível em httpsrepositorioufscbrxmluibitstreamhandle123456789165810TCC20 Rodrigo20vFINAL2017julpdfsequence1isAllowedy Acesso em 19 jan 2021 79 REFERÊNCIAS MEU Dicionário Contracadaste In Meu Dicionário Disponível em httpswwwmeudicionario orgcontracadaste Acesso em 20 jan 2021 MULLER Vitor HB Otimização paramétrica multiobjetivo do painel estrutural de uma embarcação mercante 2016 TCC graduação em Engenharia Naval Universidade Federal de Santa Catarina JoinvilleSC 2016 Disponível em httpsrepositorioufscbr bitstreamhandle123456789171588OtimizaC3A7C3A3o20paramC3A9trica20 multiobjetivo20do20painel20estrutural20de20uma20embracaC3A7C3A3o20 mercantepdfsequence1isAllowedy Acesso em 19 jan 2021 NADAL Carlos A Torção In Universidade Federal do Paraná 2015 Disponível em http wwwcartograficaufprbrportalwpcontentuploads201509AULA04TORC387C383O pdf Acesso em 22 jan 2021 PANFLETERIA Disponível em httpspanfleteriasfo2digitaloceanspacescomuploadsofertas img03DescontoemPasseiodeVeleironaAssociacaodeVeleirosdeFortaleza3jpg Acesso em 21 jan 2021 PORTAL Naval Glossário In Portal Naval Disponível em httpswwwportalnavalcombr glossario3AtextFiada20de20chapas20que20constitueQuilha Acesso em 19 jan 2021 QUIZLET Arte Naval Capítulo 1 In Quizlet Disponível em httpsquizletcombr413369322 artenavalcapitulo1flashcards Acesso 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