Módulo 03 - Conceitos de Regime Permanente Não Senoidal e Análise de Fourier

MODULO 03 CONCEITOS Aula 2 Gabriel Azevedo Fogli Universidade Federal de Ouro Preto Joao Monlevade Joao Monlevade MG 35931008 Brasil email gabrielfoglideeltufopbr 2018 gabrielfoglideeltufopbr UFOP Conceitos Fundamentos 2018 1 21 Regime permanente nao senoidal Um circuito opera em regime permanente nao senoidal quando as for mas de onda de tensao e de corrente se repetem com um perıodo T a b Figura 1 Exemplos de formas de onda periodicas a tensao de saıda de inversor PWM b corrente de retificador com filtro capacitivo gabrielfoglideeltufopbr UFOP Conceitos Fundamentos 2018 2 21 Analise de Fourier Formas de onda periddicas nao senoidais de tensdes eou correntes po dem ser representadas analiticamente através de séries trigonométricas de Fourier como se segue CO ft a0 S an cos nut bn sen nwt 1 n1 Conceitos Fundamentos 321 ee Os coeficientes da série de Fourier sao calculados através de 1 T 1 27 2 waa f toes f ryawe 2 9 T 1 27 dn Ft cos nwt dt It cos nwt dwt 3 T Jo T JO e 9 T 1 Qn Dn It sen nwt dt ftsennwtdwt 4 T Jo T JO sendo que n 1234 Conceitos Fundamentos 421 CsCis Os senos e cossenos em uma mesma frequéncia podem ser combinados resultando numa expressdo mais compacta Co f t a9 S Cy cos nwt On 5 n1 onde b Cr Va2b2 e On tan an ou Co ft a9 S Cn sen nwt On 6 n1 onde a Cy fazb2 e 6 tan 3 n Conceitos Fundamentos 521 Regras simplificadoras Simetria Condicao necessaria Coeficientes an e bn 2 wT Par f t f t bn O an f cos nwt d wt nT JO 2 7 Impar f t f 4 an O bh f sen nwt d wt nm JO Meiaonda ftf t an bn 0 V n par 2 a vr t cos nwt dwt Vn wmpar a O 2 bn rs t sen nwt d wt Vn impar nm JO 3 Onda par bn 0 Vn an 0 VY n impar 4 pr2 an f t cos nwt dwt V n par T i Onda impar an 0 V bn 0 V n par 4 pr2 2 bn f t sen nwt dwt V n tmpar nm JO Conceitos Fundamentos 621 Fonte senoidal e carga nao linear v is s L C R a vs is is1 T1f b Figura 2 a Circuito nao linear b corrente drenada da fonte senoidal gabrielfoglideeltufopbr UFOP Conceitos Fundamentos 2018 7 21 e A expansao em série de Fourier da forma de onda da corrente nao linear da Figura 2 b é co is t V2I sen wt o1 S V2Insenwntdn 7 n2 onde e I 0 valor eficaz da corrente drenada na frequéncia fundamental f e I 6 0 valor eficaz da nésima componente harmGnica da corrente dre nada na frequéncia harmGnica f nf1 e od a fase da componente fundamental da corrente drenada da fonte e o a fase da componente da corrente harménica na frequéncia f nfi Conceitos Fundamentos 821 eee O valor eficaz da corrente drenada da fonte é dado por 1 rr Is 7 i2dt 8 Substituindo 7 em 8 temse N Ig P B4BP50R 9 n2 Sendo o valor eficaz da componente fundamental da corrente drenada da fonte dado por 1 rr Conceitos Fundamentos 921 a Formas de onda distorcidas De 9 isolando a parcela da corrente drenada pela carga devido aos harmGnicos podese escrever Co lis 2B RP 11 n2 Que no dominio do tempo é escrita como idis t tg t ten t SO isn 1 12 nAl1 Conceitos Fundamentos 10 21 ee Distorao HarmGnica Total THD O THD éum indice usado para quantificar quanto um sinal ndo senoidal de tensdo ou corrente se afasta da forma senoidal através de JBRER VOonel THD Y23 4 ee 13 i i Ou THD ts Ve oh Io Tt i i Conceitos Fundamentos 1121 is T1f is1 idis Figura 3 Corrente drenada pela carga nao linear iS componente fundamental da corrente drenada pela carga iS 1 parcela da corrente drenada pela carga devido aos harmˆonicos idis gabrielfoglideeltufopbr UFOP Conceitos Fundamentos 2018 12 21 Poténcia instantanea e média para sinais nao senoidais Seja o sistema monofasico composto de dois subcircuitos cujas tensdo e corrente terminais sao nao senoidais a HET Figura 4 Circuito basico monofasico v Vot 2 V2Vz sen wnt On i Ib 0 V2In sen wnt bn Conceitos Fundamentos 13 21 CsCis A poténcia instanea que flui entre os subcircuitos 1 e 2 da Figura 4 é calculada por pvt 16 Substituindo 15 em 16 Co p ci Ss V2V sen wnt 00 x n1 17 CO x c S V21 sen wnt on n1 Conceitos Fundamentos 1421 eee e A poténcia média que flui entre os subcircuitos 1 e 2 pode ser calculada por 1 rr paz vidt 18 Substituindo 17 em 18 Co Co P S Ph Volo Valn cos On on 19 n0 n1 Conceitos Fundamentos 15 21 Fator de potˆencia Para circuitos com fontes senoidais e cargas lineares podese escrever FP P S V1I1 cos θ φ V1I1 cos θ1 φ1 20 Para circuitos com fontes senoidais e cargas nao lineares podese es crever FP P S V1I1 cos θ φ1 V1Is I1 Is cos θ1 φ1 21 gabrielfoglideeltufopbr UFOP Conceitos Fundamentos 2018 16 21 a e Definindo o fator de deslocamento da componente fundamental como DPF cos 6 1 podemos escrever i FPDPF 22 I e Substituindo a expressdo de J em funcdo da taxa de distorcdo harmé nica temos finalmente FP DPF 23 7 1 THD Quanto mais distorcida for a tensdo fornecida e a corrente consul pior sera o fator de poténcia Conceitos Fundamentos 1721 Exemplo Uma tensao senoidal v 100 cos377t V alimenta uma carga nao linear resultando na seguinte corrente nao senoidal expressa na serie de Fourier it 815 cos377t 306 cos2377t 452 cos3377t 60 A Determine a A potˆencia absorvida pela carga b O fator de potˆencia da carga c O fator de distorcao da corrente da carga d A THD da corrente gabrielfoglideeltufopbr UFOP Conceitos Fundamentos 2018 18 21 a Exemplo Soluao a A poténcia absorvida pela carga é determinada pela soma das poténcias em cada frequéncia 100 15 6 2 P0x8 cos300x cos450x cos60 75 7a smianrrt0x y eosisr40x Ze oso 1 1 P 5 cos30 650 W v2 V2 b O valor rms da tensdo é dado por Vims 100 707 V V2 Conceitos Fundamentos 19 21 ee Exemplo Soluao O valor rms da corrente é 15 6 2 Loms 3 5 3 14A TMs 2 J2 2 O fator de poténcia é dado por P P 650 pf 0656 S Vimslrms 707 x 14 Alternativamente jp Li rms COS0y1 G41 0656 Lrms Conceitos Fundamentos 20 21 a Exemplo Soluao c O fator de distordo é rp Tims 1 v2 076 Trms 14 d A THD é dada por 72 2 142 152 THD ms mn Mat 15 V2 0 56 86 Fins 152 Conceitos Fundamentos 21 21