Lista de Exercicios Estatistica - Variavel Aleatoria Producao de Ligas Metalicas

Lista Extra Part 1 Questao 1 Expectativa Uma industria de minerios possui uma tecnologia propria para purificar rochas A cada amostra de 1 kg eles extraem 3 tipos de minerais tipo 1 tipo 2 e tipo 3 Com base em sua experiˆencia eles sabem que em media retiram 120g do tipo 1 180g do tipo 2 e 420g do tipo 3 Alem disso a variˆancia para cada tipo de minerio e de 4800g2 10800g2 e 10800g2 respectivamente para os tipos 1 2 e 3 A correlacao entre a quantidade de cada um dos tipos de minerais em 1 kg de rocha e zero Devido a contaminacao do material assim que os metais sao separados eles precisam imediatamente fazer uma liga de metal Essa liga possui uma proporcao de 1g do mineral tipo 1 ou tipo 2 ou qualquer combinacao entre eles e 2g do tipo 3 Isto e com 1g de minerio do tipo 1 ou 2 ou 05g do tipo 1 e 05g do tipo 2 e 2g do tipo 3 gerarıamos 3g da liga de metal Qualquer quantidade sobressalente de qualquer mineral e jogada fora e eles so tˆem tecnologia para purificar 1kg de rocha por vez Uma consultoria foi contratada para ajudar na previsao da producao e possivelmente em ganhos de eficiˆencia a Com base na experiˆencia da industria em media sobram mais dos insumos 1 e 2 Eles afirmaram que como conseguem usar qualquer proporcao dos minerais do tipo 1 e 2 com o dobro do tipo 3 o que importa e a quantidade total em gramas dos insumos 1 e 2 independentemente da proporcao entre eles Construa a variavel aleatoria que a industria tem em mente W e calcule sua media e variˆancia b A principal dificuldade da industria era determinar se a operacao era lucrativa devido a alta vari abilidade das ligas por rocha Para obter lucro era necessario que mais da metade do peso da rocha fosse transformado em liga ou seja pelo menos 500g da liga por cada 1kg de rocha No entanto a representante da consultoria informou que nao era possıvel responder a essa pergunta com os dados disponıveis Em termos probabilısticos o que a industria gostaria de saber Por que nao e possıvel responder essa pergunta com as informacoes fornecidas A estagiaria que estava presente na reuniao levanta a mao e comenta Bom mas pelo menos podemos calcular quanto em media sera desperdıcio de minerios ao quadrado O gerente da industria intrigado pergunta E como isso nos ajudaria A representante da consultoria prontamente responde Na verdade isso poderia ser util para minimizar o desperdıcio caso desenvolvˆessemos uma nova tecnica que permitisse utilizar qualquer proporcao entre a soma das ligas 1 e 2 e a liga 3 O gerente da industria pensa por um momento e percebe o potencial dessa abordagem Ele concorda e diz Compreendo Ao calcularmos a media do desperdıcio ao quadrado poderıamos identificar oportunidades de melhoria e otimizar o processo de producao escolhendo a proporcao 1 α de minerais do tipo 1 ou 2 em relacao ao minerio tipo 3 d Calcule a variavel aleatoria que a estagiaria tem em mente em termos de α W e X3 Qual sua media ao quadrado dela para a proporcao atualmente usada ie α 2 Dˆe uma interpretacao para isso e Como o gerente da industria falou calcule a proporcao otima que minimiza a esperanca do desperdıcio ao quadrado Lembrese se minimiza o desperdıcio ao quadrado minimiza o desperdıcio em modulo Nao e necessario provar que e ponto de mınimo basta achar o ponto crıtico Questao 2 Distribuicao Normal Sejam X1 e X2 variaveis aleatorias independentes cujas distribuicoes sao representadas por X1 Nµ1 Σ1 1 e X2 Nµ2 Σ2 Considere a seguinte combinacao linear Y aX1 bX2 em que a e b sao constantes E correto afirmar que a Qual a distribuicao de Y Qual sua media e variˆancia b Suponha agora que X1 e X2 sao independentes entre si Seja Z X1 2X2 Qual a correlacao entre Y e Z c Se a 2 qual deve ser o valor de b para que probabilidade de Y ser maior que Z ser menor que 30 ie PY Z 03 Dica construa a variavel aleatoria W Y Z Questao 3 Expectativas iteradas Um prisioneiro esta em uma cela com 3 portas A primeira porta leva a um tunel que faz com que ele volte a sua cela apos dois dias de viagem A segunda leva a um tunel que faz com que ele volte a sua cela apos 4 dias de viagem A terceira porta o leva a liberdade apos um dia de viagem Se se supoe que o prisioneiro sempre selecione as portas 12 e 3 com probabilidades 0503 e 02 qual e o numero esperado de dias ate que ele alcance a liberdade Questao 4 Inspirada na Q66 do Ross Um cesto com 5 pecas possui duas pecas defeituosas Seja N1 o numero de testes feitos ate identificar a primeira peca defeituosa e N2 o numero adicional de testes ate identificar a segunda peca defeituosa a Represente a funcao de probabilidade conjunta de N1 e N2 em uma tabela b Encontre as funcoes de probabilidade marginais de N1 e N2 c Em media quantos testes esperase que sejam feitos ate encontrar as duas pecas defeituosas Questao 5 Inspirada na Q613 do Ross Um homem e uma mulher combinam um encontro em certo lugar as 12h30 O horario em que o homem chega e normalmente distribuıdo com media 12h30 e desviopadrao de 15 minutos A mulher chega no local independentemente com horario normalmente distribuıdo com media 12h30 e desviopadrao de 30 minutos a Construa uma nova variavel que represente quantos minutos o homem chega depois da mulher caso ele chegue antes ela assume valores negativos Qual a distribuicao dessa variavel Qual sua media E seu desviopadrao b Qual a probabilidade de que o homem chegue primeiro c Qual a probabilidade de que o primeiro a chegar nao espere mais que cinco minutos Questao 6 Autoteste Q59 do Ross Suponha que o tempo de viagem de sua casa ao seu escritorio seja normalmente distribuıdo com media de 40 minutos e desvio padrao de 7 minutos Se vocˆe quer estar 95 certo de que vocˆe nao chegara atrasado para um compromisso no escritorio as 13h qual e o ultimo horario no qual vocˆe deveria sair de casa Questao 7 Q779 do Ross As vendas da semana atual e da semana seguinte sao conjuntamente normalmente distribuıdas As duas possuem media 40 e desviopadrao 6 Alem disso a correlacao entre as vendas das duas semanas e de 06 a Determine a probabilidade de que o total de vendas das duas semanas seja superior a 90 b E se a correlacao fosse apenas de 02 A probabilidade aumentou ou diminuiu Questao 8 Outras questoes do Ross a Problemas de Autoteste e Exercıcios 613 b Problemas de Autoteste e Exercıcios 713 c Problemas de Autoteste e Exercıcios 714 Page 2 Lista Extra Parte 2 Questao 1 Lista 3 ex 1 Seja a distribuicao conjunta de probabilidades das variaveis aleatorias X e Y Y X 1 2 3 1 01 01 0 2 01 02 03 3 01 01 0 a As variaveis X e Y sao independentes b Quanto e CovX Y c Quanto e EX e EY d Calcule PrY yX 3 para cada y 1 2 3 Questao 2 Lista 3 ex 2 Considere a distribuicao de probabilidade conjunta das variaveis aleatorias X e Y de acordo com a tabela abaixo X 0 1 2 3 Y 1 14 18 18 14 2 0 18 18 0 Calcule a CovX Y b X e Y sao independentes c EX e EY d EXY 2 e VarXY 2 f VarX 2Y Questao 3 Lista 3 ex 6 Sejam X e Y duas variaveis aleatorias e a e b duas constantes Prove que a VaraX bY a2 VarX b2 VarY 2ab CovX Y b CovaX bY ab CovX Y c CorraX bY CorrX Y Que valores de a e b tornam a igualdade valida sem os modulos d CovX a Y b CovX Y Questao 4 Lista 3 ex 11 Sejam X e Y duas variaveis aleatorias Sobre independˆencia mostre que a Se X e Y sao independentes entao EXY EXEY covariˆancia nula b EXY EXEY nao implica que EXY EX 1 c EXY EX nao implica que X e Y sao independentes d EXY EX nao implica que EY X EY Questao 5 Ross Autoteste 511 O ındice pluviometrico anual em Cleveland Ohio e aproximadamente uma variavel aleatoria normal com media 1021 mm e desvio padrao de 214 mm Qual e a probabilidade de que a o ındice pluviometrico do proximo ano exceda 1118 mm b o ındice pluviometrico anual em exatamente 3 dos proximos 7 anos exceda 1118 mm Suponha que se Ai e o evento em que o ındice pluviometrico excede 1118 mm em um ano a partir de agora entao os eventos Ai i 1 sao independentes Questao 6 Ross cap6 Exemplo 1a Suponha que 3 bolas sejam sorteadas de uma urna contendo 3 bolas vermelhas 4 bolas brancas e 5 bolas azuis Se X e Y representam respectivamente o numero de bolas vermelhas e brancas escolhidas determine a funcao de probabilidade conjunta de X Y Escreva uma tabela apresentando as probabilidades conjuntas e marginais Questao 7 Ross cap6 Exemplo 1b Suponha que 15 das famılias de certa comunidade nao tenham filhos 20 tenham 1 filho 35 tenham 2 filhos e 30 tenham 3 Suponha tambem que em cada famılia cada filho tenha a mesma probabilidade independente de ser menino ou menina Se uma famılia dessa comunidade e escolhida aleatoriamente entao B e o numero de meninos e G repreesenta o numero de meninas nesta famılia Escreva uma tabela com as probabilidades conjuntas e marginais de B G Questao 8 Ross problema 640 A funcao de probabilidade conjunta de X Y 1 2 1 2 e dada por p1 1 p2 1 18 e p1 2 14 a Calcule a funcao de probabilidade condicional de X dado Y 1 2 b As variaveis X e Y sao indpendentes c Calcule PrXY 3 PrX Y 2 e PrXY 1 Questao 9 Lei das expectativas iteradas O salario que um trabalhador recebe pode ser visto como uma funcao do esforco que ele exerce Vamos supor que existem dois tipos de trabalhadores o preguicoso e o esforcado e trˆes nıveis de salario possıveis alto que assume o valor R100 medio que assume o valor R60 e o baixo que assume o valor R30 A probabilidade de um trabalhador esforcado ganhar um salario alto e de 50 a de ganhar um salario medio e de 30 e a de ganhar um salario baixo e de 20 a Qual e o salario esperado de um trabalhador esforcado b Sabemos que o salario medio da populacao e de R50 e que a proporcao de trabalhadores esforcados e de 40 Qual e o salario esperado de um trabalhador preguicoso Questao 10 Independˆencia e correlacao Sejam X e Y duas variaveis aleatorias com valores em 1 0 1 descorrelacionadas e possuem media zero dica use definicao de valor esperado covariˆancia e independˆencia a Escreva a covariˆancia entre as variaveis aleatorias e suas medias como funcao de PX x Y y px y b Encontre valores para px y x y 1 0 1 de tal forma que X e Y nao sejam independentes Questao 11 Medias de variaveis aleatorias Armınio decide calcular π usando o metodo de simulacao que aprendeu em sala de aula 1 sorteie um par de numeros independentes X Y 0 1 0 1 usando distribuicao uniforme 2 se X2 Y 2 1 entao Z 1 caso contrario Z 0 Page 2 3 repita o experimento acima n vezes e anote os valores Z1 Z2 Zn 4 overlineZn frac4n sumi1n Zi pois EZ1 pi 4 dica linearidade do valor esperado variância de uma soma tabela normal e independência vs correlação a Zi e Zj i eq j são independentes b calcule EoverlineZn c calcule VaroverlineZn d descreva qualitativamente o que acontece quando temos n pequeno e n grande e suponha que overlineZn possui uma distribuição normal Encontre n de tal forma que o erro absoluto de aproximação overlineZn pi seja menor do que 103