Prova A1 Modelagem e Simulação em Engenharia Mecânica - Análise de Deslocamento e Transferência de Calor

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA NOTA Mantenedora FUNDAÇÃO SÃO JOÃO BATISTA ALUNO A TURMA 10 CEM DATA 26092023 DISCIPLINA MODELAGEM E SIMULAÇÃO EM ENG MECÂNICA PROFESSOR DANIEL O TASAICO PROVA A1 PROVA COM CONSULTA SIM X NÃO DURAÇÃO X 2 TEMPOS 3 TEMPOS 4 TEMPOS INSTRUÇÕES 1 proibido o uso de calculadoras programáveis 2 somente serão corrigidas as questões resolvidas a caneta Ler o capítulo 1 do livro Elementos Finitos A base da tecnologia CAE ALVES FILHO Avelino disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788536519708pageid32 Responder as questões seguintes 1 A barra de aço mostrada na figura possui um comprimento de 300 m e uma seção transversal retangular oca que varia linearmente desde 18 x 3 cm até 5 x 3 cm e tem uma espessura de 2 mm a Determinar o deslocamento exato da extremidade da viga quando é submetida a uma carga pontual de P 15 ton b Modelar a barra com elementos de seção uniforme com a área igual à seção transversal da barra real no eixo z do ponto médio c Calcular a percentagem de erro do resultado anterior Dados Base inicial b0 003 m Base final bL 003 m Altura inicial h0 005 m Altura final hL 018 m Comprimento da barra L 300 m Carga aplicada P 15 ton Espessura e 2 mm Módulo de elasticidade E 21 x 107 tonm2 2 Achar a transferência de calor por unidade de área através da parede compósita mostrada na figura Assumir transferência de calor unidimensional 𝑇𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 370 𝑇𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 66 Questão 1 a Relação entre tensão e deformação conhecida da Resistência dos Materiais 𝜎 𝐸 𝜀 A tensão também é conhecida da Resistência dos Materiais 𝜎 𝐹 𝐴𝑧 Onde a área é dada em função da posição da seção transversal a partir da extremidade direita A deformação específica também é conhecida da Resistência dos Materiais 𝜀 𝑑𝑢𝑧 𝑑𝑧 Onde 𝑑𝑢𝑧 é a deformação de cada elemento diferencial Juntando as expressões 𝐹 𝐴𝑧 𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑧 Que é a equação diferencial do problema Resolvendo para obter a deformação total 𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝐹 𝐴𝑧 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝐹 𝐸 𝐴𝑧 𝑈 𝐹 𝐸 𝑑𝑧 𝐴𝑧 𝐿 0 Onde 𝑈 é a deformação total da extremidade direita Modelando a área como uma função linear 𝐴𝑧 𝑚 𝑧 𝑛 𝐴0 𝑚 0 𝑛 𝐴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴𝐿 𝑚 𝐿 𝑛 𝐴𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑚 0 𝑛 𝐴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑚 𝐿 𝑛 𝐴𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑛 𝐴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑚 𝐴𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐿 Logo 𝐴𝑧 𝐴𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐿 𝑧 𝐴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 Cálculo das áreas 𝐴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 003005 003 0004 005 0004 0000304 𝑚2 𝐴𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 003018 003 0004 018 0004 0000824 𝑚2 Logo 𝐴𝑧 0000824 0000304 3 𝑧 0000304 𝐴𝑧 00001733 𝑧 0000304 Substituindo na integral 𝑈 𝐹 𝐸 𝑑𝑧 𝐴𝑧 𝐿 0 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛𝑚2 𝑑𝑧 00001733 𝑧 0000304 3 0 Usando a substituição 00001733 𝑧 0000304 𝑣 00001733 𝑑𝑧 𝑑𝑣 𝑑𝑧 𝑑𝑣 00001733 Logo 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛𝑚2 1 00001733 𝑚 𝑑𝑣 𝑣 𝑣𝑓 𝑣0 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 00001733 𝑚 𝑑𝑣 𝑣 𝑣𝑓 𝑣0 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 00001733 𝑚 ln 𝑣𝑣0 𝑣𝑓 Voltando a variável original 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 00001733 𝑚 ln 00001733 𝑧 00003040 3 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 00001733 𝑚 ln 000017333 0000304 ln 000017330 0000304 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 00001733 𝑚 ln 00008239 ln 0000304 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 00001733 𝑚 71015 80985 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 00001733 𝑚 71015 80985 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 00001733 𝑚 0997 𝑈 0004109 𝑚 𝑼 𝟒 𝟏𝟎𝟗 𝒎𝒎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 b Cálculo da área média 𝐴𝑧 00001733 𝑧 0000304 𝐴15 0000173315 0000304 𝐴15 000056395 𝑚2 Substituindo na integral 𝑈 𝐹 𝐸 𝑑𝑧 𝐴𝑧 𝐿 0 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛𝑚2 𝑑𝑧 000056395 𝑚2 𝐿 0 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 000056395 𝑚2 𝑑𝑧 3 0 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 000056395 𝑚2 𝑧0 3 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 000056395 𝑚2 3 0 𝑚 𝑈 15 𝑡𝑜𝑛 21107 𝑡𝑜𝑛 𝑚2 000056395 𝑚2 3 𝑚 𝑈 00037997 𝑚 𝑼 𝟑 𝟕𝟗𝟗𝟕 𝒎𝒎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 c Cálculo do erro na aproximação 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑈𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑈𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑈𝑟𝑒𝑎𝑙 100 𝐸𝑟𝑟𝑜 4109 37997 4109 100 𝑬𝒓𝒓𝒐 𝟕 𝟓𝟐𝟕 Questão 2 Assumindo que a parede tenha área de 1 𝑚2 Cálculo da resistência Térmica de cada parte 𝑅1 ℎ1 𝐴1 𝑘1 0025 𝑚 1 𝑚2 150 𝑊 𝑚2 𝐶 000016667 𝐶𝑊 𝑅2 ℎ2 𝐴2 𝑘2 0075 𝑚 05 𝑚2 30 𝑊 𝑚2 𝐶 0005 𝐶𝑊 𝑅3 ℎ2 𝐴3 𝑘3 0075 𝑚 05 𝑚2 70 𝑊 𝑚2 𝐶 00021429 𝐶𝑊 𝑅4 ℎ3 𝐴4 𝑘4 0050 𝑚 1 𝑚2 50 𝑊 𝑚2 𝐶 0001 𝐶𝑊 Cálculo da resistência equivalente 𝑅 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅 000016667 000500021429 0005 00021429 0001 𝑅 00026667 𝐶𝑊 Cálculo da taxa de calor por unidade de área 𝑄 𝐴 𝑇 𝐴 𝑅 𝑄 𝐴 370 66 𝐶 1 𝑚2 00026667 𝐶𝑊 𝑸 𝑨 𝟏𝟏𝟑 𝟗𝟗𝟖 𝟓𝟕𝟓 𝑾𝒎𝟐 Questão 1 a Relação entre tensão e deformação conhecida da Resistência dos Materiais σEε A tensão também é conhecida da Resistência dos Materiais σ F Az Onde a área é dada em função da posição da seção transversal a partir da extremidade direita A deformação específica também é conhecida da Resistência dos Materiais εdu z dz Onde duz é a deformação de cada elemento diferencial Juntando as expressões F AzE du dz Que é a equação diferencial do problema Resolvendo para obter a deformação total E du dz F Az du dz F E A z U F E 0 L dz A z Onde U é a deformação total da extremidade direita Modelando a área como uma função linear A z m zn A 0m0nAmenor A Lm LnAmaior m 0nAmenor m LnAmaior nAmenor m AmaiorAmenor L Logo A z AmaiorAmenor L z Amenor Cálculo das áreas Amenor0030050030004 00500040000304m 2 Amaior0030180030004 01800040000824m 2 Logo A z 00008240000304 3 z0000304 A z 00001733 z0000304 Substituindo na integral U F E 0 L dz A z U 15ton 2110 7tonm 2 0 3 dz 00001733z0000304 Usando a substituição 00001733 z0000304v 00001733dzdv dz dv 00001733 Logo U 15ton 2110 7tonm 2 v0 vf 1 00001733m dv v U 15ton 2110 7 ton m 2 00001733m v0 vf dv v U 15ton 2110 7 ton m 2 00001733m ln v v0 vf Voltando a variável original U 15ton 2110 7 ton m 2 00001733m ln 00001733 z00003040 3 U 15ton 2110 7 ton m 2 00001733m ln 0000173330000304 ln 0000173300000304 U 15ton 2110 7 ton m 2 00001733m ln 00008239ln 0000304 U 15ton 2110 7 ton m 2 00001733m 7101580985 U 15ton 2110 7 ton m 2 00001733m 7101580985 U 15ton 2110 7 ton m 2 00001733m 0997 U 0004109m U4109mm paraesquerda b Cálculo da área média A z 00001733 z0000304 A 15 00001733150000304 A 15 000056395m 2 Substituindo na integral U F E 0 L dz A z U 15ton 2110 7tonm 2 0 L dz 000056395m 2 U 15ton 2110 7 ton m 2 000056395m 2 0 3 dz U 15ton 2110 7 ton m 2 000056395m 2 z0 3 U 15ton 2110 7 ton m 2 000056395m 2 30m U 15ton 2110 7 ton m 2 000056395m 2 3m U 00037997m U37997mm para esquerda c Cálculo do erro na aproximação Erro U realU aproximado U real 100 Erro 410937997 4109 100 Erro 7527 Questão 2 Assumindo que a parede tenha área de 1m 2 Cálculo da resistência Térmica de cada parte R1 h1 A1k1 0025m 1m 2150W m 2C 000016667 CW R2 h2 A2k2 0075m 05m 230W m 2C 0005CW R3 h2 A3k3 0075m 05m 2 70W m 2 C 00021429 CW R4 h3 A4k4 0050m 1m 250W m 2 C 0001 CW Cálculo da resistência equivalente RR1 R2 R3 R2R3R4 R000016667 000500021429 0005000214290001 R00026667CW Cálculo da taxa de calor por unidade de área Q A T A R Q A 37066C 1m 200026667 CW Q A 113998575W m 2