Análise de Resposta Transitória em Sistemas de Controle

Controle dos Sistemas Dinâmicos AULA 5 UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Prof Geraldo Furtado UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA O estudo inicial na área de Teoria de Controle e Servomecanismo baseiase em analisar um sistema de controle e obter deste um modelo matemático Uma vez obtido o modelo por meio da função transferência podemos analisar o desempenho do sistema a partir de sua resposta Os desempenhos de vários sistemas podem ser comparados entre si a partir dos sinais de entrada de testes específicos As respostas desses sistemas dependerão de sinais de entrada de testes como funções degrau rampa impulso parábola de aceleração senoidais e ruído branco UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Funções de entrada Função Impulso Função rampa Função degrau UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta dos sistemas de primeira ordem a entradas aperiódicas A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes a resposta transitória ou resposta natural e a resposta estacionária ou resposta forçada A resposta transitória é aquela que vai do estado inicial ao estado final Já a resposta estacionária é o comportamento do sinal de saída do sistema na medida em que t tende ao infinito OGATA 2011 Dessa forma a resposta ct do sistema pode ser escrita como O tempo crtt corresponde à resposta transitória e o termo cret significa resposta estacionária O objetivo deste capítulo é apenas analisar respostas transitórias UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta dos sistemas de primeira ordem a entradas aperiódicas Considere o sistema de primeira ordem ilustrado na figura T é conhecida como a constante de tempo da resposta UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta dos sistemas de primeira ordem ao degrau unitário O sistema de primeira ordem pode ser descrito pela função de transferência Gs Caso a entrada seja um degrau unitário rt ut a sua transformada de Laplace é Rs 1s obtemos Expandindo Cs utilizando a técnica de expansão de frações parciais obtemos Encontrando a transformada inversa de Laplace ct etT 1etT UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta dos sistemas de primeira ordem ao degrau unitário UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta dos sistemas de primeira ordem a rampa unitário O sistema de primeira ordem pode ser descrito pela função de transferência Gs Caso a entrada seja uma rampa unitário rt tut a sua transformada de Laplace é Rs 1s² obtemos Expandindo Cs utilizando a técnica de expansão de frações parciais obtemos Encontrando a transformada inversa de Laplace ct UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta dos sistemas de primeira ordem a rampa unitário Podemos encontrar o sinal de erro et para rt t assim Quando t é suficientemente grande t o sinal do erro et aproxima se de T ou seja et T Significa que o erro do sistema segue a rampa unitária quando t tende a infinito UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta dos sistemas de primeira ordem ao impulso unitário O sistema de primeira ordem pode ser descrito pela função de transferência Gs Caso a entrada seja um impulso unitário rt δt a sua transformada de Laplace é Rs 1 obtemos Encontrando a transformada inversa de Laplace ct UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta transitória de sistemas de segunda ordem Um sistema de primeira ordem é mais simples pois a variação de um parâmetro desse sistema somente altera a velocidade da resposta Já o sistema de segunda ordem apresenta várias respostas que precisam ser analisadas pois variações nos parâmetros desse sistema podem alterar a forma da resposta Por exemplo um sistema de segunda ordem pode apresentar características muito parecidas com as de um sistema de primeira ordem ou dependendo dos valores dos componentes apresentar oscilações amortecidas ou puras na resposta transitória NISE 2012 UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta transitória de sistemas de segunda ordem Resposta ao degrau Considere o diagrama de bloco de um sistema de segunda ordem ilustrado na figura A função de transferência de malha fechada desse sistema será A formapadrão do sistema de segunda ordem na análise da resposta transitória é representada da seguinte maneira UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta transitória de sistemas de segunda ordem Resposta ao degrau O sistema de segunda ordem apresenta um comportamento dinâmico em termos de dois parâmetros a frequência natural ωn e o coeficiente de amortecimento do sistema ξ A frequência natural ωn é a frequência de oscilação caso todo o amortecimento seja removido e atua como um fator de escala da resposta NISE 2012 UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta transitória de sistemas de segunda ordem Resposta ao degrau Subamortecido 0 ξ 1 Para Rs 1s teremos Aplicando a regra das frações parciais podemos reescrever a equação assim ωd é a frequência natural amortecida do sistema A transformada inversa de Laplace da equação será UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta transitória de sistemas de segunda ordem Resposta ao degrau Criticamente Amortecido ξ 1 No caso do coeficiente de amortecimento do sistema ξ 1 a equação será reescrita como A transformada inversa de Laplace da equação será UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta transitória de sistemas de segunda ordem Resposta ao degrau Superamortecido ξ 1 No caso do coeficiente de amortecimento do sistema ξ 1 a equação será reescrita como A transformada inversa de Laplace da equação será de forma simplificada UNIDADE 5 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA Resposta transitória de sistemas de segunda ordem Resposta ao degrau Uma família de curvas ct é ilustrada na figura como resposta ao degrau unitário para diversos valores do coeficiente de amortecimento do sistema ξ